解析函数
第二章解析函数
第二章解析函数•复变函数的导数•解析函数的概念•初等解析函数复函数的求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.例2证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z , 有()()f z z f z +Δ−2.x yi =Δ+Δ()2()2x x y y i x yi =+Δ++Δ−−故0lim[()()]0.z f z z f z Δ→+Δ−=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.000()()() (), f z z f z f z z z z ρ′+Δ−=Δ+ΔΔ,)()(lim 000z f z z f z =Δ+→Δ所以lim ()0,z z ρΔ→Δ=再由即()f z 在0z 处连续.反之, 由例2知, 处处不可导，()2f z x yi =+但处处连续。
例5问题：对函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )，如何判别其解析（可导）性？换句话说：()(),f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系？解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
证明必要性. 若存在，设0()f z ′0()f z a ib ′=+(a , b 是实常数). 因此000()()()f z z f z f z z z α′+Δ−=Δ+Δ12()()()()a ib x i y i x i y αα=+Δ+Δ++Δ+Δ12()a xb y x y αα=Δ−Δ+Δ−Δ21(,i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ其中12Re , Im .αααα==且当时，0z Δ→120, 0.αα→→0000(,)(,),u u x x y y u x y Δ=+Δ+Δ−0000(,)(,),v v x x y y v x y Δ=+Δ+Δ−则于是有00()().f z z f z u i v +Δ−=Δ+Δ12()u i v a x b y x y ααΔ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ21().i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ由两个复数相等的条件可得设21.v b x a y x y ααΔ=Δ+Δ+Δ+Δ12,u a x b y x y ααΔ=Δ−Δ+Δ−Δ于是，1(,),(,)..a u x y v x y C R =−−当时，满足条件，().f z z 从而在平面上处处可微，处处解析1(,),(,)0..a u x y v x y y C R ≠−=−当时，仅在直线上满足条件，().f z z 故在平面上处处不解析()00.f z y y =≠从而仅在上可微，在上不可微作业3第89页，第二章习题（一）：2；4（1）（3）；5（2）（4）；7；8（2）（4）；9; 11（1）（3）。
解析函数
2、复变复值函数的导数与微分
定 义 3 ： 设 复 变 函 数 w f (z) 在 区 域 E 内 有 定 义 ，
z0, z0 z E ，如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
结论：所有多项式函数在整个复平面内是解析的，任何 一个有理分式函数 P(z) 在不含分母为零的点的区域内是解析
Q(z)
函数。
2.孤立奇点
定义 5：若函数 f (z) 在 z0 处不解析，但在 z0 的任一邻域内
都有 f (z) 的解析点，则 z0 称为 f (z) 的奇点。
若函数 f (z) 在点 z0 处不解析，而在 z0 的某一去心邻域内
t 0
t
t
即： z(t0 ) x(t0 ) iy(t0 ) ，
（B）实变复值函数可导必连续。连续不一定可导。
定义 2：如果实变复值函数 z(t) 在区间 I 处每 z(t) x(t) iy(t)。 注 1、四则运算由定义 2 推。
2) f (z) 2x3 i3y3 ，这个函数只在直线 2x 3y 0 上可
导，从而在 z 平面上处处不解析。
例 7：设函数 f (z) my3 nx2 y i(x3 lxy2 ) 。
问常数 m, n,l 取何值时， f (z) 在复平面内处处解析? 当 m 1,n l 3 时，此函数在复平面内处处解析。
即 (z2 ) 2z, 类似可得(zn ) nzn1.
注:a.定义中 z 0 方式是任意的。 b.连续函数不一定可导；但是容易证明：可导必连续。 在复变函数中，处处连续又处处不可导的函数几乎随手 可得，如 f (z) z ，而在实变函数中，要造一个这种函数却不 是一件容易的事情。 例 2：讨论函数 f (z) | z |2 和 f (x) | x |2 的可导性。可得 f (z) | z |2 只在 z0 0 处可导，而在其它点处都不可导。f (x) | x |2 处处可导。 可以证明： f (z) 可导与可微是等价的。
第二章 解析函数
在z0解析，若f (z)在区域D内每一点解析，则称f (z)在D
内解析，则称f (z)是D内的一个解析函数（全纯函数或 正则函数）。 如f (z)在 z0不解析, 则称z0为f (z)的奇点。
§1 解析函数的概念
f (z)在 z0解析
函数f (z)在z0的邻域内可导
f (z)在 z0解析 函数f (z)在z0可导 二元函数的微分 [例 ] 的解析性
§3 初等函数 3 乘幂ab与幂函数 [例 ] 求 、 和 的值。
幂函数：
形如：zb=ebLnz（z≠0，b为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意复常数）
的函数成为幂函数。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 计算sin(3+4i) ，cosi，sin6i
|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。 [例] 求方程cosz=0的解。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 求方程sinz+cosz=0的解。
其它复变数三角函数：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 反三角函数和反双曲函数 设z=cosw，则称w为z的反余弦函数，记作： w=Arccosz
ii) f’(z) =f(z); iii) 当Im(z)=0时, f(z) =ex, 其中x=Re(z)。
§3 初等函数 1 指数函数
为整数)
加法定理
§3 初等函数 2 对数函数
主值
[例] 求Ln1, Ln(-2) 以及它们相应的主值。
§3 初等函数 1 指数函数 总结：
解析函数的概念
第二章 解析函数解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象．它在理论和实际中有着广泛的应用．本章在先学习复变函数概念的基础上，讨论解析函数．学习函数解析的的一个充要条件，以及如何用实部、虚部所具有的微分性质表达函数的解析．学习常用的初等复变函数．§2.1 解析函数的概念教学目的：1．理解并掌握复变函数可微和解析的定义，以及复变函数在一点和闭区域上解析的含义；能正确判断所给函数在一点或在一个区间上的可导性与解析性．2．能理解并掌握复变函数可微、解析与实、虚部两个二 元实函数的关系（C —R 条件）；正确运用解析的充要条 件判断函数的解析性．3．熟练掌握几类初等单值解析函数，并了解几类典型的 初等多值解析函数．重难点：证明函数的可导性与解析性；掌握函数可导与解析的联系 与区别．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.1.1 复变函数的导数解析函数是复变函数论的主要研究对象, 它是一类具有某种特性的可微函数．首先, 我们类似于实函数的导数引进复变函数的导数.【定义2.1】设)(z f w =在某0()U z 内有定义,记0z z z -=∆且对 00()z z z ∀+∆∈，)()(0z f z f w -=∆)()(00z f z z f -∆+=, 如果z w z ∆∆→∆0lim00)()(lim 0z z z f z f z z --=→(A =≠∞的常数）存在 (即对0ε∀>, 0δ∃>,..s t 当D z ∈且0z z δ-<时, 总有 ε<---A z z z f z f 00)()(), 则称)(z f 在0z 可导或可微（其中D 为)(z f 的定义域）.A 称为)(z f 在0z 的导数, 记为)(0z f A '=或0|z z dw A dz ==,即 A ＝zw z f z ∆∆='→∆00lim )(00)()(lim 0z z z f z f z z --=→． 如果z w z ∆∆→∆0lim 00)()(lim 0z z z f z f z z --=→不存在, 则称)(z f 在0z 不可导或不可微．如果)(z f 在区域D 内每一点都可微, 则称)(z f 在D 内可微．注：10. 由于复变函数导数的定义与实函数导数的定义形式一致,容易验证, 实函数求导的基本公式大多可不加更改地移植到复变函数上来．20.由定义2.1易得, 若函数)(z f 在0z 可导, 则)(z f 在0z 连续(即连续是可导的必要条件) ．例1 讨论z z f =)(在z 平面上的可导性．解 在复平面上任取一点z ,由于当0→∆z 时,zz z z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的 极限不存在, 所以 z z f =)(在点z 不可导．再由z 的任意性, z z f =)(在z 平面上处处不可导．（注意z zz z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的极限不存在图2 .1）例2 证明 函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0． 证明 由于 0000()()()(0)lim lim 0z z z f z f z f z f z z z →→--=--200lim lim 0z z zz z →→===，故函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0．例3 设()Re f z z =，证明 ()f z 在全平面处处不可导． 