类型二 图形形状变化引起的探究
二年级数学教案形状的变换与分类
二年级数学教案形状的变换与分类教案：二年级数学——形状的变换与分类引言：形状是数学中的一个重要概念，通过学习形状的变换与分类，学生能够培养观察、比较和归纳等思维能力。
本教案将以教师引导和学生参与的形式，帮助学生深入理解形状的变换与分类。
一、知识准备：本课程旨在帮助学生回顾和巩固之前学过的形状知识，确保学生对不同形状的外形、边数和角度有正确的认知基础。
二、形状的变换：1. 平移：在平面内，平移是指将图形在保持大小、形状和方向不变的情况下，沿着一定方向移动一段距离。
请学生通过活动实践，体验和理解平移的概念和方法。
2. 翻转：翻转是指将图形绕着某条线旋转180度，形成一个对称的图形。
引导学生通过观察和讨论，掌握翻转的操作方法和特点。
3. 对称轴：对称轴是指一个图形中可以分成两部分，两部分完全相同的一条线。
请学生在具体问题中，找出图形的对称轴，并感受对称轴带来的特殊性质。
三、形状的分类：1. 按边数分类：介绍三角形、四边形、五边形等常见的多边形，要求学生能够根据边的数量正确分类不同的图形，并准确描述它们的特征。
2. 按角度分类：了解直角、钝角、锐角等各种角度，并鼓励学生以不同的方式度量和比较角度大小。
3. 按属性分类：引导学生根据图形的其他属性，如是否有对称轴、是否包含圆等，进行更加细致的分类。
四、形状的综合应用：结合生活实际，设计一些与形状相关的问题和游戏，鼓励学生在实践中应用所学知识，提高观察能力和解决问题的能力。
五、巩固练习：通过练习题，检查学生对形状的变换和分类有无掌握，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
六、课堂小结：通过课堂教学，学生在教师的引导下，全面了解和掌握了形状的变换与分类的相关知识。
同时，通过活动实践和问题解决，培养学生的观察、比较和归纳等思维能力。
结束语：形状的变换与分类是数学学科中的基础知识，也是培养学生逻辑思维和观察能力的重要内容。
通过本教案的学习，相信学生们能够更好地理解形状的特点，丰富自己的数学知识，提高问题解决的能力。
小学数学北师版二级上册《图形的变化》教案
小学数学北师版二级上册《图形的变化》教案教学目标一、知识与技能通过观察、操作，初步认识轴对称现象、平移、旋转现象。
二、过程与方法发展学生的空间观念，培养学生的观察能力和动手操作能力，学会欣赏数学美。
三、情感态度和价值观通过探究活动，激发学生的热情，培养主动探究的能力。
教学重点初步认识轴对称现象、平移、旋转现象。
教学难点知道轴对称图形的特点，运用平移、旋转的知识解决生活中的问题。
教学方法讲授法。
课前准备多媒体课件、投影仪，使用“学乐师生” APP拍照，和同学们分享。
课时安排1课时。
教学过程一、导入新课1．同学们，你们喜欢上手工课吗？都会做什么手工呢？今天老师给大家带来了淘气和笑笑在手工课上剪的一些漂亮的图案。
看看，你发现了什么？和大家一起交流一下。
2．明确目标。
二、新课学习1．剪背心。
同学们，你们想亲自动手试一试，剪出这样漂亮的图案吗？先看看要想剪出一件小背心，该怎么做呢？说给大家听。
2．想办法得到上面的几个图案。
你有办法剪出上面其他几个图案吗？说说你的剪法。
小组内尝试讨论，全班交流。
小组内试着剪出这些图案。
3．实际生活中也有很多这样的对称现象，你知道哪些呢？。
4．认识平移。
（1）你们听说过游戏“华容道”吗？（2）想一想，怎样才能让曹操从华容道逃走？在小组里讨论，试一试。
（3）能让曹操从华容道逃走吗？你发现了什么？（4）其实生活中还有很多与游戏类似的平移现象，你能说出几种吗？5．认识旋转。
（1）生活中有平移的现象，还有旋转的现象，比如我们喜欢玩的陀螺。
现在拿出我们准备好的硬纸板和火柴棍，试着制作陀螺。
在制作之前，你想到了什么问题？小组内讨论研究，班级交流。
6．动手制作陀螺。
7．我们的生活中有没有旋转的现象呢？说一说。
三、结论总结本节的新课已经学完了，那在这堂课上你收获了什么？还有什么疑惑？四、课堂练习五、作业布置六、板书设计图形的变化轴对称平移旋转。
小学科学8《形状改变了》(教案)二年级上册科学苏教版
小学科学8《形状改变了》（教案）二年级上册科学苏教版标题：小学科学8《形状改变了》（教案）二年级上册科学苏教版引言：本篇文章将为您提供一份针对小学二年级上册科学课程中的《形状改变了》教案。
该教案旨在帮助学生掌握物体形状改变的原因、过程和结果，并通过实践操作加深理解。
本教案将按照“导入、讲解、实践操作、总结、拓展”五个环节进行，确保学生全面掌握相关知识。
导入（引起学生兴趣，激发探究思维）1. 通过展示一组有趣的图片，引导学生观察物体的形状差异，并分享对于形状改变的猜测。
2. 引导学生回忆并分享日常生活中物体形状发生改变的经验，如冰块融化、橡皮变形等。
讲解（理论知识阐述，引导思考）1. 通过教师简明扼要地解释物体形状改变的概念，引导学生思考形状改变的原因。
2. 介绍温度、力和湿度对物体形状的影响，并提供常见实例加深理解。
3. 引导学生思考形状改变的过程和结果，并提出相关问题，激发学生积极参与讨论。
实践操作（动手实践，巩固理论知识）1. 分发实验材料和工具，如冰块、温度计和硬币。
2. 引导学生按照教师的示范，通过使用温度来改变冰块的形状，观察并记录冰块的变化情况。
3. 鼓励学生探索其他方式改变物体的形状，如使用力来改变橡皮的形状等。
总结（归纳总结，提炼核心观点）1. 回顾本次实践操作，引导学生展示和分享观察结果，并进行总结归纳。
2. 引导学生发现不同物体在不同条件下形状改变的规律，并总结影响物体形状改变的因素。
拓展（拓宽知识领域，培养综合能力）1. 通过引导学生观察身边的事物，进一步讨论其他影响物体形状改变的因素，如气压、水压等。
2. 提供更多拓展实践活动，如使用气球、面团等材料进行形状改变的实践操作，加深学生对于形状改变原理的理解。
3. 引导学生进行探究性学习，发现和探究其他有关形状改变的科学现象，如金属的加热与冷却过程中形状的改变等。
结语：通过这份教案，学生将能够全面理解物体形状改变的原因、过程和结果，并通过实践操作加深对相关知识的理解。
图形的变化与变形
图形的变化与变形在数学中，图形的变化与变形是一个重要的概念。
通过对图形进行变换和变形，我们可以观察到图形的性质和特点，并且可以在实际生活中应用这些概念。
本文将探讨不同类型的图形变化和变形，并讨论其在数学和日常生活中的应用。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着一个向量的方向和大小进行整体移动。
在平移变换中，图形的形状和大小保持不变，仅仅是位置发生了改变。
平移变换可以用于描述物体在空间中的位置变化，也可以用于设计中的排版和布局。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形按照某一点为中心，按照一定的角度进行转动。
在旋转变换中，图形的形状和大小不变，只是方向发生了改变。
旋转变换广泛应用于几何学、机械设计和计算机图形学等领域。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定的比例进行扩大或缩小。
在缩放变换中，图形的形状发生改变，但是相似性质保持不变。
缩放变换常用于地图、建筑设计和图像处理等领域。
四、对称变换对称变换是指将一个图形根据某一轴线进行镜像反转。
在对称变换中，图形的形状和大小保持不变，只是形状发生了镜像。
对称变换常用于艺术设计、建筑构造和密码学等领域。
五、剪切变换剪切变换是指将一个图形按照一定的比例进行拉伸或压缩。
在剪切变换中，图形的形状发生改变，同时也改变了内部的角度和长度。
剪切变换常用于建筑设计、艺术创作和工程施工等领域。
图形的变化与变形不仅在数学上具有重要意义，而且在日常生活中也有广泛的应用。
举例来说，我们在进行室内布置时，通常会使用平移变换来调整家具的位置和布局；在建筑设计中，会使用旋转变换来调整建筑物的朝向和角度；在地图和导航系统中，会使用缩放变换来调整地图的大小和比例；在艺术创作中，会使用对称变换和剪切变换来产生惊人的视觉效果。
总之，图形的变化与变形是数学中的一个重要概念，可以帮助我们理解和应用各种类型的变换。
通过学习图形的变化与变形，我们可以提升我们的数学思维能力，扩展我们的空间想象力，并且将这些知识运用到实际生活和工作中。
中考二轮之——冲刺(几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性)
几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目又可分为两大类：第一类：设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”.第二类：设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”.这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入.现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征.一.探究图形变化引出的不变性或变化规律从图形变化过程来看，又分为三条途径：Ⅰ.由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律；Ⅱ.由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律；Ⅲ.由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律.从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同.1.图形变换引出的不变性或变化规律我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。
对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：Ⅰ.化归到基本图形的“变换性质”；Ⅱ.沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性.㈠借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解答例1：在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．⑴在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑵当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，⑵中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．BB【观察与思考】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面干扰，题中的图（1），图（2），图（3）对应的几何图形就是：它们就是我们早已熟悉的基本模式；“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和都等于这个三角形一腰上的高”．至此，本题的解法已是显而易见，本题的思考就是“回归到基本模式”，而题目所体现的就是“图形中变换中的不变性”．【同型练】如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ．一正方形EFGH 的一条边EH 与AC 边在一条直线上，另一条边EF 恰好经过点B ．⑴在图1中，请你通过观察、测量BE 与CD 的长度，猜想并写出BE 与CD 满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑵将正方形EFGH 沿AC 方向平移到图2所示的位置时，EH 边仍与AC 边在同一直线上，另一条边EF 交BC 边于点M ，过点M 作MN ⊥BA 于点N ．此时请你通过观察、测量ME 、MN 与CD 的长度，猜想并写出ME 、MN 与CD 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑶将正方形EFGH 沿CA 方向平移到图3所示的位置时，EH 边仍与AC 边在同一直线上，另一条边EF 的延长线交CB 边的延长线于点M ，过点M 作MN ⊥AB 交AB 的延长线于点N ．此时请你猜想并写出ME 、MN 与CD 之间满足的数量关系，不需证明．图1 图2 图3 G G G C AB D EF A B D E F F C B A NN M M HH HGG C A B D E FA B C DE FG FE D C B A 图1 图2 图3例2：用两个全等的正方形ABCD 和CDFE 拼成一个矩形ABEF ，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF 的中点D 重合，且将直角三角尺绕点D 按逆时针方向旋转．⑴当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF 的两边BE ，EF 相交于点G ，H 时，如图甲，通过观察或测量BG 与EH 的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；⑵当直角三角尺的两直角边分别与BE 的延长线，EF 的延长线相交于点G ，H 时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由；⑶设直角三角尺与矩形ABEF 重叠部分的面积为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【同型练】已知：正方形ABCD 中，∠MAN ＝45°，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．