第12章 常微分方程与差分方程 §1 基本概念
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展,人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法,如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量,提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种,如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种,其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来,转化为多个简单的微分方程,然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子,将原方 程转化为易于求解的形式。此外,参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法,它通过将参数引入到 原方程中,使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同,常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程,其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程,其中y'表 示y对x的导数。此外,根据是否含有线性 项和非线性项,常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型,通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似,但时间变量是离 散的,而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程,如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程(Ordinary Differential Equations, ODE)是数学中的一个重要概念,广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
本文将对常微分方程的基本概念进行讨论,并介绍其解法和应用。
一、概述常微分方程是关于未知函数及其导数的方程,通常用x表示自变量,y表示因变量,y'表示y关于x的导数。
常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程,一阶常微分方程中只涉及一阶导数,而二阶常微分方程则涉及二阶导数。
一阶常微分方程可以写成如下形式: F(x, y, y') = 0二、解法常微分方程的解法可以分为解析解和数值解两种方法。
1. 解析解解析解是指能够用解析函数表示的常微分方程的解。
解析解的求解需要运用数学分析方法,常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
一些简单的常微分方程,如y'=x,y''+y=0等,可以直接得到解析解。
2. 数值解数值解是指使用数值计算方法求解常微分方程的近似解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法将连续的微分方程转化为离散的差分方程,并通过迭代求解逼近真实解。
数值解适用于无法得到解析解或解析解过于复杂的情况。
三、应用常微分方程在各个学科中都有广泛的应用,下面介绍几个典型的应用领域。
1. 物理学常微分方程在物理学中有重要应用,可以描述运动学、动力学、场论等。
例如,牛顿第二定律F=ma可以转化为二阶常微分方程。
常微分方程在天体力学、电动力学、流体力学等领域起着关键作用。
2. 工程学常微分方程在工程学中的应用十分广泛,例如弹簧振子的自由振动、电路中的RLC系统等都可以用常微分方程进行建模和求解。
工程学中的常微分方程解法通常需要结合实际问题进行求解和分析。
3. 生物学生物学中许多现象都可以用常微分方程进行建模和解释。
如生物种群的增长与衰减、化学反应动力学等都与常微分方程密切相关。
常微分方程基本概念
常微分方程基本概念常微分方程(Ordinary Differential Equations,简称ODE)是数学分析中的一个重要分支,研究的是一元函数的导数与自变量之间的关系。
它在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念和相关知识。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。
一般形式可以表示为:dy/dx = f(x, y)其中,y是未知函数,x是自变量,f(x, y)是已知函数。
二、常微分方程的阶数常微分方程根据未知函数的最高阶导数的阶数不同,可以分为一阶、二阶、高阶等不同阶数的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指含有一阶导数的方程。
一般形式可以表示为:dy/dx = f(x, y)例如,y' = 2x + 1就是一个一阶微分方程,其中y'表示y对x的一阶导数。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指含有二阶导数的方程。
一般形式可以表示为:d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)例如,y'' + y = 0就是一个二阶微分方程,其中y''表示y对x的二阶导数。
三、常微分方程的初值问题和边值问题常微分方程除了描述函数的导数与自变量之间的关系外,还可以给出一些初始条件或边界条件,从而确定唯一的解。
1. 初值问题初值问题是指在微分方程中给出了函数在某一点的初值条件,要求求解出满足该条件的解。
一般形式可以表示为:dy/dx = f(x, y),y(x₀) = y₀其中,y(x₀) = y₀表示在点(x₀, y₀)处给定了函数的初始值条件。
2. 边值问题边值问题是指在微分方程中给出了函数在多个点的边界条件,要求求解出满足这些条件的解。
一般形式可以表示为:dy/dx = f(x, y),y(a) = y_a,y(b) = y_b其中,y(a) = y_a和y(b) = y_b表示在点(a, y_a)和(b, y_b)处给定了函数的边界条件。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程(Ordinary Differential Equations, ODEs)是数学中的一个重要分支,用来研究包含未知函数及其导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等学科中有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念,包括一阶和二阶微分方程、初值问题以及常见的解析解方法。
一、一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只出现一阶的微分方程。
