1单自由度系统的自由振动
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02-1 单自由度系统的无阻尼自由振动、固有频率
(1)无阻尼线性系统的自由振动为等幅简谐振动。
(2)无阻尼线性系统自由振动的固有角频率、固有频率、 振动周期仅由系统本身参数所确定，与激励、初始条件 无关。 (3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。
弹簧和阻尼器垂直放置 如图。 弹簧静变形量：δst=mg/k
F (t )
弹簧末变形时质块的位置与 静平衡时质块的位置不同
取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标 δst=mg/k 正方向， 运动微分方程为：
(t ) F (t ) mg cx (t ) k[ x(t ) s t (t )] m x
单自由度线性系统运动微分方程：
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点及所解决的问题
燕山大学
Yanshan University
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点： (1)是二阶常系数、非齐次线性常微分方程； (2)方程左边完全由系统参数m、c与k所决定，反映了振动系统本 身的固有特性； (3)方程右边是振动系统的驱动力F(t)，即系统的激励。
A1 x0 v0 A 2 n
结论：
燕山大学
Yanshan University
x(t ) Asin nt
k n m
m T 2 k
1 fn 2 k m
2 v 2 A x0 0 n 1 n x0 tg v0 v0 1 tg n x0
燕山大学
Yanshan University
初始条件：
x (0) x0 x (0) v0
第1章--单自由度系统的自由振动题解
习 题1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ=则 k =324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =- 所以固有频率3n 24mhEJp =1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a ＝h题1-1图题1-2图θF sin α2θαhmgθ2F cos ＝mg由动量矩定理：aha mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&其中12cossin ≈≈θααhl ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l gah l p T n 3π23π2π222===1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
机械振动基础-单自由度系统-1
• 速度和加速度也是简谐函数，并与位移具有相同频率； • 在相位上，速度超前位移90，加速度超前位移180°。
• 加速度始终与位移反向： u&&(t) n2u(t) • 速度和加速度的幅值分别是振幅的 n和n2倍。
• 简谐振动过程
最大振幅
最大速度
最大振幅
-A
速度为零， 位移，加速度 绝对值最大， 方向反向。
m
解：系统的动能和势能分别为：
系统的广义力为：
T 1 mx2 , 2
U 1 kx2 2
Q W P(t)x Pt
x
x
代入到拉格朗日方程得：
d dt
Tx
dU dx
Q
mx kx P(t)
例1-3： 如图所示：圆弧形滑道上，有一均质圆柱体 作纯滚动。建立其运动方程。
解：因为纯滚动，所以振动
a) 简谐振动是一种周期振动
周期振动满足条件： u(t T ) u(t)
（1.2.13）
即每经过固定时间间隔，振动将重复原来的过程。最小正 常数 T -振动周期。
Tn
2 n
2
m k
（1.2.14）
— 无阻尼单自由度系统自由振动的固有周期。
固有频率的另一种形式：
fn
n 2
1 Tn
(赫兹）
表示1秒内重复振动的次数。
该矢量在t 时刻在y轴 上的投影 即为位移 响应在同 一时刻的 值.
