函数的单调性学案+练习(精华)
函数的单调性学案
3.2函数的性质——单调性班级：姓名：观察天津市2008年11月29日的气温时段图，此图反映了0时至14时的气温T（ Ｃ）随时间t（h）变化的情况．回答下面的问题：（1）时，气温最低，最低气温为 Ｃ，时气温最高，最高气温为°Ｃ．（2）随着时间的增加，在时间段0时到6时的时间段内，气温不断地；6时到14时这个时间段内，气温不断地．下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况.从上图可以看到，有些时候该股票的价格随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，即时间增加股票价格反而减小．类似地，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质就是函数的单调性．设函数()y f x=在区间(),a b内有意义．（1）如图（1）所示，在区间(),a b内，随着自变量的增加，函数值不断增大，图像呈上升趋势．即对于任意的()12,,x x a b∈，当12x x<时，都有()()12f x f x<成立．这时把函数()f x叫做区间(),a b内的__________，区间(),a b叫做函数()f x的__________．（2）如图（2）所示，在区间(),a b内，随着自变量的增加，函数值不断减小，图像呈下降趋势．即对于任意的()12,,x x a b∈，当12x x<时，都有()()12f x f x>成立．这时函数()f x叫做区间(),a b内的__________，区间(),a b叫做函数()f x的__________．图（1）图（2）如果函数()f x在区间(),a b内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x在区间(),a b内具有单调性，区间(),a b叫做函数()f x的__________．问题3：（如图）定义在区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，是单调增函数还是单调减函数。
函数的单调性 学案
1.2.6 函数的单调性（1）【学习目标】 １.能举例说明单调函数的意义；2.能运用函数图象观察出单调区间，会运用函数单调性的定义来判断和证明函数在区间上的单调性；３.能运用数形结合的思想来研究数学问题，激发学习数学的兴趣．【学习重点】函数单调性、单调区间的概念，探究函数的单调性及单调区间．【难点提示】理解单调性的本质、单调性的灵活运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1516P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备１、熟悉下列函数吗？请作出它们的图象．（1）1)(-=x x f （2）1)(+-=x x f （3）32)(2--=x x x f2、观察三个函数的图象，指出函数的图象上升与下降的特征以及函数值与自变量的大小变化的规律．（1）函数1)(-=x x f 的图象是 ，而且函数值y 随着x 的增大而 ；（2）函数1)(+-=x x f 的图象是 ，而且函数值随着x 的增大而 ；（3）函数()322--=x x x f 的图象是 ，而且在区间(]1,∞-上函数值随x 的 增大而 ，在区间)(1,+∞上函数值随x 的增大而 ． 二、探究新知 １、函数单调性的概念（1）观察思考 请阅读教材第27至29页的内容，仔细观察图13中的函数图象，找出图象上升与下降的区间，分析函数值随自变量增大有什么变化规律．你能结合学习准备探究的问题，把函数值与自变量之间的大小变化规律抽象出来吗？能用几种方式来描述呢？（2）归纳概括 ① 图形描述：在给定的区间上，函数)(x f y =的图象从左至右，如果是连续上升的，就称y=f （x ）是增函数，如果是 的，就称)(x f y =是减函数；图形描述也可以说是函数的 特征；②定性描述：对于给定区间上的函数)(x f y =，如果函数值随x 的增大而增大，就称函数)(x f 是增函数，如果函数值 ，就称函数)(x f 是减函数；如果函数y=f(x ）在某个区间是增函数或减函数。
函数的单调性学案
§1.3.1 函数的单调性与最值¤知识要点：1. 增函数2．减函数3.函数的单调区间4. 判断函数单调性的步骤问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：例题精讲： 例1．（1） 根据此函数图象，写出该函数的单调区间（2） 写出1(0)y x x=≠的单调区间（3）写出26y x x =-的单调递增区间思考：函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x -->，则()f x 在(,)a b 上是 . （填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）例2． 判断函数[]2()(2,6)1f x x x =∈-的单调性.小结： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：例3．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，求43x -≤≤时f (x )的最值。
※基础达标1．函数26y x x =-的减区间是（ ）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.A. y =－x +1B. yC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3．函数()||()(2)f x x g x x x ==-和的递增区间依次是（ ）.A. (,0],(,1]-∞-∞B. (,0],[1,)-∞+∞C. [0,),(,1]+∞-∞D. [0,),[1,)+∞+∞4．二次函数2()2f x x ax b =++在区间(-∞，4)上是减函数，你能确定的是（ ）. A. 2a ≥ B. 2b ≥ C. 4a ≤- D. 4b ≤-5．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f之间的大小关系为 请将以下题目写在作业本上：1.证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数． 2. 求证：函数11y x=--在区间(),0-∞上是单调增函数.3.试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.。
高中数学函数的单调性练习题及其答案
函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
函数的单调性及其单调区间练习题含答案
函数的单调性及其单调区间练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列函数中，既是(0,+∞)上的增函数，又是偶函数的是( )A.y=1xB.y=2xC.y=1−|x|D.y=lg|x|2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=1x B.y=|x|−1 C.y=lg x D.y=(12)|x|3. 已知函数f(x)＝−x|x|+2x，则下列结论正确的是（）A.增区间是(0, +∞)B.减区间是(−∞, −1)C.增区间是(−∞, 1)D.增区间是(−1, 1)4. 已知函数f(x)=xx−m，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，则实数m的取值范围为（）A.(0, 2)B.(0, 2]C.[2, +∞)D.(2, +∞)5. 函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是（）A.[52,+∞) B.[52,4) C.[4, +∞) D.[1,52),[4,+∞)6. 若函数f(x)={3x,x<0,x2−4x+3,x≥0,则函数的单调递减区间为( )A.[0,2]B.(−∞, 0)C.(−∞,0)和[0,2]D.(−∞,2]7. 下列函数中，即是偶函数又在(0, +∞)单调递增的函数是( )A.y=−x2B.y=|x−1|C.y=2xD.y=|x|−18. 下列函数中，在(0, +∞)是增函数的是()A.y=x2+e2B.y=cos x−e xC.y=1x−x D.y=x2−4x9. 题目不难，心中别慌，套路不深，不必当真.下列函数中，在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是（ ） A.f(x)=−1x B.f(x)=x 3C.f(x)=|x|D.f(x)=3x +3−x210. 函数f(x)=|x −2|x 的单调减区间是（ ） A.[−1, 0] B.[1, 2] C.[0, 2] D.[2, +∞)11. 已知函数f(x)=xx−2，若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减，则实数m 的取值范围为( ) A.(0, 2) B.(0, 2] C.[2, +∞) D.(2, +∞)12. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2)=0，且f (x )在(0,+∞)上单调递减，则f (−52)，f (133)，f (0)的大小关系为( ) A.f (0)>f (133)>f (−52) B.f (133)>f (0)>f (−52) C.f (−52)>f (0)>f (133)D.f (0)>f (−52)>f (133)13. 下列四个函数中，在(0,+∞)上增函数的是( ) A.f (x )=3−x B.f (x )=(x −1)2 C.f (x )=−1x+1D.f (x )=−|x|14. 函数f(x)=(12)x 2−2x的单调递减区间为( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,1)D.(−∞,−1)15. 任意t ∈R +时，f [f (t )−1t ]=2恒成立，函数y =f (t )单调，则f (12019)=( )A.2020B.2019C.12020D.1201916. 函数y =x−5x−a−2在(−1, +∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.a =−3B.a <3C.a ≤−3D.a ≥−317. 