2.3 一元二次方程的应用(2) 参考教案
一元二次方程的应用教案
一元二次方程的应用教案一、课题：一元二次方程的应用二、教学目标：知识和技能目标：能够根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，并正确解释方程的根。
过程和方法目标：列出方程并总结运用方程解决实际问题的步骤，提高学生逻辑推理能力和解决问题能力。
态度和情感目标：体会一元二次方程是刻画现实社会数量关系的工具，正确认识到数学的实际价值。
三、教学重难点：教学重点：找出等量关系并列出一元二次方程教学难点：从实际问题中抽象提炼出一元二次方程四、教学过程设计（一）提出问题，导入新课教师提出问题：“列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？”、“一元二次方程都有哪些解法？”“如果两个连续整数的积是60，求这两个数？（列出方程并猜一猜这两个数）”。
通过学生的回答，复习一元二次方程解应用题的一般步骤以及一元二次方程的解法。
同时，在通过方程的例题，很容易猜出这两个数，教师可以适时提出：“是不是所有问题都可以用方程的方法解决？本节课我们就一起学习一元二次方程的应用。
”（二）出示课件，讲解新课教师出示PPT，列出一元二次方程的解题步骤是：审→设→找→列→解→验→答。
其中，审：主要是指审题，全面分析题意，分析题干中哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
设：主要是指用字母设未知数。
找：主要是找出应用题中的等量关系。
列：主要是指列一元二次方程，这也是一元二次方程解应用题的关键步骤，先找出等量关系，再根据代数式表示等量关系中的各个量，从而列出一元二次方程。
解：主要是解一元二次方程，求出一元二次方程，未知数的值。
验：主要是指检验方程的解是否符合题意。
答：写出答案。
在掌握一元二次方程解题步骤的基础上，教师列出一元二次方程的常见题型是：传播问题、增长率问题、几何图形问题、数字问题、营销问题、利息问题等。
（三）设计任务，小组讨论根据一元二次方程的主要题型，设计相应题目，引导学生分小组进行讨论、解决。
例如：某镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷，①求该镇2012年到2014年绿地面面积的年平均增长率？②若增长率不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？针对增长率的问题，学生经过探究和讨论发现，增长率问题会涉及到最后产量、基数、平均增长率、平均降低率等关键因素，这种情况下，如果平均增长率百分率为x ,增长前基数为a，增长n次的最后产量是b,则数量关系可以表示为：a（1+x）n=b,如果是降低率则可以表示为：a（1-x）n=b，其中1与x的位置不能调换。
人教版九年级数学上册第21.3：一元二次方程的应用教案
一、教学内容
人教版九年级数学上册第21.3节：一元二次方程的应用教案。本节课主要围绕以下内容展开：
1.利用一元二次方程解决实际问题的步骤和技巧。
2.分析实际问题，找出等量关系，列出相应的一元二次方程。
3.解决以下类型的实际问题：
a.行程问题：如速度、时间和路程的关系。
-重点强调从实际问题中抽象出一元二次方程的过程，以及如何利用方程求解实际问题。
-着重讲解如何建立等量关系，尤其是涉及两个未知数的情形，以及如何将实际问题转化为数学模型。
-例：在行程问题中，重点讲解速度、时间和路程的关系，即路程=速度×时间，以及当速度变化时如何建立一元二次方程。
2.教学难点
-难点在于让学生理解并掌握如何从复杂的实际问题中提取关键信息，建立正确的等量关系。
c.在比例分配问题中，如何根据不同条件建立比例关系，并将问题转化为求解一元二次方程。
-难点还包括如何引导学生运用数学语言准确描述问题，以及如何将实际问题与一元二次方程求解过程有效结合。
在教学过程中，教师需要针对这些重点和难点内容，采用直观演示、案例分析、小组讨论等多种教学方法，帮助学生理解和掌握一元二次方程在实际问题中的应用，确保学生能够透彻理解并灵活运用所学知识。
还有一个值得注意的问题是，在课堂总结环节，虽然大多数学生能跟上教学进度，但仍有少数学生对所学知识掌握不够牢固。为了确保每个学生都能学好这门课程，我打算在课后加强个别辅导，针对学生的薄弱环节进行有针对性的指导。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案
一、教学内容
本节课为“2.3用公式法求解一元二次方程”第2课时教案，依据人教版数学八年级上册教材，教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握一元二次方程的求根公式，即：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
2.学会运用求根公式解决实际问题，特别是当判别式\(b^2 - 4ac\)大于、等于或小于0时的情况讨论。
此外，小组讨论环节中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是在小组中缺乏足够的发言机会。针对这个问题，我计划在组织小组讨论时，更多地关注每个学生的参与情况，鼓励那些比较内向或不确定的学生发表自己的观点，让每个人都有机会表达自己的想法。
最后，从学生的提问和作业完成情况来看，我感到他们在计算过程中仍存在一些粗心大意的现象。为了提高学生的计算准确性，我打算在接下来的课程中，增加一些针对性的计算训练，并教导学生如何进行自我检查和同伴互评，以提高解题的正确率。
其次，判别式的概念及其与方程解的关系是本节课的一个重点和难点。我发现有些学生在判断判别式符号时容易出错，这说明对这个概念的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以通过更多的实例和练习，让学生反复练习判别式的判断，同时强调其在解题过程中的重要性。
在实践活动中，学生们的讨论和实验操作都比较积极，但我也观察到有些小组在解决问题时思路不够清晰。这提示我在未来的活动中，应该更加注重引导学生如何有效地进行问题分析和解决。我可以通过提问和指导，帮助学生理清思路，提高他们解决问题的能力。
3.能够熟练运用求根公式求解一元二次方程，并对方程的解进行验证。
本节课将通过具体例题的讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的公式法解法，提高解题能力。
一元二次方程的应用(2)
教学过程复习预习1.列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)列一元二次方程解决实际问题的关键是由已知条件确定等量关系.(2)列一元二次方程解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量之间的数量关系)；设(直接方法或间接方法设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中分析的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验)；验（检验所求方程的解能否保证满足实际问题中的存在意义）答(写出所求问题答案).2.几何面积问题三角形面积=底乘高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘宽；不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。
二知识讲解考点：列方程解实际问题的三个重要环节：一是全方面审题；二是把分析问题中的数量关系，并列出等量关系式；三是正确求解方程并检验方程的根是否符合实际意义。
例题精析【例题1】【题干】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．【答案】解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．【解析】考查一元二次方程的几何面积应用问题，已知矩形面积求满足条件的长和宽的优化设计；围墙MN最长可利用25m是解决本题的易错点；矩形周长的长、宽关系是解决本题的关键．【例题2】【题干】某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带（1）请你计算出游泳池的长和宽。
（2）已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁（共5个面）都贴上瓷砖，共需要费用多少元？【答案】解：（1）设游泳池的宽为x米，则长为2x米，（2x+2+5+1）(x+2+2+1+1)=1798整理，得：解得：（不合舍去）由得∴游泳池的长为50米，宽为25米。
《一元二次方程的应用》教案