b) 简谐运动的位移、速度和加速度之间的关系：
• 速度和加速度可分别表达为：
u&(t )
na
cos
nt
na
sin(nt
2
)
（1.2.17）
u&&(t) n2a sin nt n2a sin nt （1.2.18）
单自由度体系自由振动,速度相位与位移相位的关系
单自由度体系（Single Degree of Freedom System, SDOF）是工程动力学中的一个重要概念，它对于描述系统的振动特性有着重要的作用。
在自由振动过程中，速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。
本文将从单自由度体系自由振动的基本原理入手，探讨速度相位与位移相位之间的关系，希望通过本文的介绍，读者能够对这一问题有更加清晰的认识。
一、单自由度体系自由振动的基本原理1. 自由振动的基本概念自由振动是指在没有外界干扰的情况下，系统在一定的初位移或初速度作用下，由于其自身的惯性和弹性特性而产生的振动现象。
在工程领域中，自由振动是一种非常常见的振动形式，因此研究自由振动对于工程设计和分析有着重要的意义。
2. 单自由度体系的定义单自由度体系是指系统中只有一个自由度可以自由变化的体系。
在动力学领域中，单自由度体系被广泛应用于描述各种机械、土木和航空航天结构的振动特性。
它是一种简化模型，但对于许多实际工程问题的分析具有较高的适用性。
3. 自由振动的基本方程单自由度体系的自由振动可以通过一阶微分方程来描述。
其基本方程可以表示为：\[m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0\]其中，\(m\)为系统的质量，\(c\)为系统的阻尼系数，\(k\)为系统的刚度，\(x\)为系统的位移函数，\(t\)为时间。
二、速度相位与位移相位的定义1. 速度相位的定义在振动过程中，速度相位是指速度\(v\)相对于位移\(x\)的相位差。
通常用一个角度来表示，它可以用来描述振动的快慢和超前滞后关系。
2. 位移相位的定义位移相位是指位移\(x\)相对于某一固定参考点的相位差。
它也通常用一个角度来表示，可以用来描述振动的相对位置。
三、速度相位与位移相位的关系速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。
在自由振动过程中，它们之间满足以下关系：\[tan(\phi_v-\phi_x)=\frac{2\zeta}{1-\omega^2}\]其中，\(\phi_v\)为速度相位，\(\phi_x\)为位移相位，\(\zeta\)为系统的阻尼比，\(\omega\)为系统的固有频率。
单自由度系统的自由振动
固有频率的计算方法
1. 建立微分方程求固有频率 2. 静位移法 3. 能量法
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
静位移法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动 能量法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
特征方程及特征根为
2 s 2 0 0
s1, 2 i0
则式（1-1）的通解为
y e x (c1 cos x c2 sin x)
x C1 cos 0t C2 sin 0t
C1 / C2 为任意积分常数，由运动的初始条件确定。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
临界阻尼系数 cc
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
2 0 x x0
当作微幅振动时，可认为sin , cos 1。再由静平衡条件 mgl st ka 则上式可简化为
a 2k 引入符号 2 ，则上式变为 ml
2 0
（1-2）
此为单自由度系统无阻尼自由扭振的微分方程，其解同例（1）。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度体系的自由振动
2 T
计算频率和周期的几种形式
k 1 g g m m W st
m st T 2 2 k g
频率 1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 和周 2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期； 期的 6 讨论 3.是结构动力特性的重要数量标志。
m ky m
.
y
k
m
y( t )
m
y
k
单自由度体系自由 振动的微分方程
m y
ky 0 m y
2
二、自由振动微分方程的解
改写为
ky 0 m y k y 0 y m
.......... .......... .......... ......(a)
k y 0 其中 y m
例1. 计算图示结构的频率和周期。 例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。 H 1 m EI m 1
V
l /2 1
l /2 A,E,I
E,I
E,A
l3 48EI m l3 T 2 3 48EI ml 48EI
例3.计算图示刚架的频率和周期。
m EI1= I I h
6 EI h2
l/2
解：1）求δ
l3 1 48EI
l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
7 l 3 5 l/ 2 32 768EI P=1 l/ 2
l3 3 192EI
1
1 m 1
48EI ml3
3 1l 768 EI 1 192EI 1 l 3 l l 5 l 7 l 2 2 (2 3 3 ) 1 3 ml 2 32 768 m EI 62 2 7 16 EI ml m 3
第五章 单自由度系统的振动
上式也可改写为
F (t ) c0 ck cos(kt k )
式中
c0 a 0 / 2 ck ak2 bk2 bk k arct an ak
Cx Kx c0 ck cos(kt k ) M x
k 1
k 1
若系统的质量、刚度和阻尼分别为M、K和C，则此时受迫振动的微分方程为
c0相当于一个静载荷，它不引起振动，而只改变系统的静平衡位置。若令
k k
则稳态响应可以写为
ck x k cos(k t k k ) k 1 K
x e ( x0 cosd t
at
也可改写为 式中
d x Aeat sin(d t )
0 ax0 x
