高二数学12月月考试题(扫描版1
上海市高二上学期12月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．抛掷两枚硬币，恰好出现一次正面向上的概率是__________. 【答案】##0.512【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】同时抛掷两枚硬币，可能出现的所有结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.恰好出现一次正面向上的概率:.21=42P =故答案为：.122．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积ABC 1B O C O ''''==ABC 为2，则______． A O ''=【答案】1【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解.ABC 【详解】由直观图可还原,如下图所示, ABC其中,又因 1,2OB O B OC O C BC B C ¢¢¢¢¢¢======,2OA BC AO A O ¢¢^=所以 11222222ABC S BC A O A O ¢¢¢¢=´=´´=即得1A O ¢¢=故答案为: .13．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：.1r =故答案为：14．已知事件A 与事件B 相互独立，若，，则______．()0.3P A =()0.6P B =()P A B ⋂=【答案】0.42## 2150【分析】根据相互独立事件概率乘法公式以及对立事件的概率公式求得正确答案.【详解】.()()()()10.30.60.42P A B P A P B ⋂=⨯=-⨯=故答案为：0.425．在四棱台中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有______条1111ABCD A B C D -1AB 【答案】6【分析】根据异面直线的定义来确定正确答案.【详解】根据异面直线的定义可知，与直线是异面直线的有：1AB ，共条，111111,,,,,A D BC CD DD D C C C 6故答案为：66．为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记．则这个水库里大概有______条鱼【答案】40000【分析】利用“捉放捉”原则即可求得这个水库里大概有40000条鱼【详解】设水库里大概有x 条鱼，则，解之得 10005200x =40000x =故答案为：400007．正四面体ABCD 的各棱长均为2，则点A 到平面BCD 的距离为______．【分析】设是底面的中心，则的长是点A 到平面BCD 的距离，由勾股定理计算可O BCD △AO 得．【详解】如图，是底面的中心，则平面，平面，，O BCD △AO ⊥BCD BO ⊂BCD AO BO ⊥正四面体ABCD 的棱长均为2，则， 223BO ==． AO ===8．下列说法中正确的是______．①一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多；②极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量；③平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量．【答案】②③【分析】根据中位数，平均数、众数、极差、方差和标准差的定义即可判断.【详解】对于①，中位数是一组数据按照从小到大的顺序排列，位于中间的那个数据（或中间两个数据的平均数），但是也有一些特殊的，比如：这组数据，中位数是，而比小1,2,3,4,4,5,6,7,844的数据是个，比大的数据却是个，所以一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数不一定344一样多，故①说法错误；对于②，极差反映的是一组数据最大值与最小值的差，方差和标准差反映了数据分散程度的大小，所以说极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故②说法正确；对于③，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以说平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故③说法正确，故答案为：②③.9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm ．若不计容器的厚度，则球的体积为______3cm【答案】## 1256π1256π【分析】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD 水面是过点的虚数，它与圆相切，然后根据圆（球）的性质计算出球半径，从而得体积．E 【详解】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD ，线段是正方体上底面截球所得截面圆直径，虚线表示水面，，设球半径4AB =AB 431EF =-=为，则，， R 1OE R =-122AF AB ==由勾股定理得，即，解得， 222OA AF OF =+2222(1)R R =+-52R =所以球体积为． 33445125()3326V R πππ==⨯=故答案为：． 1256π10．甲、乙两人进行某项比赛，采用三局两胜模式，假定甲每一局比赛赢的概率都为0.6，则甲最终赢得比赛的概率为______．【答案】0.648【分析】分析试验过程，分别求出两局比赛后甲获胜和三局比赛后甲获胜的概率，即可求解.【详解】甲、乙两人进行某项比赛，每局比赛相互独立.两局比赛后甲获胜的概率为：；0.60.60.36⨯=三局比赛后甲获胜的概率为：；20.60.40.60.288⨯⨯⨯=所以甲最终赢得比赛的概率为：.0.360.2880.648+=故答案为：0.64811．从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为______． 【答案】##0.6 35【分析】利用列举法写出所有可能的基本事件，并列出所有满足恰好两个小球编号相邻的可能情况，然后利用古典概型求解.【详解】依题意得，取出的三个小球编号的所有可能为，123,124,125,134,135,145,234,235,245,345共种，其中恰好两个小球编号相邻的有，共种，根据古典概型的计算10124,125,134,145,235,2456公式，恰有2个小球编号相邻的概率为：. 63105=故答案为： 3512．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 侧面BCC 1B 1的交线长为________．.【分析】根据已知条件易得侧面，可得侧面与球面的交线上的点1D E 1D E ⊥11B C CB 11B C CB到与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结E 11B C CB EFG FG果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，11B C E 1BB F 1CC G 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以BAD ∠=1111ABCD A B C D -111D B C，1D E 111D E B C ⊥又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 111BB B C ⊥因为，所以侧面，1111BB B C B = 1D E ⊥11B C CB 设为侧面与球面的交线上的点，则，P 11B C CB 1D E EP ⊥，所以1D E =||EP ===所以侧面与球面的交线上的点到，11B C CB E因为与球面的交线是扇形的弧， ||||EF EG ==11B C CB EFG FG因为，所以， 114B EF C EG π∠=∠=2FEG π∠=所以根据弧长公式可得. 2FGπ==. 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.二、单选题13．平面与平面相交于直线l ，点A 、B 在平面上，点C 在平面上但不在直线l 上，直线αβαβAB 与直线l 相交于点D ．设A 、B 、C 三点确定的平面为，则与的交线是（ ）γβγA ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC【答案】C【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案.D C 、βγ【详解】因为直线AB 与直线l 相交于点D ，，所以平面，D ∈l D ∈β又点C 在平面上，所以平面，βCD ⊂β因为平面，点在直线AB 上，所以平面，AB ⊂γD D ∈γ又平面，所以平面，C ∈γCD ⊂γ所以与的交线是直线.βγCD 故选：C.14．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件A B ：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互C 3D 4斥事件的为（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与A B B C A D C D 【答案】B【分析】判断选项中的两个事件是否可以同时发生即可.【详解】对于A ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项A 不正确；A B ⋂=∅A B 对于B ，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点3数是”，6∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B 正确；B C ⋂=6B C 对于C ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生，4∴，事件与事件互斥，故选项C 不正确；A D ⋂=∅A D 对于D ，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， 34∴，事件与事件互斥，故选项D 不正确.C D ⋂=∅C D 故选：B.15．某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中错误的是（ ）A ．估计该校学生的平均完成作业的时间超过2.7小时B ．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业C ．该校学生完成作业的时间超过3.5小时的概率估计为20%D ．估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在2小时至3小时之间【答案】D【分析】对A ，根据直方图中平均数的公式计算，可判断A;对B ，利用直方图中2小时至小时2.5之间的频率判断B;对C ，计算超过3.5小时的频率可判断C;对D ，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.【详解】对A ，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：1.250.05 1.750.152.250.25 2.750.203.250.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 3.750.104.250.05 4.750.05+⨯+⨯+⨯，所以A 正确；2.75 2.7=>对B ，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有2.5()2.520.50.25-⨯=25人在2小时至小时之间完成作业，故B 正确；1000.25⨯= 2.5对C ，由直方图得超过3.5小时的频率为,所以C 正确；0.5(0.20.10.1)0.2⨯++=对D ，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D 错误. 0.5(0.50.4)0.450.5⨯+=<故选：D16．在棱长为2的正方体中，E 为棱BC 的中点，F 是侧面内的动点，若1111ABCD A B C D -11B BCC 平面，则点F 轨迹的长度为（ ）1//A F 1AD EA B C D ．【答案】B【分析】取中点，中点，连接，则易证平面平面，进而得当F 的轨1BB M 11B C N MN 1//A MN 1AD E 迹为线段时，则有平面，再根据勾股定理及三角形的中位线计算即可.MN 1//A F 1AD E 【详解】如图所示：取中点，中点，连接，1BB M 11B C N MN 因为，，//MN 1BC 1//BC 1AD 所以，//MN 1AD 平面，平面，MN ⊄1AD E 1AD ⊂1AD E 所以平面，//MN 1AD E 同理可证明平面，1//A N 1AD E 又因为，平面，1MN A N N = 1,MN A N ⊂1A MN 所以平面平面，1//A MN 1AD E 当F 的轨迹为线段时，此时平面，则有平面，MN 1A F ⊂1A MN 1//A F 1AD E此时. 11122MN BC ==⨯=故选：B.三、解答题17．某校共有在校学生200人，为了了解该校学生的体能情况，对该校所有学生进行体能测试，然后采用分层抽样的方法随机抽取了20名学生的成绩，整理得到如下茎叶图：(1)求该校女学生人数、样本中女生成绩的极差、25百分数；(2)已知全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，求该校全体学生的平均成绩．【答案】(1)80，32，62(2)71.2【分析】（1）利用样本与总体的关系即可求得该校女学生人数；依据极差定义即可求得样本中女生成绩的极差；依据百分位数定义即可求得样本中女生成绩的25百分数；（2）利用平均数定义即可求得该校全体学生的平均成绩．【详解】（1）样本中女生有8人，则该校女学生人数为 20880200÷=样本中女生成绩由小到大排列为 5659656873747788，，，，，，，则样本中女生成绩的极差为885632-=由，可得样本中女生成绩的25百分数为 80.252⨯=5965622+=（2）由（1）可得该校女学生人数为，则该校男生人数为120 80又全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，则该校全体学生的平均成绩为 80701207271.2200⨯+⨯=18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线．1AA(1)若AB ＝2，求圆柱的侧面积；(2)设AB 与CD 是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC 与所成角的大小．1A B 【答案】(1)；4π(2). π3【分析】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出； r l （2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.AB DC 1AA AC 1A B u u u r 【详解】（1）由已知可得，底面半径，母线，1r =12l AA ==所以圆柱的侧面积.2π4πS rl ==（2）由已知可得，两两垂直，且相等，1,,AB CD AA设，则，. 2AB =1OA OC ==AC =1A B ==又， ， 1122AC OC OA DC AB =-=+u u u r u u u r u u r u u u r u u u r 11A B AB AA =-u u u r u u u r u u u r 则. ()111122AC A B DC AB AB AA ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21111112222DC AB DC AA AB AB AA =⋅-⋅+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2122AB ==u u u r所以，11cos ,2AC A B =u u u r u u u r 又，所以， 10,πAC A B ≤≤u u u r u u u r 1π,3AC A B =u u u r u u u r 所以异面直线AC 与所成角的大小为. 1A B π319．如图，已知三棱柱的高为2，底面ABC 是边长为2的正三角形．111ABC A B C -(1)求四棱锥的体积；111A BBCC -(2)若，求证：侧面为矩形．11A B A C =11B BCC 【答案】(2)证明见解析【分析】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，因此用三111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -棱柱的体积减三棱锥的体积就能得到四棱锥的体积； 111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -（2）由棱柱定义知，四边形为平行四边形，因此只需借助空间中直线、平面的垂直关系，11B BCC 证明其中一个角为直角即可.【详解】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，111ABC A B C -1A ABC-111A B BCC -三棱柱的体积， 111ABC A B C -1111=22sin 6022ABC A B CABC V S h -=⨯⨯⨯︒⨯= 三棱锥的体积 1A ABC -11=3A ABC ABC VS h -= ∴四棱锥的体积. 111A B BCC -1111111A B BCC ABC A B C A ABC V V V ---=-==（2）取中点，连接，， BC M AM 1A M ∵是等边三角形，是边上的中线，ABC AM BC ∴也是边上的高，即，AM BC AM BC ⊥又∵，∴是等腰三角形，11A B A C =1A BC ∴是边上的中线，也是边上的高，即，1A M BC BC 1A M BC ⊥又∵，平面，平面，1AM A M M ⋂=AM ⊂1AMA 1A M ⊂1AMA ∴平面，BC ⊥1AMA ∵平面，1AA ⊂1AMA ∴，1BC AA ⊥由棱柱定义知，，，111AA BB CC ∥∥111AA BB CC ==∴，四边形为平行四边形，1BC BB ⊥11B BCC ∴侧面四边形为矩形.11B BCC 20．掷黑、白两枚骰子．(1)设事件A 为：两枚骰子的点数和为7，事件B 为：白色骰子的点数是1．判断事件A 和事件B 是否独立，并说明理由；(2)设事件C 为：两枚骰子中至少有一枚的点数是1且两枚骰子点数之和不是7．求事件C 的概率．【答案】(1)是，理由见解析 (2)14【分析】（1）写出所有的基本事件，再求出A ，B 发生的概率，根据概率公式 ()()()·P AB P A P B =来判断A ，B 事件是否独立；（2）根据事件C 包含的基本事件数，按照古典概型概率计算公式可求出事件C 的概率.【详解】（1）投掷黑、白两枚骰子一次的点数记作，所有基本事件如下： (),x y ，()2:1,1 ，()()3:1,2,2,1 ，()()()4:2,2,1,3,3,1 ，()()()()5:1,4,4,1,2,3,3,2 ，()()()()()6:3,3,1,5,5,1,2,4,4,2 ，()()()()()()7:1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3 ，()()()()()8:4,4,2,6,6,2,3,5,5,3 ，()()()()9:3,6,6,3,4,5,5,4 ，()()()10:5,5,4,6,6,4 ，()()11:5,6,6,5 ，()12:6,6共36个，事件包含6个基本事件，即，A ()()()()()()1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3事件包含6个基本事件，即，B ()()()()()()1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1事件只包含，C ()6,1所以， ，所以A ，B 是独立事件； ()()()()()61611,,36636636P A P B P AB P A P B ======（2）根据（1）所列出的基本事件，事件包含9个基本事件，即C ，所以，. ()()()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,3,1,1,4,4,1,1,5,5,1()91364P C ==综上，A ，B 是独立事件， . ()14P C =21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，P ABCD -ABCD AD BC ∥AB BC ⊥分别为棱中点．2AB AD BC AB E F ==，，、BC BP 、(1)求证：平面平面；AEF ∥DCP (2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角PBC ⊥ABCD AP PBC 45 CP PB ⊥的大小．P AB D --【答案】(1)证明见解析 (2)3π【分析】（1）证明平面，平面，即可证明结论；//EF PCD //AE PCD （2）根据面面垂直性质定理得，进而得，再根据题意证明平面可45APB ∠= AB PB =PC ⊥ABP 得为直角三角形，再根据几何关系得，进而根据是二面角的平PBC 60PBC ∠= PBC ∠P AB D --面角求解即可.【详解】（1）证明：因为分别为棱中点，E F 、BC BP 、所以，在中，，PBC //EF PC 因为平面，平面，EF ⊄PCD PC ⊂PCD 所以，平面，//EF PCD 因为，为棱中点．AD BC ∥2BC AB E =，BC 所以，，//,AD CE AD CE =所以，四边形是平行四边形，ADCE 所以，//CD AE 因为平面，平面，AE ⊄PCD DC ⊂PCD 所以，平面，//AE PCD 因为平面，,,AE EF E AE EF ⋂=⊂AEF 所以，平面平面AEF ∥DCP （2）解：因为平面平面，平面平面，，平面PBC ⊥ABCD PBC ⋂ABCD BC =AB BC ⊥AB ⊂，ABCD 所以，平面AB ⊥PBC 所以，是直线与平面所成的角，APB ∠AP PBC 因为，直线与平面所成的角为，AP PBC 45所以，，45APB ∠= 所以，AB PB =因为平面，,PC PB ⊂PBC 所以，，AB PC ⊥AB PB ⊥因为，，平面， CP PB ⊥AB BP B = ,AB BP ⊂ABP 所以平面，PC ⊥ABP 因为平面，PB ⊂ABP 所以，即为直角三角形，PC PB ⊥PBC所以，在中，由可得， PBC 22BC AB PB ==PC所以，， tan PC PBC PB∠==60PBC ∠= 因为，，AB PB ⊥AB BC ⊥所以，是二面角的平面角， PBC ∠P AB D --所以，二面角的大小为.P AB D --60。
【K12教育学习资料】高二数学12月月考试卷(含解析)
