D83全微分63002
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高等数学8-3全微分讲解
dz z dx z dy . x y
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为 二元函数的微分符合叠加原理.
叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如uf(x, y, z)的全 微分为
du
u x
dx
u y
dy
u z
dz
.
设
zf(x,
y),
则
dz
z x
dx
如果函数zfxy的偏导数xz??yz??在点xy连续?叠加原理按着习惯xy分别记作dxdy并分别称为自变量的微分这样函数zfxy的全微分可写作二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理
§8.3 全微分及其应用
一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
偏增量与偏微分
根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有
f(xx, y)f(x, y)fx(x, y)x, f(x, yy)f(x, y)fy(x, y)y, f(xx, y)f(x, y) ——函数f(x, y)对x的偏增量
f(x, yy)f(x, y) ——函数f(x, y)对y的偏增量
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y.
例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大
到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化
的近似值.
解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,
x2 y1
e2
,
z y
x2 y1
2e2
,
dze2dx2e2dy.
8-3全微分
第三节
第八章
全微分
一元可微函数 一元可微函数 y = f (x) 可微
∆ y = A∆x + o(∆ x)
∆y ≈ d y = f ′( x0 )∆x 当 ∆x 很小时） 很小时） （
微分
dy
y
y = f (x)
几何意义： 几何意义： 可微函数的
曲线在切点附近可用该 点的切线段近似。 点的切线段近似。 可微函数的局部线性化) (可微函数的局部线性化) o
f (1,2) = 1,
f x (1, 2) = 2,
由公式得
f y (1, 2) = 0,
(1.04)
2.02
≈ 1 + 2 × 0.04 + 0 × 0.02 = 1.08.
f ( x, y) ≈ f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 )
第三节 全微分
要点: 要点
二元可微函数的定义: 二元可微函数的定义
∆z = A∆x + B∆y + o(ρ ), 其中ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y ) 2
∂z ∂z ∆z ≈ dz = ⋅ ∆x + ⋅ ∆y ( ∆x , ∆y 较小) ∂y 全微分 ∂x
可微的意义: 可微的意义:∆z可用 x、∆y的线性函数即 去近似 dz . ∆
解： S = xy
∆ S = ( x0 + ∆ x)( y0 + ∆ y) − x0 y0
x0
x0∆y
S = x0 y0
∆ ∆x43; y0∆ x + ∆ x∆ y
y0∆x
第八章
全微分
一元可微函数 一元可微函数 y = f (x) 可微
∆ y = A∆x + o(∆ x)
∆y ≈ d y = f ′( x0 )∆x 当 ∆x 很小时） 很小时） （
微分
dy
y
y = f (x)
几何意义： 几何意义： 可微函数的
曲线在切点附近可用该 点的切线段近似。 点的切线段近似。 可微函数的局部线性化) (可微函数的局部线性化) o
f (1,2) = 1,
f x (1, 2) = 2,
由公式得
f y (1, 2) = 0,
(1.04)
2.02
≈ 1 + 2 × 0.04 + 0 × 0.02 = 1.08.
f ( x, y) ≈ f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 )
第三节 全微分
要点: 要点
二元可微函数的定义: 二元可微函数的定义
∆z = A∆x + B∆y + o(ρ ), 其中ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y ) 2
∂z ∂z ∆z ≈ dz = ⋅ ∆x + ⋅ ∆y ( ∆x , ∆y 较小) ∂y 全微分 ∂x
可微的意义: 可微的意义:∆z可用 x、∆y的线性函数即 去近似 dz . ∆
解： S = xy
∆ S = ( x0 + ∆ x)( y0 + ∆ y) − x0 y0
x0
x0∆y
S = x0 y0
∆ ∆x43; y0∆ x + ∆ x∆ y
y0∆x
全微分方程
1 dx 1+ x
dx + C ],
x x 通解为 y + xy + + = C. 3 4
dy x2 + x3 + y 求微分方程 = − 的通解. dx 1+ x
2 3 ( x + x + y )dx + (1 + x )dy = 0, 解2 整理得 ∂P ∂Q Q =1= , ∴ 是全微分方程 . ∂y ∂x
将方程左端重新组合,有
d ( x ) + x − yd ( x − y ) = 0,
2 2 2
2 2 原方程的通解为 x + ( x − y ) = C . 3
2
3 2
3. 设 f ( x )在( −∞ ,+∞ )内可微， f (0 ) = 0, L为 xoy 面内 任意闭曲线， ∫ 2 xyf ( x )dx + [ f ( x ) − x ]dy = 0成立，
2 x2
− 2( x 2 + 1)
4、已知 f(0)=1/2,试确定 f ( x ) , 使 [e x + f ( x )] ydx + f ( x )dy = 0 为全微分方程, 并求此全微分方程的通解.
