九年级数学上册21.2.2公式法解一元二次方程学案(新版)新人教版
21.2.2解一元二次方程 公式法【人教九上数学精彩课堂教案】
21.2解一元二次方程21.2.2公式法实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣置疑探究在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.解下列一元二次方程:(1)x2+4x+2=0;(2)3x2-6x+1=0;(3)4x2-16x+17=0;(4)3x2+4x+7=0.然后让学生仔细观察四个方程的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?接着再改变上面每个方程的其中一个系数,得到四个新的方程:(1)3x2+4x+2=0;(2)3x2-2x+1=0;(3)4x2-16x-3=0;(4)3x2+x+7=0.思考1:新方程与原方程的解答过程相比,有什么变化?由学生的观察讨论得到:用配方法解不同的一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程(程序化的操作),不同之处是方程的根的情况及其方程的根.思考2:既然过程是相同的,为什么根会不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?[教学提示] 1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望;3.通过问题引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系,从而引导学生去探究.在学生利用配方法解一元二次方程时,为了节约时间,可以让学生分组解答,比如:将学生按列随机分成若干个组分别解答,再分别展示答案,充分让学生感受到解答过程的共性.复习探究(1)在上一节课中,我们学习了用配方法解一元二次方程,那么请回忆一下用配方法解一元二次方程的步骤是什么?①移项:方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项.(注意移项要变号)②化1:把二次项系数化为1.(方程两边同时除以二次项系数,注意不要漏项)③配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方.(注意分数的平方要加括号)④变形:方程左边分解因式,右边合并同类项,使方程转化为(x+m)2=n的形式.(当n≥0时,方程有实根;当n<0时,方程无实根)⑤开方:根据平方根的意义,方程两边开平方.(注意别漏了正负号,带根号的根式应化成最简二次根式)⑥求解:解一元二次方程.⑦定解:写出原方程的解.(2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+ba x=-ca.配方,得x2+ba x+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2.因为a≠0,所以4a2>0.当b2-4ac>0时,得x+b2a =±√b2-4ac2a,所以x=-b2a±√b2-4ac2a,即x1=-b+√b2-4ac2a ,x2=-b-√b2-4ac2a.当b2-4ac=0时,得x1=x2=-b2a.当b2-4ac<0时,方程无实数根.[教学提示] 以提问和练习的方式让学生回顾旧知,一方面是为了培养学生的语言表达能力,另一方面是为了加深学生对配方法的理解,为推导公式法做准备.全班同学在练习本上运算,请两名小组代表去黑板上练习,老师巡回指导,适时点拨,并注意对学习有困难的学生进行辅导,对表现比较突出的学生及时进行鼓励.教材母题——第11页例2用公式法解下列方程:(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2√2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.【模型建立】用公式法解一元二次方程,首先将方程化成一般形式,确定各项的系数(注意符号),当b2-4ac≥0时,将各系数代入求根公式求解.注意只有在b2-4ac≥0的情况下才能使用公式法进行求解.【变式变形】1.用公式法解方程(x+2)2=6(x+2)-4时,b2-4ac的值为(C)A.52B.32C.20D.-122.用公式法解方程3x 2+4=12x ,下列代入公式正确的是 (D)A .x 1,2=12±√122-3×42B .x 1,2=-12±√122-3×42C .x 1,2=-12±√-(-12)2-4×3×42×3D .x 1,2=-(-12)±√(-12)2-4×3×42×33.一元二次方程x 2+2√2x-6=0的根是 (C)A .x 1=x 2=√2B .x 1=0,x 2=-2√2C .x 1=√2,x 2=-3√2D .x 1=-√2,x 2=3√24.已知a 是一元二次方程x 2-3x-5=0的较小的根,则下面对a 的估计正确的是 (A)A .-2<a<-1B .2<a<3C .-3<a<-4D .4<a<5 5.一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5的根的情况是 (D)A .无实数根B .有一个正根,一个负根C .有两个正根,且都小于3D .有两个正根,且有一根大于36.方程x 2-2x-2=0的解是 x 1=1+√3,x 2=1-√3 .7.小明用公式法解方程2x 2+7x=4的过程如下: ∵a=2,b=7,c=4,∴b 2-4ac=72-4×2×4=17. ∴x=7±√174. ∴x 1=7+√174,x 2=7-√174.你认为小明的解答过程正确吗?如果不正确,请给出正确的解答过程. 解:小明的解答过程不正确. 正确的解答过程如下: 移项,得2x 2+7x-4=0,∵a=2,b=7,c=-4,∴b 2-4ac=72-4×2×(-4)=81. ∴x=-7±√812×2=-7±94.∴x 1=-4,x 2=12.教材母题——第17页习题21.2第13题无论p 取何值,方程(x-3)(x-2)-p 2=0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由. 【模型建立】“一元二次方程的根的个数”与“Δ=b2-4ac与0的大小关系”有关,所以牢记如下结论是解决此问题的关键.①当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根,即x1=-b+√b2-4ac2a ,x2=-b-√b2-4ac2a;②当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x1=x2=-b2a;③当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.【变式变形】1.不解方程,判断关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.[答案:有两个实数根]2.已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有实数根,则k的取值范围是 (D)A.k≠2B.k>2C.k<2且k≠1D.k为一切不等于1的实数3.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数根,则p与q的关系是p2-4q=0.4.已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是a>-1且a≠0.5.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.