中考数学复习指导：数形结合的思想在函数章节的具体应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想是一种将数学与几何形状相结合的思维方式，通过观察几何形状的特点
和数学关系，来解决数学问题。
在初中数学教学中，数形结合思想可以应用于以下几个方面。
第一，在解决几何问题时，数形结合思想可以帮助学生理解几何形状的性质和关系。
在解决平面图形相关问题时，可以通过观察图形的对称性、边长比例、角度关系等来找到
解决问题的方法。
这样不仅可以提高学生对几何形状的理解，还能培养其观察和分析问题
的能力。
第四，在证明数学定理时，数形结合思想可以帮助学生通过观察几何图形的性质和数
学关系来理解和证明数学定理。
在证明三角形内角和为180度时，可以通过绘制三角形的
外接圆或内切圆来展示角度和边的关系，进而得出结论。
这样可以培养学生的逻辑思维和
证明能力，提高其对数学定理的理解和应用能力。
数形结合思想在初中数学教学中具有重要的应用价值。
通过将数学与几何形状相结合，可以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题的方法，培养其观察、分析、解决问题的能力，提高其数学学习的兴趣和自信心。
在教学过程中，教师应该灵活运用这种思维方式，
将抽象的数学知识与具体的几何形状相结合，创设适合学生的情境，激发学生的思维活力，使数学学习更加生动、实践、有意义。
数形结合思想在中学函数教学中应用
数形结合思想在中学函数教学中应用中学函数教学是中学数学教育中重要的内容，它涉及到函数的概念、特征和应用，以及函数的建立方法。
数形结合思想是近年来的一种流行的教学理念，它强调将数学和艺术、科学等课程进行有机的结合，以培养学生的独立思考能力和创新能力。
由于数形结合思的重要性和学生的学习需要，在中学函数教学中引入数形结合思想获得了广泛关注。
首先，数形结合思想可以帮助学生加深对函数基本概念的理解。
函数是数学领域中一个重要概念，由若干规律关系构成，一般来说，学生很难直接理解以及把握它的基本概念，而数形结合思想则可以帮助学生在实际的基础上较好的理解函数的概念，这样才能够建立起函数的概念。
其次，数形结合思想可以有效培养学生的观察能力。
函数解析的过程就是一个观察的过程，数形结合思想可以帮助学生获得一种视角，让学生能够从实际的现象中观察到函数的特征和建立方法，从而使学生能够更好的利用函数解决实际问题。
此外，数形结合思想还可以帮助学生培养逻辑思维能力。
函数可以用图形、表格、解析式等形式来表示，学生要学会运用多种表示方法，这需要积累大量的知识点，并熟练掌握运用，而数形结合思想可以帮助学生快速获得思维方式，有助于学生掌握函数表示方法以及推导，学生可以藉此思路来解决实际问题。
最后，数形结合思想可以增强学生学习数学的兴趣。
数学是一门理科课程，因其特殊性，使学生容易陷入兴趣低落、学习效率低下的境地，但数形结合思想却可以帮助学生把数学和其他艺术、科学等课程的内容相结合，使学生能够在趣味性的学习当中激发学习兴趣，培养学生独立思考的能力，进而发挥函数在实际中的应用价值。
综上所述，数形结合思想对于中学函数教学的意义重大，它可以帮助学生加深对函数概念的理解，增强学生的观察能力、逻辑思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生掌握函数的建立方法和解决实际问题的能力。
因此，中学函数教学中应当以数形结合法为理念，将学生的观察、理解和应用能力紧密结合起来，有助于提高学生的数学水平，有利于学生的自主学习能力的发展。
数形结合在中学函数中的应用
数形结合在中学函数中的应用一、数学思想方法的含义数学家和数学教育工作者从不同的角度论述了数学思想方法，其中最有影响力的是基于哲学的角度。
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。
数学思想比一般的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、丰富，而前者比后者更本质、深刻。
数学方法则是指在从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。
数学思想、观点、方法三者相互关联、密不可分：如果人们站在某个位置，从某个角度运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点；而对于数学方法来说，思想是其相应方法的精神实质和理论基础，方法则是践行某种思想的技术手段。
运用数学方法来解决问题都包含了数学思想，数学思想则通过方法来体现。
二、中学数学中常用的数学思想方法在中学数学教学体系中，一些重要、典型的数学思想方法较为常见，常用的有如下几种：转换化归的思想方法、函数与方程的思想方法、数形结合思想方法、极限思想方法。
其中，数形结合思想方法最为常用，下面将对数形结合思想方法进行简要说明。
三、数形结合思想方法1. 数形结合思想方法的涵义数形结合思想方法中的“数”可以广义地理解为数学文字表征，即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学性质、数学定理等概念和命题；相应地，“形”可以理解为图形表征，即实物、图象、图形、符号等。
数学问题中常常出现“数”和“形”的形态，两者为研究对象的不同侧面，通过数形结合可以将数学问题简单化、具体化，可以通过数量关系和图形性质之间的彼此转化或者综合起来分析、解决问题。
数形结合思想方法不仅对其所含的数学意义进行了分析，还揭示了其所蕴含的几何直观，实现了空间形式直观形象与数量关系精确刻画的有机结合。
2. 采用数形结合思想方法的意义“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。
数形结合思想在函数中的应用