（1）如图1，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ＝DN 时，有BM ＋DN ＝MN ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明． 图1 图2 图3 图甲 图乙G G H H F F A B C D E E D C B A例3：知四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．①当∠MBN 绕B 点旋转到AE ＝CF 时（如图1），易证AE ＋CF ＝EF ；②当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE ，CF ，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．许多由图形变换引出的不变性或变化规律问题，解法思考的第一选择是将问题化归到“基本图形的变换性质”．这也进一步说明：“化归到基本”是数学思考的最基本的最重要的原则． ㈡借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一和差异性来获得解法例4：如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，在BC 边上取两点E 、F （点E 在点F 的左边），以EF 为边所作等边△PEF ，顶点P 恰好在AD 上，直线PE 、PF 分别交直线AC 于点G 、H ． （1）求△PEF 的边长；（2）若△PEF 的边EF 在线段CB 上移动，试猜想：PH 与BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论； （3）若△PEF 的边EF 在射线CB 上移动（分别如图②和图③所示，CF ＞1，P 不与A 重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．图1 图2 图3N M N NM M C A B D E F AB C D E FF ED C B A H H H P P P G G GC A BDEF A D E FF E DC B A 图① 图② 图③例5：⑴如图①，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上的任意一点，过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交OC 于点E ，求证：CD ＝CE ． ⑵若将图①中的半径OB 所在的直线向上平移交半径OA 于点F ，交⊙O 于点B ′，其他条件不变，如图②，那么CD ＝CE 的结论还成立吗？为什么？⑶若将图①中的半径OB 所在的直线向上平移到与⊙O 相离的位置，它与半径OA 的延长线交于点G ，点E 是DA 延长线与CF 的交点，其他条件不变，如图③，那么CD ＝CE 的结论还成立吗？为什么？【说明】Ⅰ．本题的思考突出了先研究特殊，再去沟通其他的情况和特殊情况的本质联系；Ⅱ．在本题正是“平移不改变角度”这一特征，保证了题中反映的不变性的成立．由以上两个例子可以看出：相当多由图形变换引出的不变性或变化规律的问题，解法的思考应沿“变换”为线索，探究清楚其各类形态间的统一和差异，以及变换过程中“变”与“不变”间的关系． 2、由背景扩充引出的不变性或变化规律由背景扩充，尤其是从特殊到一般，是知识形成与发展的重要途径．在这个过程中，重要的课题就是研究哪些性质保持不变，哪些性质发生了变化，又是怎样的规律变化的． 解决这类问题，思考时应该突出如下两点： Ⅰ．善于构造“特殊”和运用“特殊”；Ⅱ．善于在比较中把握不同情形下的知识与方法的共同点． ㈠善于构造“特殊”和运用“特殊”例6：如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，AC ＝6，△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，连接AE 、AC 、BE ，且AC 和BE 相交于点O ． ⑴求证：四边形ABCE 是菱形；⑵如图2，P 是线段BC 上一动点（不与B 、C 重合），连接PO 并延长交线段AE 于点Q ，过Q 作QR ⊥BD 交BD 于R ．①四边形PQED 的面积是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由；②以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与以点B 、C 、O 为顶点的三角形是否可能相似？若可能，请求出线段BP 的长；若不可能，请说明理由．B'O O O G C A D E FA B C DE F E D C A 图② 图③R Q O OP C B D E A E D C BA 图1 图2GC D EAF GFB D EA例7：如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接EG ，试判断△ABC 与△AEG 的面积之间的关系，并说明理由．【观察与思考】在条件中给出的△ABC 没有任何其他限制，为了获得 △AEG 和△ABC 面积关系的认识，我们对△ABC 从“一般”中取出 其包含的“特殊”——令△ABC 中∠BAC ＝90°，即直角三角形，如图“特殊”，明显地看出，这时有Rt △ABC ≌Rt △AEG ，立刻得S △AEG ＝S △ABC，因此，促使我们产生猜想：对于任意的△ABC ，如题中操作得到△AEG ，都应当有S △AEG ＝S △ABC 。
幼儿园大班科学《图形的变换》教案带反思
幼儿园大班科学《图形的变换》教案带反思设计意图：通过幼儿对图形的认识，知道图形之间的变化。
如何让幼儿利用几何图形来拼出自己喜欢的造型呢？科学教育活动《图形的变化》就是在这个基础上的延伸，旨在通过选择不同的几何图形，来提高幼儿的拼图技能，丰富幼儿的想象力。
活动目标：1.通过让对三角形、正方形、梯形、圆形等图形进行变化操作，引导幼儿发现图形之间互相变化，转换，可以变出不同的数量的各种图形。
2.培养幼儿利用各种图形组合成各种物体的情趣。
活动准备：1.教具：三角形、长方形、梯形、圆形拼成一幅机器人画。
2.学具：每人一套各种图形的纸，放在学具袋里。
活动过程：一、引题部分。
今天，我带来了一位朋友，你们猜猜看是谁呢？（教师出示图片）他是谁啊？二、观察、思考。
1.请小朋友看一下，这机器人是由什么组成的呢？（由圆形、正方形、三角形、长方形、梯形组成）2.每种图形各有多少个呢？（圆形4个，正方形4个，长方形1个，梯形2个，三角形1个）三、动手折纸，看图形变化。
1.现在，我要把机器人身上的图形拿出来，这些图形还有其他神奇的变化。
2.教师示范图形正方形，折纸变成三角形和长方形。
四、动手动脑，感知图形变换。
我这里有许多的小图形，他们还有魔力呢，只要你用手折一折，它还会变成其他形状呢。
你们想不想试一试？1.请幼儿动手变一变（折纸）2.请幼儿说说变化的结果：正方形——变成了三角形还有长方形；圆形——变成了半圆形、扇形；长方形——变成了三角形、正方形。
五、结束部分。
五彩图形妙趣横生，小朋友，这些小图形好玩吗？那我们再把它们制作成一个机器人吧，数一数你的机器人由哪些图形组成，每个图形各有多少个。
教学反思：科学教育活动《图形的变化》采用层层递进的方式，一步步的将活动展开进行。
通过选用不同的几何图形来拼造型，极大的丰富了幼儿的想象力和创造力。
整个活动最大的亮点就是在幼儿选择几何图形拼造型的过程中，教师只是处在了支持者的基础上，以幼儿为中心，充分发挥幼儿的主体性地位，同时在活动中允许幼儿存在个别差异，允许能力强的幼儿为能力弱的幼儿提供帮助，这样也有利于培养幼儿的合作精神。
类型三：图形形状变化引起的类比探究综合题-中考数学二轮复习
类型三：图形形状变化引起的类比探究综合题方法点睛解决图形形状变化引起的类比探究题的一般思路1．形状变化的一般形式(1)等边三角形或等腰直角三角形等腰三角形 一般三角形； (2)等腰直角三角形直角三角形 一般三角形； (3)正方形矩形或菱形．2．解题方法先探究特殊图形情况下的相关结论，再推广到一般图形，将用图形之间相通或不变的性质，结合相同的思路去解决问题．关键是对试题中的变量过程进行分析，把握原有图形的特点，探究变化量的特点，常用类比思想逐步解题．一般情况下，每问采取的方法步骤基本相同，这类题目往往是数形结合思想、转化、从一般到特殊、类比思想和方程思想的综合运用，要将各种情形逐一分析，避免出错．可概括为“方法类似，思路顺延；类比渗透，知识迁移”． 典例分析例 2019年河南省中考第22题在ABC △中，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．(1)观察猜想如图1，当60α=时，BD CP 的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ； (2)类比探究如图2，当90α=时，请写出BD CP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由； (3)解决问题当90α=时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．图1 图2思路点拨(1)如下图中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()SAS CAP BAD △≌△，即可解决问题．(2)如下图中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明△DAB ∽△PAC ，即可解决问题．②如下图中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA=DC ，解决问题．解析(1)如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．∵60PAD CAB ∠=∠=，∵CAP BAD ∠=∠，∵CA BA =，PA DA =，∵()SAS CAP BAD ≅△△，∵PC BD =，ACP ABD ∠=∠，∵AOC BOE ∠=∠，∵60BEO CAO ∠=∠=， ∵1BDPC =，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60，故答案为1，60．(2)如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．∵45PAD CAB ∠=∠=，∵PAC DAB ∠=∠，∵ABADAC AP ==∵DAB PAC △△，∵PCA DBA ∠=∠，BDABPC AC ==∵EOC AOB ∠=∠，∵45CEO OABB ∠=∠=，∵直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45．(3)如图，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．∵CE EA =，CF FB =，∵EF AB ∥，∵45EFC ABC ∠=∠=，∵45PAO ∠=，∵PAO OFH ∠=∠，∵POA FOH ∠=∠，∵H APO ∠=∠，∵90APC ∠=，EA EC =，∵PE EA EC ==，∵EPA EAP BAH ∠=∠=∠，∵H BAH ∠=∠，∵BH BA =，∵45ADP BDC ∠=∠=，∵90ADB ∠=，∵BD AH ⊥，∵22.5DBA DBC ∠=∠=，∵90ADB ACB ∠=∠=，∵A ，D ，C ，B 四点共圆，22.5DAC DBC ∠=∠=，22.5DCA ABD ∠=∠=，∵22.5DAC DCA ∠=∠=，∵DA DC =，设AD a =，则DC AD a ==，PD ，∵2AD CP ==-如图，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =，设AD a =，则CD AD a ==，PD ，∵PC a =，∵2AD PC ==+ 专题过关1、(2018年河南省)如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ．填空： ①AC BD的值为 ； ②∠AMB 的度数为 ．