《用尺规作三角形》教学课件
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《用尺规作三角形》教学课件
B
（3）在射线BD上截取线
段BA=c； B
C
D
AD C AC
（4）连接AC．△ABC就是所
求作的三角形．
B
C
将你所作的三角形与同伴作出 的三角形进行比较，它们全等吗？ 为什么？
两边及它们的夹角对应相 等的两个三角形全等(SAS)
1. 已知三角形的两边及夹角，求作这个三角 形。
回顾刚才作三 边 角形的顺序
用尺规作三角形
1、尺规作图的工具是直尺和圆规
2、我们已经会用尺规作一条 线段等于已知线段、作一个角 等于已知角
作一个角等于已知角
已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使
∠A′O′B′＝∠AOB
DA
D′ A′
O
C B O′
作法与提示：
C′ B′
（画径（径则（弧画23画4∠5））），弧弧A以以′过交，（，OCOD交为 O′1交′′A）圆于 为 O前为B做′做′圆心D弧圆射B点射为心′，于心线，线所任，于，DO交O′求′意OC′DC′O点C作A长BB长′点于′的为。为C角半。点半径。
c
请按照给出的作法作出相应的图形． 作法
（1）作 DAF ．
A
（2）在射线AF上截取线段
AB=c；
A
（3）以B为顶点，以BA为一边，
作 ABE ， BE交AD于点
C．则△ABC就是所求作的三角
形．
A
示范
D D
CD
F BF
BF
将你所作的三角形与同伴作 出的三角形进行比较，它们全等 吗？为什么？
夹 角
边
边
还有没有其
夹
他的作法？
角
边
已知：线段a， b， ∠α ，求作：△ABC， 使BC＝a，AB＝ c， ∠ABC ＝∠α
1三角形的尺规作图课件冀教版数学八年级上册
探究新知
探究新知
2.下列属于尺规作图的是( B ) A．用量角器画出∠AOB的平分线OC B．已知∠α，作∠AOB，使∠AOB＝2∠α C．画线段AC＝3 cm D．用三角板作AB的垂线
探究新知
知识点 2 用尺规作三角形
我们由三角形全等的判定可以知道，每一种判定两个三角 形全等的条件(_S_S_S__，_S_A__S_，A__S_A__，A__A_S__)，都只能作出唯 一的一个三角形.
我们前面所画的图形大都是用刻度尺、三角尺、量 角器和圆规等各种工具画出的.
3
探究新知
知识点 1 尺规作图 只用直尺(没有刻度)和圆规也可以画出一些图形，
这种画图的方法被称为尺规作图. 我们已经学过的尺规作图有：作一条线段等于已
知线段，作一个角等于已知角.在这个基础上，我们 就可以用尺规作三角形了.
探究新知
例2 已知三边，用尺规作三角形. 如图，已知线段a，b，c． 求作：△ABC，使AB＝c，BC＝a，AC＝b.
a
b
c
分析：由作一条线段等于已知线段，能够作出边AB，即A，B两 点确定. 而BC＝a，AC＝b. 故以点A为圆心，b为半径画弧，以 点B为圆心，a为半径画弧，两弧的交点就是点C.
探究新知
作法：第一步：作线段AB等于c.
C
第二步：以点A为圆心，b为半径画弧.
b
a
第三步：以点B为圆心，a为半径画弧，
两弧交于点C.
A
c
B
第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求.
好方法
探究新知
1. 作图根据：全等三角形的判定方法“SSS”. 2. 作图思路：三次运用“作一条线段等于已知线段”
这一基本作图方法.
用尺规作三角形(课件)七年级数学下册(北师大版)
探究新知
归纳总结 经过前面的实践，我们如何作三角形呢？ 1. 作出草图； 2. 在草图上标出已给的边、角的对应位置； 3. 确定作图的步骤； 4. 开始作图。
探究新知
例:已知，三角形的两个内角分别是50°和60°，其中60°角所
对的边是3cm，求作这个三角形.
作法：根据三角形内角和等于180°，可求
得该三角形的另一个角是70°．
（1）作线段AB=3cm．
（2）以AB为边，分别以A、B为顶点作∠A=50°， C ∠B=70°．
（3）∠A、∠B的另一边交于C点，则△ABC就是
所求作的三角形．
A 50° 70° B
随堂练习
1.已知两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是（ D ） A． 作已知角的平分线 B． 作已知线段的垂直平分线 C． 过一点作已知直线的高 D． 作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段
探究新知
核心知识点一： 利用尺规作三角形
1.已知两边及其夹角作三角形. 如图,已知∠α和线段m, n. 求作△ABC,使∠B＝∠α, BA＝n, BC＝m.