数形结合思想在函数中的应用所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．本文以一次函数为例，说明它的几个应用．一、“形”到“数”的思想应用例1 小明同学骑自行车去效外春游，图1表示他离家的距离y （千米）与所用时间x （小时）之间的关系图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时时离家多远？（3）求小明出发多少时间距家12千米？解：（1）由图象知离家最远30千米需要3小时．（2）线段CD 的函数关系式为y =15x -15（2≤x ≤3），当x =2.5时，y =15×2.5－15＝22.5（千米）．所以小明出发2.5小时时，离家22.5千米．（3）小明距家12千米时应在OB 线段或EF 线段，线段OB 函数关系式为y =15x （0≤x ≤1），线段EF 函数关系式为y =-15x +90（4≤x ≤6）．当y =12时，有15x =12，-15x +90=12．解得45x =或265． 所以小明出发45小时，或265小时，离家12千米． 二、“数”到“形”的思想应用例2 某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）之间函数关系用图象表示是（ ）解：（B ）、（C ）显然不符合，比较（A ）和（D ），发现（A ）爬山高度超过3千米，所以选（D ）．三、数形结合思想应用例3 如图2，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y （千米）随时间x （分）的变化图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）求比赛开始多少分钟两人第一次相遇；（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇；解：（1）由图象知第一次相遇在AB 段且距出发地6千米．线段AB 的一次函数关系式为110(1533)93y x x =+≤≤．当110693x=+时，x=24（分）．第一次相遇时间为24分钟．（2）由（1）知，线段OD过点（24，6），所以OD的一次函数关系式为1(048)4y x x=≤≤．当x=48时，148124y=⨯=（千米）．所以比赛全程为12千米．（3）由图象知第二次相遇在BC段，线段BC的一次函数关系式为119(3343) 22y x x=-≤≤．线段BC与OD交点为方程组1411922y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，的解．解得3819.2xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以第二次相遇在第38分钟．数学家华罗庚说过：数形结合千般好，数形分离万事休．数形结合思想是一种重要思想方法，请同学们一定留意它在数学中的应用．。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想指的是通过观察数学问题中的形状或图形，利用几何关系来求解问题的
思考方法。
这种思考方法在初中数学解题中非常常见，能够帮助学生更加直观地理解问题，并且提供一种新的角度来解决问题。
数形结合思想的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
数形结合思想可以帮助我们理解平面图形的性质和关系。
在学习三角形知识时，我们
可以通过观察三角形的形状，找出其中的等边、等腰和直角等特点，并利用这些特点来解题。
当我们需要计算一个等边三角形的边长时，可以通过观察等边三角形的形状，发现其
中每个角都是60度，然后利用三角函数的关系来求解。
数形结合思想还可以帮助我们理解几何运动的特点。
在学习平移、旋转和对称的变换时，我们可以通过观察图形的特点，发现平移变换不改变长度和角度，旋转变换保持形状
不变等规律，并利用这些规律来解题。
当我们需要判断一个图形是否在平移、旋转或对称
后与原图形重合时，可以通过观察图形在平移、旋转或对称时的变化，来判断是否重合。
数形结合思想还可以帮助我们理解数学问题中的函数关系。
在学习函数的图像时，我
们可以通过观察函数图像的形状和特点，找出函数的增减性、奇偶性和周期性等性质，并
利用这些性质来解题。
当我们需要计算函数在一定区间内的最大值或最小值时，可以通过
观察函数图像的形状，并利用函数的增减性来判断最大值或最小值所在的位置。
数形结合思想在中学函数教学中应用
数形结合思想在中学函数教学中应用近年来，许多国家在发展中学适度数学课程时，函数的概念和应用都受到了很高的重视。
函数的概念和应用不仅是当今高等教育的重要素养，也是将来解决复杂科学问题的基础。
正是由于函数教学的重要性，提出了数形结合思想在中学教学中应用的课题，希望能够更好地把握函数教学方法，引导学生探索函数本质。
数形结合思想是一种数学思维方式，其本质是以素材为主线，将数学的数学概念、函数的定义、函数的性质和性质推导、函数的应用等总结起来，并且以形象、数学、图形化的方式进行综合展示，把理解函数过程变成理解概念思考过程。
它把计算与思维联系起来，通过计算形式解决实际问题，通过思维形式来把握函数的本质。
函数教学要实现数形结合思想，必须从学科的基础知识结构入手，以函数三大概念函数的定义、函数的性质与推导、函数的应用三大模块为基础，让学生深深体会函数的本质。
（1）以函数的定义为主线。
通过讲授函数的特性和性质，让学生充分掌握函数的定义，了解函数的定义范围，明确函数取值和实际意义，以函数的定义为基础，落实数形结合思想。
（2）以函数的性质及推导为主线。
教学中要引导学生熟悉函数的性质及推导，例如函数的奇偶性、凹凸性、最大最小值等，把握函数的性质及推导，以展示函数的特征，实现数形结合的思维。
（3）以函数的应用为主线。
教学中要注重函数的应用，引导学生从实际问题出发，把握函数的特点，把函数描述和解决实际问题联系起来，以形象、数学、图形化的方式全面展示函数的应用，实现数形结合思想。
在教学过程中，应注意不同学生在不同学习水平上所处的情况。
面对落后班，可通过回顾和强化训练把握函数的定义，强化数形结合思想的熟练运用；而面对较强的班级，可以在理解之后，要求学生运用数形结合思想来解决实际问题，提高函数的应用水平，深化函数的理解。
本文结合实践教育的实际，结合数形结合思想的实践要求，探讨了函数教学中数形结合思想的应用，从理论和实践两方面探讨了函数教学如何运用数形结合思想，使学生更好地把握函数本质。
