证明二重极限不存在
多元函数极限不存在的判定法则
多元函数极限不存在的判定法则多元函数极限存在是微积分中的一个重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理、经济、工程等。
但是，在实际问题中，存在很多情况下，多元函数极限并不存在，这就需要我们掌握一些判定法则来判断多元函数极限是否存在。
本文将介绍一些常见的多元函数极限不存在的判定法则。
1. 二重极限不存在的判定法则二重极限指的是一个多元函数在某一点的两个自变量分别趋于该点时的极限。
二重极限不存在的情况有很多种，下面将介绍其中的几种判定法则。
1.1 Cauchy准则如果一个多元函数在某一点的极限存在，那么它的二重极限也一定存在。
因此，我们可以通过Cauchy准则来判断二重极限是否存在。
Cauchy准则的表述如下：对于任意的正实数ε，存在正实数δ，使得当0<√((x-a)+(y-b))<δ时，|f(x,y)-L|<ε，其中L为函数f(x,y)在点(a,b)处的极限。
如果对于任意的δ>0，都存在(x,y)∈D且0<√((x-a)+(y-b))<δ，使得|f(x,y)-L|≥ε，那么函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限不存在。
1.2 极限路径不同如果函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限存在，那么不同的极限路径得到的极限值应该相同。
如果存在两个不同的极限路径得到的极限值不同，那么函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限不存在。
1.3 极限值不同如果函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限存在，那么任意一个沿着直线x-y=k的路径得到的极限值应该相同。
如果存在两个不同的路径沿着直线x-y=k得到的极限值不同，那么函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限不存在。
2. 三重极限不存在的判定法则三重极限指的是一个多元函数在某一点的三个自变量分别趋于该点时的极限。
三重极限不存在的情况也有很多种，下面将介绍其中的几种判定法则。
2.1 Cauchy准则与二重极限的情况类似，如果一个多元函数在某一点的极限存在，那么它的三重极限也一定存在。
二重极限的计算方法(学年论文)
二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。
及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。
可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。
[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。
二重极限不存在判定法探讨
于 Ｐ０（Ｘｏ，Ｙｏ）时 ，ｉ￣ ｆ（ｘ，ｙ）趋于不同的值 ，则 ｌｉｍ ，ｙ）
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例３ 证明 （ ，ｙ｝） ＿．（０ｌ．０） ｓｉｎ 南．／ ２Ｊ－ ，ｖ２不存在·
， … ， ）＝（Ａａｌ，Ａ ，…，Ａａ ）＝（０，０，…，０），即 Ａａ ＝０
（ｉ＝ｌ，２，… ，ｎ），说明 是 齐次线 性方 程组 Ａｘ＝０的解．又
例 ２ 证 明 ｈｍ
不 存 在 ．
（ ．ｙ）一 （ｏ，０）矿 ＋ ｖ’
证。．。ｆ（ｘ，ｙ）＝ 每＝ ｌ，砉），当（ ，，，）沿路径ｙ＝
南 ＞ｏ）趋于（０，ｏ）￣ｆ， —÷ｕ ． ４－ ＝南Ｉ＋Ｋ ，此结果因ｋ ＝肌
大学高等数学B二 二重极限计算举例PPT
第9章多元函数微分法及其应用燕山大学高等数学课题组高等数学二重极限计算举例一、证明二重极限不存在的方法点P(x,y)以任何方式趋于点P 0(x 0,y 0)时，lim P→P 0f P =A 极限表示:f(x,y)都无限接近于常数A .方法一方法二选取P →P 0的一种方式，证明按此方式的极限不存在选取P →P 0的两种方式，证明按这两种方式的极限存在但不相等方法一若此极限不存在，选取P →P 0的一种方式：某条过P 0的曲线C当P 沿曲线C 趋于P 0时，考察极限lim P→P 0P∈Cf P =lim x,y →x 0,y 0y=φx f x,y=lim x→x 0f(x,φ(x))y =φ(x)lim P→P 0f P 不存在。
则二重极限例limx,y →0,0ln 1+xy x +tany 证明不存在。
分析limx,y →0,0y=kxln 1+xy x +tanylimx→0ln 1+kx2x +tankx==limx→0kx2x +tankx 等价无穷小=lim x→02kx 1+ksec 2kx洛必达法则=1+k1+k =01+k ≠0limx,y →0,0y=−xln 1+xy x +tany=limx→02x tan 2x =limx→0−2x1−sec 2(−x)=等价无穷小lim x→02x x2∞=limx→02x=证由此可见，点(x,y)沿直线y =−x 趋于(0,0)时，函数的极限不存在，所以函数的极限不存在。
方法二选取P→P0的两种方式，过P0的曲线C1过P0的曲线C2令P分别沿曲线C1和曲线C2趋于P0，若按这两种方式，函数的极限虽然存在但不相等，即lim P→P0 P∈C1f(P)≠limP→P0P∈C2f(P)limP→P0f P不存在。
则二重极限例已知二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xy y x f 试证明：当()()0,0,→y x 时，这个函数没有极限。