（2）类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由；【详解】（1）问题发现：①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB ，∵OC=OD ，OA=OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC=BD ， ∴1AC BD，= ②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO=∠DBO ，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB 中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°-140°=40°，（2）类比探究：如图2，AC BD =，∠AMB=90°，理由是：Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴30OD tan OC ︒＝，同理得：303OB tan OA ︒＝， ∴OD OB OC OA＝， ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OC BD OD=＝，∠CAO=∠DBO ， 在△AMB 中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM ）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）拓展延伸：①点C 与点M 重合时，如图3，同理得：△AOC ∽△BOD ，∴∠AMB=90°，AC BD＝设BD=x ，则x ，Rt △COD 中，∠OCD=30°，OD=1，∴CD=2，BC=x -2，Rt △AOB 中，∠OAB=30°，，∴，在Rt △AMB 中，由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，)2+(x −2)2＝)2，x 2-x -6=0，（x -3）（x+2）=0，x 1=3，x 2=-2，∴②点C 与点M 重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，AC BD设BD=x ，则x ，在Rt △AMB 中，由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，)2+（x+2）2)2.x 2+x -6=0，（x+3）（x -2）=0，x 1=-3，x 2=2，∴.综上所述，AC 的长为．2、(2014年河南省)（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空：①△AEB 的度数为 ；②线段AD ，BE 之间的数量关系为 ．（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断△AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题解答：解：（1）①如图1，△△ACB和△DCE均为等边三角形，△CA=CB，CD=CE，△ACB=△DCE=90°．△△ACD=△BCE．在△ACD和△BCE中，△△ACD△△BCE．△△ADC=△BEC．△△DCE为等边三角形，△△CDE=△CED=60°．△点A，D，E在同一直线上，△△ADC=120°．△△BEC=120°．△△AEB=△BEC﹣△CED=60°．故答案为：60°．②△△ACD△△BCE，△AD=BE．故答案为：AD=BE．（2）△AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如图2，△△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，△CA=CB，CD=CE，△ACB=△DCE=90°．△△ACD=△BCE．在△ACD和△BCE中，△△ACD△△BCE．△AD=BE，△ADC=△BEC．△△DCE为等腰直角三角形，△△CDE=△CED=45°．△点A，D，E在同一直线上，△△ADC=135°．△△BEC=135°．△△AEB=△BEC﹣△CED=90°．△CD=CE，CM△DE，△DM=ME．△△DCE=90°，△DM=ME=CM．△AE=AD+DE=BE+2CM．（3）△PD=1，△点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．△△BPD=90°，△点P在以BD为直径的圆上．△点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH△BP，垂足为H，过点A作AE△AP，交BP于点E，如图3①．△四边形ABCD是正方形，△△ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，△BAD=90°．△BD=2．△DP=1，△由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．△=2AH+1．△AH=．②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH△BP，垂足为H，过点A作AE△AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP=2AH﹣PD．△=2AH﹣1．△AH=．综上所述：点A到BP的距离为或．3、已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出BFAE的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时DFDC的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵线段CE 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EC ＝EF ，∠CEF ＝60°，∴△EFC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，EC ＝CF ，∠ACB ＝∠ECF ＝60°，∴∠ACE ＝∠BCF ，∴△ACE ≌△BCF （SAS ），∴AE ＝BF ， ∴BF AE＝1．（2）不成立，结论：AE BF ＝2． 证明：连接BF ，∵AB ＝AC ，D 是BC 中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠BAC ＝∠CEF ＝90°，∴△ABC 和△CEF 为等腰直角三角形，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF ，∴AC BC ＝CE CF ＝2， ∴△ACE ∽△BCF ，∴∠CBF ＝∠CAE ＝α，∴AE BF ＝AC BC ＝2． （3）结论：当点E 为AD 的中点时，DF DC 的值最小，最小值为sin α． 连接BF ，取AC 的中点M ，连接EM ，∵AB=AC ，EC ＝EF ，∠BAC ＝∠FEC ＝2α，∴∠ACB ＝∠ECF ，∴△BAC ∽△FEC ，AC BC ∴＝EC CF， ∴∠ACE ＝∠BCF ，∴△ACE ∽△BCF ，∵D 为BC 的中点，M 为AC 的中点， ∴DF EM ＝BC AC ＝22DC AM ＝DC AM， ∴DF DC ＝EM AM ， ∵当E 为AD 中点时，又∵M 为AC 的中点，∴EM ∥CD,∵CD ⊥AD ，∴EM ⊥AD, 此时，EM AM 最小=sin α， ∴DF DC的最小值＝sin α． 4、在图1，2，3中，已知ABCD ，120ABC ∠=︒，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且120EAG ∠=︒．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，CEF ∠=_______︒；（2）如图2，BE AB >，连接AF ．①填空：FAD ∠______EAB ∠（填“>”，“<”，“=”）；①求证：点F 在ABC ∠平分线上；（3）如图3，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，请直接写出BC AB的值． 【详解】解：（1）∵四边形AEFG 是菱形，∴∠AEF ＝180°﹣∠EAG ＝60°，∴∠CEF ＝∠AEC ﹣∠AEF ＝60°，故答案为：60；∴∠F AE ＝60°，∴∠F AD ＝∠EAB ，故答案为：＝；∵当BA BE <时，如图2，作FM BC ⊥于M ，FN BA ⊥交BA 的延长线于N ，则90FNB FMB ∠=∠=︒，60NFM ∴∠=︒，又∵60AFE ∠=︒，AFN EFM ∴∠=∠，EF EA =，60FAE ∠=︒，AEF ∴为等边三角形，FA FE ∴=，在AFN 和EFM △中，AFN EFM FNA FME FA FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AFN EFM ∴△≌△()AASFN FM ∴=，又∵FM BC ⊥，FN BA ⊥，∴点F 在ABC ∠的平分线上；（3）∵四边形AEFG 是菱形，∠EAG ＝120°，∴∠AGF ＝60°，∴∠FGE ＝∠AGE ＝30°，∵四边形AEGH 为平行四边形，∴GE ∥AH ，∴∠GAH ＝∠AGE ＝30°，∠H ＝∠FGE ＝30°， ∴∠GAN ＝90°，又∵∠AGE ＝30°，∴GN ＝2AN ，∵∠DAB ＝60°，∠H ＝30°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝AH ＝GE ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ，∴BC ＝GE ，∵∠HAE ＝∠EAB ＝30°，∴平行四边形ABEN 为菱形，∴AB ＝AN ＝NE ，∴GE ＝3AB ， BC点N 是AD 的中点．（1）问题发现,如图1，当60α=时，MN PC的值是 ，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是 ； （2）类比探究，如图2，当120α=时，请写出MN PC的值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由；（3）解决问题，如图3，当90α=时，若点E 是CB 的中点，点P 在直线ME 上，MN =，请直接写出点B ，P ，D 在同一条直线上时PD 的长． 【详解】解：如图1中，连接PC ，BD ，延长BD 交PC 于K ，交AC 于G ．∵CA ＝CB ，∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB ＝∠PAD ＝60°，AC ＝AB ，∴∠PAC ＝∠DAB ，∵AP ＝AD ，∴△PAC ≌△DAB （SAS ），∴PC ＝BD ，∠ACP ＝∠ABD ，∵AN ＝ND ，AM ＝BM ，∴BD ＝2MN ， ∴MN PC ＝12． ∵∠CGK ＝∠BGA ，∠GCK ＝∠GBA ，∴∠CKG ＝∠BAG ＝60°，∴BK 与PC 的较小的夹角为60°，∵MN ∥BK ，∴MN 与PC 较小的夹角为60°． 故答案为12，60°．（2）MN PC =，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数为30° 如图设MN 交AC 于F ，延长MN 交PC 于E ．∵CA ＝CB ，PA ＝PD ，∠APD ＝∠ACB ＝120°，∴△PAD ∽△CAB ，∴AP AN AC AM= ∵AM ＝MB ，AN ＝ND ， ∴AP AN AC AM = ∴△ACP ∽△AMN ，∴∠ACP ＝∠AMN，2MN AM PC AC == ∵∠CFE ＝∠AFM ，∴∠FEC ＝∠FAM ＝30°．（3）PD 的长为2，或+2由题意可知MN，2MN AM PC AC == ∴PC ＝2∵ME 是△ABC 的中位线，∠ACB ＝90°，∴ME 是线段BC 的中垂线，∴PB ＝PC ＝2，∵MN 是△ADB 的中位线，∴DB ＝2MN ＝，如图3﹣1中，当点P 在线段BD 上时，PD ＝DB ﹣PB ＝（2－2，如图3﹣2中，PD ＝DB+PB ＝（+2，5、如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=60°，D 为BC 边上一点，(不与点B 、C)重合，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AE ，连接EC ，则∠ACE 的度数是__________，线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系是_______________.(2)2，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 边上一点(不与点B 、C 重合)，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，请写出∠ACE 的度数及线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并说明理由.(3)如图3，在Rt △DBC 中，DB=3，DC=5，∠BDC=90°，若点A 满足AB=AC ，∠BAC=90°，请直接写出线段AD 的长度.【详解】(1)∵在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=60°，∴∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE(SAS)，∴∠ACE=∠B=60°，BD=CE ，∴BC=BD+CD=EC+CD ，∴AC=BC=EC+CD ；故答案为60°，AC=DC+EC ；(2)BD 2+CD 2=2AD 2，理由如下：由(1)得，△BAD ≌△CAE ，∴BD=CE ，∠ACE=∠B=45°，∴∠DCE=90°，∴CE 2+CD 2=ED 2，在Rt △ADE 中，AD 2+AE 2=ED 2，又AD=AE ，∴BD 2+CD 2=2AD 2；(3)如图3，作AE ⊥CD 于E ，连接AD ，∵在Rt △DBC 中，DB=3，DC=5，∠BDC=90°，∴∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴，∠ABC=∠ACB=45°，∵∠BDC=∠BAC=90°，∴点B ，C ，A ，D 四点共圆，∴∠ADE=45°，∴△ADE 等腰直角三角形，∴AE=DE ，∴CE=5−DE ，∵AE 2+CE 2=AC 2，∴AE 2+(5−AE)2=17，∴AE=1，AE=4，∴或AD=6、几何探究：【问题发现】（1）如图1所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等边三角形，BD 、CE 的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）【类比探究】（2）如图2所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的含有30角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；【拓展延伸】（3）如图3所示，△ADE 和△ABC 是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE 绕点A自由旋转，若BC =B 、D 、E 三点共线时，直接写出BD 的长．