向量的概念与线性运算
向量的概念及线性运算
向量的概念及线性运算考纲要求1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
2.理解向量的几何表示。
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
一、必备知识1.向量的相关概念（1）向量的定义：既有又有的量叫做向量。
（2）向量的长度：表示AB的长度，即AB的大小叫做AB的长度或称为AB的模，的向量叫做零向量，记作0，的向量叫做单位向量。
（3）平行向量：方向或的向量叫做平行向量。
规定：0与任何向量平行，平行向量也叫。
（4）相等向量：的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作b a .(5)相反向量：的向量叫做相反向量。
向量)0(≠a a 与b 共线的充要条件是存有唯一一个实数λ，使得 。
二、必记结论1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- ，特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量。
2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则)(21+= 3.若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则（1）的重心。
为ABC P PC PB PA ∆⇔=++0（2）的重心。
为ABC G ∆⇔++=)(31 4.证明三点A 、B 、C 共线，借助向量，只需证明由这三点A 、B 、C 所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数λ，使得(0)a b b λ=≠。
三、题型归纳（独立完成三维设计P62考点一----考点三的练习，注意总结题型。
）。
向量的概念及线性运算
向量的概念及线性运算编制人：马兰主审人: 朱礼强一、新课引入1. 老鼠以10 m/s的速度向东跑，猫以50 m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量.2. 问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向.二、概念建构1．向量的有关概念2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、例题选讲【例1】（1）已知下列结论： ① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；① 非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件； ① 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是DC AB =； ① λ，μ为实数，若λa = μb ，则a 与b 共线. 其中正确的序号为 .（2）设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使=a ba b成立的充分条件是( ) A .|a |=|b |且a ∥b B .a =-b C .a ∥b D .a =2b【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断.（2）利用单位向量与向量相等的概念求解.【规范解答】（1）对于①，当b =0时，条件满足但结论不成立；对于①，因为向量a 与b 都是非零向量，所以该命题是正确的；对于①，四边形是大前提，当AB DC =时，即AB∥DC ，且AB=DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =，所以①正确；对于①，当λ=μ=0时，a 与b 可为任意向量，不一定共线，所以①不正确.答案：①①.（2）选D .由a a 表示与a 同向的单位向量，表示与b 同向的单位向量，故只要a 与b 同向即可，观察可知D 满足题意. 【变式】1. 本例（2）①中，若b ≠0，该结论是否正确?【解析】若b ≠0，又a ①b ，b ①c ，所以a ①c 显然成立，故该结论正确. 2. 若本例（2）①中的实数λ，μ满足λ2+μ2 ≠ 0，该结论是否正确?【解析】由λ2+μ2 ≠ 0知实数λ，μ 中至少有一个不为0. (①)若λ≠0，μ=0，则λa =0·b =0.因为λ≠0，所以a =0，又0与任何向量共线，所以结论正确.(①)同理，若λ=0，μ≠0，结论也正确； (①)若λ≠0，μ≠0，由λa = μb 得a =μλb ，由共线向量定理知结论正确. 综上所述，该结论正确.【易错警示】解答本例题（1）有两点容易出错. （1） 不清楚,a ba b 表示何种向量，不知道a a是a 方向上的单位向量. （2） 求解时易忽视两向量是同向还是反向，是共线还是相等. 【规律方法】把握向量有关概念的关键点 （1）定义：方向和长度.（2）非零共线向量：方向相同或相反，长度没有限制. （3）相等向量：方向相同且长度相等.（4）单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度.（5）零向量：方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线. 【变式训练】设a 0为单位向量，下列命题中：① 若a 为平面内的某个向量，则a=|a|·a 0； ① 若a 与a 0平行，则a=|a|·a 0； ① 若a 与a 0平行且|a|=1，则a= a 0. 假命题的个数是( )A.0B. 1C. 2D. 3【解析】选D .向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|·a 0的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a= -|a|·a 0，故 ①① 也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.【例2】（1）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC +=( ) A. AD B.AD 21 C. BC 21D. BC （2）在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若,MN xAB y AC =+则x =________，y =________.【解题导引】（1） 结合图形和三角形法则求解.（2） 结合图形利用向量线性运算的法则求解.【规范解答】（1）选A .()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+111().222AC AB AC AB AD =+=+= （2）由2,AM MC BN NC ==得1,3CM AC =-11(),22CN BC AC AB =-=--所以1111().2326MN CN CM AC AB AC AB AC =-=--+=-所以11,.26x y ==-答案：11.26-， 【规律方法】1. 平面向量的线性运算技巧（1）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解. 2. 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路（1） 没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.