7.6 空间直线及其方程_图文.ppt

7-6 空间直线及其方程

x − x0 y − y0 z − z0 令 = = =t m n p
x = x0 + mt y = y0 + nt z = z + pt 0
直线的参数方程直线的一组方向数直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦. 直线的方向余弦
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
m1 n1 p1 = = , (2) L // L2 ⇐⇒ 1 m2 n2 p2
r 例如，例如，直线 L : s1 = {1,−4, 0}, 1 r 直线 L2 : s2 = {0,0,1}, r r r r Qs1 ⋅ s2 = 0, ∴s1⊥ s2 , 即 L1⊥L2 .
(− 例3 求过点 −3, 2, 5)且与两平面x − 4z = 3和
r^r π (s, n) = −ϕ 2
r s = {m, n, p}, r n = {A, B, C},
r^r π (s, n) = + ϕ 2
π π sinϕ = cos( −ϕ ) = cos( +ϕ ) . 2 2
| Am + Bn + Cp | sinϕ = A2 + B2 + C2 ⋅ m2 + n2 + p2
所求直线方程为
x − 2 y −1 z − 3 . = = 2 −1 4
四、直线与平面的夹角
定义直线和它在平面上的投影直线的夹称为直线与平面的夹角．角ϕ 称为直线与平面的夹角． ϕ π 0 ≤ϕ ≤ . 2
x − x0 y − y0 z − z0 L: , = = m n p Π : Ax + By + Cz + D = 0,
x y z = 和平面3x − 2 y + 7z = 8的关系是 5、直线 = 3 −2 7 ____________； ____________； x−2 y+2 z−3 6、直线 = = 和平面x + y + z = 3的关 3 1 −4 系是_________ 系是_________ .

空间直线及其方程

因此所求直线的方程为
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例7.6.3 求过的交点且方向向量为
解：所给直线的参数方程为
与平面2x＋y＋z－6=0
的直线
x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t) + (3+t) + (4+2t)－6=0. 解得t =－1. 把求得的t值代入直线的参数方程中即，得所求交点的坐标为故所求直线方程为
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(2) 直线 l 的任一方向向量
直线的一组方向数, 而向量
角的余弦称为直线的方向余弦
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2. 直线的对称式方程与参数方程
已知直线上一点任取直线上一点和方向向量
则
即向量式参数方程
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所以坐标式参数方程
解: 先在直线上找一点.
令 x = 1, 代入直线方程得
解得
是直线上一点 .
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再求直线的方向向量
交已知直线的两平面的法向量为
因为直线与两平面的法向量垂直,所以可取
故所给直线的对称式方程为参数式方程为
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所以投影直线的方程为
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x 5 y z 0, 例 7.6.7 求通过直线且与平面 x z 4 0 π x 4 y 8 z 1 2 成0 角的平面． 4 解：设所求的平面为 ( x 5 y z ) ( x z 4) 0 ，

空间直线方程PPT课件

空间直线的一般方程25直线的点向式方程其中方向向量26两直线的夹角公式求上半球与圆柱体的公共部分在2121xoy公共部分体在坐标面的投影为圆面xoz公共部分体在坐标面的投影为37页习题84282121axxoyxoz求上半球与圆柱体的公共部分在2121消去参数xoz消去参数30定义直线和它在平面上的投影直线的夹cpbnamsincos32直线与平面的位置关系
i
j k
3i 4 j k
2 1 3 1 3 2
ijk
s2 n3 n4 2 2 1
38 1
2 1 2 1 2 2
i 8
j 13
k 13
8 10i 5 j 10k
第22页/共64页
s1 s2 cos( L1 , L2 ) s1 s2
30 20 10
0.
9 16 1 100 25 100
y3
z4
1
1
2
的解。
2x y z 6 0
利用直线的参数方程求解更简便
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设 x2 y3 z4 t
1
1
2
x 2 t, y 3 t, z 4 2t
代入题中平面方程 2 x y z 6 0
中得：4 2t 3 t 4 2t 6 0
t 1
代入参数方程中得： x 1, y 2, z 2
注：
x
同一条直线的方向向量有无穷多个。
有单位向量，还有一般的向量。
第5页/共64页
下面导出直线的点向式方程
z
s
L
M0( x0, y0, z0 ), s (m, n, p),
M L, M ( x, y, z),
M M0
o
y
M0M// s

六节空间直线及其方程-精选

M(x,y,z)
M(x0,y0,z0)
O
y
x
1.对称式方程(点向式)
• 方向向量:
– 如果一个非零向量s平行于一条已知直线，这个向量s就叫做该直线的方向向量。
对称式方程的建立
直线上任一向量都与s平行.
s
L
M(x,y,z)
依据：
M(x0,y0,z0)
过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向量s，则直线位置完全可以确定下来。
第六节空间直线及其方程
在空间直角坐标系中：一个三元一次方程表示一个平面；一个三元二次方程表示一个曲面；两个曲面的交线表示一空间曲线；两个平面的交线表示（空间直线）。
F (x2, y2, z2) = 0
²¦
第八节空间直线及其方程
直线的点向式方程直线的一般方程直线的参数方程两直线的夹角直线与平面的夹角例题、练习与思考
2.将直线对称式方程L化为一般方程.
L:x1= y =z2 4 1 3
解（2）求一般方程，
由

x y

=
=y
z 2
？？？
x y = z y = 2
即为所要求的一般方程.
3.将直线的一般方程L化为标准方程
（即对称式方程）.
= 1 = 2.=.
22
4
的夹角
设直线 L的方向向量 s={m,n,p} 设平面π的法线向量 n ={A,B,C} 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平面π的夹角.记作φ .
直线与平面的夹角（图示）
这是平面π与直线L的交角
s={m,n,p}