一般形式可以表示为:\[\frac{{dy}}{{dx}} = f(x, y)\]其中,y是未知函数,f(x, y)是已知的函数。
一阶微分方程的解是函数y(x),使得方程对于所有的x成立。
为了求解一阶微分方程,我们可以使用分离变量法、恰当方程法或者线性方程法等解析解方法。
分离变量法要求将未知函数y与自变量x 的项分开,并进行适当变换,使得两边可以分别积分得到解。
恰当方程法要求将一阶微分方程化为全微分形式,然后积分求解。
线性方程法则适用于具有形如\(\frac{{dy}}{{dx}} + p(x)y = q(x)\)的方程,通过乘以合适的因子,将其转化为恰当方程求解。
二、二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的导数出现在方程中的最高阶为二阶的微分方程。
一般形式可以表示为:\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = f(x, y, \frac{{dy}}{{dx}})\]其中,y是未知函数,f(x, y, \(\frac{{dy}}{{dx}}\))是已知的多元函数。
二阶微分方程的解是函数y(x),使得方程对于所有的x成立。
与一阶微分方程类似,二阶微分方程的求解也可以通过解析解方法进行。
其中,常见的解法包括常系数线性齐次方程法、特殊非齐次方程法和变量分离法等。
常系数线性齐次方程法适用于形如\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} + a\frac{{dy}}{{dx}} + by = 0\)的方程,通过猜测解的形式,将其代入方程并化简求解。
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支,研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y),其中y是未知函数,x是自变量,f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程:一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数,也可以是常数。
2. 高阶常微分方程:高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1)),其中n为方程的阶数,f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质,常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程:线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x),其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程:非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y),其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程:齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要:一、引言二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义2.常见微分方程类型三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义2.常见差分方程类型四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性2.微分方程与差分方程的转换五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用2.生物、经济领域的应用六、结论正文:一、引言微分方程和差分方程是数学领域中两个重要的概念,它们广泛应用于各个学科领域。
本文将首先介绍微分方程和差分方程的定义及基本概念,然后探讨它们之间的关系以及应用领域。
二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义微分方程是一种数学方程,其中包含未知函数及其导数。
它可以表示为:f(x, y") = 0,其中x 是自变量,y 是未知函数,y"表示y 关于x 的导数。
2.常见微分方程类型常见的微分方程类型包括:一阶微分方程、二阶微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义差分方程是一种数学方程,其中包含未知函数及其差分。
它可以表示为:f(x, y[n]) = 0,其中x 是自变量,y 是未知函数,y[n] 表示y 关于x 的n 阶差分。
2.常见差分方程类型常见的差分方程类型包括:一阶差分方程、二阶差分方程、线性差分方程、非线性差分方程等。
四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性微分方程和差分方程在形式上具有相似性,它们都包含未知函数及其导数(差分)。
这使得它们之间可以相互转换。
2.微分方程与差分方程的转换通过合适的差分方法,可以将微分方程转换为差分方程;反之,通过合适的积分方法,可以将差分方程转换为微分方程。
五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用微分方程和差分方程在物理、工程领域具有广泛应用,如电路理论、力学、热力学、波动理论等。
2.生物、经济领域的应用微分方程和差分方程在生物、经济领域也具有重要应用,如生物种群模型、经济波动模型等。
常微分方程§12 基本概念12 基本概念
的定义域 D , 在定义域的每一点 (x, y) 处,画一
个小线段,其斜率等于 f (x, y) ,此时,点集 D 就成
为带有方向的点集。称此区域为由方程 确定的方向场。
dy f (x, y) dx
常微分方程求解的几何意义是:
在方向场中寻求一条曲线,使这条曲线上每一点 切线的方向等于方向场中该点的方向。
0
y 0
(c2 1)x c2 yy 0
(c2 1) c2 ( y)2 c2 yy 0 c2 2yy c2 yy c2 yy 0
2yy yy yy 0
作业 P27-28页 3(3)(4)(6) 4 6 8(6)
习题答案
/Answer/ 4. (1) y x2 c (2) y x2 3
n阶显方程的一般形式为 y(n) f (x, y, y,, y(n1) )
其中F及f分别是它所依赖的变元的已知函数。
§1.2 Basic Conception
线性和非线性微分方程/Linear and Nonlinear
ODE/
如果方程 F(x, y, y,, y(n) ) 0
的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式,则称它为 线性微分方程,否则,称它为非线性微分方程。
§1.2 Basic Conception
例1 画出方 dy x 的方向场。
程
dx y
等倾线方程 x k 即 y 1 x
y
k
也就是说,方向场中每点的方向与该点等倾线垂直。
y
x o
§1.2 Basic Conception
