高等数学下册复习提纲

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大一高数下册知识点框架

大一高数下册知识点框架在大一的高等数学下册中，学生们将进一步学习和掌握一系列高数的重要知识点。

本文将为您提供大一高数下册的知识点框架，以便于您对该学期的学习内容有一个全面的了解。

一、多元函数及其极限1. 二元函数的概念与表示2. 二元函数的极限与连续性3. 多元函数的极限与连续性4. 二元函数的偏导数与全微分二、多元函数的微分学1. 多元函数的偏导数与全微分的概念2. 多元函数的微分法则与高阶偏导数3. 隐函数与参数方程的求导4. 多元函数的泰勒展开式三、多元函数的积分学1. 重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的计算方法4. 曲线与曲面的面积四、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念与运算2. 空间直线与平面的方程3. 空间曲线的参数方程与切向量4. 空间曲面的方程与切平面五、微分方程1. 常微分方程的基本概念与解法2. 一阶线性微分方程及其应用3. 高阶线性常微分方程及其应用4. 非齐次线性微分方程的常数变易法六、级数1. 数项级数的概念与性质2. 收敛级数的判定方法3. 幂级数的收敛半径与收敛域4. 泰勒级数与函数的展开七、常微分方程初步1. 常微分方程的基本概念与解法2. 可化为常微分方程的高阶微分方程3. 高阶线性微分方程的常数变易法4. 常微分方程的应用问题八、多元函数微分学应用1. 多元函数的条件极值与最值2. 线性规划与凸集3. 多元函数在工程与物理问题中的应用4. 二重积分在平面图形中的应用九、场论初步1. 初等矢量场2. 偏导数与梯度3. 散度与旋度4. 基本定理与应用以上为大一高数下册的知识点框架，希望对您的学习有所帮助。

通过系统地学习这些知识点，并进行大量的练习与应用，相信您将能够顺利掌握高等数学下册的内容，并取得优异的成绩。

祝您学业进步！。

高等数学下册考试提纲

高等数学下册考试提纲第一篇：高等数学下册考试提纲高等数学下册考试提纲一、二元函数求极限二、求向量投影，已知一定条件求平面方程三、求方向导数最大值（梯度的模），隐函数求一阶偏导，多元抽象复合函数求二阶偏导四、二元分段函数在分界点连续，偏导数、可微性判断五、交换二重积分次序；二重积分在直角坐标计算六、三重积分计算（球面坐标）七、第一类曲线积分计算；第二类曲线积分计算（利用曲线积分与路径无关或格林公式）八、第一类曲面积分计算；第二类曲面积分计算（利用高斯公式）九、求数项级数的和；求幂级数的收敛域与和函数十、数项级数敛散性判断；利用比较法证明数项级数收敛十一、利用条件极值求最大、最小值在几何上的应用题第二篇：《高等数学》考试大纲《高等数学》考试大纲――各专业（工科及管理类专业）适用1.极限与连续数列极限和函数极限的概念和性质，函数的左、右极限概念，无穷小的概念及性质，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在准则与两个重要极限，利用存在准则1及两个重要极限求极限。

函数连续的概念及运算，函数间断点及其分类，初等函数的连续性，利用初等函数的连续性求极限，闭区间上连续函数的性质。

2.导数与微分导数的概念，几何意义，可导与连续的关系，基本初等函数的导数公式，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则，隐函数的求导方法，对数求导法，高阶导数及其计算。

微分的概念，微分基本公式，微分运算法则，微分形式不变性，微分的计算。

3.中值定理及其导数应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，利用洛必塔（罗彼塔）法则求极限。

函数单调性的判别法，函数单调区间的求法及利用单调性证明不等式，函数取极值的判别法及极值求法，函数最大值与最小值的求法，最值应用。

曲线的凹（上凹）、凸（下凹）的判别法，曲线凹（上凹）、凸（下凹）区间及拐点的求法。

4.不定积分原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的第一、第二换元积分法，分部积分法，简单有理函数及无理函数的不定积分求法。

2023年高考数学复习提纲及大纲(最新最全)

2023年高考数学复习提纲及大纲(最新最全)复提纲1. 函数- 函数的概念及分类- 函数的性质及其图像- 常见函数及其性质2. 数列- 数列的概念及其分类- 数列的通项公式及前n项和公式- 常见数列及其性质3. 三角函数- 三角函数的概念及其关系式- 常见三角函数的性质- 解三角函数的基本方程4. 平面向量- 向量的概念及其运算- 向量的线性运算及应用- 向量共线、垂直及夹角的判定5. 解析几何- 二维平面直角坐标系、极坐标系及其应用- 空间直角坐标系及其应用- 点、直线、圆、锥面、曲面及其方程大纲1. 函数与导数1.1 函数的概念与性质1.2 常见函数及其变换1.3 导数概念及其计算法1.4 函数的极值与最值1.5 函数的单调性及曲线的凹凸性2. 不等式组与线性规划2.1 一元一次不等式及其解法2.2 多元一次不等式组及其解法2.3 线性规划基本概念及其解法3. 数列与数学归纳法3.1 数列的概念及性质3.2 等差数列、等比数列及其应用3.3 数学归纳法的原理及应用4. 三角函数4.1 角度及弧度制与三角函数关系4.2 常见三角函数及其性质4.3 三角函数的图像及其变换4.4 解三角形的基本原理及解法5. 平面向量5.1 向量的概念及其运算5.2 向量的线性运算及应用5.3 向量的共线、垂直、平行及夹角的判定6. 解析几何6.1 二维平面直角坐标系、极坐标系及其应用6.2 空间直角坐标系及其应用6.3 几何图形的基本性质及其坐标表示7. 概率论基础7.1 随机事件与概率的概念7.2 基本概型及其计算7.3 条件概率及乘法公式7.4 全概率公式及贝叶斯公式8. 统计与统计图8.1 样本与总体的概念及其统计量8.2 常见统计图及其应用8.3 正态分布及其应用。

高等数学-下期末复习提纲 PPT课件

由 fx 2x 2y 0, f y 2x 2 0得唯一驻点 (1, 1) ,且 f (1, 1) 1. 又D的边界包含四条直线段 L1, L2 , L3, L4.
易得最大值、最小值分别为 f (3, 0) 9, f (0, 0) 0 .
第四章多元函数积分学
重点二重积分计算(直角系与极坐标)、三重积分计算 (直角系、柱坐标系、球坐标系)、利用三重积分求物体体积与质量.
再见！
x0
ln(
y

x)

y 1
y 1
x

ln(1

0)

1
1 02
1.
例8、设
z

4x3

3x2
y

3xy 2

x

y
,
求
2z x2
,
2z .
yx
解 z 12x2 6xy 3y 2 1,
x
z 3x2 6xy 1;
例7、求下列函数的极限
(1)
lim (x2
x0

y2
)sin
x2
1
y2
;
y0
解
lim( x 2
x0

y2 ) sin
x2
1
y2
lim u sin 1
u0
u
0,
其中u
=
x2

y2；
y0

(2) limln( y x)
y
.
xy01
1 x2
解

lim
与球面
所围立体.

高等数学复习提纲同济大学下册

高等数学复习提纲一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题二、知识点 1．平面及其方程。

例题：一平面过点(1? 0? ?1)且平行于向量a ?(2? 1? 1)和b ?(1? ?1? 0)? 试求这平面方程?解所求平面的法线向量可取为k j i kj i b a n 3011112-+=-=⨯=?所求平面的方程为(x ?1)?(y ?0)?3(z ?1)?0? 即x ?y ?3z ?4?0?2．空间直线及其方程。

例题：求过点(2? 0? ?3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程?解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量? 即k j i kj i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=?所平面的方程为?16(x ?2)?14(y ?0)?11(z ?3)?0? 即 16x ?14y ?11z ?65?0?例题：求过点(3? 1? ?2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程?解所求平面的法线向量与直线12354zy x =+=-的方向向量s 1?(5? 2?1)垂直? 因为点(3? 1? ?2)和(4? ?3? 0)都在所求的平面上? 所以所求平面的法线向量与向量s 2?(4? ?3? 0)?(3? 1? ?2)?(1? ?4? 2)也是垂直的? 因此所求平面的法线向量可取为k j i kj i s s n 229824112521--=-=⨯=?所求平面的方程为8(x ?3)?9(y ?1)?22(z ?2)?0? 即 8x ?9y ?22z ?59?0?3．旋转曲面。

例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 2?5x 绕x 轴旋转一周? 求所生成的旋转曲面的方程? 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2?z 2?5x ?例题：将zOx 坐标面上的圆x 2?z 2?9绕z 轴旋转一周? 求所生成的旋转曲面的方程?解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2?y 2?z 2?9?4. 多元复合函数求导，隐函数求导。

