第二章习题解答

第二章 谓词逻辑
习题与解答
⒈ 将下列命题符号化：
⑴ 所有的火车都比某些汽车快。

⑵ 任何金属都可以溶解在某种液体中。

⑶ 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。

⑷ 每个人都有自己喜欢的职业。

⑸ 有些职业是所有的人都喜欢的。

解 ⑴ 取论域为所有交通工具的集合。

令
x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。

“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀。

⑵ 取论域为所有物质的集合。

令
x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。

“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀。

⑶ 论域与谓词与(2)同。

“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为
))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃。

⑷ 取论域为所有事物的集合。

令
x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。

“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀
⑸论域与谓词与(4)同。

“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为
))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃。

⒉ 取论域为正整数集，用函数+（加法），∙（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化：
⑴ 没有既是奇数，又是偶数的正整数。

⑵ 任何两个正整数都有最小公倍数。

⑶ 没有最大的素数。

⑷ 并非所有的素数都不是偶数。

解 先引进一些谓词如下：
x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(y x v v =∙∃。

x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =∙⌝∃。

x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =∙∃。

x x P :)(是素数，)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=↔=∙∃∀∧=⌝。

⑴ “没有既是奇数，又是偶数的正整数”可表示为))()((x E x J x ∧⌝∃，
并可进一步符号化为))2()2((x v v x v v x =∙∃∧=∙⌝∃⌝∃。

⑵ “任何两个正整数都有最小公倍数”可表示为
))),(),((),(),((u z u z y u D x u D u y z D x z D z y x =∨<→∧∀∧∧∃∀∀，
并可进一步符号化为
))
)()(()()((u z u z u y v v u x v v u z y v v z x v v z y x =∨<→=∙∃∧=∙∃∀∧=∙∃∧=∙∃∃∀∀⑶ “没有最大的素数”可表示为)))(()((x y x y y P y x P x =∨<→∀∧⌝∃，
并可进一步符号化为
)1)(()1(()1)(()1((y y u u y u v v u y y x u u x u v v u x x <→=∨=↔=∙∃∀∧=⌝∀∧=∨=↔=∙∃∀∧=⌝⌝∃⑷ “并非所有的素数都不是偶数”可表示为))()((x E x P x ⌝→⌝∀，并可进一步符号化为
))2()(()1((x v v x u v v u x x =∙⌝∃→=∙∃∀∧=⌝⌝∀
⒊ 取论域为实数集合，用函数+，－（减法）和谓词<，=将下列命题符号化：
⑴ 没有最大的实数。

⑵ 任何两不同的实数之间必有另一实数。

⑶ 函数)(x f 在点a 处连续。

⑷ 函数)(x f 恰有一个根。

⑸ 函数)(x f 是严格单调递增函数。

解 ⑴ “没有最大的实数”符号化为)(x y x y y x =∨<∀⌝∃。

⑵ “任何两不同的实数之间必有另一实数”符号化为))((y z z x z y x y x <∧<∃→<∀∀。

⑶“函数)(x f 在点a 处连续”的定义是：
任给0>ε，总可以找到0>δ，使得只要δ<-||a x 就有ε<-|)()(|a f x f 。

“函数)(x f 在点a 处连续”符号化为
)))
)()()()((0(0(εεδδδδεε+<∧<-→+<∧<-∀∧<∃→<∀a f x f x f a f a x x a x
⑷ “函数)(x f 恰有一个根”符号化为))0)((0)((x y y f y x f x =→=∀∧=∃。

⑸ “函数)(x f 是严格单调递增函数”符号化为))()((y f x f y x y x <→<∀∀。

⒋ 指出下列公式中变元的约束出现和自由出现，并对量词的每次出现指出其辖域。

(1) )),(),((a x P x y P x →∀
(2) ),()(y x zQ x xP ∀→∀
(3) )()())()((x Q x xP x R x P x ∧∀→∧∀
(4) ))),(,()),,(((y x g z xP x y x f P y ∀→∀
(5) )())()()((x R x xR x Q x P x ∧∃∧→∀
5. 归纳证明：若t ，t '是项，则x t t '也是项。