《一元二次方程的应用》教案教学目标(－)知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题．(二)能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力．(三)德育渗透点：通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性．教学重点、难点1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题．2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系．教学过程1．复习提问(1)列方程解应用问题的步骤？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答．(2)两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……(n表示整数)．2．例1两个连续奇数的积是323，求这两个数．分析：(1)两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，(2)设元(几种设法)．①设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2，②设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1；③设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+ 1．以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法．解法(一)设较小奇数为x，另一个为x+2，据题意，得x(x+2)=323．整理后，得x2+2x-323=0．解这个方程，得x1=17，x2=-19．由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，答：这两个奇数是17，19或者-19，-17．解法(二)设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1．据题意，得(x-1)(x+1)=323．整理后，得x2=324．解这个方程，得x1=18，x2=-18．当x=18时，18-1=17，18+1=19．当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17．答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17．解法(三)设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1．据题意，得(2x-1)(2x+1)=323．整理后，得4x2= 324．解得，2x=18，或2x=-18．当2x=18时，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19．当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17答：两个奇数分别为17，19；-19，-17．引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数．3．选出三种方法中最简单的一种．练习1．两个连续整数的积是210，求这两个数．2．三个连续奇数的和是321，求这三个数．3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数．学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法．例2有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．分析：数与数字的关系是：两位数=十位数字×10+个位数字．三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字．解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10(x-2)+x．据题意，得10(x-2)+x=3x(x-2)，整理，得3x2-17x+20=0，当x=4时，x-2=2，10(x-2)+x=24．答：这个两位数是24．以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价．注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验．练习1有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．(35，53)2．一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数．教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会．总结，扩展1．列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验．2．奇数的表示方法为2n+1，2n-1，……(n为整数)偶数的表示方法是2n(n是整数)，连续奇数(偶数)中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数可以是正数，也可以是负数．数与数字的关系两位数=(十位数字×10)+个位数字．三位数=(百位数字×100)+(十位数字×10)+个位数字．……3．通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．。
《一元二次方程的应用(第2课时)》参考教案1
一元二次方程的应用 第2课时 图形面积问题教学目标：1、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；2、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。
教学过程： 一、情境问题问题1、一根长22cm 的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm 2的矩形（2）能否围成面积是32 cm 2的矩形并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm ，那么矩形的宽是__________。
根据相等关系：矩形的长×矩形的宽=矩形的面积， 可以列出方程求解。
解：问题2、如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=3cm 。
点P 沿边AB 从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动。
如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t ≤3）。
那么，当t 为何值时，△QAP 的面积等于2cm 2 解：问题3．如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，•在B 的正PQBCAD东方向200海里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头：•小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一般补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛D 和小岛F 相距多少海里（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，•那么相遇时补给船航行了多少海里（结果精确到海里）B AC E DF 分析：（1）因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形，△DFC 也是等腰直角三角形，AC可求，CD 就可求，因此由勾股定理便可求DF 的长．（2）要求补给船航行的距离就是求DE 的长度，DF 已求，因此，只要在Rt △DEF 中，由勾股定理即可求．解：（1）连结DF ，则DF ⊥BC ∵AB ⊥BC ，AB=BC=200海里． ∴C=45°∴CD=12DF=CF∴DF=CF=2CD=2×（海里） 所以，小岛D 和小岛F 相距100海里．（2）设相遇时补给船航行了x 海里，那么DE=x 海里，AB+BE=2x 海里， EF=AB+BC-（AB+BE ）-CF=（300-2x ）海里 在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得方程 x 2=1002+（300-2x ）2整理，得3x 2-1200x+100000=0解这个方程，得：x 1x 2所以，相遇时补给船大约航行了海里．二、练一练1、用长为100 cm 的金属丝制作一个矩形框子。
