向量的概念与线性运算

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向量的概念及线性运算

向量的概念及线性运算考纲要求1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

2.理解向量的几何表示。

3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。

一、必备知识1.向量的相关概念（1）向量的定义：既有又有的量叫做向量。

（2）向量的长度：表示AB的长度，即AB的大小叫做AB的长度或称为AB的模，的向量叫做零向量，记作0，的向量叫做单位向量。

（3）平行向量：方向或的向量叫做平行向量。

规定：0与任何向量平行，平行向量也叫。

（4）相等向量：的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作b a .(5)相反向量：的向量叫做相反向量。

向量)0(≠a a 与b 共线的充要条件是存有唯一一个实数λ，使得。

二、必记结论1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- ，特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量。

2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则)(21+= 3.若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则（1）的重心。

为ABC P PC PB PA ∆⇔=++0（2）的重心。

为ABC G ∆⇔++=)(31 4.证明三点A 、B 、C 共线，借助向量，只需证明由这三点A 、B 、C 所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数λ，使得(0)a b b λ=≠。

三、题型归纳（独立完成三维设计P62考点一----考点三的练习，注意总结题型。

）。

向量的概念及线性运算

向量的概念及线性运算编制人：马兰主审人: 朱礼强一、新课引入1. 老鼠以10 m/s的速度向东跑，猫以50 m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量.2. 问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向.二、概念建构1．向量的有关概念2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ．三、例题选讲【例1】（1）已知下列结论： ① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；① 非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件； ① 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是DC AB =； ① λ，μ为实数，若λa = μb ，则a 与b 共线. 其中正确的序号为 .（2）设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使=a ba b成立的充分条件是( ) A .|a |=|b |且a ∥b B .a =-b C .a ∥b D .a =2b【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断.（2）利用单位向量与向量相等的概念求解.【规范解答】（1）对于①，当b =0时，条件满足但结论不成立；对于①，因为向量a 与b 都是非零向量，所以该命题是正确的；对于①，四边形是大前提，当AB DC =时，即AB∥DC ，且AB=DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =，所以①正确；对于①，当λ=μ=0时，a 与b 可为任意向量，不一定共线，所以①不正确.答案：①①.（2）选D .由a a 表示与a 同向的单位向量，表示与b 同向的单位向量，故只要a 与b 同向即可，观察可知D 满足题意. 【变式】1. 本例（2）①中，若b ≠0，该结论是否正确?【解析】若b ≠0，又a ①b ，b ①c ，所以a ①c 显然成立，故该结论正确. 2. 若本例（2）①中的实数λ，μ满足λ2+μ2 ≠ 0，该结论是否正确?【解析】由λ2+μ2 ≠ 0知实数λ，μ 中至少有一个不为0. (①)若λ≠0，μ=0，则λa =0·b =0.因为λ≠0，所以a =0，又0与任何向量共线，所以结论正确.(①)同理，若λ=0，μ≠0，结论也正确； (①)若λ≠0，μ≠0，由λa = μb 得a =μλb ，由共线向量定理知结论正确. 综上所述，该结论正确.【易错警示】解答本例题（1）有两点容易出错. （1）不清楚,a ba b 表示何种向量，不知道a a是a 方向上的单位向量. （2）求解时易忽视两向量是同向还是反向，是共线还是相等. 【规律方法】把握向量有关概念的关键点（1）定义：方向和长度.（2）非零共线向量：方向相同或相反，长度没有限制. （3）相等向量：方向相同且长度相等.（4）单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度.（5）零向量：方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线. 【变式训练】设a 0为单位向量，下列命题中：① 若a 为平面内的某个向量，则a=|a|·a 0； ① 若a 与a 0平行，则a=|a|·a 0； ① 若a 与a 0平行且|a|=1，则a= a 0. 假命题的个数是( )A.0B. 1C. 2D. 3【解析】选D .向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|·a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a= -|a|·a 0，故 ①① 也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.【例2】（1）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC +=( ) A. AD B.AD 21 C. BC 21D. BC （2）在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若,MN xAB y AC =+则x =________，y =________.【解题导引】（1）结合图形和三角形法则求解.（2）结合图形利用向量线性运算的法则求解.【规范解答】（1）选A .()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+111().222AC AB AC AB AD =+=+= （2）由2,AM MC BN NC ==得1,3CM AC =-11(),22CN BC AC AB =-=--所以1111().2326MN CN CM AC AB AC AB AC =-=--+=-所以11,.26x y ==-答案：11.26-，【规律方法】1. 平面向量的线性运算技巧（1）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解. 2. 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路（1）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.（2）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式. （3）比较，观察可知所求.【变式训练】已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且3,2OA OB OP -=则( )A . 点P 在线段AB 上B. 点P 在线段AB 的反向延长线上 C . 点P 在线段AB 的延长线上 D. 点P 不在直线AB 上【解析】选B .33111(),22222OA OB OP OA OB OA OA OB OA BA -==-=+-=+ 即12OP OA AP BA -==，所以点P 在线段AB 的反向延长线上.【例3】（1）已知向量a 与b 不共线，若λa +b 与a +λb 共线，则λ=________. （2）如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，2,,.3AE AD AB AC ===a b① 用a ，b 表示向量,,,,;AD AE AF BE BF ② 求证：B ，E ，F 三点共线.【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念求解. （2）①利用线性运算几何意义求解.②利用共线向量定理得出. 【规范解答】（1）因为λa +b 与a +λb 共线，所以存在实数x ，使λa +b =x (a +λb )，即λa +b =x a +x λb . 因为a 与b 不共线，所以,1,x x λλ=⎧⎨=⎩即λ2=1，所以λ= ± 1. 答案：±1（2）①由已知可得：11()22AD AB AC =+=(a +b )，因为2,3AE AD =所以AE = 23·12(a +b )=13(a +b )，11,22AF AC ==b112(),333BE AE AB =-=+-=-a b a b a 1.2BF AF AB =-=-b aBACDFE②由121,,332BE BF =-=-b a b a 得2,3BE BF =又,BE BF 有公共点B ，故B ，E ，F 三点共线.【规律方法】共线向量定理的应用（1）证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线. （2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线. （3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. 