证明 ① 若t 是x ，则x t t '是t '，x t t '是项。

② 若t 是不同于x 的变元y ，则x t t '仍是y ，x t t '是项。

③若t 是常元a ，则x t t '仍是a ，x t t '是项。

④若t 是),,(1n t t f ，则x t t '是))(,,)((1x t n x t t t f '' ，由归纳假设知x t n x t t t '')(,,)(1 都是项，所以x t t '是项。

6. 归纳证明：若t 是项，A 是公式，则x t A 也是公式。

证明 ①若A 是),,(1n t t P ，则x t A 是))(,,)((1x t n x t t t P ，由上题知x t n x t t t )(,,)(1 都是项，所以x t A 是公式。

②若A 是B ⌝，则x t A 是x t B ⌝，由归纳假设知x t B 是公式，所以x t A 是公式。

③若A 是C B →，则x t A 是x t x t C B →，由归纳假设知x t B 和x t C 都是公式，所以x t A 是公式。

④若A 是xB ∀，则x t A 仍是A ，x t A 是公式。

⑤若A 是yB ∀，其中y 是不同于x 的变元，则x t A 是x t yB ∀，由归纳假设知x t B 是公式，所以x t A 是公式。

7. 给定解释I 和I 中赋值v 如下：
}2,1{=I D ，1=I a ，2=I b ，2)1(=I f ，1)2(=I f
1)2,1()1,1(==I I P P ，0)2,2()1,2(==I I P P ，1)(=x v ，1)(=y v
计算下列公式在解释I ，赋值v 下的真值。

(1) )),(())(,())(,(x y f P b f x P x f a P ∧∧
(2) ),(x y yP x ∃∀
(3) )))(),((),((y f x f P y x P y x →∀∀
解 (1)
)))(),(())(,())(,((v x y f P b f x P x f a P I ∧∧
))()),((())(),(()))((,(x v y v f P b f x v P x v f a P I I I I I I I I ∧∧=
)1),1(())2(,1())1(,1(I I I I I I f P f P f P ∧∧=
0011)1,2()1,1()2,1(=∧∧=∧∧=I I I P P P (2)
)))(,((v x y yP x I ∃∀
])2/[))(,((])1/[))(,((x v x y yP I x v x y yP I ∃∧∃=
]))2/][1/[))(,((])1/][1/[))(,(((y x v x y P I y x v x y P I ∨=
]))2/][2/[))(,((])1/][2/[))(,(((y x v x y P I y x v x y P I ∨∧
))2,2()2,1(())1,2()1,1((I I I I P P P P ∨∧∨= 1)01()01(=∨∧∨=
(3) )))))((),((),(((v y f x f P y x P y x I →∀∀
)))2(,)1(()2,1(()))1(,)1(()1,1((I I I I I I I I f f P P f f P P →∧→=
)))2(,)2(()2,2(()))1(,)2(()1,2((I I I I I I I I f f P P f f P P →∧→∧
))1,1()2,2(())2,1()1,2(())1,2()2,1(())2,2()1,1((I I I I I I I I P P P P P P P P →∧→∧→∧→=01100)10()10()01()01(=∧∧∧=→∧→∧→∧→=
7. 给定解释I 如下：
},{b a D I =， 1),(),(==b b P a a P I I ， 0),(),(==a b P b a P I I
判断I 是不是以下语句的模型。

(1) ),(y x yP x ∃∀
(2) ),(y x yP x ∀∀
(3) ),(y x yP x ∀∃
(4) ),(y x P y x ⌝∃∃
(5) )),(),((x y P y x P y x →∀∀
(6)),(x x xP ∀
解 (1) )),((y x yP x I ∃∀
1)10()01()),(),(()),(),((=∨∧∨=∨∧∨=b b P a b P b a P a a P I I I I
(2) )),((y x yP x I ∀∀
01001),(),(),(),(=∧∧∧=∧∧∧=b b P a b P b a P a a P I I I I
(3) )),((y x yP x I ∀∃
0)10()01()),(),(()),(),((=∧∨∧=∧∨∧=b b P a b P b a P a a P I I I I
(4) )),((y x P y x I ⌝∃∃
10110),(),(),(),(=∨∨∨=⌝∨⌝∨⌝∨⌝=b b P a b P b a P a a P I I I I
(5) ))),(),(((x y P y x P y x I →∀∀
)),(),(()),(),((a b P b a P a a P a a P I I I I →∧→=
)),(),(()),(),((b b P b b P b a P a b P I I I I →∧→∧
1)11()00()00()11(=→∧→∧→∧→=
(6) 111),(),()),((=∧=∧=∀b b P a a P x x xP I I I
9.写出一个语句A ，使得A 有模型，并且A 的每个模型的论域至少有三个元素。

