功、动能定理、机械能守恒、能量守恒
2.4-2.5功动能定理势能机械能守恒定律
v v0
t
adt 0
0
t 6tdt 3t2
0
dx vdt 3t2dt
A=
F dx
3
12t
3t
2dt
336t3dt 9t4 3 729J
0
0
0
P F 12t 3t2 t 3s时 P 972W
二、几种常见力的功
1、保守力 某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置
A
A
A A1 A2 A3
例1：质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运
动，该质点的速度为 4t2i 16 j ,开始时质点位于坐
标原点。求在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中， 外力做的功。
解：
x
dx dt
4t 2
y
dy dt
16
y 16t
dx 4t2dt
y 16时 t 1
有关，而与路径无关。这种力称为保守力。
保守力沿闭合路径一周所 做的功为零，即 A F dr 0
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力 作功与路径有关的力称为非保守力（也称为耗散力） 典型的耗散力： 摩擦力
2、重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
AG
ab
mg
dr
b
a ( mg )k ( dxi dyj dzk ) Z
l a
态
b0g 0(l b0)g 0
b0
0 1 0
l
a
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开
始滑动。μ0为最大静摩擦力系数。
(2)到链条离开桌面的过程中,摩擦力对链条作了多少功？
（2）当链条下落x时，
区分动能定理、功能关系、机械能守恒、能量守恒及解题时如何选用(含典例分析)
区分动能定理、功能关系、机械能守恒、能量守恒及解题时选用技巧（含典例分析）一、动能定理物体所受合外力做的功等于物体动能的变化量，即使用动能定理时应注意以下2个方面的问题：（1）由于作用在物体上的诸多力往往不是同时同步作用，而是存在先后顺序，因此求合外力做的功W 合一般采取先分别求出单个力受力然后代数和相加即可，即：比如一个物体收到了三个F 1、F 2、F 3三个力的作用，三个力所做的功分别为“+10J ”、“-5J ”、“-7J ”，这样以来三个力所做的总功W 合=10+（-5）+（-7）=-2J 。
（2）动能的变化量（或称动能的增量）因此在使用动能定理之前首先要明确对哪一段过程使用，这样才能确定谁是初始，谁是末尾，下面举例说明：图1例1：如图1所示，AB 为粗糙的水平地面，AB 段的长度为L ，右侧为光滑的竖直半圆弧BC 与水平地面在B 点相切，圆弧的半径为R ，一个质量为m 的小物块放置在A 点，初速度为V 0水平向右，物块受到水平向右恒力F 的作用，但水平恒力F 在物块向右运动L 1距离时撤去（L 1<L ），物块恰好通过C 点，重力加速度为g。
求：小物块与地面之间的动摩擦因数u。
思路梳理：物块恰好通过C点，意味着小物块在C点时对轨道无压力，物块的重力恰好提供物块转弯所需的向心力，可据此求出物块在C点的速度V c，剩下的问题就变成了到底选哪一段过程使用动能定理进行解题的问题，大多数同学习惯一段一段分析，即先分析A至B段，再分析B至C段，也有同学指出可以直接分析A至C全过程即可，到底哪种比较简单，这其实要看题目有没有在B点设定问题，下面详细解答：解法一：对A至B过程运用动能定理，设小物块在B点的速度为V B再对B至C过程运用动能定理，设小物体在C点的速度为V C小物块恰好通过C点，则联立（1）（2）（3）式即可求出u。
解法二：对A至C过程运用动能定理，设小物块在C点的速度为V C小物块恰好通过C点，则联立（1）（2）式即可求出u。
3 动能定理 功能原理 机械能守恒定理
注意 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 .
动能 能量守恒定律
质点系统动能定理
每一个质点都满足动能定理，则有
A1 12 m 1v12 12m1v120
Ai
1 2
mi vi2
1 2
mi vi20
以上各式左右分别相加
对称性与守恒定律
F1
m2
都有这一特点
A
B
C
保守力作的功，是位置的单值函数；
D
那么，我们就可以引入仅是位置的单
B
值函数的能量，叫作保守力的势能，
也叫作位能。
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
五 势能
势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
A (mgzB mgzA )
引力功
A
(G
械能的改变。
动能 能量守恒定律
九 机械能守恒定律 功能原理
对称性与守恒定律
A外 A非 保 内 E
当 A外 A非 保内 0 时，有 E1 E2
机械能守恒定律： 只有保守内力作功的情况下，质 点系的机械能保持不变 .