四川省大竹县文星中学2015-2016学年高二12月月考数学试题一、单选题1．若下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查不等式的性质的应用.因为，所以两边同时除以a得，故C正确.2．某同学在一次综合性测试中语文、数学、英语、科学、社会5门学科的名次在其所在班级里都在前三名(记第一名为1,第二名为2,第三名为3,依此类推且没有并列名次情况),则称该同学为超级学霸,现根据不同班级的甲、乙、丙、丁四位同学对一次综合性测试名次数据的描述,一定可以推断是超级学霸的是A.甲同学:平均数为2,中位数为2B.乙同学:中位数为2,唯一的众数为2C.丙同学:平均数为2,标准差为2D.丁同学:平均数为2,唯一的众数为2【答案】D【解析】本题主要考查由样本数据特征估计整体数据特征.令这五科分别为1,1,2,2,4,则平均数为2，中位数为2，又4>3,但不能推出超级学霸，故A错；又1,2,2,3,4,中位数是2，唯一的众数是2，但4>3,故B错；当这五个数都小于等于3时，平均数为2，标准差为2是不可能的，所以C错，故选D.3．已知直线与圆有公共点,则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.由题意可知直线与圆相交或相切,故圆心O(0,0)到直线的距离小于或等于圆的半径1,即有≤1,变形得,等式两边同时除以得,【备注】直线与圆的位置关系决定了直线与圆的公共点个数,其等价关系是直线与圆相交,则直线与圆有两个公共点;直线与圆相切,则直线与圆有一个公共点;直线与圆相离,则直线与圆没有公共点;另外,在处理直线与圆的位置关系时,常用几何法,即比较圆心到直线的距离和半径的大小,而不用联立方程.4．在同一坐标系中,方程与的曲线大致是【答案】D【解析】本题主要考查椭圆与抛物线的标准方程以及简单的几何性质.将方程变形为＋=1,∵,∴＜,∴椭圆焦点在y轴上,将方程变形为=－x,∵,∴－＜0, ∴抛物线焦点在x轴负半轴上,图象开口向左.【备注】研究圆锥曲线的性质应将圆锥曲线的方程化为标准方程.5．在△ABC中,若,则△ABC的形状是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】C【解析】本题考查正余弦定理.因为，由正弦定理可得，即；由余弦定理可得，即为钝角；所以Δ为钝角三角形.选C.【备注】正弦定理：，余弦定理：.6．在等差数列中,其前n项和是S n,若,则在中最大的是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的通项与求和.，即；，即，所以，即是递减的等差数列；的前8项中最小的正数为，的前8项中最大的正数为，所以在中最大的是.选B.【备注】等差数列中，7．下列说法正确的是A.命题“∀x∈R,e x>0”的否定是“∃x∈R,e x>0”B.命题“已知x、y∈R,若x＋y≠3,则x≠2或y≠1”是真命题C.“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”D.命题“若a＝－1,则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题【答案】B【解析】本题考查命题及其关系，全称量词与特称量词，充要条件.命题“∀x∈R,e x>0”的否定是“∃x∈R,e x0”，即A错误；命题“已知x、y∈R,若x＋y≠3,则x≠2或y≠1”的逆否命题“已知x、y∈R,若x=2且y=1,则x＋y=3”是真命题，所以该命题是真命题，B正确.选B.【备注】逐个验证，一一排除.8．已知命题,使;命题当时,的最小值为4.下列命题是真命题的是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查复合命题真假的判定，真值表的理解，考查综合运用知识分析问题的能力.当时，成立，故成立，，当且仅当时取等号，而不能等于，故不成立，成立，故选A.9．在数列中,已知对任意,则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查数列通项公式的求法与前项和的求法.由①得：.②①—②得：.又当时,也适合上式,∴,∴,∴.10．已知函数,则下列说法正确的为A.函数的最小正周期为2πB.的最大值为C.的图象关于直线x=﹣对称D.将的图象向右平移,再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象【答案】D【解析】本题主要考查三角函数的性质、二倍角公式、和差角公式的应用.,显然周期为π,最大值是,对称轴是x=,则A、B、C错误，D正确.11．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点,则的轨迹方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义与简单性质的应用,考查了分析问题与解决问题的能力.由题意可知|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=5>2=|AC|,所以的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，则a=，c=1，b=，则的轨迹方程为12．已知实数a,b,c满足,且,若实数是函数的一个零点,那么下列不等式中,不可能成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查函数的性质与零点、对数函数与指数函数的单调性，考查了分析问题与解决问题的能力.根据对数函数与指数函数的单调性可知函数是减函数，因为,且,实数是函数的一个零点,则有两三种情况：一，均为负数;二，是负数，则一定成立，所以不成立，故答案是D.二、填空题13．某班级有50名学生,现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这50名学生随机编号1～50号并分组,第一组1～5号,第二组6～10号,,第十组46～50号,若在第三组中抽得号码为12的学生,则在第八组中抽得号码为________的学生.【答案】37【解析】本题主要考查系统抽样方法.由题意可得a n=12+5(n-3)，当n=8时，则可得在第八组中抽得号码为a8=3714．已知直线l:x﹣y+3=0被圆C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4截得的弦长为2,则a的值为.【答案】1或-3【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的应用.圆心(a,2),半径r=2，由圆心到直线的距离d=,由题意可得r2=d2+2，解得a=1或-315．直线经过的定点坐标为 .【答案】【解析】本题主要考查直线过定点问题.将整理得(x+y-2)+2x-y-1=0,由得x=1,y=1,即直线过定点.【备注】求解直线过定点问题应将直线方程按含变量字母整理,使得x,y的值与变量无关.16．如果三棱锥A-BCD的底面BCD是正三角形,顶点A在底面BCD上的射影是△BCD的中心,则这样的三棱锥称为正三棱锥.给出下列结论:①正三棱锥A-BCD中必有AB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BD;②正三棱锥A-BCD所有相对棱中点连线必交于一点;③当正三棱锥A-BCD所有棱长都相等时,该棱锥内切球和外接球半径之比为1:2;④若正三棱锥A-BCD的侧棱长均为2,侧面三角形的顶角为40°,过点B的平面分别交侧棱AC,AD于M,N,则△BMN周长的最小值等于.以上结论正确的是.(写出所有正确命题的序号).【答案】①②④【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、侧面展开图以及空间想象能力，考查了分析问题与解决问题的能力.设A在平面BCD上的射影是O，则根据题意可知OB⊥CD,BC ⊥OD,OC⊥BD,由线面垂直的判定定理与性质定理可得AB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BD，即①正确;如图，设E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则易得四边形EFGH是平行四边形，所以EG 与FH互相平分，同理，其它的中点连线也互相平分，则②正确;正三棱锥中，侧棱长与底面边长不一定相等，因此③错误;作出侧面展开图，当B,M,N在同一条直线时，△BMN周长的最小，最小值等于，则④正确.三、解答题17．等差数列中,=2,=2.(I)求的通项公式;(II)设求数列的前项和【答案】(Ⅰ)设等差数列的公差为d,则解得,.所以的通项公式为.(Ⅱ),所以.【解析】本题主要考查等差数列的通项公式以及利用裂项相消法求和.(1)设等差数列的公差为d,利用等差数列的通项公式，结合条件=2,=2求得的值，然后可得通项公式；(2)由(1)可得,利用裂项相消法求和即可.18．已知圆C的方程为,点是坐标原点,直线与圆C交于两点.(1)求的取值范围;(2)设是线段上的点,且,请将表示为的函数,并求其定义域.【答案】(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中,得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0,得k2＞3.所以,k的取值范围是(－∞,)∪(,＋∞).(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2＝(1＋k2)x12,|ON|2＝(1＋k2)x22,又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2.由,得,即.由(*)式可知,x1＋x2＝,x1x2＝, 所以.因为点Q在直线y＝kx上,所以,代入中并化简,得5n2－3m2＝36.由及k2＞3,可知0＜m2＜3,即m∈(,0)∪(0,).根据题意,点Q在圆C内,则n＞0,所以.于是,n与m的函数关系为(m∈(,0)∪(0,)).【解析】本题主要考查圆的性质、直线与圆的位置关系、轨迹方程的求法、函数模型与定义域，考查了分析问题与解决问题的能力.(1) 将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中,得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0，由判别式Δ＞0，求解可得结果；(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2＝(1＋k2)x12,|ON|2＝(1＋k2)x22,又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2, 由,得,再由根与系数的关系可得，然后根据题意求解即可.19．设的内角A,B,C.所对的边分别为a,b,c,已知1,b=2,.(Ⅰ)求的周长;(Ⅱ)若求的值.【答案】(Ⅰ)∵∴∴△ABC周长为a+b+c=1+2+2=5(Ⅱ)∵∴【解析】本题主要考查余弦定理、三角函数的同角三角函数关系式以及和差角公式的应用.(1)利用余弦定理可求得边c ，即可求得三角形的周长;(2)根据题意可求得，再利用两角和的正弦公式求解即可.20．如图是正方形,是正方形的中心,底面是的中点.求证:(1)//平面;(2)平面平面;(3)若,求四棱锥P －ABCD 的体积.【答案】(1)连接AC ,OE ,ACBD =O ,在△PAC 中,∵E 为PC 中点,O 为AC 中点.∴PA //EO ,又∵EO 平面EBD ,PA 平面EBD ,∴PA //面BD E.(2)∵PO 底面ABCD ,∴POB D.又∵BDAC ,∴BD 平面PA C.又BD 平面BDE ,∴平面PAC 平面BD E.(3)∵ABCD 是正方形的中心,∴∵PO 底面ABCD.【解析】本题主要考查线面平行的判定定理、线面与面面垂直的判定定理与性质定理应用、锥体的体积公式以及空间想象能力，考查了分析问题与解决问题的能力.(1) 连接CABAC,OE,ACBD=O, 在△PAC中,利用中位线定理即可得证PA//EO,再利用线面平行的判定定理即可得证结论;(2)由题意可得POB D ，BDAC,即得BD平面PA C，再利用面面垂直的判定定理即可得证结论;(3)利用棱锥的体积公式求解即可.21．实数满足圆的标准方程.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)求定点到圆上点的距离的最大值.【答案】(1)令k=,即y=k(x-4),结合图形可知当直线y=k(x-4)与圆相切时k最小,即最小,由=2得k=或k=0(舍去),故k=得最小值为(2)由得点在圆外故到圆上点的距离的最大值为+2=2+2.【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系,体现了数形结合思想.第(1)题应将转化为圆上点(x,y)与点(4,0)的斜率;第(2)题先判断点与圆的位置关系,在求出点与圆圆上点的距离的最大值【备注】1.若圆的标准方程为:,点P(则有:则点P(在圆外;则点P(在圆上;则点P(在圆内.2.若圆心为C,圆半径为r,点P到圆上点的距离为d,则有:若点P在圆外,则=|CP|－r,=|CP|+r;若点P在圆上,则=0,=2r;若点P在圆内,则= r-|CP|,= r+|CP|22．已知等差数列满足;数列的前n项和为,且满足.(Ⅰ)分别求数列的通项公式;(Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数k的取值范围.【答案】(1)由.∴.由,得,即.又(n)∴{是等比数列,其中首相为,公比为3,所以(2)所以原不等式可转化为(对n恒成立,∴对n恒成立.令.当n3时,即; 当n3时,.∴当n=3时有最大值,最大值为所以【解析】本题考查等差数列，数列的通项与求和.(1)由∴.由,得(n)∴{是等比数列,其中首相为,公比为3,所以(2)，原不等式可转化为(对n恒成立,∴对n恒成立.令.当n=3时有最大值，所以【备注】等差数列中，；等比数列中，。
江苏省苏州市高新区第一中学教育集团2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
江苏省苏州市高新区第一中学教育集团2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(2)若49n n
T a l £+对任意*n ÎN 恒成立，求实数l 的取值范围．
六、问答题
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，点()2,0F ，以线段FG 为直径的圆与圆O 相切，记动点G 的轨迹为W ．(1)求W 的方程；
(2)设点M 在x 轴上，点()0,1N ，在W 上是否存在两点A ，B ，使得当A ，B ，N 三点共
线时，ABM V 是以AB 为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M 的坐标和直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．
F
P
H
P
20．(1)21n
a n =-(2)(,126]
-¥a a
当1k =时，点M 的坐标为()2,0，直线AB 的方程为1y x =+；当1k =-时，点M 的坐标为()2,0-，直线AB 的方程为1y x =-+．所以存在满足题意的两点A ，B ，此时()2,0M ，直线AB 的方程为1y x =+；或()2,0M -，直线AB 的方程为1y x =-+．。
2019-2020年高二数学12月月考试题数学.doc
2019-2020年高二数学12月月考试题数学说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、设定点()10,3F -，()20,3F ，动点(),P x y 满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点P的轨迹是（ ）.A. 椭圆B. 线段C. 不存在D.椭圆或线段或不存在 2、抛物线21y x m=的焦点坐标为 （ ） .A ．1,0m ⎛⎫ ⎪⎝⎭４B ． 10,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． ,04m ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭3、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为 （ ）.A ．14-B ．4-C ．4D ．144、给出以下四个命题：①“若x ＋y =0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1-≤q ，则02=++q x x 有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题． 其中真命题是 ( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④5、已知椭圆方程192522=+y x ，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点1F 的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是 （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）8（D ）236、设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF（ ）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 97．已知p 是q 的必要条件，r 是q 的充分条件，p 是r 的充分条件，那么q 是r 的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件8．由下列各组命题构成“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，非“p ”为真的是（ ）A ．=0:p Φ,∈0:q ΦB ．p ：等腰三角形一定是锐角三角形，q ：正三角形都相似C ．{}a p : ≠⊂{}b a , ，{}b a a q ,:∈D ．:,35:q p >12是质数 9、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）.A.B. C. 2 D. 110．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1B.2C. 3D.411、命题甲：“双曲线C 的方程为12222=-by a x ”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y bax =±”，那么甲是乙的-------------------------------（ ）(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件12、已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ）A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、命题“若ab =0，则a ，b 中至少有一个为零”的逆否命题是 ．14、 如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a －c =3, 那么椭圆的方程是 。
高二数学12月月考试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹高二数学12月月考试题〔含解析〕一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分) 1.如下列图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为1，那么1B 的坐标是〔〕A.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0) 【答案】C 【解析】试题分析：由空间直角坐标系和棱长为1，可得那么1B 的坐标是(1,1,1)。
考点：1．空间直角坐标系；310y 的倾斜角为〔〕A.30°B.60°C.120°D.150° 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，利用倾斜角和斜率的对应关系得出倾斜角.【详解】直线的斜率为33A kB ，设倾斜角为，那么3tan ,1503.应选D.【点睛】本小题主要考察由直线方程的一般式求得直线的斜率，考察倾斜角和斜率的对应关系.对应直线的一般方程0Ax By C ，化为斜截式得到A C yxB B ，其中AB是斜率，CB是纵截距.直线的斜率，是倾斜角的正切值.要注意的是当倾斜角为90时，斜率不存在.3.某校老年、中年和青年老师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查老师的身体状况，在抽取的样本中，老年老师一共有180人，那么该样本中的青年老师人数为〔〕A.320B.360C.90D.180【答案】A【解析】【分析】先求得老年老师抽样的比例，用青年老师人数乘以这个比例得到样本中青年老师的人数.【详解】老年老师抽样的比例为18019005，故样本中青年老师的人数为116003205人.应选A.【点睛】本小题主要考察分层抽样，利用分层抽样中某一层的抽样比例，得到总体的抽样比例，由此计算的其它层抽样的样本数.属于根底题.1，a2，…，a n的平均数为a，方差为s 2，那么数据2a1，2a2，…，2a n的平均数和方差分别为()A.a，s2B.2a，s2C.2a，2s2D.2a，4s2【答案】D【解析】【分析】考虑到数据2a1，2a2，…，2a n的各个数据是原数据的2倍，充分利用两者的关系结合平均数、方差的计算公式计算即可．【详解】数据a1，a2，…，a n的平均数为a，方差为S2，那么另一组数据2a 1，2a2，…，2a n的平均数为22x x a，方差是s′2，∵S2=1n[〔x1﹣x〕2+〔x2﹣x〕2+…+〔x n﹣x〕2]，∴S′2=1n[〔2x 1﹣2x 〕2+〔2x 2﹣2x 〕2+…+〔2x n ﹣2x 〕2] =1n[4〔x 1﹣x 〕2+4〔x 2﹣x 〕2+…+4〔x n ﹣x 〕2]， =4S 2应选：D ．【点睛】此题考察了当数据都乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数，属于根底题．5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子〔它们六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6〕，骰子朝上的点数分别为X ，Y ，那么log 2X Y ＝1的概率为〔〕． A.16B.536C.112D.12【答案】C 【解析】试题分析：由题意知、应满足，所以满足题意的有三种，所以概率为313612． 考点：1．古典概型； 6.以下说法正确的选项是() A.22＝1，那么x≠1〞B.∃x0∈R，20210x x ，那么p ：∀x∈R，x2－2x －1＜0C.x ＝sinD.“x＝－1〞是“x 2－5x －6＝0〞的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】AA 是否正确； BB 是错误的； CD 中，判断充分性和必要性是否成立即可； 【详解】对于Ax 2≠1，那么x≠1，∴A 错误； 对于B2210x R x x ，－－〞，∴B 错误；对于Cx=y ，那么sin x=sin y∴C 正确；对于D ，x=-1时，x 2-5x-6=0，∴充分性成立，x 2-5x-6=0时，x=-1或者x=6，必要性不成立，是充分不必要条件，D 错误 应选：C ．7.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆22194x y 的位置关系为()A.相切B.相离C.相交D.不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求得直线过的定点，这个定点在椭圆内部，由此判断直线和椭圆相交. 【详解】依题意，直线方程为11y k x ，所以直线过点1,1，这个点在椭圆的内部，故直线和椭圆一定相交，应选C.【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察含有参数的直线方程过定点的问题，属于根底题.221:4470O x y x y 和222:410130O x y y y 都相切的直线条数是〔〕A.4B.3C.2D.1【答案】B 【解析】试题分析:圆11(2,2),1O r ，22(2,5),4O r，12125OO r r ，圆1O 和圆2O 外相切，所以与圆1O 和圆2O 相切的直线有3条.应选B ． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两圆的位置关系．x y 、满足条件101010x y y x y ，那么z=2x-y 的最大值为〔〕 A.2B.3C.2D.1 【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线20x y 到可行域边界的位置，由此求得目的函数的最大值.【详解】画出可行域如以下列图所示，由图可知，目的函数2z x y 在点0,1A 处获得最大值，且最大值为011z.应选D【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.10.在区间[0，1]上任取两个实数a，b，那么函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为()A.12B.34C.23D.14【答案】B【解析】【分析】函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．【详解】∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1假设函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点，那么△=a2-4b2＜0，对应的区域为直线a-2b=0的上方，面积为113 11224，那么根据几何概型的概率公式可得所求的概率为34．应选：B．【点睛】此题主要考察几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决此题的关键．2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为2，那么mn的值是()A.2C.2【答案】A 【解析】 【分析】设MN 的中点为A ，利用点差法，列出直线MN 的斜率和直线OA 斜率的关系式，由此求得mn的值. 【详解】设1122,,,M x y N x y ，设MN 中点为1212,22x x y y A，直线MN 的斜率为1，直线OA 的斜率为121212122,22y y x x x x y y .由于,M N 在椭圆上，故2211222211mx ny mxny，两式相减得222212120m x x n y y ，化简为12121212x x y y m n y y x x ，即221,2m mn n .应选A. 【点睛】本小题主要考察利用点差法，解有关直线和椭圆相交所得弦的中点有关的问题，属于根底题.22:5C x y x 内，过点53,22A有n 条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项1a ，最长的弦长为n a ，假设公差11,63d，那么n 的取值集合为() A.4,5,6 B.6,7,8,9 C.3,4,5 D.3,4,5,6 【答案】A 【解析】由题设圆的圆心坐标与半径分别为55(,0),22C r，最长弦与最短弦分别为125925,2444na L ra ，所以1111(,]1163n a a dn n ，解之得47n ，即4,5,6n，应选答案A 。
高二数学12月月考试题(1)-2019word版可打印
2、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、抛物线的焦点到准线的距离是__________________.
12．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个 .
13．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是 .
14．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于 .
15、设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .
跃华学校20xx-20xx学年第一学期月考
高二数学试题
考试时间120分钟 （总分150分）日期：20xx、12
（第Ⅱ卷）
一、选择题（50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（25分）
11、 。 12、 。13、 。14、 。 15、 。
AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E-ABC的体积．
21、已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，
证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
5、圆的圆心和半径分别是（ ）
A．（-1,0），5 B．（0, 1），5 C．（1,0），5 D．（1,0），25
6．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．【详解】抛物线22y x =的方程为212x y =，所以焦点在y 轴 由122p =， 所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D ．2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知311a =，1060S =，则5a =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意建立方程，即可求出1a ，d ，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果．【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知11211?104560a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得115a =，2d =-，所以5141587a a d =+=-=． 故选：A3．设点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，则||=AB （ ） A ．10 BC ．38D【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的坐标特点得点B 坐标，根据空间中两点间的距离公式计算即可得||AB .【详解】解：因为点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，所以(2,3,5)B -所以10AB AB ==.故选：A.4．已知向量()()1,1,0,1,0,=-=a b m ，且ka b +与2a b -互相平行，则k =（ ） A ．114-B ．15C ．35D ．12-【答案】D【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知(1,,)ka b k k m +=-，2(3,1,2)a b m -=--， 因为ka b +与2a b -平行， 若0m =，则131k k -=-，12k =-， 若0m ≠，则1312k k mm-==--，k 无解． 综上，12k =-，故选：D ．5．设向量OA ，OB ，OC 不共面，空间一点P 满足OP xOA yOB zOC =++，则A ，B ，C ，P 四点共面的一组数对(,,)x y z 是（ ）A ．111(,,)432B ．131(,,)442-C ．(1,2,3)-D ．121(,,)332-【答案】B【分析】由题设条件可知，A ，B ，C ，P 四点共面等价于1x y z ++=，由此对选项逐一检验即可. 【详解】因为向量OA ，OB ，OC 不共面，OP xOA yOB zOC =++， 所以当且仅当1x y z ++=时，A ，B ，C ，P 四点共面， 对于A ，1111432++≠，故A 错误；对于B ，1311442-++=，故B 正确；对于C ，1231-+≠，故C 错误；对于D ，1211332-++≠，故D 错误.故选：B.6．已知数列{}n a 中，11a =且()133nn n a a n a *+=∈+N ，则16a 为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A【分析】采用倒数法可证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到n a ，代入16n =即可.【详解】由133n n n a a a +=+得：1311133n n n n a a a a ++==+，又111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公差的等差数列，()1121133n n n a +∴=+-=，32n a n ∴=+，1616a ∴=. 故选：A.7．已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线2212x ya +=的离心率为（ ）A 3B 5C 510D 310 【答案】D【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得a 值，然后分类讨论求得圆锥曲线2212x y a +=的离心率解决即可． 【解答】因为三个数1，a ，9成等比数列， 所以29a =，则3a =±．当3a =时，曲线方程为22132x y +=，表示椭圆， 31， 3 当3a =-时，曲线方程为22123y x -=，表示双曲线，255102． 故选：D8．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差()2020201920200,0d a a a <+<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4039B ．4038C ．4037D ．4036【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】因为0d <，所以等差数列{}n a 是递减数列， 因为()2020201920200a a a +<，所以201920200,0a a ><，且20192020a a >，201920200a a +>， ()1403920192020403920204038201920204039()40390,403820190,22a a a a S a S a a ++===⨯=+所以使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4038． 故选：B二、多选题9．下列结论错误的是（ ）A ．过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B ．若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，则23a =-C ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=D ．已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5 【答案】AC【分析】对于A ，tan AB k α=即可解决；对于B ，由题意得231a -=即可解决；对于C ，平行线间距离公式解决即可；对于D ，数形结合即可. 【详解】对于A ，131tan 312AB k α-===--，即30α≠︒，故A 错误； 对于B ，直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，所以123a =-，解得23a =-，故B 正确；对于C ，直线240x y +-=与直线2410x y ++=（即1202x y ++=）之间的距离为d =故C 错误；对于D ，已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，如图取()1,1B -关于x 轴的对称点()1,1B '--，连接AB '交x 轴于点P ，此时22(21)(31)5PA PB PA PB AB ''+=+≥=+++，所以PA PB +的最小值是5，故D 正确； 故选：AC.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，25n S n n =-，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．0n a >C ．n S 最小值为254- D ．{}n a 为单调递增数列【答案】BC【分析】根据n S 求出n a ，并确定{}n a 为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前n 项和分析求解.【详解】对于A ，当2n ≥时，()()221515126n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-， 1n =时114a S ==-满足上式，所以26,N n a n n *=-∈,所以()()1216262n n a a n n +-=+---=， 所以{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，由上述过程可知26,N n a n n *=-∈，12340,20,0a a a =-<=-<=，故B 错误；对于C ，因为25n S n n =-，对称轴为52.52=， 又因为N n *∈，所以当2n =或3时，n S 最小值为6-，故C 错误； 对于D ，由上述过程可知{}n a 的公差等于2， 所以{}n a 为单调递增数列，故D 正确. 故选:BC.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为BC ，11CC BB ，的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1D D AF ⊥B ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 C ．1//A G 平面AEFD ．异面直线1A G 与EF 5【答案】BC【分析】对于选项A ：由11//DD CC 以及1CC 与AF 不垂直，可知A 错误；对于选项B ：利用等体积法,A GEF G AEF A CEF C AEF V V V V ----==，可求得结果，进而判断选项B 正确；对于选项C ：取11B C 的中点M ，根据面面平行的性质即可得出1//A G 平面AEF ，可知选项C 正确； 对于选项D ：根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义可知D 错误；【详解】对于选项A ：因为1AC AC ≠，所以1ACC △不是等腰三角形，所以1CC 与AF 不垂直，因为11//DD CC ，所以1DD 与AF 不垂直，故选项A 错误；对于选项B ：设正方体的棱长为2，设点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离分别为12,h h ，则11133A GEF GEFG AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，21133A CEF CEFC AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，所以12121221112GEFCEFS h h S ⨯⨯===⨯⨯△△，故选项B 正确； 对于选项C ：取11B C 的中点M ，连接11,,GM A M BC ，由题意可知：1//GM BC ，因为1//BC EF ，所以//GM EF ，GM ⊄平面AEF ， EF ⊂平面AEF ，所以//GM 平面AEF ，因为1A M AE ∥，1A M 平面AEF ， AE ⊂平面AEF ，所以1//A M 平面AEF ，因为11,,A MGM M A M GM =⊂平面1AGM ，所以平面AEF //平面1AGM ， 因为1AG ⊂平面1AGM ，所以1//A G 平面AEF ，故选项C 正确； 对于选项D ：因为111//,//AD EF AG D F ，所以异面直线1A G 与EF 所成的角为1AD F ∠（或其补角），设正方体的棱长为2，则22112253AD D F AF AC CF ===+=，，， 在1AD F △中，由余弦定理可得：2221111110cos 22225AD D F AF AD F AD D F +-∠===⋅⨯⨯D 错误，故选：BC .12．下列命题中，正确的命题有（ ） A ．a b a b +=-是a ，b 共线的充要条件 B ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=C ．对空间中任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若243OP OA OB OC =-+，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底 【答案】CD【分析】对A ，向量a 、b 同向时a b a b +=-不成立； 对B ， b 为零向量时不成立； 对C ，根据空间向量共面的条件判定； 对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量a 、b 同向时，a b a b +≠-，∴只满足充分性，不满足必要性，∴A 错误； 对B ，b 应该为非零向量，故B 错误； 对C ，由于243OP OA OB OC =-+得，1324PB PA PC =+， 若,PA PC 共线，则,,PA PC PB 三向量共线，故A ，B ，C 三点共线，与已知矛盾，故,PA PC 不共线，由向量共面的充要条件知,PB PA PC ,共面，而,PB PA PC ,过同一点P ，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；对D ，若{},,a b c 为空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面， 假设a b +，2b c +，3c a +共面，设()()23a b x b c y c a +=+++，所以13102yxx y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ ，无解，故a b +，2b c +，3c a +不共面， 则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确． 故选： CD ．三、填空题13．等比数列{}n a 中，39a =-，114a =-，则7a =______． 【答案】6-【分析】由等比数列的性质计算．【详解】因为{}n a 是等比数列，所以2731136a a a ==，又{}n a 的所有奇数项同号，所以76a =-．故答案为：6-．14．直线230x y +-=被圆()()22214x y-++=截得的弦长____________【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理与垂径定理计算可得；【详解】圆()()22214x y -++=的圆心为2,1，半径2r =， 圆心2,1到直线的距离d ==所以直线被圆截得弦长为22223525522255r d ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：2555. 15．已知数列{}n a .的前n 项和为n S ，且()*2120N n n n a a a n +++-=∈.若11151912a a a ++=，则29S =______.【答案】116【分析】先判断出数列是等差数列，然后运用等差数列的性质可得答案.【详解】(){}*211220N ,2,n n n n n n n a a a n a a a a +++++-=∈∴=+∴为等差数列，111912915111519152,12,4,a a a a a a a a a ∴+=+=++=∴=129291529292941162a a S a +∴=⨯==⨯=. 故答案为：116.四、双空题16．如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 的中点，则AM 与D B ''所成角的余弦值为___________；C 到平面DA C ''的距离为___________.【答案】103【分析】第一空根据向量法即可求得异面直线之间的夹角. 第二空利用等体积法即可求得.【详解】由已知连接BD ，如图所示建立空间直角坐标系,则()0,0,1A ，1,1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0B '，()1,0,0D '1,1,02AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,1,0D B ''=-10cos ,10AM D B AM D B AM D B ''''==''⋅ AM 与D B ''所成角的余弦值为1010如图所示设C 到平面DA C ''的距离为d 因为C A DC A DCC V V '''--=1111322sin 601113232d d ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⇒=103五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【答案】（1）12n n b -=；（2）当5q =-时，321S =.当4q =时，36S =-.【分析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，（1）由条件可得3d q +=和226d q +=，解方程得12d q =⎧⎨=⎩，进而可得通项公式； （2）由条件得2200q q +-=，解得5,4q q =-=，分类讨论即可得解.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=.由222a b +=得3d q +=.①（1）由335a b +=得226d q +=②联立①和②解得30d q =⎧⎨=⎩（舍去），12d q =⎧⎨=⎩ 因此{}n b 的通项公式为12n n b -=.（2）由131,21b T ==得2200q q +-=.解得5,4q q =-=.当5q =-时，由①得8d =，则321S =.当4q =时，由①得1d =-，则36S =-.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本量运算，属于基础题.18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．【答案】(1)122AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC ，平方即求得模长.(2) 求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =，CB b =，1CC c =，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+， 所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦ 222222c a b a c b c a b =++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++，1DC c a =-，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅=∴11CA DC ⊥∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==.(1)求{an }的通项公式；(2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =-(2)2(32)n n T n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩ 解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-.故{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+ 111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n n n =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++ 即：{}n b 的前n 项和2(32)n n T n =+. 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.(1)求证：BE ⊥平面1AB C ；(2)求直线1B D 与平面1AB C 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；15【分析】（1）先证明1AA AC ⊥，从而可得AC ⊥平面11AA B B ，进而可得AC BE ⊥，再由线面垂直的判定定理即得；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥,又AC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB ⊂平面11AA B B ，1AA ⊂平面11AA B B ，所以AC ⊥平面11AA B B ，因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥，又因为1BE AB ⊥， 1AC AB A ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ，所以BE ⊥平面1AB C ；（2）由（1）知AB ，AC ，1AA 两两垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()0,2,2D ，设()0,0,E a ，()12,0,4AB =，()2,0,BE a =-，()0,2,0AC =，因为1AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =，则()2,0,1BE =-，由（1）平面1AB C 的一个法向量为()2,0,1BE =-，又()12,2,2B D =--，设直线1B D 与平面1AB C 所成角的大小为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则 11115sin cos ,512BE B D BE B D BE B D θ⋅====⋅⋅， 因此，直线1B D 与平面1AB C 1521．已知数列{}1221,2,5,43.++===-n n n n a a a a a a(1)令1n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列；(2)若n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)见解析 (2)11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据递推公式证明2113n n n na a a a +++--为定值即可； （2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）证明：因为2143n n n a a a ++=-，所以()2113n n n n a a a a +++-=-，即13n n b b +=， 又1213b a a -==，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）得11333n n n n a a +--=⋅=， 3n n n c nb n =⋅=，则23323333n n S n =+⨯+⨯++⋅，23413323333n n S n +=+⨯+⨯++⋅，两式相减得()2311131313233333331322n n n n n n S n n n +++-⎛⎫-=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭， 所以11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 22．如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，1//122AF DE DE AD AD BE AF AD DE AB ⊥⊥====，，，，.(1)求证：BF ∥平面CDE ；(2)求二面角B EF D --的余弦值；(3)判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQ BE 的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析 (2)63(3)存在点Q ；17BQ BE =【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；（2）证得DA ，DB ，DE 两两垂直，从而建立以D 点为原点的空间直角坐标系，求得平面DEF 和平面BEF 的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；（3）设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，求得平面CDQ 的法向量为u ，若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，从而解得λ的值，找到Q 点的位置.【详解】（1）取DE 的中点M ，连结MF ，MC ，因为12AF DE =，所以AF DM =，且AF DM =， 所以四边形ADMF 是平行四边形，所以//MF AD ，且MF AD =,又因为//AD BD ,且AD BC =，所以//MF BC ,MF BC =,所以四边形BCMF 是平行四边形，所以//BF CM ,因为BF ⊄平面CDE ,CM ⊂平面CDE ，所以//BF 平面CDE ；（2）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥， 所以DE ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，则DE DB ⊥，故DA ，DB ，DE 两两垂直，所以以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，()0,0,2E ，()1,0,1F ，所以()0,1,2BE =-，()1,0,1EF =-，()0,1,0n =为平面DEF 的一个法向量. 设平面BEF 的一个法向量为(),,m x y z =，由0m BE ⋅=，0m EF ⋅=，得200y z x z -+=⎧⎨-=⎩， 令1z =，得()1,2,1m →=. 所以26cos ,36m n m n m n →→→→→→⋅===. 如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --的余弦值为63. （3）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . 证明如下：设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(),,u a b c =，又因为()1,1,0DC =-， 所以0u DQ ⋅=，0u DC ⋅=，即(1)200b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩， 若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，即20a b c ++=， 解得[]10,17λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ， 且此时17BQ BE =.。
高二12月月考(数学)试题含答案
高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。