数形结合思想在函数解题中的应用
数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。
高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。
解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。
寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。
这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。
充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。
总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。
本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。
2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。
如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。
我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。
（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。
初中数学教学中数形结合思想的应用分析
初中数学教学中数形结合思想的应用分析
一、数形结合思想的内涵
数形结合思想是数学教学中一种重要的思想，它指的是将数学中的数字和图形结合起来进行分析和推理，以求解数学问题。
它要求学生不仅要掌握数学的计算方法，而且要能够把数学的概念、定理和方法应用于实际问题中。
二、初中数学教学中数形结合思想的应用
1. 利用数学图形来进行数学解决问题。
在数学教学中，学生可以利用数学图形来解决问题，如通过图形可以更容易地确定函数的性质，求解几何问题，分析数学模型等。
2. 利用图形来解释数学概念。
利用图形来解释数学概念，可以更好地让学生理解数学概念，如可以利用图形来解释比例、比率、比值、百分比等概念，以及比例的性质等。
3. 利用图形来求解数学问题。
学生可以利用图形来求解数学问题，如通过图形可以更容易地求解几何问题，比较数学模型的优劣等。
4. 利用图形来理解数学模型。
学生可以利用图形来理解数学模型，如可以利用图形来理解线性函数、指数函数、双曲线等数学模型，以及它们的特性等。
三、结论
数形结合思想是初中数学教学中一种重要的思想，它要求学生不仅要掌握数学的计算方法，而且要能够把数学的概念、定理和方法应用于实际问题中。
中考数学复习指导：数形结合思想的应用
数形结合思想的应用数形结合的思想是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合；或是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，通过“以形助数”和“以数辅形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化．利用数形结合思想解题主要涉及两大类：(1)利用几何图形直观表示数，常借助数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形的问题，常需建立方程（组）或建立函数关系式等．本文选取几例，说明数形结合思想在解题中的应用，供参考．一、在数与式问题中的应用例1 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为_______．分析第一个图案为4个窗花＋1个窗花，第二个图案为6个窗花＋2个窗花，第三个图案为9个窗花＋2个窗花，…从而可以探究第n个图案所贴窗花数为(2n＋2)＋n＝3n ＋2个．点评将图形语言转化为解题所需的数据，以形想数，从而发现规律得出结果．二、在方程与不等式中的应用例2 已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是_______．分析解x－a≥a，得x≥2a；①解5－2x>1，得x<2．②因为该不等式组有解，由①、②得该不等式组解集为a≤x<2，如图2．用数轴表示为由图2，可得实数a的取值范围是－3 <a≤－2．点评借助数轴将代数问题转化为图形，利用图形更直观地观察出实数a的取值范围．例3 在直角坐标系中直接画出函数y＝的图象，若一次函数y＝kx＋b的图象分别过点A（－1，1），B(2，2)．请你依据这两个函数的图象写出方程组的解．分析由图象可知，方程的解为：或．点评通过作一次函数的图象，可以直观地确定出方程组的解．体会到方程组的解与图象上点的坐标密切关系，品味出数形结合思想的内在的魅力．三、在函数问题中的应用例4 某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图4中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录（如图5）提供的信息，解答下列问题：(1)求销售量x为多少时，销售利润为4万元；(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率那么，在OA，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）分析(1)根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4÷(5－4)＝4万升；(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.5－4＝1.5（万元），所以销售量为1.5÷(5.5－4)＝1（万升）．所以点B的坐标为(5，5.5)，得到线段AB所对应的函数关系式为y＝1.5x－2(4≤x≤5)．从15日到31日销售5万升，利润为1×1.5＋4×(5.5－4.5)＝5.5（万元），所以本月销售该油品的利润为5.5＋5.5＝11（万元），所以点C的坐标为(10，11)．