五年高考真题(数学理) 6.1 数列的概念及简单表示法

第一节 数列的概念及简单表示法
考点 数列的概念及表示方法
1．(2013·辽宁，4)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a n
n }是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2
B ．p 3，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 1，p 4
解析 如数列为{－2，－1，0，1，…}，则1×a 1＝2×a 2，故p 2是假命题；如数列为{1，2，3，…}，则a n
n ＝1，故p 3是假命题．故选D. 答案 D
2．(2012·浙江，7)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )
A ．若d <0，则数列{S n }有最大项
B ．若数列{S n }有最大项，则d <0
C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0
D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列
解析 因S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫a 1－d 2n ，所以S n 是关于n 的二次函数，
当d <0时，S n 有最大值，即数列{S n }有最大项，故A 命题正确．若{S n }有最大项，即对于n ∈N *，S n 有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即d <0，故B 命题正确．而若a 1<0，d >0，则数列{S n }为递增数列，此时S 1<0，故C 命题
错误．若对于任意的n ∈N *，均有S n >0，则a 1＝S 1>0，且d 2n ＋a 1－d
2>0对于n ∈N *恒成立，∴d
2>0，即命题D 正确，故选C. 答案 C
3．(2011·江西，5)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( ) A ．1
B ．9
C ．10
D ．55
解析 ∵a 10＝S 10－S 9，
又∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，∴S 10＝S 1＋S 9， ∴a 10＝(S 1＋S 9)－S 9＝S 1＝a 1＝1.故选A. 答案 A
4．(2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫1a n 前10项的和为________．
解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（2＋n ）（n －1）
2，即a n
＝n （n ＋1）2，令b n ＝1a n ，故b n
＝2n （n ＋1）＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 答案 2011
5．(2013·新课标全国Ⅰ，14)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3，则{a n }的通项公式是a n ＝________． 解析 ∵S n ＝23a n ＋1
3，① ∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋1
3.② ①－②，得a n ＝23a n －2
3a n －1， 即
a n
a n －1
＝－2.
∵a 1＝S 1＝23a 1＋1
3，∴a 1＝1.
∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 答案 (－2)n －1
6．(2015·安徽，18)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线与x 轴交点的横坐标．
(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记
T n ＝x 21x 23…x 2
2n －1，证明
T n ≥1
4n
.
(1)解 y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n ＋2，
从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)． 令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
. (2)证明 由题设和(1)中的计算结果知 T n ＝x 21x 2
3…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n －12n 2
. 当n ＝1时，T 1＝14.
当n ≥2时，因为x 2
2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n . 所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×2
3×…×n －1n ＝14n .
综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥1
4n .
7．(2014·广东，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15. (1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．
解
(1)依题有⎩⎨⎧S 1＝a 1＝2a 2－3－4，
S 2＝a 1＋a 2＝4a 3－12－8，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝15，
解得a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7. (2)∵S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，①
∴当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)a n －3(n －1)2－4(n －1)．② ①－②并整理得a n ＋1＝（2n －1）a n ＋6n ＋1
2n .
由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． 当n ＝1时，a 1＝2＋1＝3，命题成立； 假设当n ＝k 时，a k ＝2k ＋1命题成立． 则当n ＝k ＋1时，
a k ＋1＝（2k －1）a k ＋6k ＋12k ＝（2k －1）（2k ＋1）＋6k ＋12k
＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1， 即当n ＝k ＋1时，结论成立． 综上，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.
8．(2013·广东，19)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－1
3n 2－n －2
3，n ∈N *. (1)求a 2的值；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1
＋1a 2
＋…＋1a n
<7
4.
(1)解 依题意，2S 1＝a 2－13－1－2
3， 又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.
(2)解 由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－2
3n ，
当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－2
3(n －1)， 两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－2
3， 整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即
a n ＋1n ＋1
－a n n ＝1.又a 22－a 1
1＝1，
故数列{a n
n}是首项为
a1
1＝1，公差为1的等差数列，
所以a n
n＝1＋(n－1)×1＝n.
所以a n＝n2.
(3)证明当n＝1时，1
a1＝1<
7
4；
当n＝2时，1
a1＋
1
a2＝1＋
1
4＝
5
4<
7
4；
当n≥3时，1
a n＝
1
n2<
1
（n－1）n
＝
1
n－1
－
1
n，
此时1
a1＋
1
a2＋…＋
1
a n
＝1＋1
4＋
1
32＋
1
42＋…＋
1
n2
<1＋1
4＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2－
1
3＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
3－
1
4＋…＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
n－1
－
1
n
＝1＋1
4＋
1
2－
1
n＝
7
4－
1
n<
7
4.
综上，对一切正整数n，有1
a1＋
1
a2＋…＋
1
a n<
7
4.。