注意： 1、机械能守恒是有条件的。从初态到末态的每一个微元 过程中，外力和非保守内力所做的元功的代数和均为零， 则机械能守恒。
9/4
4dy 9.125J
1
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
例：质量为 m 的物体放在水平桌面上，物体和桌面的摩 擦系数为 ，物体在外力作用下沿半径为R圆由a运动 到b，移动了半个圆周，求在这一过程中摩擦力的功。
这是力的大小不变，物 体沿曲线运动的例子
动能定理,机械能守恒定律,能量守恒定律,动量定理,动量守恒定理的内容,表达式,适用条件。
动能定理，机械能守恒定律，能量守恒定律，动量定理，动量守恒定理的内容，表达式，适用条件。
动能定理指的是物体受到力的加速，物体的动能就会增加，其表达
式为：
µv2 =W，其中µ为物体的质量，v为物体的速度，W为物体受力的势能。
只要施加力，物体的动能就会改变，当物体处于静止状态时，动
能为零。
机械能守恒定律认为物体的机械能是不变的，总的机械能等于其动能
与势能的总和，表达式为：K0+U0=K+U，其中K0是物体的初始动能，U0为物体初始势能，K是物体的最终动能，U为物体的最终势能，表
示物体的动能和势能之和均不变、守恒。
能量守恒定律认为，物质运动时，能量不会被创建或消失，也就是说
能量是守恒的，它们只能以同样的形式互相转变，表达式为：Ε=Ε0，
其中Ε表示物体最终的能量，Ε0代表物体的初始能量，Ε等于Ε0，表
示能量守恒。
动量定理指的是物体受到力时，其动量就会改变，表达式为：p = mv，其中p为物体的冲量，m为物体的质量，v是物体的速度，物体的冲量
与其质量和速度成正比。
动量守恒定律认为物体的总冲量是守恒的，不会改变，表达式为：
∆p=0，虽然物体加力后，它的总冲量会改变，但是这个变化是可以由
其他物体抵消的，总的冲量是守恒的。
所有这些定律和定理都适用于物体受到力而加速或减速运动时，其运动规律是相同的，即动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律、动量定理和动量守恒定理的适用。
只要物体的势能发生变化，就可以使用这些定律和定理来描述物体的运动特性。
功、功率与动能定理(解析版)
构建知识网络：考情分析：功和功率、动能和动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律是力学的重点，也是高考考查的重点，常以选择题、计算题的形式出现，考查常与生产生活实际联系紧密，题目的综合性较强。
复习中要特别注意功和功率的计算，动能定理、机械能守恒定律的应用以及与平抛运动、圆周运动知识的综合应用重点知识梳理： 一、功1.做功的两个要素(1)作用在物体上的力. (2)物体在力的方向上发生的位移. 2.功的物理意义 功是能量转化的量度. 3.公式 W ＝Fl cos_α(1)α是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移. (2)该公式只适用于恒力做功. 4.功的正负(1)当0≤α<π2时，W >0，力对物体做正功.(2)当π2<α≤π时，W <0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功.(3)当α＝π2时，W ＝0，力对物体不做功.通晓两类力做功特点(1)重力、弹簧弹力和电场力都属于“保守力”，做功均与路径无关，仅由作用对象的初、末位置(即位移)决定。
(2)摩擦力属于“耗散力”，做功与路径有关。
二、功率1.物理意义：描述力对物体做功的快慢.2.公式：(1)P ＝Wt ，P 为时间t 内的物体做功的快慢.(2)P ＝Fv①v 为平均速度，则P 为平均功率. ②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率. 3.对公式P ＝Fv 的几点认识：(1)公式P ＝Fv 适用于力F 的方向与速度v 的方向在一条直线上的情况. (2)功率是标量，只有大小，没有方向；只有正值，没有负值.(3)当力F 和速度v 不在同一直线上时，可以将力F 分解或者将速度v 分解. 4.额定功率：机械正常工作时的最大功率.5.实际功率：机械实际工作时的功率，要求不能大于额定功率. 三、动能1.定义：物体由于运动而具有的能.2.公式：E k ＝12mv 2.3.物理意义：动能是状态量，是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有正值，动能与速度方向无关.4.单位：焦耳，1J ＝1N·m ＝1kg·m 2/s 2.5.动能的相对性：由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性.6.动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔE k ＝12mv 22－12mv 12.四、动能定理1.内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化.2.表达式：(1)W ＝ΔE k . (2)W ＝E k2－E k1. (3)W ＝12mv 22－12mv 12.3.物理意义：合外力做的功是物体动能变化的量度.4.适用条件(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动. (2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功.(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用. 【名师提醒】一对平衡力做功绝对值肯定相等；一对相互作用力做功的绝对值不一定相等，可以同为正或同为负，也可以一个做功一个不做功，可以一正一负绝对值不一定相等---因为相互作用力作用在不同的物体上，不同的物体位移不一定相等。
高中物理（机械能守恒定律、能量守恒定律、动能定理的区别）
⾼中物理（机械能守恒定律、能量守恒定律、动能定理的区别）专题⼀：机械能守恒定律、能量守恒定律、动能定理的综合应⽤⼀、基本知识点：1、机械能守恒定律：（1）概念：物体在只有重⼒和弹⼒做功的情况下，物体的动能与势能的总和不变。
（2）适⽤条件：只有重⼒和弹⼒做功（3）注意事项：a、这⾥的势能可以是重⼒势能，也可以是弹性势能；b、等式的两边，左边表⽰初始时刻的动能与势能之和，右边为末了时刻的动能与势能之和。
2、能量守恒定律：（1）概念：能量总和不变（2）表达式：（初始时刻各种能量之和）=（末了时刻各种能量之和）（3）注意事项：a、这⾥的各种形式的能包括动能、势能（重⼒势能、弹性势能、电势能）、内能（摩擦⼒产⽣、电流的热效应产⽣）；b、根据热⼒学第⼆定律，功可以全部转化成热，热不可全部转化成功，热⼀般加在末了时刻⼀侧。
3、动能定理：（1）概念：外⼒做的功等于物体的末动能减掉物体的初动能（2）表达式：外⼒做功=末动能-初动能（3）注意事项：a、功有“正”、“负”之分，⼀定要注意⼒与位移的关系，同向为“正”，反向为“负”；b、等式右边是末动能减去初动能，不是初动能减去末动能，也不是初始时刻的能量减去末了时刻的能量。