九年级数学上人教版《 一元二次方程的应用》教案
《一元二次方程的应用》教案一、教学目标1.理解和掌握一元二次方程在实际问题中的应用；2.学会分析和解决与一元二次方程相关的实际问题；3.培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容与重点难点1.教学内容：一元二次方程在实际问题中的应用，包括增长率问题、最大最小值问题等；2.教学重点：理解并掌握一元二次方程的应用场景，掌握解决问题的方法和步骤；3.教学难点：将实际问题抽象为一元二次方程，并选择合适的解法进行求解。
三、教学方法与手段1.教学方法：讲解、讨论、练习；2.教学手段：多媒体课件、黑板、实物模型等。
四、教学过程设计1.导入新课：通过实际问题引入一元二次方程的应用，激发学生的学习兴趣；2.讲解新课：通过实例展示一元二次方程在实际问题中的应用，包括增长率问题、最大最小值问题等，并介绍解决问题的方法和步骤；3.练习巩固：布置相关练习题，让学生自主解决问题，并适时点拨和归纳；4.归纳小结：总结一元二次方程在实际问题中的应用场景和特点，以及解决问题的思路和方法；5.布置作业：布置相关实际问题，让学生运用所学知识进行解答。
五、评价与反馈1.通过课堂练习和作业，检验学生对一元二次方程的应用掌握情况；2.通过学生自我评价和互评，培养学生的自我认知和团队协作能力；3.通过教师评价和总结，反思教学过程和效果，及时调整教学策略和方法。
六、教学反思与改进方向1.在教学过程中，应注重学生的主体性和参与度，激发学生的学习兴趣和积极性；2.应注重问题的实际应用性，让学生更好地理解并掌握一元二次方程的应用场景；3.应注重培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力，加强实际问题的练习和应用；4.在评价过程中，应注重评价的客观性和公正性，避免主观臆断和偏见。
同时应及时给予学生反馈和鼓励，激发学生的学习动力。
5.不断改进教学方法和手段，提高教学效果。
例如，可以采用小组合作、项目式学习等多样化的教学方式让学生在实践中学习和掌握知识。
一元二次方程的应用(2)教育教案及到导学案 (新版新人教版)
一元二次方程的应用（2）导学案（新版新人教版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第9课时一元二次方程的应用（2）一、学习目标．会利用一元二次方程解答数字问题2．会利用一元二次方程解答营销问题；3．会利用一元二次方程解答动态几何问题.二、知识回顾.用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤：（1）审题找等量关系；（2）设元列方程；（3）求解并检验；（4）写出答案．2.数字问题中常用的数量关系有：两位数表示为：十位数字×10+个位数字；三位数表示为：百位数字×100+十位数字×10+个位数字；三个连续整数可表示为：x-1,x,x+1;三个连续奇数可表示为：2x-1,2x+1,2x+3;三个连续偶数可表示为：2x-2,2x,2x+2.三、新知讲解一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题）每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解．四、典例探究．一元二次方程的应用——数字问题【例1】（XX秋•冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数．总结：对于数字问题，首先要明确数的表示方法：（1）如果是两位数，个位数字设为a，十位数字设为b，那么这个两位数可表示为10b+a；（2）如果是三位数，个位数字设为a，十位数字设为b，百位数字设为c，那么这个三位数可表示为100c+10b+a；（3）设x为整数，三个连续整数可表示为x-1,x,x+1，三个连续奇数可表示为2x-1,2x+1,2x+3；三个连续偶数可表示为2x-2,2x,2x+2．练1有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.练2（XX•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（）A．3B．﹣1c．﹣3或1D．3或﹣12．一元二次方程的应用——营销问题【例2】（XX•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？总结：用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润×销售量=总利润.用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”.每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润×销售量=总利润.每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.练3（XX•淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？3．一元二次方程的应用——动态几何问题【例3】（XX春•寿县校级月考）如图△ABc，∠B=90°，AB=6，Bc=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边Bc向点c以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点c时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．总结：动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题.解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动.动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解.练4（XX春•慈溪市校级月考）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙Ac上，这时B到墙c的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1c=x+0.7，A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2而A1B1=2.5，在Rt△A1B1c中，由B1c2+A1c2=A1B12得方程，解方程得x1=，x2=，∴点B将向外移动米．（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下问题：梯子的顶端从A处沿墙Ac下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这个问题．五、课后小测一、选择题．已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）A．5和9B．﹣9和﹣5c．5和﹣5或﹣9和9D．5和9或﹣9和﹣52．（XX•鄂城区校级模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价o.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利2o0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．A．0.2或0.3B．0.4c．0.3D．0.23.如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是（）A．44B．45c．46D．47．二、填空题4．（XX秋•娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是______．5．（XX•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价_____元时，商场日盈利可达到2100元．三、解答题6．（XX•谷城县模拟）怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形？能围成一个面积为102cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．7．（XX春•江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．（1）若第二周降低价格1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？