解 语句A 为),(),(),(),(a c P c b P b a P x x P x ∧∧∧⌝∀。

给定解释I '如下。

I D '为自然数集合， 1),(='y x P I 当且仅当y x <， 1='I a ，2='I b ，3='I c
则I '是A 的模型，A 有模型。

任取满足语句A 的解释I ，则1),(),(),(===I I I I I I I I I a c P c b P b a P ，又因为1)),((=⌝∀x x P x I ，所以I a ，I b ，I c 是论域I D 中三个不同元素，论域I D 中至少有三个元素。

10.写出一个语句A ，使得A 有模型，并且A 的每个模型的论域有无穷多个元素。

解 语句A 为),()),(),(),((),(y x yP x z x P z y P y x P y x x x P x ∃∀∧→∧∀∀∧⌝∀。

给定解释I '如下。

I D '为自然数集合， 1),(='y x P I 当且仅当y x <
则I '是A 的模型，A 有模型。

任取满足语句A 的解释I ，取I D d ∈1，因为1)),((=∃∀y x yP x I ，所以有I D d ∈2使得1),(21=d d P I ，又因为1)),((=⌝∀x x P x I ，故21d d ≠。

因为1)),((=∃∀y x yP x I ，所以有I D d ∈3使得1),(32=d d P I ，又因为1)),((=⌝∀x x P x I ，故23d d ≠。

因为1))),(),(),(((=→∧∀∀z x P z y P y x P y x I ，所以1),(31=d d P I ，故13d d ≠。

因此，1d ，2d ，3d 是论域中的三个不同元素。

这个过程可以永远进行下去，得到 ,,,321d d d 因此，论域中必然有无穷多个元素。

11.判断以下公式是不是永真式、永假式、可满足式，并说明理由。

(1) ))()(()()(x Q x P x x xQ x xP ∨∃→∃∨∃
(2) ))()(()()(x Q x P x x xQ x xP ∧∃→∃∧∃
(3) )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀
(4) ),(),(y x yP x x x xP ∀∀→∀
(5) ))()(())()((x Q x P x x xQ x xP →∀→∀→∀
(6) ))()(())()((x Q x P x x xQ x xP →∀→∀→∃
(7) ))()(())()((x xQ x xP x Q x P x ∃→∃→→∀
解 (1) ))()(()()(x Q x P x x xQ x xP ∨∃→∃∨∃是永真式。

若解释I 使得1))()((=∃∨∃x xQ x xP I ，则1))((=∃x xP I 或1))((=∃x xQ I 。

① 若1))((=∃x xP I ，则存在I D d ∈使得1)(=d P I ，1)()(=∨d Q d P I I 。

② 若1))((=∃x xQ I ，则存在I D d ∈使得1)(=d Q I ，1)()(=∨d Q d P I I 。

因此，1)))()(((=∨∃x Q x P x I 。

(2) ))()(()()(x Q x P x x xQ x xP ∧∃→∃∧∃是非永真的可满足式。

给定解释I 如下。

}{d D I =， 1)(=d P I ， 1)(=d Q I
则1)))()(()()((=∧∃→∃∧∃x Q x P x x xQ x xP I 。

给定解释I '如下。

},{b a D I ='，1)(='a P I ，0)(='b P I ，0)(='a Q I ，1)(='b Q I
则0)))()(()()((=∧∃→∃∧∃'x Q x P x x xQ x xP I 。

(3) )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀是非永真的可满足式。

给定解释I 如下。

}{d D I =， 1)(=d P I ， 1)(=d Q I
则1))()())()(((=∀∨∀→∨∀x xQ x xP x Q x P x I 。

给定解释I '如下。

},{b a D I ='，1)(='a P I ，0)(='b P I ，0)(='a Q I ，1)(='b Q I
则0))()())()(((=∀∨∀→∨∀'x xQ x xP x Q x P x I 。

