2-3-2 平面与平面垂直的判定(共53张PPT)

∠AOB就是二面角α－l－β的平面角．二面角的平面角的大
小与棱上一点位置的选取无关．
3．计算二面角的关键是作出二面角的平面角，其作法 主要有：
(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然
后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面 角的平面角． (2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所 成的角是二面角的平面角．
ABCD，设PA＝AB＝a，求平面PAB和平面PCD所成二面角
[分析]
由 CD∥AB 可 知 ， CD∥ 平 面 PAB ， 设 平 面
PCD∩ 平面 PAB ＝ l ，则 CD∥l ，∴ AB∥l ，故只须在平面
PAB内过P作PQ∥AB，
则PQ为二面角的棱，由PA⊥平面ABCD知PA⊥AB， 又 AB⊥AD ，∴ AB⊥平面 PAD ，即知 PQ⊥平面 PAD ， ∴∠APD为二面角的平面角．
二面角A－BD－C的平面角，通过解∠AOC所在的三角形求
得∠ AOC，其解题过程为：作 ∠ AOC→ 证 ∠ AOC 是二面角 的平面角→计算∠AOC，简记为“作、证、算”．
平面P 内有一个圆，直径为 AB ，过 A 作 SA⊥平面 P， C 为 上任意一点，连结SB、SC， (1)求证：平面SAC⊥平面SBC； (2)若A在SB、SC上的射影分别为E、F， 求证：∠AEF为二面角C－SB－A的平面角．
[证明] 取AC中点O，连接PO，OB.因为AO＝OC，PA
＝ PC ，所以 PO⊥AC. 因为 ∠ ABC ＝ 90°，所以 OB ＝ OA. 又 PB ＝ PA ， PO ＝ PO ，所以△ POB≌△POA ，所以 ∠ POB ＝ ∠POA，即PO⊥OB.所以PO⊥平面ABC.因为PO⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABC.
∴AE⊥CD，BE⊥CD，
∴CD⊥平面ABE， ∵CD⊂平面BCD， CD⊂平面ACD ，∴ 平面 ABE⊥平面 BCD，平面ABE⊥平面ACD.
本节学习重点：二面角的概念和面面垂直的判定． 本节学习难点：①二面角的找法．
②综合应用．
1．二面角的概念是平面几何中角的概念的扩展和延伸， 现将二者比较如下表. 角 二面角
推理与运算交互为用，相辅相成．本题第(3)问就是一典型
范例.
[例3]
[ 分析 ]
三棱锥A－BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，对
a，求二面角A－BD－C的大小． 据二面角的平面角定义，应在两个面 ABD 与
角线AC＝a，BD＝
BCD内过棱BD上一点作棱BD的垂线，据题设条件AB＝AD， BC ＝ CD ，只要取 BD 中点 O ，即可得到垂线，然后通过解
[解析] 过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥PQ ∴PQ为平面PCD与平面PAD所成二面角的棱，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD， 又∵PQ∥AB，∴PQ⊥平面PAD， ∴∠APD为二面角D－PQ－A的平面角． ∵AD＝AB＝PA，∠PAD＝Rt∠，∴∠APD＝45°，
(3)A1O⊥平面BDF；
(4)平面BDF⊥平面AA1C.
[解析]
(1)设O1为上底面的中心，连结O1G，BO1，
1 1 则O1G綊 B1C1，BE綊 B1C1，∴O1G綊BE， 2 2 ∴EG∥BO1，而BO1⊂平面BB1D1D， EG⊄平面BB1D1D.∴EG∥平面BB1D1D.
(2)B1D1∥BD ，且 B1D1 与 BD 分别为平面 BDF 外与平面 BDF内的直线，∴B1D1∥平面BDF，
[答案] ①②
三、解答题 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面ACD1⊥
平面BDD1B1.
[解析] ∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，
又ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∴AC⊥平面BDD1B1 又AC⊂平面AD1C，∴平面AD1C⊥平面BDD1B1.
5 ．如图，在直三棱柱 ABC － A1B1C1 中， E ， F 分别是 A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
2．直线l⊄平面α，过l能否作出平面β⊥α？若能作出， 可作几个？
(1)l⊥α时，能作无数个．
(2)l与α斜交时，只能作一个．
3．已知空间四边形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，且 E是CD的中点，求证：
(1)平面ABE⊥平面BCD；
(2)平面ABE⊥平面ACD.
[ 解析 ] 点．
如图． ∵ AC ＝ AD ， BC ＝ BD ， E 是 CD 的中
解法探究：如下图将原图形补成正方体 ABCD－PQRS ， 那么本例的解题途径能更简捷地得到，这种补形法是解决
空间问题的一种重要方法．
[例 6]
二面角 α－ l －β 与 γ － a－ δ满足平面 α⊥平面 γ ，
平面β⊥平面δ，且两二面角大小分别为θ1和θ2，则θ1和θ2的
关系为________．
4．求二面角的思路是“一作、二证、三算”．
[ 例 1]
平面ABC.