（2） 利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式. （3） 比较，观察可知所求.【变式训练】已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且3,2OA OB OP -=则( )A . 点P 在线段AB 上B. 点P 在线段AB 的反向延长线上 C . 点P 在线段AB 的延长线上 D. 点P 不在直线AB 上 【解析】选B .33111(),22222OA OB OP OA OB OA OA OB OA BA -==-=+-=+ 即12OP OA AP BA -==，所以点P 在线段AB 的反向延长线上.【例3】（1）已知向量a 与b 不共线，若λa +b 与a +λb 共线，则λ=________. （2）如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，2,,.3AE AD AB AC ===a b① 用a ，b 表示向量,,,,;AD AE AF BE BF ② 求证：B ，E ，F 三点共线.【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念求解. （2）①利用线性运算几何意义求解.②利用共线向量定理得出. 【规范解答】（1）因为λa +b 与a +λb 共线， 所以存在实数x ，使λa +b =x (a +λb )， 即λa +b =x a +x λb . 因为a 与b 不共线，所以,1,x x λλ=⎧⎨=⎩即λ2=1，所以λ= ± 1. 答案：±1（2）①由已知可得：11()22AD AB AC =+=(a +b )，因为2,3AE AD =所以AE = 23·12(a +b )=13(a +b )，11,22AF AC ==b112(),333BE AE AB =-=+-=-a b a b a 1.2BF AF AB =-=-b aBACDFE②由121,,332BE BF =-=-b a b a 得2,3BE BF =又,BE BF 有公共点B ，故B ，E ，F 三点共线.【规律方法】共线向量定理的应用（1）证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线. （2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线. （3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. 提醒：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.【变式训练】设e 1与e 2是两个不共线向量，AB =3e 1+2e 2，CB =k e 1+e 2，CD =3e 1-2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为 ( )A .94- B .49- C .38- D .不存在【解析】选A .由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB BD λ=， 又AB =3e 1+2e 2，CB =k e 1+e 2，CD =3e 1-2k e 2，所以BD CD CB =-=3e 1-2k e 2-(k e 1+e 2)=(3-k )e 1-(2k +1)e 2， 所以3e 1+2e 2=λ(3-k )e 1-λ(2k +1)e 2，所以3(3),2(21),k k λλ=-⎧⎨=-+⎩解得k =9.4-四、当堂检测1. 给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则DC AB =，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是 |a |＝|b | 且 a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是____________________． 答案 ①2. [2017·全国卷Ⅱ]设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |＞|b |答案 A3. 在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC . 若AB ＝a ，AC ＝b ，则PQ ＝( )A. 13a ＋13b B. －13a ＋13bC. 13a －13bD. －13a －13b答案 A4. 在△ABC 中，点M ，N 满足MC AM 2=，NC BN =.若AC y AB x MN +=，则x ＝________；y ＝________. 答案 12 ，－165. 如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF 等于( ) A.AD AB 3121- B.AD AB 2141+ C.DA AB 2131+D.AD AB 3221- 答案 D6. 在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，则λ + μ等于( )A.1B. 12C. 13D. 23答案 D7. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AC AK AD AF AB AE λ===,21,52，则 λ的值为( ) A.29 B.27 C.25 D.23 答案 A8. 设两个非零向量a 与b 不共线.(1) 若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b ). 求证：A ，B ，D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.解 （1）证明 ∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )∴CD BC BD +=＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB .∴AB ，BD 共线， 又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线.（2） 解∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk -1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.五、课堂总结1. 把握向量有关概念的关键点2.平面向量的线性运算技巧3.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路4.共线向量定理的应用六、课后作业1．下列命题中正确的个数为( B )①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同； ②若非零向量AB →与CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ③若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；④四边形ABCD 是平行四边形，则必有|AB →|＝|CD →|； ⑤a ∥b ，则a 、b 方向相同或相反．