证明 因为对平面上任意一点0z ，000000()()Re Re Re()f z f z z z zz z z z z z z ---==---，考虑当z 沿直线0Im Im z z =趋于0z 时00000000Im Im Im Im ()()Re()lim lim 1z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- 考虑当z 沿直线0Re Re z z =趋于0z 时00000000Re Re Re Re ()()Re()lim lim 0z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- ；所以当0z z →时,极限000Re()limz z z z z z →--不存在， 即()f z 在0z 没有导数． 由0z 的任意性知函数()f z 在全平面处处不可导．例4 证明: 函数nz z f =)(在z 平面上处处可导, 且 1)(-='n n nz z (n 为正整数) ．证明 在z 平面任取一点z , 因为()()()n nf z z f z z z z z z+∆-+∆-=∆∆121(1)2n n n n n nz z z z ----=+∆++∆ 所以 0lim →∆z 1)()(-=∆-∆+n nz z z f z z f , 即n z z f =)(在点z 可 导,且1)(-='n n nz z . 由点z 的任意性知, 结论成立．练习：试说明函数 224(),0()0,0xy x iy z f z x y z ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在原点不可导.提示： 22224200()(0)lim lim 01y y x ky x kyf z f xy k z x y k →→==-==-++ 则()f z 在原点的导数随k 而变化，故结论成立.§2.1.2 解析函数的概念与求导法则1.【定义2.2】如果)(z f 在点0z 的某邻域内处处可导, 则称)(z f 在点0z 解析；如果)(z f 在区域D 内可微(即)(z f 在D 内每一点都可导), 则称)(z f 在区域D 解析； 如果)(z f 在区域G 内解析, 而闭区域G D ⊂,则称)(z f 在闭区域D 上解析．如果)(z f 在0z 处 不解析，则称0z 为)(z f 的奇点.（如图2 .2）说明: 由定义2.2知,10.函数解析一定是与相关区域联系在一起的．即函数在一点解 析不是函数在该孤立点的性质. 函数在一点可导与在一点解析不等价；指函数在此点的某邻域内可导；20. 函数在一个区域D 内解析有时也称此函数为区域D 上的全纯函数或正则函数．函数在区域D 内解析等价于函数在区域D 内处处可导(即在区域D 内每一点都解析)．函数在某闭区域上解析是指函数在包含此闭区域的更大的区域内解析．2.类似于实函数的求导法则, 关于解析函数我们有如下法则：1) 四则运算：如果)(z f , )(z g 都在区域D 内解析, 则他们的和、 差、乘积以及商(商的情形要求分母函数不为零)在区域D 内仍解析, 并且 [()()]()()f z g z f z g z '''±=± ；[()()]()()()f z g z f z g z f z g z'''⋅=+⋅；2()()()()()[](()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''⋅-⋅'=≠．另：（1）常数的导数为零．（2）()1n n z nz -'=（n 为正整数）；（3）[()]()kf z kf z ''=（k 为常数）．（4）多项式函数n n n a z a za z P +++=- 110)(在z 平面上解析, 且12110)1()(---++-+='n n n a za n z na z p （5）而有理函数m m n nb z b a z a z R ++++=00)(在z 平面上使分母不为零点处处都是解析的． 2) 复合函数求导法则：设()f z ξ=在z 平面上的区域D 内解析, ()w g ξ=在ξ平面上的区域G 内解析, 并且()f D G ⊂, 则复合 函数[()]w g f z =在区域D 内也解析, 并且{[()]}()()[()]()g f z g f z g f z f z ξ'''''=⋅=⋅．3) 反函数求导法则：设函数()w f z =在区域D 内为解析函数且 ()0f z '≠，又反函数1()()z f w w ϕ-==存在且连续，则 ()11()|()(())z w w f z f w ϕϕϕ='==''． 提问：1.设41()(1)4f z z i z =-+，则方程 ()0f z '=的全部解为 . 答案: 32244(1)0sin )33k k z i z i ππππ++-+=⇒==+(其中 0,1,2)k =2.若0z 是函数 ()f z 的奇点，则()f z 在点0z 不可导.（ × ）3.若0z 是函数 ()f z 的解析点，则()f z 在点0z 可导. （ √ ）4.0()f z '存在，则()f z 在点0z 解析. （ × ） 例5 设212)23()(+-=z zz f , 由上述法则知, 2202()21(32)(32)f z z z z z ''=-+-+22021(32)(61)z z z =-+-．例6 求函数 5223()41z z f z z -+=+的解析性区域以及在该区域上的导数．解 设52()23,()41P z z z Q z z =-+=+，则P(z) , Q(z)在全平面上 解析，再由商的求导法则知()0Q z ≠时， ()()()P z f z Q z =在平面上解析，由()0Q z =得2i z =±；故函数)(z f 的解析区域是全平面除点2i z =±外的区域．且由商式求导公式得4222246104241()(41)z z z z f z z ++--'=+． §2.1.3 解析函数的一个充要条件（柯西—黎曼条件）与判别从形式上，复变函数的导数及其运算法则与实函数几乎没有什么差别，但实质上它们之间存在很大的的差异．下面，我们来研究复变函数的可微和解析与其实部、虚部两个二元实函数之间的关系．【定理2. 1】（可微的充要条件）设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微（可导）的充要条 件是 ：(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, （ 柯西—黎曼条件也称为C R -方程 ）．证明 必要性:若 )(z f 在点D iy x z ∈+=可微记ib a z f +=')(,v i u w ∆+∆=∆, y i x z ∆+∆=∆, 其中 (,)(,)u u x x y y u x y ∆=+∆+∆-，(,)(,)v v x x y y v x y ∆=+∆+∆-由导数的定义知()()()()()w f z z o z a ib x i y o z '∆=∆+∆=+∆+∆+∆()0()(0)a x b y i b x a y z z =∆-∆+∆+∆+∆∆→比较上式两边的实部、虚部得 ),(),(y x u y y x x u u -∆+∆+=∆y b x a ∆-∆=()o z +∆)(0z ∆→）),(),(y x v y y x x v v -∆+∆+=∆)()b x a y o z =∆+∆+∆(0z ∆→）再由实函数中二元实函数可微的定义知, ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微, 且xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,． 充分性: 记xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,, 且),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微,所以 w u i v ∆=∆+∆[()][()]x y x y u x u y o z i v x v y o z ''''=∆+∆+∆+∆+∆+∆ ()()()]x x y y u i v x u i vy o z ''''=+∆++∆+∆ ()()()a b i x b i a y o z=+∆+-+∆+∆ ()()()a b i x i a b i y o z =+∆++∆+∆()()()a b i x i y o z =+∆+∆+∆ ()()f z z o z '=∆+∆. 所以 00()lim lim ()x x o z w a bi f z z z∆→∆→∆∆'=++=∆∆. 说明：10. 定理2.1中条件xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,称柯西—黎曼条件或柯西—黎曼方程或C R -方程．20. 由定理2.1的证明知，如果),(),()(y x iv y x u z f +=在 点iy x z +=可微， 则有导数公式 yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(． （由C R -方程还可以写出其它形式）30.特别注意：C R -方程是函数可导的必要而非充分条件.例如：函数 2222220(,)(,)00xy x y x y u x y v x y x y ⎧+≠⎪+==⎨⎪+=⎩令 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()f z 在点0z =处满足C R -方程即0,0u v u v x y y x∂∂∂∂===-=∂∂∂∂， 但是由于()f z 在点0z =处不连续，所以函数在0z =处不可导. 在实函数中,我们知道由二元实函数具有一阶连续的偏导数可以 推得二元函数可微, 由此可得【推论】※ (可微的充分条件) 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在 区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的充分条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=处具有一阶连续的偏导数；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足C —R 条件．将上述定理1及其推论运用到区域D 的每一点上，可得函数解析的充要条件．【定理2.2】 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在D 内解析的充要条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在D 内处处可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C R -方程xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,． 【推论】设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上， 则)(z f 在D 内解析的充分条件是 (1) ),(),,(y x v v x u 在D 内具有一阶连续的偏导数； (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C —R 方程． 