提醒：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.【变式训练】设e 1与e 2是两个不共线向量，AB =3e 1+2e 2，CB =k e 1+e 2，CD =3e 1-2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为 ( )A .94- B .49- C .38- D .不存在【解析】选A .由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB BD λ=，又AB =3e 1+2e 2，CB =k e 1+e 2，CD =3e 1-2k e 2，所以BD CD CB =-=3e 1-2k e 2-(k e 1+e 2)=(3-k )e 1-(2k +1)e 2，所以3e 1+2e 2=λ(3-k )e 1-λ(2k +1)e 2，所以3(3),2(21),k k λλ=-⎧⎨=-+⎩解得k =9.4-四、当堂检测1. 给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则DC AB =，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是 |a |＝|b | 且 a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是____________________．答案 ①2. [2017·全国卷Ⅱ]设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |＞|b |答案 A3. 在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC . 若AB ＝a ，AC ＝b ，则PQ ＝( )A. 13a ＋13b B. －13a ＋13bC. 13a －13bD. －13a －13b答案 A4. 在△ABC 中，点M ，N 满足MC AM 2=，NC BN =.若AC y AB x MN +=，则x ＝________；y ＝________. 答案 12 ，－165. 如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF 等于( ) A.AD AB 3121- B.AD AB 2141+ C.DA AB 2131+D.AD AB 3221- 答案 D6. 在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，则λ + μ等于( )A.1B. 12C. 13D. 23答案 D7. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AC AK AD AF AB AE λ===,21,52，则 λ的值为( ) A.29 B.27 C.25 D.23 答案 A8. 设两个非零向量a 与b 不共线.(1) 若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b ). 求证：A ，B ，D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.解（1）证明 ∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )∴CD BC BD +=＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB .∴AB ，BD 共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线.（2）解∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk -1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.五、课堂总结1. 把握向量有关概念的关键点2.平面向量的线性运算技巧3.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路4.共线向量定理的应用六、课后作业1．下列命题中正确的个数为( B )①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同； ②若非零向量AB →与CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ③若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；④四边形ABCD 是平行四边形，则必有|AB →|＝|CD →|； ⑤a ∥b ，则a 、b 方向相同或相反．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b 表示( D ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 kmD ．向东南走523．已知OA →＝a ，OB →＝b ，|OA →|＝5，|OB →|＝12，∠AOB ＝90°，则|a －b |＝( C ) A ．7 B ．17 C ．13D ．84．如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，则化简AB →＋AC →－AP →－AQ →的结果为( A ) A ．0B ．BP →C ．PQ →D ．PC →5．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( C ) A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD →D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →6．如图，正六边ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FE →＝( B ) A ．0 B ．BE → C ．AD →D ．CF →7．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|AB →＋BC →|，则△ABC 是( B ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8．O 是四边形ABCD 所在平面上任一点，AB →∥CD →，且|OA →－OB →|＝|OC →－OD →|，则四边形ABCD 一定为( D ) A ．菱形 B ．任意四边形C ．矩形D ．平行四边形9．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( C ) A ．P A →＋PB →＝0 B ．PB →＋PC →＝0 C ．PC →＋P A →＝0D ．P A →＋PB →＋PC →＝010．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，则|BC →|的取值范围是( A ) A ．[3,17] B ．(3,17) C ．(3,10)D ．[3,10]11．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( C ) ①a ∥b ②a ＋b ＝a ③a ＋b ＝b ④|a ＋b |<|a |＋|b | ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b | ⑥|a ＋b |>|a |＋|b |A ．①②⑥B ．①③⑥C ．①③⑤D ．②③④⑤12．化简下列各式：（1）AB →＋BC →＋CA →＝；（2）OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝；（3）化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝．解析：（1）AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0；（2）OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝BA →．（3）AC →．13．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝__1__． 14．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝．解析：OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →．15．如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →．解析：如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由向量加法的平行四边形法则知OA →＋OB →＝OD →．由|OA →|＝|OB →|，∠AOB ＝120°，知∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|．又∠COB ＝120°，且|OB →|＝|OC →|． ∴OD →＋OC →＝0，故OA →＋OB →＋OC →＝0．16．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的中点．求证：（1）AB →＋BE →＝AC →＋CE →；（2）EA →＋FB →＋DC →＝0．证明:（1）由向量加法的三角形法则， ∵AB →＋BE →＝AE →，AC →＋CE →＝AE →， ∴AB →＋BE →＝AC →＋CE →．（2）由向量加法的平行四边形法则，∵EA →＝EF →＋ED →，FB →＝FE →＋FD →，DC →＝DF →＋DE →，∴EA →＋FB →＋DC →＝EF →＋ED →＋FE →＋FD →＋DF →＋DE → ＝(EF →＋FE →)＋(ED →＋DE →)＋(FD →＋DF →)＝0＋0＋0＝0．七、课后反思。

