平面向量的坐标运算教案
平面向量的坐标运算教案
平面向量的坐标运算教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 学生能够运用坐标进行向量的加法、减法、数乘和数量积运算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的加法和减法运算3. 向量的数乘运算4. 向量的数量积运算5. 向量的坐标表示及其运算规律三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的加法、减法、数乘和数量积运算的坐标表示方法。
2. 教学难点：向量的坐标运算规律和实际应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算规律。
2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解。
3. 举实例进行分析，让学生在实际问题中掌握向量坐标运算的方法。
4. 练习题巩固所学知识，提高学生的应用能力。
五、教学过程1. 导入：回顾高中数学中关于向量的基本概念，引导学生进入新课。
2. 讲解向量的概念和表示方法，让学生理解向量的基本性质。
3. 讲解向量的加法和减法运算，引导学生掌握运算规律。
4. 讲解向量的数乘运算，让学生理解数乘对向量的影响。
5. 讲解向量的数量积运算，引导学生掌握数量积的计算方法。
6. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量运算。
7. 举例分析，让学生在实际问题中运用向量坐标运算方法。
8. 布置练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
9. 总结本节课的主要内容，强调向量坐标运算的规律。
10. 布置课后作业，让学生进一步巩固向量坐标运算的知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对向量坐标运算的理解程度。
2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生对向量坐标运算的掌握情况。
3. 课后作业：收集学生作业，分析其对向量坐标运算的运用能力。
4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中的表现。
七、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏。
2. 针对学生的疑惑，进行解答和巩固。
高中数学必修四《平面向量的坐标运算》优秀教学设计
平面向量的坐标运算（教案）教学目标：知识与技能：（1）理解并掌握平面向量的坐标运算.过程与方法：（1）通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法。
（2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力；（3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感、态度与价值观: （1）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质；（2）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律.教学重点和教学难点：教学重点：平面向量的坐标运算；教学难点：平面坐标运算的应用.教学方法： “探究学习”及“合作学习”的模式.教学手段：利用多媒体演示教学过程设计：一、复习回顾(1) 平面坐标的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量.(2)平面向量的坐标表示),(y x j y i x a =+=（向量轴方向相同的两个单位轴、分别是与y x j i ,）(3)起点在原点的向量的坐标表示已知A=(y x ,),则),(y x OA =二、创设问题情境，引入课题.我们知道向量的加法、减法以及实数与向量的积这几种运算的结果仍是向量，而向量是可以用坐标来表示的，因此，这些运算的结果也能用坐标来表示，那么如果是坐标的话，我们该如何来表示呢？这就是这节课我们要学习的平面向量的坐标运算。
三、探究，推导法则..,),,(),,(12211的坐标，求）已知探究一：（a b a b a y x b y x a λ-+==分析：b a +=)()(2211j y i x j y i x +++ 由向量线性运算的结合律和分配律，可得)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++即 b a +=（2121,y y x x ++）因此，两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和。
平面向量的坐标运算教学设计与反思
平面向量坐标运算教学设计与反思（第一课时）额敏县第一中学狄建霞一教材依据本课选自高中数学必修四（人教版）“2.3.3平面向量的坐标运算”第一课时。
二设计思想1.教材分析平面向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它沟通代数几何和三角函数。
它既是一个数学模型，又是一个数学工具，用以解决几何、代数、物理等方面的问题。
向量是既有大小又有方向的量，是数形结合的典型代表，之前所研究的向量的运算，都是从“形”的角度展开，这给向量的深入研究带来了很多困难。
而向量的坐标运算正是适逢其时，使得向量的形与数相互结合、相互补充、相得益彰，很多复杂的问题转化为学生熟悉的运算。
2.学情分析本班是普通班,10%的学生是聪明的,通过自己看书,能够基本掌握本节内容；30%的学生在课堂上能够跟上我的思路,通过讲解,也能很快掌握,30%的学生勉强能跟上我的思路；还有30%的学生,如果不预习课本,基本上上课很难听懂,即使提前预习了,也不一定能跟的上，对于自身而言应该挖掘教材，以学生为本，进行教学设计。
3．设计理念设计本节课时，注重学生自主探究新知识的经历和获得新知识的体验。
教学的目的是告诉学生平面向量的坐标运算，让学生自己去探索、去发现，充分体现学生的主体地位，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力，培养学生自主学习的能力。
三、教学目标：1.在原有知识的基础之上，理解向量坐标运算的推导过程；2.会用坐标表示向量，掌握向量的和、差、数乘的运算法则，并能初步运用；3.体会数形结合的思想，感知数学发展规律。