解：P = [e + f ( x )] y
x
Q 是全微分方程
f ( x) = e
∫ dx
x
x ′ ⇒ f ( x) = f ( x) + e
1.观察法: 凭观察凑微分得到 µ ( x , y ) 常见的全微分表达式
x2 + y2 xdx + ydy = d 2
xdy − ydx y d arctan = x x2 + y2
全微分知识点总结
全微分知识点总结微分的概念在数学中占据着非常重要的位置，而全微分则是微分学中的一个重要概念。
全微分常常与偏导数、方向导数等概念联系在一起，是微分学中的一个重要概念。
下面我们就来系统地总结一下全微分的相关知识点。
概念全微分是对多元函数进行微分的概念。
在数学中，一个多元函数是指由多个自变量所构成的函数。
如果一个函数是一个二元函数，那么该函数可以表示为z = f(x, y)，其中x和y是自变量，z是因变量。
全微分指的是当x和y分别发生一个小的变化Δx和Δy时，z相应的变化Δz的极限近似值。
全微分的定义是函数f(x, y)在(x0, y0)点处，如果存在常数A和B，使得Δz = AΔx + BΔy + o(ρ)(Δρ)成立，那么就称f(x, y)在点(x0, y0)处可微分。
其中o(ρ)(Δρ)是一个与Δρ同阶的函数，且当Δρ趋进于0时，o(ρ)(Δρ)/Δρ趋进于0。
全微分的求法对于一个函数z = f(x, y)来说，如果该函数在点(x0, y0)处可微分，那么函数在该点的全微分可以通过下面的公式来求得：dz = ∂f/∂x * Δx + ∂f/∂y * Δy其中，∂f/∂x表示f对x的偏导数，∂f/∂y表示f对y的偏导数。
这个公式就是全微分的求法。
全微分与偏导数的关系在上面的公式中，我们可以看到全微分中包含了偏导数。
偏导数是指多元函数对某个自变量的导数，而全微分则是对多元函数进行微分的概念。
在求全微分时，我们要对每个自变量求偏导数，然后与自变量的变化相乘再求和，得到最后的全微分。
因此，可以说全微分与偏导数是相关的，而偏导数是全微分的一个组成部分。
全微分与方向导数的关系方向导数是指多元函数在某一点沿着某一方向的导数。
全微分与方向导数也是相关的。
在数学分析中，我们常常用全微分来求方向导数。
对于一个多元函数z = f(x, y)，在点(x0, y0)处沿着方向向量u = (α, β)的方向导数可以表示为：D_uf(x, y) = ∂f/∂x * α + ∂f/∂y * β可以看到，这个公式和全微分的求法十分相似。
大一高数下全微分课件
乘积法则
总结词
乘积法则用于计算两个函数的乘积的 全微分。
详细描述
乘积法则是全微分的另一个重要法则， 它指出如果z是两个函数u和v的乘积， 那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果 z=u*v，那么全微分 dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*d u+v*dv。
商的法则
大一高数下全微分课件
• 全微分的定义 • 全微分的基本公式和法则 • 全微分的应用 • 常见函数的微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 习题与解答
01
全微分的定义
全微分的概念
全微分是指在函数定义域内 某一点处，将函数在该点的 值与自变量在该点的值分别 进行微小变化，函数值变化
量的线性部分。
全微分是函数在一点处对所 有自变量偏导数的加权和， 权因子是偏导数与自变量变
答案2
dz = cos(x + y) * (cos/sin)(π/4) * (cos/sin)(π/6) = -√3/3
解析2
函数z = sin(x + y)在点(π/4, π/6)的 全微分为dz = cos(x + y) * cos(π/4) * cos(π/6) = -√3/3。
答案3
dz = e^(x + y) * (e^1) * (e^0) = e^(1+0) = e
高阶导数与高阶全微分
高阶导数可以用于计算高阶全微分， 高阶全微分可以用于研究函数的更高 阶的几何特性。
02
全微分的基本公式和法则
链式法则
总结词
链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。
详细描述
链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y)) 得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz * dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u) ，那么dz=d(f(u))/du * du=d(f(u))/du * d(g(y))/dy * dy。
微分方程-全微分方程
则可将此方程化为关于z 的线性方程. 的通解 . 求 [ x + ( x 2 + y 2 ) x 2 ]d x + y d y = 0
x +x +y dy 例4 求微分方程 的通解 . = dx 1+ x dy 1 + y = x2 , 解法1 整理得 d x 1+ x
2 3
C (方法1)常数变易法: 对应齐次线性方通解 y = . 1+ x x3 x4 C ( x) = + C. 3 4
u (方法3) 偏积分法: Q = x 2 + x 3 + y, x ∴ u( x , y ) = ∫ ( x 2 + x 3 + y ) d x
( μP ) ( μQ ) = , y x P μ μ Q +Q 即 μ +P =μ x y y x μ μ P Q (Q P )= y y x μ x
求解不容易
(5.2)
1
特别地，
情形1 方程(5.1)有只与 x 有关的积分因子 : μ = μ ( x ) 1 ( P Q ) = ( x ), 且 Q y x μ ( x ) = e ∫ ( x )d x . 情形2 方程(5.1)有只与 y 有关的积分因子 : 1 P Q μ = μ ( y) ( ) = ψ ( y ), 且 P y x
(1)
1 d( x 2 + y 2 ) + x2 d x = 0 2 x2 + y2
∴ 所求方程的通解为：
1 1 3 2 2 ln( x + y ) + x = C . 2 3
(方法2) 公式法
Q P 2y =0 = 2x ≡ / y x
全微分方程的解法
中连续且有连续的一阶偏导数，则 是全微分方程
证明：（1）证明必要性 因为
是全微分方程，
则存在原函数 (x,，y)使得
d(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
所以 P(x, y), Q(x, y)
x
y
将以上二式分别对 x, y 求偏导数，得到
2 P , 2 Q xy y yx x
x
y
x
由第一个等式，应有 (x, y) P(x, y)dx (y) x0
代入第二个等式，应有
x P(x, y) dx (y)
y x0 y
x Q(x, y) dx (y)
x0 x
x Q(x, y) dx (y)
x0 x
这里由于 P Q ，故曲线积分与路径无关。因此 y x
(x,y)
(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ( x0 , y0 )
二、全微分方程的解法
(1) 线积分法:
x
y
(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
(x,y)
或 (x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ( x0 , y0 )
11 1 1 x2 , y2 , x2 y2 , xy
xdx ydy 可选用的积分因子有
1 1, x2 y2
一般可选用的积分因子有
1, x y
1, x2
1, x2 y2
1, x2 y2
x, y2
y x2
等。
例2 求微分方程 (3x3 y)dx (2x2 y x)dy 0的通解.