注： 定理2.2的充分性由推论立即可得, 但必要性的证明需要用到第三章中的解析函数的无穷可微性．例7 讨论下列函数的可导性与解析性．（1）()Re f z z =解： 设iy x z +=, 则有()Re f z z x ==,记 (,)u x y x =, 0),(=y x v ． 因1,0u u x y∂∂==∂∂, 0,0=∂∂=∂∂y v x v , 显然它们不满足C —R 条件, 所以 由定理1知, ()Re f z z =在z 平面上处处不可导且处处不解析．（2）2)(zz f =．解： 设iy x z +=, 则有222)(y x zz f +==, 记 22),(y x y x u +=, 0),(=y x v ． 因y y u x x u 2,2=∂∂=∂∂, 0,0=∂∂=∂∂yv x v , 显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需0,0==y x 即可,所以 2)(zz f =仅在原点可导, 但在z 平面上处处不解析． （3）()(cos sin )x f z e y i y =+.解：设iy x z +=,),(),()(y x iv y x u z f +=,则有 cos ,sin x xu e y v e y ==因为 cos ,sin x x x y y x u e y v u v e y ''''===-=，且四个偏导数存在且连续，所以 ()f z 在z 平面上处处可导且处处解析且)()(z f z f =' ()(cos sin )()x z u v f z i e y i y e f z x x∂∂'=+=+==∂∂． 注: 满足此例题条件的解析函数称为复指数函数．说明：在讨论具体函数的可导性和解析性时, 可先找出实部和虚部实函数,再验证定理2.2或者推论的条件(1)和(2)得出可导性. 但在回答解析性时一定要慎重, 必须再考虑函数在可导点的邻域内的可导性后才能给出正确的回答．若C —R 方程不成立，则函数一定不可导.用推论有时更方便.提问：5.函数 22()f z x iy =+在点1z i =+处是（B ）（A ）不可导的. (B) 可导的. (C) 解析的. (D)既不可导也不解析. 解 由C-R 方程可推出在 x y =上()f z 可导，在复平面上处处不 解析.6．若)(z f 在曲线C 上每点不解析，则)(z f 在C 上不可导．（ ⨯ ）7．若)(z f 在曲线C 上每点可导，则)(z f 在C 上每一点解析．（ ⨯ ） 练习：（1）讨论函数iy xz f -=2)(的可微性与解析性． 解 记2),(x y x u =, y y x v -=),(,因0,2=∂∂=∂∂y u x x u , 1,0-=∂∂=∂∂yv x v ,显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需,12-=x 即21-=x , 所以 iy x z f -=2)(仅在直线21-=x 上可导, 但在z 平面上处处不解析．(2) 讨论函数 3232()3(3)f z x xy i y x y =+++的可导性与解析性． 解 记 32(,)3u x y x xy =+, 32(,)3v x y y x y =+, 因 2233,6u u x y xy x y ∂∂=+=∂∂, 226,33,v v xy y x x y∂∂==+∂∂,显然它们都是连续的． 要使C —R 条件满足, 只需0xy = 即()f z 仅在x 轴或y 轴上的点可导， 但在z 平面上处处不解析．例8 求函数 ()f z ＝Im Re z z z ⋅-在可导点处的导数． 解 ()f z ＝2Im Re z z z xy x iy ⋅-=-+，则(,)u x y xy x =-,2(,)v x y y =，1,,0,2,u u v v y x y x y x y∂∂∂∂=-===∂∂∂∂四个一阶偏导数连续， 由C —R 方程得01x y =⎧⎨=-⎩ 故函数 ()f z 仅在一点z i =-可导，且导数为()(1)|2z i f i y =-'-=-=-．例9若函数()f z u iv =+在区域D 内解析, 则函数()i f z 也在区域D 内解析.证明 因为()()i f z if z =-, 而()f z 在区域D 内解析, 所以()i f z 也在区域D 内也解析．例10 判断函数 ()f z ＝232x y i +在何处可导，何处解析，并求 (3),(32)f i f i ''++．解 2(,)u x y x =, 3(,)2v x y y =，22,0,0,6,u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得23x y =故 函数 ()f z 仅在曲线23x y =上可导，又点3z i =+在此曲线上，所以(3)f i '+存在且(3)f i '+＝6，而32z i =+不在曲线上， 所以 (32)f i '+ 不存在．故函数 ()f z 仅在z i =-可导,且()(1)|2z i f i y =-'-=-=-． 例11判断函数 ()f z ＝322331(3)x xy i x y y -++-在复平面上 的解析性；若解析，试求()f z '．解 32(,)31u x y x xy =-+, 23(,)3v x y x y y =-，2233,6u u x y xy x y ∂∂=-=-∂∂，6v xy x∂=∂，2233v x y y ∂=-∂，四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,成立， 故函数 ()f z 在复平面上处处解析且()f z '＝23z ．例12 求实数,a b ，使()f z =2()x y i ax by -++在复平面上解析. 解()()2f x x y i ax by =-++在复平面上处处解析设(),2u x y x y =-，(),v x y ax by =+则2u x ∂=∂ 1u y ∂=-∂ v a x∂=∂ v b y ∂=∂满足C R -条件 u v x y∂∂⇒=∂∂⇒2b = u v y x ∂∂⇒=-∂∂⇒1a = 练习:设3232(,)()f x y my nyx i x xly =+++为解析函数，试确定n m l ,,的值.解：令32(,)u x y my nyx =+, 32(,)v x y x lxy =+,iv u y x f +=),(，则2x u nxy =, 323y u my nx =+, 223x v x ly =+, 2y v lxy =,这四个一阶偏导数存在且连续，因为解析函数()f z 满足C-R 方程，即：x y u v =，y x u v =-，亦即：lxy nxy 22=且323my nx +=22(3)x ly -+ 解得：m =1, 3-==l m .例13 函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一,证明: )(z f 在区域D 内必为常数．(1) ()0f z '=．（2）Re ()f z =常数．（3）)(z f 在区域D 内解析. (4) )(z f 在区域D 内为常数．（5）c bv au =+，其中a,b,c 为不 全为零的实常数.证明(1) 由()0u v v u f z i i x x y y∂∂∂∂'=+=-=∂∂∂∂ 知 0u v v u x x y y∂∂∂∂====∂∂∂∂， 故 u ，v 都是常数，从而 )(z f 在D 内必为常数．（2）因为 u ＝常数，故 0u u x y∂∂==∂∂，由C R -方程 v v x y∂∂=∂∂＝0，从而 )(z f 在D 内必为常数． (3) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则 ),(),()(y x iv y x u z f -=.由题设)(z f 和)(z f 都在区域D 内解析,由C —R 条件得x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,, xv y u y v x u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,, 解得 0,0=∂∂=∂∂y u x u , 0,0=∂∂=∂∂yv x v 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在区域D 内为常数．(4) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则222)(v u z f +=. 由题设)(z f 在区域D 内解析, 且)(z f 为常数, 记为A , 从而xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (1) 222A v u =+ (2)由(2)式得 022=∂∂+∂∂xv v x u u (3) 022=∂∂+∂∂yv v y u u (4) 若0A =, 则0)(=z f , 结论显然成立；若0A ≠,联立(1)(3)(4)得 0,0=∂∂=∂∂y u x u ，0,0=∂∂=∂∂yv x v ； 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在 区域D 内为常数．（5）设a ≠0，则a bv c u -=，于是有 y y x x v a b u v a b u -=-=,. 由C-R 方程 .;x y y x v u v u -== 得0122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==y y y x x y v a b v a b a b u a b v a b u v ∴u,v 必为常数，即f(z)为常数.说明：在讨论满足一定条件的解析函数的性质时, 柯西黎曼条件常 常起着关键的作用．例14 ※ 如果)(z f 在上半平面内解析, 则)(z f 在下半平面内解析．证明 在下半平面内任取定一点z 0以及任一点z , 则 0z ,z 都属 于上半平面, 并且 ))()(()()(0000z z z f z f z z z f z f --=-- 因为)(z f 在上半平面内解析, 所以)()()(lim 0000z f z z z f z f z z '=--→,从而)())()((lim )()(lim 0000000z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→, 即)(z f 在点z 0可导. 再由z 0的任意性, )(z f 在下半平面内解析． 说明：在讨论函数的解析性时, 有时可直接利用导数的定义． 练习：1.函数在一点可导就是函数在一点解析这种说法对吗？答：不对，函数在一点解析是指函数在此点的某邻域内解析，因此只能说函数在一点解析函数在此点一定可导．