高中数学 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性学习导航学案 新人教B版必修1

2.1.3 函数的单调性自主整理函数的单调性(1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M A.如果取区间M内的任意两个值x1,x2,则当改变量Δx=x2-x1>0时,有Δy=f(x2)-f(x1)>0,那么就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图2-1-12.图2-1-12当改变量Δx=x2-x1>0时,有Δy=f(x2)-f(x1)<0,那么就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图2-1-13.图2-1-13如果函数y=f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数,就说函数y=f(x)在这一区间M上具有单调性(区间M叫做y=f(x)的单调区间).注意:①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;②在考虑函数单调区间时,若端点处有意义,包括不包括端点均可.(2)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈M,且Δx=x2-x1>0;②作差Δy=f(x2)-f(x1);③变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分母有理化、通分等);④定号(即判断Δy的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).(3)在公共定义域内:增函数f(x)+增函数g(x)是增函数;减函数f(x)+减函数g(x)是减函数;增函数f(x)-减函数g(x)是增函数;减函数f(x)-增函数g(x)是减函数.高手笔记1.有的函数在整个定义域内具有单调性:有的函数在定义域的某个子集上具有单调性;但也有的函数没有单调区间,或者它的定义域上根本没有单调区间.2.函数单调性定义中的x1、x2有三个特征:一是同属一个单调区间;二是任意性,即“任意”取x1、x2,“任意”二字决不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;三是有大小,通常规定x 1<x 2.三者缺一不可.3.利用函数的单调性的定义比较大小,一方面是正向应用,即若f(x)在给定的区间上是增函数,当x 1<x 2时,f(x 1)<f(x 2),或当x 1>x 2时,f(x 1)>f(x 2);另一方面是逆向应用,即若f(x)在给定的区间上是增函数,当f(x 1)<f(x 2)时x 1<x 2,或当f(x 1)>f(x 2)时x 1>x 2.当f(x)是减函数时类同.4.利用函数单调性判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).5.记忆口诀:增函数,减函数,函数作差要记住;正号增,负号减,增减函数很简单;往上增,往下减,增减趋势正相反.名师解惑1.对于函数单调性的理解应注意什么?剖析:对于函数单调性的理解,要注意以下几点:(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,可以是整个定义域,也可以是定义域的某个区间.(2)函数f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数f(x)在这个区间上函数值的总体变化趋势,是函数在这个区间上的整体性质.(3)函数的单调性是对于某个区间而言的,所以要受到区间的限制.如果函数在某个区间上是单调的,那么在这个区间的子集上也是单调的;但是如果函数在某几个区间上具有相同的单调性,在这几个区间的并集上则不一定具有单调性.2.判断或证明函数在某区间上的单调性一定要用定义吗？函数单调性的判定方法主要有哪些呢?剖析:(1)一般来说,证明或判断函数的单调性,严格地说必须用增、减函数定义,其步骤是:设出指定区间上的任意两个值→作差→变形→判符号→定结论.但对于求解选择、填空之类的不要求解过程的问题,能结合图象快速指出单调区间,当然也是可行的.但根据函数图象判断函数单调性,必须按照作函数图象的步骤准确画出函数图象,特别要弄清楚由上升到下降和由下降到上升的关键点的横坐标,才能写出其单调区间,如果一个函数有两个单调递增区间,应写成(-∞,-1),［1,+∞)或(-∞,-1)和［1,+∞)等形式,但不能写成(-∞,-1)∪［1,+∞)的形式.(2)判断函数单调性的方法是本节的重点,常用的方法有:①定义法:利用定义严格判断.②图象法:根据函数图象直观判断.③直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.多了解几点结论,对于直接判断函数的单调性更有好处,如:函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;当y=f(x)恒为负时,函数y=)(1x f 与y=f(x)的单调性相反;在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等.y=f(x)与y=kf(x)(k≠0),当k>0时,增减性相同,当k<0时,增减性相反.3.如何求函数在某闭区间上的最值?剖析:如果函数y=f(x)在闭区间［a,b ］上具有单调性,那么它在这个区间上必取得最大值和最小值.