83全微分61205
二元函数
二元函数
对 x 和对 y 的偏增量 对 x 和对 y 的偏微分
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14
定义8.5如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于x, y 而仅与 x, y有关， (x)2 (y)2 ，则称函数
z = f ( x, y) 在点( x, y)可微分， Ax By称为函数 z f ( x, y)在点( x, y)的全微分，记为dz，
即 dz= Ax By.
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15
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则 称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分, 则
解
u 1, u1coyszeyz,
x
y 2 2
u yeyz , z
所求全微分
d u d x (1 co y z sye )z d y yye d z.z 22
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12
第三节
全微分
一元函数 y = f (x) 的微分
y A x o ( x )
dyf(x) x 应用
近似计算 估计误差
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13
全微分定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x ,y ) f ( x ,y )fx(x,y)x f( x ,y y ) f( x ,y )fy(x,y)y
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21
(2)
z
lim
全微分定义公式
全微分定义公式如果函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在 ( x , y ) (x, y) (x,y)处的全增量Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Deltaz=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)可以表示为Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=A\Deltax+B\Delta y+o(ρ) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)其中A、B不依赖于Δ x Δx Δx，Δ y Δy Δy，仅与 x x x，y y y有关，ρ ρ ρ趋近于0( ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2ρ=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 )，此时称函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微分，A Δ x + B Δ y AΔx+BΔy AΔx+BΔy称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x, y) (x,y)处的全微分，记为 d z dz dz即d z = A Δ x + B Δ y dz=A\Delta x +B\Delta y dz=AΔx+BΔy该表达式称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在 ( x , y ) (x, y) (x,y)处(关于Δ x Δx Δx, Δ y Δy Δy)的全微分。
定理定理1若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 p 0 ( x 0 , y 0 ) p_0(x_0,y_0) p0(x0,y0)处可微，则 z = f ( x , y ) z=f(x,y)z=f(x,y)在 p 0 ( x 0 , y 0 ) p_0(x_0,y_0) p0(x0,y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = A f'_x(x_0,y_0)=A fx′(x0,y0)=A，f y ′ ( x 0 , y 0 ) = B f'_y(x_0,y_0)=B fy′(x0,y0)=B。
全微分在数值计算中的应用
梯度下降法
总结词
梯度下降法是一种迭代优化算法，通过不断沿着负梯度的方向更新参数，以寻找 函数的最小值。
详细描述
在梯度下降法中，我们首先选择一个初始点，然后在每一步迭代中，我们计算函 数在当前点的梯度，并沿着负梯度的方向更新我们的参数。这个过程一直持续到 我们找到一个局部最小值或者达到预设的迭代次数。
牛顿法
总结词
牛顿法是一种基于泰勒级数的迭代优化算法，通过线性近似函数并求解相应的线性方程 组来找到函数的最小值。
详细描述
在牛顿法中，我们首先选择一个初始点，然后在每一步迭代中，我们计算函数在当前点 的二阶导数（即海森矩阵），并使用它来线性化我们的函数。然后我们解这个线性方程 组来找到新的点，并将这个新点作为下一次迭代的起点。这个过程一直持续到我们找到
全微分在数值计算中的应用
$number {01}
目 录
• 全微分的概念与性质 • 全微分在数值逼近中的应用 • 全微分在优化算法中的应用 • 全微分在数值微分方程中的应用 • 全微分在机器学习中的应用
01
全微分的概念与性质
全微分的定义
全微分是指函数在某一点处因变量关 于各个自变量的偏导数与各自偏导数 的乘积的和，表示函数在该点附近的 小变化。
VS
详细描述
数值积分基于将积分区间划分为一系列小 区间，并在每个小区间上选择一个点进行 近似，然后对这些近似值进行求和来得到 积分的近似值。全微分在这个过程中起着 重要的作用，因为它提供了误差估计和收 敛性的理论依据。数值积分在科学计算、 工程和统计学等领域有广泛的应用。
03
全微分在优化算法中的应用
一个局部最小值或者达到预设的迭代次数。
拟牛顿法要ຫໍສະໝຸດ 一总结词拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过使用一种称为拟牛顿 矩阵的近似来代替海森矩阵，从而在每一步迭代中更新我 们的线性近似。
同济大学微积分第三版83全微分
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，
则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分, 则
函数在该点连续.
Vz f (x Vx, y Vy) f (x, y)
可微 连续
f (x Vx, y Vy) f (x, y)Vz
事实上 z Ax By o( ), lim z 0, 0
全微分在近似计算中的应用 当二元函数z f (x, y) 在点 P(x, y)的两
个偏导数 fx ( x, y), fy ( x, y) 连续，且 x , y 都较小时，有近似等式
z dz fx ( x, y)x fy ( x, y)y.
也可写成 z f (x x, y y) f (x, y)
例 3 计算函数u x sin y e yz 的全微分. 2
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
x y , (x)2 (y)2
如果考虑点P(x, y)沿着直线y x 趋近于(0,0) ，
x y
则
(x)2 (y)2
x x (x)2 (x)2
1, 2
说明它不能随着 0而趋于 0（, 全微分不存在）
当 0 时，z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
x0
0
y0
f (x, y)
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处连续.