2.函数在一条曲线上可导，则函数在此曲线上解析这种说法对吗？（不对，理由同上．）3.讨论下列函数的可导性 (1) z w =; (2)z w Re =或z Im .解 (1)设z x iy =+, w u iv =+,则 u =0v =. 由高数学知识知 u =, 0v =在平面上微, 所以, z w =在原点不可导.又当(,)(0,0)x y ≠时,u x ∂=∂,u y ∂=∂, 0v x ∂=∂, 0v y ∂=∂ 要使C R -条件满足, 只须0=,0=, 即0x =且0y =这与(,)(0,0)x y ≠矛盾, 故当(,)(0,0)x y ≠时u和v 不满足C R -条件, 所以z w = 当(,)(0,0)x y ≠时, 也不可导．综上所述, z w =在平面上处处不可导．(2) 设z x iy =+, w u iv =+,则 u x =,0v =. 由高数知识 u x =与0v =在平面上可微,但 10u v x y ∂∂=≠=∂∂, 0u v y x∂∂==-∂∂, 即C R -.条件不满足, 所以, z w Re =在平面上处处不可导.同理可得, Im w z =在平面上处处不可导．5.利用z w =的不解析性据理说明函数)0(1≠=z z w 在z 平面上不解析.解 (反证法) 显然)0(1≠=z z w 在0z =不解析(因它在0z =无意义) ; 假设)0(1≠=z z w 在某一点0z '≠解析, 由解析函数的四则运算性得, z w =在某一点0z '≠也解析, 这与z w =在平面上处处不解析矛盾.故 )0(1≠=z z w 在z 平面上处处不解析．6.讨论下列函数的可微性和解析性:(1)y ix xy z f 22)(+=； (2) 22)(iy x z f +=；(3) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=.解 (1) 设()f z u iv =+, 则2u xy =, 2v x y =. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数 又2u y x ∂=∂, 2u xy y ∂=∂, 2v xy x∂=∂, 2v x y ∂=∂. 要使C R -条件满足, 只须22y x =,22xy xy =-, 即0x =且0y =所以, y ix xy z f 22)(+=仅在原点可导, 在平面上处处不解析．(2) 设()f z u iv =+, 则2u x =, 2v y =． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2u x x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 2v y y ∂=∂． 要使C R -条件满足, 只须22x y =, 即x y =．所以, 22)(iy x z f +=仅在直线0x y -=上解析, 在平面上处处不解析．(3) 设()f z u iv =+, 则323u x xy =-, 233v x y y =-. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2233u v x y x y ∂∂=-=∂∂,6u v xy y x ∂∂=-=-∂∂, 即u ,v 满足C R -条件．所以, )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=在平面上处处可导, 也处处解析．7.证明下列函数在平面上解析,并利用yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(分别求出其导数: (1))sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=;(2) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=．证明 (1) 设()f z u iv =+,则(cos sin )x u e x y y y =-, (cos sin )x v e y y x y =+． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又(cos cos sin )x u v e y x y y y x y∂∂=+-=∂∂, (sin sin cos )x u v e x y y y y y x∂∂=-++=-∂∂, 即u ,v 满足C.R 条件. 所以, ()f z 在平面上解析, 且()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ (cos cos sin )(sin sin cos )x x e y x y y y ie y x y y y =+-+++[cos sin cos sin (sin cos )]x e y i y x y y y i x y y y =++-++(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x e y i y e x y i y iye y i y =+++++(cos sin )(1)(1)x z e y i y x iy e z =+++=+(2) 同习题3(3)可证()f z 在平面上解析, 于是2222()3363()3u v f z i x y i xy x iy z x x∂∂'=+=-+=+=∂∂． 9.若函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明)(z f 在区域D 内必为常数.(1)在D 内0)(='z f ; (2))(Re z f 或)(Im z f 在区域D 内为常数． 证明 (1) 设()f z u iv =+. 因)(z f 在区域D 内解析,且由解析函数的导数与实部、虚部实函数的关系:yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')( 得 0u x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 0v y ∂=∂． 所以 u 和v 都是实常数. 故 )(z f 在区域D 内必为常数.(2) 设()f z u iv =+, 由题设 u 为实常数, 而)(z f 在区域D 内解析,由C.R.条件知0v u x y ∂∂=-=∂∂, 0v u y x∂∂==∂∂v 也是实常数.所以 )(z f 在区域D 内必为常数.小结：1.函数在一点解析与函数在一点可导不是等价命题；函数在一个区域上解析与函数在一个区域上可导是等价命题.2.判断函数的解析性时最好将其转化为运用推论即对应实、虚部函数是否具有一阶连续偏导数，是否满足柯西－黎曼条件来判定.3.多项式复函数、整数次幂的幂函数、有理函数（分母不为零时）在整个复平面上解析.解析函数的四则运算解析（作商式运算时分母不为零）.4.函数的导数公式只须记住：()u v f z i x x∂∂'=+∂∂及柯西－黎曼方程，则在求导数时可根据条件写出相应公式.易犯错误：函数在一点的解析性与在一个区域上的解析性概念混淆.判断函数解析性时方法不妥或错误运用概念.不能正确灵活地求函数的导数.。
解析函数的理解
解析函数的理解高中的函数知识点中有一块是讲解析函数，它是由不同的函数相加而得到的，具有这样特征的函数就是解析函数。
其实，解析函数应该是一类函数的统称，它的基本性质也很重要，让我们进一步认识它吧！定义：设;当x=a x^2+bx+c时，设;f(a)=x^2+bx+c，1、对于有理函数，解析式与自变量的取值无关；2、对于一般的解析函数，若自变量x的连续可导，则解析式的值域为全体实数，反之亦然。
此外，由于解析函数自变量x的取值范围是其定义域的子集，所以对于非解析函数来说，自变量x的取值范围通常都不会是整个定义域。
2、在一般意义下，解析函数满足：如果f(a)是x在[a， +∞)上的可导函数，则称f是（沿）解析函数。
3、我们把函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)，y=f(x^n)+f(x)-f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称的函数叫做隐函数。
隐函数的表达式是由隐函数f=f(x)及f的定义而得到的， f=f(x)是函数，它是在一个集合X中选择一个元素y，使得f(y)=f(x)+c。
f(x)是x的函数，我们称它为f的原函数。
4、一般地，如果函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称，那么就称函数y为y=f(x)+c的一般形式。
5、设f(x)： f(x)与函数f：有两种表示法，即原函数及一般形式。
6、函数与其图像在某点有无数多对应点，并且对应点坐标满足f(x) = 0，则称此函数为可去奇点的函数，可去奇点的函数没有实际意义。
7、对于任何解析函数，当它的图像关于原点对称时，图像总过原点；反之，当它的图像关于原点的某一固定点对称时，图像总不过原点。
8、设： f：可以是不连续的，但一定是解析的。
9、设f(x)是f的图像，是f在x处的一条“虚线”。
如果图像的函数在x处可导，则称此函数为解析函数。
第二章 解析函数
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f (z) f ' ( z ) g( z ) f ( z ) g' ( z ) [ ]' , ( g( z ) 0) 2 g( z ) g (z) 由以上讨论
在(x,y)处满足
u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在且连续； x y x y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
• 2.2.2 函数解析的充要条件 • 定理１ 设函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 内有定义，则 f ( z )在 D 内解析的充分必要条 件为 u, v 在 D 内任一点 z x iy处 （1）可微； （2）满足
ex1
试用C-R条件判定下列函数在何处可导，在何处解析：
w z
2
解 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x x
u 2y y
v 0 x
v 0 y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 仅在0点可导，但处处不解析 。
2
例2: 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问 常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处 处解析。
例1 求函数 f ( z ) z 的导数（n 为正整数）.