例2 画出方 dy x2 y2 的方向场。
程
dx
等倾线方程 x2 y2 k ,拐点线方程 x2 y2 x
常微分方程与差分方程知识点
不是特征方程的根,
是特征方程的单根,
是特征方程的重Hale Waihona Puke ,(2)特解形式: ,
不是特征方程的根,
是特征方程的单根,
个人总结:
自由项为多项式 ,
自由项为指数函数 ,
自由项为正弦函数 ,
特解设为
自由项为余弦函数 ,
特解设为
8、一阶常系数差分方程的概念及一般形式
含有自变量、自变量的未知函数及其差分的方程,称为差分方程。一阶常系数线性差分方程的一般形式为:
常微分方程与差分方程知识点
考试纲要
常微分方程的基本概念
变量可分离的微分方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
线性微分方程解的性质及解的结构定理
二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程
微分方程的简单应用
差分与差分方程的概念
差分方程的通解与特解
一阶常系数线性差分方程
考试要求
1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念
特解 的形式
其中 是 次多项式
其中常数
其中, 是常数,且
上表特解中 是待定系数的 次多项式, 是两个待定系数。
【注】 或 时, 可归结为前两种情况来设定特解形式。
友情提示:方案范本是经验性极强的领域,本范文无法思考和涵盖全面,供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
7、会用微分方程求解简单的经济应用问题
重要知识点
1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同
2、变量可分离微分方程解法
→ →
3、齐次微分方程解法
→设 → →再用 代替
附:可化为齐次的方程
4、一阶线性微分方程解法
个人总结:对于 ,首先计算 ,通解为
微分方程与差分方程简介
差分方程的分类
一阶差分方程
只包含一个差分的方程,如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
高阶差分方程
包含多个差分的方程,如 (y(n+2) - 2y(n+1) + y(n) = 0)。
线性差分方程
差分项之间线性关系的方程,如 (y(n+1) - y(n) = a + by(n))。
非线性差分方程
05
微分方程与差分方程的 稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析是一种判断动 态系统稳定性的方法,通过分析系统 状态的变化趋势,判断系统是否具有 稳定性。
李雅普诺夫第二方法通过构造一个正 定的李雅普诺夫函数,来研究非线性 系统的稳定性,这种方法适用于非线 性系统的稳定性分析。
线性稳定性分析
经济问题
描述市场供需关系、价格变动、经 济增长等。
03
02
工程问题
控制工程、航空航天、机械工程等 领域。
生物医学问题
描述生理过程、药物动力学、流行 病传播等。
04
02
差分方程简介
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量变化规律的数学模型,通常表示为离散变量的函数及其差分之间的关系式。
它与微分方程类似,但时间或空间变量是离散的,而不是连续的。
微分方程与差分方程 简介
目 录
• 微分方程简介 • 差分方程简介 • 微分方程与差分方程的联系与区别 • 微分方程与差分方程的数值解法 • 微分方程与差分方程的稳定性分析
01
微分方程简介
微分方程的定义
1
微分方程是包含一个或多个未知函数的导数的方 程。
2
它描述了某一函数随时间或其他变量的变化规律。
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程,又称ODE(Ordinary Differential Equation),是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用,涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义:常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数:常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集:满足常微分方程的未知函数称为方程的解,所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法:适用于可以通过变量分离的常微分方程,将所有含有未知函数的项移到方程的一边,其他项移到方程的另一边,然后两边同时积分求解。
-齐次方程:适用于可以化为齐次方程的常微分方程,通过进行变量的代换,将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程,然后求解。
-线性齐次方程:适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程,通过变量的代换,将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程,然后求解。
-非齐次方程:适用于非齐次方程的常微分方程,可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加,得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程:这类方程具有特殊的形式,通过进行变量的代换,可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程,然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解:指通过直接计算得到的解析表达式,能够准确地求得方程的解。
-数值解:指通过数值计算的方法,例如欧拉法、龙格-库塔法等,近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程:形如dy/dx = f(x)g(y),通过将变量分离,然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程:形如dy/dx = f(y/x),通过进行变量的代换,将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程,然后求解。
- 线性方程:形如dy/dx + p(x)y = q(x),通过变量的代换,将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程,然后求解。
常微分方程基本概念
注1:称函数y (x, c1,, cn )含有n个独立常数,是指
存在(x, c1,, cn )的某一邻域,使得行列式
c1
(, ',, (n1) )
(c1, c2 ,, cn )
'
c1
(n1)
c1
c2
cn
'
c2
'
cn 0
(n1) (n1)
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.