（2）若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？8．（XX•江西模拟）等腰△ABc的直角边AB=Bc=10cm，点P、Q分别从A、c两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边Bc的延长线运动，PQ与直线Ac相交于点D．设P点运动时间为t，△PcQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PcQ=S△ABc？（3）作PE⊥Ac于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．9.（XX春•汕头校级期中）如图，长方形ABcD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、c同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BcQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t=以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）典例探究答案：【例1】【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解．解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x ﹣3），根据题意得10（x﹣3）+x=x2原方程可化为：x2﹣11x+30=0，∴x1=5，x2=6，当x=5时，x﹣3=2，两位数为25；当x=6时，x﹣3=3，两位数为36.答：这个两位数是25或36．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．练1．【解析】设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2），则这个两位数为10（x-2）+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.解：设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2）.根据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），原方程可化为：3x2-17x+20=0,因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，解得x1=，x2=4.因为x为整数，所以x=不符合题意，x=4.0（x-2）+x=24，所以这个两位数是24.点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.练2．【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为2，列式求值即可．解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0，（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1．故选：D．点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键．【例2】【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意，得（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，定价为：60-4=56（元），答：应将销售单价定为56元．点评：本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．练3．【解析】（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．点评：本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．【解析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先【例3】用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据△=b2﹣4ac进行判断．解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．∵AP=1•x=x，BQ=2x，∴BP=AB﹣AP=6﹣x，∴S△PBQ=×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，∴x2﹣6x+8=0，解得：x=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2.（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，则S△PBQ=×（6﹣y）×2y=10，即y2﹣6y+10=0，因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，所以△PBQ的面积不会等于10cm2．点评：本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断．练4．【解析】（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，B1c=x+0.7，根据勾股定理求出A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2．在Rt△A1B1c中，由勾股定理得到B1c2+A1c2=A1B12，依此列出方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x 米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，再解即可．解：（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1c=x+0.7，A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2．而A1B1=2.5，在Rt△A1B1c中，由B1c2+A1c2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程得x1=0.8，x2=﹣2.2（不合题意舍去），∴点B 将向外移动0.8m．故答案为（x+0.7）2+22=2.52，0.8，﹣2.2（不合题意舍去），0.8；（2）有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，解得：x1=1.7或x2=0（不合题意舍去）．故当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙Ac下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．课后小测答案：一、选择题．【解析】设其中一个数是x，另一个数是（x+4），依题意列出方程．解：设其中一个数是x，另一个数是（x+4），则x（x+4）=45，整理，得（x+2）2=49，x+2=±7，解得x1=5，x2=﹣9．则x+4=9或x+4=﹣5．故这两个数是5、9或﹣9、﹣5．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．2．【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x），由于这种小型西瓜每降价o.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+）﹣24=200．解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．∵200+＞200+，∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．故选：c．点评：本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识．注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果．3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可．