n
解 因为
k k ( z z )n Cn z (z )nk k 0
高中数学的解析函数的性质及应用解析
高中数学的解析函数的性质及应用解析解析函数是高中数学中的重要概念，其性质及应用在数学学科及其他学科中具有广泛的应用。
本文将围绕解析函数的定义、性质和应用展开讨论。
一、解析函数的定义解析函数又称为复变函数，它是指在复数域上有定义的函数。
具体而言，对于一个定义在复数域上的函数f(z)，如果对于复数域上任意一个复数z，该函数都有唯一的函数值w与之对应，那么f(z)即为解析函数。
解析函数的定义可以用数学符号表示为：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别表示复变函数的实部和虚部。
二、解析函数的性质1. 连续性：解析函数在其定义域上连续，即实部和虚部都是连续函数。
2. 可微性：解析函数在其定义域上可导，即满足柯西-黎曼方程的充分必要条件。
柯西-黎曼方程表示为：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。
3. 奇点：解析函数在其定义域上无奇点，即没有使函数值发散或不唯一的点。
根据解析函数的性质，我们可以推导出一些重要的结论。
例如，解析函数的导函数也是一个解析函数，解析函数的连续叠加仍然是一个解析函数等。
三、解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，不仅在数学学科中有重要意义，也被应用于其他学科中。
1. 数学学科中的应用：解析函数可以用于复数域的积分计算，例如对于沿闭合曲线C的积分∮Cf(z)dz，由于解析函数是可导的，我们可以通过柯西定理将曲线内部的积分等于曲线上的积分，简化计算。
2. 物理学中的应用：解析函数被广泛应用于物理学中的电磁场、流体力学等领域。
例如，对于电势、磁场等物理量的描述往往使用解析函数的方法，通过假设解析函数满足某些条件，可以方便地求解实际问题。
3. 工程学中的应用：解析函数在工程学中的应用也非常重要。
例如，在信号处理领域，解析函数可以用于信号的频谱分析、信号的模拟与合成等方面。
总之，解析函数作为高中数学中的重要概念，其性质和应用在数学学科及其他学科中都有广泛的应用。
§1.4 解析函数
（3）不定积分法。
例1：已知解析函数 f ( z ) 的实部 u( x, y) x2 y 2，
求其虚部和该解析函数。 解：
2u 2 2 x
u 2 2 y
2
u是一调和函数
曲线积分法
u 2x x 由C-R条件 u 2 y y
1 所以除z 0外，w 在复平面上处处 z 解析，z 0是它的奇点 .
定理1 若在区域D内，f ( z )、g ( z )解析，则
其和、差、 积、商（使分母为零的 点除外）仍解析.
定理 2.
h g ( z )在D内解析，w f (h )在G内 解析， 又对D内的每一点Z，g ( z )对应 的h值在G内， w f [ g ( z )]在D内解 则 析.
2
则称
u x, y 为B上的调和函数，方程
u u 2 0 2 x y
2 2
u u 2 0 2 x y
2
（记为
u 0
）称为拉普拉斯方程。
性质2：若 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在B上解析， 则u、v均为B上的调和函数，称为共轭调和函数， 即
所以：v
1
2
sin 2 c
整个函数可表示为： 1 1 f ( z ) 2 cos 2 i 2 sin 2 c 1 i 2 1 2 e ic 2 ic z
v 2y x
v 2x y
v v dv dx dy 2 ydx 2 xdy x y
v dv
v
0, y
x, y
解析函数的理解
解析函数的理解我的理解是解析函数就是一个函数对自变量，也就是取得值在x 轴或者Y轴上面的函数。
这里所说的x轴和Y轴分别指的是对应于所取的自变量，只与自变量自身的一种特定关系的参照物。
1、解析函数都有一个基本性质，即当我们用解析函数解析式表示一个给定的函数时，一般情况下在左边自变量的对应值，会是符合我们要求的解析式中x轴和Y轴的一个函数值。
所以可以使用解析式解答问题。
不需要特别提示的就是y=f(x)， f(x)就是y=f(x)，如果f(x)，f(-x)， f(0)， f(2)……其实f(x)=y。
2、我们再来看解析式x=f(x)在自变量上也可以写成很多种形式，例如： y=f(x)+c。
从自变量角度来说就是把自变量写成含有已知值f的形式。
当然了，只有这些解析式才能用于解析函数，那么，我们把上面的解析式记住之后呢，就会发现，原来解析式不但可以把自变量直接表示出来，还可以通过f(x)，也就是解析式得到自变量的单调区间。
从而也就有了不同的解析函数之间的关系。
2、任意两个解析函数相乘，都是先对应的两个函数值进行相乘。
如果他们有共同点，即都符合x， y满足的关系。
我们称为这两个解析式相乘等于零。
如果没有共同点，或者说有差异，就要看乘积是否在零点上，有无意义。
如果在零点上，则是我们所熟知的二次函数，因为二次函数的图像可以简化为一条直线，与y=f(x)相乘为零，所以二次函数相乘等于零。
如果不在零点上，又是什么情况呢？这就要看， f(x)、 g(x)分别是两个函数在x轴的分界点，有意义的，这两个函数相乘等于零；没有意义，这两个函数相乘等于零。
3、利用对应法则。
对应法则的基本思想是：在求自变量值时，通常把一个实际问题（或函数）的自变量按照某种条件换算成与它有对应关系的另一个实际问题（或函数）的自变量，并对两个实际问题（或函数）求导，利用对应法则求得实际问题（或函数）的解析式。
在指数上有几个实用的解析函数，包括e^x， e^y， f^x， f^y，f^{-x}， g^x， g^y，它们分别对应x=0， x=y=1， y=x=-1， x=-y=-1，y=x=-1， y=0。
解析函数
第二章 解析函数[Cauchy-Riemann 条件的说明]二元函数),(y x u 的可微：()22''y x o y B x A u dy u dx u du y x ∆+∆+∆+∆=∆⇔+=y u x u u y x ∆+∆≈∆''[命题] ),(y x u 的一阶偏导数),('),,('y x u y x u y x 连续),(y x u ⇒的可微。
设ib a z f +=)('，由于zz f z ∆∆=→∆ω0lim )('，)(z f =ω在（x ，y ）可导意味着 ()()x b y a i y b x a y i x ib a z z f v i u ∆+∆+∆-∆=∆+∆+=∆≈∆+∆=∆))(()('ω x v y u b y v x u a x b y a v y b x a u ∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=⇒⎩⎨⎧∆+∆≈∆∆-∆≈∆, )(')('z f xv i x u ib a z f x =∂∂+∂∂=+= 另一版本的说明见课件。
------------------------------------------------------------------------------------[命题] 若R b a b a ∈≠,,，则iby ax +处处连续但处处不可导。
[证明] by y x v ax y x u ==),(,),(处处可微，因此函数处处连续，b v v u a u y x y x ===='0'0''，当且仅当b a =时CR 条件才满足，所以函数处处不可导。
□ 例如yi x z y i x iy x z z f ⋅+=+-==0Re ,2,)(等。
当b a =时a i a z f az iay ax z f =+==+=0)(',)(，与实变函数ax),(),,(y x v y x u P38 例 32222)(,2)(,)(y x z z h yi x z g z z f +==+==的可导、解析性。
解析函数
u v u v , . x y y x
Cauchy Riemann 方程 (简称 C R 方程)
定理 2.1 (可导的充要条件) f ( z ) u iv 在 z x iy 可导 (1) u、v 可微； ( 2) u、v 满足 C R 方程 : u v u v , . x y y x
例3 研究函数 h( z ) z 的解析性.
2
解： h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) (1) z0 0, lim 0. z 0 z ( 2) z0 0, 令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 ,
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
或
w f ( z0 )z o(| z |) ( z 0),
也称 df ( z0 ) f ( z0 )z 或 f ( z0 )dz 为 f ( z ) 在 z0 处
解析函数的运算法则
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析.
( 2) 设函数 g( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w f ( ) 在 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D 内的每一个点z , 函数 g( z ) 的对应值 都属 于 G , 那末复合函数w f [ g( z )] 在 D 内解析.