(4) ),(),(y x yP x x x xP ∀∀→∀是非永真的可满足式。

给定解释I 如下。

}{d D I =， 1),(=d d P I
则1)),(),((=∀∀→∀y x yP x x x xP I 。

给定解释I '如下。

},{b a D I ='，1),(),(==''b b P a a P I I ，0),(),(==''a b P b a P I I
则0)),(),((=∀∀→∀'y x yP x x x xP I 。

(5) ))()(())()((x Q x P x x xQ x xP →∀→∀→∀是非永真的可满足式。

给定解释I 如下。

}{d D I =， 1)(=d P I ， 1)(=d Q I
则1)))()(())()(((=→∀→∀→∀x Q x P x x xQ x xP I 。

给定解释I '如下。

},{b a D I ='，1)(='a P I ，0)(='b P I ，0)(='a Q I ，1)(='b Q I
则0)))()(())()(((=→∀→∀→∀'x Q x P x x xQ x xP I 。

(6) ))()(())()((x Q x P x x xQ x xP →∀→∀→∃是永真式。

若解释I 使得0)))()(((=→∀x Q x P x I ，则存在I D d ∈使得0)()(=→d Q d P I I ，因此1)(=d P I 且0)(=d Q I ，1))((=∃x xP I 且0))((=∀x xQ I ，0)))()(((=∀→∃x xQ x xP I 。

(7) ))()(())()((x xQ x xP x Q x P x ∃→∃→→∀是永真式。

若解释I 使得0)))()(((=∃→∃x xQ x xP I ，则1))((=∃x xP I 且0))((=∃x xQ I 。

存在I D d ∈使得1)(=d P I ，又因为0))((=∃x xQ I ，所以0)(=d Q I ，0)()(=→d Q d P I I 。

因此，0)))()(((=→∀x Q x P x I 。

12.设A ,B 是任意公式，证明以下公式是永真式。

(1) xA A x t ∃→,其中项t 对于A 中的x 是可代入的。

(2) A x xA ⌝∃↔∀⌝
(3) A x xA ⌝∀↔∃⌝
(4) xB xA B A x ∃∧∃→∧∃)(
(5) )(B A x xB xA ∨∀→∀∨∀
(6) )()(xB A B A x ∀→→→∀，其中x 不是A 的自由变元。

解 (1) 任取解释I 和I 中赋值v ，若1))((=v A I x t ,则1))])((/[)(())((==v t I x v A I v A I x t ，所以1))((=∃v xA I 。

这表明xA A x t ∃→是永真式。

(2) 任取解释I 和I 中赋值v ，
1))((=∀⌝v xA I
当且仅当 0))((=∀v xA I
当且仅当 存在I D d ∈使得0])/[)((=d x v A I 当且仅当 存在I D d ∈使得1])/[)((=⌝d x v A I
当且仅当 1))((=⌝∃v A x I
这表明A x xA ⌝∃↔∀⌝是永真式。

(3) 任取解释I 和I 中赋值v ，
0))((=⌝∃v xA I
当且仅当 1))((=∃v xA I
当且仅当 存在I D d ∈使得1])/[)((=d x v A I
当且仅当 存在I D d ∈使得0])/[)((=⌝d x v A I 当且仅当 0))((=⌝∀v A x I
这表明A x xA ⌝∀↔∃⌝是永真式。

(4) 任取解释I 和I 中赋值v ，若1)))(((=∧∃v B A x I ，则存在I D d ∈使得1)]/[)((=∧d x v B A I ，1)]/[)(()]/[)((==d x v B I d x v A I ，1))((=∃v xA I 且1))((=∃v xB I ，1))((=∃∧∃v xB xA I 。

这表明xB xA B A x ∃∧∃→∧∃)(是永真式。

(5) 任取解释I 和I 中赋值v ，若0)))(((=∨∀v
B A x I ，则存在I D d ∈使得0)]/[)((=∨d x v B A I ，0)]/[)(()]/[)((==d x v B I d x v A I ，0))((=∀∨∀v xB xA I 。