2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)A -关于xOz 平面对称的点的坐标是______. 【答案】()1,2,3--【分析】根据空间对称的知识求得正确答案.【详解】点关于xOz 平面对称点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标相反， 所以点(1,2,3)A -关于xOz 平面对称的点的坐标是()1,2,3--. 故答案为：()1,2,3--2．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：kg ）56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg 【答案】69【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】170.7512.75⨯=， 数据从小到大第13个数是69， 所以第75百分位数为69kg 故答案为：693．第14届国际数学教有大会（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______. 【答案】625##0.24 【分析】先确定随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择了连续的3天参会的基本事件数，再确定事件两位老师所选的日期恰好都不相同所包含的基本事件数，由古典概型概率公式求事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率.【详解】因为张老师在7天中随机选择连续的3天参会共有5种选法，即()12,13,14，()13,14,15，()14,15,16，()15,16,17，()16,17,18，所以随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择连续的3天参会的基本事件数为25，其中两位老师所选的日期恰好都不相同选法有：张老师选()12,13,14，李老师选()15,16,17或()16,17,18，张老师选()13,14,15，李老师选()16,17,18，张老师选()15,16,17，李老师选()12,13,14，张老师选()16,17,18，李老师选()12,13,14或()13,14,15，即事件两位老师所选的日期恰好都不相同包含6个基本事件，所以事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率625P =. 故答案为：625. 4．设等差数列{}n a 的公差为d ，若1234576,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =________．【答案】12±【详解】由题意得2222222411[(3)(2)()0()(2)(3)]47x a d d d d d d d =∴=-+-+-++++= ，因此12d =±5．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到1分钟）.【答案】34.【详解】由直方图可得0.0250.00650.0032201x +++⨯⨯=（）． 所以0.0125x =，该校学生上学所需时间的均值估计为：10200.012530200.02550200.006570200.00390200.00333.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=分钟，故该校新生上学所需时间的平均值为34分，故答案346．由8个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是8，则可能成为样本数据中的最大整数是________． 【答案】12【分析】根据平均数、中位数、唯一的众数和全距求得最大整数的值.【详解】依题意，平均数=中位数=众数=8，所以偏态系数为0，数据分布对称， 因为存在众数且众数唯一，所以可设这8个整数为123456,,,8,8,,,x x x x x x ， 且12345688x x x x x x <<<=<<<， 所以6116882x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得612x =.故答案为：127．如图：已知矩形ABCD 中，2AB =，BC t =，若PA ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则满足条件的E 点有两个时，t 的取值范围是________．【答案】4t >【分析】由题意可证得DE AE ⊥，转化为以AD 为直径的圆与矩形另一边有2个交点，根据圆心到直线的距离小于半径求解即可. 【详解】连接AE ，如图，因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PA DE ⊥，又PE DE ⊥，PA PE P =，,PA PE ⊂平面PAE ，所以DE ⊥平面PAE ， 因为AE ⊂平面PAE ，所以DE AE ⊥． 即E 点为以AD 为直径的圆与BC 的交点．因为2AB =，BC t =，满足条件的E 点有2个，即圆心也就是AD 中点到BC 的距离小于半径即可，即平行线间的距离22tAB =<，解得4t >． 故答案为：4t >8．某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为__________元. 【答案】8800【详解】要使得这8位员工月工资的中位数最大值，即月工资数据不清楚的两个人的工资分别为比8200小，比9500大，即中位数为9100850088002+=. 9．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱AB ，1BB 的中点，过1D ，M ，N 三点作该正方体的截面，若截面为一个多边形Γ，则Γ在顶点1D 处的内角的余弦值为________．【答案】413【分析】建立空间直角坐标系，根据1//D P QN →→，1//D Q PM →→求出,P Q 坐标，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】设正方体棱长为2，多边形Γ与棱11,B C AD 相交于,Q P ，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则1(2,1,0),(2,2,1),(0,0,2)M N D ，设(,0,0)P a ，(,2,2)Q b ，则11(,0,2),(2,1,0),(,2,0),(2,0,1)D P a PM a D Q b QN b →→→→=-=-==--，由正方体左右侧面平行，与截面多边形Γ分别交于1D P QN ，，所以1//D P QN ， 同理，可得1//D Q PM 故1//D P QN →→，1//D Q PM →→，所以2(2)2(2)a b b a =-⎧⎨=-⎩，解得43a b ==，所以14(,0,2)3D P →=-，14(,2,0)3D Q →=，则111111161649cos ,16163613||||49D P D Q D P D Q D P D Q →→→→→→⋅<>====++， 所以Γ在顶点1D 处的内角的余弦值为413． 故答案为：413. 10．已知A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，若1AB AC ==，则BC 的最大值为______. 【答案】3【分析】设ABC 的外接圆半径为r ，2BC x =，由条件列关系式确定,x r 的关系，由此可求x 的最大值，由此确定BC 的最大值.【详解】因为A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，过点A 、B 、C 作球的截面，设截面圆的圆心为1O ，半径为r ，设BC 的中点为D ，则1O D BC ⊥，因为1AB AC ==，所以AD BC ⊥，设2BC x =，则21AD x =-，211O D r x =--，又22211BD O D O B +=，所以()22221r x r x =+--，所以22114x r =-，因为球的半径为1，所以1r ≤，所以当1r =时，2x取最大值，最大值为34，所以BC 的最大值为3， 故答案为：3.11．在直三棱柱111ABC A B C 中，11AB AC AA ===，{}1Ω,01,02,03P AP AB AC AA λμηλμη==++≤≤≤≤≤≤，若Ω中所有的点构成的几何体的体积为3，则AB 与AC 夹角的大小为________．【答案】π6或5π6【分析】由条件确定区域Ω与三棱柱111ABC A B C 的体积关系，结合柱体体积公式列方程可求AB 与AC 夹角的正弦值，由此可得夹角大小.【详解】因为{}1Ω,01,02,03P AP AB AC AA λμηλμη==++≤≤≤≤≤≤， 所以Ω中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱111ABC A B C 体积的236⨯=倍， 则16sin ,3AB AC AB AC AA ⨯⨯=，又11AB AC AA ===，所以1sin ,2AB AC =，因为[],0,πAB AC ∈，所以π,6AB AC =或5π6， 所以AB 与AC 夹角的大小为π6或5π6．故答案为：π6或5π6.12．在一个112⨯⨯的长方体内部，有一半径为12的小球自由运动，则当小球在长方体内滚动时，长方体内没有被小球滚到的部分其体积为________． 【答案】5212π-【分析】根据条件，画直观图，直接计算即可.【详解】由题意，小球在长方体内活动如图中虚线所示，是由上下两个半球和中间的圆柱构成， 所以小球不能达到的空间体积为2314151121223212πππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⨯-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故答案为：5212π-.二、单选题13．如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（ ）A ．21B ．21.5C ．22D ．22.5【答案】B【分析】根据中位数的知识求得正确答案. 【详解】6个数据为16,18,21,22,22,31， 所以中位数为212221.52+=. 故选：B14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()e ,0,1a =-与()20232023,π,b a S =垂直，则{}n a 不可能是（ ）A ．公差大于0的等差数列B ．公差小于0的等差数列C ．公比大于0的等比数列D ．公比小于0的等比数列【答案】C【分析】根据空间向量互相垂直的性质、空间向量数量积的运算性质，结合等差数列和等比数列的性质逐一判断即可.【详解】因为()e ,0,1a =-与()20232023,π,b a S =垂直，所以2023202300a b a S ⋅=⇒-=，则20232023S a =，若20232023S a =，则2022202320230S S a =-=，所以保证20220S =即可， 若{}n a 为等差数列，取前2022项分别为2021,,3,1,1,3,,2021---即可，反之，取2021,,3,1,1,3,,2021---也可，故A 、B 均可能，若{}n a 为等比数列，取(1)nn a =-即可，故D 有可能，若公比大于0，则()2022120221S a q ==或()()202212022111a q S q q-=≠-均不为0，故C 不可能； 故选C ．15．设a ,b ,c ,x ,y ,z 是正数，且2a +2b +2c =10, 2x +2y +2z =40, ax +by +cz =20,则a b cx y z++++=A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C【详解】由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当111222a b c x y z ==时等号成立， 2222221040a b c x y z ++=++=，,20ax by cz ++=∴等号成立111222a b c x y z ∴== 12a b c x y z ++∴=++故答案选C16．已知a ，b 是异面直线，若直线m 上任意一点到a ，b 的距离都相等，则这样的直线m （ ） A ．存在且只有一条 B ．存在且只有两条 C ．存在无数条 D ．不存在【答案】B【分析】分别过a ，b 作与它们都平行的平面，再作一个他们正中间的平面，将两条异面直线投影到中间平面上，投影直线构成的四个角的角平分线即为所求.【详解】分别过a ，做平面α，使得b α，过b 作平面β，使得a β∥，然后在这两个平行平面中间作一个平面γ，使得平面γ到平面α、平面β的距离相等，则直线,a b 在平面γ内的投影分别为,a b ''，则//,//a a b b ''，则在平面γ内两条直线,a b ''构成的四个角的角平分线即为所求直线（共两条）, 故选：B .三、解答题17．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次． (1)求按照专家提出的这种化验方法需要化验的次数并说明是否能减少化验次数； (2)若携带病毒的人只占2%，按照k 个人一组，试问k 取多少时化验次数最少？ 【答案】(1)平均需要化验4262次，能减少化验次数. (2)k 取8时化验次数最少【分析】（1）设每个人需要的化验次数为X ，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得()E X ，从而确定正确答案.（2）假设k 个人一组，设每个人需要的化验次数为Y ，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得()E Y ，从而确定正确答案. 【详解】（1）设每个人需要的化验次数为X ，若混合血样呈阳性，则15X =；若混合血样呈阴性，则65X =；因此，X 的分布列为510.955P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5610.955P X ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()551()0.95610.950.42625E X ⎡⎤=+⨯-≈⎣⎦， 说明每5个人一组，平功每个人需要化验0.4262次；100000.4262426210000⨯=<，所以能减少化验次数.（2）假设k 个人一组，设每个人需要的化验次数为Y ，若混合血样呈阳性，则1Y k =；若混合血样呈阴性，则11Y k =+； 因此，Y 的分布列为10.98k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.98kP X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()()11()0.98110.9810.98k kk E Y k k k ⎡⎤=++⨯-=+-⎣⎦， 利用计算器，对k 取1,2,3,，逐一计算110.98kk+-，发现当k 取8时，()E Y 取到最小值0.2742， 此时，10000个人大约需要化验2742次．18．现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误，设第n 次传球后，甲接到球的概率为n P ． (1)求0P ，1P ，2P 的值；(2)试用1n P -表示()*n P n N ∈，并求数列{}n P 的通项公式．【答案】(1)01P =，10P =，212P =(2)()1112n n P P -=-，1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【分析】（1）直接由题意求值即可.（2）由（1）得10P =，根据*n ∈N ，2n ≥时，第n 次传给甲的事件是第n 1-次传球后，球不在甲手上并且第n 次必传给甲的事件，进而有()1112n n P P -=-，然后变形借助等比数列的定义即可求出数列{}n P 的通项公式.【详解】（1）第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，则01P =，10P =， 接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，则212P =. 故：01P =，10P =，212P =. （2）第一次传球后，球落在乙或丙手中，则10P =，*n ∈N ，2n ≥时，第n 次传给甲的事件是第n 1-次传球后，球不在甲手上并且第n 次必传给甲的事件， 于是有()1112n n P P -=-，即1111323n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11133P -=-，公比为12-的等比数列， 则1111332n n P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．故：1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.19．高二A 班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务.已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米.单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元(其他成本忽略不计).根据前期调查，冰激凌球能全部售完.高二A 班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由. 【答案】合理，理由见解析【分析】根据条件先求圆柱和单球冰激凌的体积，再计算每个单球冰激凌的成本，最后比较.【详解】2212.5203125V R h πππ==⋅⋅=圆柱，33441252.5336V r πππ==⋅=球， 每个单球冰激凌的成本价为125296130019.6731253ππ⋅+=≈(元)，定价为15元，利润率约为55%，较为合理.【点睛】本题考查几何体的实际应用问题，重点考查读题能力，抽象概括能力，属于基础题型. 20．如图，等高的正三棱锥P-ABC 与圆锥SO 的底面都在平面M 上，且圆O 过点A ，又圆O 的直径AD ⊥BC ，垂足为E ，设圆锥SO 的底面半径为1，圆锥体积为33π．(1)求圆锥的侧面积；(2)求异面直线AB 与SD 所成角的大小；(3)若平行于平面M 的一个平面N 3P A 与底面ABC 所成角的大小．【答案】(1)2π；(2)3(3)3arctan 2 【分析】（1）利用圆锥体积可求得圆锥的高，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式可求得结果；（2）作//DF AB 交圆锥底面圆于点F ，则SDF ∠即为异面直线AB 与SD 所成角，在SDF ∆中，求解出三边长，利用余弦定理可求得cos SDF ∠，从而得到结果；（3）根据截面面积之比可得底面积之比，求得ABC S ∆，进而求得等边三角形的边长，利用正棱锥的特点可知若Q 为ABC ∆的中心，则PAQ ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成角，在Rt PAQ ∆中利用正切值求得结果.【详解】（1）设圆锥高为h ，母线长为l由圆锥体积得：21313h π⨯⨯= 3h ∴=132l ∴=+= ∴圆锥的侧面积：2S π=（2）作//DF AB 交圆锥底面圆于点F ，连接AF ，SF则SDF ∠即为异面直线AB 与SD 所成角 由题意知：126ADF EAB CAB π∠=∠=∠=，AF DF ⊥ 33DF AD ∴==2SD SF == 2222323cos 232SDF +-∴∠==⨯⨯ 3SDF ∴∠= 即异面直线AB 与SD 所成角为：3（3）平行于平面M 的一个平面N 33ABC O S S ∆∴=3ABC S ∆∴=又21sin 323ABC S AB π∆=⨯=AB 2∴=，即ABC ∆为边长为2的等边三角形 设Q 为ABC ∆的中心，连接PQ ，则22234133AQ AE ==-三棱锥-P ABC 为正三棱锥 PQ ∴⊥平面ABCPAQ ∴∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成角33tan 223PQ PAQ AQ ∴∠=== 3arctan 2PAQ ∴∠= 即侧棱PA 与底面ABC 所成角为：3arctan 2【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解、异面直线所成角的求解、直线与平面所成角的求解.解决立体几何中的角度问题的关键是能够通过平移找到异面直线所成角、通过找到直线在平面内的投影，得到线面角.21．同底的两个正三棱锥内接于半径为R 的球，它们的侧面与底面所成的角分别为12,.αα求：（1）侧面积的比；（2）体积的比；（3）角12αα+的最大值．【答案】（1）21cos :cos αα（2）12tan :tan αα（3）4arctan 3π- 【分析】分别计算出其侧面积，再计算比值．分别计算出其侧体积，再计算比值．根据tan x 在(0,)2π 单调递增，通过计算12tan()αα+的最大值，求出角12αα+的最大值． 【详解】解：（1）设O 为球心，1O 为正三棱锥底面ABC 所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P ,Q ,取BC 的中点D ,则,,PD BC AD BC ⊥⊥∴∠1PDO 是侧面与底面所成二面角的平面角， ∴∠1PDO 1α=，同理1QDO ∠=2α．11,cos DO PD α∴=12cos DO QD α=， 11133.22cos P ABC DO S BC PD BC α-∴=⋅⋅=⋅侧 1213322cos Q ABC DO S BC QD BC α-=⋅⋅=⋅侧． P ABC S -∴侧:Q ABC S -侧=21cos :cos αα．(2)111112tan ,tan PO DO QO DO αα=⋅=⋅,这两个三棱锥的底都是三角形ABC ∆，1112::tan :tan .P ABC Q ABC V V PO QO αα--∴==（3）设ABC ∆边长为a ,1OO h =,则1111tan ,PO R h DO DO α-== 1211tan ,QO R h DO DO α+==而111,33DO AD ===12.3AO AD ==222211,3R h AO a -== ()121122221212112tan tan 2tan 1tan tan 13RDO R R h a DO DO DO αααααα+∴+===----0.=< 12,2πααπ∴<+<当平面ABC 通过球心O 时，aR 时，12tan()αα+取最大值43-，这时12αα+也最大，最大值为4arctan 3π-. 【点睛】用已知数量表示所求量，再求比值．求角的最大值，可以根据单调性通过求其三角函数值的最值来求．。
2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市第一高二上学期12月月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市第一高二上册12月月考数学模拟试题一、单选题1．已知正三棱柱111A B C ABC -，M 为棱BC 上靠近点C 的三等分点，则1A M =（）A ．1111123AC CC C B -+ B ．111111122A C AB B B++C ．1111113A C CBC C++ D ．1111233A C ABC C++【正确答案】C【分析】根据空间向量的线性运算直接求解即可.【详解】1111111111111111133A M AC C M AC C C CM AC C C CB AC C B C C =+=++=++=++.故选：C.2．空间,,,A B C D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133=--PA PB xPC PD ，则实数x 的值为（）A ．43-B ．13-C ．13D ．43【正确答案】C【分析】先设AB mAC nAD =+，然后把向量AB ，AC ，AD 分别用向量PA ，PB ，PC ，PD 表示，再把向量PA 用向量PB ，PC ，PD 表示出，对照已知的系数相等即可求解．【详解】解：因为空间A ，B ，C ，D 四点共面，但任意三点不共线，则可设AB mAC nAD =+，又点P 在平面外，则()()PB PA m PC PA n PD PA -=-+- ，即(1)m n PA PB mPC nPD ++=-++，则1111m n PA PB PC PD m n m n m n -=+++-+-+- ，又5133=-- PA PB xPC PD ，所以15131113m n m x m n n m n -⎧=⎪+-⎪⎪=-⎨+-⎪⎪=-⎪+-⎩，解得15m n ==，13x =，故选：C ．3．若直线1l ：430x y --=与直线2l ：310x my -+=（m ∈R ）互相垂直，则m =（）A ．34B ．34-C ．12D ．12-【正确答案】B【分析】根据两直线垂直可得斜率之积为-1，即可求解.【详解】由题意得，当0m =时，直线2:310l x +=，与直线1l 不垂直，故0m ≠，直线1l 的斜率为14，直线2l 的斜率为3m，所以1314m⨯=-，解得34m =-，故选：B ．4．已知圆22:20C x y y +-=的最大值为（）A ．4B ．13C1+D．11+【正确答案】C.【详解】解：d ==，上式表示圆C 上的点(,)x y 到点(1,2)-的距离，因为圆22:(1)1C x y +-=，圆心(0,1)C ，半径1r =．显然1max d r =+=+．故选：C ．5．已知圆22:25C x y +=与直线():3400l x y m m -+=>相切，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为（）A ．22(3)(4)16x y ++-=B ．22(3)(4)25x y ++-=C ．22(6)(8)16x y ++-=D ．22(6)(8)25x y ++-=【正确答案】D【分析】利用圆与直线相切，求出m ，然后求出过圆C 圆心垂直于直线l 的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.【详解】由圆22:25C x y +=的圆心为原点O ，半径为5，又圆C 与直线l 相切，则O 到直线l 的距离为5d =，则5d ==，解得25m =，设过O 且与l 垂直的直线为0l ，则0l ：430x y +=，联立4303342504x y x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，得直线l 与0l 的交点为()3,4-，设圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为(),p n ，由中点公式有03620842p p nn +⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩所以圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为()6,8-，因此圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：22(6)(8)25x y ++-=，故选：D.6．命题甲：动点P 到两个定点,A B 的距离之和||||2(PA PB a +=常数0)a >；命题乙：P 点的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【正确答案】B【详解】由题意得，当动点P 到两个定点,A B 的距离之和2(PA PB a AB +=>常数0)a >时，点P 的轨迹为椭圆，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B ．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【正确答案】A【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2by a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.8．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A ．)+∞B ．C ．2⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．1,2⎛ ⎝⎭【正确答案】C设直线l ：()b y x c a =+，由2F 到l 的距离大于a ，得出b a 的范围，再由e =计算即可.【详解】设过1F 与渐近线by x a =平行的直线l 为()b y x c a=+，由题知2F 到直线l 的距离d a >，即2b a d =>=，可得12b a >，所以离心率2e =>.故选：C.本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式e 可使计算变得简便，属于中档题.二、多选题9．已知直线360x +-=，则该直线（）A ．过点(3,B ．斜率为C ．倾斜角为60︒D ．在x 轴上的截距为6-【正确答案】AB【分析】验证法判断选项A ；求得直线的斜率判断选项B ；求得直线的倾斜角判断选项C ；求得直线在x 轴上的截距判断选项D.【详解】对于A ，当3x =时，3360⨯-=，∴y =∴直线过点(3,，故A 正确；对于B ，由题意得，y =+B 正确；对于C ，∵直线的斜率为，∴直线的倾斜角为120︒，故C 错误；对于D ，当0y =时，2x =，∴该直线在x 轴上的截距为2，故D 错误．故选：AB ．10．已知圆221:(1)4O x y -+=，圆222:(5)4O x y m -+=，下列说法正确的是（）A ．若4m =，则圆1O 与圆2O 相交B ．若4m =，则圆1O 与圆2O 外离C ．若直线0x y -=与圆2O 相交，则258m >D ．若直线0x y -=与圆1O 相交于M ，N 两点，则||MN =【正确答案】AC【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.【详解】解：圆221:(1)4O x y -+=的圆心()11,0O ，半径12r =若4m =，222:(5)16O x y -+=，则圆心()25,0O ，半径24r =，则1212124,6,2O O r r r r =+=-=，所以112221O O r r r r -<<+，则圆1O 与圆2O 相交，故A 正确，B 错误；若直线0x y -=与圆2O 相交，则圆心()25,0O 到直线0x y -=的距离d =，解得258m >，故C 正确；若直线0x y -=与圆1O 相交于M ，N 两点，则圆心()11,0O 到直线0x y -=的距离2d ==，所以相交弦长MN ===，故D 错误.故选：AC.11．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥,1BC AB AD CD ===，2BC PA ==，记四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为,l BC 的中点为E ，则（）A ．l ∥BCB ．AB PC⊥C ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1【正确答案】ABD【分析】由AD BC ∕∕，可得BC ∕∕平面PAD ，再根据线面平行的性质即可证得l BC ∕∕，即可判断A ；对于B ，连接,AE AC ，证明AB AC ⊥，PA AB ⊥，即可得AB ⊥平面PAC ，再根据线面垂直的性质即可证得AB PC ⊥，即可判断B ；对于C ，如图以A 为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，判断法向量是否垂直，即可判断C ；对于D ，易得四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在过点E 且垂直于面ABCD 的直线上，求出半径，再利用向量法求出点O 到直线l 的距离，最后利用圆的弦长公式求出l 被球O 截得的弦长，即可判断D.【详解】解：对于A ，因为AD BC ∕∕，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∕∕平面PAD ，又因平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，所以l BC ∕∕，故A 正确；对于B ，连接,AE AC ，在等腰梯形ABCD 中，因为1AB AD CD ===，2BC =，BC 的中点为E ，所以四边形,ABED AECD 都是菱形，所以,AC DE AB DE ⊥∕∕，所以AB AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以PA AB ⊥，又PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC ，又因PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，故B 正确；对于C ，如图以A 为原点建立空间直角坐标系，则()110,0,2,,,22P D E ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()110,0,2,,,0,,,2,1,0,02222AP AD PD DE ⎛⎫⎛⎫==-=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PDE 的法向量()111,,m x y z = ，平面PAD 的法向量()222,,n x y z = ，则111112020m PD x z m DE x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⎪⋅==⎩，可取(0,m = ，同理可取)n =，因为40m n ⋅=≠，所以m 与n 不垂直，所以平面PDE 与平面PAD 不垂直，故C 错误；对于D ，由B 选项可知，EA EB EC ED ===，则点E 即为四边形ABCD 外接圆的圆心，故四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在过点E 且垂直于面ABCD 的直线上，设外接球的半径为R ，则OA OP R ==，则OA =所以R =，设OP 与l 所成的角为θ，点O 到直线l 的距离为d ，()()11,0,0,0,,,,122B C O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为l BC ∕∕，直线l的方向向量可取()BC =-，1,22OP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则cos ,4BC OP =-，所以sin 4θ=，所以sin 2d OP θ==，所以l 被球O 截得的弦长为1=，故D 正确.故选：ABD.12．如图所示，抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点(),0M p 的直线1l ，2l 与E 分别相交于()11,A x y ，()22,B x y 和C ，D 两点，直线AD 经过点F ，当直线AB 垂直于x 轴时，3AF =．下列结论正确的是（）A ．E 的方程为24y x =B ．1212y y =-C ．若AD ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =D ．若AD ，BC 的倾斜角分别为α，β，则()tan αβ-2【正确答案】AD【分析】根据抛物线定义表示AF ，由条件列方程求p 可得抛物线方程，判断A ，设AB 的方程为2x ty =+，利用设而不求法求12y y ，判断B ，设()()3344,,,C x y B x y ，利用设而不求法求34y y ，根据直线AD 经过点F ，确定14,y y 的关系，利用1y 表示12,k k ，判断C ，讨论α，结合12,k k 关系利用基本不等式求()tan αβ-的最值即可判断D.