工程力学9章—弯曲变形

d2 y M (x) =− 2 dx EI z
由上式进行积分， 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和和挠度。 和和挠度。
12
目录
§9-3 用积分法求梁的变形
挠曲线的近似微分方程为： 挠曲线的近似微分方程为：
d2y M (x) =− 2 dx EI z
d2 y EI z 2 = −M (x) dx
FAx = 0, FAy = Fb Fa , FBy = l l
A
θA
D
C
B
θB x
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
a
b
Fb M( x1 ) = FAy x1 = x1 ,0 ≤ x1 ≤ a l CB 段： Fb M( x2 ) = FAy x2 − F( x2 − a) = x2 − F( x2 − a), l
目录
15
§9-3 用积分法求梁的变形
4）由位移边界条件确定积分常数
代入求解
5）确定转角方程和挠度方程
x = 0, θ A = 0 x = 0, yA = 0 1 2 1 3 C = Fl , D = − Fl 2 6
A
x
l
yB
F B
θB
x
1 1 2 2 EIθ = − F(x − l ) + Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIy = − F(x − l) + Fl x − Fl 6 2 6
dy 挠度转角关系为： 挠度转角关系为： θ ≈ tanθ = dx
7-2
6
目录
§9-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念 1.基本概念
y = y(x)
dy ′ θ ≈ tan θ = = y(x) dx
求梁的位移， 求梁的位移，关键是得到挠 曲线方程。 曲线方程。
7
§9-2 挠曲线的近似微分方程
述
5
目录
§9-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念 1.基本概念
y
θ 转角
挠度 挠曲线
挠曲线方程： 挠曲线方程：
y = y(x)
挠度y：截面形心 在y方向的位移
y
x
x
θ 截面绕中性轴转过的角度。 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针转向为正
由于小变形， 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
积分一次得转角方程为： 积分一次得转角方程为：
dy = EI zθ = −∫ M ( x)dx + C EI z dx
再积分一次得挠度方程为： 再积分一次得挠度方程为：
EI z y = −∫∫ M ( x)dxdx + Cx + D
13 7-3
目录
§9-3 用积分法求梁的变形
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
i =1 i =1
23
n
i =1 n
目录
§9-4 用叠加法求梁的变形
故
y'' = (∑ yi )''
i =1 n
由于梁的边界条件不变， 由于梁的边界条件不变，因此
y = ∑ yi
i =1
n
θ = ∑θi ,
i =1
n
重要结论： 重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理 计算弯曲变形的叠加原理。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
yC2 yC3
5ql 4 yC1 = − 384EI
ql 4 yC2 = − 48EI ql 4 yC3 = 16EI
目录
ql 3 θB1 = 24EI ql 3 θB1 = 16EI ql 3 θB3 = − 3EI
25
§9-4 用叠加法求梁的变形
应用叠加法， 3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
27
yC
目录
§9-4 用叠加法求梁的变形
yC
2）再将处理后的梁分解为简单 载荷作用的情形， 载荷作用的情形，计算各自C截 面的挠度和转角。 面的挠度和转角。
ql 3 ql 4 yC1 = − , θC1 = − 8EI 6EI l ql 3 yC 2 = yB2 +θB2 × θC 2 = 2 48EI ql 4 ql 3 l = + × , 128EI 48EI 2
略去高阶小量， 略去高阶小量，得
d2 y =± 2 ρ dx 1
d 2 y M( x) 所以 ± = 2 dx EIz
9
目录
§9-2 挠曲线的近似微分方程
y
d y M( x) ± 2 = dx EIz
在图示坐标系中， 在图示坐标系中， 弯矩总与 d y 同; 0
M (x) > 0
yC1
3）将结果叠加
yB2
yC 2
41ql 4 yC = ∑ yCi = − 384EI i =1
2
7ql 3 θC = ∑θCi = − 48EI i =1
D
C
B
θB x
FBy
FAy x1
ymax
x2
a
b
Fb 2 F Fb 2 2 2 EIθ2 = − x2 + (x2 − a) + (l − b ) 2l 2 6l Fb 3 F Fb 2 2 3 EIy2 = − x2 + (x2 − a) + (l − b )x2 6l 6 6l
20
目录
§9-3 用积分法求梁的变形
dy dx 2 > 0 O
y M (x) < 0
2
x
M (x) < 0
dy dx 2 < 0 O
2
x
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§9-2 挠曲线的近似微分方程
d y M( x) ± 2 = dx EIz
y
2
O M (x) > 0 M (x) > 0
x
dy dx 2 < 0
2
在图示坐标系中， 在图示坐标系中，
d 2 y 异号 弯矩总与 2 dx
O M (x) < 0 M (x) < 0
x
y
dy dx 2 > 0
2
11
§9-2 挠曲线的近似微分方程
由上可知：由弯矩的正负号规定可得，弯矩的 由上可知：由弯矩的正负号规定可得， 符号与挠曲线的二阶导数符号与采用的坐标系有关， 符号与挠曲线的二阶导数符号与采用的坐标系有关， 采用与教材一致的规定， 坐标向下为正， 采用与教材一致的规定，取Y坐标向下为正，则挠曲 线的近似微分方程为： 线的近似微分方程为：
2.挠曲线的近似微分方程 2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到： 推导弯曲正应力时，得到：
1 M = ρ EIz
ρ
忽略剪力对变形的影响
1 M( x) = ρ( x) EIz
8
目录
§9-2 挠曲线的近似微分方程
由数学知识可知： 由数学知识可知：
d2 y 2 1 dx =± ρ dy 2 3 [1 + ( ) ] dx
21
§9-3 用积分法求梁的变形
讨
论
积分法求变形有什么优缺点？ 积分法求变形有什么优缺点？
22
目录
§9-4 用叠加法求梁的变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 个载荷同时作用， 则有： 为M(x)，转角为 θ ，挠度为y，则有：
d2 y EI 2 = EIy'' = M( x) dx
目录
a ≤ x2 ≤ l
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§9-3 用积分法求梁的变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分 AC 段： 0 ≤ x1 ≤ a
F
A
θA
d 2 y1 Fb EI 2 = −M (x1) = − x1 dx1 l dy1 Fb 2 EI = EIθ (x1) = − x1 + C1 dx1 2l
D
C
B
θB x
FAx = 0, FAy = F(↑), MA = Fl( ↑
A
)
x
l
yB
F B
θB
x
M( x) = −F(l − x) = F( x − l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分
d2y EI 2 = −M (x) = −F(x − l) dx dy 1 积分一次 EI = EIθ = − F(x − l)2 + C dx 2 1 再积分一次 EIy = − F(x − l)3 + Cx + D 6
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目录
§9-4 用叠加法求梁的变形
已知： 例4 已知：悬臂梁受力如图 均为已知。 示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC和转角θC 解 1）首先，将梁上的载荷变成 首先， 有表可查的情形 为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果， 布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长， 布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效 果，在AB 段还需再加上集 度相同、 度相同、方向相反的均布载 荷。
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩 个载荷单独作用， 则有： 为 Mi (x) ，转角为 θi ，挠度为 yi ，则有：
EIy''i = Mi (x)
由弯矩的叠加原理知： 由弯矩的叠加原理知： Mi ( x) = M( x) ∑ 所以， 所以，
7-4
n
EI ∑ y''i = EI(∑ yi )'' = M( x)