同济大学高等数学第六版下册第十一章幂级数 PPT
高等数学第十一讲幂级数
第十一讲 幂级数§11.1 幂级数幂级数的一般概念.型如∑∞=-00)(n nnx x a和 ∑∞=0n n n x a 的幂级数.幂级数由系数数列}{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如∑∞=0n n n x a 的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一. 一、知识结构 1、幂级数的收敛域 定理1（Abel 定理）若幂级数∑nnxa 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式|| ||x x <的任何x ,幂级数∑nnxa 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则对满足不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散.证明∑n n x a 收敛, {n n x a }有界.设|n n x a |≤M , 有|n nnn n n Mr xx x a x a ≤⋅=|||||,其中 1 ||<=xxr .∑+∞<n Mr ⇒∑∞+< ||n n x a . 定理1的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数∑nnxa 和∑-n nx x a)(0的收敛域的结构：幂级数∑n n x a 收敛域的结构是关于点0=x 的对称区间，∑-n nx x a)(0的收敛域的结构是关于点0x x =的对称区间.定义幂级数的收敛域长度的一半为收敛半径R ，收敛半径 R 的求法. 定理2 对于幂级数∑nnxa , 若∞→n limρ=nn a ||, 则（ⅰ）+∞<<ρ0时, R ρ1=; （ⅱ）ρ=0时+∞=R ;（ⅲ） ρ=∞+时0=R .证明 ∞→n lim=nn n x a ||∞→n lim||||||x x a nn ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致的).⇒ ……由于∞→n lim⇒=+ ||||1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数∑n nx a 的收敛区间:) , (R R - .幂级数∑nnxa 的收敛域: 一般来说, 收敛区间⊂收敛域. 幂级数∑nnxa 的收敛域是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一.2、幂级数的一致收敛性 定理3 若幂级数∑nnxa 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收敛.证明 ∀] , [b a ⊂) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈∀x ] , [b a , 有|| ||n n nn x a x a ≤, 级数∑nn x a 绝对收敛, 由优级数判别法⇒ 幂级数∑n n x a 在], [b a 上一致收敛.因此,幂级数∑nnxa 在区间) , (R R -内闭一致收敛.定理4 设幂级数∑nn x a 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛,则幂级数∑nnxa 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 .证明 nnn n n R x R a x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=. ∑n n R a 收敛, 函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n R x 在区间] , 0 [R 上递减且一致有界,由Abel 判别法,幂级数∑nn x a 在区间] , 0 [R 上一致收敛.易见,当幂级数∑nnxa 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间] , [R R -上一致收敛 .3、幂级数的性质（1）逐项求导和积分后的级数 设∑∞=='1)(n nn x a ∑∞=-11n n n xna ①，∑⎰∞==1n xnn dt t a ∑∞=++111n n n x n a ②， ①和②仍为幂级数. 我们有 定理5 幂级数∑∞=-11n n n xna 和∑∞=++111n n n x n a 与∑n n x a 有相同的收敛半径 注: ①和②与∑nn xa 虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数∑∞=1n nnx .（2）幂级数的运算性质: 定义1 两个幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数. 定理6∑∞=0n nnx a=∑∞=0n n n x b ) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n .定理7 设幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为a R 和b R , },min{b a R R R =,则（ⅰ）∑∑=n n nnx a xa λλ, λ , ||a R x <— 常数，0≠λ.（ⅱ）∑∞=0n nnx a+∑∞=0n nn x b =n n n n x b a )(0+∑∞=, R x ||<.（ⅲ） (∑∞=0n nnx a)(∑∞=0n nn x b )=nn n x c ∑∞=0, ∑=-=nk k n k n b a c 0, R x ||<.（3）幂级数的和函数的性质定理8 设在) , (R R -(R ) 0>内∑∞=0n n nx a=)(x f . 则（ⅰ）)(x f 在) , (R R -内连续; （ⅱ）若级数∑n nR a (或∑-nnR a ) ()收敛, 则)(x f 在点R x =( 或 R x -=)是左( 或右 )连续的;（ⅲ）对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在点x 可微且有 )(x f '=∑∞=-11n n nx na;（ⅳ）对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在区间 ] , 0 [x 上可积,且⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a . 注 当级数∑∞=++011n n n R n a 收敛时,无论级数∑∞=0n n n x a 在点R x =收敛与否,均有⎰=Rdt t f 0)(∑∞=++011n n n R n a.这是因为:由级数∑∞=++011n n nR n a 收敛,得函数⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a在点R x =左连续, 因此有⎰=R dt t f 0)(∑∞=++011n n nR n a . 推论1 和函数)(x f 在区间) , (R R -内任意次可导, 且有)(x f '= ++++-1212n n x na x a a ,……， +++=+x a n a n x f n n n 1)()!1(!)(.注 由推论1可见, )(x f 是幂级数的和函数的必要条件是)(x f 任意次可导.推论2 若∑∞=0n n nx a=)(x f , 则有,!)0( , ,!2)0( ,1)0( ),0()(210n f a f a f a f a n n =''='==二、解证题方法例1 求幂级数∑2nx n的收敛域.( ] 1 , 1 [- )例2 求幂级数 ++++nx x x n22的收敛域. ( ) 1 , 1 [- ) 例3 求下列幂级数的收敛域: ⑴ ∑∞=0!n n n x (()+∞∞-,); ⑵ ∑∞=0!n nx n ({}0:=x x ).例4 求级数∑∞=-02)1(n nnn x 的收敛域()3,1[-). 例5 验证函数∑∞==0!2)(n nn n x x f 满足微分方程 R ∈=-'-''x y y y ,02. 