⼆、典型习题讲解：如下图所⽰，光滑的半径R=10cm半圆形导轨BC与AB相切于点B，现有⼀质量为m=2kg的物体从A点出发，其恰好能够通过C 点，若AB=50cm，其动摩擦因数为µ=0.4，（g=10N/kg）求：(1)物体的最⼩初速度v0；(2)在B点，轨道对物体的⽀持⼒的⼤⼩；(3)物体通过C点后，落点D与B的距离。
【解析】：（1）过程分析：在AB段，物体做匀加速直线运动，只受到摩擦⼒的作⽤，故可以应⽤能量守恒定律（物体的初动能=物体的末动能+摩擦⼒做功）或者⽤动能定理（摩擦⼒做功=物体的末动能-物体的初动能）；在BC段，物体做圆周运动，在这个过程中，只有重⼒做功，故可以应⽤机械能守恒定律（B点的动能+B点的势能=A点的动能+A点的势能）；在AD段，物体只受到重⼒的作⽤，做平抛运动，可以将物体的运动分解成⽔平⽅向和竖直⽅向来进⾏求解。
动能定理机械能守恒定律和能量守恒定律
不做功；α > 90°，做负功；α < 90°，做正功。
——适用判断恒力做功问题
③由力和物体速度的夹角α 的大小进行判断:
α =90°，不做功； α >90°，做负功；α <90°，
做正功。
——适用判断曲线运动做功问题
④由物体间的能量转化进行判断:能量不变化，不
速度变化的关系
力与速度不在一条直线的问题，
3.重力势能、重力做功 不定量讨论机车以恒定功率起
与重力势能改变的关
动与匀加速起动的问题 3、不要求掌握弹簧弹性势能的表
系
达式
4.探究弹性势能
4、运用机械能守恒定律计算时，
5.机械能守恒定律
不涉及弹性势能的表达式，不 求解多个物体的问题。
6.能量守恒定律与能源 5、不要求用能量守恒定律进行教
A.若斜面向左匀速移动距离s，斜面对物块没有做功 B.若斜面向上匀速移动距离s，斜面对物块做功mgs C.若斜面向左以加速度a移动距离s，斜面对物块做功 mas D.若斜面向下以加速度a移动距离s，斜面对物块做功 m（g+a）s
变化2 、图示，小物块位于光滑的斜面上， 斜面置于光滑水平面上，从地面上看， 在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对 小物块的作用力( B )
做功；能量减少，做负功；能量增加，做正功。
——适用判断两个相互作用且做曲线运动的物体的做功问题
下面列举的哪几种情况下所做的功是零 （ ACD ）
A．卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星 做的功
B．平抛运动中，重力对物体做的功 C．举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停 留10s，运动员对杠铃做的功 D．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木 块做的功
大学物理(3.4.2)--功能原理机械能守恒定律能量守恒定律
第四讲功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律k k k i i i i ii e E E E v m v m W W ∆=-=-=+∑122122)2121(系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。
回顾前面学过的知识点：1. 质点系动能定理P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2. 保守力作功等于势能的减少3. 成对力的功只与作用力和相对位移有关:r d F dW '⋅= 22/16※ 质点系功能原理1、系统的机械能: 动能与势能的总和称为机械能3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少pin c E W ∆-= 2、内力的功可分为： 保守内力的功和非保守内力功pk E E E +=（保守内力的功由势能代替）第四讲 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 in ncin c in in W W W W i i+==∑非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。
inncex p k W W E E E +=∆+∆=∆k in ncp ex in nc in c ex in ex E W E W W W W W W ∆=+∆-=++=+ 4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。
4/16※ 机械能守恒定律问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
0=+in nc ex W W 0=∆+∆=∆p k E E E 常量=+p k E E 由功能原理:则：或:如果： 如果系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或元功之和恒为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？in nc ex p k W W E E E +=∆+∆=∆力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零，机械能守恒。
力学量守恒的条件
力学量守恒的条件
力学中的三大能量守恒定律包括动能定理、机械能守恒定律及功能原理，它们各自有不同的条件。
1. 动能定理的条件是外力对物体所做的合功，等于物体的动能增长量。
这个定理研究的对象是单位物体或者物体系，使用的条件是在同一个惯性参照系中有速度和位移变化。
2. 机械能守恒定律的条件是在只有重力和弹力做功的物体系内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能则保持不变。
这个定律研究的对象是物体系统，使用条件是物体重力和弹力做功。
3. 功能原理的条件是除了重力和弹力之外，其他外力做的功和内力做的代数和等于系统机械能增加量。
这个原理研究的对象是单个物体或物体系，使用条件是不计重力和弹力做的功，只计系统内其他外力和内力做的功。
以上内容仅供参考，如需更专业的解释，可查阅相关力学书籍或咨询专业物理学家。
高中物理常见的各种能量与能量守恒定律
高中物理常见的各种能量及能量守恒定律能量形式功能关系能量守恒动能：物体因为运动所具有能量。
动能定理：力对物体所做的总功，等功能原理：除了重力（弹簧机械能守恒定律：除重力之外其他力只有重力做功，动能和重力势能之和保持不变：自由落体运机械12E k mv；②标量性——只有大小，没有2①正负；瞬时性—动能是状态量；相对性——一般选地面为参考系。
重力势能：物体由于被举高而具有的能量。
①E p=mgh；②系统性——重力势能属于物体和地球系统；相对性——数值与所选择的参考平面于物体动能的增量。
①W总E k；②a.要注意各功的正负； b.计算功和动能要选择同一惯性参考系，如地面。
势能定理：保守力所做的功，等于对应势能的减少量。
①W F E；p弹力）之外其他的力所做的功，等于系统机械能的增量。
①W G外E机；②a“.除重力之外其他的力”包括所有除重力之外的系统内力和系统外力，如系统做功为零，则系统的机械能守恒。