若函数f (x )={a x ,x <0,(2a −1)x +3a,x ≥0是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,12) B.(13,12)C.(0,13)D.(0,13]18. f(x)=1x+1的减区间为________．19. 函数f (x )=|x −3|的单调递增区间是________.20. 函数y =√x 2−2x −3的递减区间是________，递增区间是________．21. 已知函数g(x)=x 3+5x ，若g(2a −1)+g(a +4)<0，则实数a 的取值范围为________.22. 已知函数f (x )=−x 2+2ax +3在区间(−∞,4)上是增函数，则实数a 的取值范围是________.23. 函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则m 的范围是________．24. 已知函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），若对任意的x ∈[2, +∞)，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．25. 函数g (x )=ax 2−2ax +1+b (a >0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2，设f (x )=g (x )x(x ≠0).(1)求 a,b 的值；(2)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1,0]上恒成立，求实数k 的取值范围．26. 已知函数f(x)=ax 2+12x+b是奇函数，且f(1)=32． (1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f(x)在(−∞, −1]上的单调性，并用定义加以证明；(3)若x∈[−2, −1]，求函数的值域.27. 求函数的单调区间.28. 已知为定义在上的奇函数，且是，.（1）求时，函数的解析式；（2）写出函数的单调区间（不需证明）.29. 已知函数f(x)=x2+ax−2.(1)若函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，求a的取值范围；(2)试判断函数f(x)的奇偶性．30. 若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)=(x−1)2在定义域[m, n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m，n乘积mn的取值范围.31. 已知函数f(x)=ax+bx2+1是(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25.(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；(3)若实数t满足f(t+1)+f(t)>0，求t的取值范围．参考答案与试题解析函数的单调性及其单调区间练习题含答案一、 选择题 （本题共计 17 小题 ，每题 3 分 ，共计51分 ） 1.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，以及函数图象的翻折变换法则逐一判断每个选项即可． 【解答】解：A .函数y =1x 在(0,+∞)上是减函数，且是奇函数，即A 不符合题意；B .函数y =2x 是非奇非偶函数，即B 不符合题意；C .函数y =1−|x|在(0,+∞)上是减函数，即C 不符合题意；D .对于函数y =lg |x|，当x >0时，有y =lg x ，单调递增；而f (−x )=lg |−x|=lg |x|=f (x ) ，所以f(x)是偶函数，即D 正确． 故选D ． 2.【答案】 B【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明 函数的单调性及单调区间【解析】根据函数单调性和奇偶性定义，逐一判断即可得出结论． 【解答】解：A ，函数y =1x 为奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，不符合题意； B ，函数y =|x|−1为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意； C ，函数y =lg x 不是偶函数，不符合题意；D ，函数y =(12)|x|为偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意．故选B ． 3.【答案】 D【考点】分段函数的应用函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断函数的单调性及单调区间【解析】根据题意，函数的解析式变形可得f(x)=1+mx−m，由函数图象变换的规律可得{m>0m≤2，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=xx−m =x−m+mx−m=1+mx−m，由函数y=mx向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位，向上平移1个单位得到，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有{m>0m≤2，则0<m≤2，即m的取值范围为(0, 2]，5.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】解不等式，求出函数的定义域，再根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】令x2−5x+4≥0，解得：x≥4或x≤1，而函数y＝x2−5x+4的对称轴是：x=52，由复合函数同增异减的原则，故函数y=√x2−5x+4的单调递增区间是[4, +∞)，6.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】首先根据分段函数的解析式画出函数的图象，进一步根据函数函数的图象确定函数的单调区间．【解答】解：函数f(x)的图像，如图所示，二次函数f(x)=x2−4x+3的对称轴为x=2，所以函数的单调递减区间为：(−∞,0)和[0,2] .故选C.7.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：A，令f(x)=−x2，f(−x)=−(−x)2=−x2=f(x)为偶函数，在(0, +∞)上单调递减，不符合题意；B，令f(x)=|x−1|，f(−x)=|−x−1|=|x+1|≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；C，令f(x)=2x，f(−x)=2−x≠f(x)，不是偶函数，不符合题意；D，令f(x)=|x|−1，f(−x)=|−x|−1=|x|−1=f(x)，是偶函数，在(0, +∞)上单调递增，符合题意.故选D.8.【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】结合二次函数的性质可判断A正确．【解答】解：A，由二次函数的性质可知，y=x2+e2在(0, +∞)是增函数，故A符合题意；B，y′=−sin x−e x，在(0,+∞)上，−e x<−1，−sin x∈[−1,1]，故y′<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故B不符合题意；−1<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故C不符合题意；C，y′=−1x2D，y′=2x−4，当x∈(0,2)时，y′<0，故D不符合题意.故选A.9.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数；B．函数是奇函数，在(−∞, +∞)上是增函数，满足条件；C．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件；D．f(−x)=f(x)，函数是偶函数，不满足条件．故选B.10.【答案】B【考点】带绝对值的函数函数的单调性及单调区间【解析】画出分段函数f(x)=|x−2|x的图象，数形结合，可得函数的单调减区间．x≤2【解答】解：函数f(x)=|x−2|x={−x2+2x，x<2，x2−2x2，x≥2，的图象如图所示：结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. 故选B.11.【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断 函数的单调性及单调区间 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据题意，函数f(x)=xx−2=x−2+2x−2=1+2x−2，由函数y =2x 向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， 若函数f(x)在区间(m, +∞)上单调递减， 必有{m >0,m ≥2,则m ≥2，即m 的取值范围为[2+∞)， 故选C . 12.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】【解答】解：∵ f (x )为R 上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减， ∴ f (0)=0.∵ f (−52)=−f (52)且f (2)=0， ∴ f (−52)>0，f (133)<0， ∴ f (−52)>f (0)>f (133)．故选C ．13.【答案】 C【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可． 【解答】解：A ，f (x )=3−x 在(0,+∞)上为减函数，不满足条件； B ，f (x )=(x −1)2在(1,+∞)上为增函数，不满足条件； C ， f （x ）=−1x+1在(0,+∞)上为增函数，满足条件；D ，f (x )=−|x |={−x ，x ≥0,x ，x <0,在(0,+∞)上为减函数，不满足条件．故选C. 14. 