求满足定解条件的求解问题称为定解问题.
常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初
始条件是指如下的n个条件:
当x
x 0时,
y
y0 ,
dy dx
y (1) 0
,,
d (n1) y dxn1
y (n1) 0
这里x0 , y0 , y0(1) ,, y0(n1)是给定的 n 1个常数.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程的特解.
例如 y sinx, y cosx都是方程 y" y 0的特解. 可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0,得到 : y sinx,
c1 0, c2 1,得到 : y cosx.
3 定解条件
tx
dx dt
3
x
0;
d4x d2x (4) dt4 5 dt2 3x sin t;
都是常微分方程
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.
如 (5) z z z ;
x y
差分方程和微分方程的区别与联系
差分方程和微分方程的区别与联系数学中,有很多让人感到有些神秘的概念,比如差分方程和微分方程。
这两个名字听上去似乎有些类似,但它们其实是解决不同问题的两个工具。
今天我们就来聊聊这两者的区别和联系,把它们说得简单明了些,让你一听就懂!1. 基本概念1.1 微分方程先从微分方程说起。
微分方程就是一个涉及到导数的方程。
导数,简单来说,就是一个函数变化的速率。
你可以把它理解为车速,比如说你要计算汽车的加速度,你就用到导数。
而微分方程就是描述一个系统如何随时间或空间的变化来建立方程。
例如,如果你有一个物体在下落,微分方程可以帮你找出它的速度和加速度,甚至是未来某一时刻的位置。
1.2 差分方程再来看看差分方程。
差分方程则处理的是离散时间点上的问题。
想象一下你在记录每天的股票价格,今天的价格和昨天的价格之间的差异,这种差异就是差分方程在做的事情。
它通过差异来描述和预测系统的行为,适用于那些不能用连续变化来描述的情况。
2. 区别与应用2.1 微分方程的应用微分方程主要用于处理连续变化的系统。
比如,物理学中的运动学,生物学中的种群增长,甚至金融中的投资模型,很多问题都可以用微分方程来解决。
你可以用它来模拟天体运行、气温变化,或者人口增长等现象。
就像我们在前面提到的汽车加速度,如果你想知道一个物体在空气阻力影响下的运动状态,你需要用到微分方程。
2.2 差分方程的应用而差分方程则更多地用于处理那些离散时间的数据。
比如在计算机科学中,你可能会用差分方程来设计算法,或者在经济学中预测季度销售额。
你还可以在游戏开发中使用差分方程来模拟角色的行为变化,或者在工程中分析离散信号的处理情况。
简单来说,差分方程适合用在那些时间步长是离散的场景里。
3. 联系与转换3.1 从差分方程到微分方程尽管差分方程和微分方程各有千秋,但它们之间也有联系。
实际上,你可以把差分方程看作是微分方程在离散情况下的“近亲”。
比如说,如果你把离散时间的步长缩得很小,差分方程和微分方程的行为就会变得越来越相似。
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结一、基本概念。
1. 常微分方程。
- 定义:含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数(或微分)的等式称为常微分方程。
例如:y' + 2y = 0,其中y = y(x)是未知函数,x是自变量,y'是y 对x的一阶导数。
- 阶:方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
如y''+3y' + 2y=sin x是二阶常微分方程。
2. 解与通解、特解。
- 解:如果函数y = φ(x)代入微分方程后,使方程成为恒等式,则称y=φ(x)是该微分方程的解。
- 通解:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与方程的阶数相同,这样的解称为通解。
例如y = C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y'' - y = 0的通解(C_1,C_2为任意常数)。
- 特解:在通解中确定了任意常数的解称为特解。
比如在y = C_1e^x+C_2e^-x 中,当C_1 = 1,C_2 = 0时,y = e^x就是y'' - y = 0的一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式:g(y)dy = f(x)dx。
- 解法:对等式两边分别积分,即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C,得到方程的通解。
例如对于方程y'=(x)/(y),可化为ydy = xdx,积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C,即y^2=x^2+C_1(C_1 = 2C)。
2. 齐次方程。
- 形式:(dy)/(dx)=F((y)/(x))。
- 解法:令u=(y)/(x),则y = ux,y'=u + xu',原方程化为u+xu'=F(u),这是一个可分离变量方程,可按照可分离变量方程的解法求解。
例如对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x),令u = (y)/(x),得到x(du)/(dx)=tan u,再分离变量求解。
第十二讲 常微分方程和差分方程
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
一、主要内容——微分方程
一阶方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程
待 特征方程的根 定 及其对应项 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
相关定理
4. 线性方程
特解形式
微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
(1) 形如 y P ( x ) y Q( x ) y 0
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.(C1 , C 2 是常 数)
定理 2:如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
(2)二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
定理 3
设y * 是( 2) 的一个特解, Y 是与(2) 对应
* 的齐次方程 (1) 的通解 , 那么 y Y y 是二阶
非齐次线性微分方程(2) 的通解.