验证给幂级数的收敛域为) , (∞+∞-.解 因为=')(x f ∑∞=-=-11)!1(2n n n n x ∑∞=+=01!2n n n n x ∑∞==0)(2!22n nn x f n x ，所以)(4)(2)(x f x f x f ='='', 代入y y y 2-'-''得02=-'-''y y y .因为0!2lim !2lim ==∞→∞→n n n n n n n ，所以∑∞==0!2)(n n n n x x f 的收敛域为) , (∞+∞-. 例6 将2)1(1x -,3)1(!2x -,x-11ln展成幂级数, 并求收敛域. 解 由于x-11+++++=n x x x 21, )1,1(-∈x . 所以+++++=--122321)1(1n nx x x x , )1,1(-∈x .,)1(232)1(!223+-++⋅+=--n x n n x x )1,1(-∈x . ⎰∑⎰∞==-=-xn xn dt t dt t x 0001111ln∑∞=+++++++=+=0121121n n n n x x x n x ,)1,1(-∈x .例3（东南大学2005年）设∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-121n nn x a 在2-=x 处条件收敛，求其收敛半径.解 因为∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-121n n n x a 在2-=x 处条件收敛，所以∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-123)1(n nn na 收敛，而∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛123n n n a 发散. 进而当4=x 时级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-121n nnx a 发散,故其收敛半径为3224=+. 例4(北京化工大学2003年)若nn na ≤, ,2,1=n , 证明:∑∞=1n nn xa 的收敛半径1≥R .解 由于nn na ≤, 则1lim limlim 1==≤∞→∞→∞→nn nnn n n n n na , 所以的收敛半径1≥R例5(北京师范大学2003年)求幂级数()∑∞=++111ln n n nx nn α(0>α)的收敛域.解 由于()()11ln lim1ln lim 11=+=++∞→+∞→nnnn nnn nn nn αα, 所以收敛半径1=R . 研究1=x 级数()∑∞=++111ln n nn n α的敛散性. 当1>α时, 由于()()01ln lim 1ln lim 121121=+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅+-∞→++∞→n n n n n n n n n ααα, 且∑∞=+1211n nα收敛, 所以()∑∞=++111ln n nnn α收敛.而()∑∞=++-111ln )1(n nnnn α收敛, 故收敛域]1,1[-. 当1≤α时, ()()+∞=+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅+-∞→++∞→n n n n n n n n n 1211211ln lim 1ln lim ααα, 所以()∑∞=++111ln n n n n α发散,由于当n 充分大时, ()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++n n n 11ln α单调递减趋向于0,所以()∑∞=++-111ln )1(n n n n n α收敛,故收敛域为)1,1[-, 综上所述, 当1>α时,收敛域为]1,1[-,当1≤α时, 收敛域为)1,1[-.例6(天津工业大学2005年)求幂级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+23ln 1ln n n x n n nn的收敛域. 解 由于n n n n n n n n ln 2ln 1ln ln 13<+<, 又1ln 2lim ln 1lim ==∞→∞→nn n n n n ,故收敛半径1=R .由积分判别法知, 当1=x 时,∑∞=2ln 1n n n 发散,而0ln 1ln 3>+n n n n ,所以∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+23ln 1ln n n n n n 发散, 由Leibniz 判别法知当1-=x 时,∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-23ln 1ln )1(n n n n n n收敛. 故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+23ln 1ln n n x n n n n的收敛域为)1,1[-. 例7(复旦大学2001年)确定由幂级数∑∞=+14316n n n x n 收敛点全体构成的收敛域.解 由于116lim 16lim 4343=+=+∞→∞→n n nn n n n n ,所以∑∞=+14316n n n x n 收敛半径为1,显然当1=x 时, ∑∞=+14316n n n 发散. 下面研究当1-=x 时∑∞=+-14316)1(n nn n 的敛散性.易知016lim 43=+∞→n n n .由于()()()()()24422462243342431646164616416316)(+-=+-=+⋅-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x x x x x x x x x x f ,所以当446>x 时,)(x f 是单调递减, 即3>n 时1643+n n 是单调递减趋于0的数列,从而∑∞=+-14316)1(n nn n 收敛,故得收敛域为)1,1[-. 例8(大连理工大学2006年)求n n x n n )1(1∑∞=--的收敛域.解 因为()()()()()()nn nn n n nn n n n n n n n n a a n n n n n +---+++-+++-=--+-=∞→∞→+∞→111111lim11lim lim 1()()1111111lim 11lim 11lim =+++-=+++-=++-+--=∞→∞→∞→nn n n nn n n n n n n n , 当1=x 时,n k k nk -=--∑=)1(1不趋于0（∞→n ）, 所以当1=x 时该级数发散.当1-=x 时,111)1(11)1)(1(+∞=∞=-+-=---∑∑n n nn nn n n 为交错级数,所以收敛.故n n x n n )1(1∑∞=--的收敛域为)1,1[-.例9(上海理工大学2003年)求级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-112)1(n nn n x x n n 的收敛域.解 令12+=x xt , 对辅助函数∑∞=-1)1(n n n n t nn 计算收敛半径11lim 1lim lim 1====∞→∞→∞→n n n n n n n n n nn n n a r ,当1=t 时, 级数成为∑∞=-1)1(n n nn n ,由Abel 判别法可判定其收敛; 当1-=t 时，级数成为∑∞=11n nnn,由p-级数判别法可判定其发散，故辅助幂级数的收敛域为]1,1(-，原广义幂级数收敛域为1121≤+<-x x ， 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤->131x x x 或. 例10(华中科技大学2007年)设)(x f 在]1,0[上二阶可导,且满足0)0(>''f 和0)(lim 0=+→x x f x ,令⎪⎭⎫ ⎝⎛=n f a n 1, 求n n n x a ∑∞=1收敛域. 解 因为0)(lim 0=+→x x f x , 所以0)(lim )(lim )0(00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅==→→x x x f x f f x x .