四教学过程（一）复习回顾师：前面我们已经学会了用几何方法对向量进行和、差、数乘的运算，现在同学们和老师一起来回顾所学知识：(1)(a)()a;(2)()a a ;(3)(a b)a b.a λμλμλμλμλλλ=+=++=+ （二） 自主探究问题1已知 1222,)a x x b x y ==（，），（，λ为实数，你能得出a b a b aλ+-，，的坐标吗？师：我们先求出a b +，看如何用坐标表示，其他运算可以类比得出 （学生自主探究，然后交流结论）生1：11221212a b x y x y x x y y +=+=++（，）（，）（，）师：你推论依据是什么？怎样猜想的？（没有同学继续发言，师板书）1122)()a b x i y j x i y j +=+++（由向量线性运算的结合律和分配律，可得 11221212x i y j x i y j x x i y y j +++=+++（）（）（）（） 即12,12(x )a b x y y +=++同理可得,a b a λ-（学生板演，其他同学练习）得出结果：1212a b x x y y -=--（，），11111,1(x i y j)(x y )a x i y ja λλλλλλλ=+=+=即 师:通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量积的运算法则吗？生：这就是说两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）生：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
平面向量的坐标运算(说课稿)
平面向量的坐标运算（说课稿）北师大附中荣红莉一、【教材的地位和作用】本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。
引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。
二、【学习目标】根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的：1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。
2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想三、【教学重点和难点】理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。
我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。
四、【教法和学法】本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。
整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。
五、【学习过程】1.提供新知识产生的理论基础课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。
高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算高一数学教案
第1课时平面向量的坐标运算平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a ＝x i＋y j.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．思考1：如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?[提示]a＝23i＋2j.思考2：在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？[提示]对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置还与其起点有关．二、平面向量的坐标运算1．已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．2．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．思考3：设i 、j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i 、j 表示？[提示] a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j .1．思考辨析(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(3)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．若A (2，－1)，B (－1,3)，则AB →的坐标是( )A ．(1,2)B ．(－1，－2)C ．(－3,4)D ．(3，－4)[答案] C3．若a ＝(－1,2)，b ＝(3,4)，则a ＋b ＝________；a －b ＝________；3a ＝________；－5b ＝________.(2,6) (－4，－2) (－3,6) (－15，－20)[a＋b＝(2,6)，a－b＝(－4，－2)，3a＝(－3,6)，－5b＝(－15，－20)．]平面向量的坐标表示【例1】在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．思路点拨：借助三角函数的定义求a，b的坐标．[解]设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°，所以a1＝|a|cos 45°＝4×22＝22，a2＝|a|sin 45°＝4×22＝2 2.可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120°，所以b1＝|b|cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b2＝|b|sin 120°＝3×32＝332.故a＝(22，22)，b＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，332.求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.1．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标．[解]设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2；b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)． 平面向量的坐标运算【例2】 已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1，8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，2AB →＋12AC →. 思路点拨：直接利用平面向量的坐标运算求解．[解] ∵A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，∴AB →＝(3，－1)，AC →＝(－3,2)，AB →＋AC →＝(0,1)，2AB →＋12AC →＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1. 平面向量坐标的线性运算的方法：1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. 