定理 4 设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函 数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x )
微分方程和差分方程简介
返 回
(二)建立数值解法的一些途径
设 xi 1 xi h, i 0,1,2, n 1, 可用以下离散化方法求解微分方程: y' f(x,y) y(x0 ) y0
1、用差商代替导数 若步长h较小,则有
y ' ( x) y ( x h) y ( x ) h
解 首先分离变量 ,得
g ( y )dy
f ( x ) dx C
2 例1 求微分方程 y 3x y的通解。
1 2 dy 3 x dx y 两端积分,得 即 ln y x 3 C1 y e
x 3 C1
或y e e
C1
x3
因 e C1 仍是任意常数,令其为C,则所求得通解为 y Ce
二、常见的微分方程的类型及其解法:
1.一阶微分方程
y f ( x, y )
常用的解法:分离变量法
形如
dy f ( x) g ( y ) dx P ( x) P2 ( y ) dx Q1 ( x)Q2 ( x) 0 1
的方程均为可分离变量 的微分方程。
对(2)式两端分别积分,便可得到微分方程的通解 其中C为任意常数。
例1 求
解
d2y
2
dx du 1 u 2 的通解. dt
0 应表达为:D2y=0.
输入命令:dsolve('Du=1+u^2','t')
结
果:u = tg(t-c)
例 2 求微分方程的特解.
d 2 y dy 2 4 29 y 0 dx dx y (0) 0, y ' (0) 15
对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析, 当 t 时,x(t ) ,表明人口将无限增长。马 尔萨斯人口论的核心内容是:人口按几何级数 增长,而生活资料则按算术级数增长,两者的 矛盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯 并不认为: 解决人口过剩和生活资料匮乏两 者之间的矛盾,只有通过失业、饥饿、犯罪甚 至战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏 制人口增长,这是人们对马尔萨斯人口论的一 种误解。
常微分方程基本概念
目录
• 常微分方程的定义与分类 • 常微分方程的解法 • 常微分方程的应用 • 常微分方程的数值解法 • 常微分方程的稳定性 • 常微分方程的近似解法
01 常微分方程的定义与分类
定义
定义1
常微分方程是包含一个或多个未知函数的导 数的方程。
定义2
常微分方程是描述一个或多个未知函数随时间变化 的数学模型。
非线性系统的稳定性
01
非线性系统的稳定性是指系统在受到扰动后,能否 保持在一定的平衡状态。
02
非线性系统的稳定性可以通过分析系统的动态行为 来判断。
03
非线性系统的稳定性判据包括:局部稳定性和全局 稳定性。
稳定性判据
劳斯-霍尔维茨判据
用于判断线性时不变系统的稳定性,通过 计算系统的极点和零点来确定系统的稳定
参数法适用于一些难以直接求解的常微分 方程,通过引入参数,对方程进行变形, 使其转化为可求解的形式。这种方法在求 解某些特殊类型的常微分方程时非常有效 。
积分因子法
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常微分方程的方法。
详细描述
积分因子法适用于具有特定形式的常微分方程,通过引入积分因子,将原方程转化为易于求解的形式。这种方法 在求解某些特殊类型的常微分方程时非常有效。
牛顿第二定律
01
描述物体运动规律时,常使用常微分方程来表达加速度与力和
质量的关系。
波动方程
02
在研究波动现象,如声波、光波和水波时,常微分方程用来描
述波的传播规律。
热传导方程
03
在研究热量传递和扩散时,热传导方程用来描述温度随时间和
空间的变化规律。
生物问题
种群动态
常微分方程和差分方程
详细描述
差分方法将微分方程转化为离散化的差分方 程,然后通过迭代求解这些差分方程来逼近 微分方程的解。该方法适用于大规模问题,
且具有较高的计Leabharlann 效率和精度。05 常微分方程与差分方程的 并行计算