《平面向量》第1讲平面向量的概念和线性运算

小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的；
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3

的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型加法代数运算
几何运算
a
坐标运算

向量的概念与线性运算

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第七章向量代数与空间解析几何
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7.1 向量的概念与线性运算
01 向量的概念
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02 向量的线性运算
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一向量的概念
向量：既有大小又有方向的量。
M2
向量表示： a或 M1M2
பைடு நூலகம்
M 1
以 M1为起点，M 2为终点的有向线段。
向量的模：向量的大小，记为 | a| 或 | M1|M2 。
单位向量：模长为1的向量。
零向量：模长为0的向量，记为 0，其方向是任意的。
自由向量：
不考虑起点位置的向量。
相等向量：大小相等且方向相同的向量。
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 。
二向量的线性运算
1 加法 a b c
b
c
平行四边形法则
三角形法则
a c
b
特殊地：若
a‖ b，
a
则分为同向和反向
向量的加法符合下列运算规律：
（2）结合律：
2 减法（3）（1）交换律：
a 与a 同向，
a 与a 反向，
3 数与向量的乘法（简称：数乘运算）设是一个数，它与向量的乘积是一向量，规定如下：数乘运算符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：
定理设向量 a0，则向量
必要条件是：存在唯一的实数
b平行于
，使得
a的充分
ba.
注：一般用 a0表示与非零向量 a同方向的单位向量，

向量概念与线性运算

向量1.向量的概念(1)向量的基本要素：___________________________.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：_______________________________.(4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔__________规定：O 与任一向量______单位向量：a O 为单位向量⇔____________(5)相等的向量：______________(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔__________⇔_____________(7)平行向量(共线向量)：_________.记作a ∥b .平行向量也称为______. 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数乘向量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=1．已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 为 _____________2．已知,,AB a BC b CA c ===,则0a b c ++=是,,A B C 三点构成三角形的______条件 3．若P 是ABC ∆的重心，则PA+PB+PC =____________4．若,a b 满足8,2a b ==，则a b +的最大值为____，最小值为_________ 5．若,OA a OB b ==，a b ==3，060AOB ∠=，则a b +=_________6．若32,43a eb e =-=-，则____a b =7．若,OA OB 不共线，且()AP t AB t R =∈，用,OA OB 表示OP 为_________ 8.设1(2,3),(1,5),,33A B AC AB AD AB -==且，则C 、D 的坐标分别是_________ 9.对平面内任意的四点A,B,C,D ，则AB BC CD DA +++= . 10．若3,a b =与a 的方向相反，且5,______b a b ==则 11．化简：（1）AB BC CD ++=_____________。