【详解】（1）相等;提示：如图4所示．∵△ADE 和△ABC 均为等边三角形，∴,AD AE AB AC ==60∠∠︒DAE BAC ==∴DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠∴BAD CAE ∠=∠在△ABD 和△ACE 中，AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴BD CE =．（2）不成立；理由如下：如图5所示．在Rt △ADE 和Rt △ABC 中，∵30DAE BAC ∠=∠=︒∴DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠60AED ACB ∠=∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∵sin 60AD AB AE AC ==︒= ∴△ABD ∽△ACE∴2BD AB CE AC ==∴BD =故（1）中的结论不成立；（3）BD =或BD =． 提示:分为两种情况：①如图6所示．易证：△ABD ≌△ACE （SAS ）∴,45BD CE ADB AEC =∠=∠=︒∴454590DEC ∠=︒+︒=︒∴CE BD ⊥由题意可知：12DE BC ==设BD CE x ==,则BE x =在Rt △BCE 中,由勾股定理得：222CE BE BC +=∴((222x x +-=解之得:x =（x =舍去）∴BD =；②如图7所示．易证：△ABD ≌△ACE （SAS ），CE BD ⊥设BD CE x ==，则BE x =在Rt △BCE 中，由勾股定理得：222CE BE BC +=∴((222x x ++=解之得：=x （x =∴BD =.综上所述，2BD =或2BD =．7、（1）（问题发现）如图1，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点B ，D ，E 在同一条直线上．填空：①线段BD ，CE 之间的数量关系为 ；②∠BEC = °．（2）（类比探究）如图2，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠AED =90°，AC=BC ，AE =DE ，点B ，D ，E 在同一条直线上，请判断线段BD ，CE 之间的数量关系及∠BEC 的度数，并给出证明．（3）如图3，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AB = 5，点D 在AB 边上，DE ⊥AC 于点E ，AE = 3，将△ADE 绕点A 旋转，当DE 所在直线经过点B 时，CE 的长是多少？（直接写出答案）【详解】解：（1）∵ABC 和ADE 均为等边三角形，,,60AB AC AD AE BAC DAE ADE AED ∴==∠=∠=∠=∠=︒ ，,120BAD CAE ADB ∴∠=∠∠=︒ ．在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BAD CAE ∴≅ ，,120BD CE ADB AEC ∴=∠=∠=︒ ，60BEC AEC AED ∴∠=∠-∠=︒ ；（2）BD =，45BEC ∠=︒．理由如下：ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，∴45BAC ABC ADE DAE ∠=∠=∠=∠=︒，90ACB AED ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，135ADB ∠=︒，∵Rt ABC △和Rt ADE △中，sin AC ABC AB ∠=， sin AE ADE AD ∠=，sin 452=°，∴AC AE AB AD ==， ∴AB AC AD AE =， 又BAD CAE ∠=∠∴ABD ACE ，∴135ADB AEC ∠=∠=︒，BD AB AD CE AC AE ==， ∴45BEC AEC AED ∠=∠-∠=︒，∵2AC AE AB AD ==，∴AB AC =∴BD AB CE AC==∴BD =； （3）如图，将△ADE 绕点A 逆时针旋转，DE 所在直线经过点B 时，DE AE ⊥ ，90AED ∴∠=︒ ．30BAC DAE ∠=∠=︒ ，60ABC ADE ∴∠=∠=︒ ．3,tan 60AE =︒= ，tan 60AE DE ∴==︒． 30BAC DAE ∠=∠=︒ ，BAD CAE ∴∠=∠ ．sin AC AE ABC ADE AB AD ∠==∠==，AC AE AB AD ∴==，3AB AC ∴= ， ABD ACE ∴△△ ，3AB BD AC CE ∴== ． 5,3,90AB AE AED ==∠=︒ ，4BE ∴== ，4BD ∴=-，32CE ∴= ； 如图，将△ADE 绕点A 顺时针旋转，DE 所在直线经过点B 时，同理可得32CE =，综上所述，CE 的长度为32或32． 8、问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，从而发现EF ＝BE +FD ，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍有EF ＝BE +FD ．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD ．已知AB ＝AD ＝80米，∠B ＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD ＝150°，道路BC 、CD 上分别有景点E 、F ，且AE ⊥AD ，DF ＝40（﹣1）米，现要在E 、F 之间修一条笔直道路，求这条道路EF 的长（结果取整数，参考数据：＝1.41，＝1.73）【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG ≌△ABE ，∴AG ＝AE ，∠DAG ＝∠BAE ，DG ＝BE ，又∵∠EAF ＝45°，即∠DAF +∠BEA ＝∠EAF ＝45°，∴∠GAF ＝∠FAE ，在△GAF 和△FAE 中，，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴GF＝EF，又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF；【类比引申】∠BAD＝2∠EAF．理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．故答案是：∠BAD＝2∠EAF．【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠BAE＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝80米．根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°，又∵∠ADF＝120°，∴∠GDF＝180°，即点G在CD的延长线上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵AH＝80×＝40，HF＝HD+DF＝40+40（﹣1）＝40故∠HAF＝45°，∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF∴根据上述推论有：EF＝BE+DF＝80+40（﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．9、（1）问题发现如图1，ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上．若60ADE ∠=︒，则AB ，CE ，BD ，DC 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究如图2，ABC 是等腰三角形，AB AC =，B α∠=，点D ，E 分别在边BC ，AC 上．若ADE α∠=，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）解决问题如图3，在ABC 中，30B ∠=︒，4AB AC cm ==，点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿A B →方向匀速运动，同时点M 从点B /s 的速度沿B C →方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动．连接PM ，在PM 右侧作30PMG ∠=︒，该角的另一边交射线CA 于点G ，连接PG ．设运动时间为()t s ，当APG 为等腰三角形时，直接写出t 的值．【详解】（1）AB BD DC CE=， ∵ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=180°-60°=120°，60ADE ∠=︒，∴∠CDE+∠ADB=180°-60°=120°，∴∠BAD=∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ， ∴AB BD DC CE=； （2）成立，∵AB AC =，B α∠=，∴B C α∠=∠=，∴∠BAD+∠ADB=180α︒-，∵ADE α∠=，∴∠CDE+∠ADB=180α︒-，∴∠BAD=∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ，∴AB BD DC CE=； （3）∵30B ∠=︒，4AB AC cm ==，∴∠B=∠C=30°，∴∠BPM+∠PMB=180°-30°=150°，∵30PMG ∠=︒，∴∠CMG+∠PMB=180°-30°=150°，∴∠BPM=∠CMG ，又∠B=∠C=30°，∴△PBM ∽△MCG ， ∴BP BM MC CG=，由题意可知AP t =，BM =，即4BP t =-， 如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，∵30B ∠=︒，4AB AC ==，∴AH=2，BH ==∵AB AC =，AH ⊥BC ，∴2BC BH ==∴MC =，=3CG t =， 当G 点在线段AC 上时，若APG 为等腰三角形时，则AP=AG ，如图3，此时AG=AC -CG=43t -，∴43t t -=，解得1t =，当G 点在CA 延长线上时，若APG 为等腰三角形时，如下图，此时∠PAG=180°-120°=60°，则APG 为等边三角形，AP=AG ， 此时AG=CG -AC=34t -，∴34t t -=，解得2t =，∴当APG 为等腰三角形时，t 的值为1或2．10、某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究：【问题发现】（1）如图①，在等边三角形ABC 中，点M 是BC 边上任意一点，连接AM ，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，则∠ABC 和∠ACN 的数量关系为 ；【变式探究】（2）如图②，在等腰三角形ABC 中，AB ＝BC ，点M 是BC 边上任意一点（不含端点B ，C ，连接AM ，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠AMN ＝∠ABC ，AM ＝MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；【解决问题】（3）如图③，在正方形ADBC 中，点M 为BC 边上一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中心，连接CN ，AB ，AE ，若正方形ADBC 的边长为8，CN ＝，直接写出正方形AMEF 的边长．解：（1）∵△ABC 与△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，在△ABM 与△ACN 中，，∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACN ，故答案为：∠ABC ＝∠ACN ；（2）∠ABC ＝∠ACN ，理由如下：∵AB ＝BC ，AM ＝MN ，∴＝＝1． ∴＝，又∠ABC ＝∠AMN ， ∴△ABC ∽△AMN ．