【答案】 B【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】 无【解答】解：令t (x )=x 2−2x =(x −1)2−1， 则f (t )=(12)t，∵ t (x )在(−∞,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增， 而f (t )在R 上单调递减，∴ f (x )在(1,+∞)上单调递减. 故选B . 15.【答案】 A【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】设m =f(t)−1t，根据y =f (t )单调函数，以及f [f (t )−1t]=2可知，当f (m )=2时，m 的值是唯一的；又f (t )=m +1t ，所以f (m )=m +1m =2，求出m 的值．进而求出y =f(t)的解析式．即可求出结果 . 【解答】解：设m =f(t)−1t ，则f (m )=2. 因为y =f (t )是单调函数， 所以f (m )=2的解m 是唯一的. 又f(t)=m +1t ， 所以f (m )=m +1m =2，解得m =1， 所以f(t)=1+1t ， 所以f (12019)=2020. 故选A ． 16.C【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】由题意可得，当x>−1时，y′=3−a(x−a−2)2≥0，可得{3−a≥0a+2≤−1，由此求得a的范围．【解答】解：y=x−a−2+a−3x−a−2=1+a−3x−a−2∵ 当a<3时，函数y在(a+2，+∞)上单调递增，又函数y在(−1,+∞)上单调递增，∴a+2≤−1，即a≤−3，∴a的取值范围是：(−∞,−3].故选C.17.【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间分段函数的应用已知函数的单调性求参数问题【解析】令各段均为减函数，再比较端点值即可求解.【解答】解：由题意得{0<a<1, 2a−1<0, 3a≤1,解得0<a≤13.故选D.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）18.【答案】(−∞, −1)，(−1, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】根据分式函数的性质进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, +∞)，则函数的单调递减区间为(−∞, −1)，(−1, +∞).故答案为：(−∞, −1)，(−1, +∞).19.【考点】函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.【解答】解：当x≥3时，f(x)=x−3，此时f(x)为增函数；当x<3时，f(x)=−(x−3)=−x+3，此时f(x)为减函数，所以f(x)的单调增区间为[3,+∞).故答案为：[3,+∞).20.【答案】(−∞, −1],[3, +∞)【考点】函数的单调性及单调区间【解析】先求出该函数定义域为{x|x≤−1, 或x≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y= x2−2x−3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．【解答】解：∵x2−2x−3≥0得x≤−1，或x≥3.∴函数y=x2−2x−3在(−∞, −1]上单调递减，在[3, +∞)上单调递增.∴该函数的递减区间为(−∞, −1]，递增区间为[3, +∞)．故答案为：(−∞, −1]；[3, +∞)．21.【答案】a<−1【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：∵g(−x)=−x3−5x=−g(x)，∴函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，∴原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，∴a+4<1−2a，解得a<−1.故答案为：a<−1.22.【答案】函数的单调性及单调区间【解析】根据二次函数f (x ) 的对称轴两侧单调性相反，列不等式求出a 的取值范围．【解答】解：函数f (x )=−x 2+2ax +3的对称轴为x =a又f (x )在(−∞,4)上是增函数，所以a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4,+∞)．故答案为：[4,+∞)．23.【答案】[13, +∞) 【考点】函数的单调性及单调区间利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，y ′=3x 2+2x +m ．若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则y ′=3x 2+2x +m ≥0恒成立，则对于方程3x 2+2x +m =0，有Δ=4−12m ≤0，解得m ≥13，则m 的取值范围是[13, +∞)．故答案为：[13, +∞)． 24.【答案】a ≤32 【考点】导数求函数的最值函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】判断函数f(x)是R 上的奇函数，且是增函数；把f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立化为x 2+2≥2ax 恒成立，设g(x)=x 2−2ax +2，利用二次函数的图象与性质，即可求出实数a 的取值范围．解：函数f(x)=e x −e −x +ln (x +√x 2+1)（其中e ≈2.71828），x ∈R ；且f(−x)=e −x −e x +ln (−x +√x 2+1)=−(e x −e −x )−ln (x +√x 2+1)=−f(x)， ∴ f(x)是上的奇函数.又f′(x)=e x +e −x +1+x √x 2+1x+√x 2+1>0恒成立，∴ f(x)是定义在R 上的单调增函数；若对任意的，f(x 2+2)+f(−2ax)≥0恒成立，∴ f (x 2+2)≥−f(−2ax)恒成立，∴ f (x 2+2)≥f(2ax)恒成立，∴ x 2+2≥2ax 恒成立，即x 2−2ax +2≥0在x ∈[2, +∞)上恒成立；设g(x)=x 2−2ax +2，其对称轴为x =a ，且开口向上；应满足{a <2,g(2)=4−4a +2≥0,解得a ≤32.故答案为：a ≤32．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）25.【答案】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2， 不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k . 令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2].记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．【考点】函数的单调性及单调区间二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质【解析】无无【解答】解：(1)g (x )=a (x −1)2+1+b −a(a >0)，可得g (x )在[2,3]上为增函数，故{g (3)=5，g (2)=2⇒{3a +1+b =5，1+b =2⇒{a =1，b =1.(2)g (x )=x 2−2x +2，f (x )=x +2x −2， 不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +22x −2≥k ⋅2x ，即1+2⋅(12x )2−2⋅(12x )≥k .令12x =t ，则k ≤2t 2−2t +1，∵ x ∈[−1,0]，∴ 2x ∈[12,1]，∴ t ∈[1,2]. 记φ(t )=2t 2−2t +1，∴ φ(t )min =1，∴ k ≤1．26.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数， 则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0； 又由f(1)=32，即a+12=32， 即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]．【考点】函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法【解析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，分析可得b 的值，由于f(1)的值求出a 的值，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得答案；（3）根据题意，由（2）可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数；据此分析可得答案．【解答】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax 2+12x+b 是奇函数， 则有f(−x)＝−f(x)，即ax 2+1−2x+b =−ax 2+12x+b =ax 2+1−2x−b ，则有b ＝−b ，即b ＝0；又由f(1)=32，即a+12=32， 即a ＝2；(2)由(1)可得：f(x)=2x 2+12x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数；证明：设x 1<x 2≤−1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 12+12x 1−2x 22+12x 2 =(x 1−x 2)(2x 1x 2−1)2x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0，x 1x 2>0，2x 1x 2−1>0，则有f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)在(−∞, −1]上为增函数；(3)由(2)可得：f(x)在[−2, −1]上为增函数，∵ f(−2)=−94，f(−1)=−32，∴ 函数的值域为[−94, −32]． 27.【答案】单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)【考点】函数单调性的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】根据二次函数对称轴确定单调性．