数学归纳法课件
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课件14：2.3 数学归纳法
所以左边为1＋2＋3.故应选C．
2．用数学归纳法证明11·2＋21·3＋31·4＋…＋n(n1＋1)
＝n＋n 1(n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要
增添的项是 ( D )
A．k(k＋1 1)
B．k(k＋1 1)＋(k＋1)1(k＋2)
C．k(k＋1 2)
D．(k＋1)1(k＋2)
3．已知数列{an}满足 Sn＋an＝2n＋1. (1)写出 a1、a2、a3，并推测 an 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论.
(1)解：将 n＝1、2、3 代入 Sn＋an＝2n＋1 中得， a1＝32＝2－12，a2＝74＝2－14，a3＝185＝2－18， 猜想 an＝2－21n. (2)证明：①由(1)知当 n＝1 时，命题成立； ②假设 n＝k 时，命题成立，即 ak＝2－21k，
命题方向2 ⇨用数学归纳法证明不等式 例 2 用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12<2－1n (n≥2). 证明：1°当 n＝2 时，1＋212＝54<2－21＝23，命题成立． 2°假设 n＝k 时命题成立，即 1＋212＋312＋…＋k12<2－1k 当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋(k＋11)2<
【解析】 当 n＝k 时，等式左边＝11·2＋21·3＋…＋k(k＋1 1) 当 n＝k＋1 时，等式左边＝11·2＋21·3＋…＋k(k＋1 1) ＋(k＋1)1(k＋2)，两者比较需添加的项为(k＋1)1(k＋2). 故应选 D．
3．用数学归纳法证明不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1>16247
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1 整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋ 1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－ a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
数学归纳法完整版课件
所以当n＝k＋1时，结论也成立. 综上所述，对一切 n∈N*,0<a2n<14<a2n－1≤1 都成立.
思维升华
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题， 其基本模式是“归纳—猜想—证明”. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
微思考
1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.因为 n0∈N*，所以n0＝1.这种说法对吗？ 提示 不对，n0也可能是2，3，4，….如用数学归纳法证明多边形内角 和为(n－2)π时，初始值n0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 提示 不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.
解
存在
c＝14使得
1 a2n<4<a2n－1.
因为 f(x)＝4x＋4 15，当 x∈(0,1]时，f(x)单调递减，
所以149≤f(x)<145.
因为a1＝1，
所以由 an＋1＝4an＋4 15，得 a2＝149，a3＝37061，且 0<an≤1.
下面用数学归纳法证明 0<a2n<14<a2n－1≤1.
当 n＝1 时，因为 0<a2＝149<14<a1＝1≤1，
所以当n＝1时结论成立. 假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即 0<a2k<14<a2k－1≤1. 由于 f(x)＝4x＋4 15为(0,1]上的减函数， 所以 f(0)>f(a2k)>f 14>f(a2k－1)≥f(1)， 从而145>a2k＋1>14>a2k≥149， 因此 f 145<f(a2k＋1)<f 14<f(a2k)≤f 149， 即 0<f 145<a2k＋2<14<a2k＋1≤f 149≤1，
4.4 数学归纳法课件ppt
,…的前 n 项和为 Sn,计算 S1,S2,S3,S4,
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
数学归纳法PPT教学课件
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的 应用领域将不断拓展，应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新 教学方法，提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归 纳法被广泛应用于数据分析， 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起 始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个 组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立， 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。
2.2数学归纳法ppt课件
1
一、提出问题
问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到 学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出： 这所学校里的学生都是男同学。
问题 2：三角形的内角和为180º，四边形的内角和为2•180º,五
边形的内 角和为3•180º，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) •180º。
9
例1.用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)
6
证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 1(1 1)(2 第1)二步1的证明要用
∴n=1时，等式成立
6
上归纳假设!
2、假设n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1)
②在步骤(2)的证明过程中，突出两个“凑”字：一凑假设，二凑结论，关键是明确 n＝ k＋1 时证明的目标，充分考虑由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题形式之间的区别和联系．
11
请你来批作业
1
用数学归纳法证明：1 2
1 23
1 n(n 1)
n (n N ) n 1
证明：
（1）当n 1时，左边 1 ，右边 1 ，左边 右边，等式成立；
【例 2】用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N*)．
证明：(1)当 n＝1 时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2，
∴等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．上归纳假设!