这表明)(B A x xB xA ∨∀→∀∨∀是永真式。

(6) 任取解释I 和I 中赋值v ，若1))(()))(((==→∀v A I v B A x I ，则对于每个I D d ∈，1)]/[)((=→d x v B A I ，因为x 不是A 的自由变元，所以1))(()]/[)((==v A I d x v A I ，因此1)]/[)((=d x v B I ，1))((=∀v xB I 。

这表明)()(xB A B A x ∀→→→∀是永真式。

13.设1A 是公式A 的闭包，2A 是A x x n ∃∃ 1，其中},,{)(V ar 1n x x A =。

证明：
(1) A 是永真式当且仅当1A 是永真式；
(2) A 是可满足式当且仅当2A 是可满足式。

证明 (1) （⇒）首先证明：若A 是永真式，则xA ∀是永真式。

设A 是永真式。

任取解释I 和I 中赋值v ，任取I D d ∈，因为]/[d x v 也是I 中赋值，所以1)]/[)((=d x v A I ，
1))((=∀v xA I 。

xA ∀是永真式。

若A 是永真式，则A x n ∀是永真式，… ，A x x n ∀∀ 1是永真式。

（⇐）因为A A x x n →∀∀ 1是永真式，所以若A x x n ∀∀ 1是永真式，则A 是永真式。

(2) （⇒）因为A x x A n ∃∃→ 1是永真式，所以若解释I 和I 中赋值v 满足A ，则I 和v 满足A x x n ∃∃ 1。

（⇐）若解释I 和I 中赋值v 满足A x x n ∃∃ 1，则有I n D d d ∈,,1 使得1])/,,/[)((11=n n d x d x v A I ，I 和I 中赋值]/,,/[11n n d x d x v 满足A 。

14.判断以下等值式是否成立，并说明理由。

(1) )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀↔∀⇔↔∀
(2) )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇔→∀
(3) )()(x P x xP ⇔∀
(4) )()(x xP x xP x ∀⇔∀∀
(5) )()())()((y yQ x xP y yQ x P x ∀↔∀⇔∀↔∀
(6) )()())()((y yQ x xP y yQ x P x ∀↔∃⇔∀↔∀
解 (1) 不成立。

取解释I 如下。

},{b a D I =， 0)(=a P I ， 1)(=b P I ， 1)(=a Q I ， 0)(=b Q I
则0)))()(((=↔∀x Q x P x I 且1))()((=∀↔∀x xQ x xP I 。

(2) 不成立。

取解释I 如下。

},{b a D I =， 0)(=a P I ， 1)(=b P I ， 1)(=a Q I ， 0)(=b Q I
则0)))()(((=→∀x Q x P x I 且1))()((=∀→∀x xQ x xP I 。

(3) 不成立。

取解释I 和I 中赋值v 下。

},{b a D I =， 0)(=a P I ， 1)(=b P I ， b x v =)(
则0)))(((=∀v x xP I 且1)))(((=v x P I 。

(4) 成立。

任取解释I 和I 中赋值v ，因为x 不是)(x xP ∀中的自由变元，所以对于每个I D d ∈，)))(((])/[))(((v x xP I d x v x xP I ∀=∀。

1)))(((=∀∀v x xP x I
当且仅当对于每个I D d ∈，1])/[))(((=∀d x v x xP I 当且仅当1)))(((=∀v x xP I
(5) 不成立。

取解释I 如下。

},{b a D I =， 0)(=a P I ， 1)(=b P I ， 1)(=a Q I ， 0)(=b Q I
则0)))()(((=∀↔∀y yQ x P x I 且1))()((=∀↔∀y yQ x xP I 。

(6) 不成立。

取解释I 如下。

},{b a D I =， 1)(=a P I ， 0)(=b P I ， 1)()(==b Q a Q I I
则0)))()(((=∀↔∀y yQ x P x I 且1))()((=∀↔∃y yQ x xP I 。

15.设A ,B 是任意公式，证明以下等值式。

(1) x y A y A x ∃⇔∃，其中y 在A 中不出现。

(2) B x A x B A x ∃→∀⇔→∃)(
(3) B y A x B A y x ∀∨∀⇔∨∀∀)(，其中x 不是B 的自由变元，y 不是A 的自由变元。

