【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业2
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业3
A.y＝2x－2
B．y＝12(x2－1)
C．y＝log2x
D．y＝log21x
解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且 y 的变化随
x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知 B 符合，故选 B.
3．我们定义函数 y＝[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)为“下整函
数”；定义 y＝{x}({x}表示不小于 x 的最小整数)为“上整函数”；例
C.41，94
D.94，21
解析：设 t＝x2＋x 1，当 x≠0 时，可得 t＝x＋1 1x∈0，21，当 x＝0
时，t＝0，因而 f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋23＝－ t＋ta＋＋3a23＋ ，23a，＜0t≤≤12t≤ ，a，
从而有 g(0)＝3a＋23，g12＝a＋76，g(0)－g12＝2a－14，
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∵x 为整数，∴3≤x≤6，x∈Z. 当 x＞6 时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115. 令－3x2＋68x－115＞0，有 3x2－68x＋115＜0， 结合 x 为整数得 6＜x≤20，x∈Z.
∴y＝5－0x3－x2＋116583x－≤1x1≤566，＜xx∈≤Z20，，x∈Z. (2)对于 y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)， 显然当 x＝6 时，ymax＝185； 对于 y＝－3x2＋68x－115＝－3·x－3342＋8311(6＜x≤20，x∈Z)， 当 x＝11 时，ymax＝270. ∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日 的净收入最多． 12．(2019·山东德州模拟)某地自来水苯超标，当地自来水公司对 水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业1
课时作业10 函数的图象1．函数f (x )＝x2ln|x |的图象大致是( D )解析：由f (－x )＝－f (x )可得f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C ，而x ∈(0,1)时，ln|x |＜0，f (x )＜0，排除B ，故选D.2．现有四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x .它们的图象(部分)如下，但顺序已被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是( D )A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③解析：函数y ＝x sin x 是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y ＝x cos x 是奇函数，且当x ＝π时，y ＝－π＜0，故函数②对应第三个图象；函数y ＝x |cos x |为奇函数，且当x ＞0时，y ≥0，故函数③与第四个图象对应；函数y ＝x ·2x 为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.3．(2019·河南信阳模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，函数g (x )＝4x ＋3x －2，若函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，记作P i (x i ，y i )(i ＝1,2，…，168)，则(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)的值为( D )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．1 008解析：函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，可得f (－x )＋f (4＋x )＝8，即函数f (x )的图象关于点(2,4)对称，由函数g (x )＝4x ＋3x －2＝4(x －2)＋11x －2＝4＋11x －2，可知其图象关于点(2,4)对称，∵函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点，且两边的点分别关于点(2,4)对称，故得(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)＝(4＋8)×84＝1 008.故选D.4．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( A )A ．f (x )＝12x －1－x 3B ．f (x )＝12x －1＋x 3C ．f (x )＝12x ＋1－x 3D ．f (x )＝12x ＋1＋x 3解析：由图可知，函数图象的渐近线为x ＝12，排除C ，D ，又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．而函数y ＝12x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，y ＝－x 3在R 上单调递减，则f (x )＝12x －1－x 3在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故选A. 5．如图所示，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( B )解析：设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D ，故选B.6．(2019·泰安模拟)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图象大致是( A )解析：因为f (x )＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x ，f ′(x )为奇函数，排除B ，D ；当x ＝π6时，f ′(x )＝π12－12＜0，排除C ，∴A 满足．7．(2019·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( C )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析：依题意，画出函数的大致图象如图所示．实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g (x )≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：在平面直角坐标系内作出f (x )，g (x )的图象如图所示，由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．9．(2019·江苏扬州模拟)不等式2－x ≤log 2(x ＋1)的解集是{x |x ≥1}__．解析：画出y ＝2－x ，y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示，由图可知，解集为{x |x ≥1}．10．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为(4,5)__．解析：作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令f (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出f (x )的图象如图所示.由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数f (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数f (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x . (2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ， 且g (x )＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0,2]．∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1. 令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]， q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴当x ∈(0,2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7，＋∞)．13．(2019·安徽江南十校联考)若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( B )A ．f (x )＝e x －1x 2－1B ．f (x )＝e xx 2－1C ．f (x )＝x 3＋x ＋1x 2－1D ．f (x )＝x 4＋x ＋1x 2－1解析：由题中图象可知，函数的定义域为{x |x ≠a 且x ≠b }，f (x )在(－∞，a )上为增函数，在(a,0]上先增后减，在[0，b )上为减函数，在(b ，＋∞)上先减后增．A 项中f (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1}， 此时a ＝－1，b ＝1.f ′(x )＝e x (x 2－1)－2x (e x －1)(x 2－1)2，则f ′(－2)＝79e 2－49＜0，与f (x )在(－∞，－1)上递增不符． B 项中f (x )的定义域 为{x |x ≠±1}，f ′(x )＝e x (x 2－2x －1)(x 2－1)2＝e x [(x －1)2－2](x 2－1)2，若f ′(x )＞0，则x ＜－1或－1＜x ＜1－2或x ＞1＋2，此时f (x )在各对应区间上为增函数，符合题意．同理可检验C 、D 不符，故选B.14．(2019·福建厦门双十中学模拟)已知函数f (x )＝x 2＋e x－12(x ＜0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D ．(e ，＋∞)解析：原命题等价于在x ＜0时，f (x )与g (－x )的图象有交点，即方程e x－12－ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解，令m (x )＝e x－12－ln(－x ＋a )，显然m (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ＞0时，只需m (0)＝e 0－12－ln a ＞0，解得0＜a ＜e ；当a ≤0时，x 趋于－∞，m (x )＜0，x 趋于a ，m (x )＞0，即m (x )＝0在(－∞，a )上有解．综上，实数a 的取值范围是(－∞，e)．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x ＞1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( D )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ，作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a ＜b ＜c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，令log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017，结合图象可得1＜c ＜2 017， 因此可得2＜a ＋b ＋c ＜2 018， 即a ＋b ＋c ∈(2,2 018)．故选D.16．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为6__.解析：作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cosπx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业52
课时作业57 直线与圆锥曲线1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( A )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：由直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线y ＝ba x 平行，故直线与双曲线的交点个数是1.2．(2019·山东聊城一模)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( D )A ．y ＝x －1B ．y ＝－2x ＋5C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝2x －3解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1①，y 22＝4x 2②，①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.3．(2019·湖北武汉调研)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则k 的取值范围为( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52C.⎝⎛⎭⎪⎫－52，52D ．⎝⎛⎭⎪⎫1，52解析：由题意知k ＞0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，整理得(1－k 2)x 2＋2kx－5＝0，因为直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＞0，x 1＋x 2＝－2k 1－k 2＞0，x 1x 2＝－51－k2＞0，解得1＜k ＜52，即k ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，52，故选D.4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( D )A.12 B ．23 C.34D ．43解析：易知p ＝4，直线AB 的斜率存在，抛物线方程为y 2＝8x ，与直线AB 的方程y －3＝k (x ＋2)联立，消去x 整理得ky 2－8y ＋16k ＋24＝0，由题意知Δ＝64－4k (16k ＋24)＝0，解得k ＝－2或k ＝12.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k ＝－2，故k ＝12，可得B (8,8)，又F (2,0)，故k BF ＝8－08－2＝43，故选D.5．(2019·湖北武汉调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得⎩⎨⎧x ＝p2，y ＝p ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，则直线AB 的方程为y －p ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －2p ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 9，y ＝－2p 3或⎩⎨⎧x ＝p 2，y ＝p ，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫2p9，－2p 3， 所以直线OB 的斜率为k OB ＝－2p32p 9＝－3.故选D.6．已知双曲线x 23－y 2＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两个不同的点，点M (2,2)是线段AB 的中点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积是( D )A ．4 3B ．313 C.14D ．2 3解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，又因为直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx ＋m )2＝8x ⇒k 2x 2＋(2km －8)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝8－2km k 2，x 1x 2＝m 2k 2. 又因为M (2,2)是线段AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝8－2kmk 2＝4，且2＝2k ＋m ， 联立解得k ＝2，m ＝－2.|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝215.O 到AB 的距离d ＝25.∴S △AOB ＝12×215×25＝2 3.7．(2019·泉州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点D ，E ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( B )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(2，2)D ．(1，62)解析：法一：由题意知，直线l ：y ＝－ab (x －c )，由⎩⎨⎧y ＝－a b (x －c )，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 4b 2x 2＋2a 4c b 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2＝0，由x 1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2b 2－a 4b 2＜0，得b 4＞a 4，所以b 2＝c 2－a 2＞a 2，所以e 2＞2，得e＞ 2.法二：由题意，知直线l 的斜率为－ab ，若l 与双曲线左、右两支分别交于D ，E 两点，则－a b ＞－ba ，即a 2＜b 2，所以a 2＜c 2－a 2，e 2＞2，得e ＞ 2.8．(2019·洛阳统考)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则直线l 的方程为( C ) A ．4x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 212＝1，x 224－y 222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2. 又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝2×12＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2， x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，y 1－y 2x 1－x 2＝－14， 即直线AB 的斜率为－14， 直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0.9．(2019·河南洛阳一模)已知直线y ＝2x ＋2与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于P ，Q 两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线，交抛物线于点A ，若|A P →＋A Q →|＝|A P →－A Q →|，则a ＝ 2 .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝ax 2得ax 2－2x －2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－2a ， 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x A ＝1a ，y A ＝ax 2A ＝1a ，由|A P →＋A Q →|＝|A P →－A Q →|可得A P →·A Q →＝0， 即AP ⊥AQ ，又M 是线段PQ 的中点，∴2|AM |＝|PQ |，由于MA ⊥x 轴，∴|MA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ＋2－1a ＝1a ＋2，又|PQ |＝5|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5·4a 2＋8a ，∴4⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋22＝5⎝⎛⎭⎪⎫4a 2＋8a ，解得a ＝2，此时满足Δ＞0成立．故a ＝2.10．(2019·鹰潭模拟)设P 为双曲线x 236－y 225＝1右支上的任意一点，O 为坐标原点，过点P 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，则平行四边形P AOB 的面积为 15 .解析：设P (x 0，y 0)(不妨设P 在第一象限)，A 在第一象限，直线P A 的方程为y －y 0＝－56(x －x 0)，直线OA 方程为y ＝56x ，联立解得x A ＝6y 0＋5x 010，又P 到渐近线OA 的距离为d ＝|5x 0－6y 0|61，又tan ∠xOA ＝56，所以cos ∠xOA ＝661.所以平行四边形P AOB 的面积为S ＝2S △OP A ＝|OA |·d ＝|x A |·d cos ∠xOA ＝616×110|6y 0＋5x 0|×|6y 0－5x 0|61＝15.11．(2019·云南11校跨区联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 在E 上，且△ABC 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN .解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (－4，n )， 线段MN 的中点P (x 0，y 0)， 则2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2， 由(1)可得F (－1,0)，则直线DF 的斜率为k DF ＝n －0－4－(－1)＝－n3，当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在， 根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN . 当n ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵点M ，N 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，整理得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 又2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，∴y 0x 0＝－n 4，直线OP 的斜率为k OP ＝－n 4， ∵直线OD 的斜率为k OD ＝－n4， ∴直线OD 平分线段MN .12．(2017·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．解：(1)设F 的坐标为(－c,0)．依题意，c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，于是b 2＝a 2－c 2＝34.所以，椭圆的方程为x 2＋4y23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m . 将x ＝my ＋1与x 2＋4y 23＝1联立，消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0，令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2.又因为△APD 的面积为62，故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62，整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以，直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.13．(2019·河南郑州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( D )A.34 B ．45 C.56D ．67解析：不妨设点A 在第一象限，B 在第四象限，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x 得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，由根与系数的关系，得y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x ＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF＝372＝67.故选D.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( A )A.32 B ．52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2， 所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)， 不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而 x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋y 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54， 因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上， 所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.15．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，A 为抛物线上一点(A 不同于原点O )，过焦点F 作直线平行于OA ，交抛物线于P ，Q 两点．若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于B ，则|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝ 0 .解析：设OA 所在的直线的斜率为k ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，易知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，kp 2， P ，Q 的坐标由方程组⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px得到，消去x ，得ky 22p －y －kp 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得，y 1y 2＝－p 2，根据弦长公式，|FP |·|FQ |＝1＋1k 2·|y 1|·1＋1k 2·|y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2|y 1y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2p 2，而|OA |·|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kp 22＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2p 2， 所以|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝0.16．(2019·湖北调研)已知椭圆Γ：x 24＋y 22＝1，过点P (1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l 1，l 2，设l 1与椭圆Γ交于A 、B 两点，l 2与椭圆Γ交于C ，D 两点．(1)若P (1,1)为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；(2)若直线l 1与l 2的斜率都存在，记λ＝|AB ||CD |，求λ的取值范围．解：(1)解法一(点差法)：由题意可知直线AB 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝－24·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－24·2×12×1＝－12， ∴直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.解法二：由题意可知直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则其方程为y －1＝k (x －1)，代入x 2＋2y 2＝4中，得x 2＋2[kx －(k －1)]2－4＝0.∴(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2(k －1)2－4＝0.Δ＝[－4(k －1)k ]2－4(2k 2＋1)[2(k －1)2－4]＝8(3k 2＋2k ＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，x 1x 2＝2(k －1)2－42k 2＋1.∵AB 中点为(1,1)，∴12(x 1＋x 2)＝2k (k －1)2k 2＋1＝1， 则k ＝－12.∴直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.(2)由(1)可知|AB |＝1＋k 2 |x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·8(3k 2＋2k ＋1)2k 2＋1. 设直线CD 的方程为y －1＝－k (x －1)(k ≠0)．同理可得|CD |＝1＋k 2·8(3k 2－2k ＋1)2k 2＋1. ∴λ＝|AB ||CD |＝ 3k 2＋2k ＋13k 2－2k ＋1(k ≠0)，λ＞0. ∴λ2＝1＋4k 3k 2＋1－2k ＝1＋43k ＋1k －2. 令t ＝3k ＋1k ，则t ∈(－∞，－2 3 ]∪[23，＋∞)，令g (t )＝1＋4t －2，t ∈(－∞，－2 3 ]∪[23，＋∞)， ∵g (t )在(－∞，－23]，[23，＋∞)上单调递减， ∴2－3≤g (t )＜1或1＜g (t )≤2＋ 3.故2－3≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋ 3.∴λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫6－22，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，6＋22.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (32)