则线段BC所对应的函数关系式为y＝1.1x(5≤x≤10)．(3)线段AB．点评在解决函数问题时，应注意观察函数图象的形状特征，理解图表中有用的信息，充分从函数图象中挖掘已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解．四、在概率统计中的应用例5 甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有3，4和5；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有6和7．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．(1)取出的3个小球上恰好有两个偶数的概率是多少？(2)取出的3个小球上全是奇数的概率是多少？分析根据题意，画出如图6的“树形图”：P(两个偶数)＝；P(三个奇数)＝．点评通过列树状图，可以清晰全面地反映出这种摸球方式的所有可能性，轻松地计算出摸球的概率．。
数形结合思想在二次函数问题中的应用探析
2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建 南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。
在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。
初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。
一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。
在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。
有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。
华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。
数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。
通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。
二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常 量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。
试述初三数学函数教学中数形结合的创新思想
试述初三数学函数教学中数形结合的创新思想初三数学函数教学中，数形结合是一种创新思想。
数形结合是指在教学中将数学中的概念和形象之间建立联系，通过形象化的表现形式来加深学生对数学概念的理解和记忆。
数形结合的创新思想在初三数学函数教学中具有重要意义，可以帮助学生更加直观地理解函数的概念，加深对函数的理解和应用能力。
下面我们将从数形结合的教学理念、数形结合的教学方法、数形结合在初三数学函数教学中的应用等几个方面展开阐述，以期为中学初三数学函数教学注入新的思维火花。
一、数形结合的教学理念数形结合的教学理念是以学生为中心，以数学概念为导向，通过适当的形象化表达方式，帮助学生更好地理解和记忆数学知识。
数形结合的教学理念注重通过形象和具体的例子来引导学生理解抽象的数学概念，使学生能够在具体的问题中找到数学的规律，将数学应用于日常生活中，激发学生对数学的兴趣和热情。
1. 利用图表解释数学概念在初三数学函数教学中，可以利用图表来解释数学概念，如函数的图像、函数的变化规律等。
通过具体的图表，学生可以更加直观地理解函数的概念和特点，加深对函数的认识。
通过绘制函数的图像，让学生感受到函数的增减性和周期性，帮助学生更好地理解函数的性质和特点。
2. 利用实物模型展示数学知识3. 利用计算机软件辅助教学利用计算机软件辅助教学也是一种数形结合的教学方法。
在初三数学函数教学中，可以利用计算机软件来展示函数的图像、动态变化等，让学生通过计算机屏幕上的图像来感受函数的变化规律，加深对函数图像和函数变化规律的理解。
1. 通过函数的图像引导学生理解函数2. 通过实际问题引导学生应用函数知识在初三数学函数教学中，可以通过教学中的实际问题来引导学生应用函数知识。
通过引导学生分析实际问题，建立函数模型，用函数来描述实际问题的变化规律，让学生在实践中感受函数的应用，加深对函数的理解和应用能力。
3. 通过实物模型展示函数的动态变化。
数形结合思想在函数问题中的应用
《数形结合思想在函数问题中的应用》教学设计一、教学设计的背景在整个中学数学教学中, 数形结合思想是一种比较一般而又十分重要的思想方法。
数形结合思想：就是把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，是抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。
数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终。
数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：①以数解形：建立适当的代数模解决有关几何的问题型。
②以形助数：建立几何模型(或函数图象)解决有关方程和函数的问题。
③数形结合：与函数有关的代数、几何综合性问题。
④以图象形式呈现信息的应用性问题。
（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
数形结合贯穿于整个初中的数学教学，应用广泛。
本节课，把数形结合思想主要应用于函数问题上。