高数下册复习提纲

第7章：微分方程一、微分方程的相关概念1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解.3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式：dx x f dy y g )()(=.(2). 方程的解法：分离变量法(3). 求解步骤①. 分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式；②. 两端积分：⎰⎰=dx x f dy y g )()(，得隐式通解C x F y G +=)()(；③. 将隐函数显化. 2. 齐次方程及其解法 (1).方程的形式：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ. (2).方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤①．引进新变量x y u=，有ux y =及dxdux u dx dy +=； ②．代入原方程得：)(u dxdux u ϕ=+；③．分离变量后求解，即解方程xdxu u du =-)(ϕ；④．变量还原，即再用xy代替u . 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1).方程的形式：)()(x Q y x P dxdy=+. 一阶齐次线性微分方程:0)(=+y x P dxdy.一阶非齐次线性微分方程:0)()(≠=+x Q y x P dxdy. (2).一阶齐次线性微分方程0)(=+y x P dxdy的解法: 分离变量法. 通解为⎰-=x d x P Ce y )(,(R C ∈).(公式)(3).一阶非齐次线性微分方程0)()(≠=+x Q y x P dxdy的解法: 常数变易法. 对方程)()(x Q y x P dxdy=+，设⎰-=x d x P e x u y )()(为其通解，其中)(x u 为未知函数，从而有 ⎰---'=⎰x d x P x d x P e x P x u x u dxdy)()()()(e )(，代入原方程有 )()()()()(e)()()()(x Q e x u x P e x P x u x u x d x P x d x P xd x P =+-'⎰-⎰--⎰，整理得 ⎰='x d x P x Q x u )(e )()(，两端积分得 C dx e x Q x u x d x P +=⎰⎰)()()(，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解))(()()(C dx e x Q e y x d x P x d x P +=⎰⎰⎰-dx e x Q e Ce x d x P x d x P x d x P ⎰⎰⎰-⎰-+=)()()()(，(公式)即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解.三、可降阶的高阶微分方程1． )()(x f y n =型接连n 次积分，可得此方程的含有n 个相互独立的任意常数的通解． 2． ),(y x f y '=''型令p y ='，则dxdpy =''，代入原方程，并依次解两个一阶微分方程便可得此方程的通解． 3． ),(y y f y '=''型令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''，代入原方程，得到一阶微分方程),(p y f dydp p =．解此一阶微分方程，得到),(1C y p y ϕ=='，然后分离变量并积分便可得此方程的通解．第8章向量与解析几何222cos A C A θ=+⋅第9章多元函数微分法及其应用一、基本概念 1．多元函数（1）知道多元函数的定义n 元函数：),,,(21n x x x f y = （2）会求二元函数的定义域1°：分母不为0； 2°：真数大于0；3°：开偶次方数不小于0； 4°：u z arcsin =或u arccos 中||u ≤1 （3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限A y x f y y x x =→→),(lim 0这里动点),(y x 是沿任意路线趋于定点),(00y x 的．（1）理解二重极限的定义（2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；（3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性（1）理解定义：)()(lim 00P f P f P P =→．（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

高数复习大纲同济六版下册

高等数学下册复习提纲 (向量代数—>无穷级数)第一次课1、向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量的模: 向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行. 向量运算(向量积)； 1．向量的加法 2. 向量的减法3．向量与数的乘法设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )即 a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ,则 a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b = (a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )k =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ).λa =λ(a x i +a y j +a z k ) =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k =(λa x , λa y , λa z ). 向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r点A 与点B 间的距离为 →212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==向量的方向：向量a 与b 的夹角当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值. 类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ .数量积与投影:由于|b | cos θ =|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量 b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b .同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2.(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b 反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ⇔ a ·b =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示:设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有222222||||cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即 c = a ⨯b . 坐标表示:zy x z y x b b b a a a kj i b a =⨯=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . 向量的方向余弦:设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.||cos r x =α, ||cos r y=β, ||cos r z =γ. 从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα向量的投影向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴.任给向量r , 作→r =OM , 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '(点M '叫作点M 在u 轴上的投影), 则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量. 设→e λ='M O , 则数λ称为向量r 在u 轴上的投影, 记作Prj u r 或(r )u .按此定义, 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x , a y , a z 就是a 在三条坐标轴上的投影, 即a x =Prj x a , a y =Prj y a , a z =Prj z a . 投影的性质:性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)； (1)椭圆锥面由方程22222z by a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面. (2)椭球面由方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面称为椭球面.(3)单叶双曲面由方程1222222=-+cz b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面. (4)双叶双曲面由方程1222=--cz b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面.(5)椭圆抛物面由方程z by a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面 (6)双曲抛物面.由方程z b y a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 椭圆柱面12222=+b y a x ,双曲柱面122=-by a x , 抛物柱面ay x =2, .直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程空间直线L 可以看作是两个平面∏1和∏2的交线.如果两个相交平面∏1和∏2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0和A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0, 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组 ⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A .空间直线的对称式方程与参数方程方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.确定直线的条件: 当直线L 上一点M 0(x 0, y 0, x 0)和它的一方向向量s = (m , n , p )为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.直线方程的确定: 已知直线L 通过点M 0(x 0, y 0, x 0), 且直线的方向向量为s = (m , n , p ), 求直线L 的方程.设M (x , y , z )在直线L 上的任一点, 那么(x -x 0, y -y 0, z -z 0)//s , 从而有pz z n y y m x x 000-=-=-. 这就是直线L 的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 直线L 1和L 2的夹角ϕ可由 |) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ222222212121212121||p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=直线与平面的夹角设直线的方向向量s =(m , n , p ), 平面的法线向量为n =(A , B , C ), 直线与平面的夹角为ϕ , 那么|) , (2|^n s -=πϕ, 因此|) , cos(|sin ^n s =ϕ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 有222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ平面方程：点法式(法向量)、一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示 . Ax +By +Cz +D =0.其中x , y , z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标, 即 n =(A , B , C ). 提示:D =0, 平面过原点.n =(0, B , C ), 法线向量垂直于x 轴, 平面平行于x 轴. n =(A , 0, C ), 法线向量垂直于y 轴, 平面平行于y 轴. n =(A , B , 0), 法线向量垂直于z 轴, 平面平行于z 轴.n =(0, 0, C ), 法线向量垂直于x 轴和y 轴, 平面平行于xOy 平面. n =(A , 0, 0), 法线向量垂直于y 轴和z 轴, 平面平行于yOz 平面. n =(0, B , 0), 法线向量垂直于x 轴和z 轴, 平面平行于zOx 平面.截距式；平面夹角和距离两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.设平面∏1和∏2的法线向量分别为n 1=(A 1, B 1, C 1)和n 2=(A 2, B 2, C 2), 那么平面∏1和∏2的夹角θ 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角, 因此, |) ,cos(|cos 2^1n n =θ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 平面∏1和∏2的夹角θ 可由2222222121212121212^1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++==n n θ.来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论: 平面∏1和∏2垂直相当于A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2=0;平面∏ 1和∏ 2平行或重合相当于212121C C B B A A == 空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F空间曲线的参数方程（33）空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 切平面和切线：切线与法平面；设空间曲线Г的参数方程为),(),(),(t z t y t x ωφϕ=== 曲线在点),,(000z y x M 处的切线方程为)(00t x x ϕ'-=.)()(0000t z z t y y ωφ'-='- 向量 )}('),('),('{000t t t T ωφϕ=就是曲线Г在点M 处的一个切向量法平面的方程为0))(('))(('))( ('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφϕ切平面与法线隐式给出曲面方程((,,)0F x y z =)法向量为：)},,,(),,,(),,,({000000000z y x Fz z y x F z y x F n y x = 切平面的方程是))(,,())(,,())(,,(000000000000z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x -+-+-法线方程是.),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-),(y x z =在点),(00y x如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为 ,1cos 22yxx ff f ++-=α ,1c o s 22yxy ff f ++-=β.11cos 22yxff ++=γ2、多元函数微分学多元函数极限：简单复习讲解偏微分全微分：如果三元函数),,(z y x u φ=可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， du =x u ∂∂dx +y u ∂∂dy ＋zu ∂∂dz 第二次课3、重积分二重积分：利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题。

高数下知识点复习

高数下知识点复习一、导数与微分1.导数的定义导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数的定义为：$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$2.导数的性质导数具有如下的性质：(1) 导函数存在的充要条件是函数在该点可导。

(2) 导函数的值表示函数的斜率。

(3) 导函数具有线性性质，即对于常数a和b，有$(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$。

(4) 导函数的导数为二阶导数，记作$f''(x)$。

3.微分的定义与性质微分是导数的一种几何解释，表示函数在某一点附近的变化量。

微分的定义为：$$df(x) = f'(x)dx$$微分满足的性质包括：(1) $\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$(2) 微分的四则运算：若函数f(x)和g(x)可导，则$$d(f\pm g) = df \pm dg$$$$d(f \cdot g) = g(df) + f(dg)$$$$d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g(df) - f(dg)}{g^2}$$二、极限与连续1.数列极限数列极限是描述数列趋向某一值的概念。

