北师大版九年级数学上《菱形的性质与判定》典型例题 (含答案)

《菱形的性质与判定》典型例题
例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：
（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积．
例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F ．
求证：.AF AE =
例 3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，︒=∠=∠60EAF D ，︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数.
例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =． 求证：GH 垂直平分CF ．
例 5 如图，A B CD
中，AB AD 2=，E 、F 在直线CD 上，且
CF CD DE ==．
求证：AF BE ⊥．
例6 如图，在Rt △ABC 中， 90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四边形．
求证：AC 与DE 互相垂直平分
参考答案
例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2
1BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =
E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =
∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形．
∴.120260︒=⨯︒=∠ABC
（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.2
12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 2
3)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.2
3321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．
例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论．
证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =，
AD AB = ，
∴DF AD BE AB -=-，
∴.AF AE =
例3 解答：连结AC .
∵四边形ABCD 为菱形，
∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.
∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形.
∴︒=∠=∠=∠=60,BAC ACD B AC AB
∵︒=∠60EAF ，
∴CAF BAE ∠=∠
∴ACF ABE ∆≅∆
∴AF AE =
∵︒=∠60EAF ，
∴EAF ∆为等边三角形.
∴︒=∠60AEF
∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，
∴CEF ∠+︒=︒+︒601860
∴︒=∠18CEF
说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC ，证A CF ABE ∆≅∆
例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF ．
证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形
∴BF DE //，CD AB //， 90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =
∴四边形BGDH 是平行四边形
∵DF AD =，∴BC DF =
在△DFH 和△BCH 中
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH
∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF =
∵四边形BGDH 是平行四边形
∴四边形BGDH 是菱形
∴GH 平分BHD ∠ ∴GH 平分FHC ∠ ∵HC HF =
∴GH 垂直平分FC ．
例5 分析 要证AF BE ⊥，关键是要证明四边形ABHG 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．
证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CD AB //，CD AB =，BH AG //，∴E ∠=∠1 ∵ED CD =，∴ED AB =
在△ABG 和△EDG 中 ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ED AB E 321
∴△ABG ≌△DEG ∴GD AG = ∵AB AD 2= ∴AB AG = 同理：BH AB = ∴BH AG = ∵BH AG //
∴四边形ABHG 是平行四边形 ∵BH AB = ∴四边形ABHG 是菱形 ∴BE AF ⊥．
例6 分析 要证明AC 与DE 互相垂直平分，只要证明四边形ADCE 是菱形．所以要连结AD
证明 ∵在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点 ∴BE CE AE ==
∵四边形BCDE 是平行四边形 ∴AB CD //，BE CD = ∴AE CD //，
∴四边形ABCE 是平行四边形 ∵EC AE = ∴
ADCE 是菱形 ∴AC 与DE 互相垂直平分．。