射影定理课件2
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3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。
a b
选作题：
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， E是AC上一点，CF⊥BE于F，求证：△BFD∽△BAE。
证 ∵∠ACB=90° Rt△ECB 中 CF⊥BE ∴ 由射影定理得
又∠ACB=90° CD⊥AB,
∴
又 ∵ ∠FBD=∠ABE
∴ △BFD∽△BAE
谢 谢！
2020/6/4
D . AD 2, BD 8,求 CD、 A D O
B
AC和BC 的 长 .
解 因为ACB是半圆上的
圆周角,所以ACB 900 ,即
图1 35
ABC是直角三角形.
由射影定理可得
CD2 AD BD 2 8 16, 解得CD 4 ;
AC 2 AD AB 210 20, 解得 AC 2 5 ;
在ACD中,因为CAD ACD 900.所以 BCD ACD 900 则BCD ACD ACB
900 , 因此 ABC是直角三角形.
你都弄懂了吗？
(1)在RtABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条
用勾股定理能证明射影定理吗?
C
证明
A
D
B
CD2 AD BD
AC2 AD AB
BC2 BD AB
∵AB²=AC²+BC² ∴(AD+BD)²=AC²+BC² 即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-
BD² ∵AC²-AD²=CD²， BC²-
BD²=CD² ∴2AD·BD=2CD² ∴CD²= AD·BD
可求第三条. CD2 AD BD
AC2 AD AB
BC2 BD AB
(3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
作业：习题1.4的1，3题及选作题
1. 直角△ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156
习题1.4
BD 与CD、BC 与AC等 互 相 垂 直,因 此 可 以 从 射 影
的 角 度 来 考 察 它 们 的 关系 .你 能 发 现 这 些 线 段 之
间 的 某 些 关 系 吗?
C
A
B
D
图1 34
考察RtACD和RtCBD .
因为ACD 900 BCD,
B 900 BCD,所以
B ACD.
A
所以ACD ~ CBD .
C
B D
图1 34
则 AD CD ,即CD2 AD BD. 1
CD BD
考察RtBDC和RtBCA. 因为B是公共角, 所以BDC ~ BCA. 则 BD BC ,
BC AB
即BC 2 BD AB. 2
同理,由CDA ~ BCA,有
C
AC 2 AD AB . 3
123式反映了直角三 A
角形两直角边在斜边上的 射影与其他线段之间的关 系,因而把这三个等式统称 为直角三角形的射影定理.
B D
图1 34
上述推理表明射影定理可以从三角形相似的角度给出证明
BC2 BD AB
AC2 AD AB
C
CD2 AD DB
A
DB
射 影 定理 直角三角形斜边上的高是两直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比例 中 项; 两 直 角 边 分 别 是 它 们 在 斜 边 上 射 影与 斜 边 的 比 例 中 项.
直角三角形 的射影定理
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线 的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A
B
A
M
A´
N
M
A´ B´ N
一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在 这条直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
探究 如图1 34 , ABC 是直角三角形,CD为斜
边 AB 上的高.在这个图形中,由于线段AD与CD、
BCA
证法二
提示：
四点共圆找角
CEF ∽ CBA.
证法二
由题意可知
CFD CED 1800
所以CEDF四点共圆,
C F
CEF CDF E
B DCF 900 ,
AD
B
CDF DCF 900
B CDF CEF
ECF BCA
∆CEF∽ CBA.
练 如图1 36 , ABC 中,顶点C
而 ACwenku.baidu.com=AD²+CD²=AD²+AD ·BD
=AD(AD+BD)=AD·AB
C
利用射影定理也能推导出勾股定理: A
DB
AC2 BC2 AD AB BD AB AB2
射影定理只能在直角三角形中应用
这里犯 糊涂， 可不行！
例1 如图1 35 ,圆O上一
C
点C在 直 径AB上 的 射 影 为
BC 2 BD AB 8 10 80, 解得 BC 4 5 .
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBA. C
证法一：
F
CDAB
DEAC CD2 CE CA
E A
D
B
CDAB DFBC
CD 2
CF
CB
CE CB
ECF
CF CA
习 在 AB 边上的射影为 D,且 CD 2
C
AD BD.求证: ABC是直角三角形.
证明 在CDA和BDC中,因为
点C在AB上的射影为D,所以CD A
B D
AB.因而CDA BDC 900 .
图1 36
又因为CD2 AD DB,即 AD: CD CD : DB.