课时作业32 等比数列及其前n 项和1．已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( A ) A ．4 B ．2 C.12 D.14 解析：由题意知2×12＝a 5＋32a 4，即3a 4＋2a 5＝2. 设{a n }的公比为q (q ＞0)，则由a 3＝1， 得3q ＋2q 2＝2，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)， 所以a 1＝a 3q 2＝4. 2．(2019·益阳调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( D ) A ．3 B ．5 C ．9 D ．25 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45，所以q ＝5，a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.故选D. 3．(2019·武昌调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( C ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．1或3 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1， 由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立， 则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1， 所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q ， 代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－3，q ＝－2， 故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2019·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( A ) A ．－ 3 B ．－1 C ．－33 D. 3 解析：依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( D ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f 解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D. 6．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( A ) A ．2n ＋1－2 B ．2n ＋1 C ．2n 2－ 2 D ．2n ＋22－ 2 解析：因为点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上， 所以a n －2·a n －1＝0. 又因为a n ＞0，所以a n a n －1＝2(n ≥2)． 又a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以所求的S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 7．(2019·天津实验中学月考)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( B ) A ．210 B ．220 C ．216 D ．215 解析：因为a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230.所以a 2a 5a 8…a 29＝210.则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8…a 29)q 10＝210×210＝220，故选B. 8．(2019·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( D ) A ．S n ＝2T n B ．T n ＝2b n ＋1 C ．T n ＞a n D ．T n ＜b n ＋1 解析：由题意可得S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3， 由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1， 设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1， 当n ＝1时，b 1＋b 1q ＝3， 当n ＝2时，b 1q ＋b 1q 2＝6， 解得b 1＝1，q ＝2， 数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1， 由等比数列求和公式有：T n ＝2n －1，观察所给的选项： S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n ＜a n ，T n ＜b n ＋1. 9．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为 4 . 解析：设公比为q (q ＞0)，因为a 2 018＝22， 所以a 2 017＝a 2 018q ＝22q ，a 2 019＝a 2 018q ＝22q ， 则有1a 2 017＋2a 2 019＝2q ＋222q ＝2q ＋22q ≥2 2 q ×2q ＝4，当且仅当q 2＝2， 即q ＝2时取等号，故所求最小值为4. 10．(2019·湖北荆州一模)已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝ 3 . 解析：由题意可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， 则(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)， 又S 12＝7S 4，∴(S 8－S 4)2＝S 4·(7S 4－S 8)， 可得S 28－6S 24－S 8S 4＝0，两边都除以S 24， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 8S 42－S 8S 4－6＝0，解得S 8S 4＝3或－2， 又S 8S 4＝1＋q 4(q 为{a n }的公比)，∴S 8S 4＞1，∴S 8S 4＝3. 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值； (2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． 解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1， 即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1， 解得a 4＝78. (2)证明：因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 又因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2， 所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1， 所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．12．(2016·四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q ＞0，n ∈N *. (1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n 3n －1. 解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1， 两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立． 所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1. 由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列， 可得2a 3＝3a 2＋2， 即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q ＞0，故q ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)证明：由(1)可知，a n ＝q n －1. 所以双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1). 由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43. 因为1＋q 2(k －1)＞q 2(k －1)， 所以1＋q 2(k －1)＞q k －1(k ∈N *)． 于是e 1＋e 2＋…＋e n ＞1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1， 故e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n 3n －1.13．(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D ) A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507 B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507 C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507 D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507 解析：由题意可知b ＝12a ，c ＝12b ， ∴b a ＝12，c b ＝12. ∴a 、b 、c 成等比数列且公比为12. ∵1斗＝10升，∴5斗＝50升，∴a ＋b ＋c ＝50， 又易知a ＝4c ，b ＝2c ，∴4c ＋2c ＋c ＝50， ∴7c ＝50，∴c ＝507，故选D. 14．(2019·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜t ，则实数t 的取值范围为( D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：依题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1， 又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 15．(2019·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为 a n ＝n (n ＋1)2 . 解析：由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1， ∴a n ＋1＝b n b n ＋1， 当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∵b n ＞0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1， ∴{b n }成等差数列， 由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92， ∴b 1＝2，b 2＝322， ∴公差d ＝22， ∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝(n ＋1)22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n (n ＋1)2. 16．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3， 即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12. 又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎨⎧ 2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数. 当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136. 当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512. 故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.。
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件全书word - 副本2
(2019·安徽合肥一中模拟)如图,四棱锥P ABCD 中,E 为AD 的中点,PE ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AB ∥CD ,AB ＝2DC ＝23,AC ∩BD ＝F ,且△P AD 与△ABD 均为正三角形,G 为△P AD 重心.(1)求证：GF ∥平面PDC ；(2)求三棱锥G PCD 的体积.解：(1)证明：连接AG 并延长交PD 于H ,连接CH .由四边形ABCD 是梯形,AB ∥CD ,且AB ＝2DC ,知AF FC ＝21,又G 为△P AD 的重心,∴AG GH ＝21,在△ACH 中,AG GH ＝AF FC ＝21,故GF ∥HC .又HC ⊂平面PDC ,GF ⊄平面PDC ,∴GF ∥平面PDC .(2)由AB ＝23,△P AD ,△ABD 为正三角形,E 为AD 中点得PE ＝3, 由(1)知GF ∥平面PDC ,又PE ⊥平面ABCD ,∴V G PCD ＝V F PCD ＝V P CDF ＝13·PE ·S △CDF , 由四边形ABCD 是梯形,AB ∥CD ,且AB ＝2DC ＝23,△ABD 为正三角形,知DF ＝13BD ＝233,∠CDF ＝∠ABD ＝60°,∴S △CDF ＝12CD ·DF ·sin ∠CDF ＝32,∴V P CDF ＝13PE ·S △CDF ＝32,∴三棱锥GPCD 的体积为32. 考点三 面面平行的判定与性质如图所示,在三棱柱ABCA 1B 1C 1中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点,求证：(1)B ,C ,H ,G 四点共面；(2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明：(1)∵G ,H 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线,则GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ,∴GH ∥BC ,∴B ,C ,H ,G 四点共面.(2)∵E ,F 分别为AB ,AC 的中点,∴EF ∥BC ,∵EF ⊄平面BCHG ,BC ⊂平面BCHG ,∴EF ∥平面BCHG .又G ,E 分别是A 1B 1,AB 的中点,A 1B 1綊AB ,∴A 1G 綊EB ,∴四边形A 1EBG 是平行四边形,∴A 1E ∥GB .∵A 1E ⊄平面BCHG ,GB ⊂平面BCHG ,∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ,∴平面EF A 1∥平面BCHG .【条件探究1】 在本典例中,若将条件“E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点”变为“点D ,D 1分别是AC ,A 1C 1上的点,且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”,试求AD DC 的值.解：连接A 1B 交AB 1于O ,连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1,且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1,平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ,所以BC 1∥D 1O ,则A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ＝1. 又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD , ∴DC AD ＝1,即AD DC ＝1.【条件探究2】 在本典例中,若将条件“E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点”变为“D 1,D 分别为B 1C 1,BC 的中点”,求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D .证明：如图所示,连接A1C交AC1于点M,∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴M是A1C的中点,连接MD,∵D为BC的中点,∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1,又由三棱柱的性质知,D1C1綊BD,∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又DC1∩DM＝D,DC1,DM⊂平面AC1D,因此平面A1BD1∥平面AC1D.1.判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用).2.面面平行的应用(1)两平面平行,构造与之相交的第三个平面,可得交线平行.(2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行,可用于证明线面平行.(2019·唐山质检)如图所示,四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图所示,设DF与GN交于点O,连接AE,则AE必过点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE ∥GN.因为DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D,BD,DE⊂平面BDE,所以平面BDE∥平面MNG.1.(2018·浙江卷)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:∵m⊄α,n⊂α,m∥n,∴m∥α,故充分性成立,而由m∥α,n⊂α,得m∥n或m与n异面,故必要性不成立,故选A.2.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(A)【解析】:解法一：B选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ；C选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ；D选项中,AB∥NQ,且AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ.故选A.解法二：A选项中(如图),连接CB交MN于D,连接DQ,则平面MNQ 与平面ABC的交线为DQ,在△ABC中,Q为AC的中点,而点D为CB 的四等分点,所以AB与DQ不平行,从而可知AB与平面MNQ不平行,故选A.3.(2016·全国卷Ⅱ)α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,有下列四个命题：①如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β.②如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n .③如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β.④如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有②③④__.(填写所有正确命题的编号)【解析】:对于①,由m ⊥n ,m ⊥α可得n ∥α或n 在α内,当n ∥β时,α与β可能相交,也可能平行,故①错误；对于②,过直线n 作平面与平面α交于直线c ,由n ∥α可知n ∥c ,∵m ⊥α,∴m ⊥c ,∴m ⊥n ,故②正确；对于③,由两个平面平行的性质可知正确；对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有②③④.4.(2018·全国卷Ⅲ)如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直,M 是CD ︵上异于C ,D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ？说明理由.解：(1)证明：∵平面ABCD 与半圆弧CD ︵所在平面垂直,平面ABCD ∩平面DMC ＝DC ,且AD ⊥DC ,∴AD ⊥平面MCD .∵CM ⊂平面MCD ,∴AD ⊥CM .∵M 是半圆弧CD ︵上异于C ,D 的点,∴CM ⊥MD .又DM ∩AD ＝D ,且DM ,AD ⊂平面ADM ,∴CM ⊥平面ADM .∵CM ⊂平面BMC ,∴平面AMD ⊥平面BMC .(2)线段AM 上存在点P 且P 为AM 的中点,理由如下：如图,连接BD ,AC 交于点O,则O 为AC 的中点,连接PD ,PB ,PO .∵在矩形ABCD 中,O 是AC 的中点,P 是AM 的中点,∴OP ∥MC .∵OP ⊂平面PBD ,MC ⊄平面PBD ,∴MC ∥平面PBD .第5节 直线、平面垂直的判定及其性质考点一直线与平面垂直的判定与性质(1)(2019·湖南益阳模拟)如图所示,在四棱锥P ABCD中,平面P AB⊥平面ABCD,AD∥BC,AD＝2BC,∠DAB＝∠ABP＝90°.①求证：AD⊥平面P AB；②求证：AB⊥PC.证明：①因为∠DAB＝90°,所以AD⊥AB.因为平面P AB⊥平面ABCD,且平面P AB∩平面ABCD＝AB,所以AD⊥平面P AB.②由①知AD⊥AB,因为AD∥BC,所以BC⊥AB.又因为∠ABP＝90°,所以PB⊥AB.因为PB∩BC＝B,所以AB⊥平面PBC,因为PC⊂平面PBC,所以AB⊥PC.(2)如图所示,在四棱锥P ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC ⊥CD,∠ABC＝60°,P A＝AB＝BC,E是PC的中点.证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.证明：①在四棱锥P ABCD中,∵P A⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴P A⊥CD.又∵AC⊥CD,P A∩AC＝A,P A,AC⊂平面P AC,∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC,∴CD⊥AE.②由P A＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝P A.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由①知AE⊥CD,且PC∩CD＝C,PC,CD⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD,而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD,且P A∩AD＝A,∴AB⊥平面P AD,而PD⊂平面P AD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A,AB,AE⊂平面ABE,∴PD⊥平面ABE.【结论探究】在本典例(1)中,若点E在棱PD上,且CE∥平面P AB,求PEPD的值.解：过E作EF∥AD交P A于F,连接BF.因为AD∥BC,所以EF∥BC.所以E,F,B,C四点共面.又因为CE∥平面P AB,且CE⊂平面BCEF,平面BCEF∩平面P AB＝BF,所以CE∥BF, 所以四边形BCEF为平行四边形,所以EF＝BC＝12AD.在△P AD中,因为EF∥AD,所以PEPD＝EFAD＝12,即PEPD＝12.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(2019·广东茂名模拟)如图,在三棱锥P ABC中,P A⊥AC,PC⊥BC,M为PB的中点,D为AB的中点,且△AMB为正三角形.(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝2BC ,三棱锥PABC 的体积为1,求点B 到平面DCM的距离.解：(1)证明：在正三角形AMB 中,D 是AB 的中点,所以MD ⊥AB .因为M 是PB 的中点,D 是AB 的中点,所以MD ∥P A ,故P A ⊥AB .又P A ⊥AC ,AB ∩AC ＝A ,AB ,AC ⊂平面ABC ,所以P A ⊥平面ABC .因为BC ⊂平面ABC ,所以P A ⊥BC .又PC ⊥BC ,P A ∩PC ＝P ,P A ,PC ⊂平面P AC ,所以BC ⊥平面P AC .(2)设AB ＝x ,则MD ＝32x ,P A ＝3x ,由P A ＝2BC ,得BC ＝32x ,由(1)可知BC ⊥平面P AC ,又AC ⊂平面P AC ,所以BC ⊥AC ,所以AC ＝12x ,由三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13·S △ABC ·P A ＝18x 3＝1,得x ＝2.设点B 到平面DCM 的距离为h .因为△AMB 为正三角形,所以AB ＝MB ＝2.因为BC ＝3,BC ⊥AC ,AC ＝1.所以S △BCD ＝12S △ABC ＝12×12·BC ·AC ＝12×12×3×1＝34.因为MD ＝3,由(1)知MD ∥P A ,P A ⊥平面ABC ,所以MD ⊥平面ABC ,因为DC ⊂平面ABC ,所以MD ⊥DC .在△ABC 中,CD ＝12AB ＝1,所以S △MCD ＝12·MD ·CD ＝12×3×1＝32. 因为V M BCD ＝V B MCD , 所以13S △BCD ·MD ＝13S △MCD ·h , 即13×34×3＝13×32×h ,所以h ＝32.故点B 到平面DCM 的距离为32.考点二 面面垂直的判定与性质(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AB ,AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ；(2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .证明：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1＝AB,所以四边形ABB1A1为菱形,所以AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.又因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.1.判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).2.证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑.(2)条件中告诉我们某种位置关系,就要联系到相应的性质定理,如已知两平面互相垂直,我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理.(3)在垂直关系的证明中,线线垂直是问题的核心,可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直.(2019·安徽淮北一中模拟)如图,四棱锥P ABCD的底面是矩形,P A⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且P A＝AD.(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求证：平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ,连接FG 、EG ,∵F 为PD 的中点,G 为PC 的中点,∴FG 为△CDP 的中位线,∴FG ∥CD ,FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形,E 为AB 的中点,∴AE ∥CD ,AE ＝12CD .