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高等数学之二元函数的极限，连续与偏导数问题方法总结
题型一：二重极限不存在
证明重极限不存在的常用方法是，取两种不同的路径，f(x,y)在点(x0,y0)处的极限不相等或取某一路径f(x,y)在点(x0,y0)处的极限不存在，均可证明重极限f(x,y)在点(x0,y0)处的极限不存在。
例1：证明下列重极限不存在：
证明：
总结：利用沿不同直线趋向于点(x0,y0)时极限不相等证明重极限不存在是一种证明重极限不存在的常用方法。
题型二：求二重极限
求二重极限常用的有以下四种方法：
（1）利用极限的性质（如四则运算法则，夹逼原理)；
（2）消去分母中极限为零的因子（通常采用有理化，等价无穷小代换等)；（3）转化为一元函数极限，利用一元函数求极限方法求解；
（4）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量。
例2：求下列二重极限
解法一：
将分子有理化
解法二：
转化为一元函数极限
解法三：
利用等价无穷小代换
题型三：二元函数的连续性和偏导数存在性
分析：解决这一类题型的常用方法为利用函数连续和偏导数的定义。
例3：
解：
总结：一般利用偏导数的定义求解。
高等数学-第七章小结
1.用定义证二重极限的存在，二重极限定义：
例题
2.判定二重极限不存在的两种方法：
例题
3.多元函数连续性：
例题
4.二重极限的求取：
例题
5.多元函数的一阶及高阶偏导数： 例题
例题
例题
6.多元函数全微分：
例题
7.全微分的应用： （1）全微分在近似值计算上的应用； （2）全微分在相对误差与绝对误差计算上的应用。
例题
8.多元函数连续，可导，可微，偏导数连续 的关系：
例题
9.多元复合函数求导法则：
例题
10.全微分不变性：
例题
11.一个方程所确定的隐函数求导:
12.方程组所确定的隐函数求导：
zt10专题十 关于多重极限问题
专题十 关于多重极限问题重极限是学习多元函数的偏导和多元积分学的基础.所以，只有首先解决了重极限的相关问题，才能更好的学习多元函数的偏导和重积分。
问题1：二重极限是如何定义的？有几种定义方式？如何理解？答： 对于二重极限的定义，不同教材中有不同的表述，但是归纳起来主要有三种.定义1 设函数(),z f x y =在点()000,p x y 的某一邻域内有定义（点0p 可除外），如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于所在邻域内适合不等式0d <<的一切点(),p x y 所对应的函数值(),f x y 都满足不等式(),f x y A e -<，那么，常数A 就称为函数(),z f x y =当00,x x yy 时的极限.定义2设函数(),z f x y = 定义域为D ，点()000,p x y 是平面上的一点，函数(),z f x y =在点()000,p x y 的任一邻域中除0p 外，总有异于0p 的属于D 的点，如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对D 内适合不等式00pp d <<的一切点p ，有不等式()f p A e -<成立，则称A 为()f p 当0p p ®时的极限.定义3 设数(),z f x y =的定义域为D ，点()000,p x y 是D 的聚点，如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对D 内适合不等式00pp d <<的一切点(),p x y ，都有(),f x y A e -<成立，常数A 就称为函数(),z f x y =当00,x x yy 时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求函数(),f x y 在点()000,p x y 的某去心邻域内有定义，而定义2允许(),f x y 在点()000,p x y 的任一去心邻域内都有使(),f x y 无定义的点，相应地，定义1要求0p 的去心邻域内的点都适合()f p A e -<，而定义2只要求上述邻域内使(),f x y 有定义的点p 适合()f p A e -<.可见，定义1对函数的要求高，因而使一些极限无法讨论，限制了极限的应用.例如极限()221lim sinx y x yxy→→+，依定义1就无意义，因而在点()0,0的任意δ邻域内，总存在点()()()()(),0,,0,,0,,00,0a a b b a b δδ--<<<<使(),f x y =()221sinx yxy+无定义，当然在这些点不等式(),f x y A e -<就没有意义，但依据定义2（允许不考虑ox oy 轴，轴上的点）有()22001lim sinx y x yxy→→+=0.又例如极限00sin limx y xy x→→依定义1也无意义，但依定义2可以不考虑o y 轴上()0x =的点，对一切0x ≠的点，sin xy xy y xx≤<<，则对0ε∀>，必δε∃=，当0,δ<<且0x ≠时，有sin 0xy xε-<成立，故依定义2，00sin limx y xy x→→=0.由于定义2放宽了对函数的要求，从而使极限概念更便于应用，但由于没引入“聚点”概念，使叙述显得过于烦琐，并且在讨论极限的性质时，更不方便.关于这一点，下面将举例说明.定义3虽然和定义2在本质上没有什么不同，但由于它事先导入“聚点”概念，这样就使得极限定义的叙述方便多了。
数学分析期末复习题