如图所示，已知△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90°， P
为△ ABC 所在平面外一点， PA ＝ PB ＝ PC. 求证平面 PAC⊥
[ 分析 ]
设 P 在平面 ABC 内射影为 O ， ∵ PA ＝ PB ＝ PC ，
∴OA＝OB＝OC，∴O为Rt△ABC的外心，即AC中点．
)
[解析]
PBC，故选D.
平面PAD和平面AC、平面PAB和平面AC、平
面PAD和平面PAB、平面PAD和平面PDC、平面PAB和平面
二、填空题 3 ．下列四个命题中，正确的命题为 ________( 填序
号)．
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ ②α∥β，β∥γ，则α∥γ ③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ ④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ
满足题设条件的两个二面角的平面角的大小关系是不确定
的．
[正解] θ1与θ2的大小关系不能确定 只要直线a⊥平面α，且直线l⊥平面δ，过a任作一个平
面 γ 均适合条件，由于二面角 γ － a －δ 的大小可随意改变，
因此，满足题设条件的两个二面角的平面角的大小关系是 不确定的．
一、选择题 1．二面角是指
∴∠AEF为二面角C－SB－A的平面角．
[例4]
如图：一山坡的坡面与水平面成 30°的二面角，
坡面上有一直道AB，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这 山路行走20米后升高了多少米？
[解析]
如 图 ，作 BH⊥ 水平面 ，垂足为 H ，过 H 作
HC⊥ 坡 脚 线 ， 垂 足 为 C ， 连 BC ， 则 ∠ BAC ＝ 30° ， 由
(
图形 B．一个半平面与另一个半平面组成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形
Байду номын сангаас
)
A ．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的
D．两个相交平面组成的图形
[答案] C
2．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互 相垂直的平面有
(
A．2对 C．4对 [答案] D B．3对 D．5对
BH⊥AC，HC⊥AC知，AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC
∴∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角 ∴∠BCH＝30° 在Rt△ABC中和Rt△BCH中， ∵AB＝20 ∴BC＝10，∴BH＝5(米)，
答：升高了5米．
[ 例 5]
的大小．
如 图，过正 方形 ABCD 的顶点 A 作 PA⊥平 面
2．3.2
平面与平面垂直的判定
一、阅读教材P67～69，回答： 1．从一条直线出发的两个 半平面 所组成 的 图形叫
做二面角，这条直线叫做 棱 ，这两个半平面叫做
二面角的面．棱为l，面分别为α、β的二面角记作： α－l－β . 垂直于棱l的射线OA 和OB ，则 2．在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足， 在半平面α和β内分别作 二面角的大小用其 [0°，180°] ． 射线OA和OB构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．
(2)如图(1)，在直角三角形BAC中， 2 ∵AB＝AC＝1，∴BC＝ 2，BD＝DC＝ . 2 如图(2)，△BDC是等腰直角三角形， 2 ∴BC＝ 2BD＝ 2× ＝1. 2 ∴AB＝AC＝BC.∴∠BAC＝60° .
[例2]
求证：
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分
别为棱 BC， CC1 ， C1D1 ， AA1 的中点， O 为AC 与 BD 的交点， (1)EG∥平面BB1D1D； (2)平面BDF∥平面B1D1H；
即平面PAB与平面PCD所成二面角大小为45°.
总结评述： 此题易证 AB⊥ 平面 APD ， ∵ PQ∥AB ， ∴PQ⊥平面APD.PA与PD是垂直于二面角的棱PQ的平面与
二面角的两个面 PAB和 PDC 的交线，这两条交线所成的角，
就是二面角的平面角．也就是说，作一个平面与二面角的 棱垂直，这个平面与二面角的两个面的两条交线所成的角 为二面角的平面角或其补角．
已知Rt△ABC中，AB＝AC＝1，AD是斜边BC上的高，
以AD为折痕将△ABD折起，使∠BDC成直角．
求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC； (2)∠BAC＝60°.
[证明] (1)如图(1)，∵AD⊥BC，
∴折起后，AD⊥BD，AD⊥DC，
∴AD⊥平面BDC.
∵平面ABD和平面ACD都经过AD， ∴平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
[ 错解 ] 在如图 (1) 位置时， θ1 与 θ2 互补；在如图 (2) 位 置时，θ1与θ2相等，故填θ1＝θ2或θ1与θ2互补．
[辨析]
将平面几何中的命题 (“如果一个角的两边分
别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”)错