探究新知
作法： (1)作一条线段BC＝m； (2)以B为顶点,以BC为一边,作∠DBC＝∠α； (3)在射线BD上截取线段BA＝n； (4)连接AC,△ABC就是所求作的三角形.
2.夹边
新作法 1.夹边
2.角
还有没有其 他的作法？
3.角
3.角
探究新知
3.已知三边作三角形. 已知三条线段a、b、c, 用尺规作出△ABC,使BC＝a, AC＝b, AB＝c.
探究新知
作法： (1)作线段BC＝a； (2)以点C为圆心,以b为半径画弧, 再以B为圆心,以c为半径画弧,两弧相交于点A； (3)连接AC和AB, 则△ABC即为所求作的三角形,如图所示.
七年级数学下册 第4章 三角形 4.4 用尺规作三角形课件
图4-4-6 作法:如图4-4-7所示,(1)作射线AM,并在AM上截取线段AB=c;(2)以点A 为圆心,b为半径作弧;(3)以点B为圆心,a为半径作弧,交前面(qián mian)的弧于点C, 连接AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形.
2021/12/10
图4-4-7
第六页，共三十三页。
例 小明(xiǎo mínɡ)教材上的三角形被墨迹污染了一部分,如图4-4-8,他想在作业 本上画一个与教材上完全一样的三角形,他该怎么办?你能帮助他画出 来吗?
求作的三角形.
2021/12/10
第四页，共三十三页。
图4-4-5 注意(zhùyì):已知三角形的两角及其中一角的对边,也可以作出一个三角形,可 以先求出三角形的第三个角,从而转化为已知三角形的两角及其夹边求 作三角形.
2021/12/10
第五页，共三十三页。
3.已知三角形的三条边,求作三角形.如图4-4-6,已知线段a,b,c,求作 △ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
图4-4-8
分析(fēnxī) 已知两角及其夹边,可依据ASA求作三角形.
解析 作法:(1)作线段A'B'=AB;(2)以点A'为顶点(dǐngdiǎn)作∠B'A'M=∠1;(3)以点
B'为顶点作∠A'B'N=∠2,B'N与A'M交于点C',则△A'B'C'就是所求作的三
角形.
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2021/12/10
第九页，共三十三页。
2.如图4-4-1,在△ABC中,∠ACB=80°,∠ABC=60°.按以下步骤作图:①以 点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点
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图4-4-7
第六页，共三十三页。
例 小明(xiǎo mínɡ)教材上的三角形被墨迹污染了一部分,如图4-4-8,他想在作业 本上画一个与教材上完全一样的三角形,他该怎么办?你能帮助他画出 来吗?
求作的三角形.
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第四页，共三十三页。
图4-4-5 注意(zhùyì):已知三角形的两角及其中一角的对边,也可以作出一个三角形,可 以先求出三角形的第三个角,从而转化为已知三角形的两角及其夹边求 作三角形.
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第五页，共三十三页。
3.已知三角形的三条边,求作三角形.如图4-4-6,已知线段a,b,c,求作 △ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
图4-4-8
分析(fēnxī) 已知两角及其夹边,可依据ASA求作三角形.
解析 作法:(1)作线段A'B'=AB;(2)以点A'为顶点(dǐngdiǎn)作∠B'A'M=∠1;(3)以点
B'为顶点作∠A'B'N=∠2,B'N与A'M交于点C',则△A'B'C'就是所求作的三
角形.
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第九页，共三十三页。
2.如图4-4-1,在△ABC中,∠ACB=80°,∠ABC=60°.按以下步骤作图:①以 点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点
用尺规作三角形
（
）
尺规作三角形进一步验证了全等三角形的条件． 尺规作三角形进一步验证了全等三角形1.7
用尺规作三角形
如何利用尺规作出一个三角形与已知三角形全等？ 如何利用尺规作出一个三角形与已知三角形全等？ A
B
C
直尺
1．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． ．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段 已知：线段a, c, ∠α .