∴FG ＝AE ,FG ∥AE ,∴四边形AEGF 是平行四边形,∴AF ∥EG ,又EG ⊂平面PEC ,AF ⊄平面PEC ,∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ,F 为PD 的中点,∴AF ⊥PD ,∵P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴P A ⊥CD ,又∵CD ⊥AD ,AD ∩P A ＝A ,∴CD⊥平面P AD,∵AF⊂平面P AD,∴CD⊥AF,又PD∩CD＝D,∴AF⊥平面PCD,由(1)知EG∥AF,∴EG⊥平面PCD,又EG⊂平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD.考点三平行与垂直的综合问题角度1 平行、垂直中的探索性问题如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC＝CE,点F为CE的中点.(1)证明：AE∥平面BDF.(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE？若存在,确定点P的位置,并加以证明；若不存在,请说明理由.解：(1)证明：连接AC交BD于O,连接OF,如图①.图①∵四边形ABCD是矩形,∴O为AC的中点, 又F为EC的中点,∴OF为△ACE的中位线,∴OF∥AE,又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,∴AE∥平面BDF.(2)当P为AE中点时,有PM⊥BE,证明如下：取BE中点H,连接DP,PH,CH.图②∵P为AE的中点,H为BE的中点,∴PH∥AB.又AB∥CD,∴PH∥CD,∴P,H,C,D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD∩平面BCE＝BC,CD⊂平面ABCD,CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,∴CD⊥BE,∵BC＝CE,H为BE的中点,∴CH⊥BE,又CD∩CH＝C,∴BE⊥平面DPHC,又PM⊂平面DPHC,∴BE⊥PM,即PM⊥BE.角度2 折叠问题中的平行与垂直关系如图(1)所示,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD 折起,得到三棱锥A1BCD,如图(2)所示.(1)若M是FC的中点,求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由.解：(1)证明：∵D,M分别为AC,FC的中点,∴DM∥EF,又∵EF⊂平面A1EF,DM⊄平面A1EF,∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD,A1E⊥BD,A1E∩EF＝E,A1E,EF⊂平面A1EF,∴BD⊥平面A1EF,又A1F⊂平面A1EF,∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直.理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD,平面BCD∩平面A1BD＝BD,EF⊥BD,EF ⊂平面CBD,∴EF⊥平面A1BD,又∵A1B⊂平面A1BD,∴A1B⊥EF,又∵DM∥EF,∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD,∵DM∩CD＝D,∴A1B⊥平面MCD,∴A1B⊥BD,与∠A1BD为锐角矛盾,∴直线A1B与直线CD不能垂直.角度3 空间位置关系与几何体的度量计算(2018·天津卷)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB＝2,AD＝23,∠BAD＝90°.(1)求证：AD⊥BC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.解：(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD＝AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(2)如图,取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M 为棱AB 的中点,所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角.在Rt △DAM 中,AM ＝1,故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.因为AD ⊥平面ABC ,所以AD ⊥AC .在Rt △DAN 中,AN ＝1,故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中,MN ＝1,可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝1326.所以,异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326.(3)如图,连接CM .因为△ABC 为等边三角形,M 为边AB 的中点, 所以CM ⊥AB ,CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ,而CM ⊂平面ABC ,故CM ⊥平面ABD ,所以,∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角.在Rt △CAD 中,CD ＝AC 2＋AD 2＝4.在Rt △CMD 中,sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以,直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34.1.与探索性问题有关的解题策略(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识建点.2.证明折叠问题中的平行与垂直,关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系可在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.3. 利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程,缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.如图,在四棱锥P ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC.(2)求证：平面P AB⊥平面P AC.(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得P A∥平面CEF？说明理由.解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,且PC∩AC＝C,所以DC⊥平面P AC.(2)证明：因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C,所以AB⊥平面P AC.又AB⊂平面P AB,所以平面P AB⊥平面P AC.(3)棱PB上存在点F,使得P A∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F,连接EF,CE,CF.因为E为AB的中点,所以EF∥P A.又因为P A⊄平面CEF,且EF⊂平面CEF,所以P A∥平面CEF.1.(2018·全国卷Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB＝AC＝3,∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB ⊥DA.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且BP ＝DQ ＝23DA ,求三棱锥Q ABP 的体积.解：(1)证明：由已知可得,∠BAC ＝90°,即BA ⊥AC .又BA ⊥AD ,所以AB ⊥平面ACD .又AB ⊂平面ABC ,所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)解：由已知可得,DC ＝CM ＝AB ＝3,DA ＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ,所以BP ＝2 2.如图,过点Q 作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE 綊13DC .由已知及(1)可得,DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE ＝1.因此,三棱锥Q -ABP 的体积为V Q -ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1. 2.(2016·江苏卷)如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且B 1D ⊥A 1F ,A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1＝A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F ＝A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.3.(2018·浙江卷)如图,已知多面体ABC A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC＝120°,A1A＝4,C1C＝1,AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.解：(1)证明：由题意得BB1⊥AB,CC1⊥BC,AA1⊥AB,所以△ABB1为直角三角形,四边形BCC1B1为直角梯形.所以AB1＝2 2.在△ABC中,AB＝2,BC＝2,∠ABC＝120°,由余弦定理得AC＝2 3.在△ACC1中,由勾股定理得AC1＝13.同理,A1B1＝2 2.在直角梯形BCC1B1中可得B1C1＝5,则A1B21＋AB21＝AA21,所以∠AB1A1＝90°,所以AB1⊥A1B1.同理,AB1⊥B1C1.又A1B1∩B1C1＝B1,所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)如图,作CH⊥AB,垂足为H,结合CH⊥BB1知CH⊥平面A1ABB1.又CC1∥平面AA1B1B,所以CH为C1到平面A1ABB1的距离.在△BCH 中得∠CBH＝60°,BC＝2,所以CH＝3,所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为CH AC1＝313＝3913.第6节空间向量的运算及应用考点一 空间向量的线性运算如图所示,在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中,设AA 1→＝a ,AB →＝b ,AD →＝c ,M ,N ,P 分别是AA 1,BC ,C 1D 1的中点,试用a ,b ,c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.解：(1)∵P 是C 1D 1的中点,∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点,∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点,∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ,又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ,∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c. 用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.(1)如图,在三棱锥OABC 中,M ,N 分别是AB ,OC 的中点,设OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,用a ,b ,c 表示NM →,则NM →等于( B)A.12(－a ＋b ＋c )B.12(a ＋b －c )C.12(a －b ＋c )D.12(－a －b ＋c )【解析】:NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB →＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝12(a ＋b －c ).(2)如图所示,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点.用AB →,AD →,AA 1→表示OC 1→,则OC 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.【解析】:∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →),∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.考点二 共线、共面向量定理的应用如图所示,已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1,点M ,N 分别在AC 1和BC 上,且满足AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →(0≤k ≤1).(1)向量MN →是否与向量AB →,AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解：(1)∵AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →,∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→.∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →,AA 1→共面.(2)当k ＝0时,点M ,A 重合,点N ,B 重合,MN 在平面ABB 1A 1内, 当0＜k ≤1时,MN 不在平面ABB 1A 1内, 又由(1)知MN →与AB →,AA 1→共面, ∴MN ∥平面ABB 1A 1.1.证明空间三点P ,A ,B 共线的方法(1)P A →＝λPB →(λ∈R )；(2)对空间任一点O ,OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； (3)对空间任一点O ,OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1). 2.证明空间四点P ,M ,A ,B 共面的方法 (1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ,OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；(3)对空间任一点O ,OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； (4)PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →).已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.①求证：E ,F ,G ,H 四点共面； ②求证：BD ∥平面EFGH ；③设M 是EG 和FH 的交点,求证：对空间任一点O ,有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →).证明：①如图,连接BG ,则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →) ＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →,由共面向量定理的推论知：E ,F ,G ,H 四点共面. ②因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →, 所以EH ∥BD .又因为EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH ,所以BD ∥平面EFGH .③找一点O ,并连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG ,如图所示. 由②知EH →＝12BD →,同理FG →＝12BD →, 所以EH →＝FG →,即EH 綊FG , 所以四边形EFGH 是平行四边形. 所以EG ,FH 交于一点M 且被M 平分. 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG → ＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫OC →＋OD →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →).考点三 空间向量数量积及应用如图所示,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,CD 的中点,计算：(1)EF →·BA →. (2)EG →·BD →.解：设AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c ,则|a |＝|b |＝|c |＝1,〈a ,b 〉＝〈b ,c 〉＝〈c ,a 〉＝60°. (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ,BA →＝－a ,所以EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝－12a ·c ＋12a 2＝－14＋12＝14.(2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12AB →＋(AC →－AB →)＋12(AD →－AC →) ＝－12AB →＋12AC →＋12AD → ＝－12a ＋12b ＋12c , BD →＝AD →－AB →＝c －a .所以EG →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a )＝12a 2－12a ·b ＋12b ·c ＋12c 2－a ·c ＝12－14＋14＋12－12＝12.【结论探究1】 本典例条件不变,求证：EG ⊥AB . 证明：由例3知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a ), 所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0.故EG →⊥AB →,即EG ⊥AB .【结论探究2】 本典例的条件不变,求EG 的长.解：由例3知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ,|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12, 则|EG →|＝22,即EG 的长为22.【结论探究3】 本典例的条件不变,求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值.解：由例3知AG →＝12b ＋12c ,CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a , cos 〈AG →,CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23,由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2, 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.1.空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉.(2)坐标法：设a ＝(x 1,y 1,z 1),b ＝(x 2,y 2,z 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 2.空间向量数量积的三个应用如图,已知平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,AA 1＝2,∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .解：(1)设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则|a |＝|b |＝1,|c |＝2,a ·b ＝0,c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos120°＝－1. ∵AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c , ∴|AC 1→|＝|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2 ＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋12＋22＋2(0－1－1)＝ 2. ∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ, 则cos θ＝|cos 〈AC 1→,A 1D →〉|＝|AC 1→·A 1D →||AC 1→||A 1D →|.∵AC 1→＝a ＋b ＋c ,A 1D →＝b －c , ∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2, |A 1D →|＝(b －c )2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2 ＝12－2×(－1)＋22＝7. ∴cos θ＝|AC 1→·A 1D →||AC 1→||A 1D →|＝|－2|2×7＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1→＝c ,BD →＝b －a ,∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0, ∴AA 1→⊥BD →,即AA 1⊥BD .1.(2015·浙江卷)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2,b ·e 2＝52,且对于任意x ,y ∈R ,|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0,y 0∈R ),则x 0＝1__,y 0＝2__,|b |＝22 .【解析】:方法一：由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3,其中e 3⊥e i ,i ＝1,2, 由b·e 1＝2得x 0＋y 02＝2, 由b·e 2＝52得x 02＋y 0＝52,解得x 0＝1,y 0＝2,∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.方法二：∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1,e 2〉＝cos 〈e 1,e 2〉＝12, ∴〈e 1,e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0,e 2＝(1,0,0),b ＝(m ,n ,t ),则由题意知b ·e 1＝12m ＋32n ＝2,b·e 2＝m ＝52,解得n ＝32,m ＝52,∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ,∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2, 由题意,当x ＝x 0＝1,y ＝y 0＝2时,⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值1,此时t 2＝1,故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝8＝2 2. 2.(2018·北京卷)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CC 1⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为AA 1,AC ,A 1C 1,BB 1的中点,AB ＝BC ＝5,AC ＝AA 1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B-CD-C1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交.解：(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为CC1⊥平面ABC,所以四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,所以AC⊥EF.因为AB＝BC,所以AC⊥BE,所以AC⊥平面BEF.(2)解：由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC.因为BE⊂平面ABC,所以EF⊥BE.如图,建立空间直角坐标系E-xyz.由题意得B(0,2,0),C(－1,0,0),D(1,0,1),E(0,0,0),F(0,0,2),G(0,2,1).所以BC →＝(－1,－2,0),BD →＝(1,－2,1). 设平面BCD 的法向量为n ＝(x 0,y 0,z 0),则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2y 0＝0，x 0－2y 0＋z 0＝0. 令y 0＝－1,则x 0＝2,z 0＝－4. 于是n ＝(2,－1,－4).又因为平面CC 1D 的法向量为EB →＝(0,2,0), 所以cos 〈n ,EB →〉＝n ·EB →|n ||EB →|＝－2121.由题知二面角B -CD -C 1为钝角, 所以其余弦值为－2121.(3)证明：由(2)知平面BCD 的法向量为n ＝(2,－1,－4),FG →＝(0,2,－1).因为n ·FG →＝2×0＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝2≠0, 所以直线FG 与平面BCD 相交.第7节 立体几何中的向量方法考点一 利用空间向量证明平行问题 如图,在四面体ABCD 中,AD ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AD ＝2,BD ＝22,M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .证明：方法一 如图,取BD 的中点O ,以O 为原点,OD ,OP 所在直线分别为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知,A (0,2,2),B (0,－2,0),D (0,2,0). 设点C 的坐标为(x 0,y 0,0).因为AQ →＝3QC →,所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点,故M (0,2,1). 又P 为BM 的中点,故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12,所以PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1), 故PQ →·a ＝0.又PQ ⊄平面BCD ,所以PQ ∥平面BCD . 方法二 在线段CD 上取点F ,使得DF ＝3FC , 连接OF ,同方法一建立空间直角坐标系, 写出点A ,B ,C 的坐标,设点C 坐标为(x 0,y 0,0). 因为CF →＝14CD →,设点F 的坐标为(x ,y,0), 则(x －x 0,y －y 0,0)＝14(－x 0,2－y 0,0),所以⎩⎨⎧x ＝34x 0，y ＝24＋34y 0，所以OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0.又由方法一知PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0,所以OF →＝PQ →,所以PQ ∥OF . 又PQ ⊄平面BCD ,OF ⊂平面BCD , 所以PQ ∥平面BCD .利用空间向量证明平行的方法如图所示,平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A ＝AD ＝2,E ,F ,G 分别是线段P A ,PD ,CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A ＝AD ,∴AB ,AP ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),G (1,2,0).∴PB →＝(2,0,－2),FE →＝(0,－1,0),FG →＝(1,1,－1), 设PB →＝sFE →＋tFG →,即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1), ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2,∴PB →＝2FE →＋2FG →,又∵FE →与FG →不共线,∴PB →,FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ,∴PB ∥平面EFG .考点二 利用空间向量证明垂直问题如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,AD ＝DE ＝2AB .求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ,则A (0,0,0),C (2a,0,0),B (0,0,a ),D (a ,3a ,0),E (a ,3a,2a ). 所以BE →＝(a ,3a ,a ),BC →＝(2a,0,－a ), CD →＝(－a ,3a,0),ED →＝(0,0,－2a ). 