并行计算的基本概念
并行计算
指在同一时间段内处理多个任务或计算多个 数据的方法,以提高计算效率和速度。
并行计算模型
总结词
龙格-库塔方法是一种迭代方法,通过构造一系列近似解来逼近微分方程的精确解。
详细描述
龙格-库塔方法采用了一种更加稳定和精确的方法来逼近微分方程的解,它通过在每个时间步长内应用 一系列线性插值来改进近似解。该方法对于刚性和非刚性微分方程都适用,且具有较高的精度和稳定 性。
差分方法
总结词
差分方法是基于离散化时间或空间的数值方 法,通过将微分方程转化为差分方程来求解 。
常见的并行计算模型包括分布式计算、多线程计算 、GPU加速计算等。
并行计算的优势
通过并行计算,可以显著提高大规模计算任 务的执行效率和速度,减少计算时间。
并行计算在常微分方程中的应用
并行求解常微分方程
01
利用并行计算技术,可以将常微分方程的求解过程分解为多个
子任务,并同时处理这些子任务,从而加快求解速度。
初值问题与解的存在唯一性
初值问题
给定函数在某点的初始值,求解该函数在初始点附近的性质。
解的存在唯一性
对于适当的初值问题,存在唯一的解满足给定的条件。
一阶常微分方程
定义
只含有一个导数的一阶常微分方程。
求解方法
通过积分、代入法、分离变量法等求解。
高阶常微分方程
定义
包含未知函数的高阶导数的常微分方 程。
常微分方程和差分方程
社会科学领域
将常微分方程和差分方程应用于 社会科学领域,如人口动力学、 经济学、社会学等。
交叉学科研究
结合其他数学分支和工程学科, 开展交叉学科研究,以解决复杂 系统的建模和预测问题。
THANKS
感谢观看
矩阵法
将差分方程转化为矩阵形式,利用矩阵的性质求解未知数,适用 于多变量差分方程。
差分方程的应用
01
经济预测
差分方程可以用于描述经济现象 的离散时间变化规律,如预测股 票价格、市场需求等。
02
03
生物学研究
工程问题
差分方程在生物学研究中被广泛 用于描述种群增长、基因遗传等 现象。
在控制工程、电路分析等领域, 差分方程被用于描述离散时间系 统的动态行为。
05
常微分方程和差分方程的未来发展
数值计算方法的改进
数值稳定性
研究和发展更稳定、更精确的数值计算方法,以 解决常微分方程和差分方程的数值求解问题。
多重网格方法
利用多重网格技术加速求解过程,提高计算效率 和精度。
自适应步长控制
根据求解过程的需要,动态调整步长,以实现更 高效的数值计算。
理论解的研究
微分方程的解法
分离变量法
将方程中的变量分离,转化为易于求解的一 阶微分方程。
积分因子法
通过引入积分因子,将高阶微分方程转化为 低阶微分方程或一阶微分方程组。
参数方法
通过引入参数,将微分方程转化为易于求解 的参数方程。
幂级数法
将未知函数表示为幂级数,然后逐项求导, 代入原方程求解。
微分方程的应用
物理问题
间,f 表示经济模型。
实例三:生态问题中的常微分方程和差分方程
要点一
常微分方程相关知识点大一
常微分方程相关知识点大一常微分方程是数学中的一个重要分支,是描述自然界中各种现象的数学模型。
在大一的学习中,常微分方程也是数学课程中的重点内容之一。
本文将介绍常微分方程的相关知识点,帮助大一学生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
通常表示为dy/dx=f(x),其中y是未知函数,x是自变量,f(x)是已知的函数。
常微分方程的解是满足方程的函数,可以通过积分等数学方法求解。
二、常微分方程的分类常微分方程可以分为几个主要的类型,常见的有一阶线性方程、一阶可分离变量方程、二阶线性齐次方程等。
1. 一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为dy/dx+p(x)y=q(x),其中p(x)和q(x)都是已知的函数。
求解一阶线性方程可以通过积分因子法、变量代换法等方法。
2. 一阶可分离变量方程一阶可分离变量方程的一般形式为dy/dx=g(x)/h(y),其中g(x)和h(y)都是已知的函数。
求解可分离变量方程可以通过分离变量、分别积分等方法。
3. 二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程的一般形式为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0,其中p(x)和q(x)都是已知的函数。