a c
α
求作： 求作：△ABC，使BC=a AB=c, ∠ABC= ∠α . ，
A D C
F B
A
B
F
将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比 它们全等吗？为什么？ 较，它们全等吗？为什么？
还有没有其他 的作法？ 的作法？
3．已知三角形的三边，求作这个三角形． ．已知三角形的三边，求作这个三角形． 已知：线段 ， ， 已知：线段a，b，c．
a b c
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a． 求作： ， ， ， （1）请写出作法并作出相应的图形． ）请写出作法并作出相应的图形． （2）将你所作的三角形与同伴作出的三角形 ） 进行比较，它们全等吗？为什么？ 进行比较，它们全等吗？为什么？
作法 （1）作一条线段 ）作一条线段BC=a； ； 为顶点， （2）以B为顶点，以BC为 ） 为顶点 为 一边， 一边，作 ∠DBC = ∠α ．
B B
示范
C
C
（3）在射线 上截取线 ）在射线BD上截取线 段BA=c； ；
B C A
（4）连接 ．△ABC就 ）连接AC． 就 是所求作的三角形． 是所求作的三角形．
请按照给出的作法作出相应的图形． 请按照给出的作法作出相应的图形． 作法 （1）作 ∠DAF = ∠α ． ）
用尺规作三角形-七年级数学下册课件(北师大版)
∠ ，∠ = ∠ 且，交于点P，
则△ 即为所求；
③运用“SSS”画图3，作线段 = ，分别以R，S为圆心，，为半径在的同
旁画弧交P点，连接，，则△ 即为所求．
通过作图可得，运用“SSS”作图比较方便．
2)在……上截取，使……=……；
3)以……为顶点，以……为一边，作∠……=∠……；
4)作∠……=∠……；
5)连接……，或连接……交……于点……；
6)以点……为圆心，以……为半径画弧，交于……于一点……；
7)分别以……，……为圆心，以……，……为半径画弧，两弧交于···点；
课堂练习
王同学不小心在一个三角形上洒了一片墨水，请用尺规帮王同学重新画一个三
两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
课堂小结
尺规作图的一般步骤：
1）分析，即根据已知条件寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；
2）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；
3）说明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。
课堂小结
常用作图语言（灵活掌握）
1)作一条线段……=……；
角形使它与原来的三角形完全相同。(保留作图痕迹，不写作法)
解：△ABC即为所求图形
课堂练习
已知线段a，n，h，求作△ABC，使BC= a, BC边上的中线AD=n，高AE= h.
作法:
① 作角∠MEN= 90°;
② 在射线EN上截取线段EA= h;
③ 以A为圆心，线段n为半径画弧交射线EM于点D，连接AD；
a
已知：线段a、 c、∠α
c
求作：△ABC，使BC=a、AB=c、∠ABC=∠α
方法二：先作两边的夹角，再作两边
则△ 即为所求；
③运用“SSS”画图3，作线段 = ，分别以R，S为圆心，，为半径在的同
旁画弧交P点，连接，，则△ 即为所求．
通过作图可得，运用“SSS”作图比较方便．
2)在……上截取，使……=……；
3)以……为顶点，以……为一边，作∠……=∠……；
4)作∠……=∠……；
5)连接……，或连接……交……于点……；
6)以点……为圆心，以……为半径画弧，交于……于一点……；
7)分别以……，……为圆心，以……，……为半径画弧，两弧交于···点；
课堂练习
王同学不小心在一个三角形上洒了一片墨水，请用尺规帮王同学重新画一个三
两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
课堂小结
尺规作图的一般步骤：
1）分析，即根据已知条件寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；
2）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；
3）说明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。
课堂小结
常用作图语言（灵活掌握）
1)作一条线段……=……；
角形使它与原来的三角形完全相同。(保留作图痕迹，不写作法)
解：△ABC即为所求图形
课堂练习
已知线段a，n，h，求作△ABC，使BC= a, BC边上的中线AD=n，高AE= h.
作法:
① 作角∠MEN= 90°;
② 在射线EN上截取线段EA= h;
③ 以A为圆心，线段n为半径画弧交射线EM于点D，连接AD；
a
已知：线段a、 c、∠α
c
求作：△ABC，使BC=a、AB=c、∠ABC=∠α
方法二：先作两边的夹角，再作两边
《用尺规作三角形》课件 2022年北师大版数学课件
请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
E
w1
z
D
A y1
1x
C 1
O1 B
x2= 2 ， y2= 3 ， z2= 4 ， w2= 5 ．
x2=2，幂和指 数，求底数x， 你能求出来吗？
注意!
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a ，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方 根，记为“ ”，读作“根号 a ”． 特别地，我们规定0的算术平方根是0，即
作法：
〔1〕作线段AB=c; 两角及它们的夹边对应相 〔2〕分别以A、B为顶等点的，在两线个段三AB角的形同侧全作等
∠DAB= ∠α , ∠ EBA= ∠β,DA与EB相交于C点； ∴△ ABC 就是所要求作的三角形。
两角及其夹边作三角形
将你所作的三角形与同桌作出的三角形进行比 较，它们全等吗？为什么？
两边及其夹角作这个三角形 三边作这个三角形
三角形的三边求作三角形
设置疑问 作法示范
Ac
求作:△ABC,使BC＝a,AC＝b,AB＝c
作法
(1)做线段BC＝a, (2)以C为圆心, b为半径画弧
(3)以B为圆心, C为半径画弧
两弧相交于点A
C
M (4)连接AB,AC
那么△ABC为所求作的三角形
4
9
2
等
于
多
少?
121
121
(3)对 于 正 数a， a2等 于 多 少?