13数学分析(三)复习范围一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题2. 求隐函数(组)的一阶偏导数3. 求抽象函数的二阶偏导数4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程5. 求函数的极值6. 计算第一型曲面积分7. 计算第二型曲面积分8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππp sin ，计算⎰+∞+01n x dx 类积分值二、解答与证明题(第小题10分，共30分)1. 用定义证明多元函数的极限2. 证明多元函数的连续性3. 研究含参量积分的一致收敛性4. 证明含参量非正常积分的连续性5. 三重积分的证明题6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题7. 证明二重极限不存在8. 多元函数的可微性证明例题一、计算题1. 全微分计算题公式：du=u x ∂∂dx+u y ∂∂dy+uz∂∂dz 。
例1：求函数u=2222z x x y -+的全微分；例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。
2. 求隐函数(组)的偏导数例3：设zy e z x +=，求yx z ∂∂∂2。
例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dxdz。
3. 求抽象函数的二阶偏导数例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u∂∂∂2，22u y ∂∂其中f 具有二阶连续的偏导数；例6：设u=f(x 2-y 2，xye )，求yx u∂∂∂2，其中f 具有二阶连续偏导数。
4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。
极限不存在该证明
极限不存在该证明证明极限需要什么方法呢?极限存在与否该怎么证明呢?下面就是给大家的证明极限不存在内容，希望大家喜欢。
二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于(0,0)时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在im(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2) 证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)=1-lim8/[(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。
二重极限与累次极限的关系
二重极限与累次极限的关系在我院所用的《工科高等数学》教材中，有这样一道思考题：若f（x，y）存在，则f（x，y）=［f（x，y）］对吗？反之，是否成立?参看教材，我们发现，教材只对二元函数的极限（即二重极限）做了简单，对累次极限并未涉及，所以学生无法解答此题。
由于教学内容及课时的安排，教师也不可能对累次极限及二重极限和累次极限的关系作详细。
下面，我从二者的定义谈起，力求在定义和定理的正确灵活运用方面，对读者有所帮助。
一、二重极限与累次极限的概念1.二重极限定义1：设f为定义在D?奂R上的二元函数，P为D的一个聚点，A是一个确定的实数。
若对任给的正数ε，总存在某正数δ，使得当P∈U（P;δ）∩D时，都有｜f（P）-A｜<ε，则称f在d上当p→p 时，以a为极限，记作f（p）=a。
在对于p∈d不致产生误解时，也可简单写作f（p）=a。
当p，p分别用坐标（x，y），（x，y）表示时，上式也常写作f（x，y）=a。
></ε，则称f在d上当p→p时，以a为极限，记作f（p）=a。
在对于p∈d不致产生误解时，也可简单写作f（p）=a。
当p，p分别用坐标（x，y），（x，y）表示时，上式也常写作f（x，y）=a。
>在研究的极限f（x，y）中，两个自变量x、y同时以任何方式趋于x、y，这种极限也称为重极限。
如果x与y依一定的先后顺序相继趋于x与y时f的极限，这种极限称为累次极限。
2.累次极限定义2：设E，E?奂R，x是E的聚点，y是E的聚点，二元函数f在集合D=E×E上有定义。
若对每一个y∈E，y≠y存在极限f（x，y），由于此极限一般与y有关，因此记作φ（y）=f（x，y），而且进一步存在极限L=φ（y），则称此极限为二元函数f先对x（→x）后对y（→y）的累次极限，并记作L=f（x，y）或记作L=f（x，y）。
二、二重极限与累次极限间的关系1.二者间没有必然关系累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在没有必然的蕴含关系。
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。
可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。
[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。
二次极限与二重极限
二重极限和二次极限
设，当时的极限是同时趋向于时所得到的．此外，我们还要讨论先后相继地趋于时的极限；前者称为二重极限，后者称为二次极限．
若对任一固定的，当时，的极限存在
而在时的极限也存在并等于A，亦即，那末称A为先对、后对的二次极限，记为
同样可定义先对、后对的二次极限
我们必须注意有以下几种情形：’
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在．例如
由于和在和的函数极限不存在，故在(o，o)点的两个二次极限都不存在，但因为，
故
(2)两个二次极限存在而不相等．例如
由于时恒有·，
故
同理
(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在。
例如
当时，二重极限不存在，但两个二次极限都为零．