即当f(x)在［a,b ］上递增时,y max =f(b),y min =f(a);当f(x)在［a,b ］上递减时,y max =f(a),y min =f(b).如果函数y=f(x)在给定的闭区间［a,b ］上不具有单调性,那么也就没有上述确定的结论了,那就要具体问题具体分析了.讲练互动【例题1】求函数y=|x+1|+|x-2|的单调区间,以及在每一个区间上的单调性.分析：本题考查单调区间的判定,在解题时应用数形结合思想,通过图象寻找单调区间.图2-1-14解：将函数化为分段函数形式:y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-,2,12,21,3,1,12x x x x x 画出它的图象(图2-1-14),由图象,可知单调递增区间为［2,+∞),单调递减区间为(-∞,-1］.绿色通道(1)函数的单调性是对某个区间而言的,若在某区间,函数值为唯一确定常数时,我们称函数在该区间没有单调性.(对于单独的一点,因为没有增减变化,所以显然不存在单调性问题)(2)对于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也就单调,因此在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都可以;还要注意定义域内不包含的点,不应出现在单调区间里.(3)分段函数是历年高考的热门话题,常考常新,值得我们在平时认真对待.变式训练1.已知函数f(x)=x 2-5x+6.(1)求其单调区间;(2)用定义法证明其单调性.分析：(1)运用函数图象找单调区间是求解函数单调性的基本方法.对于二次函数,其图象为抛物线.单调区间的界定与对称轴有关;而单调增减性与开口有关.所以考查二次函数问题,一定得两看(看二次项系数,看对称轴).(2)定义作差法是证明函数单调性的一般方法,而有时通过定义作差法也可以直接找出单调区间.解：(1)f(x)=(x 25-)241-,它是以(25,41-)为顶点,对称轴平行于y 轴、开口向上的抛物线,如图所示,可得单调区间是(-∞,25]与(25,+∞). 其中在(-∞,25]上是减函数,在(25,+∞)上是增函数.(2)定义法证明如下:任取x 1、x 2,设x 1<x 2≤25,则 f(x 1)-f(x 2)=x 12-x 22-5(x 1-x 2)=(x 1+x 2-5)(x 1-x 2).∵x 1<x 2≤25,∴x 1+x 2<5,x 1-x 2<0. ∴f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).∴f(x)=x 2-5x+6在(-∞,25]上是减函数. 类似地,可以证明f(x)在(25,+∞)上是增函数. 【例题2】讨论函数f(x)=x+x a (a>0)的单调性. 分析：可以先讨论函数在(0,+∞)上的单调性,然后可类似地讨论在(-∞,a -)、［a -,0)、(0,a ］上的单调性.解：∵x≠0,∴下面先讨论f(x)=x+xa 在(0,+∞)上的单调性. 设0<x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=(x 1+1x a )-(x 2+2x a )=(x 1-x 2)(211x x a -). ∵当0<x 1<x 2≤a 时,21x x a >1, ∴f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).故f(x)在(0,a ］上是减函数.∵当a≤x 1<x 2时,0<21x x a <1, ∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).故f(x)在［a ,+∞)上是增函数.同理我们可得f(x)在(-∞,a -］上是增函数;f(x)在［a -,0)上是减函数.黑色陷阱判断单调性时,我们可以用口诀“同向则增,异向则减”帮助理解.在证明时,化简是必不可少的,不能想当然地认为谁大谁小而直接下结论,一般情况下,我们应该化简到出现因式相乘,或者出现完全平方式为止,然后通过已知条件对符号进行判断.含参数函数单调性的判定,往往对参数要分类讨论.本题的结论十分重要,在一些问题的求解中十分有用,应予重视. 变式训练2.讨论函数y=12-x ax (-1<x<1)的单调性. 分析：此题给出了函数解析式,按照定义去判断单调性即可.由于含有参数a,故要对a 进行分类讨论.解：设-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=11222211---x ax x ax =)1)(1()1)((22212112--+-x x x x x x a . ∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,x 12-1<0,x 22-1<0.∴当a<0时,f(x 1)<f(x 2),f(x)在(-1,1)上是增函数.当a>0时,f(x 1)>f(x 2),f(x)在(-1,1)上是减函数.当a=0时,f(x)为常数函数,没有单调性.【例题3】判断函数f(x)=12-+x x 的单调性. 分析：可把函数的分子拼凑成分母的形式,转化成只在分母中含有变量x 的形式,写出它的单调区间.解：原函数可化为f(x)=13131-=-+-x x x +1,该函数的定义域为{x|x≠1}.显然f(x)的图象是由y=x3的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位而得到的. 