【解答】因为y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4所以函数y =−x 2+2x +3的单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)28.【答案】（1）f(x)=x2+2x；（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【考点】二次函数的性质函数的单调性及单调区间奇偶性与单调性的综合【解析】（1）任取x<0，则−x>0f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x即得解，（2）分析单调性可得f(x)的单调递增区间是[−1,1];单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)【解答】（1）任取x<0，则−x>0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x2+2x，所以x<0时，函数f(x)=x2+2x（2）f(x)的单调递增区间是[−1,1]；单调递减区间是(−∞,−1],[1,+∞)29.【答案】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a,+∞)，2又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a,+∞)，2，即−1≥−a2解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】无无【解答】解：(1)∵f(x)=x2+ax−2的对称轴为直线x=−a，且抛物线开口向上，2∴函数f(x)的单调递增区间为(−a2,+∞)，又∵函数f(x)在区间(−1,2)上单调递增，∴(−1,2)⊆(−a2,+∞)，即−1≥−a2，解得a≥2，∴a的取值范围为[2,+∞).(2)易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2，当a=0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−2=f(x)，此时函数f(x)为偶函数；当a≠0时，则f(−x)=(−x)2+a(−x)−2=x2−ax−2≠f(x)，此时函数f(x)为非奇非偶函数.30.【答案】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).【考点】函数新定义问题函数的单调性及单调区间【解析】【解答】解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m−1)2(n−1)2=1，由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，由n>m>1，得1<m<2，从而mn=m 2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).31.【答案】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25． 所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b 14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=x x 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．【考点】奇函数函数的单调性及单调区间其他不等式的解法奇偶性与单调性的综合【解析】无无无【解答】解：(1)因为函数f (x )=ax+b x 2+1是(−1,1)上的奇函数，f (12)=25． 所以{f (0)=0，f (12)=25，即{b =0,12a+b14+1=25，解得{a =1，b =0，∴ f (x )=xx 2+1，x ∈(−1,1)．(2)f (x )在(−1,1)上递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(−1,1)，且x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 22−x 12x 2+x 1−x 2(x 12+1)(x 22+1)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 22+1)(x 22+1)，∵ x 1，x 2∈(−1,1)，∴ 1−x 1x 2>0.又x 1>x 2，∴ x 1−x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，即f (x )在(−1,1)上递增．(3)f (t −1)+f (t )>0可化为f (t −1)>f (−t )，∴ {−1<t −1<1，−1<t <1，t −1>−t ，解得{ 0<t <2，−1<t <1，t >12，⇒12<t <1． ∴ t 的取值范围为(12,1)．。
函数单调性教案练习题
函数单调性教案练习题第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调递增和单调递减的定义。
通过具体例子，让学生理解函数单调性在函数图像上的表现。
1.2 函数单调性的性质讲解函数单调性的几个重要性质，如传递性、同增异减等。
通过例题，让学生掌握如何判断函数的单调性。
第二章：一次函数和二次函数的单调性2.1 一次函数的单调性讲解一次函数的单调性，包括斜率对单调性的影响。
通过例题，让学生理解一次函数单调性的应用。
2.2 二次函数的单调性讲解二次函数的单调性，包括开口方向和顶点对单调性的影响。
通过例题，让学生掌握二次函数单调性的应用。
第三章：复合函数的单调性3.1 复合函数单调性的定义引入复合函数单调性的概念，让学生理解复合函数单调性的定义。
通过具体例子，让学生理解复合函数单调性在函数图像上的表现。
3.2 复合函数单调性的判断方法讲解复合函数单调性的判断方法，如链式法则、乘积法则等。
通过例题，让学生掌握如何判断复合函数的单调性。
第四章：函数单调性与导数的关系4.1 导数与函数单调性的关系讲解导数与函数单调性的关系，如导数为正表示函数单调递增，导数为负表示函数单调递减等。
通过例题，让学生理解导数在判断函数单调性中的应用。
4.2 利用导数研究函数单调性讲解如何利用导数研究函数的单调区间、极值等。
通过例题，让学生掌握如何利用导数研究函数单调性。
第五章：函数单调性的应用5.1 函数单调性在实际问题中的应用通过实际问题，让学生理解函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。
通过例题，让学生掌握如何利用函数单调性解决实际问题。
5.2 函数单调性在证明中的应用讲解函数单调性在证明中的应用，如利用函数单调性证明不等式、证明函数的性质等。
通过例题，让学生理解如何利用函数单调性进行证明。
第六章：函数单调性与图像的关系6.1 函数单调性与图像的走势讲解函数单调性与图像走势的关系，如单调递增的图像呈上升趋势，单调递减的图像呈下降趋势。
函数的单调性第一课时学案-高一上学期数学人教A版
3.2.1 单调性与最大（小）值 第一课时 函数的单调性【学习目标】1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义．2. 会用定义法证明（或判断）函数的单调性。
【重难点】重点：函数单调性的定义难点：增（减）函数的定义，利用增（减）函数的定义判断函数的单调性 【学习过程】导：初中利用图象，研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。
如何用符号语言描述这一性质？思：认真阅读课本7677页内容，思考并回答下列问题： 1. 增、减函数的概念 前提条件设函数()x f 的定义域为I ，区间I D ⊆条件2121,,x x D x x <∈∀都有()1x f ()2x f都有()1x f ()2x f图示结论()x f 在区间D 上单调递增()x f 在区间D 上单调递减特殊情况当函数()x f 在它的定义域上单调递增时，我们就称它为 函数当函数()x f 在它的定义域上单调递减时，我们就称它为 函数【问题1】（1）若I x x ∈21,,当21x x <时，()()21x f x f <，可以说()x f y =在I 上是增函数吗？这反应了21,x x 的什么特征？（2）21,x x 可以在不同区间上取值吗？（3）若()f x 在区间D 上是增函数，且()()12f x f x >,1x 与2x 的大小关系是否确定？若确定，请说出12,x x 的大小关系。
例1、若函数()f x 在R 上为增函数，且()(3)f a f <，求实数a 的取值范围. 一题多变：（1）若本例中条件不变，把“()(3)f a f <”改为“()(23)f a f a >+”求实数a 的取值范围.（2）若把本例中条件“R ”改为“[]1,5-”，其余不变，求实数a 的取值范围 . 认真阅读课本7879页内容，思考并回答下列问题如果函数()x f y =在区间D 上 或 ，那么就说函数()x f 在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的 .【问题2】：设A 是区间D 上某些自变量值组成的集合，而且,,21A x x ∈∀当21x x <时，都有()()21x f x f <，我们能说函数()x f 在区间D 上单调递增吗？你能举个例子吗？例2.用定义法证明函数()()kf x k x=为正常数在），（∞+0上单调递减。
苏教版必修一2.4函数的单调性(学案含答案)(完整资料).doc
当0<x1<x2< 时，0<x1x2<a，又x1－x2<0，
∴ ，即 ，
∴函数 在（0， ）上是减函数。
当 <x1<x2时，x1x2>a，又x1－x2<0，
∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），
∴函数f（x）在（ ，＋∞）上是增函数。
例题1若函数f（x）＝ 在（－∞，－1）上是减函数，求实数a的取值范围。
二、解答题
9. 设 是定义在R上的函数，对 、 恒有 ，且当 时， 。
（1）求证： ；
（2）证明： 时恒有 ；
（3）求证： 在R上是减函数；
（4）若 ，求 的取值范围。
1. 2 解析：画出 的图象如下：
由图可知， 的最小值是2。
2.