由此可知二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之问没有什么关系．但可以证明：若某个二次极限和二重极限都存在，则二者一定相等，因之若两个二次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在．又，若两个二次极限存在并且相等，即若
我们说二次极限可以交换求极限的次序．
还应当注意，当时，的二重极限如果是A，则意味着P以任何方式(而不仅仅是任何方向)趋于时，均趋于A，假若P仅从任何方向(而不是任何方式)趋于时，都趋于数A, 的二重极限仍可能不存在．例如函数
便是如此．点以任何方向趋于点时，读者可以验证，均趋于零，但当点户沿曲线趋于时显然趋于1，故当时，的二重极限
不存在．这正如有人所说，“从一元函数转换到多元函豢时，是会出现某些在原则上是新的东西的”．其所以如此，在于高维空间几何性质的复杂性．。
定义证明二重极限
定义证明二重极限证明二重极限的定义如下：设有二元函数 $f(x, y)$ 和点 $(x_0, y_0)$，若存在常数 $A$，对于任意正数 $\varepsilon$，存在正数 $\delta_1, \delta_2$，使得当$0 < ，x - x_0， < \delta_1$ 且 $0 < ，y - y_0， < \delta_2$ 时，有 $，f(x, y) - A， < \varepsilon$ 成立，那么称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的二重极限为 $A$。
为了证明二重极限的定义，我们需要借助 $\varepsilon$-$\delta$ 的证明方法。
证明：设函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的二重极限为 $A$，则对于任意正数 $\varepsilon$，存在正数 $\delta_1, \delta_2$，使得当 $0 < ，x - x_0， < \delta_1$ 且 $0 < ，y - y_0， <\delta_2$ 时，有 $，f(x, y) - A， < \varepsilon$ 成立。
我们需要证明这一点。
首先，假设存在正数 $\varepsilon$，对于任意正数 $\delta_1,\delta_2$，存在点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，满足 $0 < ，x_1- x_0， < \delta_1$，$0 < ，y_1 - y_0， < \delta_2$，$0 < ，x_2- x_0， < \delta_1$，$0 < ，y_2 - y_0， < \delta_2$，但 $，f(x_1, y_1) - A， \geq \varepsilon$ 和 $，f(x_2, y_2) - A， \geq\varepsilon$。
判断二重极限存在的常用方法
判断二重极限存在的常用方法
二重极限是指在二元函数中，当自变量趋近于某个点时，函数的极限存在或趋近于一个确定的值。
判断二重极限的存在性是解决二元函数问题的关键，下面介绍几种常用的方法。
1. 用极限定义法
二元函数f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限存在，当且仅当以下条件同时满足：
（1）对于任意给定的实数ε>0，都存在一个正实数δ>0，使得当(x,y)不等于(x0,y0)且(x,y)与(x0,y0)的距离小于δ时，有
|f(x,y)-A|<ε成立。
（2）存在一个实数A，使得当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限趋近于A。
2. 用夹逼定理
夹逼定理是指，如果函数g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y)，且g(x,y)和h(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限都等于A，则f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限也等于A。
3. 用累次极限法
当二元函数f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限存在时，可以先将y看作常数，计算f(x,y0)关于x的一重极限，如果这个极限存在，则记为g(y0)；然后再将x看作常数，计算f(x0,y)关于y的一重极限，如果这个极限存在，则记为h(x0)。
如果g(y0)和h(x0)在点(x0,y0)的邻域内都存在且相等，则f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限存在，
且等于g(y0)=h(x0)。
以上是判断二重极限存在的常用方法，不同的方法适用于不同的问题。
在具体应用中，需要根据问题的特点选择合适的方法，以确保结果的准确性。
关于二重极限与累次极限的研究
关于二重极限与累次极限的研究作者：房明磊，许峰来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》 2015年第2期房明磊，许峰（安徽理工大学理学院，安徽淮南232001）摘要：二重极限是高等数学中的重点内容，本文着重说明了累次极限与二重极限的关系以及如何利用累次极限求解二重极限和判断二重极限的存在性。
关键词：二重极限；累次极限；多元函数；求解DOI：10.16083/ki.-1296/G4.2015.02.067中图分类号：O172文献标识码：A文章编号：1671—1580（2015）02—0153—02资助项目：安徽省教育厅提升计划项目“数学建模团队建设”和“基于网络教学平台的公共数学课发展性评价机制的研究”联合资助。
收稿日期：2014—09—28作者简介：房明磊（1978—），男，吉林大安人。
安徽理工大学理学院，讲师，硕士，研究方向：公共数学课教学。
许峰（1963—），男，安徽淮南人。