（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？
7
（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当 n 取第一个值 n0 (n0 1 或 2) 时结论正确
一、提出问题
问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到 学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出： 这所学校里的学生都是男同学。
问题 2：三角形的内角和为180º，四边形的内角和为2•180º,五
边形的内 角和为3•180º，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) •180º。
9
例1.用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)
6
证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 1(1 1)(2 第1)二步1的证明要用
∴n=1时，等式成立
6
上归纳假设!
2、假设n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1)
②在步骤(2)的证明过程中，突出两个“凑”字：一凑假设，二凑结论，关键是明确 n＝ k＋1 时证明的目标，充分考虑由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题形式之间的区别和联系．
11
请你来批作业
1
用数学归纳法证明：1 2
1 23
1 n(n 1)
n (n N ) n 1
证明：
（1）当n 1时，左边 1 ，右边 1 ，左边 右边，等式成立；
【例 2】用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N*)．
证明：(1)当 n＝1 时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2，
∴等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．上归纳假设!
（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？
7
（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当 n 取第一个值 n0 (n0 1 或 2) 时结论正确
课件2 ：2.3 数学归纳法
1 +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
课件1： 5.5 数学归纳法
第五章 数列
5.5 数学归纳法
学习目标
核心素养
1.了解数学归纳法的原理．(重点、 1.通过数学归纳法的学习，培养数
易混点) 学抽象、逻辑推理素养.
2.掌握数学归纳法的步骤．(难点) 2.通过利用数学归纳法证明数学
3.能用数学归纳法证明一些简单 命题，提升数学运算素养.
的数学命题．(难点)
一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第一张，而且后续的每一张倒下时， 能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下． 问题：保证每张骨牌倒下的原因有哪些？由此如何理解数学归纳法的 原理．
32
[跟进训练] 4．已知函数 y＝f(n)(n∈N＋)，设 f(1)＝2，且任意的 n1，n2∈N＋， 有 f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)． (1)求 f(2)，f(3)，f(4)的值； (2)试猜想 f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明．
33
[解] (1)因为 f(1)＝2，f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)， 所以 f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4， f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8. f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16.
第一步检验 n 等于( )
A．1 B．2
C．3
D．4
解析：三角形是边数最少的多边形，故第一步应检验 n＝3.
答案：C
3．用数学归纳法证明：首项是 a1，公差是 d 的等差数列的前 n 项和
公式是 Sn＝na1＋nn2－1d 时，假设当 n＝k 时，公式成立，则 Sk＝(
)
A．a1＋(k－1)d
B.ka1＋ 2 ak
初试身手
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
5.5 数学归纳法
学习目标
核心素养
1.了解数学归纳法的原理．(重点、 1.通过数学归纳法的学习，培养数
易混点) 学抽象、逻辑推理素养.
2.掌握数学归纳法的步骤．(难点) 2.通过利用数学归纳法证明数学
3.能用数学归纳法证明一些简单 命题，提升数学运算素养.
的数学命题．(难点)
一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第一张，而且后续的每一张倒下时， 能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下． 问题：保证每张骨牌倒下的原因有哪些？由此如何理解数学归纳法的 原理．
32
[跟进训练] 4．已知函数 y＝f(n)(n∈N＋)，设 f(1)＝2，且任意的 n1，n2∈N＋， 有 f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)． (1)求 f(2)，f(3)，f(4)的值； (2)试猜想 f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明．
33
[解] (1)因为 f(1)＝2，f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)， 所以 f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4， f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8. f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16.
第一步检验 n 等于( )
A．1 B．2
C．3
D．4
解析：三角形是边数最少的多边形，故第一步应检验 n＝3.
答案：C
3．用数学归纳法证明：首项是 a1，公差是 d 的等差数列的前 n 项和
公式是 Sn＝na1＋nn2－1d 时，假设当 n＝k 时，公式成立，则 Sk＝(
)
A．a1＋(k－1)d
B.ka1＋ 2 ak
初试身手
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
《数学归纳法》课件
数学归纳法
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
2.3数学归纳法课件
不完全归纳法 解释：从一类对象中部分对 象都具有某种性质推出这类对象全体都具有 这种性质的归纳推理方法。又作不完全归纳 推理。 不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部 ）特殊情况作出一般性结论的归纳推理.
2 1 5 2 2 1 17
2
21
2 1 257
23 24
(费马猜想 )
即n=k+1时等式成立. 由（1）（2）可知，对任意n∈N+等式均成立.