【详解】当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x p =，所以点A 的横坐标为p ，所以2pAF p =+，又3AF =，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =，A 正确；所以()2,0M ，若直线AB 的斜率为0，则直线AB 与抛物线只有一个交点，以已知矛盾，故可设直线AB 的方程为2x ty =+，联立242y x x ty ⎧=⎨=+⎩，化简可得2480y ty --=，方程2480y ty --=的判别式216320t ∆=+>，由已知12,y y 为方程2480y ty --=的两根，所以12124,8y y t y y +==-，211168,B y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 错误；同理可设CD 的方程为2x ny =+，联立242y x x ny ⎧=⎨=+⎩，化简可得2480y ny --=，方程2480y ny --=的判别式216320n ∆=+>，设()()3344,,,C D x y y x 所以34344,8y y n y y +==-，244168,C y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线AD 的斜率存在，则11x ≠，41x ≠，2241y y ≠，因为直线AD 经过点F ，所以1411411y yk x x ==--，所以()()1441144y y y y y y -=-，因为14y y ≠，所以144y y =-，所以4114214224188116162y y y y k y y y y -+==-+-，所以11122114414y y k y y ==--，1221112244y k y y y ==--，所以122k k =，C 错误；因为AD ，BC 的倾斜角分别为α，β，当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，因为122k k =，所以tan 2tan αβ=，所以()2tan tan tan 01tan n tan 12tan ta ααββαβββ-==<++-，当π2α=时，()()1,2,1,2A D -，()4,4B -，()4,4C 所以π2β=，此时()tan 0αβ-=，当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为122k k =，所以tan 2tan αβ=，所以()2tan tan tan 111tan tan 12tan 2ta t n n an ta αββαββββαβ-===+-++所以()t 2an 11tan tan αβββ≤-=+当且仅当tan 2β=，tan α时等号成立，即1k =所以()tan αβ-的最大值为4，D 正确；故选：AD.(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．三、填空题13．一个圆经过椭圆2219y x +=的三个顶点，且圆心在y 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______.【正确答案】2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【分析】设出圆心与半径，根据过椭圆的上顶点、左右顶点，由半径相等列方程求解.【详解】由2219y x +=及圆心位置知：圆经过椭圆的上顶点坐标为()0,3，左右顶点坐标为()1,0±，设圆的圆心()0,a ，半径为r ，则()22213r a a +==-，解得43a =，53r =，故圆的方程为2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故答案为.2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭14．若抛物线2y mx =的准线与直线1x =间的距离为3，则抛物线的方程为______.【正确答案】216y x =-或28y x=【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线2y mx =的准线为4m x =-，则134m --=，解得16m =-或8m =，故抛物线的方程为216y x =-或28y x =.故216y x =-或28y x =.15．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为.【正确答案】32【详解】由双曲线22179x y -=得右焦点为()40，即为抛物线22y px =的焦点，∴42p =，解得8p =．∴抛物线的方程为216y x =．其准线方程为()440x K =-∴-，，．过点A 作AM ⊥准线，垂足为点M ．则AM AF =．∴AK AM =．∴45MAK ∠=︒．∴KF AF =．∴221183222AKF S KF ==⨯= ．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点Q 是侧棱PD 的中点，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，当空间四边形PMND 的周长最小时，点Q 到平面PMN 的距离为______．【分析】平面PAB 沿AB 展开到与平面ABCD 共面，当点P ，M ，N 和D ¢共线时周长最小，计算得到1AM =，4NC =，2BN =，建立空间直角坐标系，计算平面PMN的法向量为()2,1,1n =- ，根据距离公式计算得到答案.【详解】要使得空间四边形PMND 周长最小，只需将平面PAB 沿AB 展开到与平面ABCD 共面，延长DC 至D ¢，使得2DC CD '==，于是点N 在线段DD '的垂直平分线上，所以ND ND '=，因为PD 为定值，故当点P ，M ，N 和D ¢共线时，空间四边形PMND 的周长最小，易得PAM NCD PDD '' △△△，即得PA NC PD AM CD DD ==''，即226222NC AM +==+，所以1AM =，4NC =，642BN =-=，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()002P ,,，()0,6,0D ，由题意可得()1,0,0M ，()2,2,0N ，()0,3,1Q ，则()1,0,2PM =- ，()2,2,2PN =- ，设(),,n x y z =r 是平面PMN 的一个法向量，则00n PM n PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.即得202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，令1z =，得2x =，1y =-，()2,1,1n =- ，()0,3,1PQ =- ，所以点Q 到平面PMN的距离3n PQ d n ⋅== ．四、解答题17．已知Rt ABC 的顶点(8,5)A ，直角顶点为(3,8)B ，顶点C 在y 轴上；(1)求顶点C 的坐标；(2)求Rt ABC 外接圆的方程．【正确答案】(1)(0,3)(2)22(4)(4)17x y -+-=【分析】（1）设点C 坐标，然后根据AB BC ⊥列方程，解方程即可得到点C 坐标；（2）根据直角三角形外接圆的特点，得到圆心坐标和半径，然后写方程即可.【详解】（1）设点()0,C m ，由题意：1AB BC k k ⋅=-，853385AB k -==--，所以85033BC m k -==-，解得3m =，所以点()0,3C .（2）因为Rt ABC △的斜边AC 的中点为圆心，所以圆心的坐标为()4,4，r =所以圆心的方程为()()224417x y -+-=.18．已知：双曲线:C 221169x y -=.（1）求双曲线C 的焦点坐标、顶点坐标、离心率；（2）若一条双曲线与已知双曲线C 有相同的渐近线，且经过点3)A -，求该双曲线的方程.【正确答案】(1)焦点()5,0±，顶点()4,0±，离心率54e =；(2)224194y x -=【分析】（1）由双曲线:C 221169x y -=可得：4,3a b ==，从而求得：5c =，问题得解．（2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ，将()3A -代入即可求得λ，问题得解．【详解】 双曲线:C 221169x y -=，所以4,3a b ==，∴5c ==，∴双曲线C 的焦点坐标()5,0-，()5,0，顶点坐标()4,0-，()4,0，离心率54c e a ==．（2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ，将()3A -代入上式得：(()223169λ--=，解得：14λ=-∴所求双曲线的方程为：224194y x -=．（1）主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双曲线方程为：22221x y a b-=()0,0a b >>则与它共共渐近线的双曲线方程可设为：2222x y a bλ-=，属于基础题．19．已知正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,D D B B 的中点.（1）求证；1,,,A E C F 四点共面；（2）求二面角11A EB C --的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出1 A E ，FC 坐标得1A E FC =uuu r uu u r ，从而得四边形1A ECF 为平行四边形即可证明；（2）分别求出平面11A EB 与平面1EB C 的法向量m 和n ，利用向量法求解二面角的公式cos ,m n m n m n⋅<>= 即可求解.【详解】解：如图建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体的边长为2，（1）因为()10,2,2A ，()0,0,1E ，()2,0,0C ，()2,2,1F ，所以()10,2,1A E =-- ，()0,2,1FC =-- ，所以1A E FC =uuu r uu u r ，所以1//A E FC ，且1A E FC =，所以四边形1A ECF 为平行四边形，所以1,,,A E C F 四点共面；（2）()12,2,2B ，设平面11A EB 的法向量分别为(),,m x y z = ，则11100m A E m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x --=⎧⎨=⎩，取1y =得()0,1,2m =- ，同理可得，平面1EB C 的法向量()1,2,2n =- ，所以cos ,5m n m n m n⋅<>==- ，由图可知，二面角为钝角，所以二面角11A EB C --的余弦值为.20．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB DC ，2PA AD DC AB ===，点E 在棱PC上，BE 平面PAD ．(1)证明：BE PD ⊥；(2)若90PDC ∠= ，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）过E 作DC 的平行线交PD 于点F ，结合线面平行的性质得BE AF ∥，可得E ，F 分别为PC ，PA 的中点，结合AP AD =得AF PD ⊥，又BE AF ∥即可证得BE PD ⊥；（2）由已知条件证得AB ⊥面PAD ，得AB AD ⊥．建空间直角坐标系，求出面PBD 的法向量，然后利用向量夹角公式求得结果.【详解】（1）过E 作DC 的平行线交PD 于点F ，连接AF ，又AB DC ，则EF AB ∥，则,,,B E F A 四点共面，∵BE 面PAD ，BE ⊂面BEFA ，面BEFA ⋂面PAD AF =，∴BE AF ∥，故BEFA 为平行四边形，从而12EF AB DC ==，∴E ，F 分别为PC ，PA 的中点，又AP AD =，∴AF PD ⊥，又BE AF ∥，∴BE PD ⊥．（2）因为DC PD ⊥，AB DC ，所以AB PD ⊥，由PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，得PA AB ⊥，又PA PD P = ，,PA PD ⊂面PAD ，所以AB ⊥面PAD ，又AD ⊂面PAD ，所以AB AD ⊥．所以，以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴建空间直角坐标系，设1AB =，则有()()()()()()0,0,0,1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,1,1A B C D P E ．所以()1,2,0BD =- ，()1,0,2BP =- ，设面PBD 的法向量为(),,n x y z =r ，则2020n BD x y n BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令2x =，所以()2,1,1n = ．又有()0,1,1BE = ，记α为BE 与平面PBD 所成角，则sin cos ,BE n BE n BE nα⋅==== 所以BE 与平面PBD21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，且点(2,1)A 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，直线MN 不与y 轴平行，证明：直线MN 的斜率k 为定值.【正确答案】(1)22133y x -=(2)直线MN 的斜率k 为定值12-【分析】(1)根据离心率公式确定c =，再根据双曲线经过点(2,1)A 即可求解；(2)利用韦达定理用坐标表示出0AM AN ⋅= ,进而可求解.【详解】（1）由题可得离心率c a=c =，又因为222c a b =+，所以22a b =，所以双曲线方程为22221x y a a-=，又因为双曲线过点(2,1)A ，所以22411a a-=，解得23a =，所以双曲线方程为22133y x -=.（2）设直线MN 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，联立22133y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2221230k x kmx m ----=，则210k -≠得21k ≠，()()2222Δ44130k m k m =+-+>，得2233m k >-，212122223,11km m x x x x k k --+==--，()21212222222,11k m m y y k x x m m k k +=++=+=--()()()222212121212231m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=-，因为AM AN ⊥，所以0AM AN ⋅= ，所以1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，即121212122()4()10x x x x y y y y -+++-++=，所以222222234324101111m km m k m k k k k -----++++=----，所以21240km k m ---=即()()12210k m k --+=，得120k m --=或210k +=，若120k m --=，则直线MN 的方程为12y kx k =+-，即1(2)y k x -=-过点(2,1)A ，不符合题意，若210k +=，则12k =-，满足AM AN ⊥，综上直线MN 的斜率k 为定值12-.22．已知抛物线C ：()220y px p =>，点(2,A 在抛物线上.(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)若直线1l ：()20x my m =+≠交抛物线C 于M ､N 两点，交直线2l ：2x =-于点P ，记直线AM ，AP ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，2k ，3k 成等差数列.【正确答案】(1)焦点坐标为()1,0，准线方程为=1x -(2)证明见解析【分析】（1）将点(2,A 的坐标代入抛物线方程中求出p ，从而可求出焦点坐标和准线方程；（2）两直线方程联立求出点P 的坐标，设()11,M x y ，()22,N x y ，再将直线1l 方程代入抛物线方程中，消去x ，利用根与系数的关系，再结合斜率公式化简证明【详解】（1）将(2,A 代入()220y px p =>，得2p =，所以焦点坐标为()1,0，准线方程为=1x -.（2）由22x my x =+⎧⎨=-⎩得.42,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭设()11,M x y ，()22,N x y ，由242y x x my ⎧=⎨=+⎩得：2480y my --=，则121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，所以((12211213121222y y y y y y k k x x my y -+---+=--)12121222y y y y my y m-+==又241222m k m --==+--，所以222k m =+，所以1322k k k +=，即1k ，2k ，3k 成等差数列.。
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（ ） A ．51 B ．42 C ．39 D ．36【答案】D【分析】先进行单循环赛，6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后3个班再进行单循环赛，分别求出所需比赛场次，即可得出答案. 【详解】先进行单循环赛，有245C =30场，胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛， 6支球队打3场，决出最后胜出的三个班， 最后3个班再进行单循环赛，由23C =3场. 所以共打了30+3+3=36场. 故选：D.2．“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据焦点在x 轴上的椭圆求出m ，再根据充分性，必要性的概念得答案.【详解】由方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆得：220m m >+>， 解得21m -<<-或m>2， 由充分性，必要性的概念知，“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的充分不必要条件.故选：A.合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y a bx =+中，2b =，1x =，3y =，则1a =；④通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量2χ越大，说明两个分类变量相关程度越大，命题①正确；对于命题②，由kx y ce =，两边取自然对数，可得ln ln y c kx =+，令ln z y =，得ln z kx c =+，0.34z x =+，所以ln 40.3c k =⎧⎨=⎩，则40.3c e k ⎧=⎨=⎩，命题②正确；对于命题③，回归直线方程y a bx =+中，3211a y bx =-=-⨯=，命题③正确；对于命题④，通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可估计和预测变量的取值和变化趋势，命题④错误.故选C.【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推理能力，属于中等题.4．()823x y z ++的展开式中，共有多少项？（ ） A ．45 B ．36 C ．28 D ．21【答案】A【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.【详解】解：当()823x y z ++展开式的项只含有1个字母时，有3项，当()823x y z ++展开式的项只含有2个字母时，有2137C C 21=项,当()823x y z ++展开式的项含有3个字母时，有27C 21=项,所以()823x y z ++的展开式共有45项； 故选：A.5．已知()52232x x --21001210a a x a x a x =++++，则0110a a a ++=（ ）【答案】A【分析】首先令0x =，这样可以求出0a 的值，然后把2232x x --因式分解，这样可以变成两个二项式的乘积的形式，利用两个二项式的通项公式，就可以求出110a a 、的会下，最后可以计算出0110a a a ++的值.【详解】令0x =，由已知等式可得：50=232a =，()55552[(12)(2)]2((2)3122)x x x x x x =-+=-⋅+--，设5(12)x -的通项公式为：51551(2)(2)rrr r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为：0155555(2)2C C C --⋅⋅、、；设5(2)x +的通项公式为：5512r r r r T C x -+=⋅⋅‘’‘’‘，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为： 4501555522C C C ⋅⋅、、，0115401555522)(2240,a C C C C =⋅⋅⋅=-⋅⋅+-5551055(2)32a C C =-⋅⋅=-，所以01103224032240a a a ++=--=-，故本题选A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，正确求出通项公式是解题的关键.6．平行四边形ABCD 内接于椭圆22221x y a b +=()0a b >>AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（ ）A ．1-4B ．1-2C ．D ．-1【答案】A【分析】利用对称关系转化为中点弦问题即可求解. 【详解】22222223331,,,2444c c a b b a a a a -=∴==∴=， 设112233(,),(,),(,),A x y B x y D x y设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以//OE AB ,所以1OE k =, 因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，所以22112222332211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2131321313OE AD y y y y b k k a x x x x +--=⋅=⋅+-, 所以22114AD b k a ⨯=-=-，即14AD k =-.故选:A.7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e ⋅+的取值范围是A ．()1,+∞B ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义，椭圆和双曲线的离心率，平面几何分析方法，值域的求法.由于椭圆和双曲线有公共点，那么公共点既满足椭圆的定义，也满足上曲线的定义，根据已知条件有22PF c =，利用定义列出两个离心率的表达式，根据题意求121e e ⋅+的表达式，表达式分母还有二次函数含有参数，根据三角形两边和大于第三边，求出c 的取值范围，进而求得121e e ⋅+的取值范围.【详解】设椭圆方程为()222221122111x y a b c a b +=-=，双曲线方程为()222221122111x y a b c a b -=+=，由椭圆和双曲线的几何性质可得，1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，依题意可知22PF c =，110PF =，代入可得，125,5a c a c =+=-.故2122212251112525c c c e e a a c c ⋅+=⋅+=+=--，三角形两边的和大于第三边，故5410,2c c >>，120,0a a >>，故5c <故22223745402554252525c c c <⇒<⇒<-><-. 故选：B.【点睛】（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a +=，得到a ，c 的关系．（2）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a -=，得到a ，c 的关系．8．已知A ，B ，C ，D 是椭圆E ：22143x y +=上四个不同的点，且()1,1M 是线段AB ，CD 的交点，且3AM CM BMDM==，若l AC ⊥，则直线l 的斜率为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．2【答案】C【分析】设出点的坐标()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由3AMBM=得到3AM MB =，列出方程，得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，分别把()()1122,,,A x y B x y 代入椭圆，得到()()111122143x y -+-=，同理得到()()331122143x y -+-=，两式相减得到34AC k =-，利用直线垂直斜率的关系求出直线l 的斜率. 【详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为3AM BM =，故3AM MB =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，则12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()()1122,,,A x y B x y 都在椭圆上，故2211143x y +=，且()()22119114443x y -+-=， 两式相减得：()()1181142442443x y -⨯+-⨯=，即()()111122143x y -+-=①， 同理可得：()()11221x y -+-=②，②－①得：()()131311043x x y y -+-=， 所以131334ACy y k x x -==--， 因为l AC ⊥，所以直线l 的斜率为143AC k -=. 故选：C【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.二、多选题9．已知两点(5,0),(5,0)M N -，若直线上存在点P ，使||||6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”．下列直线中为“B 型直线”的是（ ） A ．1y x =+ B ．2y = C ．43y x =D ．2y x =【答案】AB【解析】首先根据题意，结合双曲线的定义，可得满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支；进而可得其方程，若该直线为“B 型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，依次分析4条直线与双曲线的右支是否相交，可得答案．【详解】解：根据题意，满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支； 则其中焦点坐标为(5,0)M -和(5,0)N ，即5c =，3a =， 可得4b =；故双曲线的方程为221916x y -=，(0)x > 双曲线的渐近线方程为43y x =±∴直线43y x =与双曲线没有公共点， 直线2y x =经过点(0,0)斜率43k >，与双曲线也没有公共点 而直线1y x =+、与直线2y =都与双曲线221916x y-=，(0)x >有交点 因此，在1y x =+与2y =上存在点P 使||||6PM PN -=，满足B 型直线的条件 只有AB 正确 故选：AB ．10．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以12,A A 表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．12,A A 两两互斥B ．()22|3P B A = C ．事件B 与事件2A 相互独立 D ．()914P B =【答案】AD【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次取一球，所以12,A A 是两两互斥的事件，故A 项正确； 因为()()1212P A P A ==，()()()2225|7P BA P B A P A ==，故B 项错误； 又()()()1114|7P BA P B A P A ==，所以()()()1214159272714P B P BA P BA =+=⨯+⨯=，故D 项正确.从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B 与事件2A 不相互独立，故C 项错误. 故选：AD11．已知抛物线E ：2y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点41,116P ⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过E 上的点()11,A x y 反射后，再经E 上的另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ） A ．12116x x =B ．54AB =C ．ABP QBP ∠=∠D ．延长AO 交E 的准线于点C 则存在实数λ使得CB CQ λ= 【答案】ACD【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线AB 经过抛物线的焦点，直线2l 平行于x 轴，由此可求出点,A B 的坐标，判断各选项的真假．【详解】如图所示：因为141,1,16P l ⎛⎫ ⎪⎝⎭过点P 且1//l x 轴,故(1,1)A ,故直线101:1414AF y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭- 化简得4133y x =-,由24133y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 并化简得231044y y --=,即1214y y =-,()21212116x x y y ==，故A 正确；又11y =, 故214y =-,B 11,164⎛⎫- ⎪⎝⎭,故121125116216AB x x p =++=++=,故B 错误；因为412511616AP AB =-==，故APB △为等腰三角形，所以ABP APB ∠=∠,而12l l //,故PBQ APB ∠=∠,即ABP PBQ ∠=∠，故C 正确；直线:AO y x =,由14y xx =⎧⎪⎨=-⎪⎩得11,,44C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故C B y y =,所以,,C B Q 三点共线,故D 正确．故选：ACD ． 12．已知当随机变量()2,XN μσ时，随机变量X Z μσ-=也服从正态分布．若()2,,X X N Z μμσσ-~=，则下列结论正确的是（ ）A ．()0,1ZNB ．()12(1)P X P Z μσ-<=-<C ．当μ减小，σ增大时，(2)P X μσ-<不变D ．当,μσ都增大时，(3)P X μσ-<增大 【答案】AC【分析】根据正态分布与标准正态分布的关系以及正态分布的性质及特点可判断各选项正误. 【详解】对任意正态分布()2,X N μσ，X Z μσ-=服从标准正态分布()0,1ZN 可知A 正确，由于X Z μ-=，结合正态分布的对称性可得()(1)12(1)P X P Z P Z μσ-<=<=->，可知B 错误，已知正态分布()2,X N μσ，对于给定的*N k ∈，()P X k μσ-<是一个只与k 有关的定值，所以C正确，D 错误. 故选：AC.三、填空题 13．设()2,XB p ，若()519P X ≥=，则p =_________ .