(4) B y A x B A y x ∃∧∃⇔∧∃∃)(，其中x 不是B 的自由变元，y 不是A 的自由变元。

(5) B y A x B A y x ∀→∀⇔→∀∃)(，其中x 不是B 的自由变元，y 不是A 的自由变元。

(6) A x y A y x ∀∀⇔∀∀
证明 (1) x y x y A y A y A x A x ∃⇔⌝∀⌝⇔⌝∀⌝⇔∃
(2) B x A x B x A x B x A x B A x B A x ∃→∀⇔∃∨∀⌝⇔∃∨⌝∃⇔∨⌝∃⇔→∃)()(
(3) B y A x B y A x B A y x ∀∨∀⇔∀∨∀⇔∨∀∀)()(
(4) B y A x yB A x B A y x ∃∧∃⇔∃∧∃⇔∧∃∃)()(
(5) B y A x yB A x B A y x ∀→∀⇔∀→∃⇔→∀∃)()(
(6) 任取解释I 和I 中赋值v ，
0))((=∀∀v yA x I 当且仅当有I D d ∈使得0])/[)((=∀d x v yA I
当且仅当有I D c d ∈,使得0])/][/[)((=c y d x v A I
当且仅当有I D c d ∈,使得0])/][/[)((=d x c y v A I
当且仅当有I D c ∈使得0])/[)((=∀c y v xA I 当且仅当0))((=∀∀v xA y I
16.判断以下逻辑推论关系是否成立，并说明理由。

(1) )()(|))()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀=∨∀
(2) ))()((|)()(x Q x P x x xQ x xP ∧∃=∃∧∃
(3) ))()((|))()((x Q x P x x xQ x P x ↔∀=∀↔∀
(4) ))()((|))()((x Q x P x x xQ x P x →∀=∀→∀
(5) )(|)(,))()((x xQ x xP x Q x P x ∃=∃→∃
(6) ),(|),(x x xP y x yP x ∃=∃∃
解 (1) 不成立。

取解释I 如下。

},{b a D I =， 0)(=a P I ， 1)(=b P I ， 1)(=a Q I ， 0)(=b Q I
则1)))()(((=∨∀x Q x P x I 且0))()((=∀∨∀x xQ x xP I 。

这表明)()(/|))()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀=∨∀。

(2) 不成立。

取解释I 如下。

},{b a D I =， 0)(=a P I ， 1)(=b P I ， 1)(=a Q I ， 0)(=b Q I
则1))()((=∃∧∃x xQ x xP I 且0)))()(((=∧∃x Q x P x I 。

这表明))()((/|)()(x Q x P x x xQ x xP ∧∃=∃∧∃。

(3) 不成立。

取解释I 如下。

},{b a D I =， 0)()(==b P a P I I ， 1)(=a Q I ， 0)(=b Q I
则1)))()(((=∀↔∀x xQ x P x I 且0)))()(((=↔∀x Q x P x I 。

这表明))()((/|))()((x Q x P x x xQ x P x ↔∀=∀↔∀。

(4) 若解释I 使得0)))()(((=→∀x Q x P x I ，则有I D d ∈使得0)()(=→d Q d P I I ，
1)(=d P I 且0)(=d Q I ，0))((=∀x xQ I ，0)))()(((=∀→∀x xQ x P x I 。

这表明))()((|))()((x Q x P x x xQ x P x →∀=∀→∀。

(5) 不成立。

取解释I 如下。

},{b a D I =， 1)(=a P I ， 0)(=b P I ， 0)()(==b Q a Q I I
则1))(()))()(((=∃=→∃x xP I x Q x P x I 且0))((=∃x xQ I ，这表明)(/|)(,))()((x xQ x xP x Q x P x ∃=∃→∃。

(6) 不成立。

取解释I 如下。

},{b a D I =， 1),(=b a P I ， 1),(),(),(===b b P a b P a a P I I I
则1)),((=∃∃y x yP x I ，但0)),((=∃x x xP I 。