数列的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数N，使得当$n>N$时，有$|a_n-L|<\varepsilon$。

2.函数极限函数极限是描述函数趋向某一值的概念。

函数的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$。

3.极限的性质极限具有如下的性质：(1) 唯一性：如果极限存在，则极限是唯一的。

高等数学复习提纲(第二学期)

dz z du z dv z dw 。 dt u dt v dt w dt
注意：一元函数的导数用 d ，多元函数的偏导数用。 4.3 设 z f (u , v), u ( x, y ), v ( x, y ), 则复合函数 z f (( x, y ), ( x, y )) 关于 x 和 y 的偏导数
6. 平面的“一般”方程：一般的， x, y, z 的一次方程 Ax By Cz D 0 表示平面，且 x, y, z 的系数所构成的向
量 n ( A, B, C ) 为所表示平面的法向量。
7. 直线的一般方程设平面 1 的方程为 A1 x B1 y C1 z D1 0 ，平面 2 的方程为 A2 x B2 y C2 z D2 0 ，如果两平面不平行，则交线方程为
2 2 ay az2 ，与 a 同方向的单位向量设向量 a (ax , a y , az ) R 3 ，则 a 的模 | a | ax
1 1 ea a (ax , a y , az ) 。 |a| |a|
2. 数量积 p14, 两向量之间的夹角 p16, 方向角，方向余弦
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )) 。
根据“点法式”， M 点处的切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0 。

a y az a a b a b x . bx by bz

高数下期末考试复习大纲

高数下期末考试复习大纲第8章1.掌握空间向量的基本概念及运算，会求单位向量、向量的方向角及方向余弦2.会求空间直线的向量方程与参数方程，空间曲线在某点处的切线方程与法平面方程3.会求平面方程及点法式方程，空间曲面在某点处的切平面方程与法平面方程4.理解空间曲面的一般方程，认识简单的旋转曲面方程（例如锥面等），会求柱面方程5.理解空间曲线的一般方程，理解空间曲线的向量方程及参数方程，认识常见的空间曲线的参数方程，例如螺旋线，直线。

第9章1.理解多元函数的定义域，值域的概念，弄清多元函数与一元函数定义域的区别，理解二元函数的等位线与三元函数的等位面。

2.掌握二元函数极限的概念，会求简单二元函数的极限，会利用双路径法判断二元函数在某点处的极限不存在。

3.理解二元函数的连续的概念。

4.理解多元函数的偏导数的定义及其几何意义，会求多元函数的偏导数及高阶偏导（不超过三阶），会求隐函数的偏导数，会利用树状图求复合函数的偏导数，会求二元函数的全微分。

5.弄清二元函数偏导数存在与连续的关系6. 会求多元函数的梯度与方向导数，了解方向导数与函数增长的关系，理解二元函数的梯度与等位线的关系。

7.会求二元函数的驻点及极值，会利用拉格朗日数乘法求二元函数的极值。

8.弄清极值的存在性与驻点的关系,认识马鞍面的鞍点第10章1.理解二重积分的背景,会利用二重积分表示平面状物体的质量及面积,会将二重积分化累次积分计算直角坐标系下二重积分.2.会计算简单的极坐标系下的二重积分.3. 理解三重积分的背景,会利用三重积分表示空间物体的质量及体积, 会将简单的三重积分化累次积分计算直角坐标系下三重积分.4.会利用二重积分计算平面状物体的质心与形心.第11章1.掌握两类曲线积分的背景及其表示形式,会求简单的两类曲线积分.2.会判断第二类曲线积分是否与路径无关,会计算积分与路径无关的第二类曲线积分.3.理解格林公式的含义.4.会表示曲线状物体的质量及变力沿曲线做功.6.掌握两类曲面积分的背景及其表示形式,会利用公式将第一类曲面积分化为二重积分.会用向量表示有向曲面的侧.7.了解高斯公式与斯托克斯公式第12章1.理解级数收敛与发散的定义, 会利用第n项判别法判断级数的发散.会求简单级数的和(等比级数,叠项级数),认识P-级数及掌握P-级数收敛与发散的条件.2.会利用比较(极限形式),比值,根值判别法判断正项级数的敛散性.3.会利用莱布尼茨判别法判断交错级数的敛散性,理解绝对收敛与条件收敛.4.会求幂级数的收敛域与收敛区间,了解幂级数的和函数的概念.5.会利用公式将函数展开成幂级数,了解泰勒级数.6.了解傅里叶级数的概念及其收敛性，了解傅里叶正弦级数和余弦级数.。