解：第1个黑色“”形由3个正方形组成，第2个黑色“”形由3+4=7个正方形组成，第3个黑色“”形由3+2×4=11个正方形组成，…，那么组成第n个黑色“”形的正方形个数是3+（n﹣1）×4=4n﹣1．故组成第12个“”的正方形个数是：4×12﹣1=47．故选：D．点评：考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题4．【解析】设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可．解：设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224解之得x=14或x=﹣16则x+2=16或x+2=﹣14即这两个数为14，16或﹣14，﹣16所以这两个数的和是30或﹣30．点评：找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5．【解析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，故答案为：20．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．三、解答题6．【解析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20﹣x）=96或x（20﹣x）=102，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．解：设所围矩形的长为xcm，则所围矩形的宽为（20﹣x）cm，（1）依题意，得x（20﹣x）=96，化简，得x2﹣20x+96=0．解，得x1=8，x2=12．当x=8时，20﹣x=12；当x=12时，20﹣x=8．所以，当所围矩形的长为12cm，宽为8cm时，它的面积为96cm2．（2）依题意，得x（20﹣x）=102化简，得x2﹣20x+102=0．∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×102=400﹣408=﹣8＜0，∴方程无实数根．所以用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为102cm2的矩形．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键．7．【解析】（1）根据利润=每个的利润×销售量列式计算即可求解；（2）设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可．解：（1）第一周获利：300×（35﹣20）=4500（元）；第二周获利：（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；（2）根据题意，得：4500+（15﹣x）（300+50x）﹣5（900﹣300﹣300﹣50x）=9500，即：x2﹣14x+40=0，解得：x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）．答：第二周每个商品的销售价格应降价4元．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．8．【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿Bc向上运动，且速度都为1cm/s，S=Qc×PB，所以求出Qc、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时cQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时cQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABc=（5分）∴当t＜10秒时，S△PcQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PcQ=（7分）整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）∴当点P运动秒时，S△PcQ=S△ABc（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作Qm⊥Ac，交直线Ac于点m易证△APE≌△Qcm，∴AE=PE=cm=Qm=t，∴四边形PEQm是平行四边形，且DE是对角线Em的一半．又∵Em=Ac=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．9.【解析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出cQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BcQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥cD于E，在Rt △PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ 时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．解：（1）如图1，∵四边形ABcD是矩形，∴AB=cD=6，AD=Bc=2，∠A=∠B=∠c=∠D=90°．∵cQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BcQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴QE=Bc=2cm，BE=cQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥cD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴PE=Bc=2cm，BP=cE=6﹣2t．∵cQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴QE=Bc=2cm，BE=cQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴PE=Bc=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，cQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．。
用一元二次方程解决问题(2)教案
一元二次方程的应用（2）【知识梳理】1、列一元二次方程解应用题的一般步骤：和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．2、列方程解应用题的关键：(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．3、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的题型：销售、利润问题【例题精讲】例1．曲靖市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.9折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.4元，请问哪种方案更优惠？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可．（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案②更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1﹣x）2=3240解之得：x=0.1=10%或x=1.9（不合题意，舍去）所以，平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①优惠=100×3240×（1﹣99%）=3240元方案②优惠=100×1.4×12×2=3360元故选择方案②更优惠．【教法】讲授法【学法】学练结合法例2：“便民”水泥代销点销售某种水泥，每吨进价为250元．如果每吨销售价定为290元时，平均每天可售出16吨．（1）若代销点采取降低促销的方式，试建立每吨的销售利润y（元）与每吨降低x（元）之间的函数关系式．（2）若每吨售价每降低5元，则平均每天能多售出4吨．问：每吨水泥的实际售价定为多少元时，每天的销售利润平均可达720元．【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列一次函数关系式．【分析】（1）未采取降低促销方式前每吨水泥的利润为290﹣250=40元，代销点采取降低促销的方式后每吨水泥的利润为（40﹣x）元；（2）先求出降价后每天售出水泥的吨数，再乘以每天的利润正好等于720元，解方程即可求出降低的价钱，从而求得每吨水泥的实际售价．