向量的概念与线性运算

定义
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积定义为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$之间的夹角。
向量的表示方法
总结词
向量可以用多种方式表示，包括文字、符号、箭头、有序对等。
详细描述
文字表示法是用“→”表示向量，例如a→表示向量a。符号表示法则使用字母来表示向量，如a、b、c等。有序对表示法则使用起点和终点的坐标来表示向量，例如(x1, y1, z1)→(x2, y2, z2)。箭头表示法则是在起点和终点之间画一条有箭头的线段来表示向量。
要点二
性质
线性相关的向量组中至少存在一个向量可以用其他向量线性表示。
向量组的秩
定义
向量组的秩是指该向量组中线性无关向量的最大数量。
性质
向量组的秩等于该组向量的行矩阵的秩，也等于列矩阵的秩。秩是向量组的一个重要的不变量，它反映了向量组中线性相关性的程度。
05
向量在几何中的应用
向量在解析几何中的应用
详细描述
数乘是将一个标量与一个向量相乘的运算。如果标量为正数，则结果向量的方向与原向量相同；如果标量为负数，则结果向量的方向与原向量相反。数乘的结果向量的模长是原向量模长与标量乘积。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点置于另一个向量的终点，然后由第二个向量的起点指向第一个向量的终点的向量。
几何意义
数量积表示两个向量在方向上的相似程度。如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} > 0$，则$mathbf{A}$和$mathbf{B}$同向；如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} < 0$，则 $mathbf{A}$和$mathbf{B}$反向；如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} = 0$，则 $mathbf{A}$和$mathbf{B}$垂直。

第一讲向量及其线性运算

➢性质
a a cos u
a
b
u
a
u
b
u
a a
u
u
例 9 设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA
OA a 求OA在OM方向上的投影 P rj OA AB M
φ
O
A
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则三角形法则:
特别当b a 时, 有
a
➢运算规律: 三角不等式
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则
是一个数
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
定比分点公式
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 , M 的坐标 ,
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
中点公式
第一讲向量及其线性运算
一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、向量线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
三个坐标为零
两个坐标为零一个坐标为零
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
坐标轴和坐标面的坐标特征:
z
坐标轴 :
2）.

向量及其线性运算

a (1 ) a
表示与 a 同方向的单位向量，记作： a ea a
( 2 ) b ( 1 ) b 表示与 b 大小相同，方向相反的向量，称为 b 的反向量或负向量。如下图，则 a b 分别表示以 a , b 为邻边的平行
四边形的两条对角线向量。
b
a b
a
a b
根据三角形的性质，不难得到以下不等式：
a b a b a b
如下图 , 在平形四边形例2、
ABCD 中 , 设 AB a ,
AD b . 试用 a 和 b 表示向量 MA , MB , MC , MD , 这里 M 是平形四边形对角线的交点 .
第一节
一、向量的概念
向量及其线性运算
纯量：以数字来表示的量，如质量、体积等。向量：既有大小又有方向的量，也称矢量，如力、速度等。向量的两个要素：大小和方向。向量的表示：有向线段，如： a
M
N
向量的记法：用小写字母记为 a , f , v 等。
用大写字母记为 MN , OA 等。
b
A
D
M
C
a
B
如下图 , 在 ABC 中 , AB BC CA 0
C
A
B
定理：设向量 a 0 , 则向量 b // a 的充要条件是
存在唯一实数 , 使 b a . 说明： b a 也称 b 可用 a 线性表示。向量 a 的起点在原点，终点在 x 轴上，且坐标为 a , i 为与 x 轴正向同向的单位向量，试用 a , i 表达向量 a . 答案： a a i

向量的概念及表示、向量的线性运算

向量的概念及表示、向量的线性运算向量的概念及表示、向量的线性运算在数学中，几何向量(也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小。