0 ax0 x
sin d t )
2 A x0 (
d
)2
arctan
d x0
0 ax0 x
从上面的式子可以看出，这时系统的运动为周期性的振动。其 振动圆频率为d ，称为有阻尼振动的固有频率，它比无阻尼自由振 动的固有频率 n 略小。振幅Ae-at随时间成指数形式衰减。如图给 出了这种衰减振动的响应曲线。
x A sin(nt )
式中：A称为振幅； 称为初相位，单位为rad。 无阻尼自由振动是一个以固有频率为频率的简谐振动。
设初始时刻t=0时的位移为x0、速度为v0，则可得
2 A x0 (v0 / 0 ) 2
x00 arctan 0 x
2、工程实例 机器或结构中的构件受一静负荷后要产生变形，其内 部要产生应力，分别称为静变形和静应力。而当受冲击或 产生振动时，构件要产生动变形和动应力。
振动理论-第2章 单自由度系统的自由振动
c
l
解：梁重物处的静变形为
st
Wc2 (l c)2 3lEI
则：
3lEI k c2 (l c)2
1g f
2 st
例3. 已知：升降机吊笼，以等速 v0 下降，钢丝绳视为弹簧，
若A端突然停止，求钢绳所受到的最大应力。
W 10000lbf l 62 ft A 2.5in2 E 15106lbf / in2
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of G 80109 N / m2
(boom) to deform by an amount x2 x cos 45 and the spring k1
Eat 3 4b3
kr
AE l
d2E
4l
1 keq
1 kb
1 kr
4b3 Eat 3
4l d2
E
keq
E 4
at3d 2
d 2b3 lat3
4 等效质量和等效刚度
斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度
Fx F cos F 为弹簧的伸长量
第一部分 单自由度系统的振动
& x0 = A(ωd cos ϕ − ζω n sin ϕ )
x0 + ζω n x0 & , A = x0 + ωd
2 2
x = Ae
−ζω n t
sin (ω d t + ϕ )
得 x0 = A sin ϕ ,
& x0 + ζω n x0
ωd
= A cos ϕ
ωd x0 tgϕ = & x0 + ζω n x0
系统的势能为： 系统的势能为：
k2 k1 1 1 1 1 2 2 U = k1 x1 + k 2 x2 = k1 x + k2 x 2 2 2 2(k1 + k 2 ) 2 2(k1 + k 2 ) 1 k1k 2 1 2 = x = ke x 2 2 4(k1 + k 2 ) 2
第一部分 单自由度系统的振动 3 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●响应求解 −ζωn t [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] 第二种形式 x = e 式中D 为待定常数，决定于初始条件。 式中 1与D2为待定常数，决定于初始条件。 由
x = e −ζωnt [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] & x = −ζωn e −ζωnt ( D1 cos ωd t + D2 sin ωd t )
+e
−ζωn t
( − D1ωd sin ωd t + D2ωd cos ωd t )
& x0 + ζωn x0
得 x0 = D1 ,
x0 + ζω n x0 & , A = x0 + ωd
2 2
x = Ae
−ζω n t
sin (ω d t + ϕ )
得 x0 = A sin ϕ ,
& x0 + ζω n x0
ωd
= A cos ϕ
ωd x0 tgϕ = & x0 + ζω n x0
系统的势能为： 系统的势能为：
k2 k1 1 1 1 1 2 2 U = k1 x1 + k 2 x2 = k1 x + k2 x 2 2 2 2(k1 + k 2 ) 2 2(k1 + k 2 ) 1 k1k 2 1 2 = x = ke x 2 2 4(k1 + k 2 ) 2
第一部分 单自由度系统的振动 3 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） 有阻尼系统的自由振动（小阻尼情况） ●响应求解 −ζωn t [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] 第二种形式 x = e 式中D 为待定常数，决定于初始条件。 式中 1与D2为待定常数，决定于初始条件。 由
x = e −ζωnt [ D1 cos ωd t + D2 sin ωd t ] & x = −ζωn e −ζωnt ( D1 cos ωd t + D2 sin ωd t )
+e
−ζωn t
( − D1ωd sin ωd t + D2ωd cos ωd t )
& x0 + ζωn x0
得 x0 = D1 ,
实验一单自由度系统自由振动实验-西安建筑科技大学
振动实验指导书西安建筑科技大学力学实验室二零零四年六月前言在工程实践中存在着大量的振动问题，由于振动学中的概念很多，结论抽象，数学推导复杂，因此在教学中仅通过数学推导来建立概念，学生接受起来比较困难。
在这种情况下，我室开出了部分振动实验内容，使学生通过观察，对比，分析，学会通过实验建立正确的牢固的概念，同时在实验中训练学生动手能力，提高学生解决实际问题的能力。
本书由杨耀锋主编，刘书香参编，因编者水平有限，如有不足之处，请多提宝贵意见。
2004年06月实验守则和要求1.要按时进入实验室。
实验进行过程中，不得擅自离开实验室；2.进入实验室，应保持室内安静和整洁，要爱护实验室设备，未经教师同意，不得乱动仪器设备；3.为保证实验顺利进行，课前应认真预习本实验指导书中有关实验内容，基本了解实验原理，明确实验要求；4.实验前，应认真听取指导教师对仪器的构造、原理及安全操作、实验步骤、注意事项的讲解；5.实验准备就绪后，必须请教师检查认可后，方能打开电源进行实验；6.实验过程中，如有违犯实验守则而不听教师指导者，教师可作相应处理；7.实验记录经教师检查认可后方可离开实验室；8.实验完毕，应将实验装置恢复原状，布置整齐；9.实验报告是处理实验结果的总结材料，实验结束后，按实验要求计算有关参数，绘制有关图线，按时送交教师审阅。