由于y=x3在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数, 从而f(x)=12-+x x 在(-∞,1)上是减函数,在(1,+∞)上也是减函数. 所以函数f(x)=12-+x x 在(-∞,1)和(1,+∞)上都是减函数. 绿色通道把未知的问题转化为已知的问题,用已知问题的解还原说明未知问题的解,这是学好数学的一种常用方法.解决这种分式函数问题,需掌握“凑分母”化简的方法.变式训练3.函数y=22++x ax 在(-2,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为. 解析：y=22++x ax =2)1(2)2(+--+x a x a =a 2)1(2+--x a . 因原式在(-2,+∞)上单调递增,设-2<x 1<x 2, 则2)1(22)1(221+--<+--x a a x a a .∴212121+->+-x a x a . ∵0<x 1+2<x 2+2,∴212121+>+x x . ∴a -1>0,即a>1.故实数a 的取值范围是(1,+∞).答案：(1,+∞)【例题4】已知31≤a≤1,若函数f(x)=ax 2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的函数表达式;(2)判断函数g(a)在区间[31,1]上的单调性,并求出g(a)的最小值. 分析：(1)属于“轴变区间定”问题,需要对对称轴与区间的关系进行讨论.(2)由于g(a)是分段函数,其单调性的判断方法是分别将各个区间上的解析式单独判断,然后再结合各区间的单调性求最小值.解：(1)∵31≤a≤1,∴f(x)的图象为开口向上的抛物线,且对称轴为x=a1∈［1,3］. ∴f(x)有最小值N(a)=f(a 1)=1a1-. 当2≤a 1≤3时,a∈［31,21］,f(x)有最大值M(a)=f(1)=a-1; 当1≤a 1<2时,a∈(21,1］,f(x)有最大值M(a)=f(3)=9a-5. ∴g(a)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-.121,169,2131,12a a a a a 9a-6+a 1,21<a≤1. (2)设31≤a 1<a 2≤21,则g(a 1)-g(a 2)=(a 1-a 2)(2111a a -)>0,∴g(a 1)>g(a 2). ∴g(a)在［31,21］上是减函数. 设21<a 1<a 2≤1,则g(a 1)-g(a 2)=(a 1-a 2)(9211a a -)<0,∴g(a 1)<g(a 2). ∴g(a)在(21,1］上是增函数. ∴当a=21时,g(a)有最小值21.绿色通道求分段函数的单调性时,需对构成分段函数的各解析式分别进行判断.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,则函数y=f(x)在区间[a,c]上有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,c]上有最小值f(b).变式训练4.已知点P(t,y)在函数f(x)=1+x x (x≠-1)的图象上,且有t 2-c 2at+4c 2=0(c≠0). (1)求证:|ac|≥4;(2)求证:在(-1,+∞)上f(x)单调递增;(3)求证:f(|a|)+f(|c|)>1.分析：在解决函数定义域、值域、比较两数大小、不等式的证明等具体问题中均可能用到函数的单调性,要充分运用,灵活处理.而一元二次方程的问题,有时往往可以根据需要去判定Δ的符号,从而得到不等式.本题还需运用分离常数法化简分式,要懂得借鉴.解：(1)∵t∈R ,t≠-1,∴Δ=(-c 2a)2-16c 2=c 4a 2-16c 2=c 2(c 2a 2-16)≥0.∵c≠0,∴c 2>0.∴c 2a 2≥16.∴|ac|≥4.(2)由f(x)=111++x , 设-1<x 1<x 2,则f(x 2)-f(x 1)=)1)(1(111111121212++-=++-+-x x x x x x . ∵-1<x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 1+1>0,x 2+1>0.∴f(x 2)-f(x 1)>0,即f(x 2)>f(x 1).∴x>-1时,f(x)单调递增.(3)∵f(x)在x>-1时单调递增,|c|≥||4a >0, ∴f(|c|)≥f(||4a )=4||41||4|4|+=+a a a . ∴f(|a|)+f(|c|)≥f(|a|)+f(||4a )=4||44||||4||41||||+++<+++a a a a a a =1, 即f(|a|)+f(|c|)>1.教材链接［探索与研究］ 函数值的改变量与自变量改变量的比1212x x y y x y --=∆∆叫做函数y=f(x)从x 1到x 2之间的平均变化率.研究一个函数在某区间上是增函数还是减函数时,你能否根据函数的平均变化率,即比值x y ∆∆的符号来判断函数y=f(x)在某区间上是增函数还是减函数?比值xy ∆∆的大小与函数值增长的快慢有什么关系?答:当函数的平均变化率xy ∆∆为正数时,可判断函数y=f(x)是增函数;当函数的平均变化率x y ∆∆为负数时,可判断函数y=f(x)是减函数.比值xy ∆∆的大小与函数值增长的快慢有关系:当x y ∆∆越大时,函数值增长越快,当xy ∆∆越小时,函数值减少就越快.。