【教法】讲授法【学法】学练结合法例3．某服装店专营一批进价为每件200元的品牌衬衫，每件售价为300元，每天可售出40件，若每件降价10元，则每天多售出10件，请根据以上信息解答下列问题：（1）为了使销售该品牌衬衫每天获利4500元，并且让利于顾客，每件售价应为多少元；（2）该服装店将该品牌的衬衫销售完，在补货时厂家只剩100件库存，经协商每件降价a 元，全部拿回．按（1）中的价格售出80件后，剩余的按八折销售，售完这100件衬衫获利50%，求a的值．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）表示出每件商品的利润和销量进而得出等式求出答案；（2）分别表示出100件商品的利润进而得出等式求出答案．（2）根据题意可得：250×80+250×80%×（100﹣80）=（200﹣a）×100（1+50%），解得：a=40，答：a的值为40．【教法】讲授演示法【学法】学练结合法【变式练习】1.为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每个粽子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出方程求解即可．【解答】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%．即x≤6．∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．【教学】讲授法【学法】自主探究学习2.某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过550个．（1）设销售商一次订购量为x个，旅行包的实际出厂单价为y元，写出当一次订购量超过100个时，y与x的函数关系式；（2）求当销售商一次订购多少个旅行包时，可使该厂获得利润6000元？（售出一个旅行包的利润=实际出厂单价﹣成本）【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）可根据关键语“当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元．”来列函数式．（2）根据（1）中得到的关系式和“利润=实际出厂单价﹣成本”进行求解．【解答】解：（1）y=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x（100＜x≤550）；（2）根据题意可列方程为：6000=[60﹣（x﹣100）0.02]x﹣40x，整理可得：x2﹣1100x+300000=0．（x﹣500）（x﹣600）=0x1=500，x2=600（舍去）销售商订购500个时，该厂可获利润6000元．【教法】练习法与讲授法结合【学法】学练结合法。
《一元二次方程的应用2》优秀教案
九年数学导学案课题25一元二次方程的应用（2）课型新授课课时第一课时学习目标1、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程。
2、认识方程模型的重要性。
3、提高分析问题，解决实际问题的能力，加强合作意识。
学习重点建立方程模型并解决问题学习难点建立方程模型并解决问题导学流程教学过程教学内容预习交流问题导学交流展示评价点拨【复习回顾】1、列方程解应用题的关键是什么？2、列方程解应用题的步骤？3、勾股定理的内容？4、黄金分割中的黄金比是多少？你知道怎样求吗？【课前小练】列方程解应用题：1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800cm2。
求原正方形钢板的面积。
2、如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草若使每一块草坪的面积为144 m2，求小路的宽度例4、数形结合问题如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。
一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）。
八年级数学上册《一元二次方程的应用》教案、教学设计
3.教学过程：
-教师给出问题，如：一个正方形的对角线长为10，求这个正方形的边长；
-学生分组讨论，列出方程：x^2 + x^2 = 10^2；
-各组展示解题过程，讨论不同的解法，总结规律。
（四）课堂练习
1.教学内容：教师设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4.教学关注点：
（1）关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化的指导；
（2）关注学生的学习情感，营造轻松、愉快的学习氛围，激发学生的学习兴趣；
（3）关注学生的实践能力，鼓励学生将所学知识运用到实际生活中，提高数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师通过展示一张图片（如一个抛物线的运动轨迹），引导学生观察并思考：在生活中，你们还见过类似的现象吗？这些现象与数学有什么关系？
4.预习内容要结合自己的实际情况，合理安排学习时间。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，通过生活实例引入一元二次方程的应用，使学生感受到数学与生活的紧密联系；
（2）采用启发式教学法，引导学生通过观察、分析、总结，发现一元二次方程的解法；
（3）采用任务驱动法，设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，培养他们的问题解决能力；
（4）采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
（三）情感态度与价值观
1.积极主动地参与课堂学习，敢于提出问题、发表见解，养成良好的学习习惯；
2.学会与他人合作、交流，提高团队协作能力；
3.培养学生的逻辑思维能力，提高解决问题的自信心；
4.感受数学在生活中的广泛应用，认识到学习数学的实际意义，增强学习数学的积极性。
最新3一元二次方程的应用教案名师优秀教案
2.3一元二次方程的应用教案2,3一元二次方程的应用,1,教案一、教材分析1、教材地位和作用本节课是浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》的内容，这是一个理论联系实际的好教材，充分体现了数学的应用价值。
之前，学生已学习了一元二次方程的概念、解法，已初步具有了应用波利亚解题表列一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等解应用题的能力，本节课将进一步学习问题解决的方法与步骤，它是前一部分知识的应用与巩固，也为今后学习二次函数等知识奠定基础。
学好本节知识，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力、信息迁移能力以及数学方法的应用能力等。
2、教学目标数学教学应以学生的发展为本，培养能力为重，综上分析及教学大纲要求，本课时教学目标制定如下:知识目标:会分析实际应用问题中的数量关系，找出等量关系，并列一元二次方程解应用题;能力目标:联系实际，经历“问题情境-----建立模型------求解-------解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力;情感目标:结合实践与探索，培养学生合作互助的精神，体验探索成果的喜悦.3、教学重点和难点由于本节内容涉及的实际应用问题都是通过列一元二次方程解决的，所以确定教学重点是列一元二次方程解应用题。
要列出一元二次方程的关键是找出等量关系，从实际问题中挖掘出相等关系需要较强的联系实际能力、分析能力，因此本节的教学难点是寻找等量关系列方程，例2涉及的是现实生活中的增长率问题，数量关系复杂，学生不容易理解，它是教学的又一难点。
二、教学方法与手段: 本节课利用多媒体辅助教学，扩大课堂容量，提高课堂效率。
根据教材内容和学生的认知特点，采用边分析、边讨论，层层设疑、讲练结合的启发式教学方法，例题选择由浅入深，从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”，建立方程模型，引导学生自主探索、发现、归纳，充分调动学生的积极性和主动性。
三、学法指导:“素质教育”要求学生由“学会”转为“会学”，正确的学法指导是实现这一转化的重要手段，根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，极力倡导新课程的自主探究、合作交流的学习方法。
一元二次方程的应用教案