解析：画出分段函数 的图象如下：
而 ，观察图象可知满足 的解集。
3. （1） ；（2）
，即 ，
∴ 在 上是增函数。
技巧点拨：对于抽象函数（未给出具体解析式的函数）的求值问题，需要根据题目给出的已知条件进行灵活赋值，求出需要求的函数值；抽象函数单调性的证明仍然采用单调性的定义以及结合题目已知来进行。
【综合拓展】
巧用函数单调性解不等式
◆解函数不等式问题的一般步骤：
①确定函数f（x）在给定区间上的单调性；
由图可知： ，∴ 。
7. （1） ；（2）
解析：（1）画出符合题意的 的图象如下图：
由图可知：二次函数 的对称轴直线方程为 ，
∴ ， 。
又∵ ，
∴ 。
（2）
画出 的图象如下图：
∵ ，又∵ ，
∴ ，
解得： 。
2.2.1函数的单调性(三)学案(含答案)
2.2.1函数的单调性（三）学案（含答案）2.2.1函数的单调性三学习目标1.能利用函数的单调性求解二次函数的最值.2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值题型一定轴定区间的最值问题例1已知函数fx3x212x5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值1R；20,3；31,1解fx3x212x53x227.1当xR时，fx3x2277，当x2时，等号成立故函数fx的最小值为7，无最大值2函数fx3x227的图象如图所示，由图可知，在0,3上，函数fx在x0处取得最大值，最大值为5；在x2处取得最小值，最小值为7.3由图可知，函数fx在1,1上是减函数，在x1处取得最大值，最大值为20；在x1处取得最小值，最小值为4.反思感悟1函数yax2bxca0在区间上是减函数，在区间上是增函数，当x 时，函数取得最小值；2函数yax2bxca0在区间上是增函数，在区间上是减函数，当x时，函数取得最大值跟踪训练1函数fxx22x2x5,5的最大值和最小值分别是A17,1B37,17C37,2D37,1答案D解析fxx22x2x5,5的对称轴为x1，所以fx在5,1上单调递减，在1,5上单调递增，f537，f11，f517，故fxminf11，fxmaxf537.题型二动轴定区间的最值问题例2已知函数fxx22ax2，x1,1，求函数fx的最小值解fxx22ax2xa22a2的图象开口向上，且对称轴为直线xa.当a1时，函数图象如图1所示，函数fx在区间1,1上是减函数，最小值为f132a；当1a1时，函数图象如图2所示，函数fx在区间1,1上是先减后增，最小值为fa2a2；当a1时，函数图象如图3所示，函数fx在区间1,1上是增函数，最小值为f132a.反思感悟本类题中对称轴是变化的，从运动观点看，让对称轴从左向右沿x轴正方向移动，分析移动到不同位置对最值的影响，借助图形，更加直观跟踪训练2已知函数fxx2ax1，求fx在0,1上的最大值解因为函数fxx2ax1的图象开口向上，其对称轴为x，当，即a1时，fx的最大值为f12a；当，即a1时，fx 的最大值为f01.题型三定轴动区间上的最值问题例3已知函数fxx22x2，xt，t1，tR的最小值为gt，试写出gt的函数表达式解fxx22x2x121，xt，t1，tR，对称轴为直线x1.当t11，即t0时，函数图象如图1所示，函数fx在区间t，t1上为减函数，所以最小值为gtft1t21；当t1t1，即0t1时，函数图象如图2所示，最小值为gtf11；当t1时，函数图象如图3所示，函数fx在区间t，t1上为增函数，所以最小值为gtftt22t2.综上可得gt反思感悟本类题中给出的区间是变化的，从运动的观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，分析移动到不同位置时对最值有什么影响，借助图形，可以更直观.清晰地解决问题跟踪训练3已知函数fxx2x1，求fx在t，t1tR上的最小值gt解fxx2x1，其图象的对称轴为x，由图象可知图略当t时，fx 在其上是增函数，函数最小值为gtftt2t1；当t1，即t时，fx在其上是减函数，函数最小值为gtft12t2t1；当tt1，即t时，函数fx在上单调递减，在上单调递增，函数最小值为gtf.综上可得gt题型四函数最值的应用例4某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数；Rx其中x是仪器的月产量1将利润fx表示为月产量x 的函数；2当月产量为何值时，公司所获利润最大最大利润为多少元总收益总成本利润解1因为月产量为x台，所以总成本为20000100x，从而fx2当0x400时，fxx300225000，所以fx有最大值f30025000，当x400时，fx60000100x是减函数，fx60000100400f300所以当x300时，fxmax25000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元反思感悟解实际应用题的四个步骤1审题解读实际问题，找出已知条件.未知条件，确定自变量和因变量的条件关系2建模建立数学模型，列出函数关系式3求解分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取值范围4回归数学问题回归实际问题，写出答案跟踪训练4将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元最大利润为多少解设售价为x元，利润为y元，单个涨价x50元，销量减少10x50个，销量为50010x50100010x个，则yx40100010x10x70290009000.故当x70时，ymax9000.即售价为70元时，利润最大值为9000元求二次函数最值的常见类型及解法求二次函数的最大小值有两种类型一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大小值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大小值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论求二次函数fxax2bxca0在区间m，n上的最值一般分为以下几种情况1若x在区间m，n内，则最小值为f，最大值为fm，fn 中较大者或区间端点m，n中与直线x距离较远的一个对应的函数值为最大值；2若xm，则fx在区间m，n上是增函数，最大值为fn，最小值为fm；3若xn，则fx在区间m，n上是减函数，最大值为fm，最小值为fn1函数yx22x，x0,3的值域为A0,3B1,0C1，D1,3答案D解析函数yx22xx121，x0,3，当x1时，函数y取得最小值为1，当x3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为1,3，故选D.2已知0x1，则函数yx32x的最大值是________答案解析原函数可化为y2x23x22，所以当x时，函数有最大值.3函数fxx22ax1在区间1,2上的最小值是f2，则a的取值范围是________答案2，解析由题意知fx在1,2上是单调递减的，因为fx的对称轴为xa，开口向上，所以a2.4求二次函数fxx22ax2在2,4上的最小值ga的解析式解函数图象的对称轴是xa，当a2时，fx在2,4上是单调增函数，函数最小值为gaf264a；当a4时，fx在2,4上是单调减函数，函数最小值为gaf4188a；当2a4时，函数最小值为gafa2a2.函数最小值为ga。
(新教材学案)第3章3.23.2.1第1课时函数的单调性含答案
3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习任务核心素养1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)1．借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量，则不难看出，图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．这个函数反映出记忆具有什么规律？我们用数学语言如何描述该规律？知识点1增函数与减函数的定义函数增函数减函数图示条件设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2) 结论f(x)在区间D上单调递增f(x)在区间D上单调递减在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？举例说明．[提示]不能．如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数．增减函数定义中x1，x2的三个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)所有的函数在定义域上都具有单调性．()(2)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则该函数是单调递增函数．()(3)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．()[答案](1)×(2)×(3)√知识点2函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．对函数单调性的理解(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最优原则，单调区间应尽可能大．2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是()A．[－4,4]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]C [由图可知，函数y ＝f (x )的单调递增区间为[－3,1]，选C.]3.函数y ＝1x 的单调递减区间是________．(－∞，0)和(0，＋∞) [结合y ＝1x 的图象可知，y ＝1x 的递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．]类型1 函数单调性的判定与证明【例1】 (对接教材P 79例题)证明函数f (x )＝x ＋1x 在区间(0,1)上是单调递减． [证明] 设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0， ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x 在区间(0,1)上是单调递减．利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号．(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．[跟进训练]1．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2xx－1在区间(1，＋∞)上单调递减．[证明]f(x)＝2＋2x－1，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1)，因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．类型2求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性．(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝⎩⎨⎧2x＋1，x≥1，5－x，x<1；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.[解](1)函数f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是单调递增的．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在区间(－∞，1)上是单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．(3)因为f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．