[答案:(1)略(2)1或2]【评价角度1】利用b2-4ac判断一元二次方程根的情况方法指引:b2-4ac的值的情况对应了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况,很多时候不用解方程就可以判断方程根的情况:若b2-4ac>0,则方程有两个不等的实数根;若b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根;若b2-4ac<0,则方程无实数根.例1一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是(D)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根例2关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定例3已知关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0.试说明:无论m取何实数,此方程总有实数根.解:∵在关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0中,Δ=4(2-m)2-4(3-6m)=4(m+1)2≥0,∴无论m取何实数,此方程总有实数根.【评价角度2】利用公式法解一元二次方程方法指引:用公式法解一元二次方程是将解方程的过程程序化,规范性要求较高,在代入公式求值前必须通过b2-4ac的值来判断方程解的情况,只有方程有解才能代入公式求解.在求b2-4ac的值时要先将方程转化为一般形式,再确定a,b,c的值.例解方程:x2+4x-1=0.[答案:x1=-2+√5,x2=-2-√5]【评价角度3】根据方程根的情况求解字母系数的值或取值范围方法指引:利用方程根的情况与b2-4ac的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式,从而确定字母系数的值或取值范围.在实际操作过程中,要关注二次项的系数不能等于0这一条件的应用.例1若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为(B)A.m>94B.m<94C.m=94D.m<-94例2若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(A)A.-1B.1C.-2或2D.-3或1例3若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是k≤5且k≠1.【评价角度4】一元二次方程的根的情况的实际应用方法指引:在解决实际问题时,有时可以通过列出一元二次方程,利用根的判别式判断一元二次方程解的情况.例小林准备进行如下操作试验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗?请说明理由.解:小峰的说法是对的.理由:假设这两个正方形的面积之和可以等于48 cm2.设此时其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长是(10-x)cm.由题意可得x2+(10-x)2=48.化简得x2-10x+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.课题21.2.2公式法授课人教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程.3.能够理解一元二次方程根的判别式,并能运用根的判别式进行相关的计算或推理.4.经历探索求根公式的过程,发展学生合情合理的推理能力.5.引导学生熟记一元二次方程的求根公式x=-b±√b2-4ac2a,并理解公式成立的条件b2-4ac≥0.6.通过运用公式法解一元二次方程,提高学生的运算能力,并让学生在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的自信心.教学重点一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算.教学难点一元二次方程求根公式的推导.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题:问题1:配方法解一元二次方程的步骤有哪些?总结用配方法解一元二次方程的一般步学生回答,教师点评,并做好指导工作.(1)移项.(2)二次项系数化为1.(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方).(4)变形:原方程变形为(x+m)2=n的形式.(5)开方:如果n是非负数,那么可以直接开平方求出方程的解;如果n是负数,那么一元二次方程无解.(6)定解.问题2:当一元二次方程的二次项系数不为1时,应该如何应用配方法求解?当一元二次方程的二次项系数不为1时,只要在方程两边同时除以二次项的系数,将方程转化为二次项系数为1的方程即可.骤,为下一步解一般形式的一元二次方程作准备.活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】张老师要求同学们解一元二次方程2x2+x+1=0,大家才动笔,小强突然站起来说这个方程无实数解,同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师,只见张老师微笑地点了点头,你知道小强是如何快速作出判断的吗?下面让我们一起探究今天的新知吧!通过情景,使学生产生悬念“如何快速判断方程根的情况”,激发深入探究新知的欲望,从而顺利完成本课知识的学习.活动二: 探究与应用问题1:利用配方法,你能解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?学生自主解方程,确定一名学生进行板演.教师点拨:我们不妨把a,b,c也当成一个具体的数字,根据配方法的解题步骤一步步推下去.解:移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+bax=-ca.配方,得x2+bax+b2a2=-ca+b2a2.变形,得x+b2a2=b2-4ac4a2.当b2-4ac≥0时,两边开平方,得x+b2a=±√b2-4ac2a.1.学生回顾配方法的解题思路,从数字系数过渡到字母系数进行配方,推导公式.所以方程的解为 x 1=-b+√b 2-4ac2a,x 2=-b -√b 2-4ac2a.【应用举例】例1 用公式法解下列方程:题目的设置存在梯度,给予学生层次递进(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2√2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.师生活动:教师指导学生观察方程的特点,指导学生阐述做题的思路,然后学生书写解题过程,教师做好评价和辅导.变式练习:用公式法解下列方程:(1)x2-3x-1=0;(2)2x2-3x+1=0;(3)x2+2√2x-6=0.教师做好总结:用公式法解一元二次方程的步骤:①把方程化为一般形式,确定a,b,c的值.②求出b2-4ac的值.③若b2-4ac≥0,则代入求根公式计算;若b2-4ac<0,则原方程无实数解.④写出方程的解.用公式法解一元二次方程应注意:①化方程为一般形式;②方程有实根的前提条件是“Δ≥0”;③若方程有根,则它应该有两个根;④求解得出的根应适当化简.例2不解方程,判别下列一元二次方程根的情况.(1)x2+x-6=0;(2)2x2-x+5=0.的学习过程.