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b 表示( D ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 kmD ．向东南走523．已知OA →＝a ，OB →＝b ，|OA →|＝5，|OB →|＝12，∠AOB ＝90°，则|a －b |＝( C ) A ．7 B ．17 C ．13D ．84．如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，则化简AB →＋AC →－AP →－AQ →的结果为( A ) A ．0B ．BP →C ．PQ →D ．PC →5．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( C ) A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD →D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →6．如图，正六边ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FE →＝( B ) A ．0 B ．BE → C ．AD →D ．CF →7．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|AB →＋BC →|，则△ABC 是( B ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8．O 是四边形ABCD 所在平面上任一点，AB →∥CD →，且|OA →－OB →|＝|OC →－OD →|，则四边形ABCD 一定为( D ) A ．菱形 B ．任意四边形C ．矩形D ．平行四边形9．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( C ) A ．P A →＋PB →＝0 B ．PB →＋PC →＝0 C ．PC →＋P A →＝0D ．P A →＋PB →＋PC →＝010．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，则|BC →|的取值范围是( A ) A ．[3,17] B ．(3,17) C ．(3,10)D ．[3,10]11．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( C ) ①a ∥b ②a ＋b ＝a ③a ＋b ＝b ④|a ＋b |<|a |＋|b | ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b | ⑥|a ＋b |>|a |＋|b |A ．①②⑥B ．①③⑥C ．①③⑤D ．②③④⑤12．化简下列各式：（1）AB →＋BC →＋CA →＝ ； （2）OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝ ；（3）化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝ ． 解析：（1）AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0；（2）OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝BA →． （3）AC →．13．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝__1__． 14．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝ ．解析：OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →．15．如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →．解析：如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由向量加法的平行四边形法则知OA →＋OB →＝OD →．由|OA →|＝|OB →|，∠AOB ＝120°， 知∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|． 又∠COB ＝120°，且|OB →|＝|OC →|． ∴OD →＋OC →＝0， 故OA →＋OB →＋OC →＝0．16．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的中点．求证：（1）AB →＋BE →＝AC →＋CE →； （2）EA →＋FB →＋DC →＝0．证明:（1）由向量加法的三角形法则， ∵AB →＋BE →＝AE →，AC →＋CE →＝AE →， ∴AB →＋BE →＝AC →＋CE →．（2）由向量加法的平行四边形法则，∵EA →＝EF →＋ED →，FB →＝FE →＋FD →，DC →＝DF →＋DE →，∴EA →＋FB →＋DC →＝EF →＋ED →＋FE →＋FD →＋DF →＋DE → ＝(EF →＋FE →)＋(ED →＋DE →)＋(FD →＋DF →)＝0＋0＋0＝0．七、课后反思。
《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算
小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的；
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3
的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算
向量的概念与线性运算
第七章 向量代数与 空间解析几何
单/击/此/处/添/加/副/标/题
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7.1 向量的概念与线性运算
01 向 量 的 概 念
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02 向 量 的 线 性 运 算
单击此处添加文本 具体内容
一 向量的概念
向量： 既有大小又有方向的量。
M2
向量表示： a或 M1M2
பைடு நூலகம்
M 1
以 M1为起点，M 2为终点的有向线段。
向量的模： 向量的大小， 记为 | a| 或 | M1|M2 。
单位向量： 模长为1的向量。
零向量： 模长为0的向量， 记为 0，其方向是任意的。
自由向量：
不考虑起点位置的向量。
相等向量： 大小相等且方向相同的向量。
a
b
负向量： 大小相等但方向相反的向量， 记为 a 。
二 向量的线性运算
1 加法 a b c
b
c
平行四边形法则
三角形法则
a c
b
特殊地：若
a‖ b，
a
则分为同向和反向
向量的加法符合下列运算规律：
（2）结合 律：
2 减法 （3） （1）交换律：
a 与a 同向，
a 与a 反向，
3 数与向量的乘法（简称：数乘运算） 设 是一个数，它与向量 的乘积 是一向量， 规定如下： 数乘运算符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律：
定理 设向量 a0，则向量
必要条件是：存在唯一的实数
b平行于
，使得
a的充分
ba.