f (x )在区间(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在区间(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．[跟进训练]2．(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数的单调性；(2)写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间．[解] (1)函数在[－1,0]，[2,4]上单调递减，在[0,2]，[4,5]上单调递增． (2)先画出f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如图．所以y＝|x2－2x－3|的减区间为(－∞，－1]，[1,3]；增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．类型3函数单调性的应用【例3】(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．(1)决定二次函数单调性的因素有哪些？由此思考该因素与区间(－∞，3]存在怎样的数量关系？(2)若f(x)是定义域上的单调函数，且f(a)>f(b)，由此我们能得出变量a，b 的大小关系吗，同样思考如何得出该例(2)中变量2x－3与5x－6的大小关系？(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]若本例(2)的函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，求x的取值范围．[解]由题意可知，⎩⎨⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x >32.∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．[跟进训练]3．(1)若f (x )在R 上是减函数，则f (－1)与f (a 2＋1)之间有( ) A ．f (－1)≥f (a 2＋1) B ．f (－1)>f (a 2＋1) C ．f (－1)≤f (a 2＋1)D ．f (－1)<f (a 2＋1)(2)若f (x )是在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )<f (－2x ＋8)的解集是________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，83 [(1)∵a 2＋1>－1，且f (x )为R 上的减函数，∴f (a 2＋1)<f (－1)．故选B.(2)∵f (x )是定义在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )<f (－2x ＋8)，∴⎩⎨⎧x ≥0，－2x ＋8≥0，x <－2x ＋8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≤4，x <83，即0≤x <83，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，83.]1．(多选)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法正确的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性ABD [由题图可知，f (x )在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故C 错误，其余选项均正确．]2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝－1x B ．y ＝x C ．y ＝x 2D ．y ＝1－xD [函数y ＝1－x 在区间(0，＋∞)上单调递减，其余函数在(0，＋∞)上单调递增，故选D.]3．如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b 的取值范围为( )A ．b ＝3B ．b ≥3C ．b ≤3D ．b ≠3C [函数f (x )＝x 2－2bx ＋2的图象是开口向上，且以直线x ＝b 为对称轴的抛物线，若函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b ≤3，故选C.] 4．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则实数k 的取值范围为________． ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 [由2k －1<0得k <12.] 5．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x 2－2)<f (－x )，则x 的取值范围是________．(－2,1) [∵f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x 2－2)<f (－x )， ∴x 2－2<－x ，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.∴x的取值范围是(－2,1)．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．若x1，x2是区间D上任意实数，且(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，能否判定f(x)在D上的单调性？[提示]能，增函数．2．到目前为止，判定函数单调性的方式有哪些？[提示]定义法、图象法和基本初等函数法．3．证明一个函数的单调性常有哪些步骤？[提示]一般遵循：设元、作差、变形、判号和下结论．4．在应用函数单调性解题时应注意什么？[提示]已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识，如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题．。
函数的单调性学案
函数的单调性【学习目标】1．理解增函数。
减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；2．培养学生的判断推理能力和数形结合，辩证思维的能力。
【课前导学】复习回顾1．函数有哪几个要素？2．函数的定义域怎样确定？怎样表示？3．函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？4．区间的表示方法。
前面我们学习了函数的概念。
表示方法以及区间的概念，今天我们来研究函数的另一性质（导入课题，板书课题）。
【学习重难点】运用单调性与奇偶性讨论函数的性质【学习过程】一、建构数学1．引例：观察y=x 2的图像，回答下列问题：问题1：函数y=x 2的图像在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着x 的增加，y 值在增加。
⇒问题2：怎样用数学语言表示呢？设x 1．x 2∈[0，+，得y 1=f （x 1）， y 2=f （x 2）。
⇒)∞当x 1<x 2时，f （x 1）< f （x 2）。
（学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发）。
结论：这时，说y 1= x 2在[0，+上是增函数。
（同理分析y 轴左侧部分）由此可有：)∞2．定义：一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1．x 2，当x 1x 2时都有f （x 1）< f <（x 2）。
那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（increasing function ）。
如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1．x 2，当x 1<x 2时都有f （x 1）>f （x 2）。
那么就是f （x ）在这个区间上是减函数（decreasing function ）。
如果函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函说y=f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f （x ）的单调区间，在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
函数的单调性学案+练习(精华)
第四讲：函数的单调性【学习要求1.从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.自学评价观察函数x x f =)(，2)(x x f =的图象从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的，2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，f (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2)(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2)(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________.讲授新课函数的单调性※ 增函数、减函数的定义【经典范例】例1 下图是定义在区间[-5，5]上的函数(x f y =根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？ 思维点拔: 例2 证明:函数xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数 证明:x)()(21x f x < )()21x f x >例3 物理学中的玻意耳定律Vkp =（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体,当其体积 V 减小时，压强p 将增大，试用函数的单调性证明之. 思维点拔: 只需证明函数Vkp =在区间()+∞,0上是减函数即可.归纳:用定义法证明函数单调性的一般步骤:( ) ( ) ( ) ( ) ( )【拓展训练】1.下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )A.y=3xB.y=-x 2C.y=︱x ︱D.y=2x+1 2.函数3)1()(-+=x k x f 在),(+∞-∞上单调递减，则k 的取值范围是（ ） A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-1 3.函数1062+-=x x y 在区间（1，4）上为（ ）函数.A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增 4．已知函数)(x f 在（－2，3）上是减函数，则有（ ）A.f(-1)<f(0)B.f(0)<f(2)C.f(1)<f(0)D.f(-1)<f(1) 5．证明函数xx x f 23)(-=在区间)0,(-∞上是增函数.函数单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（ ）A ．－7B ．1C ．17D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3)二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1． f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
函数的单调性练习题