活动二: 探究与应用变式练习:不解方程,判别关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.教师做好总结:利用根的判别式判别方程根的个数问题时应注意:①考虑“二次项系数不为0”这一条件;②“一元二次方程有根”与“一元二次方程有两个不相等的根”的区别.【拓展提升】例3已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0,当a为何非负整数时:(1)方程只有一个实数根?学生不断质疑、解惑,不但完善了思维,而且锻炼了能力,使学生形成对知识的总体把(2)方程有两个相等的实数根?(3)方程有两个不相等的实数根?教师重点关注:学生对问题的分析能力(本题涉及了哪些知识点);给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到解答方法;鼓励学生大胆猜想,发表见解.握.活动三: 课堂总结反思【达标测评】1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列叙述正确的是(B)A.方程总有两个实数根B.当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实数根D.当b2-4ac=0时,方程无实数根2.方程x2-3x=0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定是否有实数根3.如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根,那么实数a的值为-1或2.4.关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k<1.5.解下列方程:(1)2x2-3x-5=0;(2)23x2+13x=2.学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.活动三: 课堂总结反思【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在复习回顾的环节中,复习用配方法解一元二次方程,为学习公式法打下基础;在探究新知的环节中,引导学生积极思考,配方的关键是添项,学生能够明确添加的常数项即可突破难点.②[讲授效果反思]重点内容做到重点讲解:(1)用公式法解一元二次方程的步骤;(2)公式的记忆和理解;(3)一元二次方程根的判别式的应用.③[师生互动反思]从学生课堂表现,师生互动分析,学生能够对基本知识进行掌握,同时对根的判别式有一定的了解.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二导学案设计”案例,word 排版,可编辑加工,方便使用.内容详见电子资源.。
九年级数学上册21.2.2公式法教案(新版)新人教版
21.2.2 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、温故知新（学生活动）用配方法解下列方程总结用配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知明晰新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=∵b2-4ac>0且4a2>0∴≥0直接开平方，得：x+=±即x=∴x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．3(=)(x2-x-1_)(6)3通过上面三个方程的求解，你发现了b2-4ac 与方程的根有什么关系吗？三、师生互动促进理解同学们，学方程的目的是解决实际问题，请看本章引言的问题你能解决吗？求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程解：得如果上面的解题过程看作思维操的话，下面的两题就是花样体操。
九年级数学上册21.2.2公式法导学案新版新人教版
21.2.2解一元二次方程——公式法预习案一、预习目标及范围1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。
范围：自学课本P9-P12，完成练习.二、预习要点1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。
三、预习检测1.什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？2．怎样用配方法解形如一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一元二次方程？探究案一、合作探究活动内容1：小组合作问题1：用配方法解方程24630x x --=问题2：用配方法解方程20ax bx c ++=活动内容2：典例解析问题1：用配方法解方程：222033x x --=解: a=2, b=5, c= -3,∴ b 2-4ac=52-4×2×(-3)=49∴522-±⨯=574-±X 1 =-3 X 2 =12问题2：用公式法解方程 222033x x --=解：方程两边同乘以3,得 2 x 2 -3x-2=0a=2，b= -3，c= -2.∴b 2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.∴(3)22--±⨯=354±X 1 =-2 X 2 =-12问题3： 用公式法解方程：x 2a=2，，c= 3.∴b 2) 2-4×1×3=0∴ x =2b a -±X 1 = X 2例4 解方程：(2)(13)6x x --=解：去括号，化简为一般式： 23780x x -+= a=3，b= -7，c= 8.∴b 2-4ac=(-7) 2-4×3×8=-47<0.∴方程没有实数解。
活动内容3：知识归纳：24b ac -叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母∆表示它，即24b ac ∆=-．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）240b ac ∆=->⇔方程有两个不相等的实数根；（2）240b ac ∆=-=⇔方程有两个相等的实数根；（3）240b ac ∆=-<⇔方程没有实数根．公式法解一元二次方程一般地，对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，当240b ac -≥时，它的两个根分别是12b x a -+=，22b x a-=，这里，)240x b ac =-≥叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．公式法解一元二次方程的一般步骤把方程化成一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0)；确定a ，b ，c 的值；求出24b ac -的值，并判断方程根的情况：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根．当240b ac -≥时，将a ，b ，c 和24b ac -的值代入公式2b x a -±=（注意符号）．二、随堂检测1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.只有一个实数根3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( )A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0D.x2+4=04.