对 于 负 数a， a2等 于 多 少?
(4)式 子 ( a)2 a(a0)和 式子 a2它 们之 间
怎 样 的 区 ?在别什 么 情 况 下 这 子两 相？ 个 等
• 练一练：
作三角形尺规作图课件
用尺规作图创造三角形艺 术
尺规作图是一种精确定位几何形状的技术，它可以创造出无限的三角形，我 们将带您探索它的世界。
什么是尺规作图？
简介
尺规作图是一种基于欧氏 几何原理和直尺、圆规这 两个简单工具，用于绘制 几何图形的技术。
历史
尺规作图自古希腊时期就 开始出现，发展到欧洲基本原理、规则、步骤、应用范围、注意事项以及 一些历史信息。掌握这些知识，您可以构造出精确的三角形和其他几何形状。 祝您好运！
2
接下来，需要画出角度，例如使用两
个直线和一个圆来确定角度。
3
确定基本要素
首先需要确定你需要构造的形状和已 知要素，例如边长或角度。
构造形状
最后，需要使用圆规和直尺，根据构 造的角度来构造形状。
尺规作图的应用范围
建筑设计
尺规作图可以用于建筑设计 和测量，例如计算角度和距 离。
工程测量
尺规作图也可以用于工程测 量，例如确定土地边界和水 坑的大小。
重要性
尺规作图是理解欧氏几何 基础的关键。此外，许多 几何学问题可以使用尺规 作图解决。
尺规作图的基本原理
直尺
尺子是尺规作图中的一种基本 工具，它可以用来画出直线。
圆规
圆规是另一种基本工具，可以 用来画出圆和弧线。
欧氏原理
欧氏几何原理是尺规作图的理 论基础，它描述了空间中点、 线和平面的关系。
尺规作图的三个基本规则
美术设计
尺规作图是创意作品中的一 部分。例如，它可以用于绘 画、插图及其他艺术形式。
尺规作图的注意事项
规则和限制
尽管尺规作图非常有用，但它有严格的限制，例如无法构造立方根和其他有些曲线。
不同解法
在某些情况下，可能存在多种解法。这些解法可能使用不同的步骤和规则。
尺规作图是一种精确定位几何形状的技术，它可以创造出无限的三角形，我 们将带您探索它的世界。
什么是尺规作图？
简介
尺规作图是一种基于欧氏 几何原理和直尺、圆规这 两个简单工具，用于绘制 几何图形的技术。
历史
尺规作图自古希腊时期就 开始出现，发展到欧洲基本原理、规则、步骤、应用范围、注意事项以及 一些历史信息。掌握这些知识，您可以构造出精确的三角形和其他几何形状。 祝您好运！
2
接下来，需要画出角度，例如使用两
个直线和一个圆来确定角度。
3
确定基本要素
首先需要确定你需要构造的形状和已 知要素，例如边长或角度。
构造形状
最后，需要使用圆规和直尺，根据构 造的角度来构造形状。
尺规作图的应用范围
建筑设计
尺规作图可以用于建筑设计 和测量，例如计算角度和距 离。
工程测量
尺规作图也可以用于工程测 量，例如确定土地边界和水 坑的大小。
重要性
尺规作图是理解欧氏几何 基础的关键。此外，许多 几何学问题可以使用尺规 作图解决。
尺规作图的基本原理
直尺
尺子是尺规作图中的一种基本 工具，它可以用来画出直线。
圆规
圆规是另一种基本工具，可以 用来画出圆和弧线。
欧氏原理
欧氏几何原理是尺规作图的理 论基础，它描述了空间中点、 线和平面的关系。
尺规作图的三个基本规则
美术设计
尺规作图是创意作品中的一 部分。例如，它可以用于绘 画、插图及其他艺术形式。
尺规作图的注意事项
规则和限制
尽管尺规作图非常有用，但它有严格的限制，例如无法构造立方根和其他有些曲线。
不同解法
在某些情况下，可能存在多种解法。这些解法可能使用不同的步骤和规则。
《用尺规作三角形》三角形精品课件
02
详细讲解用尺规作多边形的步骤和技巧，包括确定多边形的关
键点、使用直尺和圆规进行精确展示几个用尺规作多边形的实例，包括五边形、六边形等，帮
助学生直观理解作图方法。
习题练习
基础题
设计一些基础题，帮助学生巩固课堂所学知识，包括用尺规作三角形、判断所 作图形是否符合要求等。
提高题
利用尺规作图，已知等边三角形的三边长度，可以求出三个内角大小，进而完成等边三角形的作图。
详细描述
首先，使用尺规作图，根据已知的三边长度确定出三个内角的大小；其次，使用圆规和直尺，按照已知的三个内 角大小，画出等边三角形。
等边三角形的性质和判定
总结词
等边三角形具有三边长度相等、三个内 角大小相等的性质，以及三线合一的判 定方法。
VS
详细描述
首先，介绍等边三角形的定义和性质；其 次，介绍等边三角形的判定方法，包括利 用三线合一进行判定、利用角平分线定理 进行判定等；最后，通过实例进行说明和 演示。
04
用尺规作等腰三角形
已知等腰三角形的两边长度
总结词
根据已知的两边长度，通过尺规作图的方式 ，可以准确地作出等腰三角形。
详细描述
作图技巧总结
总结作图中用到的各种技 巧和策略，帮助学生提升 作图能力和问题解决能力 。
常见错误分析
分析学生在作图过程中常 见的错误，提醒学生避免 类似错误，促进正迁移。
知识拓展：用尺规作多边形
多边形的定义与性质
01
介绍多边形的定义、性质和分类，为进一步拓展学生的知识面
做准备。
用尺规作多边形的步骤与技巧
圆弧的绘制
先使用圆规绘制大圆弧，然后使用直尺绘制 小圆弧。
圆形的绘制
用尺规作三角形课件
本课节内容 2.6
用尺规作三角形
说一说
你已经学会用尺规作哪些图形？动手试一试.