一元二次方程的应用教案教案标题：一元二次方程的应用教案教案目标：1. 学生能够理解一元二次方程的概念和基本形式。
2. 学生能够解决与现实生活相关的问题，运用一元二次方程进行建模和求解。
3. 学生能够运用一元二次方程解决实际问题，并对解的意义进行解释。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾一元二次方程的定义和基本形式，并提问一元二次方程在现实生活中的应用。
知识讲解：2. 通过实际例子介绍一元二次方程的应用，如抛物线的形状、跳伞运动等。
3. 解释一元二次方程解的意义，包括实际问题中的物理意义和几何意义。
示范演练：4. 给出一些实际问题，引导学生建立相应的一元二次方程模型，并解决问题。
例题：一枚抛物线形状的火箭以速度v0竖直向上发射，经过t秒后达到最高点，此时高度为h0。
求火箭的高度与时间的关系式，并根据该关系式求解火箭的最大高度和达到最大高度的时间。
合作探究：5. 学生分组进行合作探究，给出一些实际问题，要求学生建立相应的一元二次方程模型，并解决问题。
例题：一块石头从高度h0自由下落，经过t秒后落地。
已知石头落地时的速度为v0，求石头的高度与时间的关系式，并根据该关系式求解石头从高度h0自由下落到落地所需的时间。
展示讨论：6. 学生展示并讨论他们的解决方法和答案，引导学生思考一元二次方程在解决实际问题中的应用。
拓展练习：7. 提供一些拓展练习题，让学生进一步巩固和应用所学知识。
总结反思：8. 总结一元二次方程的应用，并让学生思考一元二次方程在解决实际问题中的局限性和适用范围。
教案评估：9. 给学生布置一些练习题或作业，检验他们对一元二次方程应用的理解和掌握程度。
教学资源：- 教科书或课件- 白板和黑板- 活动示例和练习题- 学生练习册教学延伸：1. 鼓励学生在日常生活中积极寻找和应用一元二次方程的例子，增强他们对一元二次方程应用的实际意义的认识。
2. 引导学生进一步探究二元二次方程的应用，拓宽他们的数学应用能力。
【湘教版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的应用》(2)教案(含答案)
一元二次方程的应用教学目标【知识与技能】会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释.【过程与方法】进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生用数学的意识.【情感态度】让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识.【教学重点】应用一元二次方程解决实际问题.【教学难点】从实际问题中建立一元二次方程的模型.教学过程一、情景导入，初步认知复习列方程解应用题的一般步骤：(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)设未知数：用字母(如x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x;( 3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；( 4)解方程：求出所给方程的解;( 5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义;( 6)作答：根据题意，选择合理的答案.2. 说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习作准备.二、思考探究，获取新知1. 思考：如图，在一长为40cm,宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米，求截去的四个小正方形的边长.(1) 弓I导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2) 确定本题的等量关系是：盒子的底面积=盒子的底面长X盒子的底面宽;(3) 引导学生根据题意设未知数；(4) 引导学生根据等量关系列方程；(5) 引导学生求出所列方程的解；(6) 检验所求方程的解合理性；(7) 根据题意作答.【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位，多项式时要加括号再写单位•2. 如图，一长为32m,宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540m2,求道路的宽.分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案.还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍. 本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了( 32-x )( 20-x )米2,进而即可列出方程，求出答案.解：设道路宽为x米(32-x ) (20-x)=540解得：x i=2, X2=50 (不合题意，舍去)答：设道路宽为2米3. 如图所示，在厶ABC 中，/ C=90° ,AC=6cm.BC=8cm,点P 沿AC 边从点A 向终点C 以1cm/s 的速度移动，同时点 Q 沿CB 边从C 向终点B 以2cm/s 的速度移动，且当其中一点达到终点 时，另一点也随之停止移动，问点 P 、Q 出发几秒后，可使△ PCQ 的面积为9cm?解：设xs 后，可使△ PCQ 的面积为9cm2.由题意得，AP=xcm PC= (6-x ) cm, CQ=2xcmi 则 1/2 • (6 — x) • 2x=9 .2整理，得 x -6x+9=0 ,解得 X 1=X 2=3.所以P 、Q 同时出发，3s 后可使△ PCQ 的面积为9cm2.【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法.三、运用新知，深化理解准备在长 30m,宽20m 的矩形草坪上修两横两纵四条路宽为3xcm,则可列方程为.3xm 则纵路宽为2xm,我们利用“图形经过移动，它的面横四条路移动一下(目的是求出路面的宽， 至于实际施工, 2 x 的代数式表示为(30-4x)(20-6x)m ,又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程则可列方程：(30 — 4x)(20 — 6x)=3/4 X 30 X 20【答案】 (30-4x ) (20-6x)=3/4 X 30 X 20 小路，横纵路的宽度之比为 3 : 2,若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横 1.如图，某中学为方便师生活动,分析：若设小路的横路宽为 积大小不会改变”的道理，把纵、 仍可按原图的位置修路)，则余下的草坪面积可用含2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是()2A. x +130x-1400=02B. x +65x-350=02C. x -130x-1400=02D. x -65x-350=0【答案】B3. 如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地.(1)怎样围才能使矩形场地的面积为75001？⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?解：(1)设所围矩形ABCD勺长AB为x米，则宽AD为12( 80-x )米.依题意，得x • 1/2 (80-x ) =750.2即，x -80x+1500=0 ,解此方程，得x仁30, X2=50.•••墙的长度不超过45m,「. x2=50不合题意，应舍去.当x=30 时，1/2 (80-x ) =1/2 X( 80-30 ) =25,所以，当所围矩形的长为30m宽为25m时，能使矩形的面积为750nt(2)不能.因为由x • 1/2 (80-x ) =810 得x2-80x+1620=0 .2 2又••• b-4ac= (-80) -4 x 1 x 1620=-80 v 0,•••上述方程没有实数根.因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2.4. 如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边. 如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米.求花边的宽.① ②分析：本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为：（矩形图案的长+两个花边的宽）X（矩形图案的宽+两个花边的宽）=地毯的面积.解：设花边的宽为x米，根据题意得（2x+6）（2x+3）=40,解得x i=1, X2=-11/2 ,X2=-11/2不合题意，舍去.