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( )A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )A.m＜1B. m＜1且m≠0C.m≤1D. m≤1且m≠06.用公式法解下列方程：参考答案预习检测：1.配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数项到方程右边；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）化方程左边为完全平方式；（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．2.解：移项，得2,ax bx c +=-二次项系数化为1，得2,bcx x a a +=- 配方，得222()(),22bbcbx x a a a a ++=-+ 即：222424b b acx a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0,a ≠所以当240b ac ->时，；2b x a -±= 当240;2bb ac a -==-12时，x =x 当240;2bb ac a -==-12时，x =x随堂检测：。
新疆精河县九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新版新人教版
新疆精河县九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新版新人教版05232146课题21.2.2公式法教学媒体多媒体教学目标知识技能 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.过程方法 1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.； 2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单.3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.情感态度 1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心. 教学重点求根公式的推导，公式的正确使用教学难点求根公式的推导教学过程一、复习引入导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程()002≠=++a c bx ax ？二、探究新知活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？○1；6x 2-7x+1=0○2()002≠=++a c bx ax 活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解：1.移项得到6x 2-7x=-1，c bx ax -=+22.二次项系数化为1得到ac x a b x x x -=+-=-22,6167 3.配方得到x 2-76x+（712）2=-16+（712）2 x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2b a ）2 4.写成（x+m ）2=n 形式得到（x-712）2=25144，（x+2b a ）2=2244b ac a -5.直接开平方得到x-712=±512，注意：（x+2b a ）2=2244b ac a -是否可以直接开平方？活动3.对（x+2b a ）2=2244b ac a -观察，分析，在0≠a 时对2244b ac a-的值与0的关系进行讨论活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法.活动5.初步使用公式解方程6x 2-7x+1=0.活动6.总结使用公式法的一般步骤：○1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号○2求出ac b 42-的值，方程()002≠=++a c bx ax ，当Δ＞0时，有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根. ○3在ac b 42-≥0的前提下把a ，b ，c 的值带入公式x=242b b aca -±-进行计算，最后写出方程的根.三、课堂训练1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况（1）2x 2-4x-1=0（2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0（4）4x 2-3x+1=02.课本例2四、小结归纳本节课应掌握：1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根2.用求根公式求一元二次方程的根3.一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程.五、作业设计必做：P17：4、5选做：P12：1、2补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？教学反思月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3802544510。
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.2公式法教案2(新版)新人教版
21.2.2 公式法判别一元二次方程根的情况教学内容用b 2-4ac 大于、等于0、小于0判别ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况及其运用． 教学目标掌握b 2-4ac>0,ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根,反之也成立；b 2-4ac=0,ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根,反之也成立；b 2-4ac<0,ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根,反之也成立；及其它们关系的运用．通过复习用配方法解一元二次方程的b 2-4ac>0、b 2-4ac=0、b 2-4ac<0各一题,•分析它们根的情况,从具体到一般,给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．重难点关键1．重点:b 2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．2．难点与关键从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）用公式法解下列方程．