目录实验一单自由度系统自由振动实验 (1)试验二单自由度系统强迫振动实验 (7)实验一 单自由度系统自由振动实验一 、实验目的：1. 测定振动系统的固有频率f ；2.测定振动系统的阻尼系数n ；3.观察小阻尼情况下系统振动按照几何级数衰减的情况；4.掌握用初干扰法测定系统动力特性参数的实验方法；5.掌握测振仪器的使用方法。
二 、实验装置及测振系统框图三 、实验原理实验装置如图一所示，水平台面（其质量为M ）被四个下端固定的相同弹簧片对称支撑着，这样便构成一个小阻尼单自由度水平振动系统，其台面的水平位移按下面的规律变化。
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
单自由度系统的自由振动
长度为A的矢量以匀角速度ω在平面上绕定点O逆时针 旋转，该矢量在直角坐标轴上的投影均可表示简谐运动。
频率：ω； 幅值：A； 初始相位：t=0时矢量与坐 标轴的夹角。 y Asin(t )
1．两个（或两个以上）同频 率简谐振动的合成。
2．直观表示简谐振动位
x Acos(t )
移．速度．及加速度之间的 相对关系。
旋转矢量表示法—旋转矢量投影法
y
1．两个（或两个以上）同频
率简谐振动的合成。
A
A2
2
ω
φ A1
1
O
x
2．直观表示简谐振动位 移．速度．及加速度之 间的相对关系。
y
x
ωA
Ax
ω O
x ω A2
φ
x
复数表示法
长度为A的矢量以匀角速度ω在复平面上绕定点O逆时 针旋转，该矢量在实轴及虚轴上的投影与矢量端点处 复数z的实部和虚部相对应。
单自由度系统自由振动方程
x
2 0
x
0
0 k / m
单自由度系统自由振动方程的解 说明什么？
x C1 cos0t C2 sin 0t x Asin(0t )
无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动
振动角频率ω0是系统的固有特性，与初始条件无关
固有频率及 固有周期
f 0 1 2 2
k m
T0
1 f
2
m k
固有频率
x C1 cos0t C2 sin 0t
x Asin(0t )
ω0称作无阻尼系统的固有（角）频率，单位为 rad/s
0 k / m
固有频率及 固有周期
频率：ω； 幅值：A； 初始相位：t=0时矢量与坐 标轴的夹角。 y Asin(t )
1．两个（或两个以上）同频 率简谐振动的合成。
2．直观表示简谐振动位
x Acos(t )
移．速度．及加速度之间的 相对关系。
旋转矢量表示法—旋转矢量投影法
y
1．两个（或两个以上）同频
率简谐振动的合成。
A
A2
2
ω
φ A1
1
O
x
2．直观表示简谐振动位 移．速度．及加速度之 间的相对关系。
y
x
ωA
Ax
ω O
x ω A2
φ
x
复数表示法
长度为A的矢量以匀角速度ω在复平面上绕定点O逆时 针旋转，该矢量在实轴及虚轴上的投影与矢量端点处 复数z的实部和虚部相对应。
单自由度系统自由振动方程
x
2 0
x
0
0 k / m
单自由度系统自由振动方程的解 说明什么？
x C1 cos0t C2 sin 0t x Asin(0t )
无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动
振动角频率ω0是系统的固有特性，与初始条件无关
固有频率及 固有周期
f 0 1 2 2
k m
T0
1 f
2
m k
固有频率
x C1 cos0t C2 sin 0t
x Asin(0t )
ω0称作无阻尼系统的固有（角）频率，单位为 rad/s
0 k / m
固有频率及 固有周期
第1讲 单自由度振动
单位脉冲力对于单自由度系统脉冲响应函数为为减系数16单自由度系统频响函数曲线特征1粘性阻尼系统幅频曲线和相频曲线单自由度系统频响函数曲线特征幅频曲线和相频曲线1c点对应于小阻尼下可认为是峰值点2c点共振幅值点该点对应的频率为单自由度系统频响函数曲线特征幅频曲线和相频曲线3ab点称为半功率点所对应的频率为单自由度系统频响函数曲线特征幅频曲线和相频曲线相频曲线上ab半功率点c点对应的相位分别为频率代入表达式即可得到这3点对应的角度值
用 xi , xi m 表示两个相隔m个周期的振幅，可得
x x 1 d 1 ln i ln i 2m n xi m 2m xi m
1
1.4 简谐激振下单自由度体系的响应 F 2 (t ) 2 n x (t ) n 运动方程： x x(t ) 0 sin t
a
A k c
2 2
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
1.4.6 用复数表示的稳态响应 激振力： F0 sin t → F0 e it t cx kx F0 e i；稳态响应： m x x Ae i (t ) 运动方程： 激振力、惯性力、弹性力、阻尼力矢量平衡关系：
1.4.5 主动隔振（力隔振）
图示系统运动方程
mx cx kx F0 sin t 设稳态解 x A sin(t ) 传到基础上的力为 cx kx c A sin(t ) kA sin(t )
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
A F0 sin / c
得
绝对位移运动方程：m cx kx kxg cx g x
cx kx kB sin t cB cos t m x
用 xi , xi m 表示两个相隔m个周期的振幅，可得
x x 1 d 1 ln i ln i 2m n xi m 2m xi m
1
1.4 简谐激振下单自由度体系的响应 F 2 (t ) 2 n x (t ) n 运动方程： x x(t ) 0 sin t
a
A k c
2 2
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
1.4.6 用复数表示的稳态响应 激振力： F0 sin t → F0 e it t cx kx F0 e i；稳态响应： m x x Ae i (t ) 运动方程： 激振力、惯性力、弹性力、阻尼力矢量平衡关系：
1.4.5 主动隔振（力隔振）
图示系统运动方程
mx cx kx F0 sin t 设稳态解 x A sin(t ) 传到基础上的力为 cx kx c A sin(t ) kA sin(t )
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
A F0 sin / c
得
绝对位移运动方程：m cx kx kxg cx g x
cx kx kB sin t cB cos t m x
1单自由度系统振动 (1)
绳中的最大张力等于静张力与 因振动引起的动张力之和：