第六节空间直线及其方程.ppt

其中系数 A1、B 1、C 1 与 A 2、B 2 、C 2 不成比例. 方程
A1x B1y C1z D1 A2x B2 y C2z D2 0
表示通过直线 L 的平面束(通过直线L 的平面的全体), 其中是任意常数.
例6
求直线
x y z1 0
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
五、平面束
设直线 L 的方程为

A1x A2 x

B1 y B2 y
C1z D1 0, C2z D2 0
y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标 (1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s

n1

n2

{4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin

cos
2

cos
2
.
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1)
L

A B C. mn p
第六节空间直线及其方程
空间直线方程空间直线和直线，直线和平面的
夹角

7.6空间直线及其方程

x − x 0 y − y0 z − z 0 = = m n p
z
(2)
以图形与方程的两个条件检验知( 2)即为所求直线的方程.
(2)叫直线的对称式方程 (2)叫直线的对称式方程
o
l
M •
•
r s
M0
y
r 注意因方向向量 s 和点M 0 对于直线来说并不是唯一的, 所以直线的对称式方程也非
令
得l的参数方程为
x y −1 z − 2 = = = t， 1 −7 −5
x = t， y = 1 − 7 t， z = 2 − 5t.
解法 2 l的方向数为
−1 −1 2 2 1 : : = 1 : ( −7) : ( −5), −1 2 2 3 3 −1 1
2 −9 再设 z = 0, 解得 : x = , y = , 5 5
两平面的交线
方程(Ⅱ)不是方程(
l 的对称式方程,所以向量 {8 , 2 , 3 }, 的对称式方程,
2 , 3 }// {4 , 2 , 3 }
也不是 l的一个方向向量 . 点(1,1,4) 也不是 l 上一定点 .
事实上
{8 ,
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = m n p
直线的一组方向数直线的一组方向数
r s = (m, n, p)是直线的方向向量.
方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 方向余弦
x − x 0 y − y0 z − z 0 令 = = =t p m n
x = x0 + mt y = y0 + nt z = z + pt 0
(λ为任意常数 )

第二节空间直线及其方程

练习.思考.讨论
1.求过点A（3，-2，1）且垂直于直线
的平面方程.
1 .答 (x 案 3 ) (y 2 ： ) (z 1 )= 0
2.用参数方程与对称式方程表示直线：x y z =1
x =1 2t
2x y z = 4
参数方程：y =1 t
z =1 3t
解先求点Mo，不妨令y=0, 则有 x=1,z=-2，即
Mo(1,0,-2); 再求 s, 由 n ={,,0}
n2 ={0,,},
s = nn2
i jk
= 0 = i j k
x1= y =z2 0 4 1 3
带回标准方程，得结果如左 .
3.验证两条直线 L1,L2是
否共面.其中
L:
2
x x

y z y 2
= 0, ( ) z = 0, ( 2
)
L2:
x 2

x

y
yz 2z
= =
, ( , ( )
) .
答：共面.可以由前三个平面方程联立解得： x=4, y=5, z=-7,
φθ
这是直线L与其在平面π上投影的交角
L
L:xx0 =yy0 =zz0
mn
p
π
π Ax+By+Cz+D=0
四.直线与平面的夹角
已知直线L的方向向量为（m, n, p） n={A,B,C}
平面π的法向量为（A，B，C），则有
φ
s={m,n,p
θ
夹角公式：
cos =
| mAnBpC|
m2 n2 p2 A2 B2 C2

+空间直线及其方程

4 1 3
参数式方程为

x y

1 t
4
t
z 2 3 t
解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
2019/10/31
6
例 2 求与两平面x－4y = 3 和2x－y－5z = 1 的交线平行且过点(－3, 2, 5)的直线的方程.
解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s 一定同时与两平面的法线向量n1、n2 垂直，所以可以取
L1:
x1yz3 1 4 1
x y 2 0 L2 : x 2z 0
解: 直线 L 1的方向向量为 s1(1,4,1)
i jk
直线 L 2 的方向向量为 s 2 1 1 0 (2,2,1)
二直线夹角的余弦为
10 2
cos 1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 ) 2
面的全体称为平面束，而方程(III)就作为通过直线L的
平面束的方程(事实上，方程(III)表示缺少平面(II)的平
面束).
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15
例6 求直线方程.
在平面x+y+z=0上的投影直线的
解：过直线
的平面束的方程为
(x +y- z-1) + (x－y+z+1)=0, 即 (1+ )x+(1- )y+(-1+ )z+(-1+ )=0, (*)
设 xx0yy0zz0t mn p
得参数式方程 :
xx0mt yy0nt zz0pt
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4
例1 用对称式及参数式表示直线
x yz 10 2x y3z 40

空间直线方程 ppt课件

y0
2 1.5
交线在xoz坐标面的投影
1 0.5
-02
消去参数y,
z
2
a2
ax
y 0 PPT课件
-1 0 1
2
30
四、直线与平面的夹角
定义直线和它在平面上的投影直线的夹
角称为直线与平面的夹角．
0 .
2
L : x x0 y y0 z z0 , sr (m, n, p),
:
m
n
p
s1 s2
cos(L1, L2 ) ur ur
s s 1PPT课件2
20
281
2
cos(L1 , L2 )
. 1 16 1 4 4 1 2
所以两直线的夹角为 . 4
PPT课件
21
练习
求直线
5x 3y 3z 9 0
3x
2y
z
1
0
与
直线
2x
3
x
2 8 uur
y y
z z
PPT课件
9
从空间直线的一般方程到对称式方程
L
:
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。 uur
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 nuu1r (A1, B1,C1) 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
代入题中平面方程 2 x y z 6 0
x x0 y y0 z z0 直线的对称式方程
m
n
p
PPT课件
7
下面得出直线的参数方程