运筹学第3章线性规划问题的计算机求解PPT课件
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《运筹学线性规划》PPT课件
划问题化成如下的标准型：
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
运筹学 第3章 线性规划问题的计算机求解
• 百分之一百法则
• 50
74
• 100
78
• 允许增加量是指该系数在上限范围内的 最大增加量。
• 允许减少量是指该系数在下限范围内的 最大减少量。
c • x1系数的上限为100，故 1的允许增加量为
•
上限-现在值=100-50=50
x c • 而 2的下限为50，故 2的允许减少量为
•
现在值-下限=100-50=50
管理运筹学
朱晓辉 管理科学与工程
第三章 线性规划问题的计算机求解
• 3.1 “管理运筹学软件的操作方法
3.2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
• 相差值提供的数值表示相应的决策变量的目 标系数需要改进的数量，使得该决策变量有可能 取正数值，当决策变量已取正数值时相差值为零。
• 在目标函数系数范围一栏中，所谓的上限与 下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内 变化时，其线性规划的最优解不变。
c • 其中bj的允许增加（减少）百分比的定义同 i
的允许增加（减少）百分比一样，为bj的增加量 （减少量）除以bj的允许增加量（减少量）所得
到的值。
• 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要 注意以下三点：
• （1）当允许增加量（减少量）为无穷大时，则 对于任一个增加量（减少量），其允许增加（减 少）百分比都看成零。
• 在常数项数范围一栏中，所谓上限与下限是指 当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其 对应的约束条件的对偶价格不变。
• 以上讨论计算机输出的关于目标函数系 数及约束条件中常数项的灵敏度分析都是 基于这样一个重要假设：当一个系数发生 变化时，其他系数保持不变。
• 两个或更多的系数发生变化时，怎么来 进行灵敏度分析？
• 50
74
• 100
78
• 允许增加量是指该系数在上限范围内的 最大增加量。
• 允许减少量是指该系数在下限范围内的 最大减少量。
c • x1系数的上限为100，故 1的允许增加量为
•
上限-现在值=100-50=50
x c • 而 2的下限为50，故 2的允许减少量为
•
现在值-下限=100-50=50
管理运筹学
朱晓辉 管理科学与工程
第三章 线性规划问题的计算机求解
• 3.1 “管理运筹学软件的操作方法
3.2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
• 相差值提供的数值表示相应的决策变量的目 标系数需要改进的数量，使得该决策变量有可能 取正数值，当决策变量已取正数值时相差值为零。
• 在目标函数系数范围一栏中，所谓的上限与 下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内 变化时，其线性规划的最优解不变。
c • 其中bj的允许增加（减少）百分比的定义同 i
的允许增加（减少）百分比一样，为bj的增加量 （减少量）除以bj的允许增加量（减少量）所得
到的值。
• 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要 注意以下三点：
• （1）当允许增加量（减少量）为无穷大时，则 对于任一个增加量（减少量），其允许增加（减 少）百分比都看成零。
• 在常数项数范围一栏中，所谓上限与下限是指 当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其 对应的约束条件的对偶价格不变。
• 以上讨论计算机输出的关于目标函数系 数及约束条件中常数项的灵敏度分析都是 基于这样一个重要假设：当一个系数发生 变化时，其他系数保持不变。
• 两个或更多的系数发生变化时，怎么来 进行灵敏度分析？
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
运筹学——第3章_线性规划问题的计算机求解
变量 下限 当前值 上限
x1
0
50
100
x2
50
100 无上限
从上面可知目标函数中X1的系数的上限为100，故C1
允许增加量为： 上限-现在值=100-50=50；
而X2的下限为50，故C2的允许减少量为： 现在值-下限=100-50=50。
定义Ci 的允许增加(减少)百分比为：Ci 的增加量 (减少量)除以Ci 的允许增加量(允许减少量)的值。
在上题中C1 的允许增加百分比与C2 的允许减 少百分比之和为92％不超过100％，所以当每件产 品Ⅰ利润从50元增加到74元，每件产品Ⅱ利润从 100元减少到78元时，此线性规划最优解仍然为Ⅰ 产品生产50件， Ⅱ产品生产250件(即x1= 50， x2=250)，此时有最大利润为:
74× 50+78× 250=3700＋19500=23200(元)。
为50元，即增加了一个台时数就可使总利润增加50元；
原料A还有50千克没有使用，原料A的对偶价格当然为零，
即增加1千克A原料不会使总利润有所增加；原料B全部使
用完，原料B的对偶价格为50元，即增加一千克原料B就
可使总利润增加50元。
在目标函数系数范围一栏中，所谓的当前值是指在目标函数 中决策变量的当前系数值。如x1的系数值为50，x2的系数值为100。 所谓的上限与下限值是指目标函数的决策变量的系数（其它决策 变量的系数固定在当前值）在此范围内变化时，其线性规划的最 优解不变。例如当c1= 80时，因为0≤80≤100，在x1的系数变化范 围内，所以其最优解不变（此时要固定c2=100)，也即当x1=50， x2=250时，有最大利润。当然由于产品Ⅰ的单位利润由50变为80 了，其最大利润也增加了(最优值变了)，