由于
为了减少振动引起的动张力，应当降 低升降系统的刚度。
例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞。梁长 L，抗弯刚度EJ
求：梁的自由振动频率和最大挠度
解：取平衡位置，以梁承受 重物时的静平衡位置为 坐标原点建立坐标系Ox 静变形为：λ
由材料力学：
库伦力
库伦阻尼
摩擦力一个周期内所消耗地能量：
等效粘性阻尼系数
（2）平方阻尼 工程背景：低粘度流体中以较大速度运动的物体， 阻尼力与相对速度地平方成正比，方向相反 摩擦力 阻力系数 在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
等效粘性阻尼系数：
特征根： 振动解： c1、c2：初始条件决定
两个不等的负实根
为双曲正弦 其中
双曲余弦
设初始条件为 解为
响应图形
一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生
1 第三种情况，临界阻尼： 特征根： 为二重根
振动解 设初始条件： 则：
c1、c2：初始条件决定
响应图为
仍然是按指数规律 衰减的非周期运动， 但比过阻尼衰减快 些
c1、c2：初始条件决定 设初始条件：
则：
或：
其中： 振动解为 阻尼固有频率 阻尼自由振动周期 T0：无阻尼自由振动的周期
阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期
振动解： 欠阻尼是一种振幅逐渐衰 减的振动 不同阻尼，振动衰减的 快慢不同：
阻尼大，则振动衰减快
阻尼小，则衰减慢 减幅系数 ：评价阻尼对振幅衰减快慢的影响，定义 为相邻两个振幅的比值：
自由振动频率为：
撞击时刻为零时刻，则t=0时，有：
则自由振动振幅为：
单自由度系统的自由振动
思考与练习
应用matlab或excel软件绘制自由振动曲线
xt e
nt
0 n x0 x 2 2 x cos 1 t sin 1 t 0 n n 2 1 n
10 已知 n 100, 0.01, x0 0, x
运动微分方程的解
周期 T
2 m 2 n k
1 1 T 2 k m
频率 f
振动系统质量越大，弹簧刚度越小，则系统固有频率越 低，周期越长。反之结论亦成立。在连续系统中，刚度、质 量体现在材料方面。
运动微分方程的解
单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数，统称 为谐波函数表示，故称为简谐振动，这种系统又被称为谐振 子。 自由振动的角频率即系统的自然频率，仅由系统本身的参数 所确定，而与外界激励、初始条件等均无关。这说明自由振 动显示了系统内在的特性。 无阻尼自由振动的周期即线性系统自由振动的周期也仅由其 本身的参数决定，而与初始条件及振幅的大小无关。这种现 象称为谐振子振动的“等时性”。 自由振动的幅值和初相角由初始条件所确定。 单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅振动，这意味着系统 一旦受到初始激励就将按振幅始终振动下去，这显然是一种 理想情况。
能量守恒原理
T
d T U 0 dt
1 2 mx 2
U
1 2 kx 2
kx 0 m x
铅垂方向上弹簧-质量系统的运动微分方程
W mg k st
k x st W m x
kx 0 m x
当质量块在竖直方向上运动时，如果以静平衡位置为坐标 原点，在列质量块的运动微分方程时就不用考虑重力。
单自由度系统的无阻尼自由振动
A——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。
n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T
——周期，每振动一次所经历的时间。T
2 n
f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。 反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
根据：
xx0const x 0 nsinnt
其振动规律为：
x (t) v nsin tn 1 1 .6 * 1 * 9 5 6s 0 0 1 i0 .n 6 t9 1 .2s8 1 i.n 6 t9 (c)m
17
x(t)1.2s8i1n.9 6t(cm )
绳中的最大张力等于静张力 与因振动引起的动张力之和
11
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
四、其它
1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。
2
单自由度系统的自由振动
以弹簧质量系统为力学模型
3
运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为无阻尼自由振动。
质量—弹簧系统：
令x为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，当系统受干扰时，根据 牛顿第二定律，有：
m x m k g (s x )
由Tmax=Umax , 求出 n
结构振动理论2-单自由度系统自由振动
由 dE 0 1、求出运动方程： mx kx 0
dt
有常力作用的机械能： E 1 mx&2 1 k( x)2 Fx
2
2
dE mx&&x& k( x)x& Fx& x&(m&x& kx) 0
dt
由 Ek max E p max E 2、求固有频率
假设 x Asin( pt ) 则 x Apcos(pt )
2
l 0
/
2
y02{3(
x l
)
4(
x l
)3}2
dx
1 2
0.486
ly02
Ek
1 2
me
y02
me 0.486 l
n
ke me
00:03
单自由度系统自由振动
例 铰接式直升机旋翼挥舞振动分析
取微元做受力分析，微元
cos
R
L
2(R cos)d 离心力对铰链轴o的力矩为
θ
ξ
(2 (R cos )d )( sin )
则系统的自由振动方程为: me ke 0
固有频率为:
n
ke me
需要注意的是，me不是梁的总质量，它可以通过梁上各 点位移关系和动能等效的原则求得。
00:03
单自由度系统自由振动
y( x, t )
y0
(t
)[3x l
4(
x )3 ] l
(x 1) l2
Ek
1 2
l y2dm 1 2
0
由此可见，弹性元件并联将提高总刚度，串联将降低总刚
