D83全微分63002

r2,0h10 , 0
r 0 .0 ,5 h 1
V 2 2 1 0 0 . 0 0 0 5 2 2 ( 0 1 )
200(cm 3)
即受压后圆柱体体积减少了200cm3.
例4.计算 1.042.02的近似值. 解:设 f(x,y)xy,则
fx(x,y)yxy1, fy(x,y)xy lnx 取 x1,y2, x 0 .0, 4 y 0 .02 则 1 .02 .0 4 2f(1 .0,4 2 .0)2
,
z y
在点 (x,y)连续 , 则函数在该点可微分.
证： z f ( x x , y y ) f ( x , y )
[f(x x ,y y )f(x ,y y )]
[f(x,y y) f( x ,y )]
f x ( x 1 x ,y y ) x fy(x,y 2 y) y
证: 1) 因
xysin 1 xy x2 y2
x2y2
2
所以
limf (x, y)0 f(0,0)
x0 y0
故函数在点(0,0)连续;
2) f(x ,0 ) 0 , fx(0,0)0;同理 fy(0,0)0.
3)当 (x,y)(0,0)时 ,
fx(x,y) y sin
1 x2 y2
x2y cos (x2 y2)3
f(x x ,y y )f(x,y)fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
(可用于近似计算)
例3. 有一圆柱体受压后发生形变,半径由 20cm 增大
到 20.05cm,高度由100cm 减少到 99cm, 求此圆柱体
体积的近似改变量.
解: 已 Vr2h, 则
知
V 2rhr r2h
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1)函数可微
偏导数存在
(2)偏导数连续
函数可微
定理1(必要条件) 若函数z =f(x,y) 在点(x,y)可微,
则该函数在该点偏导数 z , z 必存在,且有
x y dzzxzy
x y
证: 由全增量公式 z A x B y o () , 令 y0,
同理, fy(x, y)在点(0 0, ,0)也不连续( .x ,y ) ( 0 , 0 )
思考与练习 1. P72 题1(总习题八) 2. 选择题 函数 zf(x,y)在 (x0,y0)可微的充分条件( D )
(A )f(x ,y )在 (x 0 ,y 0 )连 ; 续
( B )f x ( x ,y ) ,f y ( x ,y ) 在 ( x 0 ,y 0 ) 的某邻域内存在;
( C ) z f x ( x ,y ) x f y ( x ,y ) y
1 x
δ
y
δx x
δ
y
y
•乘除后的结果相对误差变大 •很小的数不能做除数
类似可以推广到三元及三元以上的情形.
例5.利用公式 S1 2absiC n计算三角形面积.现测得 a 1 . 5 0 . 0 2 , b 8 . 3 1 0 . 0 , C 3 1 0 . 1 0
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
在点(x,y)的全微分, 记作
d z d f A x B y
若函数在域D内各点都可微,则称此函数在D内可微.
由微分定义:
lim z
x0
l 0 i ( A m x B y ) o ()0
y0
得 limf(xx,yy)f(x,y) x 0 y 0
即 函数 z z= f(f x,( yx )在 点x , (xy ,y ) 可y 微) f 函( x 数,y 在)该点连续
当 ( x)2( y)2 0时是无穷小量;
(D ) zfx (x,y) xfy (x,y) y ( x)2( y)2
当 ( x)2( y)2 0时是无穷小量.
3. P73 题7 答案: z x 2 , x 0.010.02
y 1, y 0.03
d z x 2 , x 0.010.03 y 1, y 0.03
解：δ S
S a
δa
S b
δb
S c
δc
12 bsinCδa12 asinCδb12 abcoCsδC
a 1 .5 ,2 b 8 .3 ,C 3 ,δ 0 a δ b 0 .0 ,δ 1 C 18 故绝对误差约为 δS0.13
又 S1 2absiC n1 21.2 58.3si3n02.5 94
易知 fx (0 ,0 ) fy (0 ,0 ) 0 ,但
z [ f x ( 0 ,0 ) x f y ( 0 ,0 ) y ] (x)2xy(y)2
xy
(x)2(y)2
(x)2x(yy)2
0
o() 因此,函数在点(0,0)不可微.
定理2
(充分条件)若函数zf(x,y)的偏导数
z x
RU I
R 的绝对误差约为
δRR0.8 = 0.032 (欧)
内容小结
1.微分定义: (zf(x,y)) z fx (x ,y ) x fy (x ,y ) yo()
( x)2( y)2
dz fx (x ,y )d x fy (x ,y )d y
2.重要关系: 函数连续
函数可导
函数可微
偏导数连续
所以函数 zf(x,y)在点(x, y) 可微.