所以),(/|),(x x xP y x yP x ∃=∃∃。

17.设A ,B 是任意公式，证明以下结论。

(1) xB xA B A x ∃∧∃=∧∃|)(
(2) xB xA B A x ∀=∀→∀|,)(
(3) A y x A x y x ∃∃=∃|，其中x 对于A 中的y 是可代入的。

(4) )(|B A x B x A x →∃=∃→∃
证明 (1) 若解释I 和I 中赋值v 使得1)))(((=∧∃v B A x I ，则有I D d ∈使得1])/[)((=∧d x v B A I ，1])/[)((])/[)((==d x v B I d x v A I ，1))((=∃v xA I 且1))((=∃v xB I ，1))((=∃∧∃v xB xA I 。

这表明xB xA B A x ∃∧∃=∧∃|)(。

(2) 若解释I 和I 中赋值v 使得1))(()))(((=∀=→∀v xA I v B A x I ，则对于每个I D d ∈，1])/[)((])/[)((==→d x v A I d x v B A I ，1])/[)((=d x v B I ，1))((=∀v xB I 。

这表明xB xA B A x ∀=∀→∀|,)(。

(3) 若解释I 和I 中赋值v 使得1))((=∃v A x I y x ，则有I D d ∈使得1])/[)((=y x v A I y x ，
因为])/][/[)((])])/[)((/][/[)((])/[)((d y d x v A I d x v x I y d x v A I d x v A I y x ==，所以
1])/][/[)((=d y d x v A I ，1])/[)((=∃d x v yA I ，1))((=∃∃v yA x I 。

这表明
A y x A x y x ∃∃=∃|。

(4) 若解释I 和I 中赋值v 使得0)))(((=→∃v B A x I ，则对于每个I D d ∈，0])/[)((=→d x v B A I ，1])/[)((=d x v A I 且0])/[)((=d x v B I ，因此1))((=∃v xA I 且0))((=∃v xB I ，0))((=∃→∃v xB xA I 。

所以)(|B A x B x A x →∃=∃→∃。

18.设变元x 既不是公式B 中的自由变元，也不是公式集Γ中任何公式的自由变元，A 是公式。

若B A =⋃Γ|}{，则B A x =∃⋃Γ|}{。

证明 设解释I 和I 中赋值v 满足}{A x ∃⋃Γ，则1))((=∃v xA I ，有I D d ∈使得
1])/[)((=d x v A I 。

因为x 不是公式集Γ中任何公式的自由变元，所以I 和]/[d x v 也满足Γ，I 和]/[d x v 满足}{A ⋃Γ。

又因为B A =⋃Γ|}{，所以1])/[)((=d x v B I ，因为x 不是B 中的自由变元，因此1))((=v B I 。

这表明B A x =∃⋃Γ|}{。

19. 设Γ是公式集合，A 是公式，则A =Γ|当且仅当}{A ⌝⋃Γ不可满足。

证明 设}{A ⌝⋃Γ可满足，解释I 和I 中赋值v 满足}{A ⌝⋃Γ，则I 和v 满足Γ且0))((=v A I ，所以A /|=Γ。

设A /|=Γ，则有解释I 和I 中赋值v 满足Γ且0))((=v A I ，所以I 和v 满足}{A ⌝⋃Γ。

因此，}{A ⌝⋃Γ可满足。

20.判断以下公式集合是否可满足，并说明理由。

(1) )}({}|)({x xP t t P ∃⋃⌝是项
(2) )},(,)),(),(),((,),({y x yP x z x P z y P y x P z y x x x P x ∃∀→∧∀∀∀⌝∀
解 (1) 可满足。

取解释I 和I 中赋值v 如下。

}2,1{=I D ， 0)1(=I P ， 1)2(=I P ，
对每个常元a ，1=I
a ；
对每个n 元函数符号f ，1),,(1=n I x x f ；
对每个变元x ，1)(=x v 。

可归纳证明：对每个项t ，1))((=v t I 。

I 和v 满足)}({}|)({x xP t t P ∃⋃⌝是项。

(2) 可满足。

取解释I 和I 中赋值v 如下。

I D 为自然数集， 1),(=y x P I 当且仅当 y x <
则I 和v 满足)},(,)),(),(),((,),({y x yP x z x P z y P y x P z y x x x P x ∃∀→∧∀∀∀⌝∀。