「高数高等数学下册复习提纲」

高等数学下册复习提纲ﻫ第八章多元函数微分学ﻫ本章知识点本章知识点（按历年考试出现次数从高到低排列):ﻫ复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值-－-拉格朗日乘数法(☆☆☆☆）无条件极值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆) 隐函数(组）求导（☆☆☆) 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆) 方向导数、梯度计算（☆☆）重极限、累次极限计算（☆☆) 函数定义域求法(☆)1. 多元复合函数高阶导数∂z ∂２z 及. ∂x ∂y∂x例设z= ｆ(ｓin x, ｃos y, ex+ y）, 其中 f 具有二阶连续偏导数，求解ﻫ∂ｚ= ｆ1′ ⋅ｃos ｘ + f 3′⋅ｅｘ＋ y , ∂ｘﻫ∂２z ∂2z ′′′′′′′′= ＝［ｆ１2 ⋅ (−sin y ) +f 13 ⋅ e x + y ］ cｏs x + e x + y f 3′ + [ f 32 ⋅ (− sin y ) ＋ f 33 ⋅ e x + y ］e x＋y ∂y∂ｘ∂x∂yﻫ析1)明确函数的结构(树形图)ﻫｚﻫu v wx+yx ｙx yﻫ，那么复合之后z 是关于x, y 的二元函数．根据结构ﻫ这里u＝sin x, v =cos y, ｗ＝eﻫ图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，按线相乘，“ 分线相加” . ２) f 1′, f 3′ 是f 1′(sin x, cos y, e相同,仍然是sｉn x，cos y , ex＋ｙx+ yﻫ）, f 3′(siｎｘ,cｏs y, ｅx + y ) 的简写形式，它们与ｚ的结构的函数.所以f 1′对y 求导数为ﻫ１∂f1′′′ ′′ ＝f12 ⋅(−sｉn ｙ) + f 13 ⋅ e x + y .∂ｙ所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏.ﻫ∂２z ∂２z ∂２z ∂2z 3)f 具有二阶连续偏导数，从而连续，所以. , =∂ｙ∂x∂x∂y ∂y∂x ∂x∂ｙﻫy2 ∂2z ），其中f 具有二阶连续偏导数,求2 . 练 1. 设ｚ= ｘf ( 2 x, x ∂xﻫ２ﻫ２．设z = f (2x −y ) + g (e sｉn ｙ, x+ y ) 其中ｆ二阶可导，g具有二阶连续偏导数，ﻫx 2 2ﻫ求∂2z . ∂x∂yﻫ2. 多元函数极值ﻫ例1．求函数f （x , y ) ＝e x −y ( x ２− 2 y 2 ）的极值. 解(1)求驻点.由ﻫｆx（x,y )＝e x−ｙ ( x 2 −２y ２）+ 2 xe x− y = 0, ｘ−ｙ２２ｘ−y f ｙ ( x , y ) = −e ( ｘ− 2 y ) −４ｙｅ = 0 ﻫ得两个驻点(0 ,0) ，( −４, −２) , （2)求f ( x , y ）的二阶偏导数ﻫf xｘ( x ，y）= ｅx −ｙ ( x 2 − 2 y 2 ＋４x + ２) ，f xｙ( x ,y ) = ｅx−y (２y 2 −x 2 −２ｘ− 4 y ) ,ﻫf yy ( x ，y) = e x −y ( x 2 −2 y 2 ＋８ｙ−４) ，ﻫ（３)讨论驻点是否为极值点在(0 , ０）处，有Ａ＝2，B = ０, C=−4 ，ＡC−Ｂ = −8 <０,由极值的充分条件知２ﻫ(０, ０)不是极值点，ｆ(0 ，0)= 0 不是函数的极值；−2ﻫ，C=−12−在( −４，−2) 处,有A =−６ｅﻫ2ﻫ，Ｂ= 8eﻫｅ，ＡC− B = 8e2−2−4＞0，而Ａ< 0 ,由极值的充分条件知(−4 , −２) 为极大值点，f (−4 ，−2) = 8e −2 是函数的极大值.析1）这是二元函数无条件极值问题.2）解题步骤：第一步是求出驻点---一阶偏导数为零的点;第二步求目标函数的二阶导2ﻫ数；第三步求出驻点的判别式ＡC −B ，判断是否为极值点以及极大极小.22. 将正数12 分成三个正数x, y ，z 之和使得u = x 3 y 2 z 为最大．解:令F （x, ｙ, z ) = x y z+ λ ( x ＋y + z −１2），则3 2Fx = 3 x 2 y ２z ＋λ = 0, 3 Fｙ = 2 ｘ yz + λ = 0,3 ２Fz = x ｙ + λ＝ 0,ｘ＋ y + ｚ = 12.ﻫ解得唯一驻点(6，4,２) ,故最大值为ｕmａx = 6 ⋅ 4 ⋅２＝2ﻫ析1）题目是为了熟悉条件极值的求法-－-拉格朗日乘数法. 6912．ﻫ3这里拉格朗日函数也可写成ﻫF ( x, y,ｚ) = 3ｌｎx + 2 ln y + ln ｚ+ λ ( x ＋y+ｚ− 12) ．2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式x x x y y + + + + ＋z x x ｘｙｙx ３ｙ２z= 27 ⋅⋅⋅⋅ 4 ⋅⋅⋅ｚ≤ 2７⋅ 4 3 3 3 ２ 2 3 ３ 3 22 ６ﻫ= ２7 ⋅ 4 ⋅ 2 ６＝69１2 .方法较为简单,但没有拉格朗日乘数具有一般性.3．求函数z =x 2+ y 2在圆( x−6２)２+ (y −２ ) 2 ≤９上的最大值与最小值.解先求函数在圆内部可能的极值点.令z x＝2ｘ= 0,zｙ＝ 2y = 0解得点(0，0）,而z （0,０) ＝0. 再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数Ｆ(x, y ) =ｘ2+ y 2 + λ［(x−2 ) ２＋( y −２) ２−９] ，ﻫFx ＝2 x + 2λ ( x − 2 ) = 0, Fｙ = 2 ｙ＋２λ ( y −２）= 0, 2 2(x − 2 ) + （ y − 2 ) = 9.52２２５２５ 2 2 ２, ）,（− ,− ) ，而2解之得（ﻫ5ｚ( , ）＝２５,z (− ,− ) = １. 2２2２2 2 2２ﻫ3比较z （0，0）, z (ﻫ５２５2 2 2, )，z (−,−) 三值可知, 在圆( x −２ ) 2 + ( ｙ− 2 ） 2 ≤ 9 ２ 2 2 2上函数最大值为z ＝25,最小值为z= 0.析1)在闭域上求函数最值只需找出在开区域和边界上的可疑点,最后比较函数值即可.而不需要判断是否为极值点．2）在求方程组的解时，要注意方程的对称性,必要时也可做换元处理,以简化计算．3) 本题在边界上的最值也可考虑写出圆周的参数方程, 将问题转化为一元函数的最值问题. 练１．求ｆ（x，y）= x 3 ＋3xy２−1５ｘ−１2 y 的极值. 2．证明函数f( x, y ) =(1 + e y ) ｃｏｓｘ− ye y 有无穷多个极大值，但无极小值.ﻫ3. 在椭球面ﻫx２y 2 ｚ2 + ＋= 1的第一卦限求一点, 使该点的且平面与三坐标面围成的四a2 ｂ2 c2面体的体积最小.2 4.求抛物线y= x 与直线x− y − 2 −0之间的距离．3. 偏导数的几何应用偏导数的几何应用的几何例 1. 求曲面x 2 ＋2y２+ ３z ２= ２1平行于平面x + 4 y + 6 z ＝0 的切平面方程.解令F( x，y , z ) = ｘ2 + 2 y 2 + 3 z 2 −2１，曲面在点( x,y, z )处的法向量为r n = ( Fｘ, Fy , Fｚ）= （2 x,4 y,６z ),已知平面的法向量为ｎ1 ＝(1,4,6) ,而切平面与已知平面平行,所以n // n1,从而有ﻫrﻫrrﻫ2x ４y ６z = ＝，1 ４6ﻫ又因为点在切面上，应满足曲面方程ﻫ(1)ｘ２+ 2 y 2 + ３z 2= 21ﻫ（1)、（2）联立解得切点为(１,2，2）及(−１，−2,−２) ，所以所求切平面方程为:（2)ﻫ（x− 1）+ ４( y − 2) ＋ 6（ z − 2）＝ 0 ,或（ｘ+ 1) + 4(y +２）+6（z+ 2) = ０.4ﻫ析ﻫ1)由于已经给出平面的法向量，关键是求出切点，直接利用平面的点法式方程即可. 