会作一条线段等于已 知线段，会作线段的垂直 平分线，……
根据三角形全等的判定条件，已知三边、两 边及其夹角、两角及其夹边，都可以确定唯一的 一个三角形，从而我们可以根据这些条件用尺规 来作三角形.
已知三边作三角形. 已知线段a， b， c. 求作△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.
练习
1. 如图，一个机器零件上的两个孔的中心A，B已 定好，又知第三个孔的中心C距A点1.5m，距B 点1.8m. 如何找出C点的位置呢？
答：以点A为圆心，1.5cm为半 径画弧，再以点B为圆心， 1.8cm为半径画弧，两弧的交 点即为第三个孔的中心C.
2. 如图，已知线段a， b，求作等腰三角形，使它 的腰长等于线段a，底边长等于线段b.
练习
用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹， 不要求写出作法）.
1. 用尺规作一个角等于90°.
如图所示，
①在直线l上截取线段PA、PB，
使PA=PB; ②分别以点A、B为圆心，大于
PA的任意长度为半径画弧， 两弧相交于点C. ③连接CP，则∠CPA= ∠CPB= 90°.
2. 如图，已知线段a，b，求作一个直角三角形， 使它的两直角边分别为a和b.
如图所示，
a
①作∠MCN=90°.
b
②在射线CM上截取CA=a，
在射线CN上截取CB=b.
③连接AB，则△ABC就是所求作的三角形.
a b
中考 试题 例1
如图1，已知线段a、b、c，求作以a、b、c为边的三角形.
解 ①作一条线段AB=c. ②分别以A、B为圆心，以b、a为半径画弧， 两弧交于C点. ③连接AC、BC.则△ABC就是所求作的三角形.
用尺规作三角形
说一说
你已经学会用尺规作哪些图形？动手试一试.
会作一条线段等于已 知线段，会作线段的垂直 平分线，……
根据三角形全等的判定条件，已知三边、两 边及其夹角、两角及其夹边，都可以确定唯一的 一个三角形，从而我们可以根据这些条件用尺规 来作三角形.
已知三边作三角形. 已知线段a， b， c. 求作△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.
练习
1. 如图，一个机器零件上的两个孔的中心A，B已 定好，又知第三个孔的中心C距A点1.5m，距B 点1.8m. 如何找出C点的位置呢？
答：以点A为圆心，1.5cm为半 径画弧，再以点B为圆心， 1.8cm为半径画弧，两弧的交 点即为第三个孔的中心C.
2. 如图，已知线段a， b，求作等腰三角形，使它 的腰长等于线段a，底边长等于线段b.
练习
用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹， 不要求写出作法）.
1. 用尺规作一个角等于90°.
如图所示，
①在直线l上截取线段PA、PB，
使PA=PB; ②分别以点A、B为圆心，大于
PA的任意长度为半径画弧， 两弧相交于点C. ③连接CP，则∠CPA= ∠CPB= 90°.
2. 如图，已知线段a，b，求作一个直角三角形， 使它的两直角边分别为a和b.
如图所示，
a
①作∠MCN=90°.
b
②在射线CM上截取CA=a，
在射线CN上截取CB=b.
③连接AB，则△ABC就是所求作的三角形.
a b
中考 试题 例1
如图1，已知线段a、b、c，求作以a、b、c为边的三角形.
解 ①作一条线段AB=c. ②分别以A、B为圆心，以b、a为半径画弧， 两弧交于C点. ③连接AC、BC.则△ABC就是所求作的三角形.