∴＝，∵∠BAC ＝∠MAN ，∴∠BAM ＝∠CAN ，∴△ABM ∽△ACN ，∴∠ABC ＝∠ACN ；（3）∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠MAN ＝45°，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠MAN ﹣∠MAC ，即∠BAM ＝∠CAN ，∵＝＝，∴＝， 又∠BAM ＝∠CAN ，∴△ABM ～△ACN ，∴＝，即＝，∴BM ＝2，∴CM ＝6，在Rt △AMC ，AC ＝8，CM ＝6，AM ＝＝10，答：正方形AMEF 的边长为10．11、(1)问题发现：如图1，在等边ABC ∆中，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是_____，ACF ∠的度数为______．(2)拓展探究：如图2，在 Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，当∵ADF=∵ACF=90°时，求AE FC的值．(3)解决问题：如图3，在ABC ∆中，:BC AB m =，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作//DE AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当ADF ACF ABC ∠=∠=∠时AE FC的值．【详解】解：（1）∵DE ∥AB∴∠ABC=∠EDC=60°，∠BAC=∠DEC=60°∴△DEC 是等边三角形，∠AED=120°∴DE=DC ，∵将AD 绕点D 顺时针旋转60°得到DF ，∴∠ADF=60°=∠EDC ，AD=DF∴∠ADE=∠FDC ，且CD=DE ，AD=DF∴△ADE ≌△FDC （SAS ）∴AE=CF ，∠AED=∠DCF=120°∴∠ACF=60°，故答案为AE=CF ，60°（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，∴∠BAC=30°∴tan ∠BAC=AB BC= ∵DE ∥AB∴∠EDC=∠ABC=90°∵∠ADF=90°，∴∠ADE=∠FDC∵∠ACF=90°，∠AED=∠EDC+∠ACB ，∠FCD=∠ACF+∠ACB∴∠AED=∠FCD ，且∠ADE=∠FDC∴△DAE ∽△DFC AE DE FC DC∴= ∵DE ∥AB∴△EDC ∽△ABCDE AB DC BC∴=AE AB FC BC∴==（3）∵AB ∥DE∴∠ABC=∠BDE=∠ADF ，∠BAC=∠E∴∠BDE+∠ADB=∠ADF+∠ADB∴∠ADE=∠CDF ，∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACF+∠DCF ，且∠ACF=∠ABC∴∠BAC=∠DCF=∠E，且∠ADE=∠CDF∴△ADE∽△FDCAE DE∴=FC DC∵DE∥AB∴△EDC∽△ABCDE AB∴=DC BC∵B C : A B=mAE AB1∴==FC BC m12、.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∵DAB=∵ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt∵ABC与Rt∵ABD中，∵C=∵D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt∵ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∵α＜∵BAC）得到Rt∵AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．【详解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∵PA=PD，PC=PB，∵∵PAD=∵PDA，∵PBC=∵PCB，∵∵DPB=2∵PAD，∵APC=2∵PBC，即∵PAD=∵PBC，∵∵APC=∵DPB，∵∵APC∵∵DPB（SAS），∵AC=BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∵AD′B=∵D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∵∵ED′B=∵EBD′，∵EB=ED′，设EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，过点D′作D′F∵CE 于F ，∵D′F∵AC ，∵∵ED′F∵∵EAC ， ∵D F ED AC AE''=， 即 4.544 4.5D F '=+， 解得：D′F=3617， ∵S ∵ACE =12AC×EC=12×4×（3+4.5）=15；S ∵BED′=12BE×D′F=12×4.5×3617=8117， 则S 四边形ACBD′=S ∵ACE ﹣S ∵BED′=15﹣8117=10417； （ii ）当∵D′BC=∵ACB=90°时，过点D′作D′E∵AC 于点E ， 如图3（ii ）所示，∵四边形ECBD′是矩形，∵ED′=BC=3，在Rt∵AED′中，根据勾股定理得：，∵S ∵AED′=12AE×ED′=12×3=2，S 矩形ECBD′=CE×CB=（4）×3=12﹣， 则S 四边形ACBD′=S ∵AED′+S 矩形ECBD′+12﹣=12． 13、（1）问题发现：如图1，在△ABC 中和△DCE 中，，，，点D 是BC 的垂线AF 上任意一点．填空：①的值为 ； ②∠ABE 的度数为 ． （2）类比探究：如图2，在△ABC 中和△DCE 中，，，点D 是BC 的垂线AF 上任意一点．请判断的值及∠ABE 的度数，并说明理由； （3） 拓展延伸：在（2）的条件下，若，请直接写出BE 的长．【详解】解：（1）①∵，，∴为等边三角形∴∴∴∴的值为1； 故答案为：1；②∵AB AC =DC DE =60BAC CDE ∠=∠=︒AD BE90BAC CDE ∠=∠=︒30ABC DEC ∠=∠=︒AD BE AB =CD =AB AC =DC DE =60BAC CDE ∠=∠=︒,ABC CDE △△,,BC AC CE CD DCE DCF ACB DCF ==∠-∠=∠-∠BCE ACD ≅AD BE =AD BEBCE ACD ≅∴∵∴∴∵∴故答案：90°． （2） ,.理由如下： 在Rt △ABC 中，，.∴. 同理：. ∴. 又.∴.∴△ACD ∽△BCE.∴,. ∴.（3）当点E 在AF 右边时，如图2所示：∵，， ∴，∴∵ ∴； 当点E 在AF 左边时，如图3所示同理，可得，∵∴CBE CAD ∠=∠AF BC ⊥90AFC ∠=︒90CAD ACB ∠+∠=︒60ABC ACB ∠=∠=︒90ABE CBE ABC ∠=∠+∠=︒12AD BE =60ABE ∠=︒90BAC ∠=︒30ABC ∠=︒12AC BC =12DC EC =AC DC BC EC=60ACB DCE ∠=∠=︒ACD BCE ∠=∠1=2AD AC BE BC =CAD CBE ∠=∠60ABE ABC CBE ABC CAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒AB =CD =90BAC CDE ∠=∠=︒30ABC DEC ∠=∠=︒1AC =603090ACD ∠=︒+︒=︒3AD ==12AD BE =BE =1,30,AC DAC CBE ACD BCE =∠=∠=︒∠=∠CF sin CDF CD ∠==60CDF ∠=︒∴∴ ∵∵ ∴ 综上所述，BE. 14、（1）操作：如图，点为线段的中点，直线与相交于点，请利用图画出一对以点为对称中心的全等三角形，（不写画法）.根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图，在四边形中，为边的中点，与的延长线相交于点，试探究线段与，之间的等量关系，并证明你的结论. （3）探究二，如图，相交于点，交于点，且，若，求的长度.【详解】（1）如图所示连接，过点作交于点.（2）解：，理由如下：如图，延长交的延长线于点.，，，，.为中点，，，（3）延长交的延长线于点，如图，，，，30ACD DAC ∠=∠=︒3AD CD ==12AD BE =3BE =1O MN PQ MN O 1O 2ABCD //,AB DC E BC ,BAE EAF AF ∠=∠DC F AB AF CF 3DE BC E BA DE A :1:2,,//BE EC BAE EDF CF AB =∠=∠5,1AB CF ==DF 1MG N //NH MG PQ H AB AF CF =+2AE DC G //AB DC BAE EAF ∠=∠G BAE EAF ∴∠=∠=∠B ECG ∠=∠AF FG ∴=E BC ,BE CE ∴=()ABE GCE AAS ∴∆≅∆AB CG ∴=CG GF CF AF CF =+=+AB AF CF ∴=+DE CF G 3//,AB CF BAE EDF ∠=∠,G BAE EDF B ECG ∴∠=∠=∠∠=∠DF FG ∴=ABE GCE ∆∆AB BE CG CE∴=5,:1:2AB BE CE ==10CG ∴=1CF =9GF CG CF ∴=-=9DF ∴=15、已知，，()．（1）观察猜想如图1，当时，请直接写出线段与的数量关系： ；位置关系： ；（2）类比探究如图2，已知，分别是，，，的中点，写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）解决问题如图，已知：，，分别是，，，的中点，将绕点旋转，直接写出四边形的面积的范围(用含的三角函数式子表示)．【详解】（1）如图∵∴∵，，∴∴，=∵∴故答案为：，（2），．理由如下：AC AB =AD AE =CAB DAE α∠=∠=090α︒<≤︒90α=︒CD BE 60α=︒,,,F G H M CE CB BD DE GM FH 2AB =3AD =,,,F G H M CE CB BD DE ABC ∆A FGHM SαCAB DAE α∠=∠=CAD BAE ∠=∠AC AB =AD AE =CAD BAE ≅△△C B ∠=∠CD BE CFA BFH ∠=∠90CHB BAC ∠=∠=︒CD BE =CD BE⊥GM =GM FH⊥连接，，交于，∵，∴∵，，∴，∴，，∴，连接，∵分别是的中点，∴，，，，，， ∴，，∴四边形是菱形，∴∵， ∴． （3） 如图，由（2）同理可知，四边形是菱形，，将绕点旋转过程中，则菱形的边长GF 范围为过F 做 于K菱形的面积为写出四边形的面积的范围为： 16、已知，在Rt △ABC 中，，点在边上，点在边上，，过点作交的延长线于点．（1）如图1，当时：①的度数为__________；②求证；；（2）如图2，当时，求的值（用含的式子表示）． 【详解】（1）①）①∵∠A=90°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=45°，CD BE CD BE O 60CAB DAE ∠=∠=︒60CAD BAD BAE ∠=∠+︒=∠AC AB =AD AE =CAD BAE ∆∆≌CD BE =ACD ABE ∠=∠60BOC BAC ∠=∠=︒,,,GF FM MH HG ,,,F G H M ,,,CE CB BD DE //GF BE //HM BE //FM CD //GH CD 12GF HM BE ==12FM GH CD ==60FGH ∠=︒GF FM MH HG ===FGHM FH GM⊥2tan 602GMGM FH FH︒===GM =125sin sin 44S αα≤≤FGHM FGH α∠=ABC ∆A 15CD ≤≤FGHM 1522GF ≤≤FK HM ⊥2sin sin FM HM GF αα⋅⋅=FGHM S 125sin sin 44S αα≤≤90A ∠=︒D BC E AB 12BDE C ∠=∠B BF DE ⊥DEF AB AC =EBF ∠2DE BF =AB kAC =BF DEk∵，∠F=90°， ∴∠DBF=67.5°，∴∠EBF=∠DBF -∠ABC=22.5°；②证明：如图1，过点作DN ∥AC ，与的延长线交于，与交于点，则，，， 又∵，，，，，，又， ，．（2）如图2，过点作DN ∥AC ，与的延长线交于点，与交于点，则同理可证： ．，，，，，即， 又DN ∥AC ，，，， 则． 17、（1）如图1，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝30°，连接CD ，BE 交于点F ．＝ ；∠BFD ＝ ； （2）如图2，在矩形ABCD 和△DEF 中，AB ＝AD ，∠EDF ＝90°，∠DEF ＝60°，连接AF 交CE 的延长线于点G ．求的值及∠AGC 的度数，并说明理由． （3）在（2）的条件下，将△DEF 绕点D 在平面内旋转，AF ，CE 所在直线交于点P ，若DE ＝1，AD，求出当点P 与点E 重合时AF 的长．122.52BDE C ∠=∠=︒D BF N AB M NDB C ∠=∠90NMB DMB A ∠=∠=∠=︒1122BDF C NDB FDN ∠=∠=∠=∠DF DF ==90BFD NFD ∠=∠︒BDF NDF ∴△≌△22BN BF NF ∴==AB AC =90A ∠=︒45ABC C NDB ∴∠=∠=∠=︒12252FDB C EBF ∠=∠=︒=∠．