2）法向量的求法:由曲面方程F ( x, ｙ, z）=0 得ｎ= （Fx ，Fy , Fz ). 如果曲面方程为rz = ｆ(ｘ, y ) ，那么Ｆ（x,y, z ) =z− f （x, y ) ,或F （x, y,ｚ)＝ f ( x, y ) − z . 对应的法向量就为n = (−ｆ x,− f y ,１) 或ｎ= ( f x , f y ,−1) . 3）注意不要把ｎ／/ n１写成n = ｎ１，它们的分量是对应成比例而不一定相等,否则将得出错误结论. 4)两个平面要独立写出，千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线啊. ２. 求曲线x 2 + y 2 + z 2 ＝6 ，x +ｙ+ z= ０在点P０(1，−2,1) 处的切线及法平面方程. 解曲线方程为ﻫrrﻫrﻫｒﻫrﻫrﻫｘ2 + y 2 + z 2 ＝6, x + y + z = 0ﻫ取ｘ为自变量,则y 和ｚ看作ｘ的函数,即ｙ＝y （x）, z = z (x ) ．那么曲线的切向量τ= (１, y ′( x), z′( ｘ)）.方程组两边对x求导，得ﻫrﻫ２x ＋ 2 yｙ′ ＋ 2 zz′=６， 1 ＋y + ｚ′ = 0解得将点P0 (1,−２,1）代入，得切向量为y′=ﻫz−ｘｘ−y , z′＝ . ｙ−z y−zﻫτ ＝(1，0，−1) .ﻫ所以曲线在点P０（１，−2，1）处的切线为rx −1 y + 2 z −1 = = ，１0 −1法平面为ﻫ( x − 1）−（ z − 1) = ０ .析1)曲线方程为参数形式５ﻫx = x（t ), y = y (t ), z ＝ｚ (t )，在点P０( x0,ｙ0 ，ｚ0 ) 处对应参数为t 0 ,那么曲线在P0 处的切向量为τ = （x ′(t 0 )，ｙ′(t 0)，z ′（t 0 )) ．由直线的对称式（点向式）方程可得切线方程为ｒﻫx − x0 y − y0 z − z 0 , = = x ′（ｔ0 ) y ′(t 0 ）z ′（t0 )ﻫ法平面方程为x ′(t 0）（x− x0 ）ｙ′ + （t 0 ）( ｙ− y 0 ) + ｚ′(ｔ0 )( z− z 0 ) ＝ 0 .2）若曲线方程是一般式(隐函数形式）ﻫＦ( ｘ, y, ｚ）= 0, ,G ( x, y，z )= 0则,那么曲线在P0 处的切向量为ﻫτ＝Ｇy ﻫ数例题中的解法就是如此.rﻫＦyFz Fz ,Ｇz GzﻫFx Fx, GｚGxﻫFy ． Gy P0ﻫ由于此公式较为复杂,我们经常从x，y , z 三个变量中选取一个作为参数,剩余两个看作其函3ｘ2 + 2 y2＝１2, 练１. 设曲线绕y轴旋转一周得到一旋转曲面,求该曲面在点z = 0ﻫ(0, ３, 2) 指向外侧的单位法向量.２. 求椭球面x 2 ＋２ｙ2 ＋３z 2 = ２1 上某点M 处的切平面π 的方程，使π 过已知直线L：x − 6 y −３ 2ｚ− 1 = = . ２１−２3. 在曲线y= x 2 ,z =ｘ3上求点，使该点处的切线平行于平面x + 2 ｙ+ z = 4 ．４. 求曲线x 2 ＋y 2 ＋ｚ２−３x = ０，在点（１,1,1) 处的切线方程. 2ｘ− 3 ｙ＋ 5 −4z = ０ﻫ６ﻫ4．隐函数组）导数隐函数(组导ﻫ∂z ∂z , . ∂ｘ∂y例 1.设ｅ− xyﻫ− 2 z ＋e− z = ０,求解方程两端对x 求偏导数，得e − xy (−y ）− 2∂z ∂ｚ− e −z ⋅ =0 ∂x∂x即∂ｚye − xy =−；∂ｘ２ + ｅ−z方程两端对y 求偏导数,得ｅ− xy (− x)− 2ﻫ析ﻫ∂ｚ∂z − e−ｚ⋅=0 ∂ｙ∂y即∂ｚｘe −ｘy ＝− . ∂y 2 + ｅ−z当然题目也可用公式法求隐函数的偏导数,那是将F( x,y , ｚ）看成是三个自变量x,ｙ，ﻫz的函数,即x , ｙ, z 处于同等地位.方程两边对x 求偏导数时，ｘ, y 是自变量，z 是x ，ｙ的函数,它们的地位是不同的.2.设解u 2 +ｖ2−ｘ 2 −y ＝０, −ｕ + v −ｘｙ + １ = ０，求∂u∂u ∂v ∂v , ,,. ∂x ∂y ∂x ∂ｙ方程组两端对x 求导,得2uu x +2ｖv x −２ x = ０, − u x ＋ v x −y =０．即2uu x + 2vｖx = ２x, − ux + ｖx = y则∂u 2 x2ｖ= y１∂x2u ２ｖx−yv ∂v ２u 2 ｘ = ，= −1 1 ｕ＋v ∂x −１ yﻫ2u 2v x + yu =.−1 1 u+v同样方程组两端对y 求导,得∂ｕ 1 −２xv ∂v 1 + ２ｘu = , = . ∂y 2ｕ + 2v ∂ｙ 2u ＋2v析1）方程组确定的隐函数个数等于方程的个数,而每个函数自变量的个数为“方程组中所有变量个数”减“方程的个数”. ２）大家解线性方程组时可以用代入法或直接使用求解公式．ﻫ∂z∂2z 练1. 设方程e = xyz 确定隐函数ｚ＝f( x, y ），求和．∂x ∂y 2ｚﻫ2. 设函数z= f( x, y）由方程F( x＋ﻫz z ∂2z ∂ｚ, ｙ+ )= 0确定,求和．y ｘ∂x∂y∂xﻫ7ﻫ3. 设y = ｆ(x, ｔ) ,而ｘ= x(ｔ, y) 是由方程F (x, y，t ) = ０所确定的函数,其中 f , F 都具有一阶连续偏导数.求ﻫdx . dtﻫ４. 设u = f ( xｕ, ｖ+ ｙ）, ∂u ∂v ,，其中ｆ, g都具有一阶连续偏导数.求,和．２∂y ∂y v = g (u − x, ｖy ),5. 偏导数及全微分x2 ∂ｚ∂z 例1．设z ＝2ln （2 x − y ) ,求,.∂x ∂y yﻫ解ﻫ∂ｚ２ｘ2x 2 = 2 ｌn (2ｘ−ｙ) + 2 , ∂x y y (２ｘ−y )2x 2 x2 ∂z ＝−lｎ (２ x −ｙ ) −２. ∂y y3 y (2 x −y )析１) 利用一元函数求导即可.对其中变量求导,其余的自变量都看作常数. 2) 也可利用多元复合函数求导公式求导．2. 已知 f ( x, y ) = e 解ｙｓｉn ｘ⋅ln( ｘ3 + ｘy 2 ）,求f x (1,0）.ﻫ３，f x （1，0)= 3 .ｘﻫf (x，0) ＝3 ln x .于是 f ｘ( x，０)=ﻫ析1) 此类题目“先代后求”,或“先求后代”．对于确定一点的一般选后一种方法. 2) 另外分段函数在分界点处要用偏导数定义来求. 3．设z ＝ｌn（x 2+ y 2 ) ,求dz ｘ=1 y ＝1ﻫ解ﻫ设x 2 + y 2 = u,则ｚ= ln u ,所以∂z dz ∂u １= ＝⋅ 2x , ∂x du ∂x u dz = ∂z ∂x dx + ∂z ∂ｙﻫ∂z dｚ∂u 1 = = ⋅2y , ∂ｙ du ∂y ｕdy= dｘ+ dy ．从而x=1 y ＝1ﻫｘ＝１y =1ｘ=1 y=1xｙ, x２＋y 2 ≠ ０，２ 2 练1．设 f ( ｘ, ｙ）= x + y ,求f x (0, 0),f y (0，0）．2 2 0, x +ｙ=０ﻫ2．求z ＝ｌn cosﻫy π 在点（1，）处的全微分.ｘ４ﻫ8ﻫ3.求u ＝ｓｉn xy ⋅ e的全微分.ﻫz2ﻫ1 2 ２,x2+ y2 ≠ 0 ( x + y ) sin 2 2 4. 证明函数ｆ（ｘ, y ) = ｘ+y ０， x２ + y2 = 0 ﻫ在点(0 , ０) 连续且偏导数存在，但偏导数在(０，0) 不连续,而f 在（0 , 0)可微．ﻫ6. 方向导数级梯度例求u=xy２＋yz３在P0 ( ２，−1,１) 的梯度及沿l = ( ２,2，−1) 方向的方向导数. 解ﻫrﻫgｒaｄu ＝ﻫ∂ｕｒ∂u r ∂ｕｖi + ｊ＋k，∂x ∂ｙ∂ｚﻫ而ﻫ∂ｕ∂u ∂u = y２,＝2 xｙ+ ｚ３, = ３yz 2 ∂ｘ∂y ∂zﻫ故ｇraｄu =v r r ∂u r ∂uｒ∂u v ｉ＋j+ k = y 2 i + （２ｘy+ z 3 ) j + 3 yｚ２k , ∂x∂ｙ∂ｚｒr vﻫ则在P0 ( ２,−1,1) 处的梯度为ｇrad ｕ= i+ 5 j−3k . 