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E a 作法与示范 E′ B D′ (1)作∠MBN＝ ∠α b
a
D
N
作法2
M
作法与示范
bA a
N
E′
D′C
B
M
作法2
(2)在射线B M上截取BC＝a, 在射线B N上截取BA＝b，
作法与示范
bA
N
E′
D′C M
B
a
作法2
(3)连接AC 则△ABC为所求作的三角形
2．已知三角形的两角及其夹边，求作这 个三角形． ，线段c． 已知： ，
C
1. 你能用尺规作一个直角三角形，使其 两条直角边分别等于已知线段a，b吗？ 并写出作法。
a b
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作 出的三角形”，会发现是“已知两边及夹 角求作三角形”，所以按照此方法作图。
2. 已知∠α和∠β，线段a，用尺规作一个三角形， 使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且 ∠α的对边等于a。 α
3．已知三角形的三边，求作这个三角形． 已知：线段a，b，c．
a b c
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a． （1）请写出作法并作出相应的图形． （2）将你所作的三角形与同伴作出的三 角形进行比较，它们全等吗？为什么？
3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。 已知：线段 a，b，c。 a b c 求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。 A 作法： （1）作一条线段BC=a； （2）分别以B，C为圆心，以c， b为半径画弧，两弧交于A点； B （3）连接AB,AC。 △ABC就是所求作的三角形。
）
1.学会了用尺规作三角形 2.进一步验证了全等三角形的条件．
习题3.9
c
求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c.
，线段c． 已知： ，
c
求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c.
c
请按照给出的作法作出相应的图形． 作法 （1）作 DAF ．
示范
D
A
（2）在射线AF上截取线段 AB=c； A （3）以B为顶点，以BA为一边， ABE 交AD于点 作 ， BE C．则△ABC就是所求作的三角 A 形．
如何利用尺规作出一个三角形与已知三角 全等？ A
B
C
1．已知三角形的两边及其夹角，求作这 个三角形． 已知：线段a, c, .
a
c
求作：△ABC，使BC=a AB=c, ∠ABC= .
请按照给出的作法作出相应的图形． 作法 示范 （1）作一条线段BC=a； B C D （2）以B为顶点，以BC为一边， 作 ． DBC B A D C （3）在射线BD上截取线 段BA=c；
β
a
提示：先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向 延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三 个内角∠γ 。由此转换成已知∠β 和∠γ及其 这两角的夹边a，求作这个三角形。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较， 它们全等吗？为什么？ β γ α
作法：1. 作∠α+∠β的补角∠γ 2. 作∠GBE=∠β 3. 在射线BE上截取BC=a 4. 以C为顶点，CB为一边 作∠FCB=∠γ B 5. 射线BG与射线CF相交于点A △ABC就是所求作的三角形。 β
F A α G
γ
a
E
C
已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一 个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有 一边等于b。 a b α
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作 出的三角形”；然后在草图上标出已给的 边、角的对应位置；再找出边与角，确定 作图的顺序。
C
C' a a
N
A b B M 作法： 1. 作∠MAN=∠α 2. 在射线AM上截取AB=b
B
A
C C
（4）连接AC．△ABC就是所 求作的三角形．
B
将你所作的三角形与同伴作出 的三角形进行比较，它们全等吗？ 为什么？
两边及它们的夹角对应相
等的两个三角形全等(SAS)
1. 已知三角形的两边及夹角，求作这个三角 形。
回顾刚才作三 角形的顺序
还有没有其 他的作法？
边
夹 角
边
边
夹 角 边
已知：线段a， b， ∠α ，求作：△ABC， 使BC＝a，AB＝ c， ∠ABC ＝∠α
1．利用尺规不能唯一作出的三角形是（ A．已知三边 B．已知两边及夹角 C．已知两角及夹边 D．已知两边及其中一边的对角 2．利用尺规不可作的直角三角形是（ A．已知斜边及一条直角边 B．已知两条直角边 C．已知两锐角 D．已知一锐角及一直角边
D
）
C
）
3．以下列线段为边能作三角形的是（ A．2厘米、3厘米、5厘米 B．4厘米、4厘米、9厘米 C．1厘米、2厘米、 3厘米 D．2厘米、3厘米、4厘米
c
β 求作：△ＡＢＣ,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β， N ＡＢ＝ c K
作法示范
C
A
B
M
AN与BK作法 相交于 C, 则△ ABC 为所求作的三角形 (3) 作∠ Ｂ A ＝∠β c :(1) 作线段 ＡＢ＝ (2) 作∠ NK Ａ B ＝∠α，