注：一般用 a0表示与非零向量 a同方向的单位向量，
向量概念与线性运算
向 量1.向量的概念(1)向量的基本要素：___________________________.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：_______________________________.(4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔__________规定：O 与任一向量______单位向量：a O 为单位向量⇔____________(5)相等的向量：______________(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔__________⇔_____________(7)平行向量(共线向量)：_________.记作a ∥b .平行向量也称为______. 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=1． 已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 为 _____________2．已知,,AB a BC b CA c ===,则0a b c ++=是,,A B C 三点构成三角形的______条件 3．若P 是ABC ∆的重心，则PA+PB+PC =____________4．若,a b 满足8,2a b ==，则a b +的最大值为____，最小值为_________ 5．若,OA a OB b ==，a b ==3，060AOB ∠=，则a b +=_________6．若32,43a eb e =-=-，则____a b =7．若,OA OB 不共线，且()AP t AB t R =∈，用,OA OB 表示OP 为_________ 8.设1(2,3),(1,5),,33A B AC AB AD AB -==且，则C 、D 的坐标分别是_________ 9.对平面内任意的四点A,B,C,D ，则AB BC CD DA +++= . 10．若3,a b =与a 的方向相反，且5,______b a b ==则 11．化简：（1）AB BC CD ++=_____________。
向量的概念与线性运算
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积定义为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$之间的夹角。
向量的表示方法
总结词
向量可以用多种方式表示，包括文字、符号、箭头、有序对等。
详细描述
文字表示法是用“→”表示向量，例如a→表示向量a。符号表示法则使用字母来表示向量，如a、b、c等。有序 对表示法则使用起点和终点的坐标来表示向量，例如(x1, y1, z1)→(x2, y2, z2)。箭头表示法则是在起点和终点之 间画一条有箭头的线段来表示向量。
要点二
性质
线性相关的向量组中至少存在一个向量可以用其他向量线 性表示。
向量组的秩
定义
向量组的秩是指该向量组中线性无关向量的最大数量。
性质
向量组的秩等于该组向量的行矩阵的秩，也等于列矩阵 的秩。秩是向量组的一个重要的不变量，它反映了向量 组中线性相关性的程度。
05
向量在几何中的应用
向量在解析几何中的应用
详细描述
数乘是将一个标量与一个向量相乘的运算。如果标量为正数，则结果向量的方 向与原向量相同；如果标量为负数，则结果向量的方向与原向量相反。数乘的 结果向量的模长是原向量模长与标量乘积。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点置于另一 个向量的终点，然后由第二个向量的起点指 向第一个向量的终点的向量。
几何意义
数量积表示两个向量在方向上的相似程度。如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} > 0$， 则$mathbf{A}$和$mathbf{B}$同向；如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} < 0$，则 $mathbf{A}$和$mathbf{B}$反向；如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} = 0$，则 $mathbf{A}$和$mathbf{B}$垂直。
第一讲向量及其线性运算
a a cos u
a
b
u
a
u
b
u
a a
u
u
例 9 设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA
OA a 求OA在OM方向上的投影 P rj OA AB M
φ
O
A
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则 三角形法则:
特别当b a 时, 有
a
➢运算规律: 三角不等式
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则
是一个数
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
定比分点公式
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 , M 的坐标 ,
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
中点公式
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
三个坐标为零
两个坐标为零 一个坐标为零
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
2）.
向量及其线性运算
表示与 a 同方向的单位向量，记作： a ea a
( 2 ) b ( 1 ) b 表示与 b 大小相同，方向相反的向量， 称为 b 的反向量或负向量。 如下图，则 a b 分别表示以 a , b 为邻边的平行
四边形的两条对角线向量。
b
a b
a
a b
根据三角形的性质，不难得到以下不等式：
a b a b a b
如下图 , 在平形四边形 例2、
ABCD 中 , 设 AB a ,
AD b . 试用 a 和 b 表示向量 MA , MB , MC , MD , 这里 M 是平形四边形对角线的 交点 .
