理论力学 多自由度体系的微振动共47页文档
第4章：多自由度系统的振动
F2 (t)
c3 x2
平衡条件: F1(t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k1x1 c1x1 m1x1
F2 (t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k3x2 c3x2 m2x2 (4.1.1)
矩阵形式:
m1
0
0 m2
x1 x2
k12
k21
k22 p2m2
m1m2
2 1
p2
2 2
p2
解出：
X1
(k22
m1m2
(
2 1
p2m2 )F1
p2
)
(
2 2
p2)
X2
k21F1
m1m2
(
2 1
p2
)
(
2 2
p2)
(4.1.31)
频响函数：
H11( p)
X1 F1
(k22 p2m2 )
m1m2
(
2 1
p2
)
(
2 2
p2)
(4.1.32)
齐次方程:
k11 2m11 k21 2m21
k12 k22
2m12 2m22
A1 A2
0 0
(4.1.9)
非零解条件 :
k11 2m11 k21 2m21
k12 2m12 k22 2m22
0
频率方程:
第4章 多自由度系统的振动
a4 b2 c 0
(4.1.10)
a m11m22 m122 , b k11m22 k22m11 2k12m12 , c k11k22 k122
A11 A21
sin(1t sin(1t
1) 1)
第六章 多自由度体系的微振动
设体系的两个广义坐标为 x 1、x 2 ，则体系的拉格朗日方程为
d
dt
d
dt
T x1
T x 2
T x1 T x1
V x1 V x2
0 0
（6.1）
对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的 二次齐次式，即
T 1 2 i,j 2 1 A ix jix j 1 2 (A 1x 1 1 2 2 A 1x 2 1 x 2 A 2x 2 2 2 )
解：自由度为2，取 1 和 2 为广义坐标，则
T
1m 2
l2(212
22
212)
V
1m 2
g(l212
22)
（1）
将（1）代入拉格朗日方程得
21
2
2
g l
1
0
1
2
g l
2
0
令（2）式的特解为
（2）
12
A1sin(t) A2sin(t)
（3）
将（3）代入（2）得
2(
g l
2 )A1
2
A2
0
（6.10）
或
2
Aj(bijai j 2)0, i1,2
j1
（6.11）
由（6.10）知：A1A20，由此得 x1x20，对应于体系的平衡状态，
不是 所需要的解。要使（6.10）中的 A1, A2 有异于零的解，方程的系数行 列式必须为 零，因 a21 a1,2b21 b1，2 得，
b11a112 b12a122 b12a122 b22a222 (b11a1 1 2)b (22a2 2 2)(b12a1 2 2)20
引进两个新的坐标 q 1 x 1 x 2 ,q 2 x 1 x 2 ,分别将（2）和（3）相加减，得 q1 mk q1 0
多自由度系统的振动
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
返回首页
两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
4-第4章 多自由度体系的振动分析
T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni
n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n
将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0
振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）
如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：
第三章(多自由度系统的振动)
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
( K 2 M ) 0
1 1 1 2 1 1
有非零
det( K 2 M ) 0
1
k (1 2 )k , 2 m m
多自由度系统的固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
固有振动：
k (1 2 ) k 1 1 u1 (t ) sin t 2 m t 1 , u2 (t ) 1 sin m 1
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的?
( K r2 M ) r 0
结论: 当 r 不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见 <<振动力学>>刘延柱第74页).
多自由度系统的固有振动
【例】设图中二自由度系统的物理参为 m1 m2 m, k 1 k 3 k , k 2 k , 0 1 ,确定系统的固有振动.
《多自由度系统振动》课件
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
6 多自由度体系的微振动
V
x
• 当超过弹性限度后，势能将越来越偏离 谐振势能
F
线性近似
例：单摆
M dV d mgl sin
V mgl 1 cos
• 在较大摆角下，势能不是谐振势 • 在很小的摆角范围，势能近似为 谐振势：
2 4 V mgl 1 cos mgl 2! 4!