设平面BCE 的法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1), 由n 1·BE →＝0,n 1·BC →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋3ay 1＋az 1＝0，2ax 1－az 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3y 1＋z 1＝0，2x 1－z 1＝0. 令z 1＝2,可得n 1＝(1,－3,2). 设平面CDE 的法向量为n 2＝(x 2,y 2,z 2), 由n 2·CD →＝0,n 2·ED →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧ －ax 2＋3ay 2＝0，－2az 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3y 2＝0，z 2＝0.令y 2＝1,可得n 2＝(3,1,0). 因为n 1·n 2＝1×3＋1×(－3)＝0. 所以n 1⊥n 2,所以平面BCE ⊥平面CDE .【结论探究】 本典例中条件不变,点F 是CE 的中点,证明DF ⊥平面BCE .证明：易得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，a ,则DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－32a ，a ,又平面BCE的一个法向量为n 1＝(1,－3,2),则DF →＝a 2n 1,即DF →∥n 1,从而DF ⊥平面BCE .用空间向量证明垂直问题的方法如图所示,已知四棱锥PABCD 的底面是直角梯形,∠ABC ＝∠BCD ＝90°,AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ,侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .证明：(1)取BC 的中点O ,连接PO ,∵平面PBC ⊥底面ABCD ,△PBC 为等边三角形, 平面PBC ∩底面ABCD ＝BC ,PO ⊂平面PBC , ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点,以BC 所在直线为x 轴,过点O 与AB 平行的直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD ＝1,则AB ＝BC ＝2,PO ＝3, ∴A (1,－2,0),B (1,0,0),D (－1,－1,0),P (0,0,3), ∴BD →＝(－2,－1,0),P A →＝(1,－2,－3).∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0, ∴P A →⊥BD →,∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ,连接DM ,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32,PB →＝(1,0,－3),∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0, ∴DM →⊥PB →,即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0, ∴DM →⊥P A →,即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ,P A ,PB ⊂平面P AB , ∴DM ⊥平面P AB .∵DM ⊂平面P AD ,∴平面P AD ⊥平面P AB .考点三 用空间向量解决探索性问题角度1 与平行有关的探索性问题如图,在四棱锥P ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,P A ⊥PD ,P A ＝PD ,AB ⊥AD ,AB ＝1,AD ＝2,AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)在棱P A 上是否存在点M ,使得BM ∥平面PCD ？若存在,求AMAP 的值；若不存在,说明理由.解：(1)证明：因为平面P AD ⊥平面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD＝AD ,AB ⊥AD ,AB ⊂平面ABCD ,所以AB ⊥平面P AD .所以AB ⊥PD . 又因为P A ⊥PD ,P A ∩AB ＝A , 所以PD ⊥平面P AB .(2)取AD 的中点O ,连接PO ,CO . 因为P A ＝PD ,所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面P AD ,平面P AD ⊥平面ABCD , 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ,所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ,所以CO ⊥AD . 故PO ,CO ,OA 两两垂直. 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.由题意得,A (0,1,0),B (1,1,0),C (2,0,0),D (0,－1,0),P (0,0,1). AP →＝(0,－1,1),DC →＝(2,1,0),DP →＝(0,1,1). 设平面PCD 的一个法向量n ＝(x ,y ,z ),则⎩⎨⎧DC →·n ＝0，DP →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1,得y ＝－2,z ＝2.所以平面PCD 的一个法向量n ＝(1,－2,2). 设M 是棱P A 上一点,则存在λ∈[0,1],使得AM →＝λAP →, 因此点M (0,1－λ,λ),BM →＝(－1,－λ,λ). 因为BM ⊄平面PCD ,所以要使BM ∥平面PCD ,当且仅当BM →·n ＝0, 即(－1,－λ,λ)·(1,－2,2)＝0,所以－1＋4λ＝0, 解得λ＝14.所以在棱P A 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ,此时AM AP ＝14. 角度2 与垂直有关的探索性问题如图,正方形ADEF 所在平面和等腰梯形ABCD 所在的平面互相垂直,已知BC ＝4,AB ＝AD ＝2.(1)求证：AC ⊥BF ；(2)在线段BE 上是否存在一点P ,使得平面P AC ⊥平面BCEF ？若存在,求出BPPE 的值；若不存在,请说明理由.解：(1)证明：∵平面ADEF ⊥平面ABCD ,平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ,AF ⊥AD ,AF ⊂平面ADEF ,∴AF ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ,∴AF ⊥AC .过A 作AH ⊥BC 于H ,则BH ＝1,AH ＝3,CH ＝3,。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (52)
课时作业52 直线与圆、圆与圆的位置关系1．若直线x ＋my ＝2＋m 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交，则实数m 的取值范围为( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.因为直线与圆相交，所以d ＝|1＋m －2－m |1＋m 2＜r ＝1.解得m ＞0或m ＜0，故选D. 2．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( A ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 解析：切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，故可设切线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，结合题意可得|c |5＝5，解得c ＝±5.故选A. 3．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( D ) A.12 B ．1 C.22 D. 2 解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 4．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 解析：方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的坐标代入得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝25， 所以|MN |＝225－1＝4 6. 方法二：因为k AB ＝－13，k BC ＝3， 所以k AB k BC ＝－1，所以AB ⊥BC ， 所以△ABC 为直角三角形，所以△ABC 的外接圆圆心为AC 的中点(1，－2)，半径r ＝12|AC |＝5， 所以|MN |＝225－1＝4 6. 方法三：由AB →·BC →＝0得AB ⊥BC ，下同方法二． 5．(2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( B ) A ．3 B ．4 C ．2 3 D ．8 解析：连接O 1A 、O 2A ，如图，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直， 因此O 1A ⊥O 2A ，所以O 1O 22＝O 1A 2＋O 2A 2， 即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C . 在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55， ∴在Rt △ACO 2中，AC ＝AO 2·sin ∠AO 2O 1＝25×55＝2，∴AB ＝2AC ＝4.故选B. 6．(2019·山西太原五中模拟)已知k ∈R ，点P (a ，b )是直线x ＋y ＝2k 与圆x 2＋y 2＝k 2－2k ＋3的公共点，则ab 的最大值为( B ) A ．15 B ．9 C ．1 D ．－53 解析：由题意得，原点到直线x ＋y ＝2k 的距离d ＝|－2k |2 ≤k 2－2k ＋3，且k 2－2k ＋3＞0，解得－3≤k ≤1，因为2ab ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2)＝4k 2－(k 2－2k ＋3)＝3k 2＋2k －3，所以当k ＝－3时，ab 取得最大值9，故选B. 7．(2019·河南郑州外国语中学调研)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2 ＋1b 2的最小值为( D ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．9 解析：由题意可知，圆C 1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C 2的圆心为(0，b )，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切， 所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1， 即4a 2＋b 2＝1. 所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2·(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立，所以1a 2＋1b 2的最小值为9，故选D. 8．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( A ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125 解析：因为圆心在直线y ＝2x －4上， 所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由a 2＋(2a －3)2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋(2a －3)2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A. 9．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y－8＝0解析：两式相减整理得x －2y ＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程． 解法一：设两圆相交于点A ，B ， 则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2. 所以|AB |＝(0＋4)2＋(2－0)2＝25， 即公共弦长为2 5. 解法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0， 得圆心坐标为(1，－5)，半径r ＝5 2. 圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|12＋(－2)2＝35， 设两圆的公共弦长为l ， 由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22， 得l ＝2r 2－d 2＝2(52)2－(35)2＝25， 即两圆的公共弦长为2 5. 10．(2019·湖南湘中名校联考)已知m ＞0，n ＞0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是 解析：因为m ＞0，n ＞0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径1， 所以|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1， 即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2.两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1. 由基本不等式mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22可得m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22， 即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0， 解得m ＋n ≥2＋2 2. 当且仅当m ＝n 时等号成立． 11．(2019·广东深圳联考)如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程； (2)若M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程； (3)在(2)的条件下，若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心的轨迹方程． 解：(1)易知k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝22， ∴BC 边所在直线方程为y ＝22x －2 2. (2)由(1)及题意得C (4,0)，∴M (1,0)， 又∵AM ＝3， ∴外接圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵圆N 过点P (－1,0)，∴PN 是动圆的半径，又∵动圆N 与圆M 内切， ∴MN ＝3－PN ，即MN ＋PN ＝3， ∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∵P (－1,0)，M (1,0)， ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54， ∴所求轨迹方程为x 294＋y 254＝1，即4x 29＋4y 25＝1. 12．(2019·河北武邑中学模拟)已知⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，且截x 轴所得线段的长为2. (1)求⊙H 的方程； (2)若存在过点P (a,0)的直线与⊙H 相交于M ，N 两点，且|PM |＝|MN |，求实数a 的取值范围． 解：(1)设⊙H 的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2(r ＞0)， 因为⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H (m ，n )一定是两互相垂直的直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以m ＝2，n ＝1. 又⊙H 截x 轴所得线段的长为2，所以r 2＝12＋n 2＝2. 所以⊙H 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. (2)设N (x 0，y 0)，由题意易知点M 是PN 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2，y 02. 因为M ，N 两点均在⊙H 上， 所以(x 0－2)2＋(y 0－1)2＝2，① ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 02－12＝2， 即(x 0＋a －4)2＋(y 0－2)2＝8，② 设⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8， 由①②知⊙H 与⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8有公共点，从而22－2≤|HI |≤22＋2，即2≤(a －2)2＋(1－2)2≤32， 整理可得2≤a 2－4a ＋5≤18， 解得2－17≤a ≤1或3≤a ≤2＋17， 所以实数a 的取值范围是[2－17，1]∪[3,2＋17]．13．若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( D ) A.12 B.32 C.34 D.34 解析：由已知可得圆心到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长为24－44a 2＋b 2＝23，化简得4a 2＋b 2＝4. ∴t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2 ≤142[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142(8a 2＋2b 2＋1)＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即t 取最大值，此时a ＝34(舍负)，故选D. 14．(2019·江西新余五校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( D ) A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0 B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0 C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0 D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0 解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2， 则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5. 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12， 则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2， 由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2， S △OPQ ＝12·|PQ |·d ＝12·29－d 2·d ＝(9－d 2)d 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92. 因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92， 此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0. 15．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是解析：解法一：设P (x ，y )，则由P A →·PB →≤20可得， (－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65， 所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝50，(x ＋6)2＋(y －3)2＝65， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝－5， 即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，易知－52≤x ≤1. 解法二：设P (x ，y )，则由P A →·PB →≤20， 可得(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即x 2＋12x ＋y 2－6y ≤20， 由于点P 在圆x 2＋y 2＝50上， 故12x －6y ＋30≤0，即2x －y ＋5≤0， ∴点P 为圆x 2＋y 2＝50上且满足2x －y ＋5≤0的点，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，同解法一，可得N (1,7)，M (－5，－5)， 易知－52≤x ≤1. 16．已知点G (5,4)，圆C 1：(x －1)2＋(y －4)2＝25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E ，F 两点，线段EF 的中点为C ，且C 在圆C 2上． (1)若直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)经过点G ，求mn 的最大值； (2)求圆C 2的方程； (3)若过点A (1,0)的直线l 1与圆C 2相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，求证：|AM |·|AN |为定值．【人教版】红对勾2020届高考一轮数学（理）复习：课时作业解：(1)∵点G(5,4)在直线mx＋ny－1＝0上，∴5m＋4n＝1,5m＋4n≥220mn(当且仅当5m＝4n时取等号)，∴1≥80mn，即mn≤180，∴(mn)max＝180.(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4)，半径为5，设C(x，y)，则C1C→＝(x－1，y－4)，CG→＝(5－x,4－y)，由题设知C1C→·CG→＝0，∴(x－1)(5－x)＋(y－4)(4－y)＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝4，∴C2的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝4.(3)证明：当直线l1的斜率不存在时，直线l1与圆C2相切，当直线l1的斜率为0时，直线l1与圆C2相离，故设直线l1的方程为kx－y－k＝0(k≠0)．由直线l1与圆C2相交，得|3k－4－k|k2＋1＜2，解得k＞34.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＋2＝0，kx－y－k＝0得N⎝⎛⎭⎪⎫2k－22k＋1，－3k2k＋1，又直线C2M与l1垂直，由⎩⎨⎧y＝kx－k，y－4＝－1k(x－3)得M⎝⎛⎭⎪⎫k2＋4k＋31＋k2，4k2＋2k1＋k2，∴|AM|·|AN|＝⎝⎛⎭⎪⎫k2＋4k＋31＋k2－12＋⎝⎛⎭⎪⎫4k2＋2k1＋k22·⎝⎛⎭⎪⎫2k－22k＋1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫－3k2k＋12＝2|2k＋1|1＋k2·1＋k2·31＋k2|2k＋1|＝6(定值)．。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (70)
课时作业70 二项分布、正态分布及其应用1．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( C )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) 解析：由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错 ； P (X ≥σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错； 当t 为任意正数时，由题图可知 P (X ≤t )≥P (Y ≤t )， 而P (X ≤t )＝1－P (X ≥t )，P (Y ≤t )＝1－P (Y ≥t )， ∴P (X ≥t )≤P (Y ≥t )，故C 正确，D 错． 2．(2019·福建厦门模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( D ) A.25 B.35 C.18125 D.54125 解析：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P 1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125. 3．(2019·河北唐山模拟)甲乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( D )A.29B.49C.23D.79 解析：甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D. 4．(2019·山东淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)．则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( A ) (参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4) A ．0.977 2 B ．0.682 6 C ．0.997 4 D ．0.954 4 解析：∵X ～N (800,502)， ∴P (700≤X ≤900)＝0.954 4， ∴P (X >900)＝1－0.954 42＝0.022 8， ∴P (X ≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2. 故选A. 5．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)． 甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74 现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是( A ) A.14，59 B.14，49C.15，59D.15，49 解析：由题意知，P (AB )＝1020×510＝14，根据条件概率的计算公式得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝14920＝59. 6．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16. 7．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是516. 解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516. 8．(2019·江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为35. 解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A 表示“第一次取得红球”，事件B 表示“第二次取得白球”，则P (A )＝26＝13，P (AB )＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1513＝35. 9.如图，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝14. 解析：由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π， 故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14. 10．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为38.解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12， ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38. 11．(2014·新课标Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2. (ⅰ)利用该正态分布，求P (187.8＜Z ＜212.2)； (ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.12．(2019·广东顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．解：(1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的频率组距也成等差数列， 设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ， ∴0.5(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5. 