度。这与电学中电阻的并联、串联结论是相反的。阻尼器串联
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无阻尼自由振动微分方程
Mechanical and Structural Vibration
k 其中 pn m
固有圆频率
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.1 自由振动方程
其通解为： x C1 cos p n t C 2 sin p n t
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t=0时， x
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动
目录
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.2 计算固有频率的能量法
1.3 瑞利法 1.4 有阻尼系统的衰减振动
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动
第1章 单自由度系统的自由振动
机械与结构振动
Mechanical and Structural Vibration
主讲 贾启芬
机械与结构振动
引 言
振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置
附近作往复运动。
振动属于动力学第二类问题－已知主动力求
运动。
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧 的静变形之和，即 st = 1st + 2st
由于每根弹簧所受的拉力都等于 重力mg，故它们的静变形分别为
1st
mg k1
2st
1.1.1 自由振动方程
取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴 顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块 在静平衡位置时，由平衡条件，得到
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的 运动微分方程为 d2 x m 2 mg k ( st x) dt
d2 x 2 pn x 0 2 dt
mg st k
1st
mg k1
2st
mg k2
1 1 1 k k1 k 2
k1 k 2 k k1 k 2
k称为串联弹簧的等效刚度系数 串联后的弹簧刚度系数的倒数等于 各串联弹簧刚度系数倒数的算术和
f
Mechanical and Structural Vibration
x0，v v0
可解
C1 x0
v0 C2 pn
v0 x x0 cos pn t sin pnt pn
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.1 自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.2 振幅、初相位和频率
2π m 2π 系统振动的周期 T pn k
系统振动的频率 f
1 pn k 2π T 2π m
系统振动的圆频率为 pn 2πf
圆频率pn 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。
f、 pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，
静力等效的原则，折算到质
量所在处。 先将刚度系数k2换算至质 量m所在处C的等效刚度系 数k。
C
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。 设在C处作用一力F，按静力平衡的 关系，作用在B处的力为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 固有圆频率 pn m
pn g
st
st
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
等效的概念
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程 这一方程，可以等效为广义坐标的形式
d2 q meq 2 keq q＝0 dt
1 2π
k 1 m 2π
k1 k 2 m( k1 k 2 )
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
组合弹簧的等效刚度
例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹 簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自 由振动频率。
解：将各弹簧的刚度系数按
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、 k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处 于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是
机械与结构振动
引 言
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 相类似： 选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
引 言
非线性振动的叠加原理不成立。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
振动概述
振动问题的分类
按激励特性划分：
自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 系统自身的振动。 受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发 生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的 激励下发生的振动。 参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参 数，这种激励所引起的振动。
机械与结构振动
振动概述
振动问题的共同特点
所考察的系统既有惯性又有弹性。