①E动E E E EE重弹动重弹②守恒条件一：W0，两种情形：G外a.只有重力做功，其他力不做功；b.除重力之外其他力做功，但其他力动，平抛斜抛物体的运动，光滑斜面、曲面上物体的运动，竖直平面内的圆周运动，单摆运动，带电小球、液滴在重力场、磁场的复合场中的运动（洛仑兹力不做功）等。
弹簧问题：水平弹簧问题，竖直、光滑斜面弹簧问题——注意弹簧的初态分析和整个过程中的重力势能变化，注意弹簧问题与简谐运动综合的问题。
能（零势面）有关，正负表示大小。
内的摩擦力等；做功的代数和为零。
②a.重力做功与具体路径无关，而只弹性势能：弹簧由于弹性形变而具有的能量。
b.轻绳弹力、轻杆弹力、光连接体问题：轻绳连接，轻杆(板)连接，光滑斜面、曲面连与初末位置的高度差有关； b.弹簧弹③守恒条件二：系统与外界没有能量①12E p kx；②大小只与形变量绝对值有关。
2力的功用F-x图像求解，或用对位移的平均力求解；滑斜面弹力、静摩擦力只传递机械能。
动量、动能定理、机械能守恒、能量守恒综合运用
图5-3-1动能、动量、机械能守恒 综合运用 动能定理的理解1.动能定理的公式是标量式，v 为物体相对于同一参照系的瞬时速度.2.动能定理的研究对象是单一物体，或可看成单一物体的物体系.3.动能定理适用于物体做直线运动，也适用于物体做曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用.只要求出在作用的过程中各力所做功的总和即可.这些正是动能定理的优越性所在.4.若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时可以分段考虑，也可以将全过程视为一个整体来考虑.【例1】一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S ，如图5-3-1，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．【解析】 设该斜面倾角为α，斜坡长为l ，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为：mgh mgl W G==αsinαμcos 1mgl W f -=物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S 2，则22mgS W f μ-= 对物体在全过程中应用动能定理：ΣW =ΔE k ． 所以 mgl sin α－μmgl cos α－μmgS 2=0 得 h －μS 1－μS 2=0．式中S 1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故ShS S h =+=21μ动能定理的应用技巧1.一个物体的动能变化ΔE k 与合外力对物体所做的总功具有等量代换关系.若ΔE k ＞0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对物体所做的正功；若ΔE k ＜0，表示物体的动能减少，其减少量等于合外力对物体所做的负功的绝对值；若ΔE k =0，表示合外力对物体所做的功为0,反之亦然.这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法.2.动能定理中涉及的物理量有F 、s 、m 、v 、W 、E k 等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理.由于只需从力在整个位移内的功和这段位移始、末两状态的动能变化去考察，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于动能和功都是标量，无方向性，无论是直线运动还是曲线运动，计算都会特别方便.3.动能定理解题的基本思路(1)选择研究对象，明确它的运动过程.(2)分析研究的受力情况和各个力的做功情况，然后求出合外力的总功. (3)选择初、末状态及参照系. (4)求出初、末状态的动能E k1、E k2.(5)由动能定理列方程及其它必要的方程，进行求解.【例2】如图5-3-2所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为R =0.8m ，BC 是水平轨道，长S =3m ，BC 处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m =1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止.求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功.【解析】物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、BC 段的摩擦力共三个力做功，W G =mgR ，f BC =umg ，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求.根据动能定理可知：W外=0，所以mgR -umgS -W AB =0即W AB =mgR -umgS =1×10×0.8-1×10×3/15=6J【例3】质量为M 的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h =0.20m ，木块离台的右端L =1.7m.质量为m =0.10M 的子弹以v 0=180m/s 的速度水平射向木块，并以v =90m/s 的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s =1.6m ，求木块与台面间的动摩擦因数为μ. 解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段.所以本题必须分三个阶段列方程：子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v 1，mv 0= mv +Mv 1……①木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v 2， 有：22212121Mv Mv MgL -=μ……②木块离开台面后的平抛阶段，ghv s 22=……③ 由①、②、③可得μ=0.50【点悟】从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理.机械能（1）定义：机械能是物体动能、重力势能、弹性势能的统称，也可以说成物体动能和势能之总和.图5-3-2Lhs图5-3-3（2）说明①机械能是标量，单位为焦耳（J ）.②机械能中的势能只包括重力势能和弹性势能，不包括其他各种势能.机械能守恒定律内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变. 守恒条件：只有重力或弹力做功，只发生动能和势能的转化.分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能，如果只是动能和势能的转化，而没有其它形式的能发生转化，则机械能守恒，如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不会发生变化.