从而0)(lim )0()(lim)0(00==-='→→xx f x f x f f x x .于是由L ’Hospital 法则知 ())0(212)0()(lim 2)(lim )(lim 1lim lim 002022f x f x f x x f x x f n f n a n x x x n n n ''='-'='==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→∞→∞→, 所以∑∞=1n n a 收敛且当n 充分大时，有2222)0(21)0(21nf n a n f n n εε+''<<-''成立，从而易知1lim =∞→nn n a ，所以nn n xa ∑∞=1的收敛半径为 1. 又因为2222)0(21)0(21n f n a n f n n εε+''<<-'', 且∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+''122)0(21n n f n ε收敛，所以∑∞=1n n a 与∑∞=-1)1(n n na （0>n a ）.故n n n x a ∑∞=1的收敛域为[]1,1-.练习[1](兰州大学2005年)求幂级数12112)1(n n nx nn ∑∞=+-的收敛域及和函数. (答案: 收敛域)1,1(-,和函数)1ln(12222x xx +-+-) [2](兰州大学2006年)求幂级数12112)1(+∞=∑+-n n n x n 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域]1,1[-,和函数x arctan )[3](西安电子科技大学2004年)求幂级数221212-∞=∑-n n n x n 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域()2,2-,和函数()2222-+x x ) [4](电子科技大学2003年)求幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n n x 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域]1,1[-,和函数x x x -++)1ln()1()[5](华南理工大学2006年)求幂级数∑∞=+--1211)1(n n nn x 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域]1,1[-,和函数42)1ln()1(2122x x x x -++-) [6](北京交通大学2003年)求幂级数∑∞=+11n nn x 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域)1,1[-,和函数1)1ln(---xx ) [7](哈尔滨工业大学2006年)求幂级数()∑∞=+-111n n n x 的收敛域. (答案: 收敛域)2,0[)[8](北京交通大学2004年)求幂级数∑∞=+11n nn x 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域)1,1[-,和函数)1ln(1x --)[9] (华东师范大学2004年)求幂级数∑∞=1n nnx的收敛域及和函数. (答案: 收敛域()1,1-,和函数()21x x-)[10](东南大学2006年)求幂级数()∑∞=-11n nx n 的收敛域及和函数.(答案: 收敛域()2,0,和函数()221x x --)§11.2 函数的幂级数展开一、知识结构 1、函数的幂级数展开 （1）Taylor 级数设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数，则 Taylor 公式：∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()( n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+= +)(x R n .余项)(x R n 的形式: Peano 型余项: )(x R n ()nx x )(0-= , Lagrange 型余项:)(x R n ξξ ,)()!1()(10)1(++-+=n n x x n f 在x 与0x 之间，或 )(x R n () ,)()!1()(1000)1(++-+-+=n n x x n x x x f θ10<<θ. 积分型余项: 当函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数时, 有 )(x R n ⎰-=+x x nn dt t x t f n 0))((!1)1(. Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项)(x R n ()10 ,)()1()(!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n .特别地，0x 0=时，Cauchy 余项为)(x R n ξξξ ,))((!1)1(x x f n n n -=+在0与x 之间. Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000 ∑∞=-=00)()(!)(n n n x x n x f , 称此级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数. 只要函数)(x f 在点0x 无限次可导, 就可 写出其Taylor 级数. 称0x =0时的Taylor 级数为Maclaurin 级数, 即级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f. 自然会有以下问题: 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 在)(x f 的定义域内或在点0x 的某邻域内, 函数)(x f 和其Taylor 级数是否相等呢 ?（2） 函数与其Taylor 级数的关系 实例 函数)(x f x-=11在点0=x 无限次可微. 求得,)1(!)(1)(+-=n n x n x f )1(≠x , !)0( )(n fn =. 其Taylor 级数为 =+++++ nx x x 21∑∞=0n n x .该幂级数的收敛域为) 1 , 1 (-.仅在区间) 1 , 1 (-内有)(x f =∑∞=0n nx.而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor 级数的收敛点, 是否必有)(x f 和其Taylor 级数相等呢?回答也是否定的.例如，函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-. 0, 0, 0 , )(21x x e x f x在点0=x 无限次可导且有.0)0()(=n f因此Taylor级数0≡，在) , (∞+∞-内处处收敛.但除了点0=x 外, 函数)(x f 和其Taylor 级数并不相等.另一方面,由本章定理8的推论2（和函数的性质）知: 在点0x 的某邻域内倘有)(x f =∑∞=-00)(n nnx x a, 则)(x f 在点0x 无限次可导且级数∑∞=-00)(n n n x x a 必为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.综上, 我们有如下结论:⑴ 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 其Taylor 级数可能除点=x 0x 外均发散, 即便在点0x 的某邻域内其Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是)(x f .由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor 级数.⑵ 若幂级数∑∞=-0)(n nn x x a在点0x 的某邻域内收敛于函数)(x f , 则该幂级数就是函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.