（1）2x 2-3x=0 （2）3x 2x+1=0 （3）4x 2+x+1=0老师点评,（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b 2-4ac=9>0,•有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0,有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=│-4×4×1│=<0,•方程没有实根二、探索新知从前面的具体问题,我们已经知道b 2-4ac>0（<0,=0）与根的情况,现在我们从求根公式的角度来分析:求根公式:x=2b a-±,当b 2-4ac>0时,根据平方根的意义具体数,所以一元一次方程的x 1=2b a -+≠x 1=2b a--,即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时,•所以x 1=x 2=2b a -,即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时,根据平方根的意义,负数没有平方根,所以没有实数解．因此,（结论）（1）当b 2-4ac>0时,一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=2b a -+,x 2=2b a--． （2）当b-4ac=0时,一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-．（3）当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．例1．不解方程,判定方程根的情况（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0分析:不解方程,判定根的情况,只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．解:（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以,方程没有实数根．（2）a=9,b=6,c=1,b2-4ac=36-36=0,∴方程有两个相等的实数根．（3）a=2,b=-9,c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根．（4）a=1,b=-7,c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有两个不相等的实根．三、巩固练习不解方程判定下列方程根的情况:（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-34=0（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+116=0（5）x214=0 （6）4x2-6x=0（7）x（2x-4）=5-8x四、应用拓展例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析:要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根,即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解:∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a∴所求不等式的解集为x<-3 a五、归纳小结本节课应掌握:b2-4ac>0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．六、布置作业1．教材P46复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．2．选用课时作业设计．第五课时作业设计一、选择题1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况,其中正确的有（）．A．∵b2-4ac=-8,∴方程有解B．∵b2-4ac=-8,∴方程无解C．∵b2-4ac=8,∴方程有解D．∵b2-4ac=8,∴方程无解2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等,则a的值为（）．A．a=0 B．a=2或a=-2C．a=2 D．a=2或a=03．已知k≠1,一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根,则k的取值范围是（）．A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数,则p与q的关系是________．2．不解方程,判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．3．已知b≠0,不解方程,试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．三、综合提高题1．不解方程,试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-（2．当c<0时,判别方程x2+bx+c=0的根的情况．3．不解方程,判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．4．某集团公司为适应市场竞争,赶超世界先进水平,每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金,该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元,2002年销售总额为7.2亿元,求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．p2-4q=0 2．有两个不等实根 3．有两个不等实根三、1．（1）化为3x2-5x-2=0 b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0,有两个不等实根．（2）b2没有实根．2．∵c<0 ∴b2-4×1×c>0,方程有两个不等的实根．3．b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0,•∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．4．设平均增长率为x,400000008%（1+x）2=720000000,即50（1+x）2=72 解得x=20%,∴年销售总额的平均增长率是20%．。
《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。
问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。
(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。
人教九上数学21.2.2公式法解一元二次方程教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-运用求根公式计算出一元二次方程的解，并理解其意义。
-根据判别式的值分析一元二次方程的根的情况（有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、没有实数根）。
举例解释：以方程3x^2 - 5x + 2 = 0为例，重点讲解如何识别a、b、c的值（a=3, b=-5, c=2），并引导学生通过求根公式计算出具体的解（x1,2 = (5±√(25-4*3*2))/(2*3)），强调这一过程是解决一元二次方程的关键。
在小组讨论环节，虽然大部分同学都能够积极参与，但仍有个别同学显得较为沉默。我想在之后的课堂中，更多地关注这些同学，鼓励他们发表自己的观点，提高他们的自信心和表达能力。
最后，从整体来看，学生们对于一元二次方程的求解方法和应用有了基本的了解。但在教学过程中，我也意识到需要不断调整和优化教学方法，以提高教学效果。例如，增加课堂互动，让学生更多地参与到课堂教学中来；加强对重点难点的讲解，确保学生真正理解并掌握这些知识点。