[变 1]
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 (2n－1)(2n＋1)
n .(n∈N*) 2n＋1
[分析]
第一步验证 n 取第一个正整数 1 时等式成
立，第二步假定 n＝k(k∈N*)时命题成立，即 1 1 1 k ＋ ＋„＋ ＝ 成立， 并以 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) 2k＋1 1 1 1 此作为条件来推证等式 ＋ ＋„＋ 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) k＋1 1 ＋ ＝ 成立． (2k＋1)(2k＋3) 2(k＋1)＋1
－
－
故 n＝k＋1 时猜想也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n 2. 所以数列{an}的通项公式为
5，n＝1， an＝ － 5×2n 2，n≥2.
－
完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推 出结论的归纳法称为完全归纳法. 完全归纳法是一种在研究了事物的所有( 有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法 ，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完 全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包 括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法
1 1 1 1 练习 2．用数学归纳法证明 ＋ ＋ ＋„＋ 1· 2· 3· 2 3 4 n(n＋1) n ＝ (n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增 n＋1 添的项是 1 A. k(k＋1) 1 1 B. ＋ k(k＋1) (k＋1)(k＋2) 1 C. k(k＋2) 1 D. (k＋1)(k＋2) ( )
《数学归纳法》课件ppt
= （k +1)[1+(2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
新教材选择性4.4数学归纳法.课件(15张)
第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ✕ ) 提示:与正整数n有关的数学命题的证明还能用其他方法. n有关的命题时,只需当n取前几个值时命题正确即可. ( ✕ ) 提示:由n取前几个值命题正确,推不出与正整数n有关的命题正确. 3.在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设. (✕) 提示:数学归纳法的两个步骤缺一不可.
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)和(2)可知,不等式对任意n∈N*都成立.
第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
3 |归纳—猜想—证明,解决与递推公式有关的数列问题
1.在给出了已知数列的递推关系的情况下,可根据已知写出数列的前几项,猜想出 结论,然后用数学归纳法证明该结论.简单地说,用不完全归纳法归纳结论,用数学 归纳法证明结论.正确计算是归纳的前提,常见的等差、等比数列的有关结论是 归纳的桥梁,而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿. 2.“归纳—猜想—证明”的解题步骤
ak+1=12aak k
=
2 1
1 1
2k 1 a (2k1 1)a 2k 1 a (2k1 1)a
=
1
(2k 1
2k a 1)a
2k 1 a
=
2k a
=
2(k 1)1 a
,
1 2 2k1a a 1 [2(k1)1 1]a
所以当n=k+1时猜想也成立.
根据①与②可知,猜想对任意n∈N*都成立.
第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
4.用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立. ( ✕ ) 提示:有的证明问题第一步并不是验证当n=1时结论成立,如证明凸n边形的内角 和为(n-2)·180°,第一步要验证当n=3时结论成立,所以不正确. 5.用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的左边不一定只增加了一项.
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
[(3k＋3)＋1]· 7k＋1－1＝[3k＋1＋3]· 7· 7k－1＝
7· (3k＋1)· 7k－1＋21· 7k ＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋6· 7k＋21· 7k
k k k
由归纳假设(3k＋1)·k－1能被9整除，又因为 18k·k＋ 7 7
27·k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·k＋1－1能被9整除， 7 7
6．求证：平面内有n(n≥2)条直线，其中任意两条直线不
平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相
分割成n2条线段(或射线) 证明：(1)当n＝2时，两条直线不平行，彼此互相分割 成4条射线，命题成立。 (2)假设当n＝k时，命题成立，即k条满足条件的直线彼 此互相分割成k2条线段(或射线)．那么n＝k＋1时，取 出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条
1 又 ×(12＋1＋2)＝2， 2 ∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k 时，命题成立，即 k 条满足题意的直线把 1 2 平面分割成了 (k ＋k＋2)个区域．那么当 n＝k＋1 时，k＋1 2 1 2 条直线中的 k 条直线把平面分成了 (k ＋k＋2)个区域，第 k 2 ＋1 条直线被这 k 条直线分成 k＋1 段，每段把它们所在的区
即n＝k＋1时命题成立．
则①②可知对所有正整数n命题成立．
4．用数学归纳法证明：
当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除． 证明：(1)当n＝1时，x＋y能被x＋y整除． (2)假设n＝2k－1时，x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，当n＝ 2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋y2k＋1＋x2y2k－1－x2y2k－1
1 2 何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成 (n ＋n＋2) 2 个区域．
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12 22 n2 n(n 1) 3、证明： 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 2(2n 1)
小结：
1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；
2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中 n=k+1时应增加的式子；
3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个 “凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
。
练习：
1 a n2 1、用数学归纳法证明1 a a a a 1 a （a≠1），在 1+a+a2 验证n=1等式成立时 ，左边应取的项是__________.