经过前面的实践，我们如何来分析作图题呢？
1. 假设所求作的图形已经作出，并在草 稿纸上作出草图； 2. 在草图上标出已给的边、角的对应位 置； 3. 从草图中首先找出基本图形，由此确 定作图的起始步骤； 4. 在3的基础上逐步向所求图形扩展。
你知道的常用作图语言 (1)作∠· · · · · · =∠ · · · · · ·； 有哪些呢？ (2)在· · · · · · 上截取，使· · · · · ·= · · · · · ·； (3)以· · · 为顶点，以· · · · · · 为一边，作∠ · · · · · ·=∠ · · · · · ·； (4)作一条线段· · · · · ·= · · · · · ·； (5)连接· · · · · ·，或连接· · · · · · 交· · · · · · 于点· · · · · ·； (6)分别以· · ·， · · · 为圆心，以· · ·， · · · 为半径画弧， 两弧交于· · · 点； · · · · · ·· · · · · ·· · · · · ·· · · · · ·
用尺规作三角形
1、尺规作图的工具是直尺和圆规 2、我们已经会用尺规作一条 线段等于已知线段、作一个角 等于已知角
作一个角等于已知角 已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使 ∠A′O′B′＝∠AOB A D′ A′ D
C 作法与提示： O B O′
C′ B′
（ 2 ）以 O为圆心，任意长为半径 OC 长为半 （3 4）以O′为圆心， ）以C′为圆心， DC 长为半 （ 1 ）做射线O′B′ （5）过D′做射线O′A′ 则∠A′O′B′为所求作的角 画弧，交 径画弧，交O′B′于C′点 OA于D点，交OB于 C。 点。 径画弧，交前弧于D′点 。
α
同样是已知两边及一 角，为什么会出现两 个三角形呢？你从中 可以感悟到什么？
3. 以B为圆心，以a为半径画弧，交AN于点C， C' 4. 连接BC，BC' △ABC和△ABC'就是所求作的三角形。
D
A C'
C α
a a
N
c
B
α E a C 两边及夹角
A
b B M 两边及一边的对角
感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三 角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此 可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的 对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为 判别两个三角形全等的条件。
D B C D
Fห้องสมุดไป่ตู้
F
B F
将你所作的三角形与同伴作
出的三角形进行比较，它们全等
吗？为什么？ 两角及它们的夹边对应相
等的两个三角形全等(ASA)
2. 已知三角形的两角及其夹边，求作这 个三角形。 夹 角 回顾刚才作三 角 边 角形的顺序
角
还有没有 其他的作 法？ 夹 边
角
已知:∠α,
α
∠β,
线段c，
a
D
N
作法2
M
作法与示范
bA a
N
E′
D′C
B
M
作法2
(2)在射线B M上截取BC＝a, 在射线B N上截取BA＝b，
作法与示范
bA
N
E′
D′C M
B
a
作法2
(3)连接AC 则△ABC为所求作的三角形
2．已知三角形的两角及其夹边，求作这 个三角形． ，线段c． 已知： ，
C
1. 你能用尺规作一个直角三角形，使其 两条直角边分别等于已知线段a，b吗？ 并写出作法。
a b
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作 出的三角形”，会发现是“已知两边及夹 角求作三角形”，所以按照此方法作图。
2. 已知∠α和∠β，线段a，用尺规作一个三角形， 使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且 ∠α的对边等于a。 α
3．已知三角形的三边，求作这个三角形． 已知：线段a，b，c．
a b c
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a． （1）请写出作法并作出相应的图形． （2）将你所作的三角形与同伴作出的三 角形进行比较，它们全等吗？为什么？
3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。 已知：线段 a，b，c。 a b c 求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。 A 作法： （1）作一条线段BC=a； （2）分别以B，C为圆心，以c， b为半径画弧，两弧交于A点； B （3）连接AB,AC。 △ABC就是所求作的三角形。
）
1.学会了用尺规作三角形 2.进一步验证了全等三角形的条件．
习题3.9
c
求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c.
，线段c． 已知： ，
c
求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c.
c
请按照给出的作法作出相应的图形． 作法 （1）作 DAF ．
示范
D
A
（2）在射线AF上截取线段 AB=c； A （3）以B为顶点，以BA为一边， ABE 交AD于点 作 ， BE C．则△ABC就是所求作的三角 A 形．
如何利用尺规作出一个三角形与已知三角 全等？ A
B
C
1．已知三角形的两边及其夹角，求作这 个三角形． 已知：线段a, c, .
a
c
求作：△ABC，使BC=a AB=c, ∠ABC= .