第3章 线性规划.ppt
max z x1 x2 则凸多边形的边AB 上的所有点都是问 题的解。因此，解 是无穷多个。
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
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第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
第三章 线性规划问题的求解07.9
输入部分： 2. 输入部分：
（1）线性规划、整数规划的目标函数和约束的输 线性规划、 入必须按由小到大的序号顺序输入， 入必须按由小到大的序号顺序输入，同时约 束变量必须放在运算符的左侧。 束变量必须放在运算符的左侧。如（x1+x2x3=0，不能输为x2-x3+x1=0；x1-x2+x3=0， ， ； ， 不能输为x1+x3=x2） （2）输入的约束中不包括" ≥ "或"≤"，而是用 输入的约束中不包括 或 ，而是用">“ 代替， 或“<”代替，这不会影响求解。如 对于约束 代替 这不会影响求解。 X1 ≥ 2,则输入 X1>2,而不是 1 ≥ 2。 而不是X 则输入 而不是 。 （3）当所有的约束条件输入完了之后，在下一个 ）当所有的约束条件输入完了之后， 约束条件中输入“ 约围：
当前值——指bj的现在值 指 当前值 上限值和下限值——指bj在此范围内变化时，则与 上限值和下限值 指 在此范围内变化时， 其对应的约束条件的对偶价格不变。 其对应的约束条件的对偶价格不变。
三、百分之一百法则及其应用
1、允许增加量：允许△ = 上限 – 现在值 、允许增加量： 2、允许减少量：允许△ = 现在值 – 下限 、允许减少量： 3、允许增加（减少）百分比： 、允许增加（减少）百分比：
输出部分： 4. 输出部分：
（1）线性规划和整数规划子程序没有把运算结 果存储到文本文件的功能， 果存储到文本文件的功能，其它子程序都 可以实现。 可以实现。 （2）若不通过运行Main.exe进入各子问题，而 若不通过运行Main.exe进入各子问题， Main.exe进入各子问题 是直接运行各子程序，系统会默认当前目 是直接运行各子程序， 录为存储目录。 录为存储目录。
管理运筹学 线性规划的图解法课件
线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
THANKS
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约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
《高等运筹学》课件
动态规划的应用案例
总结词
列举几个动态规划在实际问题中的应用案例，包括生产与存储问题、背包问题、排程问 题等。
详细描述
动态规划的应用案例包括生产与存储问题，通过动态规划方法确定最佳的生产和存储策 略，以最小化总成本；背包问题，通过动态规划求解给定重量限制和价值总和最大的物 品组合；排程问题，通过动态规划安排任务或活动的最佳顺序，以最小化总完成时间。
详细描述
整数规划的数学模型可以表示为 在满足一系列约束条件下，最小 化或最大化一个目标函数，其中 决策变量是整数。约束条件可以 是等式或不等式，并且可以包含 其他决策变量。
整数规划的求解方法
总结词
整数规划的求解方法可以分为精确求解和近似求解两大类。
详细描述
精确求解方法包括分支定界法、割平面法等，这些方法可以找到整数规划问题的最优解，但计算复杂度较高，对 于大规模问题难以求解。近似求解方法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以在较短的时间内找到近 似最优解，但解的质量与问题的规模和约束条件有关。
整数规划的应用案例
总结词
整数规划在金融领域也有广泛应用， 如投资组合优化、风险管理等。
详细描述
在投资组合优化中，整数规划可以用 于确定最优的投资组合方案，实现风 险和收益的平衡。在风险管理中，整 数规划可以用于确定最优的风险控制 策略，降低风险损失。
04
非线性规划
非线性规划的定义与模型
总结词
非线性规划是一种数学优化方法，用于解决 目标函数和约束条件均为非线性函数的问题 。
06
动态规划
动态规划的定义与模型
总结词
详述动态规划的基本定义，包括其核心思想、特点以 及在优化问题中的应用。
详细描述
运筹学基础线性规划.ppt
1
0
1
0
0
-1
10
0
-1
1
-2
1
0
0
0
1
1
0 -1
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-3
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0
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1
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-5
12
～0
0
1
0
0
-1
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1
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-2
0
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0
0
0
1
1
--ZW’ 3301 -1 00-1 -001 0 00 -10 -1 -1
210
进行第二阶段的计算 此时求解不是最优，继续迭代
令x5=将x6=第x一7=阶0，段得的最人优工解变X量=列( 0取, 1消, 1, 并,12将, 0目)T标，函m数in系W数= 换0。成因原人问工题变的
解：先划线性规划模型为标准型
第一阶段 Min Z x6 x7 化为标准型 Max W x6 x7
x1 2x2 x3 x4 11 4x1 x2 2x3 x5 x6 3 2x1 x3 x7 1 x1,, x7 0
线性规划
上节小结：利用大M法和两阶段法求解线性规划
Min Z 10x1 8x2 7x3