居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25. (2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 应规定w ＝2.5＋0.10.15×0.5≈2.83. (3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P (A ≤2.5)＝0.7， 由题意，X ～B (3,0.7)， P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027， P (X ＝1)＝C 13×0.32×0.7＝0.189， P (X ＝2)＝C 23×0.3×0.72＝0.441， P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343. ∴X 的分布列为∵X ～B ∴E (X )＝np ＝2.1.13．(2019·广东茂名一模)设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( D ) (注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.44%)A ．7 539B ．6 038C ．7 028D ．6 587 解析：∵X ～N (1,1)， ∴μ＝1，σ＝1. ∵P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%， ∴P (0<X <2)＝68.26%， 则P (1<X <2)＝34.13%， ∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.故选D. 14．(2019·金华一中模拟)春节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( B ) A.5960 B.35 C.12 D.160 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C )＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率 P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是②④.(写出所有正确结论的序号)①P(B)＝2 5；②P(B|A1)＝5 11；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关．解析：由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝510＝12，P(A2)＝210＝15，P(A3)＝310，P(B|A1)＝12×51112＝511，由此知，②正确；P(B|A2)＝411，P(B|A3)＝411，而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922.由此知①③⑤不正确；A1，A2，A3是两两互斥事件，④正确，故答案为②④.16．(2019·河北石家庄新华模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝142.75≈11.95； 若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5. (2)①∵Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P (14.55<Z <38.45)＝P (26.5－11.95<Z <26.5＋11.95)＝0.682 6， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6. ②根据题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12， P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116； P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14； P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38； P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14；【人教版】红对勾2020届高考一轮数学（理）复习：课时作业P(X＝4)＝C44⎝⎛⎭⎪⎫124＝116. ∴X的分布列为∴E(X)＝4×12＝2.。
(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：23 含答案解析
课时作业23 简单的三角恒等变换1．已知270°＜α＜360°，则三角函数式 12＋12 12＋12cos2α的化简结果是( D )A ．sin α2B ．－sin α2 C ．cos α2 D ．－cos α2 解析：12＋1212＋12cos2α＝12＋12cos 2α＝ 12＋12cos α＝cos 2α2，由于135°＜α2＜180°，所以cos α2＜0，所以化简结果为－cos α2. 2.cos85°＋sin25°cos30°cos25°等于( C ) A ．－32 B ．22 C ．12D ．1解析：原式＝sin5°＋32sin25°cos25°＝sin (30°－25°)＋32sin25°cos25° ＝12cos25°cos25°＝12.3．(2019·广州模拟)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝( B )A ．－7210 B ．－210 C ．210D ．7210解析：因为sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，所以cos α＝－45，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－210. 4．(2019·合肥质检)已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，若f (x 1)＜f (x 2)，则一定有( D )A ．x 1＜x 2B ．x 1＞x 2C ．x 21＜x 22D ．x 21＞x 22 解析：f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝14cos4x ＋34，4x ∈[－π，π]，所以函数f (x )是偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递减，根据f (x 1)＜f (x 2)，可得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，所以|x 1|＞|x 2|，即x 21＞x 22.5．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( C ) A ．43 B ．34 C ．－34D ．－43解析：因为sin α＋2cos α＝102，所以sin 2α＋4cos 2α＋4sin αcos α＝104(sin 2α＋cos 2α)， 整理得3sin 2α－3cos 2α－8sin αcos α＝0， 则－3cos2α＝4sin2α，所以tan2α＝－34.6．(2019·豫北名校联考)若函数f (x )＝5cos x ＋12sin x 在x ＝θ时取得最小值，则cos θ等于( B )A ．513B ．－513C ．1213D ．－1213 解析：f (x )＝5cos x ＋12sin x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫513cos x ＋1213sin x ＝ 13sin(x ＋α)，其中sin α＝513，cos α＝1213， 由题意知θ＋α＝2k π－π2(k ∈Z )， 得θ＝2k π－π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－513. 7．(2019·湖南湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan αtan β2等于( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由sin(α＋β)＝12， 得sin αcos β＋cos αsin β＝12，① 由sin(α－β)＝13，得sin αcos β－cos αsin β＝13，②由①②可得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112. ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5.∴log5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan αtan β2＝log 525＝4，故选C ．8．(2019·武汉模拟)在△ABC 中，A ，B ，C 是△ABC 的内角，设函数f (A )＝2sin B ＋C 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－A 2＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π＋A 2－cos 2A2，则f (A )的最大值为 2.解析：f (A )＝2cos A 2sin A 2＋sin 2A 2－cos 2A 2＝sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4， 因为0＜A ＜π，所以－π4＜A －π4＜3π4.所以当A －π4＝π2，即A ＝3π4时，f (A )有最大值 2.9．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(α＋β)＝9tan β，则tan α的最大值为43. 解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α＞0，tan β＞0，∴tan α＝tan(α＋β－β)＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝8tan β1＋9tan 2β＝81tan β＋9tan β≤82×3＝43(当且仅当1tan β＝9tan β时等号成立)，∴tan α的最大值为43.10．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝－3π4. 解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a1－(3a ＋1)＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0，∴tan α＜0且tan β＜0， ∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1， 得α＋β＝－3π4.11．(2019·泉州模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域． 解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， ∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]． 12．(2019·湛江一模)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为π2，且f (0)＝1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，求tan(2α－2β)的值．解：(1)∵函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为π2，∴T 2＝πω＝π2，∴ω＝2， 又f (0)＝1，∴12A ＝1，∴A ＝2， ∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－π3＝2cos(2α－π)＝－2cos2α＝－1013， ∴cos2α＝513，sin2α＝1－cos 22α＝1213， 则tan2α＝sin2αcos2α＝125. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6－π3＝2cos2β＝65，∴cos2β＝35，sin2β＝1－cos 22β＝45， 则tan2β＝sin2βcos2β＝43.∴tan(2α－2β)＝tan2α－tan2β1＋tan2α·tan2β＝125－431＋125×43＝1663.13．(2019·山西临汾模拟)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，当x ＝θ时函数y ＝f (x )取得最小值，则sin2θ＋2cos2θsin2θ－2cos2θ＝( C )A ．－3B ．3C ．－13D ．13解析：f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12，当x ＝θ时函数y ＝f (x )取得最小值，即2θ－π4＝2k π－π2，k ∈Z ， 那么2θ＝2k π－π4，k ∈Z ，则sin2θ＋2cos2θsin2θ－2cos2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－22＋2×22－22－2×22＝－13.故选C ． 14．(2019·江西赣中南五校模拟)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x －π3的最大值为A ，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( B )A ．π2 019 B ．2π2 019 C ．4π2 019D ．π4 038解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x －π3＝sin2 019x cos π6＋cos2 019x sin π6＋cos2 019x cos π3＋sin2 019x sin π3＝32sin2 019x ＋12cos2 019x ＋12cos2 019x ＋32sin2 019x ＝3sin2 019x ＋cos2 019x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 019x ＋π6，∴f (x )的最大值为A ＝2；由题意，得|x 1－x 2|的最小值为T 2＝π2 019， ∴A |x 1－x 2|的最小值为2π2 019.故选B ．15．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cb d ＝ad －bC ．若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin αcos α sin βcos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β＝π3 .解析：由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 又0＜β＜π2，故β＝π3.16．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23sin ωx cos ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解：(1)f (x )＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴， 所以2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得ω＝32k ＋12(k ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )．(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6＜α＋π6＜2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。
《精品》人教版红对勾2020届高考一轮数学(理)复习课时作业4
课时作业4 函数及其表示1．下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin2x2cos x ，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2解析：A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D.2．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意；当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.3．(2019·广东珠海模拟)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( A ) A.15lg2 B.12lg5 C.13lg2D.12lg3解析：解法一：由题意知x ＞0，令t ＝x 5，则t ＞0，x ＝t 15，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ，即f (x )＝15lg x (x ＞0)，∴f (2)＝15lg2，故选A. 解法二：令x 5＝2，则x ＝215， ∴f (2)＝lg215＝15lg2，故选A.4．已知函数f (x )＝1－log 2x 的定义域为[1,4]，则函数y ＝f (x )·f (x 2)的值域是( C )A ．[0,1]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 解析：对于y ＝f (x )·f (x 2)，由函数f (x )的定义域是[1,4]，得1≤x ≤4，且1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2，故函数y ＝f (x )·f (x 2)的定义域是[1,2]，易得y ＝f (x )·f (x 2)＝1－3log 2x ＋2log 22x ，令t ＝log 2x ，则t ∈[0,1]，y ＝1－3t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－18，故t ＝34时，y 取最小值－18；t ＝0时，y 取最大值1，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1，故选C. 5．(2019·河南濮阳模拟)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x ＞0，g (x )，x ＜0是奇函数，则f (g (－2))的值为( C )A.52 B ．－52 C ．1 D ．－1解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＞0，g (x )，x ＜0是奇函数，∴x ＜0时，g (x )＝－12x ＋3， ∴g (－2)＝－12－2＋3＝－1，f (g (－2))＝f (－1)＝g (－1)＝－12－1＋3＝1，故选C.6．(2019·福建福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x ＞0，则满足f (x 2－2)＞f (x )的x 的取值范围是( C )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由题意，x ＞0时，f (x )递增，故f (x )＞f (0)＝0，又x ≤0时，x ＝0，故若f (x 2－2)＞f (x )，则x 2－2＞x ，且x 2－2＞0，解得x ＞2或x ＜－2，故选C.7．(2019·河北成安模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( C )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由题意知，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又∵y ＝x －2，y ＝x 3－2在R 上都为增函数，且f (x )在x ＝1处连续，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.8．(2019·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( C )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若x ＞1，则f (x )＝x ＋1＞2，易知y ＝2|x －a |在(a ，＋∞)上递增，在(－∞，a )上递减，若a ＜1，则f (x )在x ＝a 处取得最小值，不符合题意；若a ≥1，则要使f (x )在x ＝1处取得最小值， 只需2a －1≤2，解得a ≤2，∴1≤a ≤2. 综上可得a 的取值范围是[1,2]，故选C.9．(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x ＋ln(x ＋4)的定义域为(－4,1]__．解析：要使函数f (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4＞0，解得－4＜x ≤1，即函数f (x )的定义域为(－4,1]．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则使f (x )＝12的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 .解析：由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x ＞0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.11．记函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a ＜1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 . 解析：由已知得A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}， B ＝{x |(x －a －1)·(x －2a )＜0}，由a ＜1得a ＋1＞2a ，∴B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋1}． ∵B ⊆A ，∴a ＋1≤－1或2a ≥1， ∴a ≤－2或12≤a ＜1.∴a 的取值范围为a ≤－2或12≤a ＜1.12．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18. (2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2； 当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]， f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2； 当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].13．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( A)A ．y ＝12x 3－12x 2－x B ．y ＝12x 3＋12x 2－3x C ．y ＝14x 3－x D ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析：设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .14．(2019·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |，x ＜a ＋1，－|x ＋1|－a ，x ≥a ＋1，若f (x )的最大值不超过1，则实数a 的取值范围为( A )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－54 解析：当x ＜a ＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |在(－∞，a )上递增，在[a ，a＋1)上递减，可得此时f (x )在x ＝a 处取得最大值，且为1；当x ≥a ＋1时，f (x )＝－a －|x ＋1|，当a ＋1≥－1，即a ≥－2时，f (x )递减，由题意得－a －|a ＋2|≤1，解得a ≥－32；当a ＋1＜－1，即a ＜－2时，f (x )在x ＝－1处取得最大值，且为－a ，由题意得－a ≤1，则a ∈∅.综上可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，故选A.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业12
Earlybird课时作业20三角函数的图象与性质π1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos(，④y＝tan2x＋6)π中，最小正周期为π的所有函数为(A)2x－(4)A．①②③B．①③④C．②④D．①③解析：①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；π2π③y＝cos (的最小正周期T＝＝π；2x＋6)2ππ④y＝tan (的最小正周期T＝.2x－4)2π2．关于函数y＝tan(，下列说法正确的是(C)2x－3)A．是奇函数πB．在区间(上单调递减3)0，πC．(为其图象的一个对称中心，0)6D．最小正周期为πππ解析：函数y＝tan (是非奇非偶函数，A 错误；在区间2x－0，3)(3)π上单调递增，B 错误；最小正周期为，D 错误．2πππ∵当x＝时，tan ＝0，2 ×－6 (3)6π∴(，0)为其图象的一个对称中心．6Earlybirdπ3．(2019·石家庄检测)若(是函数f(x)＝sinωx＋cosωx图象的，0)8一个对称中心，则ω的一个取值是(C)A．2 B．4C．6 D．8ππ解析：因为f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(，由题意，知fωx＋4)(8 )ωππ＝2sin(＝0，4)＋8ωππ所以＋＝kπ(k∈Z)，8 4即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1 时，ω＝6.π4．(2019·佛山模拟)已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大3值点，则f(x)的一个单调递减区间是(B)π2ππ5πA．(B．3 )( 6 )，，6 3π2πC．(D．，π)(，π)2 3π解析：因为x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，所以sin3π＝1，＋φ)2 ×(3π解得φ＝2kπ－，k∈Z.6ππ不妨取φ＝－，此时f(x)＝sin ，2x－6 (6)ππ3π令2kπ＋＜2x－＜2kπ＋(k∈Z)，2 6 2π 5得kπ＋＜x＜kπ＋π(k∈Z)．3 6π 5取k＝0，得函数f(x)的一个单调递减区间为(.，π)3 6Earlybirdπ5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(的图象过点(0，)，则f(x)|φ|＜ 32)图象的一个对称中心是(B)ππA．(B．－，0)(，0)－3 6ππC．(D．，0)(，0)6 12π解析：函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(的图象过点(0，)，则f(0)＝|φ|＜ 32)2sinφ＝3，3 ππ∴sinφ＝，又|φ|＜，∴φ＝，2 2 3π则f(x)＝2sin(，3)2x＋π令2x＋＝kπ(k∈Z)，3kππ则x＝－(k∈Z)，2 6π当k＝0 时，x＝－，6π∴(是函数f(x)的图象的一个对称中心．－，0)66．(2019·湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b＝Error!例如1](D)2 2A．[B．[－1,1]2 ]－，22 2，1][－1，2 ]2解析：根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．π5π设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sin x≥cos x，f(x)＝cos x，f(x)∈4 4Earlybird2 π5π，当0≤x＜或＜x≤2π时，cos x＞sin x，f(x)＝sin x，f(x)∈－1，[ 2 ]4 42∪[－1,0]．0，[ 2 )2综上知f(x)的值域为[.2 ]－1，π7．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1(，其图象与直线ω＞0，|φ|＜2)2πππy＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)＞1对任意x∈恒成立，－，3 (6)12则φ的取值范围是(B)πππA．[B．6][－－，0]，6 4πππC．(D．12][4]－，－0，3解析：由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1 的最大值为3.2π∵f(x)的图象与直线y＝3 相邻两个交点的距离为，32π2π2π∴f(x)的周期T＝，∴＝，3 ω 3解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.ππ∵f(x)＞1 对任意x∈(恒成立，－，6)12∴2cos(3x＋φ)＋1＞1，即cos(3x＋φ)＞0，ππ对任意x∈(恒成立，－，6)12ππππ∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，4 2 2 2π解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，4Earlybirdπ即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.4ππ结合|φ|＜可得当k＝0 时，φ的取值范围为.－，0]2 [4π8．