二、教学目标：1、知识目标1）理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图像的性质．2）了解数形结合在解决数学问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．2、能力目标1）学会以数解形、以形助数、数形结合思想进行数学思考和解决问题，培养用数形结合的思想解决问题的意识．掌握将代数问题转化为几何问题、几何问题转化为代数问题的技巧．2）通过运用数形结合的思想解题，培养学生的观察能力、分析归纳能力，领会数形结合转化问题的思想方法．3、情感目标通过本节课的学习，提高学生分析问题和解决问题的能力．培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．渗透理论联系实际、从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．三、教学重、难点重点：以数解形、以形助数、数形结合。
难点：在函数解析式与图像的结合点上去找出解题思路：如何以数思形、以形思数，从而达到数形结合、解决问题的目的。
四、教学方法纵观整个初中阶段的数学教学，数学思想方总是隐含其中、是在逐步渗透着的，进入中考复习第二轮时必须进行系统的介绍、运用，结合九年级学生的知识和技能的掌握情况及其心理特征，本节课拟采用引导发现探索法，教师适当引导，学生自主探索、合作交流。
数形结合思想在函数中的应用
数形结合思想在函数中的应用（江苏省泰州市海军中学杨金宝 225300）数形结合是数学研究的重要方法之一，是转化的数学思想的重要体现。
数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方面，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。
本文从两方面探讨数形结合思想在初中数学中的应用。
（一）数形结合的简介中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
（二）函数数形结合的应用1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。
不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。
例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。
假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。
请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。
初中数学教学中数形结合思想的应用
初中数学教学中数形结合思想的应用
数形结合思想是指将数学问题与几何图形相结合，通过几何图形的形状、大小和运动等特点来解决数学问题的思维方法。
它能够帮助学生更深入地理解数学概念，提高解题能力和抽象思维能力。
在初中数学教学中，数形结合思想的应用主要体现在以下几个方面。
一、图形的利用
数形结合思想的一个重要应用是通过绘制图形来解决问题。
在代数方程的求解中，绘制方程所表示的曲线能够帮助学生更直观地理解方程的解和方程的根的数量。
在解决几何问题时，通过绘制图形能够帮助学生更好地理解几何概念和关系，从而更好地解决问题。
二、图形的推演
数形结合思想还可以通过图形的形状和运动来推演出一些数学关系和结论。
在等腰三角形的问题中，可以通过图形的对称性来推演出等腰三角形两边、两角的大小关系。
在二次函数的图像问题中，可以通过图像的形状和方向来推演出函数的开口方向、顶点坐标等。
三、图形的划分
在一些面积和体积的求解问题中，数形结合思想可以通过图形的划分来简化问题。
在计算复杂图形的面积时，可以将其划分为几个简单的图形，分别计算出每个简单图形的面积，最后将它们相加。
这种划分方法既能够简化计算，又能够让学生更好地理解复杂图形的面积计算方法。
数形结合思想还可以通过图形的应用来解决实际问题。
在物体运动的问题中，可以绘制物体的运动图像，从而更好地理解和分析物体的运动规律。
在概率和统计问题中，可以通过绘制频率分布直方图和折线图等图形，来更直观地理解和分析数据的分布和变化。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用
（1）函数概念：
函数是数学中最重要的概念之一，它是一种简单而有效的方法，用来
描述两个定义域的关系。
函数是一种方程，其中至少有一个自变量，
这些自变量是函数的定义域，即变量的集合，而函数的图像是函数的
值域，即所有可能函数价值的集合。
（2）函数形结合思想在初中数学中的应用：
（a）求解函数关系。
初中数学学习中，学生需要学习如何利用函数解题，通过函数的处理来求解函数的关系，解决给定的一些函数问题。
（b）函数分析。
初中学生也要学习如何分析函数，学会用相应的方法
去探究某个函数的特性，比如定义域、值域、奇偶性、增加减少性等，以及如何绘制函数的图形，比如跳跃图和几何图像等。
（c）函数应用。
学习初中数学中还要学习如何使用函数解决实际问题，比如将时间、路程及功率之间的关系用函数表示出来，这就需要对函
数的性质有很好的了解。
（d）函数的极值分析。
函数方面还可以学习求函数的极大值和极小值，及求函数的拐点等，学会在实际应用中如何有效利用函数已达到目的，比如求抛物线最高点、贝塞尔曲线间最短距离等。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过数学和几何图形相结合来进行问题的分析和解决的一种思维方式。
在初中数学中，数形结合思想被广泛应用于解题和证明过程中，有助于学生理解和掌握数学概念，培养其数学思维能力和创造力。
以下是数形结合思想在初中数学中的应用。
一、解决几何问题通过数形结合思想可以解决许多几何问题，如证明等腰三角形的性质、证明角的平分线相交于顶点角平分线等。
通过画图观察，能够使问题的分析和解决更加直观和容易。
对于一个等腰三角形，我们可以通过画图观察来证明其性质。
我们画出一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
然后，我们在等腰三角形中找出一些特殊点，如重心、垂心等。
通过观察，我们发现等腰三角形的重心和垂心的位置，以及它们与三角形顶点的连线之间的关系，可以帮助我们证明等腰三角形的性质。