第六章 多自由度体系的微振动
本章内容
多自由度的微振动是自然界十分普遍的运动 体系，如：双摆，多原子振动，固体晶格振 动等。本章学习： 多自由度体系谐振动的概念 振动的描述
线性近似
例：弹簧振子。在弹性限度内，势能为 二次函数，力为恢复力
V 1 2 kx
2
F
dV dx
kx
g sin 0 , l l g f t l
• 当力学体系在稳定平衡位置附近做微小 振动，只考虑最低级近似－线性近似， 体系做线性振动 • 稳定平衡：保守体系在稳定平衡位置的 势能有极小值（拉格朗日定理）
一、有限多自由度的线性振动
极值条件：
t
2 2 2
1
0
0
t
2 2
2 2
2
2
2
0 0
0
0
t
2
3
0
2 02 2 0 0
0
2
2 2
2 0 0
2
2 0 2 2 0 0
A B 0 C
关于A,B,C的 代数方程组 “特征值问题”
2
• 在平衡位置（x=0）附近展开：
多自由度系统振动
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
04多自由度体系振动分析 1
12 / 7 18 / 7 0.897 3 ˆ Kφ ˆ 2 2.23 1 φ 0 . 000154 ( EI / l )0 18 / 7 48 / 7 1
T 1
第四章 多自由度体系的振动分析
2)自振频率的计算
已知振型，计算对应的自振频率。 将自由振动的通解 Y Ci φ i sin(i t i ) 代入运动方程
FI 3 j
T Ii
T Ij
第四章 多自由度体系的振动分析
FIiT φ j FIjT φ i
代入惯性力表达式，得：
T 2 T i2φ iT Mφ j 2 φ M φ j j i j φ i Mφ j
上式中矩阵的乘积为一数值可自由转置，从而可得到：
( )φ Mφ j 0
2k m 2 k k k m 2 0
k22 k
(2k 2 m)(k 2 m) k 2 0
1 0.618 k / m
2 1.618 k / m
第四章 多自由度体系的振动分析
2）振型分析 将求得的第i阶频率代入振型方程：
( K i2 M )φi 0
一个特解对应一种振动形式！
按每一特解形式作自由振动时： 1）体系上所有质量的振动频率相同。 2）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变 位移的比值保持不变， 即振动形状保持不变，将此振动形式称作主振型，简称 为振型（Mode Shape）。
第四章 多自由度体系的振动分析
2、自由振动的通解
特解1 特解 1 特解2 特解 2
φ i (1i , 2i ,, ni )T
所有振型向量组成的矩阵称为振型矩阵：
11 12 22 21 φn ) n1 n 2 1n 2n nn
第三章多自由度系统的振动
第三章 多自由度系统的振动§3-1 运动微分方程的建立图3-1所示的具有n 个质体的无重简支梁，它就是一n 个自由度系统。
设系统在质体m 1，m 2，m 3，…，m n 的静力作用下维持平衡状态，若受到某种外来因素F i (t)(i=1,2,3,…n)的干扰，破坏了原来的静力平衡状态，各质体在其静力平衡位置附近振动。
假定这个结构的振动由梁上一系列离散点的位移y 1(t)，y 2(t)，y 3(t)，…，y n (t)所确定，它们以图中所示的方向为正。
这n 个位移即系统的n 个几何坐标。
图3－1 有n 个质体的无重简支梁用刚度法(stiffness method)建立运动方程。
根据达朗贝尔原理，考虑质体所产生的惯性力，就将原来的动力问题在形式上转化为静力问题。
这样，就可对图示系统的每个自由度列出平衡方程，即系统的运动方程。
分别考虑各个质点的位移、速度和加速度引起的约束反力，叠加后的总反力为零，得以下n 个平衡方程：111112112221222212n n n n n n n n m y c c c ym y c c c y m y c c m y⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥++⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎩⎭1112111212222212n n n n nn n n k kk y F k k k y F k k k y F ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭(3-1)式中，m i 为第i 个质体的集中质量；c ij 为j 坐标的单位速度所引起的i 坐标的阻尼力；k ij 为j 坐标的单位位移所引起的i 个坐标的弹性力；y i ，i y和i y 分别为i坐标的位移、速度和加速度。
式(3-1)可简写为MyCy Ky F ++= (3-2)式中，K ，M 和C 分别为系统的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们通称为系统的特性矩阵；y ，y 和y为位移、速度和加速度向量；F 为荷载向量。