请按照给出的作法作出相应的图形． 作法 示范 （1）作一条线段BC=a； B C D （2）以B为顶点，以BC为一边， 作 ． DBC B A D C （3）在射线BD上截取线 段BA=c；
β
a
提示：先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向 延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三 个内角∠γ 。由此转换成已知∠β 和∠γ及其 这两角的夹边a，求作这个三角形。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较， 它们全等吗？为什么？ β γ α
作法：1. 作∠α+∠β的补角∠γ 2. 作∠GBE=∠β 3. 在射线BE上截取BC=a 4. 以C为顶点，CB为一边 作∠FCB=∠γ B 5. 射线BG与射线CF相交于点A △ABC就是所求作的三角形。 β
F A α G
γ
a
E
C
已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一 个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有 一边等于b。 a b α
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作 出的三角形”；然后在草图上标出已给的 边、角的对应位置；再找出边与角，确定 作图的顺序。
C
C' a a
N
A b B M 作法： 1. 作∠MAN=∠α 2. 在射线AM上截取AB=b
B
A
C C
（4）连接AC．△ABC就是所 求作的三角形．
B
将你所作的三角形与同伴作出 的三角形进行比较，它们全等吗？ 为什么？
两边及它们的夹角对应相
等的两个三角形全等(SAS)
1. 已知三角形的两边及夹角，求作这个三角 形。
回顾刚才作三 角形的顺序
还有没有其 他的作法？
边
夹 角
边
边
夹 角 边
已知：线段a， b， ∠α ，求作：△ABC， 使BC＝a，AB＝ c， ∠ABC ＝∠α
1．利用尺规不能唯一作出的三角形是（ A．已知三边 B．已知两边及夹角 C．已知两角及夹边 D．已知两边及其中一边的对角 2．利用尺规不可作的直角三角形是（ A．已知斜边及一条直角边 B．已知两条直角边 C．已知两锐角 D．已知一锐角及一直角边
D
）
C
）
3．以下列线段为边能作三角形的是（ A．2厘米、3厘米、5厘米 B．4厘米、4厘米、9厘米 C．1厘米、2厘米、 3厘米 D．2厘米、3厘米、4厘米
c
β 求作：△ＡＢＣ,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β， N ＡＢ＝ c K
作法示范
C
A
B
M
AN与BK作法 相交于 C, 则△ ABC 为所求作的三角形 (3) 作∠ Ｂ A ＝∠β c :(1) 作线段 ＡＢ＝ (2) 作∠ NK Ａ B ＝∠α，
经过前面的实践，我们如何来分析作图题呢？
1. 假设所求作的图形已经作出，并在草 稿纸上作出草图； 2. 在草图上标出已给的边、角的对应位 置； 3. 从草图中首先找出基本图形，由此确 定作图的起始步骤； 4. 在3的基础上逐步向所求图形扩展。
你知道的常用作图语言 (1)作∠· · · · · · =∠ · · · · · ·； 有哪些呢？ (2)在· · · · · · 上截取，使· · · · · ·= · · · · · ·； (3)以· · · 为顶点，以· · · · · · 为一边，作∠ · · · · · ·=∠ · · · · · ·； (4)作一条线段· · · · · ·= · · · · · ·； (5)连接· · · · · ·，或连接· · · · · · 交· · · · · · 于点· · · · · ·； (6)分别以· · ·， · · · 为圆心，以· · ·， · · · 为半径画弧， 两弧交于· · · 点； · · · · · ·· · · · · ·· · · · · ·· · · · · ·
用尺规作三角形
1、尺规作图的工具是直尺和圆规 2、我们已经会用尺规作一条 线段等于已知线段、作一个角 等于已知角
作一个角等于已知角 已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使 ∠A′O′B′＝∠AOB A D′ A′ D
C 作法与提示： O B O′
C′ B′
（ 2 ）以 O为圆心，任意长为半径 OC 长为半 （3 4）以O′为圆心， ）以C′为圆心， DC 长为半 （ 1 ）做射线O′B′ （5）过D′做射线O′A′ 则∠A′O′B′为所求作的角 画弧，交 径画弧，交O′B′于C′点 OA于D点，交OB于 C。 点。 径画弧，交前弧于D′点 。
α
同样是已知两边及一 角，为什么会出现两 个三角形呢？你从中 可以感悟到什么？
3. 以B为圆心，以a为半径画弧，交AN于点C， C' 4. 连接BC，BC' △ABC和△ABC'就是所求作的三角形。
D
A C'
C α
a a
N
c
B
α E a C 两边及夹角
A
b B M 两边及一边的对角
感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三 角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此 可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的 对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为 判别两个三角形全等的条件。
D B C D
Fห้องสมุดไป่ตู้
F
B F
将你所作的三角形与同伴作
出的三角形进行比较，它们全等
吗？为什么？ 两角及它们的夹边对应相
等的两个三角形全等(ASA)
2. 已知三角形的两角及其夹边，求作这 个三角形。 夹 角 回顾刚才作三 角 边 角形的顺序
角
还有没有 其他的作 法？ 夹 边
角
已知:∠α,
α
∠β,
线段c，