于是, 为把函数)(x f 在点0x 的某邻域内表示为关于)(0x x -的幂级数，我们只能考虑其Taylor 级数.（3）函数的Taylor 展开式：若在点0x 的某邻域内函数)(x f 的Taylor 级数收敛且和恰为)(x f ，则称函数)(x f 在点0x 可展开成Taylor 级数(自然要附带展开区间.称此时的Taylor 级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 展开式或幂级数展开式.简称函数)(x f 在点0x 可展为幂级数.当0x = 0 时, 称Taylor 展开式为Maclaurin 展开式.通常多考虑的是Maclaurin 展开式. (4)可展条件定理1(必要条件) 函数)(x f 在点0x 可展⇒)(x f 在点0x 有任意阶导数.定理2(充要条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.则)(x f 在区间) , (00r x r x +-内等于其Taylor 级数(即可展)的充要条件是:对) , (0r x x ∈∀, 有0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 是Taylor 公式中的余项.证明 把函数)(x f 展开为n 阶Taylor 公式, 有)(|)()(|x R x S x f n n =- ⇒ )(x f )(lim ⇔=∞→x S n n 0)(lim =∞→x R n n .定理3(充分条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数, 且导函数所成函数列)}({)(x f n 一致有界, 则函数)(x f 可展. 证明 利用Lagrange 型余项, 设 M x fn ≤|)(|)(, 则有) ( , 0)!1(||)()!1()(|)(|1010)1(∞→→+-⋅≤-+=+++n n x x M x x n f x R n n n n ξ.例3 展开函数)(x f ,3223++-=x x x (ⅰ)按x 幂; (ⅱ) 按) 1 (+x 幂. 解 ; 1) 1 ( , 3) 0 ( , 32)0()0(23)0(-=-=++-=f f x x x f, 1432+-='x x f ; 8) 1 ( , 1) 0 (=-'='f f46-=''x f , ; 10) 1 ( , 4) 0 (-=-''-=''f f 6='''f , ; 6) 1 ( , 6) 0 (=-'''='''f f 0)()4(==== n ff.所以,(ⅰ) 323223!3)0(!2)0()0()0()(x x x x f x f x f f x f +-+='''+''+'+=. 可见,x 的多项式)(x P n 的Maclaurin 展开式就是其本身. (ⅱ) 32)1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(+-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x f 32)1()1(5)1(81+++-++-=x x x . 2、 初等函数的幂级数展开式初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式，为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开.直接展开: （1）=xe ∑∞=0,!n nn x ) , (∞+∞-∈x . ( 验证对∈∀x R ，x n e x f =)()(在区间] , 0 [x ( 或] 0 , [x )上有界, 得一致有界. 因此可展 ).=x a ∑∞==0ln ,!ln n n n ax n a x a) , (∞+∞-∈x .（2）=x sin ∑∞=++-012)!12() 1 (n n nn x , ) , (∞+∞-∈x .=x cos ∑∞=-02)!2() 1 (n nnn x , ) , (∞+∞-∈x .可展是因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a n x x fn πsin )()(在) , (∞+∞-内一致有界.（3）二项式 mx )1(+的展开式:m 为正整数时, m x )1(+为多项式, 展开式为其自身; m 为不是正整数时, 可在区间) 1 , 1 (-内展开为m x )1(+ ++---++-++=n x n n m m m m x m m mx !)1()2)(1(!2)1(12 对余项的讨论可利用Cauchy 余项.进一步地讨论可知(参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《 微积分学教程》第二卷第二分册.): 当1-≤m 时, 收敛域为) 1 , 1 (-; 当01<<-m 时, 收敛域为] 1 , 1 (-; 当0>m 时, 收敛域为] 1 , 1 [-.利用二项式mx )1(+的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如，取1-=m ,得+-+-+-=+1n n x x x x) 1 (112，) 1 , 1 (-∈x . 取21-=m 时, 得+⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+-=+32642531423121111x x x x, ] 1 , 1 (-∈x . 间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式.利用微积运算时, 要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.（4） +-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x . ] 1 , 1 (-∈x .事实上, 利用上述x+11的展开式, 两端积分, 就有 ⎰∑⎰∞=-=+=+xn x n n dtt t dtx 00) 1 (1)1ln(∑⎰∞==-=00) 1 (n xnndt t ∑∞=++-011) 1 (n n nn x ∑∞=--=11) 1 (n n n n x ,) 1 , 1 (-∈x .验证知展开式在点1=x 收敛, 因此, 在区间] 1 , 1 (-上该展开式成立.（5）=+-+-= 753arctan 753x x x x x ∑∞=++-012,12) 1 (n n nn x ] 1 , 1 [-∈x . 由=+211x ∑∞=∈-02 ,) 1 (n n n x x ) 1 , 1 (-. 两端积分,有 ⎰⎰∑⎰∑∞=∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=xx n x nn n n n dt t dt t t dt x 00002022)1()1(1arctan =∑∞=++-012,12)1 (n n n n x 验证知上述展开式在点1±=x 收敛, 因此该展开式在区间] 1 , 1 [-上成立. 二、解证题方法 例1 展开函数1431)(2+-=x x x f .解∑∑∑∞=+∞=∞=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=01001) 13 (213211131321)(n nn n n n n n x x x x x x f ，31|| <x例2 展开函数xe x xf )1()(+=.解 =+=xxxe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nn x n n n x ∑∞==++=1!11n n x n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n nx x n n .例3(南京航空航天大学2004年)下列函数中不能在0=x 处展开成幂级数是:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,)(21x x e x f x(2)x arctan ,(3)()m x +1,(4)dt t x⎰2cos .