求解二阶线性齐次方程可以通过特征方程、常数变易法等方法。
三、常微分方程的初值问题初值问题是指在方程中给出了未知函数在某一点的值和导数的值,求解该点附近的解。
对于一阶常微分方程,初值问题可以通过直接代入初值,得到特定的解。
对于高阶方程,可以通过降阶等方法求解出整个解。
四、常微分方程的应用领域常微分方程是数学中的一种工具,广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
常微分方程可以描述弹簧振子、电路等自然界中的现象,通过求解方程可以得到系统的运动规律,为科学研究和工程设计提供理论支持。
五、常微分方程的数值解法对于一些复杂的微分方程,无法通过解析方法求得解析解。
这时可以利用数值解法来求得近似解。
12.4 差分与差分方程简介
所以齐次方程的通解为 Y(n)=C(−5)n.
nP (n), 其中d=1不是特征方程的根,
q(n)=
d
原方程的非齐次项可写为
m
Pm(n)=n2+1是二次多项式,
所以应设原方程的特解为 ∗(n)=b0n2+b1n+b2.
把它代入原方程,得 b0(n+1)2+b1(n+1)+b2+5(b0n2+b1n+b2)=n2+1,
Y(n)=C1 y1(n)+C2 y2(n)+ ⋯ +Ckyk(n)是方程①所对应的线性齐次差分方程②
的通解,
则
y(n)=Y(n)+∗(n) =C1 y1(n)+C2 y2(n)+ ⋯ +Ck yk(n)+∗(n)
是 k 阶线性非齐次差分方程①的通解.
定理12.4.3
设 y1(n)、y2(n)分别是k阶线性非齐次差分方程
⑨
其中p1, p2, ⋯ , pk 都是已知常数, 且 pk ≠0, 由定理12.4.2可知,
只要求出相应的齐次方程 yn+k+p1 yn+k−1+ ⋯ +pk yn=0的通解
Y(n)=C1 y1(n)+ ⋯ +Ck yk(n)
与非齐次方程⑨的一个特解∗(n), 把两者相加, 即
y(n)=Y(n)+∗(n)
利用差分公式, 可以将上式转化为函数yn在不同取值点上的关系式.
定义12.4.1 含有未知函数两个或两个以上的函数值yn, yn+1, ⋯ 的等式称为
常差分方程.
常差分方程也称为差分方程或方程.
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′,⋯, y ( n−1) ). = f ( x, y, y
线性与非线性微分方程. 线性与非线性微分方程.
y′ + P ( x ) y = Q ( x ),
x ( y′ )2 − 2 yy′ + x = 0;
单个微分方程与微分方程组. 单个微分方程与微分方程组.
dy dx = 3 y − 2 z , dz = 2 y − z , dx
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线
确定通解中任意常数的条件. 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 阶方程的初始条件 或初值条件) 初始条件(
′( x0 ) = y0 , ⋯, y(n−1) ( x0 ) = y0(n−1) ′ y( x0 ) = y0 , y
d2x 方程 2 + k 2 x = 0的解. 并求满足初始条件 dt dx x t = 0 = A, = 0 的特解. dt t = 0 dx 解 ∵ = − kC1 sin kt + kC 2 cos kt , dt 2 d x = − k 2C1 cos kt − k 2C 2 sin kt , dt 2 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
所求曲线方程为 y = x + 1 .
2
秒的速度行驶, 例 2 列车在平直的线路上以 20 米/ 秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 − 0.4 米/秒 2 , 问开始制动 后多少时间列车才能停住? 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 行驶了多少路程? 行驶了多少路程?