2 3 n 1
2、某个命题当n=k (k∈N )时成立，可证得当n=k+1时也成立。 现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ C） A、n=6时该命题不成立 B、 n=6时该命题成立 C、n=4时该命题不成立 D、 n=4时该命题成立
1 2 12 1 （ ） 2=1，右边= 证明：1）n=1时：左边=S1=1 =1=S1，等式成立。 3
2）假设当n=k(k∈N )时，有： k (2k 2 1) Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ，
3
当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+ k2 …+22+12 =[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2 =Sk+2k2+2k+1 k (2k 2 1) = + 2k2+2k+1
共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
☺
一、概念
1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
归纳法
｛ 不完全归纳法
完全归纳法
❋用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。
2、数学归纳法：
数学归纳法
（一）
问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校
的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所 学校里的学生都是男同学。 问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
3
=
1 1 3+k+6k2+6k+3)= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] 3 (2k 3 1 1 2+4k+2+1)= 3 (k+1)(2k 3
= (k+1)[2(k+1)2+1], ∴ 当n=k+1时公式仍成立。 n( 2n 2 1) 由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有 S n 3
2
B、假设n=k(k∈N )时，等式 成立，那么 当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？
1 1 1 1 n 2 1 2 2 3 3 4 n(n 1) n 1
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数Байду номын сангаас归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形 的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为an=2n-1(n≤4，n∈N )
请问：以上四个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点 1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
（2k 1)( 2 k 2) k 1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，… n(2n 2 1) S Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+ …+22+12.用数学归纳法证明： n 3
例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•
例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）.
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2， 当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。 请问： A、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) = （k 1)[1 (2k 1)] = (k+1)2 ?为什么？
我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况 有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归 纳法又不可靠，怎么办？ ----用数学归纳法
步骤：①验证n=n0时命题成立。（n0为n取的第一个值） ②假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1 时命题也成立。 ③根据①②得出结论。
小结：
1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；
2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中 n=k+1时应增加的式子；
3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个 “凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
。
练习：
1 a n2 1、用数学归纳法证明1 a a a a 1 a （a≠1），在 1+a+a2 验证n=1等式成立时 ，左边应取的项是__________.
2 3 n 1
2、某个命题当n=k (k∈N )时成立，可证得当n=k+1时也成立。 现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ C） A、n=6时该命题不成立 B、 n=6时该命题成立 C、n=4时该命题不成立 D、 n=4时该命题成立
1 2 12 1 （ ） 2=1，右边= 证明：1）n=1时：左边=S1=1 =1=S1，等式成立。 3
2）假设当n=k(k∈N )时，有： k (2k 2 1) Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ，
3
当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+ k2 …+22+12 =[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2 =Sk+2k2+2k+1 k (2k 2 1) = + 2k2+2k+1
共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
☺
一、概念
1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
归纳法
｛ 不完全归纳法
完全归纳法
❋用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。
2、数学归纳法：
数学归纳法
（一）
问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校
的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所 学校里的学生都是男同学。 问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
3
=
1 1 3+k+6k2+6k+3)= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] 3 (2k 3 1 1 2+4k+2+1)= 3 (k+1)(2k 3
= (k+1)[2(k+1)2+1], ∴ 当n=k+1时公式仍成立。 n( 2n 2 1) 由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有 S n 3
2
B、假设n=k(k∈N )时，等式 成立，那么 当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？
1 1 1 1 n 2 1 2 2 3 3 4 n(n 1) n 1
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数Байду номын сангаас归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形 的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为an=2n-1(n≤4，n∈N )
请问：以上四个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点 1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
（2k 1)( 2 k 2) k 1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，… n(2n 2 1) S Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+ …+22+12.用数学归纳法证明： n 3
例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•
例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）.
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2， 当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。 请问： A、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) = （k 1)[1 (2k 1)] = (k+1)2 ?为什么？
我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况 有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归 纳法又不可靠，怎么办？ ----用数学归纳法
步骤：①验证n=n0时命题成立。（n0为n取的第一个值） ②假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1 时命题也成立。 ③根据①②得出结论。