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都
大学复变函数的解析函数
大学复变函数的解析函数复变函数是数学中的一门重要课程，它研究了在复平面上定义的函数。
其中，解析函数是复变函数中的一类特殊函数，具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍关于大学复变函数中解析函数的定义、性质以及实际应用等方面的内容。
1. 解析函数的定义解析函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
具体地，如果函数f(z)在区域D内对复平面上的任意一点z定义了导数，则称f(z)是D上的解析函数。
2. 解析函数的性质解析函数具有以下几个重要的性质：2.1. 可微性：解析函数在其定义域内处处可导，并且导数在定义域内也是解析函数。
2.2. 全纯性：解析函数无奇点，即在其定义域内处处解析。
2.3. 可积性：解析函数可以在其定义域上进行积分，并且积分与路径无关。
2.4. 唯一性：由于解析函数的可微性，其导数也是唯一确定的。
2.5. 极值点：解析函数没有极值点，即在其定义域内不存在局部极大值或极小值点。
3. 常见的解析函数复变函数中有许多常见的解析函数，包括：3.1. 幂函数：f(z) = z^n，其中n为整数。
3.2. 指数函数：f(z) = e^z。
3.3. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.4. 对数函数：f(z) = ln(z)。
4. 解析函数的实际应用解析函数在科学、工程和数学领域中有广泛的应用，例如：4.1. 工程设计中的电路分析和控制系统设计需要用到解析函数，如电容、电感和电阻等元件的阻抗计算。
4.2. 物理学中的波动现象研究需要用到解析函数，如光学中的折射和衍射等现象。
4.3. 金融学中的统计模型和风险管理需要用到解析函数，如利率模型和期权定价等。
4.4. 数学领域中的傅里叶分析和调和函数研究需要用到解析函数，如信号处理和信号重构等。
综上所述，解析函数是复变函数中非常重要的一类函数，具有许多重要的性质和应用。
了解和掌握解析函数的定义、性质以及实际应用对于深入理解和应用复变函数具有重要意义。
解析函数
§1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 §２ 初等解析函数 §3 初等多值解析函数
§1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
１．复变函数的导数与微分
定义2.1 设函数 w f ( z ) 在点 z0 的邻域内D （或含 z0的区域
内）有定义， 若极限 存在， 则称此极限为函数 f ( z )在点 z0 的导数，记为 f ( z0 ) 这时也称 f ( z ) 在点 z0 可导
例2.3 设多项式P( z) an z n an1z n1 a0 (an 0) ，则由 基本性质（１）知， P( z ) 在
z
平面上解析，且
n1 n 2 P ( z) nan z (n 1)an1z a1
对于参数方程
z (t ) x(t ) iy(t ) (t [ , ]) ， 则可直
[ f1 ( z) f2 ( z)] f1( z) f 2( z)
[ f1 ( z) f 2 ( z)] f1( z) f 2 ( z) f1 ( z) f 2( z)
f1 ( z ) f1( z ) f 2 ( z ) f1 ( z ) f 2( z ) [ ] f2 ( z) [ f 2 ( z )]2
定理2.2 设 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 则 在 D f ( z ) 内一点 充要条件是： 内有定义，
z x 可微（或在 iy
内解析）的 D
（１） u ( x, y ) ，v( x, y )在点 ( x,
y) （或在 D 内）可微；
v( x, y ) 在点 （２） u ( x, y ) ，
( x, y )（或在 D 内）满足C-R条
复变函数-第二章-解析函数
23
(3.4)当为无理数或 Im 0时：
z e
Lnz
e
(ln z i arg z 2 k i )
e
ln z
e
i arg z
e
2 k i
---- 无穷多值函数
(3.5)当 0, z 0 e0Lnz e0 1
在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且 1 Ln z Ln z z e e z 1 z
e e
1 z
1 x yi
1 z
1 z
e
x y i x2 y2 x2 y2
,
Re(e ) e
x x2 y2
y cos 2 . 2 x y
16
2、 对数函数 定义 指数函数的反函数称为对数函数.即
把满 足 e w z( z 0)的函 数 w f (z) 称为 对数 函数 , 记作w Lnz.
10
推论1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y),如果u(x, y)
和 v(x, y)的四个偏导数 :
u u v v , , , x y x y
在点(x,y)处连续 且满足 方程，则 f(z)在点 u , v v C-R u
x y z=x+iy处可导。 , x y .
给定一复数 z，如何计算 Lnz ？
令w u iv , z re i , 那 么 e u iv re i u ln r , v 2k ( k为 整 数).
w Lnz ln r i ( 2k ) ( k 0,1,) 每个确 定的k 或 Lnz ln z iArg z ln z i (arg z 2k ) 对应一
复变函数第2章解析函数
当 f (z) z时，dw= dz ，z 所以 f 在(z)点
z 0处的微分又可记为
dw zz0 f (z0 ) d z
亦即
dw
dz zz0
f (z0 )
由此可知，函数 w f (z)在点 z处0 可导与可微 是等价的.
复变函数的求导法则与高数完全类似：
则称 gx, y为 D内的调和函数
定理2.3 设 f z u i，v 若 f 在z 区域 内D 解
析，则 与u 均v 为 内D的调和函数.
定义2.4 若在区域 D内， u与 v均为调和函数
且满足C-R条件
ux vy , uy vx 则称 u 为 v的共轭调和函数
定理2.4 设 ux, y在区域 D内为调和函数，则
z0
)
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f在(z)点 处z 0连续.
同高数一样，称函数 f (z) 的改变量 w的线性部 分 f (z0 )z为函数 f (z在) 点 z处0 的微分，记作 dw 或 zz0 df(z) z，z0 即
2.1 复变函数的导数
定义2.1 设函数 w f z定义在区域 D
内，z0 D ，（z0 z） D ，若极限
lim f z0 z f z0
z0
z
存在，则称此极限为函数 f z在点 z0处的导数，
记作 f z0 或
df ，即
dz zz0
f
z0
df dz
z z0
lim
z0
f
z0
解析函数
【证明】设 f (z) zn ，故
f (z z) f (z) (z z)n zn
z[nzn1 n(n 1) zn2z (z)n1] 2
lim f (z z) f (z) nzn1
z 0
z
例 2.1.2 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性.
【解】由
f (z z) f (z)
即 ux v y，显然在复平面处处不满足C-R条件，故 原函数在复平面处处不可导。 说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不 可导是方便的．但当满足C-R条件时，函数就一定可 导吗？
例2.1.4 讨论函数w f (z) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足.
1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件
即已知一个函数可导，得出其必须满足的条件.
设w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内可导，则
由函数可导的定义，使用直角坐标，考察沿两个不同的方
向 z 0 ，得到的极限值应该相等.
注意到：
f (z z) f (z) z
u(x x, y y) iv (x x, y y) [u(x, y) iv (x, y x iy
其中 令 由上式得
lim (z) 0
z 0
f (z z) f (z) u i v ,
f (z) a i b, (z) 1 i 2
u i v (a ib)(x i y) (1 i 2)(x i y) (ax by 1x 2y) i(bx ay 2x 1y)
iz z
由于沿 e方向和沿 er 方向的导数应该相等，比较可 得极坐标形式的柯西－黎曼条件 (2.1.10)。
解析函数
求函数的奇点
求函数的奇点，方法有：
第二章 解析函数
(1) f (z) 的不连续点为函数的奇点；
(2) f (z) = u + iv ， u ，v不可微的点为函数的奇点；
(3) f (z) 的不可导的点为函数的奇点；
(4) 不满足C-R条件的点为函数的奇点；
(5) 不满足解析定义的点为函数的奇点.
0
函数f (z) 在z0可导
函数f (z) 在z0连续
3.求导法则
第二章 解析函数
复变函数的求导法则完全类似于实变函数的求导法则. 如果f (z)和g(z)在区域D内可导，则： (1) ( f (z) g(z))' f '(z) g'(z)
(2) [ f (z)g(z)]' f '(z)g(z) f (z)g'(z)
vx 2cx dy , vy dx 2 y
由C-R方程： ux
v
，
y
uy
vx
2x ay dx 2y
ax 2by (2cx dy) a 2 , b 1, c 1, d 2
所以当 a 2 , b 1, c 1, d 2 时， f (z)在复平面内处处解析.
第二章 解析函数
第二章 解析函数
解析函数是复变函数研究的主要对象. 介绍复变函数导数概念和求导法则. 重点介绍解析函数的概念及判别方法. 介绍一些常用的初等函数及其解析性. 第一节 解析函数的概念
本章内容 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数
第二章 解析函数
第一节 解析函数
• 一．复变函数的导数和微分 • 二．解析函数的概念
则f (z) 在D内为常数.
解析函数
6
当 z0 0 时, 令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i x i y 1 ik z x z x iy 1 i y 1 ik x z 1 ki 由于 k 的任意性, 不趋于一个确定的值 . z 1 ki f ( z0 z ) f ( z0 ) lim 不存在 z 0 z 2 因此, h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都
不可导，根据定义，它 在复平面内处处不解析 .