运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
振动概述
振动问题的分类
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。
多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的
F1 k1 st
F2 k 2 st
系统平衡方程是 Fx 0
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧， 使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧 来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果 知道系统的静变形 st 则求出系统的固有频率
mg k st
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
系统的固有频率
1 f 2π k 1 m 2π k1 k 2 m
k k1 k 2
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
Mechanical and Structural Vibration
而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为 固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.2 振幅、初相位和频率
用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时
mg k st
k mg
g 1 f 2π st
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动 关于单自由度系统振动的概念
典型的单自由度系统:弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直 方向振动时，可视为集中质量。如不 计梁的质量，则相当于一根无重弹簧， 系统简化成弹簧-质量系统
mg k2
如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹 簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧 的静变形等于 st mg
Mechanical and Structural Vibration
k
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的 两根弹簧，此弹簧的静变形等于
振动。 连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动 振动问题的分类
按系统特性或运动微分方程类型划分：
线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的 振动。 m ky 0 y m k ＝F sin( t )
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
等效的概念
d2 q meq 2 keq q＝0 dt
Mechanical and Structural Vibration
k 其中 pn m
固有圆频率
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.1 自由振动方程
其通解为： x C1 cos p n t C 2 sin p n t
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t=0时， x
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动
目录
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.2 计算固有频率的能量法
1.3 瑞利法 1.4 有阻尼系统的衰减振动
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动
第1章 单自由度系统的自由振动
机械与结构振动
Mechanical and Structural Vibration
主讲 贾启芬
机械与结构振动
引 言
振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置
附近作往复运动。
振动属于动力学第二类问题－已知主动力求
运动。
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧 的静变形之和，即 st = 1st + 2st
由于每根弹簧所受的拉力都等于 重力mg，故它们的静变形分别为
1st
mg k1
2st
1.1.1 自由振动方程
取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴 顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块 在静平衡位置时，由平衡条件，得到
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的 运动微分方程为 d2 x m 2 mg k ( st x) dt
d2 x 2 pn x 0 2 dt
mg st k
1st
mg k1
2st
mg k2
1 1 1 k k1 k 2
k1 k 2 k k1 k 2
k称为串联弹簧的等效刚度系数 串联后的弹簧刚度系数的倒数等于 各串联弹簧刚度系数倒数的算术和
f
Mechanical and Structural Vibration
x0，v v0
可解
C1 x0
v0 C2 pn
v0 x x0 cos pn t sin pnt pn
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.1 自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.2 振幅、初相位和频率
2π m 2π 系统振动的周期 T pn k
系统振动的频率 f
1 pn k 2π T 2π m
系统振动的圆频率为 pn 2πf
圆频率pn 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。