【答案】13【分析】由二项分布的概率公式()()1n kk kn P X k p p -==-C ，代入()()()112P X P X P X ≥==+=可得结果. 【详解】()2,XB p ,()()()()()0122222112C 1+C 12P X P X P X p p p p p p ∴≥==+==--=-,2529p p ∴-=，解得：13p ∴=或53p =(舍去)故答案为：13.14．已知()35P A =，()12P B A =，()23P B A =，则()P B =______. 【答案】1330【分析】根据已知条件结合全概率公式求解即可 【详解】因为()35P A =，所以32()1()155P A P A =-=-=， 因为()23P B A =，所以()()211133P B A P B A =-=-=， 所以由全概率公式可得()()()()()P B P B A P A P B A P A =+ 131213253530=⨯+⨯=, 故答案为：133015．现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是______. 【答案】2##0.4.【分析】先计算出男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻的总情况，再按照古典概型计算概率即可.【详解】3位男生和3位女生共6位同学站成一排共有66A 种不同排法，其中男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻有2322233422A (A A 6A A )-种不同排法，因此所求概率为232223342266A (A A 6A A )2=.A 5- 故答案为：25.16．关于曲线C ：22111x y +=，有如下结论： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线0x y ±=对称； ③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=无公共点； 其中所有正确结论的序号为_________. 【答案】①②④【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确. 【详解】对于①，将方程中的x 换为x -，y 换为y -，得()()222211111x y x y +=+=--，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x 换为y 或y -，y 换为x 或x -，得()()2222221111111y x x y y x +=+=+=--，所以曲线C 关于直线0x y ±=对称，故②正确； 对于③，由22111x y +=得221110y x=-≥，即21x ≥，同理21y ≥，显然曲线C 不是封闭图形，故③错误；对于④，由③知曲线C 不是封闭图形，联立22221112x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去2y ，得42220x x -+=，令2t x =，则上式转化为2220t t -+=，由()224240∆=--⨯=-<可知方程无解，因此曲线C 与圆222x y +=无公共点，故④正确. 故答案为：①②④.四、解答题17．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，___________. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)4352T x =和74254T x =(2)51T x =，4352T x =，35516T x =【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项. （2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项. 【详解】（1）二项展开式的通项公式为：211C C ,0,1,2,,2rr r rr n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，∴()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-(舍去)，∴5n =.若选②，则由题得()221111C 22141C 22n n nn n n n n n n ----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴5n =， 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52rr r rr r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.当52rZ -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为:51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭.18．已知圆()22:()(21)4C x a y a a -+-+=∈R ，定点()1,2M -.(1)过点M 作圆C 的切线，切点是A ，若线段MA C 的标准方程；(2)过点M 且斜率为1的直线l ，若圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，求a 的取值范围. 【答案】(1)22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=(2)(4【分析】（1）由题可知，圆心(),21C a a -，2r =，由勾股定理有222MC MA r =+，根据两点间距离公式计算即可求出a 的值，进而得出圆的方程；（2）因为圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，圆C 的半径为2，因此需圆心C 到直线l 的距离小于1，设直线l 的方程为：()211y x -=+，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）解：由题可知，圆心(),21C a a -，2r =由勾股定理有222MC MA r =+，则222(1)(23)225a a ++-=+= 即2510150a a --=，解得：3a =或1a =-，所以圆C 的标准方程为：22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=. （2）解：设直线l 的方程为：()211y x -=+，即30x y -+=， 由题，只需圆心C 到直线l 的距离小于1即可，所以1d =<，所以4a -44a <所以a 的取值范围为(4.19．某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，125E ζ=，②240 【解析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可（2）代入公式计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为123205p ==，332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计 155202220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. ①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株， 所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3.其中24353(2)5C P C ξ===， 34352(3)5C P C ξ===ξ的分布列为： ξ2 3 P3525所以321223555E ξ=⨯+⨯=. ②332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【点睛】考查完成22⨯列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题. 20．安排5个大学生到,,A B C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的． （1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．【答案】（1）;（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）5个大学生去三所学校支教，共有种方法，若恰有2人去A 校支教，那就从5人中先选2人，去A 大学，然后剩下的3人去B 和C 大学支教，有种方法，最后根据古典概型求概率；（2）根据题意，，表示5人都去了同一所大学支教，表示5人去了其中2所大学支教，那可以将5人分组，分为4和1，或是3和2，然后再分配到2所大学，计算概率，表示5人去了3所大学支教，那分组为113，或是122型，再将三组分配到三所大学，计算概率，最后列分布列.试题解析：（1）5个大学生到三所学校支教的所有可能为53243=种，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ，则有352280C ⋅=种，∴80()243P M =． 答：5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率80243． （2）由题得：1,2,3ξ=，15ξ=⇒人去同一所学校，有133C =种，∴ 31(1)24381P ξ===， 25ξ=⇒人去两所学校，即分为4,1或3,2有24323552()90C C C A ⋅+⋅=种，∴ 903010(2)2438127P ξ====， 35ξ=⇒人去三所学校，即分为3,1,1或2，2,1有312235253311()1502!2!C C C C A ⋅⋅⋅⋅+⋅= 种，∴15050(3)24381P ξ===． ∴ 的分布列为【解析】1.排列组合；2.离散型随机变量的分布列.21．已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于,A B 两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆Γ上存在点C 使得||||AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】(1)3 (2)32(3):1l x =、:0l y =或3:1l x y =+【分析】（1）根据直线垂直x 轴，可得,A B 坐标，进而可求线段长度.（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解.【详解】（1）因为(1,0)F ，令1x =，得21143y +=，所以32y =±，所以||3AB = （2）设直线:1(0)l x my m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设210,0y y ><，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=， 2144(1)m ∆=+，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ()2221122221212169434434m y y y y y m m m y --⎛⎫- ⎪++-+-==+⎝⎭2211112122AOBm SOF y y +=⋅-=21m t +=，则1t ≥，2661313AOB t S t t t==++△，记1()3h t t t =+，可得1()3h t t t=+在[)1,+∞上单调递增所以211322AOBSOF y y =⋅-≤当且仅当0m =时取到， 即AOB 面积的最大值为32；（3）①当直线l 不与x 轴重合时，设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为M ．由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 因为ABC 的重心G 在y 轴上，所以120C x x x ++=， 所以121228()234C x x x m y y m -=--=-+-=+，又()12122242234M m y y x x x m +++===+，1223234M y y my m +-==+， 因为||||AC BC =，所以CM AB ⊥ ,故直线:()M M CM y y m x x -=--，所以29()34C M C M m y y m x x m =--=+，从而2289,3434m C m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 代入22143x y +=得22(31)0m m -=，所以0,m =:1l x =或:1l x y =+．② 当直线l 与x 轴重合时，点C 位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时:0l y =． 综上，:1l x =，:0l y =或:1l x y =+． 22．已知双曲线2222:100x y C a b a b-=>>（，），1F 、2F 分别是它的左、右焦点，(1,0)A -是其左顶点，且双曲线的离心率为2e =．设过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P Q 、两点，其中点P 位于第一象限内． (1)求双曲线的方程；(2)若直线AP AQ 、分别与直线12x =交于M N 、两点，证明22MF NF ⋅为定值； (3)是否存在常数λ，使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2213y x -= (2)证明见解析 (3)存在，2【分析】（1）根据题意可得1a =，2ce a==，即可求解,b c 的值，进而得到双曲线方程； （2）设直线l 的方程及点,P Q 的坐标，直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，得到1212,y y y y +的值，进而得到点,M N 的坐标，计算22MF NF ⋅的值即可；（3）在直线斜率不存在的特殊情况下易得2λ=，再证明222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，将角度问题转化为斜率问题，即222tan 21PAPAk PAF k ∠=-，22tan PF AF P k ∠=-，即可求解=2λ. 【详解】（1）解：由题可知：1a = ∵2ce a==，∴c ＝2 ∵222+=a b c ，∴b = ∴双曲线C 的方程为：2213y x -=（2）证明：设直线l 的方程为：2x ty =+，另设：()11,P x y ，()22,Q x y ，∴()2222131129032y x t y ty x ty ⎧⎪⎨⎪-=⇒-++==+⎩， ∴121222129,3131t y y y y t t -+==--，又直线AP 的方程为()1111y y x x =++，代入()11311,2221y x M x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, 同理，直线AQ 的方程为()2211y y x x =++，代入()22311,2221y x N x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, ∴()()1222123333,,,221221y y MF NF x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴()()()()()12121222212121212999999441144334439y y y y y y MF NF x x ty ty t y y t y y ⋅=+=+=+++++⎡⎤+++⎣⎦2222999993109124444393131t t t t t t ⨯-=+=-=-⎛⎫⨯+⨯+ ⎪--⎝⎭,故22MF NF ⋅为定值.（3）解：当直线l 的方程为2x =时，解得(2,3)P ， 易知此时2AF P △为等腰直角三角形，其中22,24AF P PAF ππ∠=∠=，即222AF P PAF ∠=∠，也即：=2λ，下证：222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，121112222212112122tan 212(1)tan 21tan 1(1)1()1PAPAy PAF k x y x PAF y PAF k x y x ⨯∠++∠====-∠-+--+，∵()222211111313y x y x -=⇒=-，∴()()()()()()11111222121112121tan 22122131y x y x y PAF x x x x x ++∠===--+--+--，∴21221tan tan 22PF y AF P k PAF x ∠=-=-=∠-， ∴结合正切函数在0,,22πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的图像可知，222AF P PAF ∠=∠，。
(完整版)高二数学12月月考试题文
最新中小学教育资源平遥二中高二年级12 月月考数学试题（文科）一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1、以下命题中，既是真命题又是特称命题的是A．存在一个α，使 tan(90 °－α) ＝ tan αB．存在实数x0，使sinx 0＝C．对全部α， sin(180 D． sin( α －β) ＝ sin °－α ) ＝ sin ααcos β －cos α sin β2、已知平面，直线，知足m ， n ，则“∥”是“∥”的A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件3、若P 2，1 为圆x225 的弦 AB 的中点，则直线AB 的方程是1y2A．x y 3 0 B．x y 3 0 C．x y 3 0 D．x y 3 04、已知双曲线x2y2 1 (a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、a2 b2N两点， O是坐标原点．若OM⊥ ON，则双曲线的离心率为A．12B．1 3 C．1 5 D．1 72 2 2 25、对于命题“若数列{an} 是等比数列，则a n 0 ”，以下说法正确的选项是A．它的抗命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题6、若命题“ p 或 q”为真，“非 p”为真，则A. p 真 q 真 B．p 假 q 真 C． p 真 q 假 D． p 假 q 假7、抛物线y 210x 的焦点到准线的距离是A．5B．15C.D．2 28、以下四个命题①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相垂直.此中错误 的命题有．．A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个9、一个与球心距离为1 的平面截球所得的圆面积为，则球的表面积为A. 82B.C.4 2D.10、方程 x 2ky 22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是（）A ． (0, )B . （ 0， 2）C. （ 0，1）D.（ 1，+∞）11、圆： x 2y 2 2 x 2 y1 0上的点到直线 x y2 的距离最大值是A. 2B. 12C. 12D.1 2 2212、设椭圆 x2y21 和双曲线x 2y 21 的公共焦点为 F 1 , F2 ，是两曲线的一个公共623点，则 cos F 1PF 2 的值等于A.1 B.1C. 1D. 3349 5二、填空题：（此题共 4 小题，每题5 分，共 20 分）13、若一个底面为正三角形、 侧棱与底面垂直的棱柱的三视图以以下图所示， 则这个棱柱的侧面积为。
高二数学12月月考试题 理 试题_1(共10页)
2021-2021学年(xuénián)高二数学12月月考试题理一．选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．如图是根据x，y的观测数据〔x i，y i〕〔i＝1，2，…，10〕得到的点图，由这些点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的图〔〕A．①②B．①④C．②③D．③④2．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4＜0〞的否认为〔〕A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∃x0∈R，x02﹣2x0+4≥0C．∀x∉R，x02﹣2x0+4≥0D．∃x0∉R，x02﹣2x0+4≥03．顶点在原点，焦点是〔0，3〕的抛物线的方程是〔〕A．y2＝12x B．x2＝12y C．D．4．为了理解某次数学竞赛中1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为100的样本，那么每名学生成绩人样的时机是〔〕A．B．C．D．5．阅读程序框图，假如输出的函数值在区间内，那么输入的实数x的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2] D．[2，+∞〕6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，那么(nà me)恰好选中2名女生的概率为〔〕A．B．C．D．7．假设直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+〔a﹣1〕y+5＝0垂直，那么实数a的值是〔〕A．B．1 C．D．28．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为根据可以估计椭圆的面积为〔〕9．两平行直线2x+y﹣1＝0与2x+y+3＝0间的间隔为〔〕A．B．C．D．10．圆与圆的位置关系是〔〕A．外离B．相交C．外切D．内切11．三棱锥A﹣BCD中，，假设该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，那么此球的体积为〔〕A．B．24πC．D．6π12．直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，假设，那么该椭圆的离心率是〔〕A．B．C．D．二．填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．圆与圆．求两圆公一共弦所在直线的方程．14．如图，矩形O'A'B'C'是程度放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中(qízhōng)O'A'＝6，C'D'＝2，那么原图形面积是．15．如下图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，那么以下结论中正确的选项是．①EF∥平面ABCD；②△AEF的面积与与△BEF的面积相等③平面ACF⊥平面BEF；④三棱锥E﹣ABF的体积为定值；16．如图，己知椭圆C：+＝1〔a＞b＞0〕的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点〔不在坐标轴上〕，Q是∠F1PF2的平分线与x轴的交点，假设|QF2|＝2|OQ|，那么椭圆离心率的范围是．三．解答题〔一共6小题，一共70分〕17．(本小题满分是10分〕命题P：关于x的方程x2+〔m﹣3〕x+m＝0的一个根大于1，另一个根小于1．命题q：∃x∈〔﹣1，1〕，使x2﹣x﹣m＝0成立，命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆〔1〕假设命题s为真，务实数m的取值范围；〔2〕假设p∨q为真，￢q为真，务实数m的取值范围．18．〔本小题满分是12分〕某需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩〔分〕80 85 71 92 87乙的成绩〔分〕90 76 75 92 82〔1〕假设从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为(rènwéi)选谁适宜？请说明理由．〔2〕假设数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，假设答对，那么可参加复赛，否那么被淘汰．方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，假设至少答对其中2道，那么可参加复赛，否那么被润汰．学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由．19．〔本小题满分是12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，∠ABC＝60°，E是BC中点，假设H为PD上的点，AH＝．〔1〕求证：EH∥平面PAB；〔2〕求三棱锥P﹣ABH的体积．20．〔本小题满分是12分〕1．点A〔1，1〕，B〔﹣1，3〕．〔1〕求以AB为直径的圆C的方程；〔2〕假设直线x﹣my+1＝0被圆C截得的弦长为，求m值．21．〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F一共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°．〔1〕假设平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；〔2〕问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，假设存在，求出此时三棱锥G﹣ABE与三棱锥G﹣ADF的体积之比．22．〔本小题满分是12分〕椭圆C：＝1〔a＞b＞0〕，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．〔1〕求椭圆C的HY方程；〔2〕假设在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与椭圆C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标．数学〔理〕试卷答案1-6：B B B A B C 7-12：A C D B C A11、解：三棱锥A﹣BCD中，，∴该三棱锥是由长方体的面对角线构成(gòuchéng)〔如图〕设长方体的棱长分别为a，b，c，那么a2+b2＝5，b2+c2＝4，a2+c2＝3，那么该三棱锥的四个顶点所在球面的半径R＝＝．V=＝．选：C．12、解：由，取y＝0，得x＝﹣，取x＝0，得y＝1，∴F〔，0〕，C〔0，1〕，设A〔x0，y0〕，那么，，由，得，∴，即，即A 〔〕．把A的坐标代入椭圆，可得，即．又b2＝a2﹣3，解得，又c2＝3，∴，∴e＝．应选：A．13、x﹣y﹣1＝0 14、24．15、解：①在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1∥BD，且BD⊂平面ABCD，B1D1∉平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故①正确；②点A到EF的间隔大于BB1，∴△AEF的面积与与△BEF的面积不相等，故②错；③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，BB1⊥AC，∴AC⊥面BB1D1D，又面BB1D1D与面BEF是同一面，AC⊂面ACF，∴平面ACF⊥平面BEF，故③正确；④△BEF 中，EF＝，EF边上的高BB1＝1，∴△BEF的面积为定值，∵AC⊥面BDD1B1，∴AO⊥面BDD1B1，∴AO为三棱锥A﹣BEF底面BEF上的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积是一个定值，故④正确；答案为：①③④．16、解：∵|QF2|＝2|OQ|，∴|QF2|＝，|QF1|＝，∵PQ是∠F1PF2的角平分线，∴，那么(nà me)|PF1|＝2|PF2|，由|PF1|+|PF2|＝3|PF2|＝2a，得|PF2|＝，由a﹣c，可得e＝＞，由0＜e＜1，∴椭圆离心率的范围是〔，1〕．17、解：〔1〕命题s为真时，即命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆为真；∴4﹣m＞m＞0，∴0＜m＜2；故命题s为真时，实数m的取值范围为：〔0，2〕；（2）当命题p为真时，f〔x〕＝x2+〔m﹣3〕x+m满足f〔1〕＜0，即2m﹣2＜0，所以m＜1．命题q为真时，方程m＝x2﹣x在〔﹣1，1〕有解，当x∈〔﹣1，1〕时，x2﹣x∈[，2〕，那么m∈[，2〕，由于p∨q为真，￢q为真；所以q为假，p为真；那么，得；∴m＜；故p∨q为真，￢q为真时，实数m的取值范围为〔﹣∞，〕．18、解：〔1〕解法一：甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，甲的成绩方差，乙的成绩方差为，由于，，乙的成绩较稳定，派乙参赛比拟适宜，乙适宜．解法二：派甲参赛比拟适宜，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上〔含85分〕的概率，乙获得8〔5分〕以上〔含85分〕的概率．因P1＞P2派甲参赛比拟适宜，〔2〕5道备选题中学生乙会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F．方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a，b，c，E，F一共5种，抽中会的备选题的结果有a，b，c，一共3种．所以学生乙可参加复赛的概率．方案二：学生甲从5道备选题中任意(rènyì)抽出3道的结果有：〔a，b，c〕，〔a，b，E〕，〔a，b，F〕，〔a，c，E〕，〔a，c，F〕，〔a，E，F〕，〔b，c，E〕，〔b，c，F〕，〔b，E，F〕，〔c，E，F〕，一共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：〔a，b，c〕，〔a，b，E〕，〔a，b，F〕，〔a，c，E〕，〔a，c，F〕，〔b，c，E〕，〔b，c，F〕一共7种，所以学生乙可参加复赛的概率因为P1＜P2，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大．19、解：〔1〕证明：∵PA＝AD＝2，AH＝，∴H为PD的中点，取PA的中点M，连结HM，MB，那么HM AD，BD，∴HM BD，∴四边形DHMB是平行四边形，∴EH∥BM，又EH⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，∴EH∥平面PAB．（3）解：由〔1〕可知，EH∥平面PAB，（4）∴三棱锥P﹣ABH的体积：V P﹣ABH＝V H﹣PAB＝V E﹣PAB＝V P﹣ABE＝＝＝．∴三棱锥P﹣ABH的体积为．20、解：〔1〕根据题意，点A〔1，1〕，B〔﹣1，3〕，那么线段AB的中点为〔0，2〕，即C的坐标为〔0，2〕；圆C是以线段AB为直径的圆，那么其半径r＝|AB|＝＝，圆C的方程为x2+〔y﹣2〕2＝2，〔2〕根据题意，假设直线x﹣my+1＝0被圆C截得的弦长为，那么(nà me)点C到直线x﹣my+1＝0的间隔d＝＝，又由d＝，那么有＝，变形可得：7m2﹣8m+1＝0，解可得m＝1或者．21、解：〔1〕证明：∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，∴BC⊥平面AEBF，又∵AF⊂平面AEBF，∴BC⊥AF．∵∠AFB＝90°，即AF⊥BF，且BC、BF⊂平面BCF，BC∩BF＝B，∴AF⊥平面BCF．又∵AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面BCF．〔2〕解：∵BC∥AD，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，∴∠FAB＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，又AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF，∵BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面ADF．延长EB到点H，使得BH＝AF，又BC AD，连CH、HF，由题意能证明ABHF是平行四边形，∴HF AB CD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF．过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，〔DF⊂平面CDF〕∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点．又BE＝＝2AF＝2BH，∴EG＝，又S△ABE＝2S△AEF，V G﹣ABE＝＝＝＝＝，故＝．22、解：〔1〕由题意可得：a﹣b＝，＝，a2＝b2+c2．联立解得：a＝2，c＝1，b ＝∴椭圆C的HY方程为：+＝1．〔2〕设M〔t，0〕，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕．①当直线(zhíxiàn)l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x＝my+t．联立，化为：〔3m2+4〕y2+6mty+3t2﹣12＝0．△＝48〔3m2﹣t2+4〕＞0．∴y1+y2＝﹣，y1y2＝．|PM|2＝+＝〔1+m2〕，同理可得：|PQ|2＝〔1+m2〕．∴＝＝＝•＝．∵为定值，∴必然有3t2+12＝16﹣4t2，解得t＝．此时＝为定值，M〔，0〕．②当直线l的斜率为0时，设P〔2，0〕，Q〔﹣2，0〕．|PM|＝|t+2|，|QM|＝|2﹣t|．此时＝+＝，把t2＝代入可得：＝为定值．综上①②可得：＝为定值，M〔，0〕．内容总结（1）2021-2021学年高二数学12月月考试题理一．选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．如图是根据x，y的观测数据〔xi，yi〕〔i＝1，2，。