隐函数所确定的二元函数在某点的全微分
一、隐函数的概念隐函数是指由一个或多个变量的函数方程来表示的函数，其中一个或多个变量的函数值不是显式给出的，而是由函数方程隐含确定。
在微积分中，隐函数常常和多元函数一起讨论，尤其是二元函数的情况。
隐函数的存在与否和对应的全微分问题是微积分中的重要问题之一。
二、二元函数的全微分全微分是微分学中的一个重要概念，它表示一个函数在某一点的线性近似。
对于二元函数而言，全微分的概念是指在给定点(x0, y0)处，函数z = f(x, y)的微分。
全微分可以表示为dz = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
在实际应用中，全微分对于描述多变量函数的变化率和近似计算非常重要。
三、隐函数所确定的二元函数在某点的全微分在微积分中，当一个隐函数所确定的二元函数在某一点具有连续的偏导数时，该点附近的函数近似可以使用全微分来表示。
具体地，设有方程F(x, y) = 0确定一个隐函数y = f(x)，如果该函数在点(x0, y0)处具有连续的偏导数，即F(x0, y0) = 0且F对x、y的偏导数存在且连续，则在该点附近，隐函数所确定的二元函数在该点的全微分可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy，其中z = f(x, y)。
四、深度解析对于隐函数所确定的二元函数在某点的全微分问题，需要进行深入的数学分析。
需要使用偏导数的概念来表示隐函数的导数。
需要利用隐函数定理来确定隐函数的存在性和可微性，进而确定全微分的存在性。
需要利用全微分的概念来描述隐函数在某点的局部近似行为。
通过这一深入解析，可以更好地理解隐函数的性质和全微分的作用。
五、个人观点在我看来，隐函数和全微分是微积分中非常有趣且重要的概念。
隐函数的存在与否关系到多元函数的表示和理解，而全微分则可以帮助我们更好地理解函数在某一点的局部变化。
对于隐函数所确定的二元函数在某点的全微分问题，我认为深入理解其数学原理并进行具体的应用是非常有益的。
《多元函数的全微分》课件
1 近似计算
2 可微性判断
3 优化求解
全微分可以用于近似计 算。
全微分可以用于判断多 元函数的可微性。
全微分可以用于优化问 题的求解。
总结
新的函数
全微分是一个新的函数，用于表示微小变化 量。
多种计算方法
计算方法包括偏导数法和向量法。
具有可加性和路径无关性
全微分具有可加性和路径无关性。
广泛应用
全微分在近似计算、可微性判断、优化求解 等方面有广泛应用。
《多元函数的全微分》 PPT课件
多元函数的全微分是指对多元函数进行微分得到的一个新的函数。
概念介绍
1 定义
2 表示方法
全微分是对多元函数进行微分得到的一个 新的函数。
全微分的常用表示方法为 $df = rac{partial f}{partial x}dx + rac{partial f}{partial y}dy + rac{partial f}{partial z}dz$。
Hale Waihona Puke 全微分的性质1 可加性
全微分具有可加性，即 $df = df_1 + df_2$。
2 路径无关性
全微分的微分形式与路径无关。
计算方法
偏导数法
通过对多元函数中每个变量分别求偏导数，得 到全微分的表达式。
向量法
在 $R^n$ 空间中，将全微分理解为函数在某一 点的切向量，用向量的内积表示全微分。
应用
2.3 全微分方程
M ( x, y) N ( x, y)
y
x
证明：一.先证必要性
设 M( x, y)dx N( x, y)dy 0
是全微分方程,则有函数F(x,y)使得
6
dF ( x, y) F ( x, y) dx F ( x, y) dy
x
y
M( x, y)dx N ( x, y)dy
M 1 N ,
y
x
是全微分方程.
18
( x2 x3 y)dx (1 x)dy 0
（1）偏积分法
F x
x2
x3
y
F ( x,
y)
( x2
x3
y)dx
x3 3
x4 4
xy
( y)
F y
x ( y)
1 x
y
x
故该方程是全微分方程, ( x, y) x是一个
积分因子, 利用凑微分的方法可得通解为:
1 x2 y2 1 x3 C
2
3
24
例:验证 ( x, y) x2 y是方程
(3 y 4xy2)dx (2x 3x2 y)dy 0
的一个积分因子，并求其通解。
解：对方程有 ( M ) ( N ) 6x2 y 12x3 y2
ydy y2
1 d ln( x2 2
y2 )；
全 微 分
xdy x2
ydx
d(
y x
)，
xdy ydx d( ln xy)； xy
表 达 式
D83多元函数全微分-26页文档
01.09.2019
函数可微
阜师院数科院
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数 z , z 必存在,且有 x y
dzzxzy
x y
证: 由全增量公式 z A x B y o () ,令y0,
(可用于近似计算; 误差分析)
f(x x ,y y )f(x,y)fx(x ,y ) x fy(x ,y ) y
(可用于近似计算)
01.09.2019
阜师院数科院
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例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 半径由 20cm 增大
到 20.05cm , 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体
d z x 2 , x 0.01 0.03 y 1 , y 0.03
也可写作:
当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
01.09.2019
阜师院数科院
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4.