(2019·烟台检测)若函数f(x)＝cos((0＜φ＜π)是奇函数，2x＋φ－3)5π则φ＝.6ππ5π解析：因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，3 2 65πk∈Z.又因为0＜φ＜π，故φ＝.6π2π9．已知关于x的方程2sin(＋1－a＝0 在区间上存在x＋0，6)[ 3 ]两个根，则实数a的取值范围是[2,3)__．πa－1 2π解析：sin(＝在上存在两个根，x＋0，6) 2 [ 3 ]ππ5π设x＋＝t，则t∈，，6 [ 6 ]6π5πa－1∴y＝sin t，t∈[的图象与直线y＝有两个交点，，6 ]6 21 a－1∴≤＜1，∴2≤a＜3.2 2ππ10．设函数f(x)＝3sin(，若存在这样的实数x1，x2，对任意x＋4)2的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为2__.ππ 2解析：f(x)＝3sin (的周期T＝2π×＝4，x＋4)2 πf(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，T故|x1－x2|的最小值为＝2.2ππ11．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(的图象关于2)ω＞0，－≤φ＜2Earlybirdπ直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.3(1)求ω和φ的值；α 3 π2π3π(2)若f(＝，求cos 的值．＜α＜α＋2 ) 4 (3 )( 2 )6解：(1)f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小2π正周期T＝π，从而ω＝＝2.Tπ又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，3ππ所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….3 2ππ由－≤φ＜得k＝0，2 2π2ππ所以φ＝－＝－.2 3 6ααπ 3(2)由(1)得f(＝3sin(＝，2 )6)2·－2 4π 1所以sin(＝.6)α－4π2πππ由＜α＜得0＜α－＜，6 3 6 2ππ 1 15 所以cos(＝＝＝.1－sin2(α－1－(6)6) 4 )α－ 243πππ因此cos(＝sinα＝sinα＋α－＋2 )[(6)6]ππππ＝sin(cos ＋cos sinα－α－6) 6 (6)1 3 15 1 3＋15＝×＋×＝.64 2 4 2 8π12．已知f(x)＝2sin(.4)2x＋(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；Earlybird(2)求f(x)的单调递增区间；π3π(3)当x∈[时，求函数f(x)的最大值和最小值．，4 ]4π解：(1)f(x)＝2sin(，4)2x＋ππ令2x＋＝kπ＋，k∈Z，4 2kππ得x＝＋，k∈Z.2 8kππ所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.2 8πππ(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，2 4 23ππ得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.8 83ππ故f(x)的单调递增区间为[，k∈Z.8]kπ－，kπ＋8π3π3ππ7π(3)当x∈[时，≤2x＋≤，，4 ]4 4 4 4π 2所以－1≤sin(≤，4)2x＋2所以－2≤f(x)≤1，π3π所以当x∈[时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.， 24 ]413．(2019·龙岩六校联考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实ππ数，若f(x)≤|对任意x∈R恒成立，且f＞0，则f(x)的单f(调递减区间是(C)πA．[(k∈Z)4]kπ，kπ＋ππB．[(k∈Z)4]kπ－，kπ＋4Earlybirdπ3πC．[(k∈Z)4 ]kπ＋，kπ＋4πD．[(k∈Z)kπ－，kπ]2π解析：由题意可得函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，4 ππ故有2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z.4 2ππ又f(＝sin ＞0，6 )(＋φ)3所以φ＝2nπ，n∈Z，所以f(x)＝sin(2x＋2nπ)＝sin2x.π3ππ3π令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，2 2 4 4π3π故函数f(x)的单调递减区间为[，k∈Z，故选C．kπ＋，kπ＋4 ]4ππ14．设ω∈N*且ω≤15，则使函数y＝sinωx在区间[上不单，3]4调的ω的个数是(C)A．6 B．7C．8 D．9π解析：由ωx＝＋kπ(k∈Z)得函数y＝sinωx的图象的对称轴为x＝2πkπ＋(k∈Z)．2ωωππ∵函数y＝sinωx在区间[上不单调，3]，4ππkππ∴＜＋＜(k∈Z)，4 2ωω 3解得1.5＋3k＜ω＜2＋4k(k∈Z)．由题意ω∈N*且ω≤15，∴当k＝0 时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；Earlybird当k＝1 时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取5；当k＝2 时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取8,9；当k＝3 时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取11,12,13；当k＝4 时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8 个，分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C．π15．若函数f(x)＝A cos2(ωx＋φ)＋1 (的最A＞0，ω＞0，0＜φ＜2)大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝4_035__.解析：∵函数f(x)＝A cos2(ωx＋φ)＋11＋cos2ωx＋2φ＝A·＋12A A＝cos(2ωx＋2φ)＋1＋的最大值为3，2 2A A∴＋1＋＝3，∴A＝2.2 2根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，2ππ即＝4，∴ω＝.2ω 4再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，πππ又0＜φ＜，∴2φ＝，φ＝.2 2 4故函数f(x)的解析式为πππf(x)＝cos(＋2＝－sin x＋2，x＋2)2 2∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝π2π3π 2 017π 2 018π－(sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin ＋sin2 )2 2 2 2π＋2×2 018＝504×0－sin －sinπ＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.2Earlybirdπ16．已知函数f(x)＝2sin2(－cos2x－1，x∈R.＋x) 34(1)求f(x)的最小正周期；π(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点(对称，且t∈(0，π)，求t，0)－6的值；ππ(3)当x∈[时，不等式|f(x)－m|＜3 恒成立，求实数m的取值，2]4范围．π解：(1)因为f(x)＝－cos(－cos2x＝sin2x－cos2x＝2＋2x) 3 321 3 π＝2sin ，sin2x－cos2x)(2x－(3)2 2故f(x)的最小正周期为π.π(2)由(1)知h(x)＝2sin(.3)2x＋2t－ππ令2×(＋2t－＝kπ(k∈Z)，－6 )3kππ得t＝＋(k∈Z)，2 3π5π又t∈(0，π)，故t＝或.3 6ππππ2π(3)当x∈[时，2x－∈，，，2] 3 [ 3 ]4 6所以f(x)∈[1,2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，所以2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.故实数m的取值范围是(－1,4)．。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业72
课时作业75 不等式的证明1．(2019·河北五个一名校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1. 解：(1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎨⎧x ≥12，2x －1<x ＋1，或⎩⎨⎧0<x <12，1－2x <x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}． (2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1. 2．已知x ，y 都是正实数，且x ＋y ≥2. (1)求x 2＋y 2的最小值；(2)求证：1＋x y ≤2和1＋yx ≤2至少有一个成立．解：(1)(x 2＋y 2)－(x ＋y )22＝2x 2＋2y 2－(x ＋y )22＝(x －y )22≥0， 当且仅当x ＝y 时等号成立，所以x 2＋y 2≥(x ＋y )22≥2，当x ＝y ＝1时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为2.(2)证明：假设1＋x y ≤2和1＋y x ≤2都不成立，则有1＋x y >2且1＋yx >2，即1＋x >2y 且1＋y >2x ，两式相加，得2＋x ＋y >2x ＋2y ， 即x ＋y <2，这与已知矛盾，因此1＋x y ≤2和1＋yx ≤2至少有一个成立． 3．(2019·太原模拟)已知实数a ，b 满足a 2＋4b 2＝4. (1)求证：a 1＋b 2≤2；(2)若对任意的a ，b ∈R ，|x ＋1|－|x －3|≤ab 恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)证明：因为a 2＋4b 2＝4，所以a 1＋b 2≤|a |·1＋b 2＝2|a |·4＋4b 24≤a 2＋4＋4b 24＝2. (2)由a 2＋4b 2＝4及a 2＋4b 2≥24a 2b 2＝4|ab |，可得|ab |≤1，所以ab ≥－1，当且仅当a ＝2，b ＝－22或a ＝－2，b ＝22时取等号．因为对任意的a ，b ∈R ，|x ＋1|－|x －3|≤ab 恒成立，所以|x ＋1|－|x －3|≤－1.当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －3|＝－4，不等式|x ＋1|－|x －3|≤－1恒成立；当－1<x <3时，|x ＋1|－|x －3|＝2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，2x －2≤－1得－1<x ≤12；当x ≥3时，|x ＋1|－|x －3|＝4， 不等式|x ＋1|－|x －3|≤－1不成立． 综上可得，实数x 的取值范围是{x |x ≤12}．4．(2019·广东中山模拟)已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥98.解：(1)根据题意，若f (x )≤6，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＋3－x ≤6，－1≤x <3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＋(x －3)≤6，x ≥3， 解得－1≤x ≤4，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}．(2)证明：函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3，分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2a ＝8， ∴2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥ 18⎝⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98，原不等式得证． 5．(2019·山西晋中模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)若∃x 0∈R ，使不等式f (x 0－2)－f (x 0－3)≥u 成立，求满足条件的实数u 的集合M ；(2)已知t 为集合M 中的最大正整数，若a >1，b >1，c >1，且(a －1)(b －1)(c －1)＝t ，求证：abc ≥8.解：(1)由已知得f (x －2)－f (x －3)＝|x －1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤1，2x －3，1<x <2，1，x ≥2，则－1≤f (x －2)－f (x －3)≤1，由于∃x 0∈R ，使不等式|x 0－1|－|x 0－2|≥u 成立，所以u ≤1，即M ＝{u |u ≤1}．(2)证明：由(1)知t ＝1， 则(a －1)(b －1)(c －1)＝1， 因为a >1，b >1，c >1，所以a －1>0，b －1>0，c －1>0，则a ＝(a －1)＋1≥2a －1>0(当且仅当a ＝2时等号成立)， b ＝(b －1)＋1≥2b －1>0(当且仅当b ＝2时等号成立)，c ＝(c －1)＋1≥2c －1>0(当且仅当c ＝2时等号成立)， 则abc ≥8(a －1)(b －1)(c －1)＝8(当且仅当a ＝b ＝c ＝2时等号成立)．6．(2019·广州综合测试)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，不等式f (x )≤2的解集为M .(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＋|a －b |≤1. 解：(1)f (x )≤2，即|2x ＋1|＋|2x －1|≤2，当x ≤－12时，得－(2x ＋1)＋(1－2x )≤2，解得x ≥－12，故x ＝－12； 当－12<x <12时，得(2x ＋1)－(2x －1)≤2，即2≤2，故－12<x <12； 当x ≥12时，得(2x ＋1)＋(2x －1)≤2，解得x ≤12，故x ＝12. 所以不等式f (x )≤2的解集M ＝{x |－12≤x ≤12}．(2)证明：证法一 当a ，b ∈M 时，－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，得|a |≤12，|b |≤12.当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |≤1， 当(a ＋b )(a －b )<0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |≤1， 所以|a ＋b |＋|a －b |≤1.证法二 当a ，b ∈M 时，－12≤a ≤12，－12≤b ≤12， 得|a |≤12，|b |≤12.(|a ＋b |＋|a －b |)2＝2(a 2＋b 2)＋2|a 2－b 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2，a 2≥b 2，4b 2，a 2<b 2.因为a 2≤14，b 2≤14，所以4a 2≤1,4b 2≤1.故(|a ＋b |＋|a －b |)2≤1， 所以|a ＋b |＋|a －b |≤1.7．已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋1)≥0的解集为[0,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ，x ，y ，z ∈R ，且x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ，求证：ax ＋by ＋cz ≤1.解：(1)由f (x ＋1)≥0，得|x |＋|x －1|≤m . ∵|x |＋|x －1|≥1恒成立，∴若m <1，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为∅，不合题意； 若m ＝1，不等式|x |＋|x －1|≤1的解集为[0,1]． 若m >1，①当x <0时，1－m2≤x <0； ②当0≤x ≤1时，得x ＋1－x ≤m,0≤x ≤1； ③当x >1时，得2x －1≤m,1<x ≤m ＋12.综上可知，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－m 2，m ＋12. 由题意知，原不等式的解集为[0,1]． ∴1－m 2＝0，m ＋12＝1，解得m ＝1. ∴m ＝1.(2)证明：∵x 2＋a 2≥2ax ，y 2＋b 2≥2by ，z 2＋c 2≥2cz ，当且仅当x ＝a ，y ＝b ，z ＝c 时等号成立．三式相加，得x 2＋y 2＋z 2＋a 2＋b 2＋c 2≥2ax ＋2by ＋2cz .由题设及(1)，知x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ＝1， ∴2≥2(ax ＋by ＋cz )，∴ax ＋by ＋cz ≤1，不等式得证．8．设函数f (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|－m ，若∀x ∈R ，1m －4≥f (x )恒成立．(1)求实数m 的取值范围；(2)求证：log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)． 解：(1)∵∀x ∈R ，1m －4≥f (x )恒成立， ∴m ＋1m ≥x －|x ＋2|－|x －3|＋4恒成立．令g (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|＋4＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3，x <－2，x －1，－2≤x ≤3，－x ＋5，x >3.∴函数g (x )在(－∞，3]上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数，∴g (x )max ＝g (3)＝2， ∴m ＋1m ≥g (x )max ＝2，即m ＋1m －2≥0⇒m 2－2m ＋1m ＝(m －1)2m ≥0，∴m >0， 综上，实数m 的取值范围是(0，＋∞)． (2)证明：由m >0，知 m ＋3>m ＋2>m ＋1>1，即lg(m ＋3)>lg(m ＋2)>lg(m ＋1)>lg 1＝0. ∴要证log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)． 只需证lg (m ＋2)lg (m ＋1)>lg (m ＋3)lg (m ＋2)，即证lg(m ＋1)·lg(m ＋3)<lg 2(m ＋2)，又lg(m ＋1)·lg(m ＋3)<⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg (m ＋1)＋lg (m ＋3)22＝ [lg (m ＋1)(m ＋3)]24<[lg (m 2＋4m ＋4)]24＝lg 2(m ＋2)， ∴log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)成立．。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业24
课时作业31 等差数列及其前n 项和1．(2019·湖北荆州一模)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2＋a 6＝10，则a 7＝( A )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：∵在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2＋a 6＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋d ＋a 1＋5d ＝10， 解得a 1＝1，d ＝43，∴a 7＝a 1＋6d ＝1＋8＝9.故选A.2．在等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋5＝0的根，则S 17的值是( B )A ．41B ．51C ．61D ．68解析：由题可得a 3＋a 15＝6， 所以a 1＋a 17＝a 3＋a 15＝6. 所以S 17＝17(a 1＋a 17)2＝172×6＝51. 3．(2019·山东菏泽一模)已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝2a ＋1，a 5＝3a ＋2，若S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，且S k ＝66，则k 的值为( B )A ．9B ．11C ．10D ．12 解析：∵在等差数列中，第一项、第三项、第五项分别为1,2a ＋1,3a ＋2，∴2(2a ＋1)＝1＋3a ＋2，解得a ＝1，∴公差d ＝2a ＋1－12＝2×12＝1，∴S k ＝k ×1＋k (k －1)2×1＝66，解得k ＝11或k ＝－12(舍)．故选B.4．(2019·江西赣中南五校联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＞0，且S 9＜0，则S 1、S 2、…、S 9中最小的是( A )A ．S 5B ．S 6C ．S 7D ．S 8解析：在等差数列{a n }中，∵a 3＋a 8＞0，S 9＜0， ∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8＞0，S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＜0， ∴a 5＜0，a 6＞0，∴S 1、S 2、…、S 9中最小的是S 5，故选A. 5．(2019·河南信阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得 钱( C )A.53B.32C.43D.54解析：甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，故甲得43钱，故选C.6．(2019·泉州模拟)在各项均为正数的等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，当n ∈N *，n ≥2时，有S n ＝n n －1(a 2n －a 21)，则S 20－2S 10＝( A ) A ．50 B ．－50 C ．100D ．－100解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则当n ＝3时，S 3＝32(a 23－a 21)，即3a 1＋3d ＝32(a 1＋2d )2－32a 21， 整理得a 1＋d ＝2d (a 1＋d )，可得d ＝12，所以S 20－2S 10＝20a 1＋20×192×12－20a 1－10×9×12＝50，故选A.7．(2019·石家庄一模)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( B )A ．－200B ．－100C ．－50D ．0解析：因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，所以f (x )在(－∞，－1)上也单调，且数列{a n }是公差不为0的等差数列．又f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100. 8．(2019·太原模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝9，a 2a 4＝21，数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n (n ∈N *)，若b n ＜110，则n 的最小值为( C )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设等差数列{a n }的公差为d . ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝9，a 2a 4＝21， ∴a 2＝3，a 4＝7，d ＝2，a n ＝2n －1.设T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝b 11＋b 23＋…＋b n 2n －1＝1－12n ，则T n ＋1＝b 11＋b 23＋…＋b n 2n －1＋b n ＋12n ＋1＝1－12n ＋1，两式作差得T n ＋1－T n ＝b n ＋12n ＋1＝12n －12n ＋1＝12n ＋1，所以b n ＋1＝2n ＋12n ＋1，则b n ＝2n －12n .当b n ＜110，即2n －12n ＜110时，得n 的最小值为8，故选C. 9．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝ 130 .解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为 18 .解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝ 6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18.11．(2019·福建外国语中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28， ∴a 1＋a 4＝14，则a 2＋a 3＝14， 又a 2·a 3＝45，公差d ＞0， ∴a 2＜a 3，a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .又{b n }是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2， 即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．12．(2019·山东济南一中检测)各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1(a n ＋a n ＋2)2＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝15.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：依题意，a n ＋1a n ＋a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2＋1a n ＝2a n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d .因为a 3＝2a 8＝15，所以1a 3＝5，1a 8＝10，所以1a 8－1a 3＝5＝5d ，即d ＝1，故1a n ＝1a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×1＝n ＋2，故a n ＝1n ＋2.(2)由(1)可知b n ＝a n 2n ＋6＝12·1(n ＋2)(n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3，故S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3＝n 6(n ＋3).13．(2019·湖南永州模拟)已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( C ) A ．①② B ．①③④ C ．①③ D ．①②④ 解析：∵a 1＋5a 3＝S 8， ∴a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ， ∴a 1＝－9d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ， ∴a 10＝0，故①一定正确，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－9nd ＋n (n －1)d 2＝d 2(n 2－19n )， ∴S 7＝S 12，故③一定正确，显然②S 10最小与④S 20＝0不一定正确，故选C.14．若数列{a n }满足a n ＋12n ＋5－a n 2n ＋3＝1，且a 1＝5，则数列{a n }的前200项中，能被5整除的项数为( B )A ．90B ．80C ．60D ．40解析：数列{a n }满足a n ＋12n ＋5－a n2n ＋3＝1，即a n ＋12(n ＋1)＋3－a n 2n ＋3＝1，又a 12×1＋3＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋3是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n 2n ＋3＝n ，∴a n ＝2n 2＋3n ，列表如下：n 能被5整除的项数为80，故选B.15．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是 121 .解析：设数列{a n }的公差为d ， 由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12. 又⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12为单调递减数列， 所以S n ＋10a 2n≤S 11a 21＝112＝121.16．已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12. 法二：在等差数列{a n }中， 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2. 又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－12. (2)由题意知，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12 ＝2n 2－3n ＋52. ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2.综上，S n＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2，n 为偶数.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (62)
