函数的单调性学案+练习(精华)

第四讲：函数的单调性

【

学习要求

1.

从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.

自学评价

观察函数x x f =)(，2

)(x x f =的图象

从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的，

2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，

f (2). x x f =)(

在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2

)(x x f =在]0,(-∞ 上，

f （x ）随着x 的增大而_______;2

)(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着

x 的增大而________.

讲授新课 函数的单调性

※ 增函数、减函数的定义

【经典范例】

例1 下图是定义在区间[-5，5]上的函数(x f y =根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间

上，它是增函数还是减函数？ 思维点拔: x

)()(21x f x < )()21x f x >

例2 证明:函数x

x f 1

)(=在),0(+∞上是减函数. 证明:

例3 物理学中的玻意耳定律V

k

p =

（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体,当其体积 V 减小时，压强p 将增大，试用函数的单调性证明之. 思维点拔: 只需证明函数V

k

p =

在区间()+∞,0上是减函数即可.

归纳:用定义法证明函数单调性的一般步骤:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

【拓展训练】

1.下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )

A.y=3x

B.y=-x 2

C.y=︱x ︱

D.y=2x+1 2.函数3)1()(-+=x k x f 在),(+∞-∞上单调递减，则k 的取值范围是（ ） A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-1 3.函数1062

+-=x x y 在区间（1，4）上为（ ）函数.

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增 4．已知函数)(x f 在（－2，3）上是减函数，则有（ ）

A.f(-1)

B.f(0)

C.f(1)

D.f(-1)

x x f 2

3)(-=在区间)0,(-∞上是增函数.

函数单调性练习

一、选择题：

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是

（ ）

A ．y =2x ＋1

B ．y =3x 2＋1

C ．y =

x

2

D ．y =2x 2＋x ＋1

2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，

则f (1)等于 （ ）

A ．－7

B ．1

C ．17

D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）

A ．(3，8)

B ．(－7，－2)

C ．(－2，3)

D ．(0，5)

4．函数f (x )=21

++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）

A ．(0，21)

B ．( 2

1

，＋∞)

C ．(－2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ）

A ．至少有一实根

B ．至多有一实根

C ．没有实根

D ．必有唯一的实根

6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）

A ．在区间(－1，0)上是减函数

B ．在区间(0，1)上是减函数

C ．在区间(－2，0)上是增函数

D ．在区间(0，2)上是增函数

7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式

|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是

（ ）

A ．(－1，2)

B ．(1，4)

C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）

D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）

8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5

－t )，那么下列式子一定成立的是

（ ）

A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)

B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)

C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)

D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)

9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是

（ ）

A ．]1,(],0,(-∞-∞

B ．),1[],0,(+∞-∞

C ．]1,(),,0[-∞+∞

D ),1[),,0[+∞+∞