2若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. 3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.2．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN→＝2CB →，求M ，N 的坐标和MN →的坐标．[解] 因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，所以CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)．设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)．由CM →＝3CA →得(x ＋3，y ＋4)＝3(1,8)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝20，即M (0,20)．同理可得N (9,2)，所以MN →＝(9，－18)．向量的坐标与点的坐标[探究问题]1．点的坐标与向量的坐标有何区别？提示：(1)向量a ＝(x ，y )中间用等号连结，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号．(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x ，y )可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x ，y )或向量(x ，y )．2．向量与其终点坐标是一一对应关系吗？提示：不是一一对应关系，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标是一一对应关系．【例3】 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？(2)四边形OABP 是否能成为平行四边形？若能，则求出t 的值．若不能，说明理由．思路点拨：(1)由已知点的坐标表示出向量OA →，AB →的坐标，从而知道OP →的坐标，即点P 的坐标，然后分类讨论即可．(2)若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.[解] (1)AB →＝(3,3)，OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )，则P (1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23； 若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13. (2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解；故四边形OABP 不可能是平行四边形． 1．(变条件)若P 在第三象限，求t 的取值范围．[解] 由本例解知，若P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t <0，2＋3t <0，解得t <－23，所以t 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23. 2．(变条件)t 为何值时，P 在函数y ＝－x 的图象上？[解] 由P 点坐标(1＋3t,2＋3t )在y ＝－x 上，得2＋3t ＝－1－3t ，解得t ＝－12. 即t ＝－12时，P 在y ＝－x 的图象上． 已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程组或不等式组，求解即可.提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.教师独具1．本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算．2．本节课要重点掌握以下问题(1)向量的坐标表示．(2)向量的坐标运算.1．下列说法正确的是( )①向量的坐标即此向量终点的坐标；②位置不同的向量其坐标可能相同；③一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标； ④相等的向量坐标一定相同．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③B [向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是②④.]2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是________． (8,3) [3a ＋2b ＝3(2,1)＋2(1,0)＝(6,3)＋(2,0)＝(8,3)．]3．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 [∵AB →＝OB →－OA →＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，∴12AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12.] 4．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 及CD →的坐标．[解] 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， ∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此CD →＝(－2，－4)．。
人教版高中数学教案-平面向量的坐标运算
2. 3.3平面向量的座標運算【教學目標】1．能準確表述向量的加法、減法、實數與向量的積的座標運算法則，並能進行相關運算，進一步培養學生的運算能力；2．通過學習向量的座標表示，使學生進一步瞭解數形結合思想，認識事物之間的相互聯繫，培養學生辨證思維能力.【教學重難點】教學重點: 平面向量的座標運算．教學難點: 對平面向量座標運算的理解．【教學過程】一、〖創設情境〗以前，我們所講的向量都是用有向線段表示，即幾何的方法表示。
向量是否可以用代數的方法，比如用座標來表示呢？如果可能的話，向量的運算就可以通過座標運算來完成，那麼問題的解決肯定要方便的多。
因此，我們有必要探究一下這個問題：平面向量的座標運算。