一、应用机械能守恒定律解题的步骤：1.根据题意选取研究对象（物体或系统）；2.分析研究对象在运动过程中的受力情况以及各力做功的情况，判断机械能是否守恒；3.确定运动的始末状态，选取零势能面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能；4.根据机械能守恒定律列出方程进行求解注意：列式时，要养成这样的习惯，等式作左边是初状态的机械能而等式右边是末状态的机械能，这样有助于分析的条理性.【例1】如图5-5-1所示，光滑的倾斜轨道与半径为R 的圆形轨道相连接，质量为m 的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点 多高？通过轨道点最低点时球对轨道压力多大？ 【解析】 小球在运动过程中，受到重力和轨道支持力，轨道支持力对小球不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．取轨道最低点为零重力势能面．因小球恰能通过圆轨道的最高点C ，说明此时，轨道对小球作用力为零，只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律可列Rv m mg c 2= 得gR m R v m c 2212=在圆轨道最高点小球机械能:mgR mgR E C 221+=在释放点，小球机械能为: mgh E A =根据机械能守恒定律 A C E E = 列等式：R mg mgR mgh 221+= 解得R h 25=同理，小球在最低点机械能 221BB mv E = gR v E E B CB 5==小球在B 点受到轨道支持力F 和重力根据牛顿第二定律，以向上为正，可列mg F Rv mmg F B62==-据牛顿第三定律，小球对轨道压力为6mg ．方向竖直向下．图5-5-1【例2】质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时，弹簧的压缩量为x 0，如图5-5-8所示.物块从钢板正对距离为3 x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动.已知物体质量也为m 时，它们恰能回到O 点，若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到最高点与O 点的距离. 物块从3x 0位置自由落下，与地球构成的系统机械能守恒.则有200213.mv x mg =(1) v 0为物块与钢板碰撞时的的速度.因为碰撞板短，内力远大于外力，钢板与物块间动量守恒.设v 1为两者碰撞后共同速m v 0=2m v 1 (2)两者以v l 向下运动恰返回O 点，说明此位置速度为零。
第一篇专题二第7讲动能定理机械能守恒定律能量守恒定律
和时间，比动力学方法要简捷。
(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理
是没有依据的。
(3)物体在某个运动过程中包含几个运动性质不同的小过程(如加
速、减速的过程)，对全过程应用动能定理，往往能使问题简化。
(4)多过程往复运动问题一般应用动能定理求解。
考点二
1.判断物体或系统机械能是否守恒的三种方法
12
2.北京冬奥会中的冰壶比赛令人印象深刻，冰壶比赛场地如图所示：运 动员从起滑架处推着冰壶(可视为质点)沿中心线出发，在投掷线处放手 让冰壶以一定的速度滑出，使冰壶的停止位置尽量靠近大本营圆心O， 为了使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷摩擦冰壶运行路径前方的冰 面，使冰壶与冰面间的阻力减小。已知冰壶质量m＝20 kg，未刷冰时， 冰壶与冰面间的动摩擦因数μ1＝0.02，刷冰后μ2＝0.01，起滑架到投掷线 的距离l1＝10 m，投掷线与圆心O点的距离为l2＝30 m，取g＝10 m/s2，则：
例4 (2023·江苏连云港市模拟)如图所示，竖直面内处于同一高度的光滑钉 子M、N相距2L。带有光滑小孔的小球A穿过轻绳，轻绳的一端固定在钉 子M上，另一端绕过钉子N与小球B相连，B球质量为m。用手将A球托住 静止在M、N连线的中点P处，此时B球也处于静止状态。放手后，A球 下落的最大距离为L，重力加速度为g，B球未运动到钉子N处。 (1)A球的质量mA；
例2 (2022·浙江1月选考·20)如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由
倾角α＝37°的光滑直轨道AB、圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为 O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、 D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点(与B点等高)，B、
力学中功的概念
解析：因运动员的脚与地面间不发生相对滑动， 故地面对运动员的静摩擦力对运动员不做功，A、 B、D均错误，C正确。
答案：C
例4、(单选)如图所示，质量为m的物体置于倾角 为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在 外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀 加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止。则关 于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中错误的 是( )
功，C正确。
答案：C
例3、运动员在110米栏比赛中，主要有起跑加速、 途中匀速跨栏和加速冲刺三个阶段，运动员的脚与地 面间不会发生相对滑动，以下说法正确的是 ( )
A、加速阶段地面对运动员的摩擦力做正功 B、匀速阶段地面对运动员的摩擦力做负功 C、由于运动员的脚与地面间不发生相对滑动，所 以不论加速还是匀速，地面对运动员的摩擦力始终不 对运动员做功 D、无论加速还是匀速阶段，地面对运动员的摩擦 力始终做负功
本系列课重点复习功的概念和有关计算，包 括力对物体是否做功、做正功还是做负功的判 断方法，各种情况下功的计算方法，如恒力的 功、变力的功、分力的功、合力的功、摩擦力 的功和作用力与反作用力的功等，既能用功的 概念又能利用动能定理、功能关系等方法求功。
目录
一、力学中功的概念
二、力是否做功及其正负的判断
力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功
；当a<gtan θ，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移夹角大
力学中功的概念 及计算
功、功率、动能定理等知识是高中物理中 非常重要的知识点，其灵活性强，综合面广， 对学生的能力要求非常高。功的概念是动能定 理、机械能守恒定律、能量守恒定律及各种功 能关系的基础，也是用能量观点分析物理问题 的切入点。因此，是否能够正确求出力对物体 做功，对“功率”和“动能定理”及后续“机 械能守恒的运用”及热学、电学、光学、原子 物理学起着决定性的作用。