第一节
一、向量的概念
向量及其线性运算
纯量：以数字来表示的量，如质量、体积等。 向量：既有大小又有方向的量，也称矢量， 如力、速度等。 向量的两个要素：大小和方向。 向量的表示：有向线段，如： a
M
N
向量的记法： 用小写字母记为 a , f , v 等。
用大写字母记为 MN , OA 等。
b
A
D
M
C
a
B
如下图 , 在 ABC 中 , AB BC CA 0
C
A
B
定理：设向量 a 0 , 则向量 b // a 的充要条件是
存在唯一实数 , 使 b a . 说明： b a 也称 b 可用 a 线性表示。 向量 a 的起点在原点，终点在 x 轴上， 且坐标为 a , i 为与 x 轴正向同向的单 位向量，试用 a , i 表达向量 a . 答案： a a i
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1 1 C a b 2 4 1 2 D a b 3 3
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解析 : 如图, AF AD DF
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3．向量的加法和减法 (1)加法 ①法则
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(5)两个向量平行的充要条件：
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若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.若a与b是两个非 零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实 数λ、μ，使λa＋μb＝0. 应特别注意非零的条件限制，要注意向量平行与直
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6. 线段中点的向量表示:若M是线段AB的中点, 1 O是平面内任一点,则 OM = 2 ( OA + OB ).
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考点陪练
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1.
在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的
中点,AE的延长线与CD交于点F,
若AC a, BD b, 则AF等于 1 1 A a b 4 2 2 1 B a b 3 3
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②运算性质： a＋b＝b＋a(交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)； a＋0＝0＋a＝a.
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一、“数形结合”思想
数形结合是求解向量问题的基本方法．向量 加法、减法的几何意义，充分体现了数形结合思 想． [例1] 四边形． 已知：AC、BD是四边形ABCD的两条对角线， 证明对角线互相平分的四边形是平行
意的．
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(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量 又叫共线向量 ， 任一组平行向量都可以移到同一直线
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(7)该命题不正确．因若b＝0，则对两不共线
的向量a与c，也有a∥0,0∥c，但a≠c；
(8)该命题不正确．
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(2)减法
①法则：三角形法则如右图所示 ②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
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4．实数与向量的积
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记
表示形式，但不能把两者等同起来；
(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方 向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； (6)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b 的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等； 又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c 的方向也必相同，故a＝c；
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5．共线向量定理：向量b与a(a≠0)共线的充
要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
与a同向且长度为1的向量，叫做a的单位向量， 记作a0，则a0＝ .
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解析 : 以向量AB, BC为邻边构造平行四边形ABCD, 如图, 则BC AD, 所以m AB BC, n AB BC DB, 向量m, n的长度相等,即平行四边形ABCD对角线长度相等, 所以ABCD为矩形, 故 ABC必为直角三角形且B为直角.
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2 解析 : 如图, AD AB BD c BC 3 2 2 1 c b c b c, 故选A. 3 3 3
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等，但其方向未必相同；
(3)该命题不正确，单位向量只是模均为单位长度1， 而对方向没要求；
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(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种
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由题意知, DE:BE 1:3 DF:AB, 1 AB. 3 1 1 1 1 1 2 1 AF a b ( a b) a b. 2 2 3 2 2 3 3
答案:B
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上．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度 (6)相反向量：长度 相等 相等 且方向 相同 的向量． 且方向 相反 的向量．
A
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2．向量的表示方法 (1)字母表示法，如：
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A. A､B､C三点必在同一直线上 B. △ABC必为等腰三角形且∠B为顶点
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C. △ABC必为直角三角形且∠B为直角
D. △ABC必为等腰直角三角形
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重点难点 重点：向量及其表示，共线向量定理． 难点：两个向量共线的充要条件．
知识归纳
1．向量的有关概念 (1)向量：既有 大小 又有 方向 的量叫做向量， 向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任
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(7)若a∥b，b∥c，则a∥c；
(8)若四边形ABCD是平行四边形， 解析：(1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只 是方向不定； (2)该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相
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第一讲
向量的概念与线性运算
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且AC与BD互相平分．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
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证明：如图所示，设AC∩BD＝O.
由已知得，A、O、C三点共线，B、O、D三点共线， 且AO＝OC，DO＝OB.