二、〖新知探究〗思考1：設i 、j 是與x 軸、y 軸同向的兩個單位向量，若設a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)則a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根據向量的線性運算性質，向量a ＋b ，a －b ，λa （λ∈R ）如何分別用基底i 、j 表示？a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa＝λx 1i ＋λy 1j . 思考2：根據向量的座標表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的座標分別如何？a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2);a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2);λa＝(λx 1，λy 1).兩個向量和與差的座標運算法則：兩個向量和與差的座標分別等於這兩個向量相應座標的和與差.實數與向量的積的座標等於用這個實數乘原來向量的相應座標.思考3：已知點A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那麼向量AB 的座標如何？結論：一個向量的座標等於表示此向量的有向線段的終點座標減去始點的座標.思考4：一個向量平移後座標不變，但起點座標和終點座標發生了變化，這是否矛盾呢？結論：1：任意向量的座標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關係，只與其相對位置有關。
教案：平面向量的坐标运算
教案：平面向量的坐标运算第一章：向量的概念及坐标表示1.1 向量的定义解释向量的概念，即有大小和方向的量。
强调向量与标量的区别。
1.2 向量的表示方法介绍向量的表示方法，包括用箭头和粗体字母表示。
解释在坐标系中表示向量的方法。
1.3 向量的坐标运算介绍向量的加法、减法、数乘和点积等基本运算。
强调坐标运算的规则和性质。
第二章：向量的加法和减法2.1 向量加法解释向量加法的概念和几何意义。
给出向量加法的坐标表示公式。
2.2 向量减法解释向量减法的概念和几何意义。
给出向量减法的坐标表示公式。
2.3 相反向量和数乘解释相反向量的概念和性质。
解释数乘的概念和性质。
第三章：向量的数乘和点积3.1 数乘向量解释数乘向量的概念和几何意义。
给出数乘向量的坐标表示公式。
3.2 向量的点积解释向量点积的概念和几何意义。
给出向量点积的坐标表示公式。
3.3 点积的性质和应用介绍点积的性质，如交换律、分配律等。
解释点积在几何上的应用，如求夹角、判断垂直等。
第四章：向量的叉积和叉积的性质4.1 向量的叉积解释向量叉积的概念和几何意义。
给出向量叉积的坐标表示公式。
4.2 叉积的性质介绍叉积的性质，如交换律、分配律等。
解释叉积在几何上的应用，如求平行四边形的面积等。
4.3 叉积与向量垂直的判断解释叉积用于判断两个向量是否垂直。
给出叉积为零的条件。
第五章：向量的模和单位向量5.1 向量的模解释向量模的概念和几何意义。
给出向量模的坐标表示公式。
5.2 单位向量解释单位向量的概念和几何意义。
给出单位向量的坐标表示公式。
5.3 模和单位向量的应用解释模和单位向量在几何上的应用，如求向量的长度、求单位向量等。
第六章：向量的线性组合与基底6.1 向量的线性组合介绍向量的线性组合的概念。
给出向量的线性组合的坐标表示方法。
6.2 基底的概念解释基底的概念和作用。
给出确定一个向量空间的一组基底的方法。
6.3 向量在基底上的表示解释向量在基底上的表示方法。
高中数学_平面向量的坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量的坐标运算教学设计：Ⅰ.复习回顾:上一节，我们学习了平面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量的坐标表示.我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x ，y )来表示，本节我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x ，y )来表示.在平面直角坐标系中，i 、j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使→→→+=j y i x a 成立.2.探索新知:知识点1：平面向量的坐标加减法运算问题一：已知)3,1(=→a ，)1,5(=→b ，如何求→→+b a ，→→-b a 的坐标呢？猜想：若),(),,(2211y x b y x a ==→→则),(2121y y x x b a ++=+→→，),(2121y y x x b a --=-→→ 平面向量的坐标运算法则证明若→→→→→→+==+==j y i x y x b j y i x y x a 22221111),(,),( 则),()()(21212121y y x x j y y i x x b a ++=+++=+→→→→ ),()()(21212121y y x x j y y i x x b a --=-+-=-→→→→结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
问题二：探究：若已知 点A 、B 的坐标分别为 (1,3)，(4,2)，如何求 AB 的坐标呢？ O xyBA→AB =→OB -→OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=→一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考：坐标为()1212,y y x x --的点P 在哪里？设计目的 ：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。
《平面向量的坐标运算》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《平面向量的坐标运算》教学设计 本节内容包括“平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算、平面向量共线的坐标表示”，这些内容是上一节所讨论问题的深入，为平面向量的坐标表示奠定理论基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算．（1）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示；会用坐标表示平面向量的线性运算；能用坐标表示向量共线的条件．（2）体会平面向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解；引入向量的坐标表示可使向量运算代数化；不仅向量的线性运算可以通过坐标来实现，向量的位置关系也可以通过坐标研究．（3）建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题；理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.【问题1】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行 于斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力2F ．问重力G 与力1F 和2F 有什么关系？【设计意图】通过学生熟悉的力的分解问题，引出本节的主题，由此可以使学生感受到向量的正交分解与现实的联系．