高考物理总复习(课标版)机械能之 功能关系 能量守恒定律
[答案]
D
2．(多选)如图所示，在升降机内固定一光滑的斜面体， 一轻弹簧的一端连在位于斜面体上方的固定木板 B 上，另一 端与质量为 m 的物块 A 相连，弹簧与斜面平行．整个系统由 静止开始加速上升高度 h 的过程中( )
A．物块 A 的重力势能增加量一定等于 mgh B．物块 A 的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉 力对其做功的代数和 C．物块 A 的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的 拉力对其做功的代数和 D．物块 A 和弹簧组成的系统的机械能增加量等于斜面 对物块的支持力和 B 对弹簧的拉力做功的代数和
[思维启迪] (1)明确哪种力做功引起哪种能量的变化． (2)注意功的正负和能量转化的“方向”．
[尝试解答] 由于上升过程中的加速度大小等于重力加
1 速度，则由牛顿第二定律 mgsin30° ＋f＝mg，则 f＝ mg.由动 2 能定理可知 ΔEk＝mgH＋fL＝2mgH，则 A 正确，B 错误；机 械能的减少量在数值上等于克服摩擦力做的功， Wf ＝ fL ＝ mgH，则 C 正确，D 错误．
能量守恒定律
能量既不会凭空产生，也不会 凭空消失 ，它只会从一 种形式 转化为其他形式，或者从一个物体 转移到另一个物 体，而在转化和转移的过程中，能量的总量 保持不变 ． 2．表达式：ΔE 减＝ΔE 增．
1．力对物体做了多少功，物体就有多少能量(
)
[答案]
× )
2．功就是能，能就是功( [答案] ×
高考物理总复习 课标版
第4讲
功能关系
能量守恒定律
基 础
知 识 回 顾
知识点一 1．功和能
功和能
(1)做功的过程就是 能量转化的 须通过 做功 来实现． (2)功是
系统的功能定理机械能守恒定律能量守恒定律
02 03
拓展功能定理和机械能守恒定律的应用范围
功能定理和机械能守恒定律在解决许多物理问题时具有重 要价值，未来可以进一步拓展其应用范围，探索其在其他 领域的应用可能性，如材料科学、生物医学等。
加强能量守恒定律与其他物理定律的联系研究
能量守恒定律是物理学中的基本原理之一，与其他物理定 律有着密切的联系。未来可以进一步研究能量守恒定律与 其他物理定律的内在联系，揭示它们之间的相互作用和影 响机制。
问题描述
系统功能定理应用
守恒定律应用
一个由两个质点组成的系统在光 滑水平面上运动，质点1的质量 为m1，速度为v1，质点2的质 量为m2，速度为v2。两质点之 间用一根轻弹簧连接，求弹簧的 伸长量x。
根据系统功能定理，外力对系 统所做的功等于系统动能的增 量。由于系统内部只有弹力做 功，因此可以根据动能定理求 出弹簧的伸长量x。
根据热力学第一定律，系统吸收的热量 等于系统内能的增量与对外做功之和。 即Q=ΔU+W，其中ΔU为系统内能增 量，W为气体对外所做的功。
在加热过程中，气体的质量保持不变 。因此，可以根据质量守恒定律求出 气体的最终温度T2和吸收的热量Q。
PART 06
总结与展望
REPORTING
WENKU DESIGN
通过测量物体在不同位置的速度和高度，可以验证机械能是否守恒。如果动能和势能之和 在物体运动过程中保持不变，则可以确认机械能守恒。
分析复杂运动
对于涉及多种力作用的复杂运动，可以通过分析机械能是否守恒来简化问题。如果机械能 守恒，则可以只关注动能和势能的变化，而不必考虑其他力的影响。
工程应用
在工程领域，机械能守恒定律被广泛应用于各种机械装置和系统的设计、分析和优化中。 例如，在机械设计中，可以利用机械能守恒定律来评估机构的性能、优化设计方案或预测 系统的动态行为。
功、功率与动能势能、动能定理、机械能守恒
个性化辅导导学案
教师:徐正天学生: 顾天宇日期: 3.9 星期: 六时段: 19--21 课题机械能年级高二
学情分析机械能守恒和动能定理是小高考相当重要的一部分内容，顾天宇同学在这一部分掌握的并不是特别好，所以需要进行进一步讲解，以加强训练
教学目标与
考点分析
功、功率、重力势能的变化与重力做功的关系、动能及动能定理
教学重点
难点
功的概念重力做功与重力势能的变化
教学方法
教学过程
无锡龙文教学管理部
1
功 B 功率 B 重力势能、重力势能的变化与重力做功的关系 A 弹性势能 A 动能 A 动能定理 C
学生收获
你这次课一定有不少收获吧，请写下来：
教学反思
本次课后作业
学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
学生签字：
教师评定：
1、学生上次作业评价：○非常好○好○一般○需要优化
2、学生本次上课情况评价：○非常好○好○一般○需要优化
教师签字：
学科组长签字：
3
无锡龙文教学管理部。
专题复习：动能定理、机械能守恒、能量守恒
机械能中物理规律的应用本章解决计算题常用的方法：动能定理和机械能守恒定律、能量守恒定律、四个功能关系，很多同学可能在遇到问题的时候，不知道用哪个求解，或者在运用规律列方程时把有关规律混淆。
尤其是机械能能守恒和动能定理。
因此，有必要将机械能守恒定律的应用和动能定理的应用的异同性介绍清楚。
1、思想方法相同：机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量变化角度来研究物体在力的作用下状态的变化，表达这两个规律的方程都是标量式。
2、适用条件不同：机械能守恒定律适用只有重力和弹力做功的情形；而动能定理则没有条件限制，它不但允许重力做功还允许其它力做功。
3、分析思路不同：用机械能守恒定律解题只要分析研究对象的初、末状态的动能和势能，而用动能定理解题不但要分析研究对象初、末状态的动能，还要分析所有外力所做的功，并求出这些外力所做的总功。
4、书写方式不同：在解题的书写表达式上机械能守恒定律的等号两边都是动能与势能的和，而用动能定理解题时等号一边一定是外力的总功，而另一边一定是动能的变化。
5、mgh的意义不同：在动能定理中，mgh是重力做的功，写在等号的一边。
在机械能守恒定律中，mgh表示某个状态的重力势能或者重力势能改变量。
如果某一边没有, 说明在那个状态的重力势能为零。
不管用什么公式，等号两边决不能既有重力做功，又有重力势能。
解题思路：一首先考虑机械能守恒定律一般来说，优先考虑是否符合机械能守恒条件，尤其是两个以上物体组成的系统，比如一杆带两球，一绳拴两个物体。
因为动能定理的研究对象在高中阶段通常是单个的物体。
相关的习题有：《讲义》P15410、11、13及P156典例容易混淆的题目：1如图所示，两个光滑的小球用不可伸长的细软线连接，并跨过半径为R的光滑圆柱，与圆柱轴心一样高的A球的质量为2m正好着地的B球质量是m,释放A球后，B球上升，则A球着地时的速度为多少？2如图所示是一个横截面为半圆，半径为R的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着可视为质点的物体A、B,且m=2m=2m由图示位置从静止开始释放A物体，当物体B 达到半圆顶点时，求此过程中绳的张力对物体B所做的功。
专题复习：动能定理、机械能守恒、能量守恒