f、 pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，
静力等效的原则，折算到质
量所在处。 先将刚度系数k2换算至质 量m所在处C的等效刚度系 数k。
C
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。 设在C处作用一力F，按静力平衡的 关系，作用在B处的力为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 固有圆频率 pn m
pn g
st
st
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
等效的概念
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程 这一方程，可以等效为广义坐标的形式
d2 q meq 2 keq q＝0 dt
1 2π
k 1 m 2π
k1 k 2 m( k1 k 2 )
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
组合弹簧的等效刚度
例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹 簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自 由振动频率。
解：将各弹簧的刚度系数按
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、 k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处 于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是
机械与结构振动
引 言
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 相类似： 选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
引 言
非线性振动的叠加原理不成立。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
振动概述
振动问题的分类
按激励特性划分：
自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 系统自身的振动。 受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发 生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的 激励下发生的振动。 参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参 数，这种激励所引起的振动。
机械与结构振动
振动概述
振动问题的共同特点
所考察的系统既有惯性又有弹性。
运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
振动概述
振动问题的分类
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。
多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的
F1 k1 st
F2 k 2 st
系统平衡方程是 Fx 0
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧， 使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧 来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果 知道系统的静变形 st 则求出系统的固有频率
mg k st
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
系统的固有频率
1 f 2π k 1 m 2π k1 k 2 m
k k1 k 2
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
Mechanical and Structural Vibration
而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为 固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.2 振幅、初相位和频率
用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时
mg k st
k mg
g 1 f 2π st
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动 关于单自由度系统振动的概念
典型的单自由度系统:弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直 方向振动时，可视为集中质量。如不 计梁的质量，则相当于一根无重弹簧， 系统简化成弹簧-质量系统
mg k2
如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹 簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧 的静变形等于 st mg
Mechanical and Structural Vibration
k
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的 两根弹簧，此弹簧的静变形等于
振动。 连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动 振动问题的分类
按系统特性或运动微分方程类型划分：
线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的 振动。 m ky 0 y m k ＝F sin( t )
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
等效的概念
d2 q meq 2 keq q＝0 dt