一个向量可以有多种记法，如记作粗体的字母(a、b、u、v)，或在字母顶上加一小箭头→，或在字母下加波浪线~。

如果给定向量的起点(A)和终点(B)，可将向量记作AB(并于顶上加→)。

给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。

许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力，等等。

与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。

一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。

此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。

因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类空间基本定理知，有且只有一组实数(x，y, z)，使得a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对(x，y, z)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y, z)。

这就是向量a的坐标表示。

其中(x，y, z)，也就是点P的坐标。

向量OP称为点P的位置向量。

3) 当然,对于多维的空间向量，可以通过类推得到,此略。

向量的概念与线性运算

空间的点与始点在原点的向量有一一对应关系，通常向量OM可称为点M对点O的向径，设点M的坐标为 (x,y,z)，即 OA=x，Ob=y，OC=z，由向量的加法法则可知
OM=OA+AP+PM =OA+OB+OC.
如果分别取三个以坐标轴正向为其方向的单位向
量，并依次记为i，j，k，称其为基本单位向量.由向量
的始点移到同一点O，并记a=OA，b=OB.以OA，OB 为邻边作平行四边形OACB,则称OC=c为a与b的和向量, 记为c=a+b.
向量加法运算的三角形法则：自a的终点B作BC=b，连接AC，则向量AC即为a与
b的和向量.这种求和常称为向量加法的三角形法则.
n个向量相加的法则：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作
向量在轴上的投影有以下性质：
性质7.1 Pr ju AB | AB | cos,其中为轴u与AB间的夹角.
性质7.2 有限个向量的和在任何给定轴上的投影等于各向量在该轴上投影之和.即
Prju(a+b+¨¨+e)= Prjua+ Prjub+ ¨¨+Prjue.
七、向量线性运算的代数表示
若向量OM=(x,y,z)，则可知向量OM在x轴，y轴， z轴上的投影依次为x，y，z.因此又称向量OM在三条坐标轴上的投影x，y，z为向量OM的坐标.
即向量OM的模等于其坐标平方和的算术平方根.
设向量OM与x轴，y轴，z轴的正向间夹角分别为 α,β,γ.由几何知识可知
cos OA ,cos OB ,cos OC .
| OM |
| OM |
| OM |
称cosα，cosβ，cosγ为该向量的方向余弦.

向量的概念及线性运算

(3)平行向量：方向_相_同__或_相_反__的_非__零__向量叫做平行向量．规定：0与任何向量平行，平行向量也叫做_共__线__向量．
(4)相等向量：__长_度__相__等_且__方_向__相__同___的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.
(5)相反向量：__长_度__相__等_且__方_向__相__反__的向量叫做相反向量．
授人以渔
题型一向量的基本概念(自主学习)
例1 判断下列各说法是否正确： (1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关； (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (3)单位向量都相等； (4)若向量A→B与向量C→D是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上； (5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．
思考题4 (1)在△ABC中，A→D＝2D→B，C→D＝13C→A＋λ C→B，则λ＝___23_____．
【解析】方法一：由A→D＝2D→B，知A，B，D三点共线． ∴13＋λ＝1，从而λ＝23.
题型三共线向量定理及应用
例3 设a，b是不共线的两个非零向量： (1)若O→A＝2a－b，O→B＝3a＋b，O→C＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
【解析】 (1)证明：∵A→B＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， B→C＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2A→B， ∴A→B与B→C共线，且有公共端点B. ∴A，B，C三点共线．
向量的概念及线性运算
01 课前自助餐 02 授人以渔
课前自助餐
向量的有关概念 (1)向量的定义：既有_大_小___又有_方__向___的量叫做向量． (2)向量的长度：表示A→B的_有__向__线_段__的长度，即A→B的大小叫做A→B的长度或称为A→B的模，__长__度_为__0_的向量叫做零向量，记作 0，_长__度_等__于__1个__单__位_的向量，叫做单位向量．