又l = ( 2,2,−１) ,故其方向余弦为ﻫrcosα=２２ 1 , cｏｓβ = , ｃos γ =− , ３３３ﻫrﻫ所以沿l 方向的方向导数为ﻫ∂ｕ∂ｌ=ｇrａd l u =P0∂u ∂ｕ∂ｕ８cosα + coｓβ + cosγ = . ∂x ∂y∂ｚ３析1）熟悉方向导数和梯度概念及求法.2) 需要注意的是只有在才可用∂u ∂u ∂u ∂ｕ= coｓα+cos β+ cｏs γ 求方向导数．如分∂l ∂x ∂y ∂z段函数在分界点常用定义求出方向导数．ﻫx ＋ｙ+ x2 y2 , ｘ2 + y2 ≠ 0 ２２练设函数ｆ( x，y ）= ｘ + y 0, ｘ２＋y2 ＝0９求函数在点(0 , 0）处沿方向(cos α,cosγ ) 的方向导数.ﻫ７.二重极限及累次极限二重极限及累次极限ﻫｘｙ的收敛性.x ＋y22例１．讨论ｌｉmﻫx →0y →０ﻫ解令y = kx,liｍｘｙx⋅ kｘ k = ｌiｍ 2 , = 2 2 2 x →0 x + ｙ x →０ x + k x 1＋k2 y →0 y ＝kxﻫ２ﻫ其值随k的不同而变化,故极限不存在.2．ｌimsｉn( xy ）sｉn（ｘy ) ｓiｎ( xｙ) = lｉm xy ⋅ y = ｌｉm ｘy ⋅ｌim y = 1 ⋅ 2 = 2 . x →0 x →0 ｘ→0 x →0 ｘｙ→2 y→2 ｙ→ 2y →２练１．讨论二元函数ｆ( x, ｙ) =在点(0,0）的二重极限及两个二次极限.2．讨论函数ﻫx −y + x2 ＋y2 x+ yﻫx2 y, x2 + y2 ≠ 0 f （ x, y ) ＝ x 4 ＋ y 2０, x２+ ｙ2 = 0ﻫ在点（0,0) 的连续性．ﻫ第九、十章多元函数积分学本章知识点本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列）:ﻫ利用高斯公式计算曲面积分(☆☆☆☆☆) 利用格林公式计算曲线积分（☆☆☆☆☆)先一后二或先二后一计算三重积分(☆☆☆☆) 交换二重积分的积分次序（☆☆☆) 利用球坐标计算三重积分(☆☆☆）利用极坐标计算二重积分（☆☆☆）第一类曲线、第一类曲面积分的计算（☆☆）利10ﻫ1．第二类曲面积分及高用斯托克斯公式计算第二类曲线积分（☆)ﻫ斯公式1 2 ( x ＋y 2 )介于平面ｚ=0 和 2例计算∫∫(zﻫΣﻫ2＋x）ｄy d z − z d x d ｙ,其中Σ是抛物面ｚ＝ｚ=2之间部分的下侧.解方法一利用高斯高斯,将曲面积分转化为三重积分.作辅助面2Σ1：z= 2，( x,y )∈D xｙ:0 ≤ x ＋ｙ≤ 4 ，取上侧.ﻫ2 z 2ﻫ∑1ﻫ记Σ 与Σ 1 所围区域为Ω ,则ﻫ∑∫∫（zﻫΣ2ﻫ＋x）d y d ｚ−z ｄｘｄｙo xﻫ2y=Σ + Σ1ﻫ∫∫(zΩﻫ2+ x) d y d z−z d ｘ d ｙ−∫∫（z ＋ｘ) ｄy d z−z ｄx d yﻫΣ1=∫∫∫[１＋（−１)］ d x d y d z −∫∫（−2） d x d yD ｘｙﻫ= ８π ．ﻫ方法二投影法，将曲面积分转化成二重积分. 先计算∫∫( zΣﻫ２ﻫ＋ｘ）d y d ｚ．ﻫ将Σ 分成前后两部分:ﻫΣ1:x= 2z −y 2 , ( y, ｚ ) ∈ D yz : １ y ２≤ z ≤ 2，取前侧； 2 Σ 2：x = − 2 z −y 2 , ( y，z ) ∈Ｄｙz ： 1 y 2 ≤ z ≤２，取后侧. 2∫∫（zﻫΣ Σ1ﻫ2ﻫ+ｘ) d ｙｄｚﻫ＝∫∫（z 2 + x)ｄy d z + ∫∫ ( z 2 +x）d ｙd zΣ1=ﻫ∫∫ (zﻫD ｙｚﻫ2+ 2 z −ｙ 2 ) d y ｄ z −∫∫ ( z 2 − 2 z −y２）ｄy ｄzD yｚﻫ=２∫∫ 2 z −ｙ 2 ) d ｙ d ｚD ｙz= 2∫ d y ∫ 1ﻫ−２ﻫ2ﻫ2ﻫy２2２z − y 2 d z＝4π .再计算ﻫ∫∫ ｚd ｘd ｙ.ﻫΣ１1ﻫ∫∫ z d x d y=−∫∫ΣDxｙ１２ﻫ（x 2 + y 2 )] d ｘd y2 1 2π 2 ∫0 d θ ∫0 ρ ρ ｄ ρ 2 = −4πﻫ=ﻫ所以ﻫ∫∫ ( zΣ2+ x ）ｄｙ d ｚ − z d x ｄ y ＝４π − （−4π ） = 8π .ﻫ方法三利用两类曲面积分之间的关系,将所有坐标面上的积分转化为一个坐标面上的积分. 因为曲面下侧上任一点处的法向量为ﻫｖ n ＝ ( z x , z y ,−1）＝ ( ｘ, ｙ,−1) ,所以c ｏs α ＝由ﻫx 1+ x ２＋ｙ2ﻫ， c ｏｓ β ＝ﻫ−1 1＋ x2 + y2ﻫ，d yd ｚ d zd x d xd y = = , cos α cos β c ｏs γﻫ知d yd z =所以ﻫco ｓ α d ｘ d y = −x d x d y ， c ｏs γ∫∫ （ z ﻫΣ Σ2ﻫ+ ｘ) ｄ y d ｚ − z d x d y ﻫｙ= ∫∫ [( z 2 + x ）(− ｘ) − z ］ｄ x ｄ y＝ − ∫∫ [（ 1 ( ｘ 2 + y 2 ) 2 + x)(− x) − １ ( x ２ + y ２ )] d ｘｄ y ２ 2Dxyo2x= − ∫∫ [( 1 ( x 2 + y ２ ) 2 + ｘ)（− x) − 1 ( x 2 + y 2 )] d x d y 2 ２Dx ｙﻫ＝∫∫ [ xDxyﻫ２ﻫ1( x２+y 2 ）] d x d ｙ2ﻫ2ﻫ＝∫+２π 0=8π ．ﻫ析1)遇到ｄθ ∫ （ρ ２cｏｓ2 θ + 1 ρ 2 ) ρｄρ ２ﻫ0ﻫ第二类曲面的积分的题目,首选高斯公式. 2)当积分曲面不是封闭曲面时,可添加辅助面使成为封闭的.12ﻫ３)若被积函数在曲面所围的区域里有奇点时,不可使用高斯公式.这时,一般用投影法.有些情况也可做辅助面将奇点包围，然后在多连通区域上使用高斯公式．4)做题步骤：一,画出积分区域图;二，检查积分曲面是否封闭,被积函数在封闭曲面所围区域上是否具有一阶连续偏导数．否则，做出相应的辅助面;三，使用高斯公式,将第二类曲面积分转化成三重积分,看清楚Ｐ, Ｑ,R;四,检查是否忘了减掉辅助面的积分（如果有的话),检查三重积分的正负号与曲面的外内测是否对应．5)注意试用高斯公式后积分区域的变化．练1. 计算I =∫∫ﻫSﻫｙ2 z d y d z + xｚd z dｘ+ x 2 yｄx dｙ其中S 为旋转抛物面ｚ=x 2+ y 2 ，ﻫ圆柱面x 2 + y 2= 1 和坐标面在第一象限内所围成的空间区域Ω 的外侧. ２. 计算ﻫI = ∫∫ 2 x 3 d y d z + 2 y 3 d z dｘ+３( z 2 − 1) d x ｄ y 其中S 为曲面Ｓz ＝１− x ２− y 2 ，z≥0 的上侧.3. 计算侧.ﻫxd ｙd z ＋yｄzd x + zd xｄy,其中∫∫ ( x 2 + y ２ﻫ为任一不经过原点的闭曲面外+ z ２)3 2 ∑ﻫ∑2．第二类曲线积分与格林公式ﻫ例1．计算(e sin y −３y ＋x）dx ＋(e ｃos y −ｘ)dy , 其中l 为由点Ａ(３,０) 经椭圆ﻫｘ２∫xﻫlx = 3 cos t 的上半弧到点 B ( −3,0）再沿直线回到 A 的路径．y = ２ sin tﻫ解Ｐ= e x siｎy − 3 ｙ＋x 2 ,ﻫQ = ｅx cos y −ｘ,由格林公式2 x原式＝(e sin ｙ− 3 y ＋ x )dｘ+ (ｅｃos y −ｘ)dyx lﻫ∫ﻫy２ﻫ=∫∫ ［ﻫＤﻫ∂Q ∂P − ]ｄxｄｙ∂x∂yﻫxﻫ=ﻫ∫∫［(ｅﻫDＤ−3xﻫｏﻫ３ﻫxｃos y − 1) − (e cｏs y− 3]dxｄｙﻫ1ﻫ=∫∫ 2dxdｙ＝2 ⋅２π⋅３⋅ 2 = 6π．ﻫ1３ﻫ2. 计算I =ﻫ∫ﻫL (1− 2xy −ｙ 2 ）ｄ x −（x + y） 2 d y ,其中Ｌ是从原点沿直线y = x 到点(１,1）的一段ﻫ弧. 若(1− 2ｘy − y 2 ) d x − ( x + y） 2 ｄｙ是某个函数的全微分，求出一个这样的函数。