高二数学12月月考试卷 理含解析 试题(共21页)
田阳高中(gāozhōng)2021-2021学年高二12月月考数学〔理〕试题一、选择题：〔一共12题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的〕1.抛物线的准线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线方程即为，故准线方程为选A．2.某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为理解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进展调查，那么样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 100,10B. 200,10C. 100,20D. 200,20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【详解(xiánɡ jiě)】由图1得样本容量为〔3500+2000+4500〕×2%＝10000×2%＝200，抽取的高中生人数为2000×2%＝40人，那么近视人数为40×0.5＝20人，应选：D．【点睛】此题主要考察分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此题的关键．转化为十进制数为〔〕A. 524B. 774C. 256D. 260【答案】B【解析】试题分析：∵．应选B．考点：排序问题与算法的多样性.4.一组数据的平均数是，方差是，假设将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数和方差分别是〔〕A. B. 55.2， C. D.【答案】D【解析】【分析】首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上以后，再表示出新数据的平均数和方差的公式，两局部进展比拟，即可得到结果.【详解】设这组数据分别为，由其平均数为，方差是，那么有，方差，假设将这组数据(shùjù)中每一个数据都加上，那么数据为，那么其平均数为，方差为，应选D.【点睛】此题主要考察了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能.5.以下结论错误的选项是( )A. 命题“假设p，那么q〞与命题“假设非q，那么非p〞互为逆否命题B. 对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有C. 命题“直棱柱的每个侧面都是矩形〞为真D. “假设am2<bm2，那么a<b〞的逆命题为真【答案】D【解析】【分析】写出命题“假设p，那么q〞的逆否命题判断A，通过四种命题的关系和真假判断，即可判断B，由直棱柱的性质可知C成立．命题“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题为“假设a＜b，那么am2＜bm2”，当m＝0时，该命题为假来判断D．【详解】命题“假设p，那么q〞的逆否命题为：“假设非q，那么非p〞，故A正确；一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，互为逆否命题的命题有2对，根据互为逆否命题的两个命题真假性一样，∴这四个命题中真命题个数为0、2或者4，故B正确；由直棱柱的性质可知，直棱柱每个侧面都是矩形，故C成立；命题(mìng tí)“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题为“假设a＜b，那么am2＜bm2”，很显然当m＝0时，该命题为假．故D不成立．应选：D．【点睛】此题考察命题的真假判断与应用，考察四种命题间的互相关系，考察了直棱柱的性质，属于综合题.6.是椭圆上一点，为椭圆的两焦点，且，那么面积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由椭圆的HY方程可得：c＝4，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10，再根据余弦定理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，再联立两个方程求出t1t2＝12，进而结合三角形的面积公式求出三角形的面积．【详解】由椭圆的HY方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝〔2c〕2＝64，整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2＝100，③所以(suǒyǐ)③﹣②得t1t2＝12，∴∠F1PF2＝3．应选A．【点睛】此题考察椭圆的几何性质与椭圆的定义，考察理解三角形的有关知识点，以及考察学生的根本运算才能与运算技巧，属于中档题．7. 如下图，程序框图〔算法流程图〕的输出结果是〔〕A. 34B. 55C. 78D. 89【答案】B【解析】试题分析：由题意，①②③④⑤⑥⑦⑧，从而输出，应选B.考点：1.程序框图的应用.【此处有视频，请去附件查看】8.双曲线过点〔，4〕，那么它的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】利用条件求出a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．【详解】双曲线过点〔，4〕，可得，可得a＝4，那么该双曲线的渐近线方程为：．应选：A．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，考察计算才能．9.如图，长方体中，，，分别是的中点，那么异面直线与所成角为〔〕A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】D【解析】如图：连接B1G，EG∵E，G分别(fēnbié)是DD1，CC1的中点，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形，∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角在三角形B1GF中，B1G=∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴异面直线A1E与GF所成角为90°，应选 D10.两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，假如两人出发是各自HY的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，那么他们两人在约定时间是内相见的概率为〔〕．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设事件A为“甲乙两人能会面〞，求出试验包含的所有事件，并且事件对应的集合表示的面积是s＝1，再求出满足条件的事件，并且得到事件对应的集合表示的面积是，进而根据几何概率模型的计算公式可得答案．【详解】由题意知此题是一个几何概型，设事件A为“甲乙两人能会面〞，试验包含的所有事件是Ω＝{〔x，y〕|}，并且事件对应的集合表示的面积是s＝1，满足条件的事件(shìjiàn)是A＝{〔x，y〕|，|x﹣y|}所以事件对应的集合表示的面积是1﹣2，根据几何概型概率公式得到P．那么两人在约定时间是内能相见的概率是．应选：B．【点睛】此题考察了几何概型的定义与概率计算公式，而几何概率模型一般通过事件的长度、面积或者者体积之比来求事件发生的概率，此题属于中档题，11.直线过椭圆：的左焦点和上顶点，与圆心在原点的圆交于两点，假设，那么椭圆离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质结合求出直线的斜率，再根据的坐标得出直线的斜率，从而得出的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解(xiánɡ jiě)】椭圆的焦点在轴上，,，故直线的方程为，即，直线〔即〕的斜率为，过作的垂线，那么为的中点，，，是的中点，直线的斜率，，不妨令，那么，椭圆的离心率，应选D.【点睛】此题主要考察直线的斜率、圆的性质以及椭圆的离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考察中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.与抛物线相交于两点,公一共弦恰好过它们的公一共焦点,那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】B【解析】试题分析：由抛物线和双曲线的对称性可知垂直与轴．因为过焦点,那么可令．因为抛物线和双曲线一共焦点,那么,所以,将代入双曲线方程可得,那么,将代入上式并整理可得,即,解得,因为,所以．故B正确．考点：1抛物线的定义;2双曲线的离心率．二．填空题：〔每一小题5分，一共20分〕13.假设向量=〔4, 2，-4〕,=〔6, -3，2〕,那么_____________【答案】4【解析】【分析】由坐标运算可得2和2的坐标，进而可得其数量积．【详解】∵〔4，2，﹣4〕，〔6，﹣3，2〕，由向量的坐标运算可得22〔4，2，﹣4〕-〔6，﹣3，2〕＝〔2，7，﹣10〕，2〔4，2，﹣4〕+2〔6，﹣3，2〕＝〔16，-4，0〕∴6×2﹣4×7﹣0×〔﹣10〕＝4【点睛】此题考察空间向量的数量积的坐标运算，属于根底题．14.命题p:，,假设“非p〞为真命题，m的取值范围为____________【答案(dá àn)】【解析】【分析】由题意知， x2+mx+20恒成立，即，即可得到结果.【详解】由题意知，命题p:，为假，即x2+mx+20恒成立，即，所以<0，得到，故答案为.【点睛】此题考察命题的真假的判断与应用，考察转化思想以及计算才能．15.过原点的直线与圆相交于A、B两点，那么弦AB中点M的轨迹方程为_____________【答案】【解析】【分析】根据圆的特殊性，设圆心为C，那么有CM⊥AB，当斜率存在时，k CM k AB＝﹣1，斜率不存在时加以验证．【详解】设圆x2+y2﹣6x+5＝0的圆心为C，那么C的坐标是〔3，0〕，由题意，CM⊥AB，①当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠3，x≠0时，那么有k CM k AB＝﹣1，∴〔x≠3，x≠0〕，化简得x2+y2﹣3x＝0〔x≠3，x≠0〕，②当x＝3时，y＝0，点〔3，0〕合适题意，③当x＝0时，y＝0，点〔0，0〕不合适题意，解方程组得x，y，∴点M的轨迹(guǐjì)方程是x2+y2﹣3x＝0〔〕．故答案为【点睛】此题主要考察轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，防止增解．16.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A〔-1,1〕的间隔与点P到直线x= - 1的间隔之和的最小值为M，假设B〔3,2〕，记|PB|+|PF|的最小值为N，那么M+N= ______________【答案】【解析】【分析】当P、A、F三点一共线时，点P到点A〔-1,1〕的间隔与点P到直线x= - 1间隔之和最小，由两点间的间隔公式可得M；当P、B、F三点一共线时，|PB|+|PF|最小，由点到直线的间隔公式可得．【详解】可得抛物线y2＝4x的焦点F〔1，0〕，准线方程为x＝﹣1，∴点P到点A〔﹣1，1〕的间隔与点P到直线x＝﹣1的间隔之和等于P到点A〔﹣1，1〕的间隔与点P到焦点F的间隔之和，当P、A、F三点一共线时，间隔之和最小，且M=|AF|，由两点间的间隔公式可得M=|AF|；由抛物线的定义可知|PF|等于P到准线x＝﹣1的间隔，故|PB|+|PF|等于|PB|与P到准线x＝﹣1的间隔之和，可知(kě zhī)当P、B、F三点一共线时，间隔之和最小，最小间隔 N为3﹣〔﹣1〕＝4,所以M+N=，故答案为.【点睛】此题考察抛物线的定义，涉及点到点、点到线的间隔，利用好抛物线的定义是解决问题的关键，属于中档题．三．解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.p:,q:,假设p是q的充分不必要条件，务实数的取值范围【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法分别求出命题p和q，由p是q的充分不必要条件，可知p⇒q，从而求出a的范围.【详解】解得，解得：，假设p是q的充分不必要条件，那么，∴，解得：【点睛】此题考察充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的解法，是一道根底题；18.对某校高一年级学生参加(cānjiā)社区效劳次数进展统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区效劳的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15〕10[15，20〕25 n[20，25〕m p[25，30〕 2合计M 1〔1〕求出表中M，p及图中a的值；〔2〕假设该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区效劳的次数在区间[15，20〕内的人数；〔3〕在所取样本中，从参加社区效劳的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有根本领件，并求至多1人参加社区效劳次数在区间[20，25〕内的概率．【答案】〔1〕0.125；〔2〕5；〔3〕【解析】【分析(fēnxī)】〔1〕由频率=，能求出表中M、p及图中a的值．〔2〕由频数与频率的统计表和频率分布直方图能求出参加社区效劳的平均次数．〔3〕在样本中，处于[20，25〕内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于[25，30]内的人数为2，可分别记为a，b，由此利用列举法能求出至少1人参加社区效劳次数在区间[20，25〕内的概率．【详解】〔1〕由分组[10，15〕内的频数是10，频率是知，，所以M=40．因为频数之和为40，所以．因为a是对应分组[15，20〕的频率与组距的商，所以．〔2〕因为该校高三学生有360人，分组[15，20〕内的频率是0.625，所以估计该校高三学生参加社区效劳的次数在此区间内的人数为360×0.625=225人．〔3〕这个样本参加社区效劳的次数不少于20次的学生一共有3+2=5人设在区间[20，25〕内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30〕内的人为{b1，b2}．那么任选2人一共有〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a1，b1〕，〔a1，b2〕，〔a2，a3〕，〔a2，b1〕，〔a2，b2〕，〔a3，b1〕，〔a3，b2〕，〔b1，b2〕10种情况，〔9分〕而两人都在[20，25〕内一共有〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a2，a3〕3种情况，至多一人参加社区效劳次数在区间[20，25〕内的概率为．【点睛】此题考察频率分布表和频率分布直方图的应用，考察概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.直线与双曲线．〔1〕当时，直线与双曲线的一渐近线交于点，求点到另一渐近线的间隔；〔2〕假设直线与双曲线交于两点，假设，求的值．【答案】〔1〕；〔2〕或者.【解析(jiě xī)】【分析】〔1〕写出双曲线渐近线方程，渐近线方程与直线方程联立可求得，利用点到直线间隔公式即可得结果；〔2〕直接联立直线与双曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点的横坐标的和与积，由弦长公式列方程求解即可.【详解】〔1〕双曲线渐近线方程为由得那么到的间隔为；〔2〕联立方程组，消去得直线与双曲线有两个交点，，解得且，〔且〕.，解得，或者，.【点睛】此题主要考察双曲线的渐近线方程、点到直线间隔公式以及弦长公式的应用，属于中档题.求曲线的弦长的方法：〔1〕利用弦长公式；〔2〕利用；〔3〕假如交点坐标可以求出，利用两点间间隔公式求解即可.20.某种产品(chǎnpǐn)的广告费用支出〔万元〕与销售额〔万元〕之间有如下的对应数据：2 4 5 6 830 40 60 50 70〔1〕求回归直线方程；〔2〕据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕根据所给的数据先做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出a的值，得到线性回归方程；〔2〕根据所给的变量的值，把值代入线性回归方程，得到对应的的值，这里的的值是一个预报值.试题解析：〔1〕求回归直线方程，，，，∴因此回归直线方程为；〔2〕当时，预报的值是万元，即广告费用为12万元时，销售收入的值大约是万元.21.如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EB//PA,AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点.〔1〕求证(qiúzhèng)AF PC〔2〕BD//平面PEC〔3〕求二面角D-PC-E的大小【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3〕150°.【解析】【分析】〔1〕依题意，PA⊥平面ABCD．以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥PC．〔2〕取PC的中点M，连接EM．推导出BD∥EM，由此能证明BD∥平面PEC．〔3〕由AF⊥PD，AF⊥PC，得AF⊥平面PCD，求出平面PCD的一个法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣PC﹣E的大小．【详解】〔1〕依题意，平面ABCD，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。
上海市曹杨第二中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题(含答案解析)
上海市曹杨第二中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．两条相交直线的夹角的取值范围是________2．直线2310x y +-=的一个法向量为__________.3．向量()1,0,1a =r ，(),1,2b x = ，且3a b ⋅= ，则向量b 在a 上的投影向量的坐标为______．4．已知直线过点()1,5P ，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_____________.5．设αβ､是两个不同的平面，直线m α⊂，则“m β ”是“αβ∥”的__________条件.6．若空间中三点()1,5,2A 、()2,4,1B 、(),3,C m n 共线，则m n +=__________.7．若直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:620l x ay ++=平行，则=a ___________．8．已知一个圆锥的母线长为2，底面圆的周长为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为_____.9．正三棱柱1111,2,ABC A B C AB AA D -==为ABC 内（包括边界）的动点，则11A DB △的面积的取值范围是__________.10．下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是________．11．如图，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD △是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，则三棱锥A BMN -的体积是__________．12．已知函数()()131f x a x b =+++，若关于x 的方程()0f x =在[]6,12上有解，则22a b +的取值范围是__________.二、单选题13．在空间直角坐标系中，点()6,6,6A -关于xOz 平面对称点的坐标是（）A ．()6,6,6-B ．()6,6,6C ．()6,6,6-D ．()6,6,6--14．已知定点.()1,0P .和直线l ：()()133620x y λλλ++--+=，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为（）ABC D ．15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，八个顶点按红蓝间隔染色，使得每条棱上的两个顶点各不同色，则由红色顶点连成的四面体与蓝色顶点连成的四面体的公共部分的体积为（）A ．12B ．14C ．16D ．1816．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是122⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭；②存在点P 使得1//PQ 平面β；③存在点P 使得12PQ PQ ^.其中，所有正确结论的序号是A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②三、解答题17．若直线l 经过()()21,4,2,3A x B x +两点，斜率为k ，倾斜角为α.(1)用x 分别表示直线l 的斜率k 和倾斜角α；(2)求α的取值范围.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，12AB BC CC ===.(1)求异面直线AC 和1BC 所成角的大小；(2)求点1B 到平面11A BC 的距离.19．已知ABC 的顶点()4,2A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为30x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y +-=.求(1)顶点C 的坐标；(2)求点B 到直线AC 的距离.20．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面,BCD O 是BD 的中点，AB AD =.OCD 是边长为1的等边三角形，E 在射线DA 上.(1)证明：OA CD ⊥；(2)若2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求二面角A BC D --的大小；(3)若1AO =，求直线CE 与平面BCD 所成角的正弦的最大值.21．过点()2,1P 的直线l 分别交()0y x x =≥与()0y x x =-≥于A B ､两点.(1)若直线l 的倾斜角为π4，求直线l 的一般式方程.(2)当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程；(3)已知O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，讨论这样的直线l 的条数.参考答案：1．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】根据两条相交直线的夹角的概念即得.【详解】两条相交直线的夹角的取值范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.2．()2,3(答案不唯一)【分析】根据直线的法向量的求法写出一个即可.【详解】解:由题知直线2310x y +-=的一个方向向量为()3,2-,故该直线的一个法向量可为:()2,3.故答案为:()2,3(答案不唯一)3．33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】向量b 在a 上的投影向量为||||a b a a a ⋅ ，利用公式求解.【详解】因为向量()1,0,1a =r ，(),1,2b x = ，且3a b ⋅= ，所以()()1,0,1,1,220x x ⋅=+=，解得2x =-，所以()2,1,2b =- ，所以333(1,0,1)()222||||a b a a a ⋅== ,则向量b 在a 上的投影向量的坐标为33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.4．60x y +-=或50x y -=【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x y a +=，把已知点坐标代入即可求出a 的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y kx =，把已知点的坐标代入即可求出k 的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【详解】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x y a +=，把(1,5)代入所设的方程得：6a =，则所求直线的方程为6x y +=即60x y +-=；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y kx =，把(1,5)代入所求的方程得：5k =，则所求直线的方程为5y x =即50x y -=．综上，所求直线的方程为：60x y +-=或50x y -=．故答案为：60x y +-=或50x y -=【点睛】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．5．必要非充分【分析】当m α⊂，m β 时，得到αβ∥或,αβ相交；当m α⊂，αβ∥时，得到m β ，得到答案.【详解】当m α⊂，m β 时，得到αβ∥或,αβ相交；当m α⊂，αβ∥时，得到m β .故“m β ”是“αβ∥”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分6．3【分析】A 、B 、C 三点共线，则AB AC ∥ ，求出AB 与AC 的坐标，用空间向量共线的坐标表示进行运算即可.【详解】∵()1,5,2A 、()2,4,1B 、(),3,C m n 三点共线，∴AB AC ∥ ，即AC AB λ= ，()1,1,1AB =-- ，()1,2,2AC m n =--- ∴()()()1,2,21,1,1,,m n λλλλ---=--=--∴122m n λλλ-=⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得230m n λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3m n +=.故答案为：3.7．3【分析】根据两条直线平行的充要条件即可求解.【详解】解：因为直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:620l x ay ++=平行，所以()()()1611261a a a ⎧-⨯=⨯⎪⎨-⨯≠⨯-⎪⎩，解得3a =，故答案为：3.8．2【分析】先求底面圆的半径，判断出母线夹角的范围，利用截面三角形面积公式求最值即可．【详解】底面圆的周长为23π，圆锥的母线长为2，过圆锥顶点的截面面积1S 222sin α=⨯⨯⨯，所以，当截面中的两圆锥母线夹角为2π时，截面面积最大为2【点睛】本题是易错题，先求出面积的函数表达式进而判断最大值，学生容易误认为垂直截面为面积的最大值．9．⎡⎣.【分析】D 在平面111A B C 的投影为1D ，连接1DD ，过1D 作111D H A B ⊥于H ，连接HD ，证明11A B HD ⊥，11A DB S =△，计算得到范围.【详解】如图所示：D 在平面111A B C 的投影为1D ，连接1DD ，过1D 作111D H A B ⊥于H ，连接HD ，1DD ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，故111DD A B ⊥，111D H A B ⊥，111D H DD D = ，11,D H DD ⊂平面1DD H ，故11A B ⊥平面1DD H ，HD ⊂平面1DD H ，故11A B HD ⊥，111112A DB S A B HD =⨯=△当D 在AB 上时，10HD =，11A DB △的面积最小，为2；当D 和C 重合时，1HD =11A DB △；所以11A DB △的面积的取值范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣10．①④【分析】证明AB 所在的平面与平面MNP 平行可判断①；若下底面中心为O ，连接NO ，可得//NO AB 可判断②；由AB ⋂面PMN B =可判断③；证明//AB NP 可判断④，进而可得正确答案.【详解】在①中：如图：因为,,M N P 分别为其所在棱的中点，所以//MN AC ，//NP BC ，因为MN ⊄面ABC ，AC ⊂面ABC ，所以//MN 面ABC ，同理可得//PN 面ABC ，因为MN NP N ⋂=，所以面//ABC 面MNP ，因为AB ⊂面ABC ，所以//AB 平面MNP ，故①成立；在②中，若下底面中心为O ，连接NO ，可得//NO AB ，NO ⋂面MNP N =，所以AB 与平面MNP 不平行，故②不成立；在③中：如图：平面PMN 即为平面PNBC ，因为AB ⋂面PNBC B =，所以AB 与面MNP 不平行，故③不成立；在④中：如图：//AC BD 且AC BD =，所以四边形ACDB 是平行四边形，可得//AB CD ，因为//NP CD ，所以//AB NP ，因为AB ⊄面MNP ，NP ⊂面MNP ，所以所以//AB 平面MNP ，故④成立．故答案为：①④.113【分析】2AB R =，BC R =，AC =，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，ABC AMB ∆∽，45AM AC =，类似有45AN AD =，24(5A BMN AMN A BCD ABCV S V S -∆-∆==，由此能求出三棱锥A BMN -的体积．