解 幂级数其实是Taylor 展开式的推广，所以要求函数在0=x 处n 阶可导，1+n 阶导数存在，显然（1）在0=x 处处不可导，所以不能展成幂级数. 例4(中国地质大学2005年)将函数xxx f -=2)(展开成x 的幂级数，并求其收敛域. 解 由初等函数的幂级数展开知()()n n x n n x ∑∞=-=-0!!2!!1211, )1,1[-∈x , 所以 ()()()()100!!222!!122!!2!!12221122)(+∞=∞=∑∑-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-⋅=-=n n n nn x n n x n n x x x x x x f , 其收敛域为)2,2[-.例5(北京交通大学2004年)将函数dt t tx f x⎰=0sin )(在0=x 处展开成幂级数.解 ()∑∞=-+--=1121!12)1(sin n n n n t t ,从而()∑∞=-+--=1221!12)1(sin n n n n t t t , 于是()()()()∑∑⎰⎰∑⎰∞=-+∞=-+∞=-+---=--=--==11211022101221012!12)1(!12)1(!12)1(sin )(n n n n x n n x n n n xn n xdtn t dt n t dt t t x f .例6(华东师范大学2006年)求⎰-=xdt t tx f 0cos 1)(的Maclaurin 级数展开式.解 因为()!2)1(cos 20n t t n n n∑∞=-=,所以()!2)1(cos 11211n t t t n n n -∞=-∑-=-, 从而 ()⎰∑⎰-∞=--=-=x n n n x dt n t dt t t x f 012110!2)1(cos 1)(()()!22)1(!2)1(2111121n n t dt n t n n n n xn n ∑∑⎰∞=-∞=---=-=. 例7(武汉理工大学2004年)将函数⎰-=xt xdt e x f 022)(展开成x 幂级数.解 ⎰∑∑⎰⎰∞=∞=---⋅===x n n n n n x t x xt x dt x n x n dt e e dt ex f 0020200!)1(!1)(2222()∑∑∞=+∞=+-⋅=01202!12)1(!1n n nn n x n n x n . 例8(上海理工大学2005年) 将)1)(1()(2x x xx f --=展开为Maclaurin 级数. 解 因为()()2222121121)1()1()1)(1()(x x x x x x x x x f ---=+-=--=,且∑∞==-011n nx x , 所以()()()∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=+=='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-01111211111n n n n n n n n x n nx x x x x ,∑∞==-02211n nx x , 进而 ()()2222121121)1()1()1)(1()(x x x x x x x x x f ---=+-=--=()∑∑∑∞=∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-+=00204)1(1221121n n n n n n nx n x x n . 例9(中南大学2004年)求()22ln )(xx f +=在0=x 处的幂级数展开式及收敛半径.解 因为()∑∞=--=+111)1ln(n nn nx x ,]1,1(-∈x , 有()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=22221ln 2ln 212ln 2ln )(x x x x f()()∑∑∞=-∞=--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=121121212ln 212ln n nn n n nn n x n x . 例10(浙江大学2005年)(1)将x arctan 展开成幂级数; (2)利用(1)证明:124)1(54344+-+-+-=n nπ; (3)利用(2)的结果近似求π的值,误差会不超过m-10,m 为正整数.解 (1)因为()∑∞=-=+='22)1(11arctan n nn x x x ,所以 ∑∑⎰⎰∑∞=+∞=∞=+-=-=-=01200200212)1()1()1(arctan n n n n xnn x n nn t n dt t dt t x , []1,1-∈x .收敛半径1=R .(2)令1=x ,则∑∞=+-==012)1(1arctan 4n n n π, 即∑∞=+-⋅==012)1(41arctan n nn π.(3)设交错级数∑∞=+-⋅012)1(4n n n 的余项为n r , 当mn n r -≤+≤10124时,有21104-⋅≥-m n ,故至少计算121104+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-m 项.练习[1](北京师范大学2004年)求x x x f arccos )(=的Maclaurin 级数,并计算)0()(n f.(提示:()()n n x n n x ∑∞=-+=-1!!2!!12111) [2](北京化工大学2005年)设⎰=xtdt t x f 0cos )(, 求)(x f 幂级数展开式,并求)0()2005(f .[3](南京大学2001年)求212arctan)(xxx f -=在0=x 处的幂级数展开式,并计算∑∞=+-=012)1(n n n S 的值.(提示: x x x arctan 212arctan 2=-) [4](复旦大学2002年)将⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x e dx d x 1展成x 的幂级数,并由此求数项级数∑∞=+1)!1(n n n 的和. [5](山东科技大学2006年)将)3ln(x +展成x 的幂级数,给出收敛域并由此计算∑∞=-1)1(n nn 的值.。
同济高数第十一章
• 函数与极限 • 导数与微分 • 导数的应用 • 不定积分 概念
函数定义
函数是数学上的一个概念，它是 一种特殊的映射关系，将一个集 合的元素按照某种规则映射到另 一个集合的元素。
函数的表示方法
函数的表示方法有多种，包括解 析法、表格法和图象法等，其中 解析法是用数学表达式来表示函 数关系。
函数的单调性与极值
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某个区间内的 增减性。如果函数在某个区间内单调递 增，则该函数在该区间内的导数大于等 于零；如果函数在某个区间内单调递减 ，则该函数在该区间内的导数小于等于 零。
VS
函数的极值
函数的极值是指函数在某个点的值大于或 小于其邻近点的值。如果函数在某个点的 左侧导数大于零，右侧导数小于零，则该 点为函数的极大值；如果函数在某个点的 左侧导数小于零，右侧导数大于零，则该 点为函数的极小值。
03
导数的应用
中值定理与洛必达法则
中值定理
中值定理是导数应用中的一个重要定理，它指出如果函数在闭区间上连续，开区间上可导，则在开区 间内至少存在一点，使得该点的导数等于函数在区间端点处的函数值之差除以区间的长度。这个定理 在研究函数的性质和解决某些问题时非常有用。
洛必达法则
洛必达法则是求极限的一种重要方法，特别是处理分式函数的极限问题。如果一个分式函数的极限为 零，并且分子和分母的导数都存在且分母的导数不为零，则可以将分子和分母分别求导后再求极限， 这个法则称为洛必达法则。
导数的计算
总结词
导数的计算是理解导数概念和运用其解决问题的基础。
详细描述
通过求导公式、链式法则、乘积法则和商的求导法则等，可以计算给定函数的导数。掌握导数的计算方法对于理 解函数的性质、研究函数的极值和优化问题等具有重要意义。
高等数学同济六版第十一章11-2
思考题
收敛, 收敛? 设正项级数∑ un 收敛, 能否推得 ∑ un 收敛?
2 n =1 n =1 ∞ ∞
反之是否成立? 反之是否成立?