课时作业62 变量间的相关关系与统计案例1．(2019·辽宁丹东教学质量监测)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.705，则所得到的统计学结论是：有 的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”．( C ) 附：C ．1%D ．0.1% 解析：因为6.635＜6.705＜10.828，因此有1%的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”，故选C. 2．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( C ) A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 解析：由y ＝－0.1x ＋1，知x 与y 负相关，即y 随x 的增大而减小，又y 与z 正相关，所以z 随y 的增大而增大，减小而减小，所以z 随x 的增大而减小，x 与z 负相关，故选C. 3．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( B ) A.116 B ．18C.14 D ．12 解析：依题意可知样本点的中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a ^＝18. 4．为考察A 、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法正确的是( C ) A ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果 B ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果 C ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 D ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 解析：根据两个等高条形图知，药物A 实验显示不服药与服药时患病的差异较药物B 实验显示明显大， ∴药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果．故选C. 5．(2019·河南焦作一模)已知变量x 和y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为y ＝b x －0.25，据此可以预测当x ＝8时，y ^＝( C ) A ．6.4 B ．6.25C ．6.55D ．6.45 解析：由题意知x ＝3＋4＋5＋6＋75＝5， y ＝2.5＋3＋4＋4.5＋65＝4， 将点(5,4)代入y ^＝b ^x －0.25，解得b ^＝0.85，则y ^＝0.85x －0.25， 所以当x ＝8时，y ^＝0.85×8－0.25＝6.55，故选C. 6．(2019·南昌模拟)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表.由K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝100×(45×22－20×13)258×42×35×65≈9.616，参照附表，得到的正确结论是( C ) A ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” D ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”解析：由题意K 2的观测值≈9.616＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别有关”．7．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.77x ＋52.9.73 .解析：由已知可计算求出x ＝30，而线性回归方程必过点(x ，y )，则y ＝0.77×30＋52.9＝76，设模糊数字为a ，则a ＋62＋75＋80＋905＝76，计算得a ＝73.8．(2019·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)推断犯错误的概率不超过 0.025 .附表：解析：由列联表计算K 2的观测值k ＝50(22×12－8×8)230×20×20×30≈5.556＞5.024，∴推断犯错误的概率不超过0.025. 9．(2019·安徽蚌埠段考)为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，列出的2×2列联表如下：年龄有关”． 解析：由2×2列联表可知，K 2＝100×(25×30－10×35)240×60×35×65≈2.93，因为2.93＞2.706，所以有90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”． 10．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：其线性回归方程是y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝ 10 . 解析：x ＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5，y ＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n 5，回归直线一定经过样本点中心(x ，y )，即6＋n 5＝－3.2⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42.又因为m ＋n ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝10，n ＝10，故n ＝10. 11．(2019·重庆调研)某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：(1)5人，在这5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率； (2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由.注：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d . 解：(1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为550＝110. 所以在满意产品的用户中应抽取女用户20×110＝2(人)，男用户30×110＝3(人)． 抽取的5人中，三名男用户记为a ，b ，c ，两名女用户记为r ，s ，则从这5人中任选2人，共有10种情况：ab ，ac ，ar ，as ，bc ，br ，bs ，cr ，cs ，rs . 其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar ，as ，br ，bs ，cr ，cs . 故所求的概率为P ＝610＝0.6. (2)由题意，得K 2的观测值为k ＝80(30×20－20×10)2(30＋20)(10＋20)(30＋10)(20＋20)＝163≈5.333＞5.024. 又P (K 2≥5.024)＝0.025. 故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”． 12．(2016·全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17， ∑i ＝17 (y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n (t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2∑i ＝1n (y i －y )2， 回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n (t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2，a ^＝y －b ^t －. 解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑i ＝17 (t i －t )2＝28，∑i ＝17 (y i －y )2＝0.55， ∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89， r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99. 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． (2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )∑i ＝17 (t i －t )2＝2.8928≈0.10， a ^＝y －b ^ t －＝1.331－0.10×4≈0.93. 所以y 关于t 的回归方程为 y ^＝0.93＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得：y ^＝0.93＋0.10×9＝1.83. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨．13．(2019·湖南张家界一模)已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y ^＝－0.7x ＋10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是( C )A.变量B ．可以预测，当x ＝20时，y ^＝－3.7 C ．m ＝4 D ．该回归直线必过点(9,4) 解析：由－0.7＜0，得变量x ，y 之间呈负相关关系，故A 正确；当x ＝20时，y ^＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由表格数据可知x ＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y ＝14(6＋m ＋3＋2)＝11＋m 4，则11＋m 4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错；由m ＝5，得y ＝6＋5＋3＋24＝4，所以该回归直线必过点(9,4)，故D 正确．故选C. 14．(2019·湖南永州模拟)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得的线性回归方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( C )A.b ^＞b ′，a ^＞a ′ B ．b ^＞b ′，a ^＜a ′ C.b ^＜b ′，a ^＞a ′ D ．b ^＜b ′，a ^＜a ′ 解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑i ＝16x i y i －6 x ·y ∑i ＝16x 2i －6 x 2＝ 58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13， 所以b ^＜b ′，a ^＞a ′. 15．(2019·青岛模拟)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数23.若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有 12 人.则k ＞3.841，即k ＝3x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 6·x 6－5x 6·x 32x ·x 2·x2·x ＝3x 8＞3.841， 解得x ＞10.243.因为x 6，x2为整数，所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．16．(2019·包头一模)如图是某企业2010年至2016年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程，预测2017年该企业的污水净化量； (3)请用数据说明回归方程预报的效果．参考数据：y －＝54，∑i ＝17(t i －t －)(y i －y －)＝21，14≈3.74，∑i ＝17(y i －y ^i )2＝94.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2∑i ＝1n(y i －y )2，线性回归方程y ^＝a ^＋b ^t ，b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t －.反映回归效果的公式为：R 2＝1－∑i ＝1n (y i －y ^i )2∑i ＝1n (y i －y )2，其中R 2越接近于1，表示回归的效果越好．解：(1)由折线图中的数据得，t ＝4，∑i ＝17 (t i －t －)2＝28，∑i ＝17(y i －y －)2＝18，所以r ＝2128×18≈0.935.因为y 与t 的相关系数近似为0.935，说明y 与t 的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)因为y －＝54，b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2128＝34，所以a ^＝y －b ^ t ＝54－34×4＝51，所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝b ^t ＋a ^＝34t ＋51. 将2017年对应的t ＝8代入得y ^＝34×8＋51＝57， 所以预测2017年该企业污水净化量约为57吨．(3)因为R 2＝1－∑i ＝17 (y i －y ^i )2∑i ＝17(y i －y )2＝1－94×118＝1－18＝78＝0.875，所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．。
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件课时作业2
＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( D )
A．都真
B．都假
C．否命题真 D．逆＝ax2＋bx＋c 的开口向下，则 {x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真 命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅，则抛物线 y＝ax2＋ bx＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 解集非空时，可以有 a＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题 也是假命题，故选 D.
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9．(2017·天津卷)设 θ∈R，则“θ－1π2＜1π2”是“sinθ＜12”的
( A)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵θ－1π2＜1π2⇔－1π2＜θ－1π2＜1π2⇔0＜θ＜π6，sinθ＜12 ⇔θ∈2kπ－76π，2kπ＋π6，k∈Z，
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5．(2019·江西鹰谭中学月考)设 f(x)＝x2－4x(x∈R)，则 f(x)＞0
的一个必要不充分条件是( C )
A．x＜0
B．x＜0 或 x＞4
C．|x－1|＞1 D．|x－2|＞3
解析：依题意，f(x)＞0⇔x2－4x＞0⇔x＜0 或 x＞4. 又|x－1|＞1⇔x－1＜－1 或 x－1＞1，即 x＜0 或 x＞2，而{x|x＜ 0 或 x＞ x|x＜0 或 x＞2}，因此选 C.
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6．(2019·山东日照联考)“m＜0”是“函数 f(x)＝m＋log2x(x≥1)
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)解答题名师讲练-高考解答题专项训练4(02)
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(2)因为 PA⊥底面 ABCDE， 所以 PA⊥AB，PA⊥AE. 如图建立空间直角坐标系 A- xyz，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)， C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，B→C＝(1,1,0)．
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设平面 ABF 的法向量为 n＝(x，y，z)，则
由 DF＝12AC＝GC， 可得四边形 DGCF 为平行四边形，
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因此 DG∥FC. 又 FC⊥平面 ABC，所以 DG⊥平面 ABC. 在△ABC 中，由 AB⊥BC，∠BAC＝45°，G 是 AC 中点， 所以 AB＝BC，GB⊥GC， 因此 GB，GC，GD 两两垂直． 以 G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 G- xyz.
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解：(1)证明：在正方形 AMDE 中，因为 B 是 AM 的中点， 所以 AB∥DE.
又因为 AB⊄平面 PDE， 所以 AB∥平面 PDE. 因为 AB⊂平面 ABF，且平面 ABF∩平面 PDE＝FG， 所以 AB∥FG.
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解：(1)证法一：连接 DG，CD，设 CD∩GF＝O，连接 OH.
在三棱台 DEF- ABC 中，
AB＝2DE，G 为 AC 的中点， 可得 DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形 DFCG 为平行四边形．
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则 O 为 CD 的中点， 又 H 为 BC 的中点， 所以 OH∥BD， 又 OH⊂平面 FGH，BD⊄平面 FGH， 所以 BD∥平面 FGH. 证法二：在三棱台 DEF- ABC 中，
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业32
课时作业39直接证明与间接证明1．(2019·天津一中月考)用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab 可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是(B)A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a能被5整除解析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立从而进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除．”的否定是“a，b ∈N，如果ab可被5整除，那么a，b都不能被5整除”，故选B.2．(2019·河北邢台模拟)用反证法证明命题“三角形的三个内角中至多有一个钝角”，假设正确的是(C)A．假设三角形的三个内角都是锐角B．假设三角形的三个内角都是钝角C．假设三角形的三个内角中至少有两个钝角D．假设三角形的三个内角中至少有两个锐角解析：“至多有一个”的否定是“至少有两个”．故选C.3．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是(C)A．0 B．1C．2 D．3解析：由于a，b，c不全相等，则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确；②显然正确；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错误．4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( A )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 解析：因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是单调减函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ， 即A ≤B ≤C .5．设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( C )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2 解析：假设a ，b ，c 都小于2， 则a ＋b ＋c ＜6，而a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，与a ＋b ＋c ＜6矛盾，∴a ，b ，c 都小于2不成立．∴a ，b ，c 三个数至少有一个不小于2，故选C.6．在等比数列{a n }中，a 1＜a 2＜a 3是数列{a n }递增的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a 1＜a 2＜a 3时，设公比为q ，由a 1＜a 1q ＜a 1q 2得若a 1＞0，则1＜q ＜q 2，即q ＞1， 此时，显然数列{a n }是递增数列， 若a 1＜0，则1＞q ＞q 2，即0＜q ＜1， 此时，数列{a n }也是递增数列， 反之，当数列{a n }是递增数列时， 显然a 1＜a 2＜a 3.故a 1＜a 2＜a 3是等比数列{a n }递增的充要条件．7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为 a ＜b . 解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然6＜7，所以a ＜b .8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为 c n ＞c n ＋1 .解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n， ∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1＜c n .9．(2019·长春模拟)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 .解析：若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0， 解得p ≤－3或p ≥32，故满足题干要求的p 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 10．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是 钝角 三角形．解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为π相矛盾． 所以假设不成立．假设△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则cos A 1＝sin A 2＝1，A 1＝0，矛盾．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．11．已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立， 只需证2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0， 即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0， 即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0， 从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立， ∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .12．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg abc ， 只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc . 因为a ，b ，c 是不全相等的正数，所以a ＋b 2≥ab ，b ＋c 2≥bc ，c ＋a2≥ca (三个式子中等号不同时成立)．所以显然有a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立，原不等式得证．13．已知函数f (x )＝3x －2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明：要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 即证明(3x 1－2x 1)＋(3x 2－2x 2)2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22， 因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)， 即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22， 因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2， 由于当x 1，x 2∈R 时，3x 1＞0,3x 2＞0，由基本不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2显然成立，当且仅当x 1＝x 2时，等号成立，故原结论成立．14．已知四棱锥SABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2， ∴SA ⊥AD . 同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥平面ABCD .(2)假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD . ∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD . ∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ， ∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立． ∴不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝q 2＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ， 与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 16．(2019·衡阳调研)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．解：(1)因为四边形OABC 为菱形， 则AC 与OB 相互垂直平分．由于O (0,0)，B (0,1)，所以设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1， 则t ＝±3，故|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形，因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k ，因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ＝－14≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 在W 上且不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．。
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件2-6
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【条件探究 1】 若本典例(2)变为方程 4x＝logax 在0，12上有解，
则实数 a 的取值范围为
0，
2 2
.
解析：若方程 4x＝logax 在0，12上有解，则函数 y＝4x 和函
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(2)已知函数 f(x)＝l3o－gx2＋x，1，x＞x≤0，0， 则 f(f(1))＋flog312的值是 5 .
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考点二 对数函数的图象及应用 (1)(2019·成都九校联考)函数 y＝lncosx－π2＜x＜π2
的大致图象是( A )
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解析：在0，π2上，t＝cosx 是减函数，则 y＝lncosx 是减函数， 且函数值 y＜0，故排除 B，C；在－π2，0上，t＝cosx 是增函数， 则 y＝lncosx 是增函数，且函数值 y＜0，故排除 D.故选 A.