【详解】2AB R = ，BC R =，AC =，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，BAM BAC ∴∠=∠，90AMB ABC ∠=∠=︒，ABC AMB ∴∆∆∽，∴AB AC AM AB =，AM R ∴，∴45AM AC =，类似有45AN AD =，∴2416()525A BMN AMN A BCD ABC V S V S -∆-∆===，∴三棱锥A BMN -的体积：231612253A BMN V R R -=⨯⨯⨯=．3R．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查球、三棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据()0f x =得到310xa b x +++=，故222a b +≥，根据函数的单调性计算最值得到答案.【详解】()()131310f x a x b xa b x =+++=+++=，转化为关于,a b 的直线方程，其中[]6,12x ∈，22a b +表示直线上一点到原点距离的平方，所以()2222222421199x x x a b x x -+++≥==+++，设4x t -=，[]6,12x ∈，则[]2,8t ∈，()()222422111259498x t y x t t t -=+=+++++++，函数()25g t t t=+在[]2,5t ∈上单调递减，在(]5,8上单调递增，故()()(){}max 298929max 2,8max ,282g t g g ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，249125458y t t=+≥++，所以22a b +的取值范围为49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭13．B【分析】根据点的对称直接求解.【详解】在空间直角坐标系中，点()6,6,6A -关于xOz 平面对称点的坐标是()6,6,6.故选：B 14．C【分析】确定直线过定点()0,2A ，故点()1,0P 到直线l 的距离的最大值为d PA =，计算得到答案.【详解】直线()():133620l x y λλλ++--+=，整理得()()32360x y x y λ-+++-=，由320360x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，故直线过定点()0,2A故点()1,0P 到直线l 的距离的最大值为d PA ==故选：C 15．C【分析】画出几何体，找到多面体，根据棱锥体积计算公式，即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：多面体EFGHMN 即为四面体11D ACB -与四面体11A DBC -的公共部分，其中,,,,,E F G H M N 均为各个面的中心，且平面FGHM //面ABCD ，EN ⊥面FGHM ，故2EFGHMN E FGHM V V -=，又四边形FGHM 的面积与其投影在底面ABCD 所得四边形1111F G H M 的面积相等，如下所示：故四边形FGHM 的面积111122S =⨯⨯=，又点E 到平面FGHM 的距离为12，故1111223226EFGHMN E FGHM V V -==⨯⨯⨯=.故选：C.16．D【解析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴，又1PE C D ⊥ ，1AD C D D = ，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=，同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦.以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =，01a << ，则111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，212PQ ⎡=⎢⎣⎭，命题①正确；对于命题②，2CQ β⊥ ，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=-⎝⎭ ，110,,2a PQ a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令211130424a a a CQ PQ --⋅=-== ，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ -⎛⎫=- ⎝⎭ ，令()12211042a a a PQ PQ --⋅=+= ，整理得24310a a -+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ^，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.17．(1)243k x x =-+，()2arctan 43x x α=-+或()2πarctan 43x x α=--+-(2)π3π0,π24α⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】（1）计算243k x x =-+，根据0k ≥和0k <两种情况得到倾斜角.（2）2243(2)11k x x x =-+=--≥-，得到倾斜角范围.【详解】（1）22344321x x k x x +-==-+-，当1x ≤或3x ≥时，0k ≥，()2arctan 43x x α=-+；当13x <<时，0k <，()2πarctan 43x x α=--+-；（2）2243(2)11k x x x =-+=--≥-，所以π3π0,π24α⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.18．(1)arccos 4【分析】（1）作辅助线找到异面直线AC 和1BC 所成角，利用余弦定理进行求解；（2）结合第一问的求解结果，利用等体积法求解点1B 到平面11A BC 的距离.【详解】（1）连接1BC ，1BA ，因为AC ∥11A C ，所以异面直线AC 和1BC 所成角即为11A C 与1BC 所成角，即11BC A ∠，因为120ABC ∠=︒，12AB BC CC ===，所以由余弦定理可得：222cos 1202AC AB BC AB BC =+-⋅∠︒=，所以11AC =，由勾股定理得：11BC A B ==所以11cosBC A ∠设异面直线AC 和1BC 所成角为θ，则θ=.（2）由（1）可知：111122sin1202A B C S =⨯⨯⨯︒= 故11111111122333B A BC A B C V S BB -=⋅=⨯= ，又11cos BC A ∠=11sin BC A ∠=111111111sin 22BC A S BC A C BC A =⨯⨯⨯∠=⨯ ，设点1B 到平面11A BC 的距离为h ，则11111111133BC A B BC A B A B C S h V V --⋅=== ，解得：5h =，点1B 到平面11A BC 的距离为.19．(1)()3,0C【分析】（1）首先设出C 点坐标，代入CM 的直线方程，再利用AC 边上的高BH ，建立斜率之积为-1的关系式，再解方程组，即可求得坐标.（2）先设B 点坐标，代入BH 所在直线方程，再利用AB 中点满足CM 所在直线方程，得到方程组，解出B 点坐标,再利用点线距离公式，即可求解.【详解】（1）解：设(),C m n ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为30x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y +-=.∴3021142m n n m --=⎧⎪-⎨⎛⎫⨯-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩，解得30m n =⎧⎨=⎩∴()3,0C （2）设(),B a b ，则220423022a b a b +-=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得10323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴102,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭2AC k =， ()4,2A ∴直线AC 的方程为260x y --=∴点B 到直线AC的距离15d ==20．(1)证明见解析(2)arctan 2【分析】（1）证明AO ⊥平面BCD 得到答案.（2）确定EGF ∠为二面角E BC D --的平面角，根据角度计算1AO =，再确定AMO ∠为二面角A BC D --的平面角，计算得到答案.（3）过点E 作EF BD ⊥于F ，连接FC ，确定ECF ∠为直线CE 与平面BCD 所成角，sin ECF ∠=.【详解】（1）AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，故AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，所以AO CD⊥（2）过E 作EF BD ⊥，交BD 于点F ，过F 作FG BC ⊥于点G ，连结EG，由题意得//EF AO ，又AO ⊥平面BCD ，故EF ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，所以EF BC ⊥，又,BC FG FG EF F ⊥⋂=，,FG EF Ì平面EFG ，故BC ⊥平面EFG ，又EG ⊂平面EFG ，所以BC EG ⊥，则EGF ∠为二面角E BC D --的平面角，即45EGF ∠=︒，又1====CD DO OB OC ，所以120BOC ∠=︒，则30OCB OBC ∠=∠=︒，故90BCD ∠=︒，所以//FG CD ，因为23===DE DF EF AD OD AO ，则312,,233AO EF OF DF ===，所以23BF GF BD CD ==，则23GF =，23==EF GF ，321==AO EF ，过点O 作OM BC ⊥与M ，连接AM ，AO ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，故AO BC ⊥，又OM BC ⊥，OM AO O = ，,OM AO ⊂平面OMA ，故BC ⊥平面OMA ，AM ⊂平面OMA ，故BC AM ⊥，故AMO ∠为二面角A BC D --的平面角，1122MO CD ==，tan 2AOAMO OM∠==，故arctan 2AMO ∠=，即二面角A BC D --的大小为arctan 2（3）如图所示：过点E 作EF BD ⊥于F ，连接FC ，则//EF AO ，又AO ⊥平面BCD ，故EF ⊥平面BCD ，ECF ∠为直线CE 与平面BCD 所成角，设()0EF a a =≥，1AO OD ==，AOD △为等腰直角三角形，故DF a =，在CFD △中，22222cos 1FC DF DC DF DC FDC a a =+-⋅⋅∠=-+，所以222221EC FC EF a a =+=-+，则sin EFECF EC∠====当2a =时，sin ECF ∠最大为721．(1)10x y --=(2)2x =(3)答案见解析【分析】（1）直接根据点斜式得到答案.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，计算交点坐标得到2631PA PB k =+-，得到最值和直线方程.（3）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，计算()22211k S k -=-，得到()24410S k k S --++=，()43S S ∆=-，讨论得到答案.【详解】（1）若直线l 的倾斜角为π4，则直线l 的方程为()112y x -=-，即10x y --=；（2）法一：当直线l 的斜率不存在时，3PA PB =；当直线l 的斜率存在时，设直线():12l y k x -=-，()(),11,k ∈-∞-+∞ ，()12y x y k x =⎧⎨-=-⎩得2121,11k k A k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，()12y x y k x =-⎧⎨-=-⎩得2112,11k k B k k --⎛⎫⎪++⎝⎭，PA =PB =所以()222231163331111k k PA PB k k k k ++===+>+⋅---，综上所述：·PA PB 的最小值为3，此时直线l 的斜率不存在，直线方程为2x =.法二：前面部分同法一，注意到133,,,1111k k PA PB k k k k --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭ ，且,PA PB 反向，所以2223363311k PA PB PA PB k k +=⋅==+>-- ，综上所述：·PA PB 的最小值为3，此时直线l 的斜率不存在，直线方程为2x =.（3）当直线斜率不存在时，()2,2A ，()2,2B -，142S OA OB =⋅=；当直线斜率存在时，()(),11,k ∈-∞-+∞ ，2121,11k k A k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，2112,11k k B k k --⎛⎫⎪++⎝⎭，()2221121S k OA OB k -=⋅==-，即()24410S k k S --++=，当4S =时，方程有1解，此时54k =；当4S ≠时，()()()1644143S S S S ∆=--+=-，当3S <时，Δ0<，方程无解；当3S =时，Δ0=，2k =，方程有1解；当43S >>时，0∆>，()()2441f k S k k S =--++，对称轴224S>-，且()110f =>，方程有两个大于1的解.当4S >时，0∆>，()()2441f k S k k S =--++开口向下，()110f =>，()190f -=>，方程有1个大于1的解，一个小于1-的解.综上所述：当3S <时，0条；当3S =时，1条；当3S >时，2条.。
2021年高二数学12月月考试题
2021年高二数学12月月考试题一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线2．,为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A． B．C． D．3．三棱柱侧棱与底面垂直，体积为，高为，底面是正三角形，若是中心，则与平面所成的角大小是（）A． B． C． D．4．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（）A. B. C. D.5．如果一个水平放置的图形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底都为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A． B． C． D．6．下列四种说法中，错误的个数是（）①的子集有3个；②“若，则”的逆命题为真；③“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；④命题“，均有”的否定是：“，使”．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． C． D．8．椭圆的右焦点为，椭圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于，且，则椭圆的方程为( ) A． B． C． D．9．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（）A． B． C． 4 D．11．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面，为底面内1121 D CB A F E 的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为( )12．如图，在四面体中，，且两两互相垂直，点是的中心，将绕直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．在空间直角坐标系中，已知点，点在轴上，且到与的距离相等，则的坐标是 ．14．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 ．15．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形球盘，点是它的两个焦点，长轴长，焦距，静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线（不与长轴共线．．．．．．） 发出，经椭圆壁反弹后第一次．．．回到点时，小球经过的路程为 ．16．下列命题：①的三边分别为则该三角形是等边三角形的充要条件为；②在中，“”是“”的充要条件；③若命题命题则命题是假命题；④已知都是不等于零的实数，关于的不等式和的解集分别为，则是的充分必要条件；⑤“函数为奇函数”的充要条件是“”．其中正确的命题是 ．三．解答题（本题共5大题，共48分）17．（本小题满分8分）如图所示的多面体中，是菱形，是矩形， 面，．（1）求证：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．18．（本小题满分10分）设：实数满足，其中，：实数满足（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围．19．（本小题满分10分）已知某椭圆，它的中心在坐标原点，左焦点为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若已知点，当点在椭圆上变动时，求出线段中点的轨迹方程．20．（本小题满分10分）如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知.（1）求证：平面⊥平面；（2）（文科做）求直线与平面所成角的大小；（理科做）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为60°？21．（理科做）（本题满分10分）如图，已知三棱柱，侧面⊥底面.（1）若分别是的中点，求证：；（2）若三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为60°，问在线段上是否存在一点，使得平面⊥平面？若存在，求与的比值，若不存在，说明理由．21．（文科做）（本题满分10分）如图，四边形中，,//,6,4,2,,AB AD AD BC AD BC AB E F ⊥===分别在上，现将四边形沿折起，使得平面平面．（1）设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值．（2）当，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出的长，若不存在，说明理由；山西大学附中xx学年第一学期高三12月月考（总第三次）数学试题评分细则考试时间：90分钟考试内容（立体几何、简易逻辑、椭圆）一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1-6 AABBAD 7-12 DCBAAA二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 14. 15.20 16. ①②③三．解答题（本题共5大题，共48分）17．（本小题满分8分）解：（1）由是菱形…………………….1分由是矩形…………………….2分面面⊂⊂=,,BC BCF BF BCF BC BF B所以…………………….4分（2）连接，由是菱形，由面,，则为四棱锥的高…………………….6分由是菱形，，则为等边三角形，，…………………….7分由；则，…………………….8分18．（本小题满分10分）解：由，得，即为真命题时，，由，得，…………………….2分即，即为真命题时 . …………………….3分（1）时，p：，由为真知和均为真命题，则，得，所以实数的取值范围为．……………….6分（2）设，，由题意知是q的必要不充分条件，所以，……………….8分有，所以实数a的取值范围为．……………….10分19．（本小题满分10分）解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为F（﹣，0），∴a=2，c=，可得b=1因此，椭圆的标准方程为．……………….5分（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，……………….7分∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得， ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是． ……………….10分20．（本小题满分10分）解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ，∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ， ……………….2分又AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ， ……………….3分又BF∩CB＝B ，∴AF ⊥平面CBF. ……………….4分 ∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF. ……………….5分(2)由(1)知AF ⊥平面CBF ，∴FB 为AB 在平面CBF 内的射影，因此，∠ABF 为直线AB 与平面CBF 所成的角． ……………….7分∵AB ∥EF ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作FH ⊥AB ，交AB 于H.已知AB ＝2，EF ＝1，则AH ＝AB －EF 2＝12. 在Rt △AFB 中，根据射影定理得AF 2＝AH·AB，∴AF ＝1，sin ∠ABF ＝AF AB ＝12，∴∠ABF ＝30°. ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°. ……………….10分(3)设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，，，方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AD ＝t(t ＞0)，则点D 的坐标为(1,0，t)，C(－1,0，t)，又A(1,0,0)，B(－1,0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0， ∴＝(2,0,0)，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，t ， 设平面DCF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则n 1·＝0，n 1·＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝0x 2－32y ＋tz ＝0，令z ＝3，解得x ＝0，y ＝2t ，∴n 1＝(0,2t ，3)． ……………….7分 由(1)可知AF ⊥平面CFB ，取平面CBF 的一个法向量为n 2＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，0， ……………….9分 依题意，n 1与n 2的夹角为60°.∴cos 60°＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|， 即12＝3t 4t 2＋3·1，解得t ＝64. 因此，当AD 的长为64时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°. ………………10分21．（理科做）（本题满分10分）解：(1)证明：连接AC 1，BC 1，则AC 1∩A 1C ＝N ，AN ＝NC 1，因为AM ＝MB ，所以MN ∥BC 1. ………………2分又BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以MN ∥平面BCC 1B 1. ………………4分(2)作B 1O ⊥BC 于O 点，连接AO ，因为平面BCC 1B 1⊥底面ABC ，所以B 1O ⊥平面ABC ，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，3，0)，B(－1，0,0)，C(1,0,0)，B 1(0,0，3)．由＝＝，可求出A 1(1，3，3)，C 1(2,0，3)，设点P(x ，y ，z)，＝λ.则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋1，3－3λ，3， ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，3－3λ，3， ………………5分 ＝(－1,0，3)．设平面B 1CP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·＝0n 1·＝0，令z 1＝1，解得n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1＋λ1－λ，1. ………………7分 同理可求出平面ACC 1A 1的法向量n 2＝(3，1，－1)． ………………9分由平面B 1CP ⊥平面ACC 1A 1，得n 1·n 2＝0，即3＋1＋λ1－λ－1＝0，解得λ＝3，所以A 1C 1＝3A 1P ，从而C 1P ∶PA 1＝2. ………………10分21．（文科做）（本题满分10分）解：（1）因为平面ABEF 平面EFDC ，平面ABEF 平面EFDC ＝EF ，又AFEF ，所以AF ⊥平面EFDC ． ………………1分由已知BE ＝x ，，所以AF ＝x （0x4），FD ＝6x ． ………………2分 故222111112(6)(6)[(3)9](3)332333A CDF V x x x x x x -=⋅⋅⋅-⋅=-=--+=--+．所以，当x ＝3时，有最大值，最大值为3. ………………4分（2）存在使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时． ………………5分下面证明： ，过点作MP ∥FD ，与AF 交于点， ………………6分则有，又FD ＝，故MP ＝3，又因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MPEC ，故四边形MPCE 为平行四边形， ………………8分所以PC ∥ME ，又CP 平面ABEF ，ME 平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．…10分填空题每题一个打分板，解答题18一个打分板，其他解答题：17， 19，20，21每问各一个打分板，31546 7B3A 笺&29591 7397 玗C28698 701A 瀚31100 797C 祼28867 70C3 烃29676 73EC 珬20299 4F4B 佋cN DP38521 9679 陹。
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河南省安阳市第二中学2016-2017学年高二数学12月月考试题（扫描版）
安阳市二中2016-2017学年第一学期月考数学试卷答案 1.B 2.A 3.C 4.D 5.B 6.B 7.C 8.B 9.C 10.D
11.A 12.B 13.C 14.D 15.D
16．1 17、3-<K 18、[0,1] 19.83 20.
x 2﹣y 2=1 21.5+26 22.（0，2） 23.（﹣4，﹣2）
24.若p 为真，令2sin 2cos )(+-=x x x f ，则()min x f m ≥，
又2sin 2cos )(+-=x x x f 3sin sin 22sin 2cos 2+--=+-=x x x x
又1sin 1≤≤-x ，所以1sin =x 时，()0min =x f ，所以0≥m 。
5分
若q 为真：函数2
2231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=mx x y 在[)+∞,1上单调递减，则14≤m
，所以4≤m 。
6分
(1)若q p ∧为真，则q p ,均为真，所以[]4,0∈m 。
8分
(2)若q p ∨为真，q p ∧为假，则q p ,一真一假，即⎩⎨⎧>≥40
m m 即4>m 。
9分 或⎩⎨⎧≤<40
m m 即0<m 所以m 的取值范围为()()+∞∞-,40, 。
10分
25.解：(1)设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，由已知，
所以l 的方程为，即x=2y-4，由得， 所以，又因为，所以y 2=4y 1， ③
由①②③及p ＞0得，故抛物线方程为。
(2)设l ：y=k(x+4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)， 由得， 所以，
所以BC 的中垂线方程为，
所以BC 的中垂线在y 轴上的截距为， 对于方程④，由得k ＞0或k ＜-4， 所以，所以b 的取值范围为b ＞2。
26.（I
）由题意得：c a =222a b c =+，
又点A 在椭圆C 上，∴221
3
14a b +=，
解得2a =，1b =
，c =
∴椭圆C 的方程为2
214x y +=．………………5分
（II ）存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=． 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>．
当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+． 由方程组2214y kx m
x y =+⎧
⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=
．
∵直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，
∴2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+．
由方程组222y kx m
x y r =+⎧⎨+=⎩得22
22(1)20k x kmx m r +++-=，
则2
2222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->．
设111222(,)(,)P x y P x y ，，则12221km x x k -+=+，22
1221m r x x k -=+，
设直线12OP OP ，的斜率分别为12k k ，， ∴22
1212121212121212
()()()y y kx m kx m k x x km x x m
k k x x x x x x +++++=== 22
22222
22222222111
m r km
k km m m r k k k m r m r k --++-++==--+，将2241m k =+代入上式，
得221222(4)1
4(1)r k k k k r -+=+-．
要使得12k k 为定值，则2241
41r r -=-，即25r =，代入2∆验证知符合题意． ∴当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12P P ，满足12k k 为定值1
4-．
当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±． 此时，圆225x y +=与l 的交点12P P ，也满足121
4k k =-．
综上，当圆的方程为225x y +=时，
圆与l 的交点12P P ，满足直线12OP OP ，的斜率之积为定值1
4-．……………………13分。