3.增强学生的数据分析能力，使其能够根据判别式的值分析一元二次方程的根的情况，进而对问题进行深入理解与解决。在教学过程中，关注学生对于公式的理解与应用，引导他们形成系统的数学思维和方法。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程。
-能够准确地将一元二次方程转换为标准形式，识别出a、b、c的值。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新人教版(2021
2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版的全部内容。
21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。
能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a． 配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。
21.2.2公式法(同步教学设计)2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂(人教版)
- 自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
- 反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
- 巩固学生在课堂上学到的公式法知识点和技能。
- 通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
- 通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
5. 练习题库：准备一些与本节课内容相关的练习题，包括不同类型的一元二次方程求解题目，以及一些实际问题的解决题目。这样可以帮助学生巩固所学知识，并进行实际应用。
6. 教学工具：准备黑板、粉笔、多媒体投影仪等教学工具，以便进行讲解和展示。
7. 教学课件：制作与本节课内容相关的教学课件，包括教学目标、教学内容、实例讲解、练习题等，以便进行多媒体教学。
- 帮助学生提前了解本节课的课题，为课堂学习做好准备。
- 培养学生的自主学习能力和独立思考能力。
2. 课中强化技能
教师活动：
- 导入新课：通过一个实际问题案例，引出公式法的重要性，激发学生的学习兴趣。
- 讲解知识点：详细讲解公式法的推导过程和应用步骤，结合实例帮助学生理解。
- 组织课堂活动：设计小组讨论，让学生共同探讨如何应用公式法解决实际问题。
- 鼓励学生进行自我评估和反思，总结自己的学习成果和不足，制定改进计划，不断提高自己的学习效果。
- 鼓励学生参加数学竞赛或挑战赛，如数学奥林匹克、数学挑战赛等，以提高自己的数学水平和竞争力。
2. 拓展要求：鼓励学生利用课后时间进行自主学习和拓展。教师可提供必要的指导和帮助，如推荐阅读材料、解答疑问等。
- 要求学生阅读《数学之美》一书中关于一元二次方程的章节，并回答相关问题，以加深对一元二次方程和公式法的理解。
人教版九上数学21.2.2公式法教案
作
业
习题20.1 1. 3.
7、设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根．
(1)试用含有a，b，c的式子表示x1＋x2，x1x2；
(2)求代数式a(x ＋x )＋b(x ＋x )＋c(x1＋x2)的值．
板
书
设
计
21.2.2公式法
1.求根公式的概念及其推导过程.
2.公式法的概念.
3.应用公式法解一元二次方程.
过渡语：齐读配方法解一元二次方程的步骤。
互助探究二
例1、用公式法解方程5x2-4x-12=0
1.变形:化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公式计算;
5.定根:写出原方程的根.
四、拓展提高
1、在什么情况下，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
过渡语：今天我们一起来学习一元二次方程的万能解法。
二、自主学习(自学课本9—12页内容，注意圈点勾画)
1、结合互助探究一，理解公式法的探究过程并识记求根公式。
2、一元二次方程的解有几种情况，谁决定方程解的情况？
3、结合例2认真思考用公式法解一元二次方程的一般步骤。
过渡语：下面我们共同来解决在自学中遇到的问题。
教学过程
复备
一、复习导入
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；
2、把常数项移到方程右边；
3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.2公式法教案新版新人教版
21.2.2 公式法【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能利用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程,加强推理技能,进一步发展逻辑思维能力.【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中,锻炼学生的运算能力,养成良好的运算习惯,培养严谨认真的科学态度.【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.一、情境导入,初步认识我们知道,对于任意给定的一个一元二次方程,只要方程有解,都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上,任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式,我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看,该怎样做？【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程,从而尝试着求ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解,导入新课,教学时,应给予足够的思考时间,让学生自主探究.二、思考探究,获取新知通过问题情境思考后,师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.由ax2+bx+c=0(a≠0),移项,ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+bax=-ca.配方,得x2+bax+2()2ba=-ca+2()2ba,即2224(42)b aa abxc-+=.至此,教师应作适当停顿,提出如下问题,引导学生分析、探究:（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为,引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系,加深认知.教学时,应让学生积极主动思考,畅所欲言,在相互交流中促进理解.师生共同完善认知:一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用Δ表示,即Δ=b2-4ac.