2x1 x2 6
x1
x2
x3
4
x1, x2 0
试用：(一)大M法、(二)两阶段法求解上述线性规划模型
1
线性规划
（一）大M法求解线性规划模型
minZ= 10x1 +8x2 +7 x3 S.t. 2x1 + x2 ≥ 6
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
[管理学]线性规划问题ppt课件
![[管理学]线性规划问题ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/a21cad6f83d049649b6658f2.png)
引言
在经济生活中，人们经常遇到这样两类实践问题： 1、资源给定，如何对给定资源予以充分地、合理地运 用，使之完成的义务尽能够地多。 2、义务给定，如何以尽能够少的资源耗费来完成给定 的义务。
可见，上述两类问题都是寻求利润最大。第一类， 是以最大收益扣除定量本钱；第二类，是以定量收益扣 除最小本钱。
地域，而往来的客户主要位于北京、上海、广州、天津、香港与西安
6大城市。由于各仓储中心地利环境、人力资源及区域性本钱的不同，
自动售货机的运送本钱或多或少会有所差别，如下表1 。当前各仓储
中心的自动售货机的库存量如下表2。各地的需求量如下表3。问：为
了可以有效降低运送本钱，应如何安排运输，才干支付最低的运费又
线性规划问题
一、线性规划问题 二、Excel 求解线性规划问题 三、实例讲解
一、线性规划问题
——线性规划是运筹学的一个重要分支，是运筹学的最根本的部分。 线性规划的运用及其广泛，从处理技术问题的最优化设计到工业、农业、 商业、交通运输业、军事和经济方案管理决策领域都可以发扬作用，它是 现代科学管理的一种重要手段。
该问题的数学模型为：
Min Z=5 X11+6 X12+10X13+3X14· · · +4X33+8 X34
X11+X12+X13+X14=60 X21+X22+X23+X24 =40
——产量约束
……
s.t. X11+X21+X31=30 ……
——销量约束
X14+X24+X34=40
Xij ≥0 (i=1，2，3；j=1,2,3,4〕
〔4〕约束：在此列出了规划求解的一切约束条件。 〔5〕最长运算时间：在此设定求解过程的时间。默许值 100〔秒〕，普通可以满足大多数小型规划求解要求。 〔6〕迭代次数：在此设定求解过程中迭代运算的次数，限 制求解过程的时间。默许值100次，根本可以满足大多数小 型规划求解要求。
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*
22
“管理运筹学”软件的输出信息分析
§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
允许增加的百分比 = 增加量 / 允许增加量 * 允许减少的百分比 = 减少量 / 允许减少量
例： c1 变为 74 , c2 变为 78, 则 (74 - 50) / 50 + (100 - 78 ) / 50 = 92%， 故最优解不变。 b1 变为 315 , b3 变为 240, 则 (315 - 300) / 25 + (250 - 240 ) / 50 = 80%，故对偶价格不变（最优解仍是原来几个线性方程的解）。
右边常数值同时变化的情况。这种情况下，只有重新求解。
14
“管理运筹学”软件的输出信息分析
【例2】用软件求下列线性规划的最优解
m in Z 2 x1 3 x 2
x1 x2 350
x 2
1
x
1
125 x2 6000
x 1 , x 2 0
第一步：点击“开始”->“程序”-> “管理运筹学本题选用“线性规划”
400
x 1 , x 2 0
7
点击“解决”按 钮
2
3
max
m ax Z 50 x1 100 x2
x1 x2 300
2 x
x
2
1
2
x2 50
400
x 1 , x 2 0
8
m ax Z 50 x1 100 x2
x1 x2 300
2 x
x
2
1
2
x2 50
400
灵敏度分析都是在其他系数值不变，只有一个系数变化的 基础上得出的！
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
“管理运筹学”软件的输出信息分析
2.当有多个系数变化时，需要进一步讨论。 百分之一百法则：
对于所有变化的目标函数决策系数（约束条件右边常数 值），当其所有允许增加的百分比与允许减少的百分比之 和不超过100%时，最优解不变（对偶价格不变，最优解仍 是原来几个线性方程的解）。
3
§1 “管理运筹学”软件的操作方法
§1 “管理运筹学”软件的操作方法
【例1】用软件求下列线性规划的最优解
1.软件使用演示：
m ax Z 50 x1 100 x2
x1 x2 300
2 x
x
2
1
2
x2 50
400
x 1 , x 2 0
第一步：点击“开始”->“程序”-> “管理运筹学
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意： 1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时，则对任意增加量
（减少量），其允许增加（减少）百分比均看作0； 2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说超过
100%并不一定变化； 3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束条件
16
第二步：选择所需子模块，点击主窗口中的相应按钮。本题
中选用点“击线“性新规划建””方按法钮。点击按钮弹出如下界面：
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目标函数
2
3
min
点击“确定”
输入变量个数
输入约束 条件个数
m in Z 2 x1 3 x 2
x1 x2 350
x 2
1
x
1
125 x2 6000
x 1 , x 2 0
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