机械能中物理规律的应用本章解决计算题常用的方法：动能定理和机械能守恒定律、能量守恒定律、四个功能关系，很多同学可能在遇到问题的时候，不知道用哪个求解，或者在运用规律列方程时把有关规律混淆。
尤其是机械能能守恒和动能定理。
因此，有必要将机械能守恒定律的应用和动能定理的应用的异同性介绍清楚。
1、思想方法相同：机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量变化角度来研究物体在力的作用下状态的变化，表达这两个规律的方程都是标量式。
2、适用条件不同：机械能守恒定律适用只有重力和弹力做功的情形；而动能定理则没有条件限制，它不但允许重力做功还允许其它力做功。
３、分析思路不同：用机械能守恒定律解题只要分析研究对象的初、末状态的动能和势能，而用动能定理解题不但要分析研究对象初、末状态的动能，还要分析所有外力所做的功，并求出这些外力所做的总功。
４、书写方式不同：在解题的书写表达式上机械能守恒定律的等号两边都是动能与势能的和，而用动能定理解题时等号一边一定是外力的总功，而另一边一定是动能的变化。
５、mgh的意义不同：在动能定理中，mgh是重力做的功，写在等号的一边。
在机械能守恒定律中，mgh表示某个状态的重力势能或者重力势能改变量。
如果某一边没有，说明在那个状态的重力势能为零。
不管用什么公式，等号两边决不能既有重力做功，又有重力势能。
解题思路：一首先考虑机械能守恒定律一般来说，优先考虑是否符合机械能守恒条件，尤其是两个以上物体组成的系统，比如一杆带两球，一绳拴两个物体。
因为动能定理的研究对象在高中阶段通常是单个的物体。
相关的习题有：《讲义》P154 10、11、13及P156典例容易混淆的题目：1如图所示，两个光滑的小球用不可伸长的细软线连接，并跨过半径为R 的光滑圆柱，与圆柱轴心一样高的A 球的质量为2m ，正好着地的B 球质量是m ，释放A 球后，B 球上升，则A 球着地时的速度为多少？2如图所示是一个横截面为半圆，半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着可视为质点的物体A 、B ，且m A =2m B =2m ，由图示位置从静止开始释放A 物体，当物体B 达到半圆顶点时，求此过程中绳的张力对物体B 所做的功。
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功、动能定理、机械能守恒、能量守恒功：1.一人用恒定的力F ，通过图示装置拉着物体沿光滑水平面运动，A 、B 、C 是其运动路径上的三个点，且AC ＝BC.若物体从A 到C 、从C 到B 的过程中，人拉绳做的功分别为W FA 、W FB ，物体动能的增量分别为ΔE A 、ΔE B ，不计滑轮质量和摩擦，下列判断正确的是A ．W FA ＝W FB ΔE A ＝ΔE BB ．W FA ＞W FB ΔE A ＞ΔE BC ．W FA ＜W FB ΔE A ＜ΔE BD ．W FA ＞W FB ΔE A ＜ΔE B2．关于力对物体做功，如下说法正确的是（ ）A ．滑动摩擦力对物体一定做负功B ．静摩擦力对物体可能做正功C ．作用力的功与反作用力的功其代数和一定为零D ．合外力对物体不做功，物体一定处于平衡状态3.质量为m ＝2 kg 的物体沿水平面向右做直线运动，t ＝0时刻受到一个水平向左的恒力F ，如上图甲所示，此后物体的v －t 图象如图乙所示，取水平向右为正方向，g ＝10 m/s 2，则A ．物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.5B ．10 s 末恒力F 的瞬时功率为6 WC ．10 s 末物体回到出发点D ．10 s 内物体克服摩擦力做功34 J功率 4.如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，－质量为2 kg 的物体在力F 的作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(取g ＝10 m/s2)( )A ．力F 的大小为21 NB ．4 s 内力F 做的功为80 JC ．4 s 末力F 的功率大小为42 WD ．4 s 内力F 做功的平均功率为42 W5.如图所示，长为L 的长木板水平放置，在木板的A 端放置一个质量为m 的小物块，现缓慢地抬高A 端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v ，则在整个过程中（ ） A ．木板对物块做功为212mvB ．静擦力对小物块做功为mgL sin αC ．支持力对小物块做功为mgL sin αD ．滑动摩擦力对小物块做功为21sin 2mv mgL α- 6.一列火车在功率恒定的牵引力牵引下由静止从车站出发，沿直线轨道运动，行驶5min 后速度达到20m/s ， 设列车所受阻力恒定，则可以判定列车在这段时间内行驶的距离（）A ．一定大于3kmB ．可能等于3kmC ．一定小于3kmD ．条件不足， 无法确定7.水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。
现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。
设F 的方向与水平面夹角为θ，如图，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则( )A.F 先减小后增大B.F 一直增大C.F 的功率减小D.F 的功率不变8.如图甲所示，在水平路段AB 上有一质量为2×103 kg 的汽车，正以10 m/s 的速度向右匀速行驶，汽车前方的水平路段BC 较粗糙，汽车通过整个ABC 路段的v －t 图象如图乙所示，在t ＝20 s 时汽车到达C 点，运动过程中汽车发动机的输出功率保持不变．假设汽车在AB 路段上运动时所受的恒定阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)f 1＝2 000 N ．求：(1)汽车运动过程中发动机的输出功率P ；(2)汽车速度减至8 m/s 时加速度a 的大小；(3)BC 路段的长度．(解题时将汽车看成质点)动能及动能定理9.下列关于运动物体所受合外力做功和动能变化的关系正确的是 （ ）A ．如果物体所受合外力为零，则合外力对物体做的功一定为零B ．如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零C ．物体在合外力作用下做变速运动，动能一定发生变化D ．物体的动能不变，所受合外力一定为零10.如图所示，质量为m 的物体静放在水平光滑平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面以速度v 0向右匀速走动的人拉着，设人从地面上且从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处，在此过程中人所做的功为A ．mv 02／2B ．mv 02C ．2mv 02／3D ．3mv 02／8 11.