理论力学 多自由度体系的微振动47页PPT
理论力学 多自由度体系的微振动
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能பைடு நூலகம்所向披 靡。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
振动力学第四章多自由度系统的振动
2k K k 0
k 2k k
0 k k
2 将M和K代入频率方程 K p M 0
2k p 2 m k 0
k 2k p 2 m k
0 k k 2 p2m 0
4.1 固有频率 主振型
4.1.3位移方程的解
当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有 代入位移方程 x 0 Mx
xi Ai sin( pt )
sin( pt )
i 1,2,3,n
p 2 MA A 0
LM
( M 1 I)A 0 2 p
例 题
(2k p 2 m)(k 2 p 2 m) k 2 adj B k ( k 2 p 2 m) 2 k
(2k p 2 m)(k 2 p 2 m) k ( 2 k p 2 m) k ( 2 k p 2 m) ( 2 k p 2 m) 2 k 2 k ( k 2 p 2 m) k2
1 I 2 p
特征矩阵
频率方程
M
1 I 0 2 p
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩 阵adjL将pi值代入而求出.
4.1 固有频率 主振型
例 题
例 图是三自由度振动系统，设k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。 解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚 度矩阵分别为
FT
11
l
FT
11
3l
1
11
3l 4T
由图中三角形的几何关系可解出
21 11
第4章多自由度系统的振动
解：我们用Lagrange方程来建立振 动方程。
co s i sin j ) v1 l ( 1 1 1 1 v 2 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 ) i s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 v 3 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 3 c o s 3 ) i s in s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 3 3
qj 1
其余广义坐标的加速度为 0 ，为此而需要在各个广义坐标 方向上施加的广义力向量就是质量矩阵的第 j 列。
《振动力学》讲义 第4章 多自由度系统的振动 对于直梁，经常用几个位置的挠度作为广义坐标，来近似 描述直梁的振动。这时，采用影响系数法，建立梁的柔度矩 阵更方便的，因而需要用到简单边界条件下梁的挠度公式。 简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为 P
第四章 多自由度系统的振动
大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类， 系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度 系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简 化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和 基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将 n自由度系统分解成 n 个单自由度系统，每个单自由度 系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态）， 将各个单自由度系统的振动叠加便得到原系统的振动。 因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使 用。
系统的动能为
m1 1 1 2 2 2 1 m 2 y 2 m 3 y 3 ) { y1 , y 2 , y 3 } 0 T ( m1 y 2 2 0 0 m2 0 0 0 m3 y1 y2 y 3
多自由度系统振动
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
准静态外力列向量
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
KX P (t ) 作用力方程： MX
KX P (t )
X Rn
假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.