Rt DEM Rt BNM ∴△≌△2DE BN BF ∴==D BF N AB M BDF NDF △≌△2BN BF ∴=90NMB DMB ∠=∠=︒FBE MDE ∠=∠NBM EDM ∴△∽△BM DM BN DE ∴=2BM BF DM DE=MB AB D C ∴△∽△BM BA k DM CA ∴==2BF k DE∴=12BF k DE =BE CD 3AF CE【详解】解：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ＝30°，∴∠BAC +∠BAD ＝∠DAE +∠BAD ，∴∠CAD ＝∠BAE ，∵AC ＝AB ，AD ＝AE ，∴△CAD ≌△BAE （SAS ），∴CD ＝BE ，∴＝1， ∵△CAD ≌△BAE （SAS ），∴∠ACD ＝∠ABE ，∴∠BFD ＝∠DCB +∠CBE ＝∠DCB +∠ABE +∠ABC ＝∠DCB +∠ACD +∠ABC ＝∠ACB +∠ABC ＝180°﹣∠BAC ＝150°， 故答案为1，150°；（2）如图2，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，AB ＝CD ，∵AB ＝AD ， ∴， 在Rt △DEF 中，∠DEF ＝60°，∴tan ∠DEF ＝， ∴， ∴，∵∠EDF ＝90°＝∠ADC ，∴∠ADF ＝∠CDE ，∴△ADF ∽△CDE ，∴，∠DAF ＝∠DCE ，AD 与CD 的交点记作点O ， ∵∠DCE +∠COD ＝90°，∴∠DAF +∠AOG ＝90°，∴∠AGC ＝90°；（3）如备用图，连接AC ，在Rt △ADC 中，AD ，∴AB ， 根据勾股定理得，AC ＝，由（2）知， ∴AF CE ，设CE ＝x ．则AF ，在Rt △DEF 中，∠DEF ＝60°，DE ＝1，∴EF ＝2，∴AE ＝AF ﹣EF x ﹣2，由（2）知，∠AEC ＝90°， BE CD3AD CDDF DE DF DEAD DF CD DE=AF AD CE CD ==AF CE=在Rt △ACE 中，AE 2+CE 2＝AC 2，x ﹣2）2+x 2＝28，∴x x＝∴AF x ＝6．18、当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的如图1，等腰直角三角形内有一点连接为探究三条线段间的数量关系，我们可以将绕点逆时针旋转得到连接则___ ____是_ 三角形，三条线段的数量关系是_ ；如图2，等边三角形内一点P ，连接请借助第一问的方法探究三条线段间的数量关系．如图3 ，在四边形中，点在四边形内部，且请直接写出的长．【详解】∵绕点逆时针旋转得到∴，∠=∴∵BP⊥∴是直角三角形．∴即如图，将绕点顺时针旋转得连接则为等边三角形，()1ABC ,P ,,,135,AP BP CP APB ∠=︒,,AP BP CP ABP △A 90',ACP ',PP 'PP =,'AP CPP ,,AP BP CP ()2ABC ,,,150,AP BP CP APB ∠=︒,,AP BP CP ()3ABCD //,AD BC P ,90,PD PC CPD =∠=︒135,4,5,APB AD BC ∠=︒==AB ()1ABP △A 90'ACP 'AP AP ='PAP 90︒P P ==''CP 'CPP '2'22PP CP CP +=222PB PC +=）2222PC PB PA =+()2ABP △B 60︒',BCP ',PP 'BPP '','BP BP PP AP CP ∴===150',APB BP C ∠=︒=∠．．将绕点顺时针旋转至连接则．．，即．在中可求得，．可证则．19、阅读材料：如图，与都是等腰直角三角形，且点在边上，，的中点均为，连接，，，显然，点，，在同一条直线上，可以证明，所以解决问题：（1） 将图中的绕点旋转到图的位置， 猜想此时线段与的数量关系，并证明你的结论．（2） 如图，若与都是等边三角形，，的中点均为，上述中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出与之间的数量关系．（3） 如图， 若与都是等腰三角形，，的中点均为，且顶角，与之间的数量关系如何（用含的式子表示出来）？请直接写出结果．【详解】解：（1）猜想：，证明如下：连接，，如解图所示解图1为等腰直角三角形，点为斜边的中点，，22222'' PCP P P C BP AP ∴=+=+()3APD △P 90︒',P PC ',BP '4,','AD CP AP PP ADP P CP ===∠=∠//,AD BC 180ADP PDC PCD PCB ∴∠+∠+∠+∠=︒45PDC PDC ∠=∠=︒90,ADP PCB ∴∠+∠=︒'90P CB ∠=︒'Rt BP C 'BP =135,'90APB APP ∠=︒∠=︒'135BPP ∴∠=︒',ABP P BP ≌'AB BP ==1ABC ∆DEF ∆90ACB EDF ∠=∠=D AB AB EF O BF CD CF C F O BOF COD ∆≅∆BF CD =1Rt DEF ∆O 2BF CD 3ABC ∆DEF ∆AB EF O (1)BF CD 4ABC ∆DEF ∆AB EF O ACB EDF a ∠=∠=BF CD a BF CD =OC OD 1ABC ∆O AB OB OC ∴=90BOC ∠=为等腰直角三角形，点为斜边的中点，，，，，，在与中，，，；（2）中的结论不成立连接，，如解图所示解图2为等腰直角三角形，点为斜边的中点，，， 为等腰直角三角形，点为斜边的中点，，，，， ，在与中，（3）如解图3所示，连接OC 、OD ，解图3∵∵ABC 为等腰三角形，点O 为底边AB 的中点，DEF ∆O EF OF OD ∴=90DOF ∠=90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=+∠90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=+∠BOF COD ∴∠=∠BOF ∆COD ∆OB OC BOF COD OF OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BOF COD SAS ∴∆≅∆BF CD ∴=(1)OC OD 2ABC ∆O AB 3tan 303OB OC ∴==90BOC ∠=DEF ∆O EF 3tan 30OF OD ∴==90DOF ∠=OB OF OC OD ∴==90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=+∠90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=+∠BOF COD ∴∠=∠BOF ∆COD ∆OB OF OC OD ==BOF COD ∠=∠~BOF COD ∴∆∆BF CD ∴=∵，∵BOC ＝90°， ∵∵DEF 为等腰三角形，点O 为底边EF 的中点， ∵，∵DOF ＝90°， ∵， ∵∵BOF ＝∵BOC ＋∵COF ＝90°＋∵COF ，∵COD ＝∵DOF ＋∵COF ＝90°＋∵COF ，∵∵BOF ＝∵COD ，在∵BOF 与∵COD 中，∵，∵BOF ＝∵COD ， ∵∵BOF∵∵COD ，∵． 20、如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点为射线，的交点．（1）如图1，若和是等腰三角形，则_________，_________；（2）如图2，若，求出的度数以及的值；（3）在（1）的条件下，，，若把绕点旋转，当时，请直接写出的长度．【详解】解：（1）和是等腰直角三角形，，∴，，，，，，∴， 在中，∴（2）在中，，∴，tan 2OB OC α=tan 2OF OD α=tan 2OB OF OC OD α==tan 2OB OF OC OD α==tan 2BF CD α=ABC ADE 90BAC DAE ∠=∠=︒P BD CE ABC ADE BPC ∠=BD CE=30ADE ABC ∠=∠=︒BPC ∠BDCE6AB =4=AD ADE A 90EAC ∠=︒PB ABC ∆ADE ∆90BAC DAE ∠=∠=︒AB AC =AD AE =DAB CAE ∠=∠ADB AEC ∴∆∆≌ABD ACE ∴∠=∠BD CE ==1BD CEBPC ∆180--BPC PBC PCB ∠=∠∠180-()-(-)ABD ABC ACB ACE =∠+∠∠∠180-(+)ABC ACB =∠∠BAC =∠=9090BPC ∠=Rt ABC ∆30ABC ∠=︒AB =中，，∴，∴. ∵.∴.∴∴，在中，∴（3）情况一：如下图，点在线段上，由（1）可知：，∴，∵，∴ ∴ ∵，，∴， ∴在中，，∴ ∴ 情况二：如下图，点在的延长线上，同理可证：，Rt ADE ∆30ADE∠=︒AD =AB AD AC AE==90BAC DAE ∠=∠=︒BAD CAE ∠=∠ADB AEC ∆∆∽ABD ACE ∠=∠BD CEBPC ∆180--BPC PBCPCB ∠=∠∠180-()-(-)ABD ABC ACB ACE =∠+∠∠∠180-(+)ABC ACB =∠∠90BAC =∠=90BPC ∠=E AB ADB AEC ∆∆≌ABD ACE ∠=∠ADB PDC ∠=∠ABDPCD ∆∆AD BD DP DC==6AB AC =4AD AE ==10DC =Rt BAD ∆DB DP PB E AB AEC PEB ∆~∆∴ ∵，，∴， ∴在中，，∴ ∴综上所述：的长为21、（1）观察猜想： 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠BAC ＝∠DAE ＝45°，DE ＝AE ，将△ADE 绕点A 逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD ，交AC 于点C ，连接CE 交BD 于点F ，则的值为 ，∠BFC 的度数为 45° ．（2）类比探究：如图3，当∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠BAC ＝∠DAE ＝30°时，请求出的值及∠BFC 的度数． （3）拓展应用：如图4，在四边形ABDC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠BDC ＝45°．若CD ＝8，BD ＝6，请直接写出A ，D 两点之间的距离．【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝∠DAE ＝45°，DE ＝AE ，∴△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠BAD ＝∠BAC +∠CAD ，∠CAE ＝∠DAE +∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ∽△CAE ，∴＝＝，∠ABD ＝∠ACE ，又∵∠AGB ＝∠FGC ，∴∠BFC ＝∠BAC ＝45°；故答案为：，45°；（2）∵∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠BAC ＝∠DAE ＝30°，∴DE ＝AD ，BC ＝AB ，AE ＝DE ，AC ＝BC ，∴＝＝， ∵∠BAD ＝∠BAC +∠CAD ，∠CAE ＝∠DAE +∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ∽△CAE ，∴＝＝，∠ABD ＝∠ACE ，又∵∠AGB ＝∠FGC ，∴∠BFC ＝∠BAC ＝30°；（3）以AD 为斜边在AD 右侧作等腰直角三角形ADM ，连接CM ，如图4所示：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠DAM ＝45°，＝＝，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAM ﹣∠DAC ，AC EC PB BE==6AB AC =4AD AE ==10EB =Rt AEC ∆EC =13BP PB 13。
探究与图形变化有关的几何问题ppt课件
证明．
C
D
M
F N
B
完整版PPT课件
E
A
Q
P
9
（3）如图，若将原题中的“正方形”
改为“矩形”，且AB = mBC，其他 条件不变，探索线段ME 与线段MF
的关系，并说明理由．
C
MF = mME
D
M
E Q
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B
F
A
N
P
10
（4）根据前面的探索和下图，能 否将本题推广到一般的平行四边 形情况？若能，写出推广命题； 若不能，请说明理由．
CE.
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（1）如图，当点D在线段BC上， 如果∠BAC =90°，则∠BCE
= 90°.
A
E
B
D
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C
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（2）设∠BAC =，∠BCE = ，
①如图，当点D在线段BC上移动，
则 与 之间有怎样的数量关系？
请说明理由； A
+ =180°
B
D
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E
C
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②如图，当点D在直线BC上移动，
条件不变，发现仍然有“EF⊥AE ”的
结论. 你同意小明的观点吗？请结合图 形说明理由.