如图所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 0沿水平射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v 运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L ，子弹进入木块的深度为s ．若木块对子弹的阻力f 视为恒定，则下列关系式中正确的是A ．fL =21Mv 2B ．f s =21mv 2C ．f s =21mv 02－21（M ＋m ）v 2D ．f （L ＋s ）=21mv 02－21mv 2 12.如图所示，一小物块初速v1,开始由A 点沿水平面滑至B 点时速度为v2,若该物块仍以速度v1从A 点沿两斜面滑动至B 点时速度为v2’，已知斜面和水平面与物块的动摩擦因数相同，则( )A.v2>v2'B.v 2<v 2’C.v 2=v 2’D ．沿水平面到B 点时间与沿斜面到达B 点时间相等. 13.如图所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v 0＝2m/s 的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m ＝l0kg 的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h ＝2m 的高处.已知工件与传送带间的动摩擦因数23=μ，g 取10m/s 2.(1) 试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?(2) 工件从传送带底端运动至h ＝2m 高处的过程中摩擦力对工件做了多少功?14.(2012·高考北京卷)如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离L后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上．已知L＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s；(2)小物块落地时的动能E k；(3)小物块的初速度大小v0.势能机械能守恒定律15.运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是( )A.阻力对系统始终做负功B.系统受到的合外力始终向下C.重力做功使系统的重力势能增加D.任意相等的时间内重力做的功相等16.一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点．下列说法正确的是（）A．运动员到达最低点前重力势能始终减小B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关17.如图，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中，A．小球的机械能守恒B．重力对小球不做功C．绳的张力对小球不做功D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少18.如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于（）A.棒的机械能增加量B.棒的动能增加量C.棒的重力势能增加量D.电阻R上放出的热量19如图所示，某货场需将质量为m1=100 kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8 m。
地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同的木板A、B，长度均为l=2 m，质量均为m2=100 kg，木板上表面与轨道末端相切。
货物与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.2。
（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。
（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ1应满足的条件。
（3）若μ1=0.5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间。
功能关系20.如图5所示，一轻弹簧左端固定在竖直墙上，自然伸长时右端到A，水平面上放置一个质量为M＝20 kg的长木板(木板与弹簧不拴接)，水平面与木板间的动摩擦因数为μ1＝0.1，开始时木板左端恰好在A处．一质量为m＝16 kg的物块(可视为质点)从木板右端以速度v0＝6 m/s滑上长木板，物块与木板间的动摩擦因数为μ2＝0.5.木板压缩弹簧，经过时间t＝1.0 s弹簧被压缩了x0＝2.5 m，此时物块与木板恰好不再相对滑动，此后物块与木板相对静止，直至停止在水平面上，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10 m/s2。
(1)求木板的长度至少多长？(2)求物块与木板达到共同速度的瞬间，弹簧的弹性势能为多大？(3)若弹簧的弹性势能Ep＝12kΔx2，其中k为弹簧的劲度系数，Δx为弹簧的形变量，则最终木板能否离开弹簧？若能，则离开后在水平面上滑行的距离为多少？若不能，请通过计算说明．21.消防车的供水系统主要由水泵、输水管道和水炮组成．如图所示，消防水炮离地高度为H，建筑物上的火点离地高度为h，水炮与火点的水平距离为x，水泵的功率为P，整个供水系统的效率η＝0.6.假设水从水炮水平射出，不计空气阻力，取g＝10 m/s2. (1)若H＝80 m，h＝60 m，水炮的出水速度v0＝30 m/s，求水炮与起火建筑物之间的水平距离x；(2)在(1)问中，若水炮每秒出水量m0＝60 kg，求水泵的功率P；(3)当完成高层灭火后，还需要对散落在火点正下方地面上的燃烧物进行灭火，将水炮竖直下移至H′＝45 m，假设供水系统的效率η不变，水炮出水口的横截面积不变，水泵功率应调整为P′，则P′应为多大？答案1 B.2 B 3. D.4 C 5 ACD 6 A 7AC8(1)汽车在AB 路段时，牵引力和阻力相等F 1＝f 1，P ＝F 1v 1联立解得：P ＝20 kW.(2)t ＝15 s 后汽车处于匀速运动状态，有F 2＝f 2，P ＝F 2v 2，f 2＝P /v 2联立解得：f 2＝4 000 N v ＝8 m/s 时汽车在做减速运动，有f 2－F ＝ma ，F ＝P /v 解得a ＝0.75 m/s 2.(3)Pt －f 2s ＝12m v 22－12m v 21 9 A 10D 11 ACD 12C13 (1) 工件刚放上皮带时受滑动摩擦力θμcos mg F =，工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律ma mg F =-θsin 得:a=2.5m/s 2设工件经过位移x 与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得5.2222220⨯==a v x =0.8m ＜4m. 故工件先以2.5m/s 2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m 与传送带达到共同速度2m/s 后做匀速直线运动。