思考题解答
收敛， 收敛, 由正项级数 ∑ un 收敛，可以推得 ∑ un 收敛
2 ∞ ∞ n =1 n =1
n→ ∞
( 2) lim un = lim = 0,
它是收敛的。 ∴ 它是收敛的。
1 n n→ ∞
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定 理 若
∞ ∞
∑u
n=1
n
收 ,则 敛
∑u 收敛.
n=1 n
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 且 v n ≤ un , ∴ ∑ v n收敛 , 显然 v n ≥ 0,
∞ ∞
∑
∞
∑
∞
∑ vn 收敛,则 ∑ un 收敛; n =1
n =1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l un l ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2
且 sn = u1 + u2 + L + un ≤ v1 + v2 + L + vn ≤ σ ,
n =1
n=1
∞
n=1
即部分和数列有界
高数同济六版课件D123幂级数
当$x_0=0$时，泰勒级数称为麦克劳林级数，形如 $sum_{n=0}^{infty} frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$。
几何级数
形如$sum_{n=0}^{infty} a cdot q^n$的级数称为几何级数，当 $|q|<1$时收敛于$frac{a}{1-q}$。
泰勒级数应用
泰勒级数在数学、物理和 工程等领域有广泛应用， 如求解微分方程、计算函 数的近似值等。
麦克劳林级数展开式
麦克劳林级数定义
01
麦克劳林级数是泰勒级数在展开点为零时的特例，也称为麦克
劳林展开式。
麦克劳林级数展开条件
02
与泰勒级数展开条件相同，需要函数在零点附近具有任意阶导
数，并且这些导数在零点处取值有限。
实际应用举例
计算圆周率
求解微分方程
利用泰勒级数或麦克劳林级数展开式，可 以计算出圆周率的近似值。
幂级数方法可以用于求解微分方程，通过 将微分方程转化为幂级数形式，可以方便 地求解出微分方程的解。
信号处理
其他领域
在信号处理中，幂级数方法可以用于信号 的滤波、压缩和重构等操作。
幂级数方法还广泛应用于计算机图形学、金 融数学、统计学等其他领域。
1 2 3
积分变换求解微分方程原理
通过积分变换将微分方程转化为代数方程进行求 解。
幂级数在积分变换中作用
利用幂级数的展开式，可以将复杂的函数进行简 化处理，从而更容易地应用积分变换求解微分方 程。
实际应用举例
例如，在求解热传导方程、波动方程等物理问题 时，可以利用幂级数和积分变换相结合的方法进 行有效求解。
x_0)^n$，其中$a_n$是常数，$x_0$是给定实数。
高数同济六版课件D11总复习
f(x,y)ds bf(x,(x)) 12(x)dx
L
a
• 对光滑曲线弧 L :r r ()( ),
L f (x, y)ds f(r()c o,rs ()sin ) r2()r2()d
目录 上页 下页 返回 结束
（二）、 对坐标的曲线积分
总复习
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
目录 上页 下页 返回 结束
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 第二类
( (
对弧长 对坐标
) )
转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
2、性质: P d y d z Q d z d x R d x d y P d y d z Q d zd x R d x d y
目录 上页 下页 返回 结束
3、计算法
定理: 设光滑曲面 :z z (x ,y ),(x ,y ) D x y
R(x,y,z)是 上的连续函数, 则
Q [(t),(t), (t)](t)
R [( t),( t), ( t)] (t)dt
目录 上页 下页 返回 结束
4、两类曲线积分的联系
LPdxQdy L P c o Q sc od s
PdxQdy R d zP c o Q s c o R s co d s s
Q(x,y,z)dzdxD zxQ(x,y(z,x),z)dzdx
(右正左负)
目录 上页 下页 返回 结束
4、两类曲面积分的联系
同济大学高等数学第六版下册第十一章傅立叶级数
4
sin t ,
1
sin 3t , sin 5t , sin 7 t , 4 3 4 5 4 7
1
1
4 u sin t
4 1 u (sin t sin 3t ) 3
4 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
f ( t ) A0 An sin( nt n )
n1 n1
谐波分析
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt )
a0 令 A0 , an An sin n , bn An cos n , t x , 2
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交 : 任意两个不同函数在 [ , ]上的积分等于零.
cos nxdx 0,
试求其Fourier级数的和函数
3 s( x )在 x , ,10各点处的值 2
解
s( x )是以2为周期的函数
f ( x )在整个数轴上连续 ，
其Fourier级数处处收敛于f ( x )本身
s( ) 0
3 s( ) s( 2 ) s( ) 2 4 2 2
n1
1 bn f ( x ) sin nxdx 傅里叶系数
( n 1,2,3,)
1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) b 1 n f ( x ) sin nxdx, (n 1,2,)
同济大学《高等数学》第六版：D11_习题课PPT共35页
同济大学《高等数学》第六版：D11_ 习题课
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
高等数学 第十一章 电子课件
第一节
概率论
一、随机事件
（一）随机事件的概念
引例1 如果问“苹果从树上脱落，会往地上落吗？”，答案是“会”． 引例2 如果问“掷一枚骰子，能否出现7点？”，答案是“不能”． 引例3 抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上， 且事先无法确定抛掷的结果是什么． 引例4 在400 m短跑比赛前，运动员需通过抽签决定自己所在的跑道，且每 次抽签前都无法预测自己会在哪条跑道．
（二）概率的古典定义
在某些情况下，随机试验具有以下特征． 有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． 具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率 模型称为古典概率模型，简称古典概型，也称等可能概型．
（二）概率的古典定义
定义 3 对于古典概型，设试验含有 n 个基本事件，若事件 A 包含 m 个基本事件，则事件 A
第十一章
概率统计基础
导学
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的重要工具，其应用已 遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各领域，因 此掌握一定的概率统计知识十分必要．
本章主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的期 望与方差，数理统计的基础知识，参数估计，假设检验及回归分析．
随机试验的一切可能结果所组成的集合称为样本空间，记作 ．随机试验的每
一个可能结果称为样本点，样本空间就是全体样本点的集合．
（一）随机事件的概念
定义1 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件，简称事件．它通常用大写 英文字母A, B, C… 表示．
随机事件可分为基本事件和复合事件． 基本事件：在随机试验中，不可再分解的事件． 复合事件：在随机试验中，由若干个基本事件组合而成的事件．
高等数学同济六版第十一章课件
1
B(1,1)
= 0.