从而有:①当Δ=b2-4ac＞0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；②当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成24b b ac-±-这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.三、典例精析,掌握新知例1不解方程,判别下列各方程的根的情况.(1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x22x=2.分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项,利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意:在确定方程中a、b、c的值时,一定要先把方程化为一般式后才能确定,否则会出现失误.解:（1）∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根；（3）原方程可化为3x22x-2=0,∴2 ,c=-2,∴Δ=b22)2-4×3×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.例2用公式法解下列方程:(1)x2-4x-7=0; (2)2x22x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x分析:将方程化为一般形式后,找出a、b、c的值并计算b2-4ac后,可利用公式求出方程的解.【教学说明】以上两例均可让学生自主完成,同时选派同学上黑板演算.教师巡视,针对学生的困惑及时予以指导,最后共同评析黑板上作业,一方面引导学生关注其解答是否正确,同时还应注意其解答格式是否规范,查漏补缺,深化理解.教师接着引导学生阅读第12页有关引言中问题的解答,向学生提问:（1）什么情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应注意什么？四、运用新知,深化理解1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根,则m的取值范围是 .2.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等实数根,那么k的取值范围是（）A.k＞-1 4B.k＞-14且k≠0C.k＜-1 4D.k≥-14且k≠03.方程2x2+43x+62=0的根是（）A.x1=2,x2=3B.x1=6, x2=2C.x1=22, x2=2D.x1=x2=-64.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0,试求m的值.（注:5~6题为教材第12页练习）5.解下列方程:（1）x2+x-6=0; （2）x2-3x-14=0; （3）3x2-6x-2=0;（4）4x2-6x=0; （5）x2+4x+8=4x+11; （6）x(2x-4)=5-8x.6.求第21.1节中问题1的答案.【教学说明】通过练习可进一步理解和掌握本节知识,在学中练、练中学的活动中得到巩固和提高.【答案】1.m≤12.B3.D4.把x=0代入方程,得m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,又∵m-1≠0,即m≠1,故m的值为-3.5~6略五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获和体会?说说看.【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中,进一步完善认知,师生共同归纳总结.1.布置作业:从教材“习题21.2”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.1.本课容量较大,难度较大,计算的要求较高,因此在教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开,问题设计,课堂学习有利于学生强化运算能力,掌握基本技能,也有利于教师发现教学中存在的问题.2.在教学设计中,引导学生自主探索一元二次方程的求根公式,在师生讨论中发现求根公式,并学会利用公式解一元二次方程.3.整个课堂都以学生动手训练为主,让学生积极介入探索活动,体验到成功的喜悦.4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法,它使解一元二次方程更加简便,在公式的运用中,涉及到根的判别式,使公式法解一元二次方程得到延续和深化.。
最新2019九年级数学上册 第二十一1.2.2 公式法解一元二次方程导学案新人教版
21.2.2 公式法解一元二次方程一、学习目标：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念；2、会熟练应用公式法解一元二次方程；3、理解化归思想. 二、学习重难点：重点：用公式法解一元二次方程 难点：理解化归思想.探究案三、合作探究 活动内容1：小组合作问题1：用配方法解方程24630x x --=问题2：用配方法解方程20ax bx c ++=分析归纳:活动内容2：典例解析例2（1）2x 2+5x-3=0； （2）;（3）; （4）(2)(13)6x x --=解:活动内容3：知识归纳：___________________叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母__________表示它，即__________________．一元二次方程根的情况与判别式的关系 （1） （2） （3）概括写出用公式法解一元二次方程的基本步骤：随堂检测1.一元二次方程x 2+2x+4=0的根的情况是 （ ）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根 2.方程x 2-3x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.只有一个实数根 3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ) A.x 2-x+1=0 B.x 2-2x+3=0 C.x 2+x-1=0 D.x 2+4=04.关于x 的方程k 2x 2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( ) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )A.m＜1B. m＜1且m≠0C.m≤1D. m≤1且m≠06.用公式法解下列方程：(1) x2 + x – 6 = 0 ; (2) ；(3) 3x2– 6x – 2 = 0 ; (4) 4x2 - 6x = 0 ;(5) x2 + 4x + 8 = 4x + 11 ; (6) x(2x – 4) =5 - 8x .课堂小结通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________参考答案随堂检测1.D2.A3.C4.D5.D6.(1)(2)(3)(4)(5)(6)。
用公式法解一元二次方程教学设计
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程的求根公式的推导．
四、教学过程
教师活动
设计意图
一、回顾旧知
用配方法解一元二次方程的步骤
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方,得
开方，得
ห้องสมุดไป่ตู้利用一道题具体回顾配方法解方程的步骤操作过程，为下一步解一般形式的一元二次方程作准备.