设
又 S1 2absiC n1 21.2 58.3si3n02.5 94
所以 S 的相对误差约为 δ S 0.13 0.5%
01.09.2019
S 25 阜师院数科院 .94
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例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,相对误差为
0.3; 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 , 求用欧姆
得到对 x 的偏增量
x z f(xx,y ) f( x,y )A xo( x)
函数可微
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数 z , z 必存在,且有 x y
dzzxzy
x y
证: 由全增量公式 z A x B y o () ,令y0,
(可用于近似计算; 误差分析)
f(x x ,y y )f(x,y)fx(x ,y ) x fy(x ,y ) y
(可用于近似计算)
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例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 半径由 20cm 增大
到 20.05cm , 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体
d z x 2 , x 0.01 0.03 y 1 , y 0.03
也可写作:
当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
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4.
设
又 S1 2absiC n1 21.2 58.3si3n02.5 94
所以 S 的相对误差约为 δ S 0.13 0.5%
01.09.2019
S 25 阜师院数科院 .94
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例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,相对误差为
0.3; 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 , 求用欧姆
得到对 x 的偏增量
x z f(xx,y ) f( x,y )A xo( x)
全微分的定义及计算
Ax o ( x )
z xz lim A x x 0 x z B , 因此有 同样可证 y
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 ! xy 2 2 , x y 0 2 2 x y 反例: 函数 f ( x, y ) 2 2 0, x y 0
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， A Δ x B Δ y 称为函数 f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z Ax B y
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y o( )
所以函数 在点 可微.
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结束
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 .
例如, 三元函数 u f ( x, y, z ) 的全微分为 u u u d u x y z x y z 习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
P69 :1(2),(4),(8); 5；6（3）；7.
第四节 目录
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若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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当函数可微时 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
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高数微积分全微分
当点 P ( x , y ) 沿直线 y x 趋于( 0,0) 时,
( x , x ) ( 0 , 0 )
lim
f x ( x, y)
3
1 x 1 lim x sin cos , 3 x 0 2| x| 2 2| x| 2 | x |
其中 1 0 ( x 0, y 0)
10
同理 f ( x , y y ) f ( x , y )
f y ( x , y )y 2 y , 当y 0时, 2 0,
z f x ( x , y )x 1x f y ( x , y )y 2 y f x ( x , y )x f y ( x , y )y 1x 2 y
( x ) ( y ) ，
2 2
3
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
所求全微分
1 y du dx ( cos ze yz )dy ye yz dz . 2 2
18
1 , ( x , y ) (0,0) xy sin 2 2 x y 例 4： 试证函数 f ( x , y ) 0, ( x , y ) (0,0)
在点(0,0)连续且偏导数存在， 但偏导数在点(0,0)不连续，而 f 在点(0,0)可微.
0
故函数在点( 0,0) 连续,
f ( x ,0 ) f ( 0,0 ) 00 lim lim 0, f x ( 0, 0 ) x 0 x 0 x x
( x , x ) ( 0 , 0 )
lim
f x ( x, y)
3
1 x 1 lim x sin cos , 3 x 0 2| x| 2 2| x| 2 | x |
其中 1 0 ( x 0, y 0)
10
同理 f ( x , y y ) f ( x , y )
f y ( x , y )y 2 y , 当y 0时, 2 0,
z f x ( x , y )x 1x f y ( x , y )y 2 y f x ( x , y )x f y ( x , y )y 1x 2 y
( x ) ( y ) ，
2 2
3
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
所求全微分
1 y du dx ( cos ze yz )dy ye yz dz . 2 2
18
1 , ( x , y ) (0,0) xy sin 2 2 x y 例 4： 试证函数 f ( x , y ) 0, ( x , y ) (0,0)
在点(0,0)连续且偏导数存在， 但偏导数在点(0,0)不连续，而 f 在点(0,0)可微.
0
故函数在点( 0,0) 连续,
f ( x ,0 ) f ( 0,0 ) 00 lim lim 0, f x ( 0, 0 ) x 0 x 0 x x
理学常微分方程全微分方程
y3
y4
解
M y
6x y4
N x
,
是全微分方程,
将左端重新组合
1 y2
dy
(
2x y3
dx
3x2 y4
dy)
d(
1) y
x2 d( y3
)
d(
1 y
x2 y3
),
西
南 科 技 大 学
原方程的通解为
1 y
x2 y3
C.
理
学
院
10
西
南
科
技
大
学
理
学
院
11
前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对 于给定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其 中有些则可利用积分因子化为全微分方程。
3、积分因子法
定义: ( x, y) 0连续可微函数，使方程
(x, y)M (x, y)dx (x, y)N(x, y)dy 0 (2)
成为全微分方程,则称 ( x, y)为(1)的积分
因子.
西
南 科
显然，若μ(x,y)≠ 0,则（1）与（2）同解。
技
大
学 理
问题: 如何求方程的积分因子?
学
y
x
A 用公式:
u( x, y)
x ( x2 x3 y)dx
y
dy,
0
0
B 凑微分法:
dy ( xdy ydx) x2dx x3dx 0,
西
dy d( xy) d x3 d x4 0，
南 科
34
技 大 学
d ( y xy x3 x4 ) 0.
理 学
34
院
24
全微分公式的几何解释
Solution：
1 V = π r 2h 3 2 1 dV = π hrdr + π r 2 dh 3 3 = 20π
351115192327313339421切面方程式點之切面設此切面方程式為相切的直線方程式公式
§14.4 Tangent Planes and Linear Approximation Homework： 3,5,11,15,19,23,27,31,33,39,42
(1)切面方程式
T
2
C
P
T
2
Γ : z = f ( x, y )
f x ( x, y ) = f y ( x, y ) =
⇒ z = 5+
( 3, 4 )
. Find z ( 3.01,3.99 ) .