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13
练习2．已知：∠MAN ，AC 平分 ∠MAN ． ⑴如图，若∠MAN ＝120°， ∠ABC = ∠ADC= 90° ，
则AB＋ AD AC．
（填写“＞”，“＜”，“＝”）
M C
D
N
A 完整版PPT课件
如图正方形abcd和正方形qmnpm是正方形abcd的对称中心mn交abqm交ad2如图若将原题中的正方形改为菱形其他条件不变探索线段me与线段mf的关系并加以证明
形状改变了二年级科学教案
形状改变了二年级科学教案
以下是一个二年级科学课的教案,课程主题为“形状变化”：
教学目标：
- 了解物体的形状是可以改变的
- 了解物体形状改变的原因
教学准备：
- 多种形状的物品,如球、方形木块、多边形纸板等
- 直板、液体、气球等可以变形的物体
教学步骤：
1. 以一颗球为例,通过摆弄和观察,向学生展示物体形状的变化。
让学生用手轻轻捏球,看球的形状变化了吗？学生可以开始尝试形状变化的实验。
提醒学生小心轻柔地处理球,以避免破坏物体。
2. 向学生展示其他物品的形状,并介绍物品的名称和特征。
在这个过程中,强调物体形状变化的原因是何种力量（例如手指压力、撞击等）。
3. 让学生分成小组,在小组内交流各自尝试不同物品的形状变化情况,并让每个小组分享他们的体验。
强调学生要小心处理物品,保护他们,避免对其他物品及他人危害。
4. 为了丰富课堂内容,老师还可以向学生展示一些可以变形的物质,如液体和气体,并向学生询问有关这些物质形状变化方面的观察和想法。
5. 提醒学生物品形状变化后也许无法还原到此前的形状,鼓励他们思考如何保护好身边的物品。
教学反思：
这堂课可以结合互动和感官体验,增加学生对形状变化的理解,并激发了学生的好奇心和观察力。
对于年龄较小的学生,需要特别注意安全问题,在实验操作中保证小组之间的相互保护和助力。
幼儿园中班科学教案《图形变变变》含反思
幼儿园中班科学教案《图形变变变》含反思《中班科学教案《图形变变变》含反思》这是优秀的中班科学教案文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！活动目标1.学习将正方形、长方形变成三角形的方法。
2.能在操作中探索多种解决问题的方法并能大胆表达自己的操作方法。
3.愿意大胆尝试，并与同伴分享自己的心得。
4.使幼儿对探索自然现象感兴趣。
活动准备1.步骤图，记录纸、笔、剪刀。
2.正方形、长方形纸若干。
活动过程1.引导幼儿探索用正方形纸变成三角形。
(1)教师：小兔子有一块正方形的布，它准备把它变成两条三角形的围巾，小朋友们有什么好办法帮助小兔子吗?幼儿交流自己的方法，老师请个别幼儿进行操作。
(2)教师：这次小兔子想请小朋友用正方形的布变出四个三角形，想一想你有什么方法?幼儿操作，教师注意观察幼儿解决问题的不同策略。
(3)教师：谁来说说你是用什么方法变出四个三角形的?谁的方法和他不一样?(教.案出自：快思教案网)引导幼儿相互介绍自己变三角形的方法。
教师将幼儿的方法用步骤图的方式进行记录。
2.引导幼儿探索用长方形纸变成三角形。
(1)教师：小兔子还有一块长方形的布，也请小朋友帮它变出四个三角形。
这次请小朋友用不同的方法来变，你有几种方法就拿几张纸试一试。
(2)幼儿操作，教师观察幼儿解决问题的不同策略。
(3)请幼儿介绍自己的操作的方法，教师将幼儿的方法用步骤图的方式进行记录，帮助幼儿直观了解不同解决问题的方法。
教学反思：引领幼儿再次深入地进行探索，给幼儿留出探索的余地和延伸的空间。
整个活动，给予幼儿较宽松的氛围，教师只是充当了活动中的支持者，鼓励者，合作者，引导者，用心倾听幼儿的表述，并及时的梳理与小结。
小百科：图形是指在一个二维空间中可以用轮廓划分出若干的空间形状，图形是空间的一部分不具有空间的延展性，它是局限的可识别的形状。
中班科学教案《图形变变变》含反思这篇文章共1820字。
几何形的变形探索形的形状变化
几何形的变形探索形的形状变化几何形是我们数学领域中重要的概念之一。
而在几何学中，形状的变化是一种重要而有趣的研究课题。
本文将探索几何形的变形及其对形状的影响。
一、平面几何形的变形平面几何形是指在二维空间中的形状，常见的有矩形、三角形、圆形等等。
形状的变化可以通过改变图形的尺寸、角度或者位置来实现。
以矩形为例，我们可以通过改变矩形的长宽比例、角度等来获得各种不同的长方形、正方形等形状。
除了改变形状的尺寸和角度，我们还可以通过其他方法对几何形进行变形。
例如，对于矩形，我们可以将它扭曲成一个椭圆形，或者将其某一边拉长使其变成一个梯形。
这些变形可以通过图形变换来实现，如平移、旋转、缩放等操作。
二、立体几何形的变形立体几何形相对于平面几何形而言，是在三维空间中存在的形状。
常见的有长方体、正方体、圆柱体等。
与平面几何形类似，立体几何形也可以通过改变尺寸、角度、位置来实现形状的变化。
对于立方体而言，我们可以改变其边长来获得不同大小的正方体。
此外，我们还可以在立方体的某个面上开一个洞，将其变成一个空心的立方体，或者对其进行放样操作，使其变成一个圆柱体。
除了对尺寸和角度进行变化外，对立体几何形的位置进行调整也是一种常见的变形方式。
比如，将一个正方体顺时针旋转90度，可以得到一个不同方向的正方体。
三、几何形变形对形状的影响几何形的变形会对其形状产生直接影响。
首先，形状的尺寸变化会改变图形的大小。
例如，通过将一个平面形状的边拉长，可以得到一个更长的形状；通过将一个立体形状的边拉长，可以得到一个更大的形状。
这种尺寸变化使得几何形具有了不同的大小特征。
其次，形状的角度变化会改变图形的形态。
例如，在一个矩形中，通过调整其角度，可以得到一个菱形、梯形等形状。
这种角度变化使得几何形具有了不同的形状特征。
最后，形状的位置变化会改变图形的空间关系。
例如，通过对一个三角形进行平移操作，可以改变其相对位置，使得其与其他图形产生不同的联系。
高中一年级科学《形状演变了》教案
高中一年级科学《形状演变了》教案
课程目标
- 了解物体的形状可以改变
- 掌握物体形状改变的原因和方式
- 观察实际生活中的形状变化现象
教学内容
1. 形状的定义和分类
- 形状的定义：物体转变时多个因素影响导致形状的改变- 形状的分类：分为三维形状和二维形状
2. 形状的改变方式
- 扭曲：物体以不同方向弯曲或变形
- 拉伸：通过外力拉长或拉大物体的形状
- 压缩：通过外力压缩物体使形状变小或变短
- 拍打：通过外力拍打物体使其形状变化
3. 形状改变的原因
- 外力作用：外力的作用会导致物体形状发生改变
- 温度变化：温度的升高或降低会引起物体的形状变化
- 物质状态变化：物质由固体转变为液体或气体状态，形状也会发生变化
教学活动
1. 实物观察
- 学生观察不同物体在扭曲、拉伸、压缩、拍打等力作用下的形状变化
- 引导学生描述和记录他们观察到的不同形状的改变方式和原因
2. 实验探究
- 设计一系列小实验，让学生亲自进行形状改变的实验
- 学生观察和记录实验结果，并讨论实验结果的原因
3. 分类讨论
- 让学生根据形状的分类，将不同的物体进行归类讨论
- 引导学生思考不同形状分类之间的共同特点和区别
作业
- 要求学生回家观察日常生活中发生的形状改变现象，并写下自己的观察和思考
- 要求学生根据教学内容，形成一个关于形状改变的小调查问卷，并让家人或朋友回答
教学评估
- 学生完成的实物观察记录和实验结果记录
- 学生对形状改变方式和原因的描述和思考
- 学生完成的调查问卷和他人的回答。
教案二年级科学：形状改变过程中的现象
本文将介绍教案中的二年级科学内容，主要是关于形状改变过程中的现象。
这个问题在生活中是一个非常常见的现象，而在科学上，这个问题有许多的科学知识可以探讨。
在这篇文章中，我们将结合教案中的知识点，从不同的角度探讨形状改变过程中的现象。
一、教科书中的知识点在教科书中，我们可以学到许多和形状改变相关的知识点。
我们应该了解，物体的形状是由其分子组成的。
当一个物体发生形状改变时，实际上是分子的位置或排列发生了变化。
举个例子，当我们把蜡烛加热时，蜡烛就会变成液体。
这是因为在加热过程中，蜡烛的分子被激活，分子之间的相互作用力降低，导致其变成液态。
另一方面，当我们加热金属时，金属会膨胀。
这是因为加热使金属的分子活动加剧，导致分子之间的距离增加，它的体积扩大。
在教科书中，我们还可以学习到固态、液态和气态物质的基本特征。
固体物质是由分子聚集在一起的，分子之间的互相作用力很强，固体物质具有一定的形状和体积，难以流动；液体物质分子之间的相互作用力比较弱，随着温度升高，分子活动加剧，液体物质可以流动；气体物质的分子之间作用力很弱，可以快速流动，在室温下可以自由扩散。
根据教科书，我们还可以了解到气体和液体的分子间距离比较大，而固体的分子间距离比较小。
当物体加热或冷却时，物体的分子会产生相应的反应，会导致分子之间的距离发生变化。
这种变化可能会产生体积变化或形状变化。
例如，当我们冰冻蔬菜时，水分子会冻结成冰，体积会扩大，导致蔬菜变得膨胀。
二、生活中常见的形状改变现象在日常生活中，我们经常会遇到形状改变的现象。
下面我们将探讨其中一些常见的现象。
1、融化和凝固融化与凝固是形状改变的常见现象。
融化指的是物体由固态转变成液态，凝固则指的是物体由液态转变成固态。
我们可以通过熔化冰块来观察这种现象。
当我们将冰块放在热水中时，冰块会逐渐融化并变成水。
同样地，当我们将热水冷却时，水会逐渐凝固并变成冰。
2、挥发挥发是一种液体变为气体的过程。
我们可以通过观察热水冒出的蒸汽来了解挥发现象。
中班数学科学教案：探究不同形状的几何图形
中班数学科学教案：探究不同形状的几何图形随着孩子们的成长，几何图形便成为了他们学习的重点之一。
在中班的数学科学课堂上，教师可以通过让孩子们探究不同形状的几何图形，帮助他们更好地认知和理解几何的概念。
一、教学目标在教学中，我们需要对中班孩子的认知水平和想象力有一个深入的了解，为他们制定有关几何图形的探究任务，同时引导他们以科学、细致的态度开展探究活动，培养孩子们的观察能力和思维能力。
二、教学内容1.教师可以用各种几何图形的卡片、图片等辅助工具进行教学。
孩子们可以跟着教师说出这些图形的名称，并观察它们的形状特征，例如正方形、长方形、三角形等。
2.教师可以引导孩子们通过手工进行探究。
教师可以在纸上画出一个特定的图形，并让孩子们自己动手将它剪下来，并进行粘贴。
这样一来，孩子们可以亲身感受到不形态图形的特点。
3.教师可以进行一些形状分类的游戏，让孩子们明确不同几何图形之间的关系和区别。
4.通过科学实验教授孩子们有关几何体积的知识，让他们探究不同立体图形的特点，例如正方体、长方体、圆锥体、圆柱体等。
三、教学方法1.通过直观的手工操作让孩子们更好地认识几何图形的外形和特点。
2.通过分类游戏，让孩子们更好地理解不同几何图形之间的区别和关系。
3.通过实验和探究，让孩子们在游戏和活动中学习几何知识，培养他们的科学思维和学习能力。
四、教学效果1.通过这样的教学，孩子们的观察力和思维能力得到了提升，他们更好地认识了几何图形的特征和形态。
2.孩子们的绘画能力和手工制作能力得到了提升，这对他们的日后学习有着重要的帮助。
3.通过游戏中的互动和实验的探究，孩子们的学习效果更加深入和长久。
五、总结通过探究不同形状的几何图形，中班孩子们在学习中逐渐建立了对形状的概念，这种学习能够迅速提高他们的思维和认知能力，从而为长期的学习打下了坚实的基础。
同时，为了在这样的教学中更好地发掘孩子们的潜力，我们需要继续加强教学方法的研究和改进，让孩子们在更好的学习环境中获得更大的成长。
教案二年级科学课堂：从形状变化中学习新知识
教案二年级科学课堂：从形状变化中学习新知识一、前言科学是关于世界万物运行规律的一门知识体系，它渗透着生活、学习、工作的各个方面。
小学科学教育是培养学生自然科学思维和科学素养的基础，是落实全面素质教育的重要途径。
在小学科学教育中，科学实践是非常重要的一环，其中教学实验是非常有效的教学方法，适合激发学生研究欲望，提高学生的学习成效。
本篇文章主要针对二年级的科学实验课进行探讨，旨在让教师们将科学实践教学方法与科学理论相结合，打造一堂生动、有趣、富有思考性的实验课。
二、课程设计1. 授课目标通过掌握形状变化的规律，让学生了解物体的重量、体积、密度等相关概念，促使学生形成对物体形态变化的科学认识；培养学生观察、实验和推理的能力，让学生养成细心观察、勇于思考、勇于探究的科学精神。
2. 实验设计活动1：材料准备① 制作两个等重的水球。
教师提供两个等量的橡皮泥，交给学生将橡皮泥搓成两个水球，让学生自行确认两个水球重量是否相等。
② 准备两个透明的瓶子。