任意一个向量可以分解为两个不共线的向量，实际上是平面向量基本定理的一个应用．【师生活动】（1）学生：12G F F =+．（2）老师：由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+.（3）老师：在不共线的向量中，垂直是一种重要的特殊情形.把一个向量分解为两个互相垂◆ 教学过程◆ 教学目标◆ 教材分析 G F 1 F 2直的向量，叫做向量正交分解.正交分解是向量分解中常见的一种情形.【问题2】在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直角 坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？【设计意图】通过类比平面直角坐标系中点用有序数对表示，提示学生思考在直角坐标系中 表示一个平面向量的方法．【师生活动】（1）老师：结合平面向量基本定理，如何在平面直角坐标系中选两个向量作为基底？（2）学生：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.（3）教师：对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ， 使得a xi y j =+.所以a 就由,x y 唯一确定.有序数对(,)x y 叫做向量的坐标，记作 (,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，(,)a x y =叫做向量的坐标表示.【问题3】设OA xi y j =+，则向量OA 的坐标与点A 的坐标有什么关系？【设计意图】使学生知道向量的的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．【师生活动】（1）老师：O（2）学生：向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(,)x y 也就是向量OA 的坐标.（3）老师：在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示. 例1.如图，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.【设计意图】平面向量正交分解的应用，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．【问题4】已知1122(,),(,)a x y b x y ==，你能得出,,a b a b a λ+-的坐标吗？【设计意图】运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和、差、以及 数乘运算的坐标运算．（1）学生1：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++1212(,)a b x x y y ∴+=++.（2）学生2：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j -=+-+=-+-1212(,)a b x x y y ∴-=--.（3）学生3：1111()a x i y j x i y j λλλλ=+=+11(,)a x y λλλ∴=.（4）教师：以上推导过程体现了向量的坐标形式与向量形式的相互转化.练习1：已知1122(,),(,)A x y B x y ，求AB 的坐标.（5）学生：22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--.（6）教师：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（7）教师：如何在平面直角坐标系中标出坐标为2121(,)x x y y --的点P ？有什么发现？（8）学生：向量AB 的坐标与以原点为起点、点P 为终点的向量的坐标是相同的.（9）教师：试求向量AB 的模长.（10）学生：222121()()AB OP x x y y ==-+-.例2. 如图，已知ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别是(2,1)(1,3)(3,4--、、），试求顶点D 的坐标.（1）学生：利用AB DC =，求出点D 的坐标.（2）学生：利用OD OB BD OB BA BC =+=++，求出点D 的坐标.（3）学生：利用11()()22OM OB OD OA OC =+=+，求出点D 的坐标. 【设计意图】让学生熟悉向量的坐标运算．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位 置关系（主要是平行关系），数形结合，将顶点的坐标表示为已知点的坐标.【问题5】设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠.若a 与b 共线，这两个向量的坐标会有 什么关系？【设计意图】向量的线性运算可以通过坐标运算实现，引导学生思考向量的共线、垂直的坐 标表示.【师生活动】（1）学生：若a 与b 共线，则当且仅当存在实数λ，使得a b λ=，从而1122(,)(,)x y x y λ=，所以1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩ 消去λ得到12210x y x y -=. 例3.已知(11)(13),(25A B C --，，，，），试判断A B C ，，三点的位置关系.【设计意图】引导学生三点共线的实质是从同一点出发的两个向量共线.（1）学生：口述解题思路，书写解题过程.（2）老师：引导学生总结思想方法.例4.设点P 是线段12P P 上的一点，12P P 、的坐标分别是1122(,)(,)x y x y 、. （1）当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.【设计意图】本例实际上是给出了线段的中点坐标公式，线段的三等分点坐标公式.引导学生推导线段的定比分点公式.利用向量共线的坐标表示求线段的定比分点坐标公式，只要通过简单的向量线性运算就可实现，这是向量的坐标运算带来的优越性.【师生活动】（1）学生：利用121()2OP OP OP =+，求得点P 的坐标. （2）学生：利用121233OP OP OP =+（或122133OP OP OP =+），求得点P 的坐标. （3）老师：三等分点有两种可能的位置，如果学生没有回答全面，要引导学生讨论补充.（4）老师：当12PP PP λ=时，点P 的坐标是什么？ （5）学生：由学生类比求得中点坐标及三等分点坐标的过程，给出一般定比分点的坐标公式，进一步熟练向量的坐标运算，体会其中的数学思想方法.【问题6】你能够总结一下本节课我们学习的内容吗？【设计意图】课堂小结，由学生完成，概括本节课所学习的基本概念和运算法则，由教师提炼和总结本节课获得基本原理的数学研究方法.【习题检测】1.课中检测:（完成练习，拍照上传）练习1.已知点(0,0)O ，向量(2,3),(6,3),OA OB ==-点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标.练习2.已知(2,3),(4,3)A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =,求点P 的坐 标.2.课后检测请完成课后练习，检测学习效果．。