7
定理1 函数的解析点一定是它的可导 点．反之不真；点 z0 为函数 的解析点 的充分必要条件是点 z0 为其可导点所构 成的集合的内点。 推论2 复变函数不会只在有限个点或者一 条曲线上解析，它的全体解析点的集合 一定是开集。
如果f(z)再z0不解析，那么称z0为的奇点
1 2 2 2 arccos[ x / ( x + y ) ]( y >0) 或 v(x, y)= , 1 -arccos[x /(x 2 + y 2 )2 ]( y <0)
2
x
通过求偏导数的计算，不论为哪种形式，均有 u'x = v'y = x / ( x 2 + y 2 ) , u'y = -v'x = y / ( x 2 + y 2 )
不等价，但在区域内解析与在该区域内可导是等 价的.
4
证明：
事实上，复变函数在区域内解析
显然在该区域内可导.
反过来，设 f ( z ) 在区域 D内可导， 则 z D, 必存在 z 的某个邻域 U , 使得 U D, 由 f ( z ) 在区域 D内可导，必有 f ( z ) 在 U 内可导， 即 f ( z )点 z 处解析，由z 的任意性，得证 .
解析函数
充分条件
偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 满足C-R条件
x x0 y y0
lim
f ( z) u iv v u lim i y y 0 z iy y y
意义
可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
柯西—黎曼条件的应用
(d)
g ( z) 0
f g ( z )
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导， 则称f(z)在区域B内可导：
kx
的趋向得到不同的值，故原函数在z0=0 处不可导。 本例题告诉我们即使函数满足C-R条件，仍然可 能不可导．那么C-R条件还需加上什么条件才能保 证函数可导呢？因此需要讨论可导的充分必要条件 .
定理
设函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f (z)在D内一点z=x+iy可导的充要条件是：u(x,y)与 v(x,y)在点(x,y)可微，并且在该点满足CauchyRiemann(柯西—黎曼)方程
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v , r r v 1 du r r d
三、解析函数的概念
1、定义 若函数w=f (z)在点z0的及其邻域内处处可导，则称函 数w=f (z)在点z0处解析。 若函数w=f (z)在区域D内处处可导，则称函数w=f (z) 在区域D内解析，或称f (z)是区域D内的解析函数。 若w=f (z)在点z0不解析，则称点z0为w=f (z)的奇 点。
解析函数的定义及其泰勒展式的应用
解析函数的定义及其泰勒展式的应用函数是高等数学中的一个重要概念，一般用于描述自变量和因变量之间的关系。
在解析函数中，我们可以通过泰勒展式来进行其应用和求解。
解析函数的定义解析函数是指在其定义域内处处可导的复数函数。
换句话说，当一个函数可以在其定义域内进行导数的求解时，我们就称其为解析函数。
在复平面中，解析函数最基本的特征在于它的导数存在。
假设我们有一个解析函数f(z)，那么该函数可以拆分为实部u(x,y)和虚部v(x,y)两个部分。
这样，我们就可以将解析函数表示为：f(z) = u(x,y) + iv(x,y)其中，z = x+iy是一个复数，u(x,y)和v(x,y)分别表示解析函数的实部和虚部。
对于解析函数来说，复平面上的其它复数函数都能通过它来表示出来。
泰勒展式的应用泰勒定理是指将一个任意连续函数分解成无限级数的形式。
法国数学家泰勒于1715年提出了这个著名的定理。
它可以用于解析函数的求导和数值逼近，这是解析函数的重要应用之一。
简单来说，泰勒展式可以用以下的公式来表示：f (x) = f (a) + f′(a) (x - a) + f″(a) (x - a)2/2! + f‴ (a) (x - a)3/3! + ...这个公式可以将一个函数$f(x)$在点$a$处展开为无限次幂级数。
我们知道幂级数可以收敛或发散，而对于解析函数，它在它的定义域内都是收敛的。
除此之外，泰勒展式的应用还可以帮助我们求解解析函数在特定点处的导数。
通过对泰勒展式进行求导操作，我们可以得到解析函数在该点处的导数值。
这对于微积分和工程学科中的数值计算有着广泛的应用。
结语解析函数是高等数学一门精妙的学科，而泰勒展式则是解析函数求解和应用中不可缺少的一环。
通过深入研究解析函数和泰勒展式这两个概念，我们能够更好地理解和应用这两个数学概念，从而使我们能够更好地掌握高等数学中的复杂题目。
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第2章 解析函数2.1 解析函数的概念及C-R 条件复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间.2-1 ()f z 在000i z x y =+点可导的充分必要条件是（ ）. （A ）在00(,)x y 点,u v 可导，且满足C-R 条件，即,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂在00(,)x y 成立 （B ）()f z 在00(,)x y 点的一个邻域内可导 （C ）在00(,)x y 点,u v 可微，且满足C-R 条件（D ）在00(,)x y 点,u v 具有连续的偏导数，且满足C-R 条件解 由上题的推导过程知，若()f z 在0z 点可导，则,u v 在00(,)x y 可微，且,.u vu v a b x yy x∂∂∂∂==-==∂∂∂∂ 在00(,)x y 点成立.反之，若,u v 在00(,)x y 可微，且满足C-R 条件，则()i f z u vz z∆∆+∆=∆∆ i()(||)(i )i(i )(||)(i )(||)x y x y x x x x x u x u y v x v y o z z zu x y v x v y o z z zu v z o z z z ∆+∆+∆+∆∆=+∆∆∆+∆+∆+∆∆=+∆∆+∆∆=+∆∆故 0()lim x x z f z u iv z∆→∆=+∆ 选（C ）.2-2 若22222,0(,),(,),()i 0,0xy x y x y u x y v x y xy f z u v x y 2⎧+≠⎪+===+⎨⎪+=⎩，则函数()f z （ ）.（A ）仅在原点可导 （B ）处处不可导 （C ）除原点外处处可导 （D ）处处可微解 (,)u x y 在原点虽有0y v x y∂∂==∂∂但不可微；而除原点外,u v 可微但不满足C-R 条件，因此，()f z 处处不可导. 选（B ）.()f z z =如此简单一个函数却处处连续但不可导！2-3 若22()()i(32)f z x y ax by cxy x y =-+++++处处解析，则(,,)a b c =（ ）.（A ）(3,2,2) （B ）(2,3,2)-- （C ）（(2,3,2)- （D ）(2,3,2)-解 由C-R 条件及2,2,3, 2.u u v vx a y b cy cx x y x y∂∂∂∂=+=-+=+=+∂∂∂∂故2,2, 3.c a b ===- 2-3 若22()i f z xy x y =+则()f z （ ）.（A ）令在直线y x =上可导 （B ）仅在直线y x =-上可导（C ）仅在（0，0）点解析 （D ）仅在（0，0）点可导解 22,2,2,x y x y u y u xy v xy v x ====，要满足C-R 条件，要求22y x =及22xy xy =-，只有（0，0）点能满足此条件. 选（D ）.要记住在极坐标下的C-R 条件.i i ~e e z ri r θθθ∆∆+∆中“~”表示等价（无穷小）的意思(0).z ∆→这里由于是极坐标故(,)(,);u u r r u r θθθ∆=+∆+∆-(,)(,)v v r r v r θθθ∆=+∆+∆-而i()i ()e e z r r r θθθ+∆∆=+∆-当i 0,e z r θθ∆=∆=∆令i 0,e (sin 1isin )r z r θθ∆=∆=∆-+∆i ~e i (0)r θθθ∆∆→“～”是等价无穷小的等价符号.2-4 导出在极坐标下的C-R 条件.解 即i e ,(,(,),()(,)i (,),()z r u u r v v r f z u r v r f z θθθθθ==),==+在(,)r θ处可导的C-R 条件，分两种解法.1.用坐标变换法22,u u x u y u u y u x x r r r y r r r θθ∂∂∂-∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂ ,u vx y∂∂∂∂的变化与之一样，故由C-R 条件 得 22u x y u v y x vr r r r r r θθ∂∂∂∂-=+∂∂∂∂ 及 22u y x u v x y vr r r r r r θθ∂∂∂∂+=-+∂∂∂∂ (2)(1)(2)(1)vu r x y r u vy x r r θθ∂∂⎧=-⎪⨯-⨯⎪∂∂⎨∂∂⨯+⨯⎪=⎪∂∂⎩得 这便是在极坐标下C-R 条件.2.