这个过程中，数学和几何图形相结合，既需要运用数学知识，又需要观察和想象能力，培养了学生的思维灵活性和创造力。
二、解决平面几何问题平面几何是初中数学中一个重要的内容，通过数形结合思想，可以帮助学生解决平面几何问题，如平行线的性质、相似三角形的性质等。
通过画图观察和推理，可以帮助学生理解和巩固这些数学概念。
对于平行线的性质，我们可以通过数形结合思想来解决问题。
我们画出两条平行线，然后引入一个横切线。
通过观察，我们发现两条平行线上对应的内角和外角是相等的，同时我们可以看到内、外角和横切线之间的关系。
这样，我们可以通过画图观察的方式，对平行线的性质进行分析和证明，加深学生对这个概念的理解。
三、解决函数与图像问题在函数与图像的学习中，数形结合思想也被广泛应用。
通过画出函数的图像，可以帮助学生理解函数的性质，如单调性、奇偶性等。
对于一个函数的单调性，可以通过数形结合思想来进行分析。
我们画出该函数的图像，然后观察函数的变化趋势。
通过观察，我们可以发现函数在某个区间上是单调递增或单调递减的，可以通过数学和几何图形相结合的方式来理解和证明函数的单调性。
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用随着数学教学理念的不断发展和完善，数学教育越来越注重培养学生的综合能力和解决问题的能力。
数形结合思想作为数学教学中的一种重要思维方式，已经成为了现代数学教学的重要内容之一。
数形结合思想在初中数学教学中的应用，不仅能够拓展学生的数学思维，还能够通过直观形象的几何图形引发学生的兴趣，提高学生对数学的学习积极性，本文将从数形结合的概念、作用和在初中数学教学中的具体应用等方面进行论述。
一、数形结合思想的概念数形结合思想是指把数和图形结合起来进行研究的思维方式。
它强调数学概念和几何形象的结合，通过数学概念的抽象和几何形象的具体化，使数学问题更直观、更形象，让学生更容易理解和掌握数学知识。
数形结合思想的本质是抽象和具体的有机结合，这种结合不仅有助于学生对数学知识的理解和掌握，还可以帮助学生提高数学问题的解决能力。
1. 丰富数学思维数形结合思想能够帮助学生从不同的角度去理解和解决数学问题，拓展学生的数学思维，培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力、审美能力等综合素质。
2. 提高学习兴趣通过简单的数学概念和直观形象的几何图形结合，使抽象的数字概念更加具体化，更容易让学生理解和接受，从而提高学生对数学的学习兴趣，增强他们的学习信心。
3. 增强解决问题的能力数形结合思想可以使学生在解决数学问题时，通过图形的直观表达和运算的逻辑推理，更容易找到解题的思路和方法，培养学生的问题意识和解决问题的能力。
1. 教学目标的设置在初中数学教学中，可以通过数形结合思想设置一些既有利于学生对数学知识的深刻理解，又有利于学生发展数学思维的教学目标。
可以通过数形结合的方法教授求平方根的简便方法、二次函数图像的性质等。
2. 教学内容的设计在初中数学教学中，可以通过数形结合思想设计一些具有启发性的教学内容。
在教学有理数的加减运算时，可以通过几何图形的方式引导学生理解有理数的加减法则，从而使学生更好地理解和掌握有理数的加减运算。
数形结合法在解答函数问题中的应用
探索探索与与研研究究数形结合法是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，从而实现解题的目的的思想方法．函数图象是由函数在平面上的点的集合构成的曲线.因而函数的解析式和图象是呈一一对应的关系,在一定的条件下,它们是可以相互转化的．在解答函数问题时，我们不妨绘制出函数图象，运用数形结合思想来解题,这样能使复杂问题简单化，抽象问题具体化.运用数形结合思想来解答函数问题的基本步骤是:1.结合函数的解析式绘制出相应的函数图象;2.明确函数图象的性质、特点，尤其要关注函数图象的对称轴、最值点、零点以及单调性，3.联系所要求解（求证）的目标，借助函数图象来分析问题，求得结果.例1.定义max {}a ,b ={a ,a ≥b ，b ,a <b .已知f (x )=max{||x +1+1,2x },g ()x =ax +b .若f (x )≤g ()x 对任意x ≥1恒成立，则2a +b 的最小值是．解析：解答本题，要先求得f (x )的最大值.若采用代数方法求解，需要通过分类讨论来比较||x +1+1与2x 的大小，而借助函数的图象可以直接比较出||x +1+1与2x 的大小，因此本题需采用数形结合思想来解题.解：根据题意画出f (x )=max {}||x +1+1,2x 的图象，如图1所示.要使f (x )≤g ()x 对x ≥1恒成立，只需使g （x ）恒大于f （x ）的最大值即可.由图1可知，当a ≥2时,a ×1+b ≥||1+1+1=3，即a ≥2,a +b ≥3，所以2a +b =a +()a +b ≥2+3=5，即所求的最小值为5.在求含参函数的值域问题时，若用代数方法求解较为复杂，我们不妨将数形结合起来，绘制出相应的函数图象，通过分析函数图象的最值和曲线的变化情况，来建立新的关系式，便可求得参数的取值范围.图1图2图3例2.已知函数f ()x =ìíî2x +1,x ≤0,||lg x ,x >0,若关于x 的方程f 2()x -af ()x +2=0恰有6个不相同的实数解，则a 的取值范围是．解析:本题中的函数是复合函数，直接求解很难，我们需借助函数f (x )的图象，运用数形结合思想来解题.首先将问题转化，令f （x ）=t ，则方程f 2()x -af ()x +2=0恰有6个不相同的实数解,等价于方程t 2-at +2=0在(]1,2上有两个不同的解,然后根据函数的解析式画出函数f （x ）的图象，根据一元二次方程根的分布情况建立关系式，即可求得a 的取值范围.解：令f （x ）=t ，由f 2()x -af ()x +2=0可得t 2-at +2=0，要使方程f 2()x -af ()x +2=0恰有6个不相同的实数解，只需使g （t ）=t 2-at +2=0在（0,2）上有两个解.绘制出函数f （x ）的图象，如图2所示，由图可得ìíîïïïïïïïïg （a 2)<0,0<a 2≤2,g （0)>0,g （2)≥0,解得ìíîïïa <-22或a >22,0<a ≤4,a ≥3,所以22<a ≤3.