高等数学第七版下册复习纲要.总结

高等数学第七版下册复习纲要.总结高等数学第七版下册复习纲要.总结一、微分方程的相关概念1、微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶、2、微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解、通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解、特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解、3、特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中、二、微分方程的常见类型及其解法1、可分离变量的微分方程及其解法(1)、方程的形式：、(2)、方程的解法：分离变量法(3)、求解步骤①、分离变量，将方程写成的形式；②、两端积分：，得隐式通解；③、将隐函数显化、2、齐次方程及其解法(1)、方程的形式：、(2)、方程的解法：变量替换法(3)、求解步骤①、引进新变量，有及；②、代入原方程得：；③、分离变量后求解，即解方程；④、变量还原，即再用代替、3、一阶线性微分方程及其解法(1)、方程的形式：、一阶齐次线性微分方程:、一阶非齐次线性微分方程:、(2)、一阶齐次线性微分方程的解法: 分离变量法、通解为,()、(公式)(3)、一阶非齐次线性微分方程的解法: 常数变易法、对方程，设为其通解，其中为未知函数，从而有，代入原方程有，整理得，两端积分得，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解，(公式)即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解、第八章：空间解析几何与向量代数一、向量1、向量与的数量积：；2、向量与的向量积：、的几何意义为以为邻边的平行四边形的面3、向量的方向余弦：，；、4、向量与垂直的判定：、5、向量与平行的判定：、6、三向量共面的判定：共面、7、向量在上的投影：、二、平面1、过点，以为法向量的平面的点法式方程：、2、以向量为法向量的平面的一般式方程：、3、点到平面的距离、4、平面与平行的判定：、5、平面与垂直的判定：、6、平面与的夹角：三、直线1、过点，以为方向向量的直线的点向式(对称式、标准)方程：、2、过点，以为方向向量的直线的参数式方程：、3、直线的一般式方程：、方向向量为、4、直线方程之间的转化：i) 点向式参数式ii)一般式点向式第一步：找点第二步：找方向向量5、直线与平行的判定：、6、直线与垂直的判定：、7、直线与的夹角：、8、直线与平面垂直的判定：、9、直线与平面平行的判定：、10、直线与平面的夹角：、11、点到直线的距离：，其中是直线上任意一点，、四、曲线、曲面1、平面上的曲线：绕轴旋转一周所得的旋转曲面为：、2、空间曲线：关于平面上的投影柱面方程为：；在平面上的投影曲线为：、第九章：多元函数微分法及其应用一、平面点集1、内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤2、聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点；3、开集和闭集内的所有点都是聚点、二、二元函数的极限、连续性的相关知识点1、二元函数在点的二重极限：、2、二元函数在点的连续性：、3、二元初等函数在其定义区域内连续、二、二元函数的偏导数的相关知识点1、函数对自变量的偏导数：及、2、函数对自变量的二阶偏导数：、、、注：若二阶混合偏导数与连续，则二者相等、三、二元函数的全微分：四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系1、函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系、2、偏导数存在性与全微分存在性的关系：全微分存在，偏导数存在；反之未必、(偏导数不存在，全微分一定不存在)偏导数连续，全微分存在，反之未必、3、连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；(函数不连续，全微分一定不存在)函数连续，全微分未必存在、五、二元复合函数的偏(全)导数1、中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：，2、中间变量为两个，自变量为两个的复合函数的偏导数：，六、隐函数微分法1、由一个方程确定的隐函数微分法：确定隐函数，直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即，即，解得2、由方程组确定的隐函数组微分法：确定隐函数，直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即，即，可以解出、七、偏导数的几何应用1、曲线的切线方程和法平面方程1)、以参数式方程表示的曲线在对应的点的切线方程：法平面方程：2)、以一般式方程表示的曲线在点的切线和法平面方程：先用方程组确定的隐函数组微分法求出，然后得到切线的方向向量切线方程：法平面方程：2、曲面的切平面方程和法线方程1)、以一般式方程表示的曲面在点的切平面和法线方程：切平面线方程：法方程：2)、以特殊式方程表示的曲面在点的切平面和法线方程：令，有曲面在点的切平面的法向量切平面线方程：法方程：、3、方向导数与梯度：1)、方向导数：2)、方向导数存在条件：可微分函数在一点沿任意方向的方向导数都存在，并且，其中是方向的方向余弦、3)、梯度：函数在点处的梯度( )、4)、方向导数与梯度的关系：①、函数在点处增加最快的方向是其梯度的方向，减小最快的方向是的方向、②、函数在点沿任意方向的方向导数的最大值为、八、极值、条件极值1、函数的极值点和驻点的关系：函数的极值在其驻点或不可偏导点取得、2、求函数极值的步骤：(1)、对函数求偏导数，解方程组，得所有驻点、(2)、对每一个驻点，求出二阶偏导数的值、(3)、计算，根据以及的符号判定是否是极值：若，则是极小值；若，则是极大值；若，则不是极小值；若，则是否是极值不能判定，需其他方法验证、3、求函数在附加条件下的条件极值的方法：做拉格朗日函数，对自变量求偏导，建立方程组与附加条件联立的方程组，解出的就是函数的可能极值点、第章：重积分一、二重积分的相关性质1、有界闭区域上的连续函数在该区域上二重积分存在；2、若函数在有界闭区域上二重积分存在，则在该区域上有界；3、中值性：若函数在有界闭区域上连续，区域的面积为，则在上至少存在一点，使得、4、，区域的面积为、二、二重积分的计算1、利用平面直角坐标计算二重积分1)、先对后对积分，由于积分区域；，有、2)、先对后对积分，由于积分区域；，有、3)、积分换序：、2、利用极坐标计算二重积分令，由于积分区域；，有、三、三重积分的相关性质：，区域的体积为、四、三重积分的计算1、利用直角坐标计算三重积分积分区域：；；，有第一章：曲线积分曲面积分一、曲线积分的计算1、第一型曲线积分的计算：若曲线的参数方程是：，则第一型曲线积分2、第二型曲线积分的计算：若曲线的参数方程是：，分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分3、格林公式(联系曲线积分和二重积分)设有界闭区域D由分段光滑曲线C所围成，C取正向，函数在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式、注：1、可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域D由取正向的光滑曲线C所围成，则区域D的面积为、2、函数在区域D上连续、二、曲面积分的计算1、第一型曲面积分的计算：若曲面的方程是：具有连续偏导数，且在平面上的投影区域为，函数在上连续，则第一型曲面积分2、第二型曲面积分的计算：若正向曲面的方程是：，且在平面上的投影区域为，函数在上连续，则第二型曲面积分，同理可得；3、高斯公式(联系曲面积分和三重积分)若函数在空间有界闭区域Ω及其光滑边界曲面S上具有连续偏导数，则有高斯公式：、注：设空间有界闭区域Ω由光滑封闭曲面S所围成，则区域Ω的体积为、4、斯托克斯公式(联系曲面积分和三重积分)若函数在光滑曲面S 及其光滑的边界曲线C上具有连续偏导数，则有斯托克斯公式、三、曲线积分与路径无关的条件(1)、曲线积分与路径无关；(2)、；(3)、存在函数，使得；(4)、第二章：无穷级数一、级数敛散性的相关性质1、敛散敛散2、收敛3、发散4、正项级数的部分和数列有界级数收敛5、收敛收敛、二、级数敛散性判别1、正项级数敛散性判别(1)、比较判别法；(2)、比值判别法；(3)、根值判别法、2、交错级数收敛性判别法：莱布尼兹判别法3、任意项级数敛性判别法：绝对收敛判别法4、两种常用级数收敛和发散的条件(1)、等比级数收敛条件是；发散条件是、(2)、 p级数收敛条件是；发散条件是、二、幂级数的相关概念1、收敛域的求法(1)、对标准幂级数，先求其收敛半径，再判断级数以及的敛散性，最后确定收敛域是、、以及中的哪一个、(2)、对非标准幂级数，先求极限，当时，绝对收敛，解出，再判断级数以及的敛散性，最后确定收敛域是、、以及中的哪一个、2、和函数的求法：利用和函数的性质(1)、连续性；(2)、逐项可微分；(1)、逐项可积分、3、函数的幂级数展开式、书是我们时代的生命别林斯基书籍是巨大的力量列宁书是人类进步的阶梯史美尔斯书籍便是这种改造灵魂的工具。