直接用定义()()(,)(,)i f z z f z u r r u r v θθθ+∆-=+∆+∆-+∆ i u v =∆+∆ 而 i()i ()e e z r r r θθθ+∆∆=+∆-∆i i i()e (e1)r re θθθθ∆+∆-+∆当 0,0r θ∆→∆→时，i i ~i e e z r r θθθ∆∆+∆ 故 0i ()limz u vf z z∆→∆+∆'=∆存在，令0θ∆=有i 0(0)(,)(,)()lim e z u r r u r f z r θθθθ∆→∆=+∆-'=∆i 0(0)(,)(,)i lim e r v r r u r r θθθθ∆→∆=+∆-+∆=i 1(i )e u vr r θ∂∂+∂∂ 令0,0r θ∆=∆→亦有0(0)(,)(,)()lime x u r u rf z ri θθθθθθ∆→∆=+∆-'=∆i 0(0)(,)(,)lim e r v r v r r θθθθθθ∆→∆=+∆-+∆i 111()e v u i r r θθθ∂∂=-∂∂ 比较上面等式得 11u ur r v u rr θθ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩与解1所得结果一致.2-5 研究下列函数的可导性与解析性 （1）2()i f z x y =- （2）33()23i f z x y =+ （3）()e cos ie sin xxf z y y =- （4）()sin ch cos sh f z x y i x y =+ 解 （1）2,0;0, 1.u u v v x x y x x ∂∂∂∂====-∂∂∂∂仅当12x =-时C-R 条件成立，故此函数在直线12x =-上处处可导.而在复平面上处处不解析. （2）226,0;0,9u u v v x y x y x x∂∂∂∂====∂∂∂∂，因此，()f z 仅在两相交直线2223x y =上处处可导，在全平面处处不解析.（3）e cos ,e sin ;e sin ,e cos .x x x x u u v v y y y y x y x y∂∂∂∂==-==∂∂∂∂C-R 条件处处成立，且,u v 偏导数处处连续，因而处处可微，即()f z 处处解析.（4）cos ch ,sin sh ;sin sh ,cos ch .u u v v x y x y x y x y x y x y∂∂∂∂===-=∂∂∂∂ ,u v 的偏导数处处连续，且C-R 条件成立，故()f z 处处解析.2-6 若u iv +是区域D 内的解析函数，那么，v iu +在D 内是否也是解析函数？ 解 只有当()i f z u v =+在D 内为常数时，v iu +才在D 内解析，否则v iu +不解析.由C-R 条件，,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂，若i v u +也解析，则有,.v u v u x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂于是,v v v v x x y y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂，故0,v v v x yβ∂∂==≡∂∂为常数，从而u α=也是常数. 结论，若i u v +是D 内不为常数值的解析函数，则i v u +在D 内不解析.2-7 如果()f z u iv =+是解析函数，证明222(|()|)(|()|)|()|.f z f z f z x y∂∂'+=∂∂证|()|f z =|()||()|uu vv f z f z x y +∂∂==∂∂ 由C-R条件得|()|f z y ∂=∂故 2222222222()()(|()|)(|()|)x x u v u u v v f x f z x y u v +++∂∂+=∂∂+222|()|.x x u v f z '=+= 2-8 如果()i f z u v =+是解析函数，证明222222()|()|4|()|f z f z x y∂∂'+=∂∂ 证 222|()|f z u v =+故2|()|2()x x f z uu vv x∂=+∂ 22222|()|2()x x xx xx f z u v uu vv x ∂=+++∂ （1） 同样 22222|()|2()y y yy yy f z u v uu vv x∂=+++∂ （2） 由C-R 条件，知()i .x y y y f z u iv v u '=+=-22222|()|x y y yf z u v u v '=+=+ 及 0xx yy xx yy u u v v +=+= 将（1）、（2）两式相加得222222()|()|4|()|.f z f z x y∂∂'+=∂∂2-9 如果()f z 与()f z 均在D 内解析，证明()f z 是常数. 证 设()f z u iv =+，则().f z u iv =-由C-R 条件,.u v v u v v x y y y x x∂∂∂∂∂∂==-=-=∂∂∂∂∂∂得0,v v x y ∂∂==∂∂从而0,u uu x yα∂∂===∂∂是实常数，v β=是实常数，()i f z αβ=+是常数.2-10 设()f z 在z 点可导(0)z ≠，证明 ()(i )r u vf z z r r∂∂'=+∂∂，其中e i z r θ= 证 在极坐标下i i 1111()(i )(i )e e r u v v uf z r r r θθθθ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂（后面的式子是顺便写出来的）故()(i )r u vf z z r r ∂∂'=+∂∂也可写作 1()(i ).v uf z z θθ∂∂'=-∂∂2.2 初等函数及其解析性复变量的指数函数具有周期性.2-11 若12e e zz=，则（ ）.（A ）12z z = （B ）122(z z k k π=+为任意整数） （C ）12i z z k π=+ （D ）122i z z k π=- 解 由于e z 的周期为2i π，故有122πi z z m -=（取,m k k =-为任意整数）得 122πi.z z k =-要注意Ln z 与ln z 的联系与区别.2-12 关于复数的对数函数，下面公式正确的是（ ）.（A ）1212Ln()Ln Ln z z z z =+ （B ）1212ln()ln ln z z z z =+（C ）2Ln 2Ln z z = （D ）2ln 2ln z z = 解 由定义121212Ln()Ln ||iArg()z z z z z z =+1122Ln ||iArg Ln ||iArg z z z z =+++12Ln Ln .z z =+（B ）不正确在于121212Ln()Ln ||iArg()z z z z z z =+而当12arg arg π,z z +>或12arg arg πz z +≤-时， 1212arg()arg arg z z z z ≠+，故（B ）不成立.2-13 Ln(1)-和它的主值分别是（ ）.（A ）1Ln(1)()πi,(2k k -=+为整数）主值ln(1)0-=（B ）Ln(1)(21)πi,k -=-主值ln(1)πi -= （C ）Ln(1)(21)πi,k -=-主值ln(1)πi -=-（D ）Ln(1)ln1iA rg(1)-=+-，主值ln(1)πi -=解 Ln(1)ln1iArg(1)i(21)π.m -=+-=+，取1(m k m =-为整数，k 也是整数）得 Ln(1)i(21)π,ln(1)πi.k -=--= 选（B ）.注意复变量的三角函数与实变量三角函数的联系与差别.2-14 设k 为整数，则方程sin 0z =的根是（ ）.（A ）πi z k = （B ）2πz k = （C ）πz k = （D ）2πz k =解 即i i e e 02iz z--=，即2i e 1.z =设2i 2i ,e e (cos 2isin 2)1z y z x y x x -=+=+=，故0,cos 21,π.y x x k === 选（C ）2-15 证明对数函数的下列性质.（1）1212Ln()Ln Ln z z z z =+ （2）1122Ln Ln Ln z z z z =- 并说明以上性质对于函数ln z 未必成立.证 （1）121212Ln()Ln ||Arg()z z z z i z z =+ 1122Ln ||iArg Ln ||iArg z z z z =+++ 12Ln Ln z z =+ （2）可用（1）的结果：1112222Ln Ln()Ln Ln .z zz z z z z =⋅=+ 故 1122Ln=Ln Ln .z z z z - 以上等式成立的意思是说12Arg()z z 与12Arg +Arg z z 是相同的集合.而对于主值：121212ln()ln ||i arg(),z z z z z z =+111ln ln ||i arg z z z =+ 222ln ln ||i arg .z z z =+不一定总有1212arg arg arg().z z z z += 如121i,i,z z =--=-则121i z z =-+121233arg()π,arg ,arg()424z z z z ππ=-=-= 12125arg arg πarg().4z z z z +=-≠故 12ln ln z z +一般不一定与12ln z z 相等，但当12arg arg z z ππ<+≤时，公式成立，如 ππln(1)ln(i i)i()i π22-=⋅=+=不成立.z z ln 2ln 2≠这是复函数与实函数不同之处，值得注意。