在 AB 上, x = 1, y 从 0 变到1 ,
A(1,0)
∫AB 2xydx + x dy = ∫0 (2y⋅ 0 +1)dy = 1.
2
1
∴原式= 0+ 1= 1. +
问题：被积函数相同，起点和终点也相同， 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同而积分结果相同. 路径不同而积分结果相同
类似地
n
∫
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫ A( x, y, z)dr
Γ
A( x, y, z) = P( x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k
5.性质 性质
(1) ∫ [αF ( x, y) + β F2 ( x, y)]dr 1
L
= α∫ F ( x, y)dr + β ∫ F2 ( x, y)dr . 1
+
Q[ϕ ( t ),ψ ( t )]
β
ψ ′( t ) ϕ ′2 (t ) + ψ ′2 (t )
} ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt
= ∫ { P [ϕ ( t ),ψ ( t )]ϕ ′( t ) + Q [ϕ ( t ),ψ ( t )]ψ ′( t )}d t
α
即 ∫ Pdx + Qdy =∫ (P cosα + Qcos β )ds
2 2
0 π
B(−a,0)
A(a,0)
4 3 = a ∫ (1 − cos θ )d(cosθ ) = − a . 0 3
同济大学《高等数学》第六版：D11_3格林公式共36页PPT
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
36
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
同济大学《高等数学》第六版：D11_3格 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 林公式
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
Байду номын сангаас
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
高等数学(下册)第十一章
第二节 第二类曲线积分
•性质
(1) Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
L
L1
L2
(L L1 L2 )
(2)L k(Pdx Qdy) k L Pdx Qdy
(3) P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
注 :定积分、二重积分、三重积分的积分域
方程不能代入到被积函数中.而曲线、曲面
的积分，积分域方程可代入到被积函数中.
例 求 xyds : (1)OAB;(2)OB : y x; L
(3)OMB : y x2.
解 (1) xyds xyds 1 ydy 1
OA
AB
0
记作
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
M ykk B
Mxkk1
A
x
第二节 第二类曲线积分
定义 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
n
极限
lim
0
P(k
k 记1 作
, k )xk Q(k
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : ,类似有
z (t)
P
[
(t),
(t)
,
(t)]
(t
)
(t)
(t )
第二节 第二类曲线积分
例 求L xydx ydy,
2π a2 k 2 (3a2 4π 2k 2 ) 3
高等数学下第十一章第八节-PPT课件
1l n x f( x ) cos dx , n 0 , 1 , 2 , … , 其中 a n l l l 1l n x b f( x ) sin dx , n 1 , 2 , … 。 n l l l x , 显然 l x l z ； 证 作变量代换 z l lz 设 f( x )f( ) ˆF ( z ) , 则F(z)以2 为周期且满足收敛
2
n x f ( x 0 ) f ( x 0 ) b sin , n 2 2 n 1
nx bn sin , 但此级数不一定收敛于f(x)。 2 n1
1 例3 已 x 知 a cos n x ,x [ 0 , 1 ], 求 a . n n 2n 1 解 实际上是求 f(x) x 在[0, 1]上的余弦级数的系数。
解 f(x)满足收敛定理的条件，l 2。
10 12 a 0 dx kdx k . 0 2 2 20 12 n x a k cosdx 0 , n 0 2 2
n 1 ,2 1 n x k b k sin dx ( 1 cos n ) n 0 2 2 n
定理的条件，可展成傅里叶级数：
a F ( z 0) F ( z 0 ) 0 ( a cos nz b sin nz ) . n n 2 2 n 1
注意到F(z 0) f(x 0)，得 a n x n xf ( x 0) f ( x 0 ) 0 ( a cos b sin ) , n n 2 l l 2 n 1
其中系数
l 1 1 n x a F ( z ) cos nzdz f ( x ) cos dx , n l l l
高数(同济第六版)第十一章总结
第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）1、 体现的是“对弧长”的积分，∫f(x,y)ds L[其中L 为光滑连续的一段或分段曲线]，依然用黎曼积分法得出。
2、 积分算法的主线是将对弧长s 的积分化成对t ，x 或其他一个变量的积分：①有参数方程 x =φ(t)y =ϕ(t)ds =√φ′2(t )+ϕ′2(t)dx (a ≤t ≤b )则化为∫f(x,y)ds L =∫f(φ(t),ϕ(t))√φ′2(t )+ϕ′2(t)dt ba 极坐标形式中ds =√r 2(θ)+r ′2(θ)dθ②有显方程y=f(x)，则有ds =√1+f ′2(x)dx第二节 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）1、有F (ξ,η)=P (ξ,η)i +Q(ξ,η)j , dr =dxi +dyj ，则有积分∫Fdr =L ∫Pdx L+ Qdy （有向量的存在，则必然有方向问题）2、对第二类曲线积分的算法，中心也是要把对x ，y 的积分化为t ，x 等一个变量的积分3、两类积分的关系：某点处的方向向量e l =（cosα，cosβ）则有∫Pdx L + Qdy =∫(Pcosα+Qcosβ)ds L第三节 格林公式1、 描述的是曲线积分与二重积分的关系（有图示）:12“正向规定”，围成的复连通区域为D②格林公式的形式：∮Pdx L 1+L 2+ Qdy =∬(∂Q ∂y −∂P∂x )dxdy D③Green 公式成立所满足的条件：区域D 由分段光滑的曲线围成；P 、Q 在D 上有一阶连续偏导2、平面积分与路径无关：∮Pdx L+ Qdy =0，则 ①∂Q ∂y =∂P ∂x ②必有某个函数μ(x,y)使得dμ=Pdx +Qdy。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.和函数:
在 收 敛 域 上 , 函 数 项 级 数 的 和 是 x 的 函 数 s ( x ),
称 s ( x ) 为 函 数 项 级 数 的 和 函 数 .
s ( x ) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) (定义域是?)