答：花边的宽为1米.5. 我校原有一块正方形空地，后来在这块空地上划出部分区域栽种花草（如图），原空地一边减少了1m另一边减少了2m使剩余的空地面积为12m2,求原正方形的边长.分析：本题可设原正方形的边长为xm,则剩余的空地长为（x-1 ）m宽为（x-2 ）m根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长.解：设原正方形的边长为xm,依题意有(x-1 )( x-2 ) =122整理，得x -3x-10=0 ./•（x-5 ）（x+2）=0,••• X1=5, X2=-2 （不合题意，舍去）答：原正方形的边长5m6. 小明家有一块长8m宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中x值.解：据题意，得(8-x )( 6-x ) =1/2 X 8 X 6.解得x1=12，x2=2．X1不合题意，舍去./• x=2.【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想, 而后以小组为单位派代表进行总结. 教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题 2.5 ”中第3、4、7题.教学反思本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题. 这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运. 既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用.。
运用一元二次方程解决实际问题教案
运用一元二次方程解决实际问题教案一元二次方程是初中数学中比较重要和常见的一种形式。
它可以用来解决许多实际问题，如抛物线运动、图像对称等。
在初中数学的教学中，学习及掌握一元二次方程的解法方法和应用至关重要。
本文将围绕运用一元二次方程解决实际问题这一主题，探讨初中数学教师如何设计一份科学合理、具有可操作性的教案，帮助学生更好地理解和应用这个知识点。
一、教学目的1. 知道一元二次方程的定义和特征。
2. 熟练掌握一元二次方程的解法方法，包括因式分解法和配方法。
3. 学会运用一元二次方程解决实际问题，如抛物线问题、图像对称等。
二、教学内容1. 一元二次方程的定义和特征（1）什么是一元二次方程？（2）一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0。
（3）一元二次方程的特征：二次项系数a ≠ 0；方程的解可以是实数、复数或无解。
2. 一元二次方程的解法方法（1）因式分解法：将一元二次方程左右两边因式分解得到结果。
（2）配方法：通过变形使一元二次方程成为一个完全平方三项式。
3. 运用一元二次方程解决实际问题（1）抛物线问题：使用一元二次方程的解法方法，求出抛物线的顶点、对称轴、焦点等信息。
（2）图像对称问题：使用一元二次方程的特征和解法方法，求出图像关于哪条线对称。
三、教学过程1. 前置知识引入通过提问和讨论的方式，引入一元二次方程的概念和特征，激发学生对该知识点的兴趣。
2. 一元二次方程的解法方法（1）因式分解法利用例题的方式，详细讲解因式分解法的步骤和注意事项。
并鼓励学生举一些实例，熟悉这个解法方法。
（2）配方法与因式分解法一样，我们也可以通过例题的方式来详细介绍配方法的使用步骤和注意事项。
3. 运用一元二次方程解决实际问题（1）抛物线问题通过一些抛物线的例题来具体让学生掌握如何运用一元二次方程解决实际问题，如求出抛物线的顶点、对称轴、焦点等信息。
（2）图像对称问题同样的，我们可以利用例题，让学生通过运用一元二次方程的特征和解法方法，解决一些图像对称问题。
一元二次方程的应用教案
一元二次方程的应用教案一、教学目标：1.了解一元二次方程的定义和性质；2.掌握解一元二次方程的方法；3.能够通过实际问题建立一元二次方程，并求解；4.培养学生分析和解决问题的能力。
二、教学过程：1.引入（10分钟）通过一个生活实例引入一元二次方程的概念，如一架抛物线轨道上的过山车，让学生思考和讨论如何描述这种运动的规律。
2.知识讲解（20分钟）（1）回顾一元二次方程的定义，解释其中的各个部分，如常数项、一次项和二次项；（2）讲解一元二次方程的基本形式：ax²+bx+c=0，并介绍一元二次方程的性质。
3.解题方法（30分钟）（1）列举解一元二次方程的常用方法，如因式分解法、配方法、求根公式等，并逐一讲解其步骤和应用条件；（2）通过例题演示各种方法的应用，帮助学生理解和掌握。
4.实际问题应用（40分钟）（1）给出一些实际问题，如抛物线的最高点、飞行物体的落地点等，引导学生建立相应的一元二次方程；（2）教师引导学生分析问题，提取关键信息，并帮助他们进行方程的建立；（3）学生根据建立的方程，运用所学的方法求解问题，并进行结果的验证。
5.小结与反思（10分钟）总结一元二次方程的应用及解题方法，检查学生的学习情况，解答疑惑，并鼓励学生思考如何在实际生活中应用所学知识。
三、教学资源：1.教师准备的抛物线轨道模型或图片；2.教师准备的课件或黑板写字工具；3.实际问题的案例。
四、教学评估：通过课堂练习、作业完成情况和问题解决能力的评估，考察学生对一元二次方程应用的理解和掌握程度。
五、教学延伸：1.引导学生进行更多实际问题的探究，提升解决实际问题的能力；2.拓展一元二次方程的应用领域，如物理、经济等；3.引导学生运用一元二次方程解决生活中的实际问题，培养数学思维和解决实际问题的能力。
六、教学反思：本节课通过引入生活实例，激发了学生的兴趣，帮助他们理解了一元二次方程的概念和性质。
在解题方法环节，通过例题演示和实际问题应用，使学生掌握了不同方法的应用条件和步骤。
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课题 2.3一元二次方程的应用（2）
课时教学目标（1）继续探索一元二次方程的实际应用，进一步体验到列一元二次方程解应用题的应用价值；
（2）进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能。
教学设想
本节的重点是继续探索一元二次方程的应用；“合作学习”的问题较为复杂，计算量大是本节教学的难点。
教学程序与策略
（一）创设情境，引入新课
提出问题：（1）如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒？（学生动手实践，并发表意见）
（2）无盖长方体纸盒的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？（二）例题讲解
例3：如图1有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2那样的无盖纸盒，若纸盒的底面积是450cm2，那么纸盒的高是多少？
25cm
40cm
设问：（1）若设纸盒的高为x，那么裁去的四个正方形的边长为多少？（2）底面的长和宽能否用含x的代数式表示？（用虚线画出纸盒的底面）（3）你能找出题中的等量关系吗？你怎样列方程？
（4）请每位同学自己检验两根，发现什么？
（三）课内练习：第1、2题
（四）合作学习:
一轮船以30 Km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以20 Km/h的速度由南向北移动。
已知距台风中心200 Km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。
当轮船接到台风警报时，测得一轮船以
30 Km/h
教学程序与策略
的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以20 Km/h 的速度由南向北移动。
已知距台风中心200 Km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。
当轮船接到台风警报时，测得BC=500Km，BA=300 Km。
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？
（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？
（3）如果把航速改为10 Km/h，结果怎样？
提示：（1）若以接到台风警报开始，经t时轮船到达C1，台风中心到达B1，那么船是否受到台风影响与什么有关系？
（2）当B1C1符合什么条件时，船会受到台风的影响？
（3）你能用关于t的代数式表示B1C1两点之间的距离吗？
（4）你能用一元二次方程表示船开始受台风影响的条件吗？
（学生4人一组进行充分讨论并利用多媒体动画制作，让学生更容易理解）（五）课堂小结：提问：通过本堂课的学习，你学会了什么？
（六）布置作业：课后作业题
教
后
反
思。