二、新课导入
方程有两个不相等的实数根
方程无实数根
设置的题目的根的情况不同，体会公式的用法，在利用公式之前要先计算Δ，感受层次递进的学习过程
四、总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。
3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : 写出一元二次方程的根：
题目： 人教版 初中数学 九年级 21.2.2 用公式法解一元二次方程
一、教学目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会应用公式法解一元二次方程．
2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 （a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
二、教材分析
方程是初中数学中的基础内容,在初中数学中占有重要地位,一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程(组)的后继学习,主要让学生进一步体会方程的模型思想,会解一元二次方程,解方程的基本思想是化归思想,将“二次”方程转化成两个“一次”方程是解一元二次方程的基本方法.其中配方法是初中数学中的基本方法,通过对配方法的学习,探究出一元二次方程的求根公式,然后让学生体会数学来源于生活,通过学习进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力及应用数学的意识基于以上分析，确定本节课的教学重点是会用公式法解特殊的一元二次方程。
九年级数学上册21-2-2公式法学案(新版)新人教版
公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x 2＋3x ＋2＝0； (2)2x 2－3x ＋5＝0.解：(1)x 1＝－2，x 2＝－1； (2)无解．一、自学指导．(8分钟)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b2－4ac 2a ，x 2＝－b －b2－4ac 2a. 分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b2－4ac 2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根． (2)x ＝－b±b2－4ac 2a叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b 2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0；(3)4x 2＋x ＋1＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝32；有两个不相等的实数根； (2)x 1＝x 2＝33；有两个相等的实数根； (3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根2．当m 为何值时，方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m ＜14； (2)m ＝14； (3)m ＞14. 3. 已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.证明：∵x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m ＜0.对于方程x 2＋mx ＝1－2m ，即x 2＋mx ＋2m －1＝0，Δ＝m 2－8m ＋4，∵m ＜0，∴Δ＞0，∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0 ; (2)x 2－2x －14＝0； (3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0 ; (6)x 2＋25x ＋10＝0.解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；(2)x 1＝2＋32，x 2＝2－32； (3)x 1＝1，x 2＝－3； (4)x 1＝－2＋6，x 2＝－2－6；(5)x 1＝0，x 2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a ，b ，c 确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2－4ac≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入x ＝－b±b2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根； (3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．(学生总结本堂课的收获与困惑)．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a ，b ，c 的值，再算．出b 2－4ac 的值、最后代．入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。
九年级数学上册 21.2.2《解一元二次方程 公式法》导学案2(无答案)(新版)新人教版-(新版)新
就可求出方程的根．
画为一般形式在和（1）一样
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
去做。
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（3）不满足一般形式，许先
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 四、新题操练、合作提升
画为一般形式在和（1）一样 去做.但需要注意当b2-4ac＜
学案（学习过程）
导案（学法指导）
一、基练操作
一、导入：问题导入
1、用配方法解方程：
二、质疑：
⑴x2+4x-12=0
（2）ax2+bx+c=0（a≠0）
学生提出自己在解决上述问
二、学生质疑：
题时的困惑.
三、师生合作
三、师生合作
1、【探究】用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）
1、【分析】前面具体数字已
Hale Waihona Puke 过b（ 当、1bc） 2-而4解a定c一≥，元0因时二此，次：将方a程、时b、，c可代以入先式将子方程化为一般形式ax2+bx+c=0，≥x=0） b 2 b a 2 4 a c （b2-4ac
程
x= b b 2 4 a c （b2-4ac≥0）
2 a
最后写出方程的两个根. （2）不满足一般形式，许先
解：移项，得：ax2+bx=-c
做了很多，我们现在不妨把a、
因为a≠0，所以方程两边同除以a得：
b、c也当成一个具体数字，根
x2+ b x=- c
aa
学
配方，得：x2+ b x+（ b ）2=- c +（ b ）2
a 2a a 2a