平面向量的直角坐标运算（中职优秀教案）5篇
平面向量的直角坐标运算（中职优秀教案）5篇第一篇：平面向量的直角坐标运算(中职优秀教案)8.3.1 平面向量的直角坐标及其运算【教学目标】知识目标：1．了解向量坐标的概念，了解向量加法，减法及数乘向量线性运算的坐标表示；2．理解向量的坐标表示法，掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；3．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示。
4．理解向量坐标与其始点和终点坐标的关系。
能力目标：培养学生理解向量的坐标表示如何将“数”的运算处理“形”的问题，将向量线性运算的几何问题代数化；培养学生应用向量的坐标进行运算的能力。
【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则。
【教学难点】对平面向量的坐标表示的理解。
采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键。
【教学方法】类比，数形结合，启发式等【课型】新授课【教学过程】一、温故知新：+AC=+OB=1.向量加法：OAOA（结合图形）2.向量减法:OAOB（结合图形）-OB=-OA=3.数乘向量：若a与bb≠0平行,则由平行知，存，使a=导入：在平面直角坐标系中，每一个点都有一对有序实数（坐标）来表示；任意一个向量，它的始点和终点也可用坐标表示；那么向量能否用坐标表示？二、讲解新课： 1．平面向量的直角坐标()λ如图，在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位．．ρρρρ向量=3i+2j）．．i、j则AB=AC+CB=3i+2j（EF如下图，平面直角坐标系xOy中的任意一个向量a，有且只有一对实ρρ数a1，a2使得a=a1i+aρ2ρρjρ则：（a1，a2）叫做向量a的坐标，记作a=（a1，a2）ρρ提问：i=(1,0)j=(0,1)0=(0,0)ρρ由定义可知：a=（a1，a2），b=（b1，b2）则：ρρa=b 等价于a1=b1且a2=b2提问：设a=（a1，a2），则所有与a相等的向量的坐标均为（a1，a2），与他们的位置有无关系？求EF=3i+2j=(3,2)验证。
【一等奖教案】 平面向量的坐标运算
课题：§5.4平面向量的坐标运算（第一课时）教材分析与教法设计教学过程板书设计方案一：方案二：教学环节流程安排教案的设计说明：1、设计初衷：本节课内容难度不高，但知识点比较繁多，而且各知识点之间的衔接不够紧凑，对初学者来说容易产生杂乱无章的感觉.教师作为教学活动的设计者，在教学设计中应力求突出知识间的联系，指引学生理清众多的思绪，主动参与到思考、观察、猜想、验证、应用的教学活动中去，从而顺利地突破重、难点.2、呈现方式：根据教学大纲要求结合本节课具体的教学目标和学生的认知特点，我设计了“复习回顾——创设问题情境——合作探究和指导应用——归纳小结——布置作业”五个教学环节. 3、新课程观的体现：本节课主要采用的是“引导发现、合作探究”的教学方法，以学生熟知的足球运动为情境引入新课，以问题为载体，以师生合作探究为主线，以思维训练为核心，以能力发展为目标，充分调动一切可利用的因素，激发学生的参与意识，使学生经历知识的形成、发展和应用的过程，在和谐、愉悦的氛围中获取知识，掌握方法.整个教学中既突出了学生的主体地位，又发挥了教师的指导作用.4、可能出现的问题：探究式教学需要留给学生充足的时间和空间，为学生提供活动的机会，学生情况不同，反馈给教师的信息也不同，因而在时间和内容上都不是固定的，需要教师在设计时富有一定的弹性，在实施时设计方案跟着学生转变，具有一定的开放性和灵活性.二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。
在此之前，学生已经学习了直线的方程，同时也学习了数形结合的数学思想方法。
在这个基础上，教材安排了这一节，介绍直线方程的一个简单应用。
这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对于数学知识应用的重视。
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它可以解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的方法――数学建模法。
高一数学教案：平面向量的坐标运算3
2.3.2平面向量的坐标运算一、课题： 2.3.2平面向量的坐标运算二、教学目标：1．掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；2．能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。
三、教学重、难点：1．向量平行的充要条件的坐标表示；2．应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。
四、教学过程：（一）复习： 1．已知(3,2)a =r ，(0,1)b =-r ，求24a b -+r r ，43a b +r r 的坐标；2．已知点(1,1)A ，(1,5)B -及12AC AB =u u u r u u u r ，2AD AB =u u u r u u u r ，12AE AB =-u u u r u u u r ，求点C 、D 、E 的 坐标。
归纳：（1）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r ； （2）11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，则1212(,)a b x x y y +=++r r ， 1212(,)a b x x y y -=--r r ，11(,)a x y λλλ=r ； 3．向量a r 与非零向量b r 平行的充要条件是：(,0)a b R b λλ=∈≠r r r r .（二）新课讲解：1．向量平行的坐标表示： 设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，（0b ≠r r ），且//a b r r ， 则(,0)a b R b λλ=∈≠r r r r ，∴112222(,)(,)(,)x y x y x y λλλ==.∴1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，∴12210x y x y -=. 归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式： ①//a b r r (0)b ≠⇔r r (,0)a b R b λλ=∈≠r r r r ； ②//a b r r (0)b ≠r r 且设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =⇔r 12210x y x y -=（1212,,,x x y y R ∈） 例1 已知(4,2)a =r ，(6,)b y =r ，且//a b r r ，求y ． 解：∵//a b r r ，∴4260y -⨯=．∴3y =．例2 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证A 、B 、C 三点共线． 证明：(1(1),3(1))(2,4)AB =----=u u u r ，(2(1),5(1))(3,6)AC =----=u u u r ， 又26340⨯-⨯=，∴//AB AC u u u r u u u r .∵直线AB 、直线AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线。