T T X [ x ,..., x , x , x ,..., x ] [ 0 ,..., 0 , 1 , 0 ,..., 0 ] 即： 1 j 1 j j 1 n
k11...k1 j ...k1n k 21...k 2 j ...k 2 n K .......... .......... . k n1...k nj ...k nn n n
刚度矩阵第 j 列
P 1 (t ) P (t ) P (t ) 2 Pn (t )
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
KX P (t ) 作用力方程： MX
X Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？ 先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统
KX P (t )
0 加速度为零 X
静力平衡
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 。 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
第8讲 多自由体系的微振动
第六章多自由体系的微振动一．多自由度体系线性自由振动的一般处理方法二．简正坐标三．寻找简正坐标的一般方法代入拉格朗日方程：特解为：代回微分方程：12;A A 有不为零的解：上述四个根，则有：代入拉格朗日方程：引入新坐标：；，削去了动能中的交叉项，应用拉格朗日方程，可以表示成两个独立广义坐标的二阶微分方程：应用()12;q q 比()12;x x 方便！()12;q q 称为简正坐标。
简正坐标的物理意义：（1） 如果体系的振动过程中只以一个频率振动，其余频率的振动没有激发，则反映这种振动模式的坐标称为简正坐标。
相应的振动模式称为简正振动，（2） 体系的任意一种状态都是各种不同简正振动的线性叠加。
2．寻找简正坐标的方法：通过坐标变化，使得：设：通过变换使得：；同时变为：；我们寻找C！先考虑势能：（用矩阵表示）例：（1）将势能写成矩阵形式：（2）求本征值方程：解得：对应于对角化变换矩阵为：则：用矩阵表示：其中：转换矩阵：代回到方程中：其中：我们的目的是使势能变成：这就要求D 是对角矩阵：其中：12,,n λλλ 称为矩阵B 的本征值，本征值方程为：矩阵 C 由 矩阵 B 的本征矢量 11,,n K K K组成：其中：通过上述变换，使得势能变成了平方和的形式，保持势能的平方和形式不变，再做一次变换使得动能也变成平方和形式：变换：取：动能和势能的系数矩阵：取：例：变换坐标：势能项已经是平方和形式了，取：代回到：则有：归一化解：由：得到：则：作业：1．P186 对于3个广义坐标的情况，求简正坐标。
2．阅读并理解P187 的6.5 节。
第六章多自由度体系地微振动
第六章多自由度体系的微振动教学目的和基本要求：正确理解线性振动的概念和力学体系平衡的分类；能运用拉格朗日方程初步分析两个自由度保守体系的自由振动问题；理解简正坐标的概念并了解利用简正坐标将复杂振动转化为简正振动的方法和意义。
教学重点：掌握运用拉格朗日方程分析两个自由度保守体系的自由振动问题的方法和简正坐标的物理意义。
教学难点：简正坐标的物理意义。
§6.1 振动的分类和线形振动的概念振动不仅在宏观领域大量存在（如单摆、弹性振子和地震等），在微观领域也是一种普遍现象（如晶体中晶格的振动、光学中分子的振动等）。
振动的种类根据所依据的标准不同可有几种分类方法，下面将简单介绍。
一：振动的分类1.按能量的转换来划分.自由振动——系统的能量E为常数，即能量守恒。
阻尼振动——系统的能量E逐渐转化为热能Q。
强迫振动——系统不断从外界吸收能量并将其转化为热能Q。
2.按体系的自由度划分.单自由度振动——体系的自由度S=1。
有限多自由度振动和无限多自由度振动——体系的自由度为大于1的有限值或无限大值。
3.按体系的动力学微分方程的种类划分.线性振动——体系的运动微分方程为线性方程。
非线性振动——体系的运动微分方程为非线性方程。
4.本章研究的主要问题.以上我们按不同的标准将振动进行了归类，实际上这几种标准是相互交叉的，也就是说振动还可以按照以上两个或三个标准进行进一步的归类。
如线性振动还可以进一步分为单自由度线性振动、有限多自由度线性振动和无限多自由度线性振动。
表6.1给出了同时按自由度和微分方程的种类对振动进行的分类。
我们在本章研究的主要问题是有限多自由度的线性振动，所以有必要对线性和非线性振动做进一步讨论。
表6.1二：有限多自由度线性振动1.定义：体系的自由度为有限多个且体系的运动微分方程为线性方程。
例如：单摆的运动微分方程为0=+θθsin lg ，方程为非线性的。
但当θ很小时有θθ≈sin ，方程变为线性方程0=+θθlg 。