对偶价格表示其对应的资源每增加一个单位， 将增加多少个单位的最优值。
12
“管理运筹学”软件的输出信息分析
目标函数系数范围表示最优解不变的情况下， 目标函数的决策变量系数的变化范围。 当前值是指当前的最优解中的系数取值。
13
“管理运筹学”软件的输出信息分析
常数项范围是指约束条件的右端常量。上限值和下限值是指当 约束条件的右端常量在此范围内变化时，与其对应的约束条件 的对偶价格不变。当前值是指现在的取值。
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m in Z 2 x1 3 x 2
x1 x2 350
x 2
1
x
1
125 x2 6000
x 1 , x 2 0
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
“管理运筹学”软件的输出信息分 析
– 常数项范围是指约束条件的右端常量。上限值和下限 值是指当约束条件的右端常量在此范围内变化时，与 其对应的约束条件的对偶价格不变。当前值是指现在 的取值。 以上计算机输出的目标函数系数和约束条件右边值的
弹出主窗口。
2.0”，
4
本题选用“线性规划”
5
第二步：选择所需子模块，点击主窗口中的相应按钮。本题
中选用点“击线“性新规划建””方按法钮。点击按钮弹出如下界面：
6
目标函数
2
3
输入变量个数
输入约束 条件个数
点击“确定”
m ax Z 50 x1 100 x2
x1 x2 300
2 x1 x2 x2 250
第三章 线性规划问题的计算机求解
§1 “管理运筹学”软件的操作方法 §2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
1
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总体概述
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2
第三章 线性规划问题的计算机求解
随书软件为“管理运筹学”2.5版（Window版），是2.0 版（DOS版）的升级版。它包括：线性规划、运输问题、整数 规划（0-1整数规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、 对策论、最短路径、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、 关键路径、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层次分析 法，共15个子模块。
x 1 , x 2 0
9
第五步：分析运行结果。
“管理运筹学”软件的输出信息分析
本题中目标函数的最优值是27500，x1=50, x2=250。
相差值表示相应
的决策变量的目
标系数需要改进
的数量，使得决
策变量为正值，
当决策变量已为
正数时，相差数
为零。
10
“管理运筹学”软件的输出信息分析
松弛/剩余变量的数值表示还有多少资源没有被使用。 如果为零，则表示与之相对应的资源已经全部用上。
21
“管理运筹学”软件的输出信息分析
§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
* 允许增加量 = 上限 - 现在值
c1 的允许增加量为 100 - 50 = 50 b1 的允许增加量为 325 - 300 = 25
* 允许减少量 = 现在值 - 下限 c2 的允许减少量为 100 - 50 = 50 b3 的允许减少量为 250 - 200 = 50
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
允许增加的百分比 = 增加量 / 允许增加量 * 允许减少的百分比 = 减少量 / 允许减少量
例： c1 变为 74 , c2 变为 78, 则 (74 - 50) / 50 + (100 - 78 ) / 50 = 92%， 故最优解不变。 b1 变为 315 , b3 变为 240, 则 (315 - 300) / 25 + (250 - 240 ) / 50 = 80%，故对偶价格不变（最优解仍是原来几个线性方程的解）。
右边常数值同时变化的情况。这种情况下，只有重新求解。
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
【例2】用软件求下列线性规划的最优解
m in Z 2 x1 3 x 2
x1 x2 350
x 2
1
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1
125 x2 6000
x 1 , x 2 0
第一步：点击“开始”->“程序”-> “管理运筹学本题选用“线性规划”
400
x 1 , x 2 0
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点击“解决”按 钮
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m ax Z 50 x1 100 x2
x1 x2 300
2 x
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x2 50
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m ax Z 50 x1 100 x2
x1 x2 300
2 x
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x2 50
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灵敏度分析都是在其他系数值不变，只有一个系数变化的 基础上得出的！
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
“管理运筹学”软件的输出信息分析
2.当有多个系数变化时，需要进一步讨论。 百分之一百法则：