所以CDA ~ BDC . 故CAD BCD.
a b
选作题：
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， E是AC上一点，CF⊥BE于F，求证：△BFD∽△BAE。
证 ∵∠ACB=90° Rt△ECB 中 CF⊥BE ∴ 由射影定理得
又∠ACB=90° CD⊥AB,
∴
又 ∵ ∠FBD=∠ABE
∴ △BFD∽△BAE
谢 谢！
2020/6/4
D . AD 2, BD 8,求 CD、 A D O
B
AC和BC 的 长 .
解 因为ACB是半圆上的
圆周角,所以ACB 900 ,即
图1 35
ABC是直角三角形.
由射影定理可得
CD2 AD BD 2 8 16, 解得CD 4 ;
AC 2 AD AB 210 20, 解得 AC 2 5 ;
在ACD中,因为CAD ACD 900.所以 BCD ACD 900 则BCD ACD ACB
900 , 因此 ABC是直角三角形.
你都弄懂了吗？
(1)在RtABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条
用勾股定理能证明射影定理吗?
C
证明
A
D
B
CD2 AD BD
AC2 AD AB
BC2 BD AB
∵AB²=AC²+BC² ∴(AD+BD)²=AC²+BC² 即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-
BD² ∵AC²-AD²=CD²， BC²-
BD²=CD² ∴2AD·BD=2CD² ∴CD²= AD·BD
可求第三条. CD2 AD BD
AC2 AD AB
BC2 BD AB
(3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
作业：习题1.4的1，3题及选作题
1. 直角△ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156
习题1.4
BD 与CD、BC 与AC等 互 相 垂 直,因 此 可 以 从 射 影
的 角 度 来 考 察 它 们 的 关系 .你 能 发 现 这 些 线 段 之
间 的 某 些 关 系 吗?
C
A
B
D
图1 34
考察RtACD和RtCBD .
因为ACD 900 BCD,
B 900 BCD,所以
B ACD.
A
所以ACD ~ CBD .
C
B D
图1 34
则 AD CD ,即CD2 AD BD. 1
CD BD
考察RtBDC和RtBCA. 因为B是公共角, 所以BDC ~ BCA. 则 BD BC ,
BC AB
即BC 2 BD AB. 2
同理,由CDA ~ BCA,有
C
AC 2 AD AB . 3
123式反映了直角三 A
角形两直角边在斜边上的 射影与其他线段之间的关 系,因而把这三个等式统称 为直角三角形的射影定理.
B D
图1 34
上述推理表明射影定理可以从三角形相似的角度给出证明
BC2 BD AB
AC2 AD AB
C
CD2 AD DB
A
DB
射 影 定理 直角三角形斜边上的高是两直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比例 中 项; 两 直 角 边 分 别 是 它 们 在 斜 边 上 射 影与 斜 边 的 比 例 中 项.
直角三角形 的射影定理
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线 的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A
B
A
M
A´
N
M
A´ B´ N
一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在 这条直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
探究 如图1 34 , ABC 是直角三角形,CD为斜
边 AB 上的高.在这个图形中,由于线段AD与CD、
BCA
证法二
提示：
四点共圆找角
CEF ∽ CBA.
证法二
由题意可知
CFD CED 1800
所以CEDF四点共圆,
C F
CEF CDF E
B DCF 900 ,
AD
B
CDF DCF 900
B CDF CEF
ECF BCA
∆CEF∽ CBA.
练 如图1 36 , ABC 中,顶点C
而 ACwenku.baidu.com=AD²+CD²=AD²+AD ·BD
=AD(AD+BD)=AD·AB
C
利用射影定理也能推导出勾股定理: A
DB
AC2 BC2 AD AB BD AB AB2
射影定理只能在直角三角形中应用
这里犯 糊涂， 可不行！
例1 如图1 35 ,圆O上一
C
点C在 直 径AB上 的 射 影 为
BC 2 BD AB 8 10 80, 解得 BC 4 5 .
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBA. C
证法一：
F
CDAB
DEAC CD2 CE CA
E A
D
B
CDAB DFBC
CD 2
CF
CB
CE CB
ECF
CF CA
习 在 AB 边上的射影为 D,且 CD 2
C
AD BD.求证: ABC是直角三角形.
证明 在CDA和BDC中,因为
点C在AB上的射影为D,所以CD A
B D
AB.因而CDA BDC 900 .
图1 36
又因为CD2 AD DB,即 AD: CD CD : DB.
所以CDA ~ BDC . 故CAD BCD.