安徽理工大学理学院，教授，研究方向：公共数学课教学。
二重极限在多元函数微积分学中占有突出地位，对它的正确理解和求解是研究多元函数微积分有关概念和方法的基础。
本文主要从二重极限与累次极限的关系及如何用累次极限求二重极限和证明二重极限的存在性等方面进行讨论。
一、二重极限与累次极限的定义二、二重极限与累次极限的关系二重极限与累次极限之间没有必然的关系，［4］因为：（一）两个累次极限都存在，且相等时，二重极限还可能不存在。
三、利用累次极限求解二重极限求二重极限的方法大致可归纳为如下几种：（一）利用二重极限的“ε-δ”定义。
（二）利用有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量及等价无穷小的代换。
（三）利用两边夹定理。
（四）利用变量替换，将二重极限转化为已知极限或一元函数极限。
（五）利用初等函数的连续性及四则运算法则。
本文仅分析如何利用累次极限求二重极限。
四、利用累次极限证明二重极限的存在性二重极限不存在的证明主要有以下几种情形：（一）当P（x，y）沿着D中某一连续曲线趋近于点P0（x0，y0）时，二元函数f（x，y）的极限不存在。
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
x→y0
分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小，
故极限应为 0。定义证明：坌ε>0，因为
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
+
y4 x2+y2
姨 ≤x2+y2， 故 要 使
x4+y4 x2+y2
-0
<ε 只 要 取 δ =
ε 4
，则
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
x2y2ln(x2+y2)
x2y2 x2+y2
x2+y2ln(x2+y2)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
由于
0≤
x2y2 x2+y2
≤
(x2+y2)2 x2+y2
≤x2+y2→0，令 x2+y2=t 则
x2y2
lim (x2+y2)ln(x2+y2)=lim tlnt=0,故 lim (x2+y2) =e0=1。
科技信息
高校理科研究
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
山东政法学院 唐新华
［摘 要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数 极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。 ［关键词］二元函数 极限 二重极限
引言
二元函数极限定义[1] 设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某空心邻域有
=e
x→∞
x
浅谈二重极限不存在的判别方法
浅谈二重极限不存在的判别方法
王恩亮;宋振新
【期刊名称】《河北能源职业技术学院学报》
【年(卷),期】2002(002)004
【摘要】本文论述了如何选取动点P沿不同方式趋近于定点P0,判别二重极限不存在的方法.
【总页数】2页(P85-86)
【作者】王恩亮;宋振新
【作者单位】河北能源职业技术学院基础部,河北,唐山,063004;河北能源职业技术学院基础部,河北,唐山,063004
【正文语种】中文
【中图分类】O174.1
【相关文献】
1.一元函数极限不存在的几种判别方法 [J], 邱浩;
2.二重极限不存在的一种证明方法 [J], 闫红霞
3.判断二重极限不存在时一个值得注意的问题 [J], 何国柱
4.二重极限不存在判定法探讨 [J], 何鹏光;
5.一类多元函数极限不存在性判别法 [J], 郑军
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证明二重极限不存在
证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案
2
若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。
可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。
[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。
)时，f(x，Y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，Y)不存在，这一方I—’10 r’Y0 法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，Y。
)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2 的极限，在判卜’Io g x，Y y—·y0 断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。
3
当沿曲线y=-x+x^2趋于(0 0)时，极限为lim (-x^2+x^3)/x^2=-1;
当沿直线y=x趋于(0 0)时，极限为lim x^2/2x=0。
故极限不存在。
4
x-y+x^2+y^2
f(x,y)=————————
x+y
它的累次极限存在：
x-y+x^2+y^2
l i m l i m ———————— =-1
y->0x->0 x+y
x-y+x^2+y^2
l i m l i m ———————— =1
x->0y->0 x+y
当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。