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平面向量的坐标运算教
案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
“平面向量的坐标运算”教学方案
教学目标：
1.知识与技能：
理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。
2.过程与方法：
在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。
3.情感、态度与价值观：
通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。
教学重点：
平面向量的坐标表示及坐标运算。
教学难点：
平面向量坐标表示的意义。
教学方法：
结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。
教学手段：
投影仪、多媒体软件
教学过程
1.情境创设
教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？
学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解
设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做好铺垫。
2.展开探究
问题一：平面向量的基本定理内容是什么？
教师请一学生回答，同时投影出示其内容。
问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加
合理呢？
组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。
投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题
问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？
设计目的：此问题引发学生联想，对平面向量坐标表示方法具有指导性作用。
教师讲授：在直角坐标系内，我们分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj ,我们把叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标，(x,y)式叫做向量的坐标表示。
3.深化理解
一.平面向量坐标表示的的理解
提出问题：
(1)、如果以原点O作为起点作一向量OA=a（投影动画同步演示），那么点A 的位置是否可以唯一确定呢
(2)、点A的坐标与向量OA的坐标之间有什么关系？
(3)、两个向量相等的充要条件利用坐标如何进行表示呢
(4)、如果我们将一个平面向量在直角坐标系中作任意平移（不该表大小和方向），那么它的坐标会改变吗？
组织学生以小组为单位展开探究交流活动，在讨论后回答上述问题，可师生共同完善答案，归纳如下:
(1) 、点A的位置受向量OA决定，唯一确定。
(2)、以原点O为起点的向量OA的坐标和终点A的坐标事完全相同的。
(3)、两个平面向量相等的充要条件是两个向量的坐标相同。
(4)、在直角坐标系中平面向量在大小和方向不变的前提下自由移动，它们的坐标就是相同的。
设计目的：让学生在合作探究中去主动学习，不仅锻炼了解决问题的能力，还培养了探究协作的能力。
出示练习：用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标（图略）。
教师让学生独立完成，之后借助投影让个别学生展示完成情况，教师点评。
设计目的：增进了所学新知的内化。
二、平面向量的坐标运算
提出问题：通过以上研究，我们了解了平面向量的坐标表示，向量是可以进行运
算的，如何运用所学的知识进行两个向量的和与差的坐标表示及实数
与向量积的坐标表示呢？
投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐标
学生展开讨论，可能给出多种推导方法，教师要耐心给与点评，并做最后归纳。
（1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法。
（2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。
（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标教师提问：设AB是表示向量a的有向线段，点A(s,t)， B(m,n)，那么向量a的坐标如何表示？
学生结合向量坐标运算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教师强调
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
设计目的：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。
4.例题剖析
例1、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标，使这四点成为平行四边形的四个顶点。
教师给学生充足时间独立思考，适当时可提示作图理解，而变式对学生来说难度增大，要鼓励学生大胆尝试，独立求解，并提示要考虑图形的多种画法。
设计目的：通过例题和变式综合考查学生对本节所学知识的理解和掌握程度，也促进学生应用知识解决问题的能力。
5.课堂小结
请学生对本节课内容作归纳，不足之处师生补充完善，最后教师作总结式说明。
1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，也可以称之为向量的代数表示，其背景是平面向量的基本定理。
2.向量的坐标表示为我们进行向量的运算提供了方便。
3.向量的坐标表示使得我们借助数的运算对图形的几何性质展开研究，体现了
数形结合思想方法的应用。
前面我们还学习了这留待我们下一节再来研究。
6.布置作业
（1）.课后习题
（2）如何运用向量坐标来表示和判定共线向量呢？让学生预习下节内容。
7.板书设计
平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标例1 变式
定义解：解：
（1）
（2）
（3）
2.平面向量的坐标运算。