向量的概念及线性运算

力的合成与分解
力的合成
当有两个或多个力同时作用于一个物体时，这些力可以合成一个合力，合力的大小和方向可以通过向量加法得到。
力的分解
如果已知一个力的大小和方向，那么这个力可以分解为两个或多个分力，分力的大小和方向可以通过向量减法和数乘得到。
速度和加速度的计算
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量，可以用向量表示，其大小等于位移的模与时间的比值，方向与物体运动方向相同。
向量的概念及线性运算
目录
• 向量的定义与表示 • 向量的线性运算 • 向量的数量积与向量积 • 向量的混合积与点积 • 向量线性运算的应用
01 向量的定义与表示
向量的定义
01
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
02
向量的大小称为向量的模，记作|a|。
03
向量的方向由起点指向终点的箭头表示。
向量减法的定义
向量减法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点作为结果向量的起点，以第一个向量的终点作为结果向量的终点。
向量减法的性质
向量减法满足交换律，即$vec{a} - vec{b} = vec{b} vec{a}$。
向量减法的几何意义
向量减法的几何意义是将两个向量的起点重合，然后以第一个向量的终点为起点，第二个向量的起点为终点作一条新的量的点积定义
对于两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，其点积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$，其中 $theta$是两向量的夹角。
几何意义
点积的几何意义是向量$mathbf{a}$与向量$mathbf{b}$在方向上的投影长度之积。

向量线性运算知识点总结

向量线性运算知识点总结一、向量的定义在数学中，向量通常用箭头符号表示，比如$\vec{a}$或者$\overrightarrow{AB}$。

向量是有方向和大小的量，通常用于表示空间中的位移、速度等。

在n维空间中，一个向量可以表示为一个具有n个有序实数的n维坐标组$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，而在实际应用中，可以用行向量或列向量来表示。

在数学中，向量可以用于表示空间几何中的位移、速度、力等，同时也可以用于表示抽象意义上的量，比如代数中的多项式、矩阵等。

在计算机科学中，向量也被广泛应用于向量空间的表示，比如在机器学习中的特征向量等。

二、向量的线性运算向量的线性运算包括两种基本运算：向量的加法和数乘运算。

1. 向量的加法设有两个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，则它们的和是一个n维向量，记作$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)$。

向量的加法满足以下性质：- 交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$- 结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$- 零向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$，其中$\vec{0}$表示零向量- 相反向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$，其中$-\vec{a}$表示向量$\vec{a}$的相反向量2. 数乘运算设有一个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和一个实数$k$，则它们的数乘运算结果是一个n维向量，记作$k\vec{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$。

高等数学A-8.1向量及其线性运算

, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且

b
故b =a
再证数的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 0, 即 .
8-1 向量及其线性运算
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向
8-1 向量及其线性运算
第一节向量及其线性运算
一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影
8-1 向量及其线性运算
一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
2.表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
8-1 向量及其线性运算
例8 设点A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为

3
,

4
,
且
OA
6, 求点A
的坐标
.
解:
已知

3
,

4
,
则
cos2 1 cos2 cos2
8-1 向量及其线性运算
杂诗（东晋）陶渊明
盛年不再来，一日难再晨. 及时当勉励，岁月不待人. 日月掷人去，有志不获聘. 眷眷往昔时，忆此断人肠.
8-1 向量及其线性运算
第八章向量代数与空间解析几何
向量，也称为矢量，在几何、物理、力学和工程技术中有着广泛的应用.
本章内容分为两部分: 1.向量代数 2.空间解析几何：把代数方程与空间几何图形对应起来，从而可以用代数的方法研究几何问题. 空间解析几何的知识为多元函数微积分的学习作了准备.

向量知识点

第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。

（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。

（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。

A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。

记作：4、零向量：长度为0的向量。

记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。

关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

记作：，或规定：零向量与任一向量平行。

2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。

记作：，或零向量与零向量相等。

3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。

注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。

1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。

解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。

（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。

（6）错误方向不定。

（7）错误线段AB可与线段CD平行。

（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。

[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。

10.1 向量及其运算

负向量 (1) a 称为 a 的负向量，记为 a ．

差运算 a 与 b 的和称为 a 与 b 的差，

记为 a b．
C

b

b
A

a

a b
B
C

b

D
a b

a b
A

a
B
三角形法则
平行四边形法则
向量满足下列运算规律：
(1)
交换律

a b b a
a
b
(3)
Prj b a

a b

e
a

b
|a|
Prj a b

a b

e
b

a
|b|
例 1.设
a, b, c
是三个任意向量，若分别以OA, OB 和OC表示，
点P,Q, R, S 分别是线段 OA, AB, BC,CO 的中点．试分别
求出OP
,OQ ,OR,OS与a,
b,
c的关系式，从而推证
PQ

SR．
解
显然，OP

1 2
OA

1 2
a
，OS

1 2
OC

1 2
c

b
)