1 1 2 3 2 −2 x + y ( 2 x ) ⇒ f x ( 3, 4 ) = ( ) 2 5 1 1 2 4 2 −2 x + y ( 2 y ) ⇒ f y ( 3, 4 ) = ( ) 2 5
( a, b ) .
Remark： Differentiable ⇒ Continuous.
(4) Differentiables Recall：
‧1-D：
dy = y 的估計誤差
∆x = dx x x ∆x ) − f ( x ) = 實際誤差. ∆y ≈ dy = f ′ ( x ) dx (切線代曲線得到的誤差).
Solution：
(i) dz = ( 2 x + 3 y ) dx + ( 3x − 2 y ) dy (ii) dz = ( 2.2 + 3.3)( 0.05) + ( 3.2 − 2.3)( −0.04 ) = 0.65 (令 a = 2 , b = 3 ⇒ ∆x = 0.05 , ∆y = −0.04 ).
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D83全微分63002
一、全微分的定义
定义: 如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)
处全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y ) 可表示成
z A x B y o (),( x)2( y)2
其中A,B 不依赖于x,y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，A xB y称为函数f (x, y)
(0 1,2 1)
[fx (x ,y ) ] x [fy(x,y) ] y
lxyi m00 0,
lim
x0 y0
0
z
fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y x y
lxyi m00 0,
lim
x0 y0
0
注意到 x y , 故有
z fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y o()
1 x
δ
y
δx x
δ
y
y
•乘除后的结果相对误差变大 •很小的数不能做除数
类似可以推广到三元及三元以上的情形.
例5.利用公式 S1 2absiC n计算三角形面积.现测得 a 1 . 5 0 . 0 2 , b 8 . 3 1 0 . 0 , C 3 1 0 . 1 0
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
在点(x,y)的全微分, 记作
d z d f A x B y
若函数在域D内各点都可微,则称此函数在D内可微.
由微分定义:
lim z
x0
l 0 i ( A m x B y ) o ()0
y0
得 limf(xx,yy)f(x,y) x 0 y 0
即 函数 z z= f(f x,( yx )在 点x , (xy ,y ) 可y 微) f 函( x 数,y 在)该点连续
d u d xu d yu d zu
例1.计算函数 zexy在点(2,1)处的全微分.
解:
z x
yexy
,
z xexy
y
x z(2,1 )e2, y z(2,1 )2e2
dz e2dx2e2dye2(dx2dy)
(2,1)
例2.计算函数 uxsin2yeyz的全微分. 解: du1dx(1 2co 2 y sz e y z )dyyeyzdz
z 的绝对误差界约为 δ z f x ( x ,y )δ x f y ( x ,y )δ y
z 的相对误差界约为
zzffx((x x,,y y))δxffy((x x,,y y))δy
特别注意
(1)
zxy时， δ z δ
x
δ
y
z xy
(2) zy时, x
δz x zy
(
y x2
)
δ x
x y
同理, fy(x, y)在点(0 0, ,0)也不连续( .x ,y ) ( 0 , 0 )
1(dxdydz) 4
5.已知 zarcxt ayn,求 dz.
xy
答案: dzyxd2xyx2dy
xysin1 ,(x,y)(0,0)
6.证明函数 f(x,y)
x2y2
0 , ( x ,y ) ( 0 , 0 )
在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)
不连续, 而f(x,y) 在点(0,0)可微.
f ( 1 ,2 ) f x ( 1 ,2 ) x f y ( 1 ,2 ) y
1 2 0 . 0 0 0 4 . 0 1 . 0 2 8
2. 误差估计
利用 z fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y 令 δx,δy,δz分别表示 x,y,z 的绝对误差界, 则
当 ( x)2( y)2 0时是无穷小量;
(D ) zfx (x,y) xfy (x,y) y ( x)2( y)2
当 ( x)2( y)2 0时是无穷小量.
3. P73 题7 答案: z x 2 , x 0.010.02
y 1, y 0.03
d z x 2 , x 0.010.03 y 1, y 0.03
证: 1) 因
xysin 1 xy x2 y2
x2y2
2
所以
limf (x, y)0 f(0,0)
x0 y0
故函数在点(0,0)连续;
2) f(x ,0 ) 0 , fx(0,0)0;同理 fy(0,0)0.
3)当 (x,y)(0,0)时 ,
fx(x,y) y sin
1 x2 y2
x2y cos (x2 y2)3
也可写作: 当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
4.设
f(x,y,z)xco ys yco zz sco x,s 求df
1co xc so yc so z s
(0,0,0) .
解: f(x,0,0) x
3coxs
,
z y
在点 (x,y)连续 , 则函数在该点可微分.
证： z f ( x x , y y ) f ( x , y )
[f(x x ,y y )f(x ,y y )]
[f(x,y y) f( x ,y )]
f x ( x 1 x ,y y ) x fy(x,y 2 y) y
3. 微分应用 • 近似计算
z fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
f(x x ,y y )
f(x,y)fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
• 估计误 差绝对误差δ z fx (x ,y )δ x fy (x ,y )δ y
相对误差δzzffx((xx,,yy))δxffy((xx,,yy))δy
所以 S 的相对误差约为δ S 0.13 0.5%
S 25.94
例6.在直流电路中,测得电压U =24伏, 相对误差为
0.3;测得电流I= 6安,相对误差为0.5, 求用欧姆
定律计算电阻R时产生的相对误差和绝对误差.