幂级数
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设u1(x),u2(x), ,un(x), 是定义在I R上的函
数,则 un(x) u1(x) u2(x) un(x)
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
例如 级 x n1 数 xx 2 ,
n 0
2.收敛点与收敛域:
如 果 x 0 I , 数 项 级 数 u n (x 0 )收 敛 , n 1 则 称 x 0为 级 数u n(x)的 收 敛 点 , n 1 函 数 项 级 数 u n ( x ) 的 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 收 敛 域 , n 1
n0
lim
n
an1 x n1 an xn
lim an1 n an
x x,
(1) 如l果 im an1(0)存,在
a n n
由比值审敛法,
当|
x
|
1
时,级数|anxn|收敛 ,
n0
从而 级 anxn绝 数收 对 .敛
n0
当| x | 1时,
级数 |anxn|发散 ,
n0
并且从某n开 个始|a n 1 x n 1 | |a n x n ||,anxn|0
n 0
当x1时 ,收;敛当x1时,发;散
收敛(1域 ,1); 发( 散 , 1 ] 域 [1 ,) ;
定理1 (Abel定理)
如 果 级 数 anxn在 xx0(x00)处 收 敛 ,则
n0
它 在 满 足 不 等 式xx0的 一 切 x处 绝 对 收 敛 ;
如 果 级 数 anxn在xx0处 发 散 ,则 它 在 满 足
n 0
收敛半R径 0.
定理证毕.
① 若 a n x n 在 x0 处收敛 则 R| x0| n1
② 若 a n x n 在 x0 处发散 则 R| x0| n1
③ 若 a n x n 在 x0 处条件收敛 则 R| x0|
n1
这是幂级数收敛的特性
注 利用该定理求收敛半径要求所有的 an 0
n0
不 等 式xx0的 一 切 x处 发 散 .
证明 (1) anx0n收敛 , ln i m anx0n0, n0 M, 使 a n x 得 0 n M (n 0 ,1 ,2 , )
anxn
anx0n
xn x0n
n
an x0n
x x0
M
n
x x0
当 x
1时,
等比级 数 Mx
n
收敛 ,
x0
n0 x0
R, 收 敛 区 间 ( , ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理2 如果幂级数 anxn的所有系数an 0,
设lim an1 n an
n0
(或 ln i m nan)
(1) 则当0时,R1; (2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 ,R 0 .
证明 对级 数anxn应用达朗贝尔判别
函数项级数的部分和 sn ( x), 余项 r n (x ) s(x ) sn (x )
ln im sn(x)s(x)
ln i m rn(x)0 (x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
例 1 求 级 数(1)n( 1 )n的 收 敛 域 . n1 n 1x
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
(R,R), 称为幂级数的收敛区间，
收敛域 = 收敛区间 + 收敛的端点
可能是 (R,R),[R,R),(R,R], [R,R].
规定 ( 1 ) 幂 级 数 只 在 x 0 处 收 敛 ,
R0, 收 敛 区 间 x 0 ; ( 2 ) 幂 级 数 对 一 切 x 都 收 敛 ,
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以
anxn收敛, 即级数anxn收敛 ;
n0
n0
(2)假设 xx0 当 时发 , 散
而有一点x1适合x1 x0 使级数收敛, 由(1)结论 则 级 数 当 xx0时 应 收 敛 ,
这 与 所 设 矛 盾 .
几何说明
收敛区域
发散区域 R
这是幂级数收敛的特性
级数
(1)n
收敛;
n1 n
当x2时, 级数 1
n1 n
发散;
故级数的收 ( ,敛 2) 域 [0,为 ).
二、幂级数及其收敛性
1.定义:形 如an(xx0)n的 级 数 称 为 幂 级 数 .
n0
当x00时, anxn, 其 中 a n 为 幂 级 数 系 数 .
n0
2.收敛性:
例如 级 xn1 数 xx2 ,
o
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 anxn不是仅在x0一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数R存在,它具有下列性质:
当 x R 时 , 幂 级 数 绝 对 收 敛 ;
当 xR 时 ,幂 级 数 发 散 ;
当 xR与 xR时 ,幂 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
解 由达朗贝尔判别法
un1( x ) un ( x )
n 1 n1 1 x
1 (n) 1x
(1) 当 1 1, 1x1,
1 x 即 x0 或 x 2 时 , 原级数绝对收敛.
(2) 当 1 1, 1x1, 1x
即 2x0时 , 原级数发散.
(3)当 |1x|1 , x 0 或 x 2 ,
当x0时,
或只有有限个 an 0
例2 求下列幂级数的收敛区间:
(1) (1)n xn;
n1
n
(2) (nx)n;
n1
(3) x n ;
n1 n!
(4)
(1)n
2n(x1)n.
n1
解 (1 ) liman1 lim n 1 R1 n an n n 1
当x1时, 级数为 (1)n, 当x1时, 级数n为 1 n1,
从而 级 anx数 n发.散
n0
(2) 如果 0, x0,
有an1xn1
anxn
0(n),
级
数|anxn|收
n0
敛 ,
从而 级 anxn绝 数收 对.敛 收敛半 R径 ;
n0
(3) 如果 ,
x0, 级数 anxn必发. 散
n0
(否则 1 知 由 将 x 0 定 使 有 |a n 理 x n |收 点 ) 敛