时，则称

a
与

b
垂直(正交），记

a b．
2

定义

给定向量 a

数学向量的知识点总结

数学向量的知识点总结一、向量的定义和表示1. 向量的定义在几何学中，向量通常表示为具有大小和方向的箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在代数学中，向量可以用有序数对表示，例如 (a, b)，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

2. 向量的表示向量通常用一个字母加上一个有向线段或者一个箭头表示，比如AB→ 或者a→，其中 AB表示向量的起点和终点，箭头表示向量的方向和大小。

在数学中，向量通常用粗体字母来表示，比如a或者a。

3. 向量的模和方向向量的模表示向量的大小，通常用两点间的距离来表示。

向量的方向表示向量指向的方向，通常用夹角或者方向余弦来表示。

例如，向量 a 的模表示为 |a|，向量 a 的方向表示为θ。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量的和等于连接它们的两条边的和。

向量的加法可以表示为 c = a + b，其中 c 表示两个向量的和，a 和 b 分别表示加数。

2. 向量的减法向量的减法可以看成是向量加法的逆运算，即 c = a - b 等价于 c + b = a。

向量的减法也满足三角形法则，即两个向量的差等于连接它们的两个端点的线段。

3. 向量的数量积向量的数量积又叫作点积或者内积，表示为 a·b，定义为a·b = |a| |b| cosθ，其中 |a| 和 |b|分别表示向量的模，θ 表示两个向量的夹角。

向量的数量积是一个标量，表示向量的大小和方向之间的关系。

4. 向量的向量积向量的向量积又叫作叉积或者外积，表示为 a×b，定义为|a×b| = |a| |b| sinθ n，其中 |a×b| 表示向量的模，n 表示两个向量所在平面的法向量。

向量的向量积是一个向量，表示向量的方向和大小之间的关系。

三、向量的线性运算1. 向量的线性组合给定一组向量a₁, a₂, ..., aa 和一组标量k₁, k₂, ..., ka，它们的线性组合定义为k₁a₁ + k₂a₂ + ... + k aaa。

向量及线性运算

(a)

0.
[2]
减法
a

b

a

(b)

a

b
b
a
三角不等式
a

b
(1)
|
a

b
||
a
(2)
|
a

b
||
a
| |

| |
b b c
c a

a
b|

b|

a
(b ) b
b
2、向量与数的乘法
设是一个数，向量a 与的乘积a 规定为
（2）分配律：( )a a a
(a

b)

a

b
例1
化简
a

b

5

1
b

b

3a

解
a

b

5

1
b

2 b

3a
5

2
5

(1
3)a

1

5 2

1 5

5
b

2a
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.

向量及其线性运算

China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
高等数学
由图上可以看出
a = M 1 M 2 = M 1 B + BM 2 = M 1 A + AB + BM 2
而 M 1 A = P1 P2
R2 R1
M2 M1
A
B
k
AB = Q1Q2 BM 2 = R1 R2 ⇒
∵ a ≠ 0，故 λ − µ = 0，即 λ = µ .
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
高等数学
此定理是建立数轴的理论依据数轴：数轴：点、方向、单位长度方向、点P 向量 OP = xi
．
O
1
x ． P
i
x
实数 x
轴上点P的坐标为的充分必要条件是轴上点的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 的坐标为另外设a 0 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定， a 0 = a0 . a =| a | a |a| 上式表明：上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 个与原向量同方向的单位向量
在 x 轴上的投影的值
M2 M1
A
B
y2 − y1
P1 P2
k
Q1
Q2
为向量 M 1 M 2 在 y 轴上的投影有向线段 R1 R2 的值 z2 − z1 为向量 M 1 M 2 依次记作 a x
i
o
j
y
x
在 z 轴上的投影

向量的概念与线性运算

向量的概念及线性运算

向量的概念及线性运算

《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算

向量的概念与线性运算

向量概念与线性运算

向量的概念与线性运算

第一讲向量及其线性运算

向量及其线性运算

向量的概念及表示、向量的线性运算

向量的概念与线性运算

向量的概念及线性运算

向量的概念及线性运算

向量线性运算知识点总结

高等数学A-8.1向量及其线性运算

向量知识点

10.1 向量及其运算

数学向量的知识点总结

向量及线性运算

向量及其线性运算

《平面向量》第1讲平面向量的概念和线性运算