教师提供两个透明的瓶子，让学生将水球分别放入瓶子内。
③ 准备两个热水杯。
教师准备两个热水杯，并往每个杯子里装满开水，让学生将两个装有水球的瓶子放入热水杯中。
活动2：实验操作① 水球的变形。
在第一次实验中，教师将其中一个热水杯里放入有水球的瓶子，学生观察瓶子内水球的形态变化情况，并进行记录。
② 水球压缩比。
在第二次实验中，教师将放有水球的瓶子放入教室温度适宜的地方保持一段时间，让学生观察水球的形态变化情况，并测量水球的直径和高度。
③ 水球的比重。
在第三次实验中，教师将两个热水杯里分别放入有水球的瓶子，让学生比较两个瓶子内的水球比重情况。
活动3：实验分析① 通过第一次实验，学生能够得到一个结论——水球在高温下会变形，形态会发生变化。
② 通过第二次实验，学生能够计算出水球变形前后的直径和高度，并得到一个结论——水球经过高温加热后能实现压缩，初高度与最终高度的变化量可以算出水球压缩比。
2024年幼儿园大班科学优秀教案《图形变变变》含反思
2024年幼儿园大班科学优秀教案《图形变变变》含反思一、教学内容本节课选自幼儿园大班科学领域教材，主要围绕“图形变变变”这一主题展开。
教学内容涉及教材第四章第一节：《有趣的图形》，详细内容包括认识基本图形（正方形、长方形、三角形、圆形）、图形的组合与分解、图形的变换。
二、教学目标1. 让幼儿认识并掌握基本图形（正方形、长方形、三角形、圆形）的特征，能正确命名。
2. 培养幼儿观察、分析、组合和分解图形的能力，发展幼儿的空间想象力。
3. 通过图形变换，培养幼儿的创新意识和动手操作能力。
三、教学难点与重点教学难点：图形的组合与分解、图形的变换。
教学重点：基本图形的认识、观察和分析。
四、教具与学具准备1. 教具：图形卡片、磁性黑板、画笔、剪刀、胶棒等。
2. 学具：每组一套图形卡片、画纸、彩笔、剪刀、胶棒等。
五、教学过程1. 实践情景引入教师展示一个由基本图形组合而成的有趣图案，引发幼儿兴趣。
邀请幼儿观察并说出图案中包含哪些图形。
2. 例题讲解教师出示图形卡片，讲解正方形、长方形、三角形、圆形的特点，引导幼儿认识基本图形。
通过举例，讲解图形的组合与分解，让幼儿了解图形之间的关系。
3. 随堂练习幼儿分组，每组发一套图形卡片，进行图形组合与分解的练习。
教师巡回指导，及时解答幼儿的疑问。
4. 图形变换教师示范如何将基本图形进行变换，如旋转、翻转等。
邀请幼儿动手操作，尝试自己进行图形变换。
幼儿展示自己的作品，分享图形变换的乐趣。
六、板书设计1. 在磁性黑板上，用大号字写出“图形变变变”。
2. 旁边附上基本图形（正方形、长方形、三角形、圆形）的示意图。
3. 在下方展示图形组合、分解和变换的示例。
七、作业设计1. 作业题目：用基本图形组合成一个有趣的图案，并尝试进行图形变换。
2. 答案：略。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，让幼儿掌握了基本图形的认识、组合与分解、变换。
《形状变了》教案课题形状变了单元四单元学科科学年级二年级学习目标1.对皮.doc
《形状变了》教案课题形状变了单元四单元学科科学年级二年级学习目标1. 对皮球、橡皮筋、塑料瓶、桌子等材料用力感知了可以使物体的形状发生改变。
2. 通过实验感知力对软硬物体的作用。
3. 通过学习让学生养成爱动脑、善于思考的好习惯。
重点力使物体的形状发生改变。
难点力使物体的形状发生改变。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课同学们，大家看看，老师用手在脸上这样…捏，老师的脸还跟原来一样吗？学生观察，然后回答。
（不一样）那么，脸为什么会发生变化呢？是什么让脸发生了变化？学牛-交流讨论教师小结：我们的脸发生变化是因为力的作用。
今天我们就一起来探讨这个问题，学习《形状变了》。
观察回答问题激发学生兴趣，导入课题。
通过体验、观察，帮助学生发现力可以使物体变形讲授新课（）活动跳跳球仔细观察，跳跳球有了怎样的变化？学啊生1: “往下用力时，球被压扁了。
”学生2：“跳起来时，球又变圆了。
”教师：从同学们的谈论中，我们感受到：用力往下或起身跳起，球的形状发生了变化。
（二）观察观察：教材35页的图片。
材料：皮球、橡皮筋、塑料瓶、桌子。
对上述物体用力，看看他发生了什么变化？学生观察图片，小组讨论，然后同学之间交流，观察活动学生分小组活动，并做好记录。
能说岀跳跳球变化。
能说出对物体用力时，部分物体形状不会发生改变。
选出代表发表自己的见解。
学生1:用力后，皮球变扁了。
各小组汇报学生2：用力越大，皮筋伸展的越长。
学生3：用力后，桌子没有明显的变化。
学生4：用力捏塑料瓶，瓶子会变瘪了。
（三）表达交流观察结果，Q通过上述实践，同学们怎样总结的，与大家并得出集体分享吧。
交流结果。
，实验验证学生1：用力后，有了物体变扁了，有的变长了。
学生2：力可以使物体的形状发生变化。
学生3：力只能使软的物体变形。
学生4：力不能使硬的物体变形吗？教师：力能不能使硬的物体变形呢？我们带着这个问题，来完成下面的实验。
（三）实验材料：玻璃瓶、塑料瓶、玻璃管、橡皮塞。
幼儿园主题班会形状与图案：探索几何图形的奥秘
幼儿园主题班会形状与图案：探索几何图形的奥秘在幼儿园中，形状与图案是孩子们最早接触到的数学概念之一。
通过主题班会，引导幼儿探索几何图形的奥秘，不仅能激发他们的学习兴趣，还能培养他们的观察力、想象力和逻辑思维能力。
1. 为什么要进行主题班会探索几何图形？幼儿园时期是孩子们认识世界的重要阶段，形状和图案是他们最容易理解和感知的数学内容之一。
通过主题班会的形式引导幼儿探索几何图形，可以帮助他们建立对不同物体形状的认知，培养他们的空间想象能力，促进他们对数学的兴趣和学习动力。
2. 如何设计幼儿园主题班会探索几何图形的活动？•引入活动：可以通过展示各种不同形状的物体或图片引起幼儿的兴趣，让他们猜测物体的形状，并带入主题班会的话题。
•游戏互动：设计一些有趣的形状认知游戏，如找出图中不同的形状、组成图案等。
通过游戏互动，培养幼儿对几何图形的认知和记忆能力。
•手工制作：让幼儿动手制作各种几何图形的手工作品，如利用纸板、彩纸等材料制作正方形、三角形、圆形等。
通过动手制作，巩固幼儿的形状认知和手眼协调能力。
•故事讲解：通过精彩的故事或歌曲引入几何图形的概念，让幼儿在愉快的氛围中学习形状和图案。
3. 教师要注意的几点•引导性：教师在活动中要适时引导幼儿，激发他们的思考和探索欲望，帮助他们自主地认知和掌握几何图形的知识。
•差异化教学：针对不同幼儿的认知水平和兴趣爱好，差异化设计活动内容，使每个幼儿都能得到适宜的学习体验。
•鼓励表扬：在活动中要及时表扬幼儿的表现和努力，激发他们的学习积极性和自信心，促进他们对几何图形的理解和掌握。
4. 结语幼儿园主题班会探索几何图形的活动，不仅可以让幼儿在愉快的氛围中学习数学知识，还能锻炼他们的观察力、想象力和逻辑思维能力。
希望通过这样的活动，每个幼儿都能在轻松愉快的氛围中探索几何图形的奥秘，培养自己的数学能力，为未来的学习打下坚实的基础。
4.2《形状变了》教案
4. 在教学过程中，注重个体差异，给予学生充分的指导和鼓励，让他们在自主创作中克服难点，提升自信心。
学具准备
多媒体
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
Байду номын сангаас第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
教学方法与手段
教学方法：
1. 引导发现法：通过展示生活中的形状变化实例，引导学生自主发现和探索图形变化的规律，激发他们的探究兴趣和主动性。
2. 作业评价：
对学生的作业进行认真批改和点评，及时反馈学生的学习效果，鼓励学生继续努力。
- 认真批改：老师会对学生的作业进行细致的批改，注意学生的作品中的形状变化方法、创意表现等方面。老师会在作业上给出具体的评价和建议，帮助学生发现问题和提高。
- 点评和反馈：老师会定期在课堂上对学生的作业进行点评，分享优秀作品，并针对共性问题进行讲解和指导。同时，老师会及时给予学生个性化的反馈，鼓励他们的努力和进步，并提出改进的建议。
2. 合作学习法：组织学生分组讨论和动手实践，让学生在合作中发现和解决图形变化过程中遇到的问题，培养他们的团队协作能力。
3. 实践操作法：鼓励学生亲自动手进行图形创作，提高他们的动手操作能力和实践能力，培养他们的创新意识和审美能力。
教学手段：
1. 多媒体教学：利用多媒体设备展示生活中的形状变化实例，生动形象地展示图形变化的过程，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
课后拓展
1. 拓展内容：
- 阅读材料：推荐阅读《形状的变化：艺术与设计中的创意实践》一书，帮助学生更深入地了解形状变化在艺术和设计领域的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
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∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，∵∠CDE＝∠CED＝
60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC
－∠CED＝60°；②由①得△ACD≌△BCE，∴AD
一种情况：如解图①，过A点作AM⊥BP于点M，作
AP′⊥AP交BP于点P′，易证△ 2 APD≌△AP′B，PD＝
P′B＝1，AP′＝AP.∵CD＝ 3
1 PD＝1，∴BP 3 ＝ 1 ∵ 2 2 PP′＝ 1 2， ，∴BD＝ 2 .∵BP＝2AM＋PD，∴AM＝
例2题解图 ①
1 1 第二种情况：如解图②，可得AM＝ 2 2 BP′)＝ .
＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
(1)【思维教练】由△ACB和△DCE均为等边三角形可 证△ACD≌△BCE，即可知AD与BE之间的数量关系， 再由等边三角形和全等三角形的性质求得∠AEB的度
数；
【自主作答】
解：(1)① 60°；② AD＝BE； 【解法提示】①∵△ABC和△DCE均为等边三角形，
例2题 图
(2)拓展探究 如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，
CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的
度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理
由；
(3)解决问题
2
，若点P满足PD
如图③，在正方形ABCD中，CD＝
PP′＝
3 1 (PB＋ . 2
例2题解 图②
专题八 类比、拓展 探究题 类型二 图形形状变化引起
的探究题
典例 例2精析 (2014河南22题10分)(1)问题发现
如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、
E在同一条直线上，连接BE； 60 __________； 填空：①∠AEB的度数为 ° ②线段AD、BE之间的数量关系为 AD＝ __________． BE
∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE
中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE
＝2CM，∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE；
3 1 3 1 (3) 或 . 2 2 【解法提示】∵PD＝1，∠BPD＝90°，∴BP是以点
D为圆心，以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．第
＝BE.
(2)①∠AEB＝90°；②AE＝BE＋2CM.理由如下： ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝
∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－
∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠BEC＝
∠ADC＝180°－45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－