第3章3_多自由度体系的振动.

Y X sin( t )
X 称为体系的振幅向量：
ω—体系自由振动时的圆频率，简称为频率或自振频率。
m1 0 m2 0 mn 1 k11 y k y 2 21 y n k n1 k12 k 22 kn2 k1n k 2n k nn y1 y 2 0 yn
y1 X (1) y X (2) 2 t ) sin( X (n) yn
t ) 即 ：Y X sin(
knn 0 kn1 kn2 k k n1 n2
也可以写成：
KY 0 MY
一、刚度法
设微分方程式的特解为：
y1 X (1) y X (2) 2 t ) sin( X (n) yn
各质点按同一频率同一位相 作简谐振动。可写成 ：
写成矩阵形式为：
f11 f 21 f n1 f12 f1n f 22 f1n f n 2 f nn 1 1 0 y 0 y1 m1 1 y 2 m2 y 2 0 0 m y 0 1 n yn n
b. 依次给予约束一单位位 移。在此位移影响下， 其它约束均产生反力。
如质点1受力： 惯性力： m1 1 y
1
K12 K22 K32 Kn2
(
各约束的反力： k1i yi
约束是虚设的，这些反力之和应为零。质点1的平衡方程式为：
1 k11 y1 k12 y2 k1n yn 0 m1 y
第三节 多自由度体系的振动
1. 2.
运动微分方程式的建立及求解 振型向量的概念 ；
3.
自由振动频率和振型计算示例 ；
3.1 运动微分方程式的建立及求解 一、刚度法
刚度法：由各质点力的平衡条件建立运动微分方程；
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按照位移法的概念求解：
a. 对体系所有的独立位
1
2
3
n
移都施加相应的约束；
1
K21 K31 Kn1 K11
一、刚度法
同理，体系中的每一个质点都可以列出相应的动力平衡方程 式，即用刚度法推导的多自由度体系自由振动时的运动微分 方程式。 m k y k y k y 0 y
2 k21 y1 k22 y2 k2n yn 0 m2 y n kn1 y1 kn2 y2 knn yn 0 mn y
1 1 11 1 12 2 1n n
写成矩阵形式为：
m1 0 m2 0 mn 1 k11 y k y 2 21 y n k n1 k12 k 22 kn2 k1n k 2n k nn y1 y 2 0 yn
0 0 2 n (km mn ) 11
由此可以求出n个自由振动频率。按其数值由小到大排列为 ω1ω2…ωn。其中最小频率称为基本频率。
二、柔度法
柔度法：由各质点运动的位移协调条件建立微分方程； 按照力法的概念求解： n 1 3 2 a. 确定体系的振动自 由度； b. 依次给予质点施加 f n1 f 11 f 31 f 21 一单位力。在此力 1 作用下，各质点产 生的位移。 f n2 f 12 f 32 f 22 如质点受力： i y 惯性力： mi 1
KY 0 MY
方程特解：
KY 0 将Y 代入方程 ： MY 即： 2MX sin( t ) KX sin( t ) 0 则： (K 2M )X 0
这是一组X的线性齐次方程式组。欲使振幅向量X存在非零 解，即体系发生振动，则必须有： K 2M 0 这个方程称为频率方程，未知量为频率ω。将上式展开为： 2 ( k ) k m1 0 k1n k11n 11 m 12 k11 k12 2 2 k 21 ( k mm k k21 k22 k 21 11 2 )2 21
1 fi2m2 2 finmn n y y i点位移： yi fi1m 1y 1 fi2m2 2 finmn n yi 0 y y y 即： fi1m1
二、柔度法
同理，体系中的每一个质点都可以列出相应的动力位移方程 式，即用柔度法多自由度体系自由振动时的运动微分方程式。
1 f12 m2 2 f1n mn n y1 0 f11 m1 y y y 1 f 22 m2 2 f 2 n mn n y 2 0 f 21 m1 y y y 1 f n 2 m2 2 f nn mn n y n 0 f n1 m1 y y y