例3.已知f ()x =||2x -2,若a ≠b ,且f ()a =f ()b =m ,求m 以及a +b 的取值范围.解：作出y =f ()x 的图象，如图3所示.不妨设a <b ，显然函数f ()x 与y =m 的图象有两个交点，所以0<m <2.若a ≠b ,且f (a )=f (b ),则f ()a =2-2a ,f ()b =2b -2,而f ()a =f ()b ，所以2-2a =2b -2，即2a +2b =4，所以4=2a +2b ≥22a ∙2b =22a +b ,即2a +b ≤4，所以a +b ≤2.又因为a ≠b ，所以a +b <2．本题若采用代数方法，通过分类讨论来解题，较为复杂，我们通过绘制函数f ()x 的图象，利用分段函数图象的性质，直观地建立了a ，b 的关系，只要把所求的范围看作求函数的值域问题来求解即可．数形结合思想在解答函数问题中发挥着非常重要的作用，尤其是在解答函数最值、零点、单调性等问题时，将数形结合，可以很容易找到解答问题的突破口和思路.运用数形结合思想解题，能通过图象直观地感知函数的变化趋势，进而得到满足题意的关系式，从而快速解题.这样能有效避免复杂的推理和计算，少走弯路.（作者单位：许辉煌，福建省德化第一中学；指导老师：赖玉枝）56Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
数形结合思想在初中数学教学中的妙用
数形结合思想在初中数学教学中的妙用一、数形结合思想的内涵数形结合思想是指将数学中的概念、定理和方法与几何图形相结合，通过图形的直观性和形象性来帮助学生理解和掌握数学知识。
数形结合思想通过几何图形向学生展示数学概念和问题，使抽象的数学概念变得直观、形象，使学生更容易理解和接受。
数形结合思想也可以通过数学知识指导几何图形的构造和变换，为学生提供了一种新的思维方式和解题方法。
1. 教学引入在初中数学教学中，可以通过数形结合思想来引入一些数学概念和定理，例如数学中的平方根概念可以通过正方形的边长和对角线的关系进行引入，让学生通过几何图形来理解平方根的含义和计算方法。
又初中的三角形面积公式可以通过将三角形分解成其他几何图形进行引入，让学生从几何图形的角度去理解三角形面积的计算方法。
通过数形结合思想的引入，可以使学生对数学概念有更直观的认识，更容易理解和掌握。
2. 解题方法在解决数学问题时，数形结合思想可以为学生提供一种新的解题方法。
在解决一些代数方程和不等式问题时，可以通过几何图形的绘制来帮助学生理解和解决问题。
又在解决一些几何证明题时，可以通过引入一些数学概念和定理来辅助几何图形的构造和推理，从而使学生更容易理解和掌握证明方法。
数形结合思想的应用，可以帮助学生拓宽解题思路，培养他们的逻辑思维能力和空间想象能力。
3. 模型构建数形结合思想也可以在数学建模中发挥重要作用。
在初中数学教学中，可以通过构建几何模型来引导学生解决一些实际问题，例如通过平行四边形的面积来分析一些实际生活中的最优化问题，或者通过圆的几何性质来分析一些实际生活中的轨迹问题。
通过数形结合思想的应用，可以帮助学生将抽象的数学知识与实际问题相结合，培养他们的应用能力和创新思维。
数形结合思想在初中数学教学中的应用，能够激发学生对数学的兴趣，提高他们的学习积极性。
通过几何图形的直观性和形象性，可以帮助学生更容易地理解和掌握数学知识，提高他们的学习效果。
浅析数形结合思想在初中函数教学中的运用
浅析数形结合思想在初中函数教学中的运用摘要：函数是初中数学极为重要的内容，更是初中数学教学的重点与难点。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
有鉴于此，笔者从初中数学函数分析、数形结合思想概述入手，探讨了数形结合思想在初中数学一次函数、二次函数、锐角三角函数以及综合问题中的运用。
关键词：初中数学；数形结合；函数函数是初中数学教学的重要内容，其抽象和复杂的特点，使之成为初中数学最大的难题。
对于初中生来说，他们正处于成长发育的关键阶段，智力发育尚不成熟，逻辑推理能力和抽象思维能力都还未完善，导致出现“教师教学困难，学生学习困难”的困境。
一、初中数学函数及数形结合思想概述（一）初中数学函数问题函数是数学领域中的一种关系，是通过一种数理关系确定两种元素的联系，从而使每一个输入值都有一个不同的输出值，从而形成一种对应关系。
在函数的表示中，一般用表示输入值，然后用表示输出值。
简而言之，初中数学的函数问题包含了一次函数、二次函数、反比例函数、锐角三角函数几部分的内容。
这些数学知识不仅是解决所有函数问题的开端，也是今后学生进行函数学习的基础；大而言之，函数贯穿了整个中学的数学教学与学习，具体内容涵盖了七年级的方程、整式、平面直角坐标系等知识，八年级的一次函数，九年级的二次函数和反比例函数，再到后来的锐角三角函数。
其中，最为关键的还是函数基础知识的学习。
如果基础知识掌握得不扎实，则势必会导致后来的教学难以为继。
就二次函数而言，就包含了图象及其性质、、对称轴、顶点、图形变换等等，许多初中学生“谈‘函数’而色变”的说法一点儿也不为过。
新课标对初中数学提出了更高的标准，要求初中教师要注重对学生数学综合能力的培养，因而提高初中函数教学的能力目标更是迫在眉睫。
（二）数形结合思想概述所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
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（1）船只从码头 A→B，航行的时间为_________小时、航行速度为_________千米／小 时； 船只从码头 B→A，航行的时间为_________小时、航行速度为___________千米／小时； （2）过点 C 作 CH∥t 轴，分别交 AD、DF 于点 G、H，设 AC＝x，GH＝y，求出 y 与 x 之 间的函数关系式； （3）若拍摄中心 C 设在离 A 码头 25 千米处，摄制组在拍摄中心 C 分两组行动，一组乘 橡皮艇漂流而下，另一组乘船到达码头 B 后，立即返回。 ①求船只往返 C、B 两处所用的时间； ②两组在途中相遇，求相遇时船只离拍摄中心 C 有多远？