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1.对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数 指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合 并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用 对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业22
课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为(A) A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)解析：命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．2．(2019·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(D)A．∀x∈R，x2－πx＜0 B．∀x∈R，x2－πx≤0C．∃x0∈R，x20－πx0≤0 D．∃x0∈R，x20－πx0＜0解析：全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x20－πx0＜0”，故选D.3．(2019·衡水二调)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是(B)A．∃x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0B．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0C．∀x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0解析：根据全称命题与特称命题互为否定的关系可知綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0.4．(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0＞3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真的是(A) A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧q D．(綈p)∨q解析：对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174＞3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A)A．綈p∨綈q B．p∨綈qC．綈p∧綈q D．p∨q解析：命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为綈p∨綈q.故选A.6．(2019·河南郑州外国语中学模拟)已知命题p：若复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数1＋i1＋2i 的虚部为－15i，则下列命题中为真命题的是(C)A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q解析：复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z ＝－5i ＋i ＝6i ，故命题p 为真命题， 则綈p 为假命题；复数1＋i 1＋2i ＝(1＋i )·(1－2i )(1＋2i )·(1－2i )＝35－15i ，则z 的虚部为－15，故命题q为假命题，则綈q 为真命题．由复合命题真假判断的真值表可知(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题．故选C.7．(2019·山东泰安联考)下列命题正确的是( D )A ．命题“∃x ∈[0,1]，使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0”B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a ·b ＞0”及它的逆命题均为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”解析：对于选项A ，命题“∃x ∈[0,1]，使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1＜0”，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，则綈p 为真命题；q 为真命题，则綈q 为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”，故选项D 正确，因此选D.8．(2019·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( B )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解析：因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题，故选B.9．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋a ＝0.若p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，4]B ．[0,4) C.⎝⎛⎦⎥⎤0，14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14解析：当a ＝0时，命题p 为真；当a ≠0时，若命题p 为真，则a ＞0且Δ＝a 2－4a ＜0，即0＜a ＜4.故命题p 为真时，0≤a ＜4.命题q 为真时，Δ＝1－4a ≥0，即a ≤14.命题p ∧q 为真命题时，p ，q 均为真命题，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.10．(2019·聊城模拟)已知函数f (x )在R 上单调递增，若∃x 0∈R ，f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|)，则实数a 的取值范围是( A )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．[8，＋∞)D ．(0,2]解析：∵函数f (x )在R 上单调递增， ∴∃x 0∈R ，f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|)， 等价为∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤log 2a －|x 0＋2|成立，即|x ＋1|＋|x ＋2|≤log 2a 有解， ∵|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋2－x －1|＝1， ∴log 2a ≥1，即a ≥2.11．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是②__.(填序号)解析：命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．12．(2019·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ . 解析：依题意知f (x )max ≤g (x )max . ∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.13．已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集，命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 B ．[3，＋∞)C ．[2,3]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞) 解析：命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集，a ＝0时，不满足题意．当a ≠0时，必须满足：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(22)2－4a ≤0，解得a ≥2. 命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0， 可得函数f (x )在R 上单调递减， ∴0＜2a －5＜1，解得52＜a ＜3. ∵命题p ∧(綈q )是真命题， ∴p 为真命题，q 为假命题．∴⎩⎨⎧a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3，则实数a 的取值范围是[3，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.故选D. 14．(2019·河北衡水中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的部分图象如图所示，其中|MN |＝52，记命题p ：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，命题q ：将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3的图象，则以下判断正确的是( D )A ．p ∧q 为真B ．p ∨q 为假C ．(綈p )∨q 为真D ．p ∧(綈q )为真解析：由|MN |＝52，可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω2＋22＝52，解得ω＝π3，因为f (0)＝1， 所以sin φ＝12.又φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以φ＝5π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6. 故p 为真命题．将f (x )图象上所有的点向右平移π6个单位，得到 f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6－π218的图象， 故q 为假命题．所以p ∧q 为假，p ∨q 为真，(綈p )∨q 为假，p ∧(綈q )为真，故选D.15．(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，给出以下四个命题：①∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )；②∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；③∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2； ④∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |. 其中所有真命题的序号是( D ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②③④解析：对于①，∵f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，且其定义域为(－1,1)，∴f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝－f (x )，即∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )，故①是真命题；对于②，∵x ∈(－1,1)，由f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2≥2＞0，可知f (x )在区间(－1,1)上单调递增，即∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，故②是真命题；对于③，∵f ′(x )＝21－x 2在(0,1)上单调递增，∴∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2， 故③是真命题；对于④，设g (x )＝f (x )－2x ，则当x ∈(0,1)时，g ′(x )＝f ′(x )－2≥0， ∴g (x )在(0,1)上单调递增，∴当x ∈(0,1)时，g (x )＞g (0)，即f (x )＞2x ，由奇函数性质可知，∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |，故④是真命题，故选D.16．已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是[0,2]__．解析：若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0，可得m ＝exx ，x ≠0，设f (x )＝e xx ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2，当x ＞1时，f ′(x )＞0，函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0＜x ＜1或x ＜0时，f ′(x )＜0，函数f (x )＝e xx 在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e xx 的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m ＜e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (72)
课时作业72 坐标系1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．2．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 圆C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2＋2x －2y ＝0， ∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0， ∴圆C 的极坐标方程为 ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.又直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，∴直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ.(2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，|OQ |＝122＋22＝22， ∴点Q 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，故线段PQ 的长为322.3．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，点R 的直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标．解：(1)由于x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，则曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意，可令Q (2，sin θ)， 则|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， 所以|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，当θ＝π6时，(|PQ |＋|QR |)min ＝2. 所以矩形PQRS 周长的最小值为4，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 4．(2019·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |. 解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(2)由⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2， 则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.5．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1. 由题意知曲线C 2的极坐标方程为 ρ＝2a cos θ(a 为半径)，将D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为 ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1， 即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54. 6．(2019·山东淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是x ＝4.曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α⎝⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0<α<π4与曲线C 交于点O ，A ，与直线l 交于点B ，求|OA ||OB |的取值范围．解：(1)由ρcos θ＝x ，得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝4.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)，消去参数φ得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ＋2sin θ.(2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则 ρ1＝2cos α＋2sin α，ρ2＝4cos α， 所以|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝(2cos α＋2sin α)cos α4 ＝sin αcos α＋cos 2α2＝14(sin 2α＋cos 2α)＋14 ＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋14，因为0<α<π4，所以π4<2α＋π4<3π4， 所以22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4≤1，所以12<24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋14≤1＋24. 故|OA ||OB |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1＋24. 7．(2019·福建福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2.已知点Q 是曲线C 1上的动点，点P 在线段OQ 上，且满足|OQ |·|OP |＝4，动点P 的轨迹为C 2.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，Q 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)， 则|OP |＝ρ，|OQ |＝ρ1＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6， 由|OQ |·|OP |＝4得C 2的极坐标方程为 ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6(ρ>0)， 所以ρ＝3cos θ＋sin θ，两边乘ρ得ρ2＝3ρcos θ＋ρsin θ， 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以x 2＋y 2－3x －y ＝0， 所以C 2的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1(x 2＋y 2≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，由题设及(1)知|OA |＝2， ρB ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，于是△AOB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2α－34≤32，当α＝0时，S 取得最大值32. 所以△AOB 面积的最大值为32.8．(2019·河南名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(3cos θ＋sin θ)＝5.(1)求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A ，使它到直线l 的距离最小，并求点A 的极坐标．解：(1)x 2＋(y －1)2＝1即x 2＋y 2－2y ＝0， 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以圆C 的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ， 即ρ＝2sin θ.ρ(3cos θ＋sin θ)＝5即3ρcos θ＋ρsin θ＝5， 因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的直角坐标方程为y ＝－3x ＋5.(2)曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0,1)为圆心，1为半径的圆． 设圆上点A (x 0，y 0)到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，所以圆C 在点A 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行．即直线CA 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1.①因为点A 在圆上，所以x 20＋(y 0－1)2＝1，②联立①②可解得x 0＝－32，y 0＝12或x 0＝32，y 0＝32.所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又由于圆上点A 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最小，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，点A 的极径为⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，极角θ满足tan θ＝3且θ为第一象限角，则可取θ＝π3.所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (22)
课时作业22 两角和、差及倍角公式1．(2019·新疆乌鲁木齐一诊)2cos10°－sin20°sin70°的值是( C ) A ．12 B ．32 C ． 3D ． 2解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3.2．(2019·山西五校联考)若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为( B )A ．2＋106 B ．22＋106 C ．2－106D ．22－106解析：由cos θ＝23，θ为第四象限角， 得sin θ＝－53，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋53＝22＋106.故选B ． 3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( C ) A ．－118 B ．118 C ．－1718D ．1718解析：由3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知cos α－sin α≠0， 于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin α·cos α＝118， 故sin2α＝－1718.故选C ．4．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan α·tan β＝3，则α，β的大小关系是( B )A ．α＜π4＜β B ．β＜π4＜α C ．π4＜α＜βD ．π4＜β＜α解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16＞0， ∴π4＜α＜π2.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α＞π4，∴β＜π4＜α.5．在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( A ) A ．－1665 B ．－5665 C ．±1665D ．±5665解析：∵B 为三角形的内角，cos B ＝35＞0， ∴B 为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45， 又sin A ＝513，∴sin B ＞sin A ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－1213×35＋513×45＝－1665.6．(2019·福州质检)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin[2(α＋γ)]＝3sin2β，则m ＝( D )A ．12B ．34C ．32D ．2解析：设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ， 因为sin[2(α＋γ)]＝3sin2β， 所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )， 即2cos A sin B ＝sin A cos B ， 所以tan A ＝2tan B ， 所以m ＝tan Atan B ＝2，故选D ．7．(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝4__.解析：(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°·tan25°＝2，同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，所以原式＝4.8．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝22 .解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1， 可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)， 所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.9．(2019·运城模拟)已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝26＋16 .解析：∵α为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，∴0＜α－π6＜π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝223， 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16.10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为58 . 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos2θ＝14. 所以cos2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2θ22＝116＋916＝58. 11．已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x .(1)若α是第二象限角，且sin α＝63，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的定义域和值域．解：(1)因为α是第二象限角，且sin α＝63， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－33，所以tan α＝sin αcos α＝－2，所以f (α)＝(1－3×2)×⎝⎛⎭⎪⎫－332＝1－63.(2)函数f (x )的定义域为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z . 易得f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos 2x ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. 因为x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 所以2x ＋π6≠2k π＋7π6，k ∈Z ， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≠－12， 但当2x ＋π6＝2k π－π6，k ∈Z 时， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32， 所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.12．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12－⎝⎛⎭⎪⎫－32×32＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin2α＝12， ∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.13．(2019·河南洛阳一模)设a ＝cos50°cos127°＋cos40°·sin127°，b ＝22(sin56°－cos56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( D )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：a ＝sin40°cos127°＋cos40°sin127°＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，b ＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos78°＝sin12°， ∵sin13°＞sin12°＞sin11°， ∴a ＞c ＞B ．14．(2019·江西南昌模拟)已知tan2α＝－22，且满足π4＜α＜π2，则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值是( C )A ． 2B ．－ 2C ．－3＋2 2D ．3－2 2解析：tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－22，整理可得2tan 2α－tan α－2＝0， 解得tan α＝－22或tan α＝ 2. 因为π4＜α＜π2，所以tan α＝ 2.则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos α－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α ＝cos α－sin αcos α＋sin α＝cos α－sin αcos αcos α＋sin αcos α＝1－tan α1＋tan α＝1－21＋2＝22－3.故选C ． 15．(2019·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]__．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1， 又α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，∴⎩⎨⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. ∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1， 即取值范围为[－1,1]．16．(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin2x ＋12cos4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. ∵α∈(0，π)，－π4＜α－π4＜3π4， ∴α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.。
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Earlybird课时作业11函数与方程11．(2019·烟台模拟)函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间x是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln2－1＜0，f(2)＝ln31－＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B.22．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(B)1A．y＝log x B．y＝2x－121C．y＝x2－D．y＝－x321 1解析：函数y＝log x在定义域上单调递减，y＝x2－在(－1,1)上2 2不是单调函数，y＝－x3 在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0 且y＝2x－1 在R上单调递增，故选B.23．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取x值范围是(C)A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C.14．(2019·安庆模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1 在区间(上有零点，，3)2则实数a的取值范围是(D)A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)Earlybird5 10C.[D.2)[ 3 )2，2，1＋1 在(上有解，解析：由题意知方程ax＝x2，3)21 1即a＝x＋在上有解，(x，3)21 1 10设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.，3)[2，x( 3 )210∴实数a的取值范围是[.3 )2，5．(2019·安徽安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝Error!且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为(B)A．3 B．2C．1 D．0解析：由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x)的周期是2，画出函数f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知f(x)与g(x)的图象有2 个交点，故f(x)有2 个零点，故选B.6．(2019·安徽马鞍山一模)已知函数f(x)＝Error!若关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0 有7 个不等的实数根，则实数a的取值范围是(C)A．[1,2] B．(1,2)C．(－2，－1) D．[－2，－1]解析：函数f(x)＝Error!的图象如图：关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7个不等的实数根，即[f(x)＋a][f(x)－1]＝0 有7 个不等的实数根，易知f(x)＝1 有3 个不等的实数根，∴f(x)＝－a必须有4 个不相等的实数根，由函数f(x)的图象可知－a∈(1,2)，∴a∈(－2，－1)．故选C.7．已知函数f(x)＝Error!在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一个实数解，则函数g(x)＝f(x)－x在区间[0,2n](n∈N*)上的所有零点的和为(B)n n＋1A. B．22n－1＋2n－121＋2n2C. D．2n－12解析：函数f(x)＝Error!在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a≥0，方程f(x)＝a 有且只有一个实数解，则f(x)是连续函数，可得m＝1.画出y＝f(x)与y ＝x的图象如图，图象交点的横坐标就是函数g(x)＝f(x)－x的零点．由图知，函数g(x)在区间[0,2n](n∈N*)上的所有零点的和为1＋2＋3＋…＋(2n－1)＋2n＝22n－1＋2n－1，故选B.8．(2019·广东茂名一模)定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1＋x) ＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝|f(x)|－a e－|x|在区间[－2 018,2 018]上有4 032 个零点，则实数a的取值范围是(B)A．(0,1) B．(e，e3)C．(e，e2) D．(1，e3)解析：f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)且为奇函数，则f(x)的图象关于x＝1 对称，且f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，∴－f(－x)＝f(2－x)，即－f(x)＝f(2＋x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.令m(x)＝|f(x)|，n(x)＝a e－|x|，画出m(x)、n(x)的图象如图，可知m(x)与n(x)为偶函数，且要使m(x)与n(x)图象有交点，需a＞0，由题意知要满足g(x)在区间[－2 018，2 018]上有4 032 个零点，只需m(x)与n(x)的图象在[0,4]上有两个交点，则Error!可得e＜a＜e3，故选B.9．已知函数f(x)＝Error!若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞).解析：令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x＞a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a＜0 或φ(a)＞h(a)，即a＜0 或a3＞a2，解得a＜0 或a＞1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．10．已知e 是自然对数的底数，函数f(x)＝e x＋x－2 的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2 的零点为b，则f(a)，f(1)，f(b)的大小关系为f(a)＜f(1)＜f(b).解析：由题意，知f′(x)＝e x＋1＞0 恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，所以函数f(x)的零点a∈(0,1)；1由题意，知g′(x)＝＋1＞0，x所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，g(2)＝ln2＋2－2＝ln2＞0，所以函数g(x)的零点b∈(1,2)．综上，可得0＜a＜1＜b＜2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)＜f(1)＜f(b)．11．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝Error!(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0 有4 个不相等的实数根，求实数a的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2 个不同的解，则原方程有4 个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2 个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图，5由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2 个不45同的交点，即所求a的取值范围是[.4)1，12．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0 的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；f x(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．x解：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0 的解集为{x| －1≤x≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0.∵f(x)＝f(1)＝－4a＝－4，∴a＝1.min故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.x2－2x－3 3(2)∵g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x＞0)，x x3 4 x－1x－3∴g′(x)＝1＋－＝.x2 x x2令g′(x)＝0，得x＝1 或x＝3.Earlybird当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：当0＜x≤3 时，g(x)≤g(1)＝－4＜0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1 个零点，故g(x)在(0，＋∞)上仅有1 个零点．13．(2019·河南安阳模拟)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a·(x2－x)，若f(x) 在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a的取值范围是(A) A．[0,1] B．[－1,0]C．[0,2] D．[－1,1]解析：令f(x)＝0，可得ln(x＋1)＝－a(x2－x)，令g(x)＝ln(x＋1)，h(x)＝－a(x2－x)，∵f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，∴g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的图象在y轴右侧无交点．显然当a＝0 时符合题意；当a＜0 时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如图1 所示，显然两函数图象在y轴右侧必有一交点，不符合题意；当a＞0 时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如图2 所示，若两函数图象在y轴右侧无交点，则h′(0)≤g′(0)，即a≤1.综上，0≤a≤1，故选A.图1图214．(2019·福建宁德一模)已知函数f(x)＝Error!若方程f(f(x))－2＝0 恰有三个实数根，则实数k的取值范围是(C)A．[0，＋∞) B．[1,3]1 1C.(D.3][3]－1，－－1，－解析：∵f(f(x))－2＝0，∴f(f(x))＝2，1∴f(x)＝－1 或f(x)＝－(k≠0)．k(1)当k＝0 时，作出函数f(x)的图象如图①所示，由图象可知f(x)＝－1 无解，∴k＝0 不符合题意；(2)当k＞0 时，作出函数f(x)的图象如图②所示，1由图象可知f(x)＝－1 无解且f(x)＝－无解，k即f(f(x))－2＝0 无解，不符合题意；(3)当k＜0 时，作出函数f(x)的图象如图③所示，由图象可知f(x)＝－1 有1 个实根，∵f(f(x))－2＝0 有3 个实根，1∴f(x)＝－有2 个实根，k1 1∴1＜－≤3，解得－1＜k≤－.k 31综上，k的取值范围是(，故选C.3]－1，－15．对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝Error!设f(x)＝(x2－1) ⊗(4＋x)，若函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则k的取值范围是[－2,1).解析：解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2 或x≥3，所以f(x)＝Error!函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点转化为函数f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同的交点．作出函数f(x)的图象如Earlybird图所示，所以－1＜－k≤2，故－2≤k＜1.16．(2019·郑州模拟)若a＞1，设函数f(x)＝a x＋x－4 的零点为m，1 1函数g(x)＝log a x＋x－4 的零点为n，则＋的最小值为1.m n解析：设F(x)＝a x，G(x)＝log a x，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m＞0，n＞0)．因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称．又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4.1 1 1 1 m＋n 1 n m 1又m＞0 ，n＞0 ，所以＋＝·＝≥＋2＋＋(n)4(n)nm m 4 m 4 n m＝1.2＋2 ×(n)mn m当且仅当＝，即m＝n＝2 时等号成立．m n1 1所以＋的最小值为1.m n。