对于所有变化的目标函数决策系数（约束条件右边常数 值），当其所有允许增加的百分比与允许减少的百分比之 和不超过100%时，最优解不变（对偶价格不变，最优解仍 是原来几个线性方程的解）。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
§1 “管理运筹学”软件的操作方法
【例1】用软件求下列线性规划的最优解
1.软件使用演示：
m ax Z 50 x1 100 x2
x1 x2 300
2 x
x
2
1
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x2 50
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x 1 , x 2 0
第一步：点击“开始”->“程序”-> “管理运筹学
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意： 1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时，则对任意增加量
（减少量），其允许增加（减少）百分比均看作0； 2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说超过
100%并不一定变化； 3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束条件
16
第二步：选择所需子模块，点击主窗口中的相应按钮。本题
中选用点“击线“性新规划建””方按法钮。点击按钮弹出如下界面：
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目标函数
2
3
min
点击“确定”
输入变量个数
输入约束 条件个数
m in Z 2 x1 3 x 2
x1 x2 350
x 2
1
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1
125 x2 6000
x 1 , x 2 0
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
对偶价格表示其对应的资源每增加一个单位， 将增加多少个单位的最优值。
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
目标函数系数范围表示最优解不变的情况下， 目标函数的决策变量系数的变化范围。 当前值是指当前的最优解中的系数取值。
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
常数项范围是指约束条件的右端常量。上限值和下限值是指当 约束条件的右端常量在此范围内变化时，与其对应的约束条件 的对偶价格不变。当前值是指现在的取值。
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m in Z 2 x1 3 x 2
x1 x2 350
x 2
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125 x2 6000
x 1 , x 2 0
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
“管理运筹学”软件的输出信息分 析
– 常数项范围是指约束条件的右端常量。上限值和下限 值是指当约束条件的右端常量在此范围内变化时，与 其对应的约束条件的对偶价格不变。当前值是指现在 的取值。 以上计算机输出的目标函数系数和约束条件右边值的
弹出主窗口。
2.0”，
4
本题选用“线性规划”
5
第二步：选择所需子模块，点击主窗口中的相应按钮。本题
中选用点“击线“性新规划建””方按法钮。点击按钮弹出如下界面：
6
目标函数
2
3
输入变量个数
输入约束 条件个数
点击“确定”
m ax Z 50 x1 100 x2
x1 x2 300
2 x1 x2 x2 250
第三章 线性规划问题的计算机求解
§1 “管理运筹学”软件的操作方法 §2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
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第三章 线性规划问题的计算机求解
随书软件为“管理运筹学”2.5版（Window版），是2.0 版（DOS版）的升级版。它包括：线性规划、运输问题、整数 规划（0-1整数规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、 对策论、最短路径、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、 关键路径、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层次分析 法，共15个子模块。
x 1 , x 2 0
9
第五步：分析运行结果。
“管理运筹学”软件的输出信息分析
本题中目标函数的最优值是27500，x1=50, x2=250。
相差值表示相应
的决策变量的目
标系数需要改进
的数量，使得决
策变量为正值，
当决策变量已为
正数时，相差数
为零。
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
松弛/剩余变量的数值表示还有多少资源没有被使用。 如果为零，则表示与之相对应的资源已经全部用上。
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“管理运筹学”软件的输出信息分析
§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
* 允许增加量 = 上限 - 现在值
c1 的允许增加量为 100 - 50 = 50 b1 的允许增加量为 325 - 300 = 25
* 允许减少量 = 现在值 - 下限 c2 的允许减少量为 100 - 50 = 50 b3 的允许减少量为 250 - 200 = 50