解: 由欧姆定律可知RU244(欧) I6
所以 R的相对误差约为
δR δU δI 0.3 + 0.5 = 0.8
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1)函数可微
偏导数存在
(2)偏导数连续
函数可微
定理1(必要条件) 若函数z =f(x,y) 在点(x,y)可微,
则该函数在该点偏导数 z , z 必存在,且有
x y dzzxzy
x y
证: 由全增量公式 z A x B y o () , 令 y0,
f(x x ,y y )f(x,y)fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
(可用于近似计算)
例3. 有一圆柱体受压后发生形变,半径由 20cm 增大
到 20.05cm,高度由100cm 减少到 99cm, 求此圆柱体
体积的近似改变量.
解: 已 Vr2h, 则
知
V 2rhr r2h
RU I
R 的绝对误差约为
δRR0.8 = 0.032 (欧)
内容小结
1.微分定义: (zf(x,y)) z fx (x ,y ) x fy (x ,y ) yo()
( x)2( y)2
dz fx (x ,y )d x fy (x ,y )d y
2.重要关系: 函数连续
函数可导
函数可微
偏导数连续
所以函数 zf(x,y)在点(x, y) 可微.
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性
问题. 例如,三元函数 uf(x,y,z)的全微分为
du u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分 于是 表示, du u d x u d y u d z
x y z
记作 dx u d y u dz u dxu,dyu,dzu称为偏微分. 故有下述叠加原理
易知 fx (0 ,0 ) fy (0 ,0 ) 0 ,但
z [ f x ( 0 ,0 ) x f y ( 0 ,0 ) y ] (x)2xy(y)2
xy
(x)2(y)2
(x)2x(yy)2
0
o() 因此,函数在点(0,0)不可微.
定理2
(充分条件)若函数zf(x,y)的偏导数
z x
r2,0h10 , 0
r 0 .0 ,5 h 1
V 2 2 1 0 0 . 0 0 0 5 2 2 ( 0 1 )
200(cm 3)
即受压后圆柱体体积减少了200cm3.
例4.计算 1.042.02的近似值. 解:设 f(x,y)xy,则
fx(x,y)yxy1, fy(x,y)xy lnx 取 x1,y2, x 0 .0, 4 y 0 .02 则 1 .02 .0 4 2f(1 .0,4 2 .0)2
1 x2 y2
当 P ( x ,y ) 点 沿 y 射 x 趋 ( 0 ,0 线 ) 时 于 ,
(x,xl) i(m 0,0)fx(x,y)
lim(
x0
x
sin
x2s1y| xi|n 212x
|
3 cos 1 ) ,x |(3x,y)(20,|0 x)|
极限不f存(x在,y,) fx(x,y)在x2 点 (0y,2 0)不连续;
思考与练习 1. P72 题1(总习题八) 2. 选择题 函数 zf(x,y)在 (x0,y0)可微的充分条件( D )
(A )f(x ,y )在 (x 0 ,y 0 )连 ; 续
( B )f x ( x ,y ) ,f y ( x ,y ) 在 ( x 0 ,y 0 ) 的某邻域内存在;
( C ) z f x ( x ,y ) x f y ( x ,y ) y
注意:( Lx. ,Py24, 5z 具例2 ) 有轮换对称性
一、全微分的定义
定义: 如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)
处全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y ) 可表示成
z A x B y o (),( x)2( y)2
其中A,B 不依赖于x,y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，A xB y称为函数f (x, y)
(0 1,2 1)
[fx (x ,y ) ] x [fy(x,y) ] y
lxyi m00 0,
lim
x0 y0
0
z
fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y x y
lxyi m00 0,
lim
x0 y0
0
注意到 x y , 故有
z fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y o()
1 x
δ
y
δx x
δ
y
y
•乘除后的结果相对误差变大 •很小的数不能做除数
类似可以推广到三元及三元以上的情形.
例5.利用公式 S1 2absiC n计算三角形面积.现测得 a 1 . 5 0 . 0 2 , b 8 . 3 1 0 . 0 , C 3 1 0 . 1 0
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
在点(x,y)的全微分, 记作
d z d f A x B y
若函数在域D内各点都可微,则称此函数在D内可微.
由微分定义:
lim z
x0
l 0 i ( A m x B y ) o ()0
y0
得 limf(xx,yy)f(x,y) x 0 y 0
即 函数 z z= f(f x,( yx )在 点x , (xy ,y ) 可y 微) f 函( x 数,y 在)该点连续
d u d xu d yu d zu
例1.计算函数 zexy在点(2,1)处的全微分.
解:
z x
yexy
,
z xexy
y
x z(2,1 )e2, y z(2,1 )2e2
dz e2dx2e2dye2(dx2dy)
(2,1)
例2.计算函数 uxsin2yeyz的全微分. 解: du1dx(1 2co 2 y sz e y z )dyyeyzdz
z 的绝对误差界约为 δ z f x ( x ,y )δ x f y ( x ,y )δ y
z 的相对误差界约为
zzffx((x x,,y y))δxffy((x x,,y y))δy
特别注意
(1)
zxy时， δ z δ
x
δ
y
z xy
(2) zy时, x
δz x zy
(
y x2
)
δ x
x y
同理, fy(x, y)在点(0 0, ,0)也不连续( .x ,y ) ( 0 , 0 )
1(dxdydz) 4
5.已知 zarcxt ayn,求 dz.
xy
答案: dzyxd2xyx2dy
xysin1 ,(x,y)(0,0)
6.证明函数 f(x,y)
x2y2
0 , ( x ,y ) ( 0 , 0 )
在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)
不连续, 而f(x,y) 在点(0,0)可微.
f ( 1 ,2 ) f x ( 1 ,2 ) x f y ( 1 ,2 ) y
1 2 0 . 0 0 0 4 . 0 1 . 0 2 8
2. 误差估计
利用 z fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y 令 δx,δy,δz分别表示 x,y,z 的绝对误差界, 则
当 ( x)2( y)2 0时是无穷小量;
(D ) zfx (x,y) xfy (x,y) y ( x)2( y)2
当 ( x)2( y)2 0时是无穷小量.