【2019年整理】(0003)高等数学(下)复习大纲

（0003）《高等数学》(下)复习大纲说明: 大纲中“掌握”是重点内容.一、多元函数微分法及其应用1、了解区域、开区域、闭区域的概念；了解多元函数的概念；掌握多元函数的定义域的计算；掌握多元函数的极限的定义及计算方法，特别是多元函数在某点极限不存在时的证明方法；掌握多元连续函数的概念，理解多元函数在其定义域内连续的结论，了解闭区域上连续的多元函数的性质.2、理解多元函数偏导的定义, 掌握偏导的计算方法；了解偏导存在与多元函数的连续性的关系；了解高阶偏导以及两个二阶混合偏导相等的充分条件.3、理解多元函数微分的定义、多元函数微分与连续的关系；理解多元函数微分与偏导的关系.4、掌握多元复合函数的偏导的计算.5、掌握隐函数的求导方法.6、理解空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念；掌握曲面的法向量的计算；理解曲面的法向量的方向角及方向余弦.7、了解函数的梯度的概念.8、理解多元函数的极值与极值点的概念；掌握多元函数的极值的计算方法，特别是条件极值的计算.二、重积分1、结合例子理解二重积分的概念，理解二重积分的性质.2、掌握二重积分利用直角坐标以及利用极坐标进行计算的方法.3、了解三重积分的概念以及三重积分(利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标)的计算.4、了解二重积分在计算曲面面积时的应用.三、曲线积分与曲面积分1、结合例子理解对弧长的曲线积分的概念；了解对弧长的曲线积分的性质；掌握对弧长的曲线的计算方法.2、理解对坐标的曲线积分的概念；了解对坐标的曲线积分的性质；掌握对坐标的曲线的计算方法.3、理解格林(Green)公式, 并能了解平面曲线积分与积分路径无关的充要条件以及xy,( 是某函数)u的全微分的充要条件以及),u的计算方法.x(y,(yxQd)yyx(x,P d)4、结合例子理解对面积的曲面积分的概念；了解对面积的曲面积分的性质；掌握对面积的曲面的计算方法.5、理解对坐标的曲面积分的概念；了解对坐标的曲面积分的性质；掌握对坐标的曲面的计算方法.6、理解高斯(Gauss)公式.7、理解斯托克斯(Stokes)公式.四、无穷级数1、理解常数项级数的概念；理解常数项级数收敛与发散的定义；掌握等比级数的收敛性；理解收敛级数的五条性质；会证明调和级数是发散级数.2、理解正项级数的概念并掌握正项级数的四种审敛法；掌握p -级数的收敛性；理解交错级数的概念及判定其收敛的莱布尼茨定理；掌握绝对收敛与条件收敛.3、了解函数项级数及其收敛域的概念；理解幂级数的收敛半径及收敛区间的概念,掌握利用正项级数的比较审敛法的极限形式计算幂级数的收敛半径的直接方法,并能求出幂级数的收敛区间(关键是能判定端点处的收敛情况)；了解幂级数的和函数的性质.4、了解将函数展开成幂级数的步骤.5、了解三角级数及其正交性；理解函数)(x f 的傅里叶(Fourier)级数的收敛性定理.五、微分方程1、理解微分方程、微分方程的阶、微分方程的解(通解及特解)、微分方程的初始条件等概念.2、掌握可分离变量的微分方程的计算方法.3、掌握齐次微分方程的计算方法,并能利用简单的变量替换技巧求解微分方程.4、掌握一阶线性微分方程的求解过程；了解伯努利(Bernoulli)方程的一般形式.5、了解全微分方程的概念及积分因子的概念.6、掌握常见的三种可降阶的高阶微分方程(),(),,(),('''''')(y y f y y x f y x f yn ===)的计算方法.7、掌握高阶线性微分方程的解的结构. 8、掌握常系数齐次微分方程的计算方法.9、掌握特殊的常系数非齐次二阶微分方程的计算方法.（0003）《高等数学》(下)样题及答案一、填空题(每小题3分, 共30分)1、函数221)ln(),(yx x x y y x f --+-=的定义域为 .2、已知函数y x z tanln =，则=∂∂xz,=∂∂y z . 3、设0e sin 2=-+xy y x, 则xyd d = . 4、设Γ是从点(1,1,1)到点(2, 3, 4)的有向线段, 则⎰-+++Γz y x y y x x d )1(d d = .5、设区域G 是连通区域,函数),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶的偏导数, 则存在),(y x u 使得y y x Q x y x P y x u d ),(d ),(),(d +=成立的充要条件是 . 6、用∑将级数 (7)151311+-+-表示出来是 . 7、若∑∞=1||n nu收敛, 则∑∞=1n n u 收敛.8、微分方程()02'2'=+-x yy y x 的阶数为 .9、25x y = 微分方程y xy 2'=的解.10、伯努利(Bernoulli)方程的一般形式为 .答案:1. }.1,,0|),{(22<+>≥y x x y x y x 2..2csc 2,2csc 2yx y x y x y - 3.xyy y x y x2cos e d d 2--=. 4.13. 5.单, 连续,x y x Q y y x P ∂∂=∂∂),(),(. 6.()121111--∑∞=+n n n . 7.一定. 8.1. 9.是.10.)1,0()()('≠=+n y x Q y x P y n.二、单项选择题(每小题2分, 共10分)1、极限xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→是(1)不存在; (2)41-; (3)0; (4)2. 2、设L 为圆周)π20(sin ,cos ≤≤==t t a y t a x ，则()s yxnLd 22⎰+= .(1)12+n a ; (2)12π+n a; (3)122π+n a; (4)2π.3、设Σ是球面1222=++z y x 外侧在第一卦线中的部分, 则⎰⎰Σy x xyz d d = .(1)5; (2)152; (3)15; (4)151.4、设级数()n nn nu 211∑∞=-收敛, 则级数∑∞=1n n u .(1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)发散; (4)不能确定. 5、二阶齐次微分方程0''=+y y 的通解为 .(1)x C cos 1; (2)x C sin 2; (3)()()x x C C sin cos 21++; (4)x C x C sin cos 21+.答案: 1、(2).;2、(3); 3、(4); 4、(2); 5、(4).三、计算题(每小题8分, 共32分)1、求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.解设球面方程为2222a z y x =++，),,(z y x 是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点, 则此长方体的长、宽、高分别为z y x 2,2,2，其体积为.8222xyz z y x V =⋅⋅=令()22228),,,(a z y x xyz z y x L -+++=λλ.由,0,028,028,0282222=-++==+==+==+=a z y x L z yx L y xz L x yz L z y x λλλλ得出.3a z y x ===由题意知, 这种长方体必有最大体积，所以当长、宽、高都为32a 时其体积最大.2、画出积分区域, 并计算⎰⎰+Dy x y x d d e , 其中}1|||||),{(≤+=y x y x D .解[][]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--++--+---++=+=111-0111--111111d e e d ee d e d e d e d e d d ex x y x y x y x x x yx x x y xx x yxx x yxDyx()().e e e 21e e e 21d e e d e e 111201112101201112----+---+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+-=⎰⎰x x x x x x x x 3、计算幂级数...3...323122+⋅++⋅+⋅nnn x x x 的收敛半径及收敛域. 解 3||13||||)1(3lim33)1(lim11<⇒<=+=⋅⋅+∞→++∞→x x x n n n x n x n nn n n n .所以, 所给幂级数的收敛半径为R = 3.当x = 3时, 原幂级数为调和级数 (3)1211+++,进而是发散的; 当x = -3时, 原幂级数为下述交错级数 (3)1211+-+-,进而是收敛的.因此,所给幂级数的收敛域为[-3, 3]. 4、求微分方程yx y +=1'的通解. 解令y x u +=,则,x u y -=进而有1''-=u y ,故原方程变为ux u 11d d =-. 分离变量得,x u u d d 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-.两边积分有,,|1|ln C x u u +=+-进而C x y x y x +=++-+|1|ln 是原微分方程的通解.四、证明题或综合题(8分)证明: 在(-1, 1)内, 幂级数xx x x n-=+++++11 (12). 证可以将其看作公比是x 的等比级数, 容易知道, (12)+++++nx x x 的收敛区间为(-1, 1).考虑前n 项的部分和xx x x x s n n n --=+++=-11...1)(1. 显然有.11)(lim xx s n n -=∞→。

高数下期末复习提纲ppt课件

直线的参数方程
A x B y C z D 0 1 1 1 1 A x B y C z D 0 2 2 2 2
x x y y z 1 1 z 1 , 直线L1 : m n p 1 1 1
空间直线的一般方程
x x y y z 2 2 z 2 , 直线L2 : m n p 2 2 2
几何意义：混合积的绝对值表示以向量 a 为棱的平行六面体体积. ,b ,c
[ a b c ] ( a b ) c bx cx
ax
ay by cy
az bz . cz
混合积的坐标表达式 a b c ] 0 . ,b ,c共面 [ (1) 三个非零向量 a (2) 轮换对称性 bc [ a ] [ a ] [ c a . bc b]
点到平面的距离公式
11、直线的方程设直线过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )且平行于向量 s ( m , n, p)
x x y y z z 0 0 0 m n p
直线的对称式方程
x x 0 mt y y 0 nt z z pt 0
9、平面的点法式方程
平面过定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，法向量 n ( A, B , C )
A ( x x ) B ( y y ) C ( z z ) 0 0 0 0
平面的点法式方程 A xB yC zD 0 平面的一般式方程
: A x B y C z D 0 , : A x B y C z D 0 ,
11 1 1 1
22 2 2 2

高等数学复习提纲.doc

《高等数学》（下）（理工类）教学内容与要求一、考试时间：2014. 7. 4 （19周周五）上午9: 00-11: 00二、内容与要求（按章节）：第七章微分方程第一节：微分方程的基本概念要求：了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念第二节：可分离变量的微分方程要求：掌握可分离变量的微分方程的求解方法第三节：齐次方程要求：掌握齐次方程的求解方法第四节：一阶线性微分方程要求：掌握一阶线性微分方程的求解方法第五节：可降阶的高阶微分方程要求：掌握前两种类型的高阶微分方程的降阶方法第六节：高阶线性微分方程要求：了解二阶线性微分方程解的结构。

第七节：常系数齐次线性微分方程要求：掌握二阶常系数线性齐次方程的解法。

第八章向量代数与空间解析几何第一节：向量及其线性运算要求：1、理解向量的概念，掌握向量、向量夹角的表示方法，了解向量的位置关系;2、掌握向量的线性运算及其运算律，掌握两个向量平行的充分必要条件；3、了解空间直角坐标系，掌握向量的坐标表达式；4、会利用向量的坐标表达式进行向量的线性运算；5、会计算向量的模及方向角，了解向量在轴上的投影及其性质。

第二节：数量积向量积混合积要求：掌握向量的数量积和向量积的运算及运算律，了解两向量垂直、平行的条件。

第三节：曲面及其方程要求：了解曲面方程的概念，会求旋转曲面的方程，了解柱面及其特征。

第四节：空间曲线及其方程要求：了解空间曲线的一般方程和参数方程，了解空间曲线在坐标面上的投影曲线。

第五节：平面及其方程要求：1、掌握平面的点法式方程和一般方程，了解平面的截距式方程；2、会求两平面的夹角，会判断两平面的位置关系，会计算平面外一点到平面的距离。

第六节：空间直线及其方程要求：1、了解空间直线的一般方程，掌握空间直线的对称式方程与参数方程；2、会求两直线及直线和平面的夹角，会判断直线与直线，直线与平面的位置关系；第九章多元函数微分法及其应用第一节：多元函数的基本概念要求：1、了解平面点集的相关概念；2、了解多元函数的概念及其表示，了解二元函数的几何意义，会求二元函数的定义域与函数值。