函数的单调性练习题高一数学同步测试（6）—函数的单调性1.在区间(0.+∞)上不是增函数的函数是：B。
y=3x^2+1.2.函数f(x)=4x^2-mx+5在区间[-2.+∞]上是增函数，在区间(-∞。
-2)上是减函数，则f(1)等于：C。
17.3.函数f(x)在区间(-2.3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是：A。
(3.8)。
4.函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在区间(-2.+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是：B。
(0.+∞)。
5.已知函数f(x)在区间[a。
b]上单调，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a。
b]内：A。
至少有一实根。
6.已知函数f(x)=8+2x-x^2，如果g(x)=f(2-x^2)，那么函数g(x)：B。
在区间(0.1)上是减函数。
7.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0.-1)、B(3.1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是：D。
(-∞。
-1)∪[2.+∞)。
8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞。
5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子一定成立的是：C。
f(9)<f(-1)<f(13)。
9.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是：B。
(-∞。
]。
[1.+∞)。
10.已知函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞。
4]上是减函数，则实数a的取值范围是：C。
[-1.1]。
1.已知函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，实数 $a,b\in \mathbb{R}$ 且 $a+b\leq 0$，则下列不等式中正确的是（）A。
$f(a)+f(b)\leq -f(a)+f(b)$B。
$f(a)+f(b)\leq f(-a)+f(-b)$C。
$f(a)+f(b)\geq -f(a)+f(b)$D。
高一数学同步训练之5函数的单调性学案
函数的单调性知识梳理1.函数单调性的定义2.判断函数单调性的方法3.函数单调性的应用例题1.下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是____①y=3-2x ②y=x 2-1 ③y=x 1 ④y=-|x| 2.函数y=4x 2-mx+5在区间[)∞+，2上是增函数，在区间(]2，∞-上是减函数，则m 的值为________3.函数f(x)=ax 2-(5a-2)x-4在[)+∞,2上是增函数, 则a 的取值范围是______________ 4.根据函数f(x)=-x 2+|x|的图象得出单调区间为________5.判断函数f(x)=-x 3+1在（-∞，+∞）上的单调性；6.判断函数xx y 4+=在在(]2,0、[)∞+，2上的单调性 7.函数])1,[(,22)(2+∈+-=t t x x x x f 是单调函数，求t 的范围。
8.函数||2x x y +-=的单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .9.函数f(x)是定义在（-1，1）上的增函数，且f(a-2)-f(3-a)<0, 那么a 的取值范围为____________10.设二次函数f(x)=x 2-(2a+1)x+3⑴若函数f(x)的单调增区间为[)∞+，2，求实数a 的值；⑵若函数f(x)在区间[)∞+，2内是增函数，求a 的范围；11.设函数()f x 对于任意,,x y R ∈都有()()(),f x y f x f y +=+且0x >时()0,f x <(1)2f =-。
⑴求(0)f ；⑵试问在[3,3]x ∈-时()f x 是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；12.若函数⎩⎨⎧<-≥+=,1,1,1,1)(2x ax x x x f 在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围. 巩固练习1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )CA ．y ＝2x ＋1B ．y ＝3x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x |2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )C A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )AA ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负4.已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．②③ 5.已知函数f (x )＝3－ax a －1(a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3a (2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．(－∞，0)∪(1,3]6.函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 7.函数()x f 的定义域为()+∞,0，当1>x 时，()0>x f ，且对任意0>y x 、，都有()()()y f x f xy f +=.⑴求()1f 0 ⑵证明函数在定义域上单调递增⑶若131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，解不等式()221≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--x f x f [)+∞+,101 8．已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (0)的值；f (0)＝0(2)求f (x )的最大值；f (1)＝1(3)若对于任意x ∈[0,1)，总有4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围．a ≤1。
函数单调性教案练习题
函数单调性教案练习题第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义介绍函数单调性的概念，让学生理解函数单调递增和单调递减的定义。
通过具体例子解释函数单调性的含义，让学生能够判断简单函数的单调性。
1.2 函数单调性的性质讲解函数单调性的性质，包括单调性的继承性和局部性。
通过示例说明函数单调性的一些基本性质，让学生能够运用这些性质解决问题。
第二章：函数单调性的判定方法2.1 导数法判定单调性介绍导数法判定函数单调性的基本思路，让学生理解导数与函数单调性的关系。
通过具体例子讲解如何利用导数判断函数的单调性，让学生能够运用导数法解决问题。
2.2 图像法判定单调性介绍图像法判定函数单调性的方法，让学生能够通过观察函数图像来判断单调性。
通过绘制不同函数的图像，让学生理解图像法判定单调性的原理。
第三章：函数单调性的应用3.1 函数单调性在函数值估计中的应用介绍如何利用函数单调性来估计函数值的大小，让学生掌握这一方法。
通过具体例子讲解如何利用函数单调性来估计函数值，让学生能够运用这一方法解决问题。
3.2 函数单调性在最大值和最小值问题中的应用介绍如何利用函数单调性来解决最大值和最小值问题，让学生掌握这一方法。
通过具体例子讲解如何利用函数单调性来求解最大值和最小值问题，让学生能够运用这一方法解决问题。
第四章：函数单调性的进一步研究4.1 函数的单调区间介绍如何确定函数的单调区间，让学生能够判断函数在不同区间的单调性。
通过具体例子讲解如何确定函数的单调区间，让学生能够运用这一方法解决问题。
4.2 函数的单调性变化介绍函数单调性的变化规律，包括单调递增变为单调递减和单调递减变为单调递增的情况。
通过具体例子讲解函数单调性的变化规律，让学生能够判断函数单调性的变化。
第五章：函数单调性的综合应用5.1 函数单调性在实际问题中的应用介绍如何将函数单调性应用到实际问题中，让学生能够将理论知识与实际问题相结合。
通过具体例子讲解如何利用函数单调性解决实际问题，让学生能够运用这一方法解决问题。
高一数学 函数的单调性(1)学案
高一数学 函数的单调性（1）学案学习目标：1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性；2．通过函数的单调性的教学，渗透数形结合的数学思想，并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；3．通过函数的单调性的教学，让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象． 课前预复习：（1）函数xx f 3)(=的递减区间是 （2）设函数的范围上否认减函数，则是a R b x a x f +-=)12()(（3）函数单调性的定义是什么？单调区间是什么定义的？问题解决：一、问题情境如图（课本34页图2―1―13），是气温θ关于时间t 的函数，记为θ＝f (t )，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？问题：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征？二、学生活动1．结合图2―1―13，说出该市一天气温的变化情况；2．回忆初中所学的有关函数的性质，并画图予以说明；3．结合右侧四幅图，解释函数的单调性．三、数学建构1．增函数与减函数：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I A ．如果对于区间I 内的任意两个值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 是单调增函数，区间I 称为y ＝f (x )的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 是单调减函数，区间I 称为y ＝f (x )的单调减区间．2．函数的单调性与单调区间：如果函数y ＝f (x )在区间I 是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性．单调增区间与单调减区间统称为单调区间．注：一般所说的函数的单调性，就是要指出函数的单调区间，并说明在区间上是单调增函数还是单调减函数．练习反馈：例1：画出下列函数的图象，结合图象说出函数的单调性．1．y ＝x 2＋2x －1 2．y ＝2x例2：求证：函数f (x )＝－1x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数． 例3：说出下列函数的单调性并证明．1．y ＝－x 2＋22．y ＝2x＋1 课堂小结：利用图形，感知函数的单调性→给出单调性的严格意义上的定义→证明一个函数的单调性．课后巩固：1．已知函数f(x)＝2x 2＋(2m －1)x ＋3是偶函数，则函数f(x)在区间[－1，2]内的单调性为2．函数y ＝log (x 2－1)的单调递增区间为3．已知函数f(x)＝2x 2＋(3―m)x ―5在（－∞，－1]上单调递减，则实数m 的取值范围为_____________变题：已知函数f(x)＝2x 2＋(3―m)x ―5在[-1,1]上单调函数，则实数m 的取值范围为_____________4．已知偶函数f(x)在（－∞，0]上为减函数，且f(31)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为___________。