3. P73 题7 答案: z x 2 , x 0.010.02
y 1, y 0.03
d z x 2 , x 0.010.03 y 1, y 0.03
证: 1) 因
xysin 1 xy x2 y2
x2y2
2
所以
limf (x, y)0 f(0,0)
x0 y0
故函数在点(0,0)连续;
2) f(x ,0 ) 0 , fx(0,0)0;同理 fy(0,0)0.
3)当 (x,y)(0,0)时 ,
fx(x,y) y sin
1 x2 y2
x2y cos (x2 y2)3
也可写作: 当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
4.设
f(x,y,z)xco ys yco zz sco x,s 求df
1co xc so yc so z s
(0,0,0) .
解: f(x,0,0) x
3coxs
,
z y
在点 (x,y)连续 , 则函数在该点可微分.
证： z f ( x x , y y ) f ( x , y )
[f(x x ,y y )f(x ,y y )]
[f(x,y y) f( x ,y )]
f x ( x 1 x ,y y ) x fy(x,y 2 y) y
3. 微分应用 • 近似计算
z fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
f(x x ,y y )
f(x,y)fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
• 估计误 差绝对误差δ z fx (x ,y )δ x fy (x ,y )δ y
相对误差δzzffx((xx,,yy))δxffy((xx,,yy))δy
所以 S 的相对误差约为δ S 0.13 0.5%
S 25.94
例6.在直流电路中,测得电压U =24伏, 相对误差为
0.3;测得电流I= 6安,相对误差为0.5, 求用欧姆
定律计算电阻R时产生的相对误差和绝对误差.
解: 由欧姆定律可知RU244(欧) I6
所以 R的相对误差约为
δR δU δI 0.3 + 0.5 = 0.8
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1)函数可微
偏导数存在
(2)偏导数连续
函数可微
定理1(必要条件) 若函数z =f(x,y) 在点(x,y)可微,
则该函数在该点偏导数 z , z 必存在,且有
x y dzzxzy
x y
证: 由全增量公式 z A x B y o () , 令 y0,
f(x x ,y y )f(x,y)fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
(可用于近似计算)
例3. 有一圆柱体受压后发生形变,半径由 20cm 增大
到 20.05cm,高度由100cm 减少到 99cm, 求此圆柱体
体积的近似改变量.
解: 已 Vr2h, 则
知
V 2rhr r2h
RU I
R 的绝对误差约为
δRR0.8 = 0.032 (欧)
内容小结
1.微分定义: (zf(x,y)) z fx (x ,y ) x fy (x ,y ) yo()
( x)2( y)2
dz fx (x ,y )d x fy (x ,y )d y
2.重要关系: 函数连续
函数可导
函数可微
偏导数连续
所以函数 zf(x,y)在点(x, y) 可微.
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性
问题. 例如,三元函数 uf(x,y,z)的全微分为
du u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分 于是 表示, du u d x u d y u d z
x y z
记作 dx u d y u dz u dxu,dyu,dzu称为偏微分. 故有下述叠加原理
易知 fx (0 ,0 ) fy (0 ,0 ) 0 ,但
z [ f x ( 0 ,0 ) x f y ( 0 ,0 ) y ] (x)2xy(y)2
xy
(x)2(y)2
(x)2x(yy)2
0
o() 因此,函数在点(0,0)不可微.
定理2
(充分条件)若函数zf(x,y)的偏导数
z x
r2,0h10 , 0
r 0 .0 ,5 h 1
V 2 2 1 0 0 . 0 0 0 5 2 2 ( 0 1 )
200(cm 3)
即受压后圆柱体体积减少了200cm3.
例4.计算 1.042.02的近似值. 解:设 f(x,y)xy,则
fx(x,y)yxy1, fy(x,y)xy lnx 取 x1,y2, x 0 .0, 4 y 0 .02 则 1 .02 .0 4 2f(1 .0,4 2 .0)2
1 x2 y2
当 P ( x ,y ) 点 沿 y 射 x 趋 ( 0 ,0 线 ) 时 于 ,
(x,xl) i(m 0,0)fx(x,y)
lim(
x0
x
sin
x2s1y| xi|n 212x
|
3 cos 1 ) ,x |(3x,y)(20,|0 x)|
极限不f存(x在,y,) fx(x,y)在x2 点 (0y,2 0)不连续;
思考与练习 1. P72 题1(总习题八) 2. 选择题 函数 zf(x,y)在 (x0,y0)可微的充分条件( D )
(A )f(x ,y )在 (x 0 ,y 0 )连 ; 续
( B )f x ( x ,y ) ,f y ( x ,y ) 在 ( x 0 ,y 0 ) 的某邻域内存在;
( C ) z f x ( x ,y ) x f y ( x ,y ) y
注意:( Lx. ,Py24, 5z 具例2 ) 有轮换对称性