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性
问题. 例如,三元函数 uf(x,y,z)的全微分为
du u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分 于是 表示, du u d x u d y u d z
x y z
记作 dx u d y u dz u dxu,dyu,dzu称为偏微分. 故有下述叠加原理
D83全微分63002
一、全微分的定义
定义: 如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)
处全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y ) 可表示成
z A x B y o (),( x)2( y)2
其中A,B 不依赖于x,y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，A xB y称为函数f (x, y)
3. 微分应用 • 近似计算
z fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
f(x x ,y y )
f(x,y)fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
• 估计误 差绝对误差δ z fx (x ,y )δ x fy (x ,y )δ y
相对误差δzzffx((xx,,yy))δxffy((xx,,yy))δy
*二、全微分在数值计算中的应用
1. 近似计算
由全微分定义 z f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y o ()
dz
可知当 x 及 y 较小时,有近似等式:
z d z f x ( x ,y ) x f y ( x ,y ) y
(可用于近似计算; 误差分析)
1 x2 y2
当 P ( x ,y ) 点 沿 y 射 x 趋 ( 0 ,0 线 ) 时 于 ,
(x,xl) i(m 0,0)fx(x,y)
lim(
x0
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱsin
x2s1y| xi|n 212x
|
3 cos 1 ) ,x |(3x,y)(20,|0 x)|
极限不f存(x在,y,) fx(x,y)在x2 点 (0y,2 0)不连续;
(0 1,2 1)
[fx (x ,y ) ] x [fy(x,y) ] y
lxyi m00 0,
lim
x0 y0
0
z
fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y x y
lxyi m00 0,
lim
x0 y0
0
注意到 x y , 故有
z fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y o()
d u d xu d yu d zu
例1.计算函数 zexy在点(2,1)处的全微分.
解:
z x
yexy
,
z xexy
y
x z(2,1 )e2, y z(2,1 )2e2
dz e2dx2e2dye2(dx2dy)
(2,1)
例2.计算函数 uxsin2yeyz的全微分. 解: du1dx(1 2co 2 y sz e y z )dyyeyzdz
z 的绝对误差界约为 δ z f x ( x ,y )δ x f y ( x ,y )δ y
z 的相对误差界约为
zzffx((x x,,y y))δxffy((x x,,y y))δy
特别注意
(1)
zxy时， δ z δ
x
δ
y
z xy
(2) zy时, x
δz x zy
(
y x2
)
δ x
x y
1(dxdydz) 4
5.已知 zarcxt ayn,求 dz.
xy
答案: dzyxd2xyx2dy
xysin1 ,(x,y)(0,0)
6.证明函数 f(x,y)
x2y2
0 , ( x ,y ) ( 0 , 0 )
在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)
不连续, 而f(x,y) 在点(0,0)可微.
f ( 1 ,2 ) f x ( 1 ,2 ) x f y ( 1 ,2 ) y
1 2 0 . 0 0 0 4 . 0 1 . 0 2 8
2. 误差估计
利用 z fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y 令 δx,δy,δz分别表示 x,y,z 的绝对误差界, 则
所以 S 的相对误差约为δ S 0.13 0.5%
S 25.94
例6.在直流电路中,测得电压U =24伏, 相对误差为
0.3;测得电流I= 6安,相对误差为0.5, 求用欧姆
定律计算电阻R时产生的相对误差和绝对误差.
解: 由欧姆定律可知RU244(欧) I6
所以 R的相对误差约为
δR δU δI 0.3 + 0.5 = 0.8
也可写作: 当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
4.设
f(x,y,z)xco ys yco zz sco x,s 求df
1co xc so yc so z s
(0,0,0) .
解: f(x,0,0) x
3coxs
得到对x的偏增量
x z f( xx,y ) f( x,y )A xo( x)
z lim xz A
x x0 x
同样可证
z y
B
,
因此有dzxzxyzy
注意: 定理1的逆定理不成立. 即:
偏导数存在函数不一定可微!
反例: 函数 f(x,y)
xy , x2y20 x2y2 0 , x2y20
注意:( Lx. ,Py24, 5z 具例2 ) 有轮换对称性
fx(0 ,0 ,0 )3c xo xsx0 14
利用轮换对称性, 可得
fy(0,0,0)fz(0,0,0)1 4
d f( 0 , 0 , 0 ) f y ( 0 , 0 , 0 ) d x f y ( 0 , 0 , 0 ) d y f z ( 0 , 0 , 0 ) d z