解
设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s = s( t )
2
20 开始制动到列车完全停住共需 t = = 50 ( 秒 ), 0 .4
列车在这段时间内行驶了
s = − 0.2 × 50 2 + 20 × 50 = 500 ( 米 ).
例 3 已知放射性元素镭的衰变率与其现存量 R 成正 比。若镭在 t=0 时的质量为 R0,求在衰变过程中镭 R(t)随时间 的变化规律。 含量 R(t)随时间 t 的变化规律。
微分方程的解: 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
设y = ϕ( x )在区间 I 上有 n 阶导数 ,
F ( x , ϕ( x ), ϕ′( x ),⋯, ϕ( n ) ( x )) = 0.
微分方程的解的分类: 微分方程的解的分类: (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数, (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 通解 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
2
y′ = xy ,
′′ + 2 y′ − 3 y = e x , y
( t + x )dt + xdx = 0,
∂z = x + y, ∂x
实质: 联系自变量, 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 某些导数(或微分)之间的关系式.
常微分方程(一元未知函数。本章内容) 常微分方程(一元未知函数。本章内容) 分类 偏微分方程(多元未知函数) 偏微分方程(多元未知函数)
ds d 2s = −0.4 t = 0时, s = 0, v = = 20, 2 dt dt ds s = − 0. 2 t 2 + C 1 t + C 2 v = = −0.4t + C1 dt
代入条件后知
C 1 = 20 , C 2 = 0
ds v= = − 0.4 t + 20 , dt
故 s = − 0 .2 t + 20 t ,
所求特解为 x = A cos kt .
例4. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 轴平分, 且线段 PQ 被 y 轴平分 求所满足的微分方程 . 如图所示, 解: 如图所示 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 y y′ + 2 x = 0
dy dx
例1 通解: 通解 特解: 特解
= 2x
x=1= 2
d2 y
例2
y
s t =0 = 0 ,
dx
2
= −0.4
ds d t t =0
= 20
y = x2 + C
s = −0.2t 2 + C1t + C2 s = −0.2t 2 + 20 t
y = x2 + 1
例 3 验证:函数 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是微分
第十二章 12. 一 曲 线 通 过 点 (1,2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x ,求这曲线的方程 求这曲线的方程. 求这曲线的方程 解 设所求曲线为 y = y( x ) dy = 2x 其中 x = 1时, y = 2 dx y = ∫ 2 xdx 即 y = x 2 + C , 求得 C = 1,
例 y′ = y ,
y′′ + y = 0,
(2)特解: (2)特解: 特解 解的图象: 解的图象: 通解的图象: 通解的图象: 初始条件: 初始条件:
通解 y = ce ;
x
通解 y = c1 sin x + c2 cos x;
确定了通解中任意常数以后的解. 确定了通解中任意常数以后的解. 微分方程的积分曲线. 微分方程的积分曲线. 积分曲线族. 积分曲线族.
− k 2 (C1 cos kt + C 2 sin kt ) + k 2 (C1 cos kt + C 2 sin kt ) ≡ 0.
故 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是原方程的解 .
∵ x t =0 dx = A, = 0, dt t = 0 ∴ C1 = A, C 2 = 0.
解
由题意知
dR = −λR(t ), λ > 0. dt
t = 0时, R = R0 ,
R( t ) = Ce − λt
R( t ) = R0 e
− λt
C = R0 ,
12.1.2 基本概念
微分方程: 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例
y P
Qo
x x
小
结
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 微分方程 微分方程的阶 微分方程的解 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线; 通解 初始条件 特解 初值问题 积分曲线
微分方程的阶: 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 高阶导数的阶数. 一阶微分方程
F ( x , y , y ′ ) = 0,
高阶( ) 高阶(n)微分方程
y′ = f ( x , y );
F ( x , y , y ′ , ⋯ , y ( n ) ) = 0, y
( n)
用来确定任意常数的条件. 用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y′ = f ( x , y ) 一阶: 一阶 y x = x0 = y 0
过定点的积分曲线; 过定点的积分曲线
y ′′ = f ( x , y , y ′ ) 二阶: 二阶 ′ y x = x0 = y0 , y ′x = x0 = y0