(完整版)函数的单调性课后练习题
函数的单调性课后练习题1.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2答案：D2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 解析：由增函数的定义易知A 、B 、D 正确，故选C. 答案：C3．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 的递减区间，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．0≤a ≤1D ．0<a <1 解析：由二次函数及反比例函数的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，∴0<a <1. 答案：D4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，那么( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：函数的对称轴x ＝1－a 3，由题意得1－a3≥1时，函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，故得a ≤－2.答案：C5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上具有单调性，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个实根B ．至多有一个实根C ．没有实根D ．有唯一的实根解析：∵f (x )是单调函数，且图象是连续不断的，又f (a )f (b )<0，则f (x )的图象必与x 轴相交，因此f (x )在[a ，b ]上必存在一点x 0，使f (x 0)＝0成立，故答案D 正确．答案：D6．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系是__________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34. 答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫347．(2011·潍坊模拟)函数y ＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2,2]时，是增函数，则m 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝2x 2－mx ＋3是开口向上的抛物线，要使x ∈[－2,2]时为增函数，只要对称轴x ＝－－m 2×2≤－2，即m ≤－8.答案：m ≤－88．函数y ＝|3x －5|的递减区间是________．解析：y ＝|3x －5|＝⎩⎨⎧3x －5，x ≥53，－3x ＋5，x <53.作出y ＝|3x －5|的图象，如图所示，函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，53. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，53 9．判断函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明．解：f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个值， 且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1＋2x 2－1－⎝⎛⎭⎫1＋2x 1－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1－1<0，x 2－1<0， ∴2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)>f (1－x )，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (x －2)>f (1－x )， ∴x －2>1－x ，∴x >32.由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，x >32，得32<x ≤2.故满足条件的x 的取值范围是32<x ≤2.品位高考1.(全国卷)设f (x )，g (x )都是单调函数，下列四个命题，正确的是( )①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增；②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增；③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案：C2．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝a x ＋1，当a >0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值范围是0<a ≤1.答案：D备课资源1.下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上不是单调函数； ③函数y ＝－1x 在定义域内是增函数；④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：函数的单调性定义是指定义在I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意性，从而①不对；y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性，故②正确．y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，从而③不对；y ＝1x 的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，而不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，从而④不对．答案：B2．(2007·福建)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎪⎪⎪⎪1x >1，∴|x |<1，且x ≠0， ∴－1<x <1且x ≠0，因此答案C 正确． 答案：C3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，(x ≥1)，5－x ，(x <1)，则f (x )的递减区间是________．答案：(－∞，1)4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎨⎧x >2x －3x >02x －3>0⇒32<x <3. 5．已知f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，判断f (x )的单调性并证明． 解：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 13＋x 1－(x 23＋x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 22)2＋34x 22＋1]<0∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．。
单调性学案练习题
单调性学案练习题
§1.3.1 单调性
一、知识点
1.导数与函数的单调性有什么关系？
设函数，如果在某个区间上，那么为该区间上的增函数；
如果在某个区间上，那么为该区间上的减函数2.思考：试结合思考：如果在某区间上单调递增，那么在该区间上必有吗？
二、典型例题
例1.确定函数在哪个区间上的增函数，哪个区间上是减函数.
例2.确定函数在哪些区间上是增函数.
例3.确定函数的单调减区间.
例4.确定函数的单调区间.
三、巩固练习
1.函数的单调减区间是 .
2.函数在上单调递增，则的取值范围是函数，
在是单调的.（填“递增”、“递减”）
4.讨论函数的单调性：
⑴ ⑵ ⑶
四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
1.已知，且，则函数在上单调递 .
2.函数的单调递增区间是函数的递增区间是，递减区间是函数的递增区间是已知，证明：
⑴ 在上是增函数；⑵当时，已知，证明：求函数单调区间已知函数在其定义域内是增函数，求的取值范围。
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第四讲：函数的单调性【学习要求1.从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.自学评价观察函数x x f =)(，2)(x x f =的图象从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的，2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，f (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2)(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2)(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________.讲授新课 函数的单调性※ 增函数、减函数的定义【经典范例】例1 下图是定义在区间[-5，5]上的函数(x f y =根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？ 思维点拔: x)()(21x f x < )()21x f x >例2 证明:函数xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数. 证明:例3 物理学中的玻意耳定律Vkp =（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体,当其体积 V 减小时，压强p 将增大，试用函数的单调性证明之. 思维点拔: 只需证明函数Vkp =在区间()+∞,0上是减函数即可.归纳:用定义法证明函数单调性的一般步骤:( ) ( ) ( ) ( ) ( )【拓展训练】1.下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )A.y=3xB.y=-x 2C.y=︱x ︱D.y=2x+1 2.函数3)1()(-+=x k x f 在),(+∞-∞上单调递减，则k 的取值范围是（ ） A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-1 3.函数1062+-=x x y 在区间（1，4）上为（ ）函数.A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增 4．已知函数)(x f 在（－2，3）上是减函数，则有（ ）A.f(-1)<f(0)B.f(0)<f(2)C.f(1)<f(0)D.f(-1)<f(1) 5．证明函数xx x f 23)(-=在区间)0,(-∞上是增函数.函数单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ）A ．－7B ．1C ．17D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3)二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1． f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。