s甲 = 6 ，所以乙到达山顶时，甲离山脚的距离是 6 千米。
解法二：乙同学在一小时内走了 2 千米，距离山顶还有 2 千米时，需要 1 小时可以到 达山顶，由题意可得，乙走了 0.5 千米与甲相遇，用时为： 0.5 1 = （小时） ， 2 4 3 到山顶还需要 小时，可以求出甲下山的速度为： 4 1 1.5 ÷ = 6 （千米/小时） 。 4 所以乙到达山顶时，甲离山脚的距离为 3 12 − 1.5 + 6 × = 6 （千米） （相比之下方法二更简单，读懂图象是解决问题的关系） 。 4 注意：这类型的题目，要读懂图象，数形结合，再结合行程问题中的相遇追及问题，便 可迎刃而解，这是解决这类题目的关键。 例 5 为宣传秀山丽水，在“丽水文化摄影节”前夕，丽水电视台摄制组乘船往返于丽 水 A 青田 B 两码头，在 A、B 间设立拍摄中心 C，拍摄沿江岸的景色。往返过程中，船在 C、 B 处均不停留，离开码头 A、B 的距离 s（千米）与航行的时间 t（小时）之间的函数关系如 图所示。根据图象提供的信息，解决下列问题：
由题意可知道，甲与乙在点 B 处相遇，此时点 B 与山顶距离为 1.5 千米，所以 B 点的 纵坐标为 3 21 12 − = . 2 2 21 代入 s乙 = 2t ，得 t = ， 4 21 21 即 B , ，所以直线 DB 的解析式为 4 2 s甲 = −6 t + 42 ， 由 s乙 = 2t 当 s乙 = 12 时，t＝6，把 t＝6 代入 s甲 = −6 t + 42,
初中数学结合函数图象解决 初中数学结合函数图象解决“ 结合函数图象解决“行程问题” 行程问题”
——数形结合的思想在函数章节的具体应用 函数章节，是学生学习的难点，也是重点内容之一。有了函数的思想好多中考中的实际 问题便能迎刃而解。学函数要掌握好函数的图像和性质，并能利用函数图像，解决实际应用 问题，真正的体会到数形结合在函数章节的具体应用。下面剖析几个实例，让同学们清楚地 认识到这一点。 例 1 已知：如图 1，A、B 两地相距 4 千米，上午 8：00，甲从 A 地出发步行到 B 地，8： 20 乙从 B 地出发骑自行车到 A 地，甲、乙两人离 A 地的距离（千米）与所用的时间（分） 之间的关系如图所示。由图中的信息可知，乙到达 A 地的时间为（ ） A. 8：30 B. 8：35 C. 8：40 D. 8：45
A. 2.5 米 B. 2 米 C. 1.5 米 D. 1 米 点拨：从图上分析可知，甲、乙相距 12 米，甲速度快，经过了 8 秒，甲追赶上了乙， 两个人相遇。就可以得到：8 秒甲比乙多走了 12 米，即每秒多走 1.5 米。 正确答案选 C。
例 3 图中的图象（折线 ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离 出发地的距离 s（千米）和行驶时间 t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给 出下列说法：①汽车共行驶了 120 千米；②汽车在行驶途中停了 0.5 小时；③汽车在这个行 80 千米/小时； ④汽车自出发后 3~4.5 小时之间行驶的速度在逐渐减 驶过程中的平均速度为 3 少。其中正确的说法有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
点拨：结合题意，甲、乙两人离 A 地的距离（千米）与所用的时间（分）之间的关系 如图所示，可以推出：从原点出发的这条线段是甲的图象，另一条是乙的图象。 容易求得甲的解析式为： 1 y = x, 15 当 y = 2 时， x = 30 ， 从而求出乙的速度为： 2 = 0.2 （千米/分） ， 30 − 20 4 则乙到达 A 地的时间为： = 20 （分） ， 0. 2 故选 C。 例 2 如图 2，OA、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中 s 和 t 分别 表示运动路程和时间，根据图象快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
（1）分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程 s（千米）与时间 t（时）的函数关系 式（不要求写出自变量的取值范围） （2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点 A 处，求 A 点距山顶的距离； （3）在（2）的条件下，设乙同学从 A 处继续登山，甲同学到达山顶后休息 1 小时，沿 原路下山；在点 B 处与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相遇，此时点 B 与山顶距离为 1.5 千米，相遇后甲、乙各自按原来 的路线下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？ 点拨： （1） s甲 = 3t, s乙 = 2 t 。 （2）当甲到达山顶时，走了 12 千米，当 s甲 = 12 时，代入 s甲 = 3t ，可得 t = 4 ，此时 乙距离山顶： 12 − 2 × 4 = 4 （千米） ， 即 A 点距山顶的距离为 4 千米。 （3）解法一：乙同学在一小时内走了 2 千米，距离山顶还有 2 千米时，甲同学下山， 可以求出点 D 的坐标为（5，12） 。
点拨：从图象看出，汽车往返于 120 千米的两地，去时停留了 0.5 小时，共用了 3 个小 时，回来用了 1.5 小时，所以汽车一共行驶了 240 千米；汽车在行驶途中停了 0.5 小时；汽 240 160 车在这个行驶过程中的平均速度为 = （千米/小时） ；车自出发后 3~4.5 小时之间行 4.5 3 120 = 80 （千米/小时） 。故选 A。 驶的平均速度为 1.5 例 4 甲、乙两名同学进行登山比赛，图表示甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚 出发到达山顶过程中， 各自行进的路程随时间变化的图象， 根据图象的有关数据回答下列问 题：