浙教版数学八年级上三角形初步培优复习提高讲义
浙教版初中数学八年级上册《特殊三角形》全章复习与巩固 知识讲解(提高)
《特殊三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．认识轴对称图形的基本特征；掌握判断轴对称图形的方法，并能正确画出简单的轴对称图形；2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；4．了解尺规作图的常用工具；理解并掌握线段垂直平分线定理的逆定理、角平分线性质的第二个定理，并能够熟练地应用它们；5．理解直角三角形的概念及性质的广泛应用，掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．6．掌握勾股定理及其勾股定理的逆定理的内容及应用，学会用勾股定理解决简单的几何问题，应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形．7.理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；【知识网络】【要点梳理】要点一、图形的轴对称1.图形轴对称的定义及其性质如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这两个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.图形的轴对称：一般的，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等形.2.利用轴对称的性质求两点之间的最短距离已知点A,B（A,B）在直线的同侧，和直线a,在直线上求作一点C，使AC+BC的距离和最小.作法：1.作点A关于直线a的对称点A′；2.连接A′B,交直线a与点C;3.连接AC.点C就是所求作的点.下面给出证明：设P是直线a上任意一点，连结AP，A′P．由作图知，直线a垂直平分AA′，则AC=A′C，AP=A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．．．．AP+BP=A′P+BP≥A′B，A′B=A ′C+BC=AC+BC，即AP十BP≥AC+BC，所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短．要点诠释：1.轴对称图形与图形的轴对称是两个不同的概念，轴对称图形是指一个图形的两个部分，也就是说，一条直线把一个图形（一个等腰三角形）分成两个部分，这两个部分之间的关系；而图形的轴对称是指两个图形之间的关系，比如两个全等的等腰直角三角形.2.对称轴的实质是一条直线，向两方无限延伸的.3.两点之间的最短距离要分情况讨论，看这两点是否在某一条直线的同侧还是异侧. 要点二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定1.等腰三角形的定义及其对称性有相等两边的三角形叫做等腰三角形.三边相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线.等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是特殊的等腰三角形.2.等腰三角形的性质与判定定理性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“在同一三角形中，等边对等角”）．推论：等边三角形的各个内角都等于60°；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角（简称“在同一三角形中，等角对等边”）.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：等腰三角形的性质与判定定理是三角形中边与角之间相互转化的重要依据，性质定理是由边的相等得出角的相等，判定定理是由角的相等得出边的相等..等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.3.定理与逆定理如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.4.角平分线性质的第二个定理角的内部,到角两边的距离相等的点,在这个角平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；第二个性质定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.5.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理的逆定理逆定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点四、直角三角形性质及判定直角三角形的性质性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.性质定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.性质定理2的逆命题也同样正确，在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点五、勾股定理及其逆定理1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系；（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.2.勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点六、判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法——斜边，直角边定理由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。
浙教版数学八年级上册第1章 三角形的初步认识 复习课件 (共43张PPT)
E
B
E
C
图1
D
C
B1
C1 图2
D
专题1
三角形的边
例1 下列各组数不可能是一个三角形的边长的是 ( (A) 5, 12, 13 (B) 5, 7, 7
C
)
(C) 5, 7, 12
(D) 11, 12, 20
反思: 构成三角形的条件是 较短两边之和大于最长边 _______________________。
二、线段中垂线与角平分线的性质 １、 线段垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
l
几何表述：
C
B
O ∵ 是线段AB的中垂线，点C在 上
A
l
l
∴CA=CB
５、如图，△ABC中,DE垂直平分ＡＣ，AE=３cm, １５cm △ABD的周长是9cm,则△ABC的周长是_______.
（1）AB边上的中线；
（2）∠BAC的平分线；
A
B
C
反思：保留作图痕迹，写出作图结论。
变式训练
1.如图，已知△ABC,作△DEF,使得△ABC ≌△DEF
A
B
C
变式训练
2.已知线段a,b,c,作△ABC,使得 BC=a,BC上的高为b,BC上的中线为c
a b c
义务教育课程标准实验教科书浙教版教材 （七年级下册）
变式训练
(1)已知△ABC中,AB=8,AC=5,BC=x,
①求x的取值范围 ②若△ABC的周长为奇数,求x的值 B 8 x A 5 C
(2)现有四根木棒,长度分别为 3cm, 4cm, 5cm,6cm.从中任 取出一根木棒,剩下的三根能组成三角形的概率是( )
浙教版数学八年级上册专题培优讲义《专题4 直角三角形》
浙教版数学八年级上册专题培优讲义专题4直角三角形【知识梳理】1．逆命题和逆定理(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的______，而第一个命题的结论是第二个命题的______，那么这两个命题叫做____________．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的____________．(2)如果一个定理的逆命题能被证明是______，那么就叫它是原定理的______，这两个定理叫做____________．注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系．2．直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形．3．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个______互余．(2)直角三角形斜边上的______等于斜边的______．(3)直角三角形中，______角所对的直角边等于斜边的______．(4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么____________.4．直角三角形的判定(1)__________________是直角三角形．(2)如果三角形中________________________，那么这个三角形是直角三角形．5．直角三角形全等的判定(1)SSS，SAS，AAS，ASA.(2)__________________对应相等的两个直角三角形全等(HL)．6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理(1)________________________的点在线段的垂直平分线上．(2)角的内部，到角两边距离______的点，在这个角的平分线上．【例题探究】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE ⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于()A．5B．7C．3D．7【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF＝12AB，EF＝12BC，由△DEF的周长是7，可求得AB的长，然后在Rt△ABF中，用勾股定理可求得AF的长．【例2】说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．【思路点拨】首先写出原命题的逆命题，然后根据题意画出图形，再结合图形写出已知及求证的内容，最后利用已学知识证明结论为真，即逆命题是真命题．【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上(不与点A，C重合)，DE ⊥AB于点E，连结BD，F为BD的中点，连结EF，CF，CE.(1)求证：FE＝FC.(2)试猜想∠A与∠CEF的关系，并证明．【思路点拨】(1)在Rt△DEB和Rt△DCB中，因为F为BD的中点，所以FE＝12BD，FC＝12BD，即FE＝FC；(2)根据直角三角形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．【例4】如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N.求证：BM＝CN.【思路点拨】连结EC，EB.由题意知，DE是BC的垂直平分线，AE是∠BAC的平分线，所以BE＝EC，EM＝EN，即可得出Rt△BME≌Rt△CNE(HL)，即可得出结论．【例5】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC 的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM.(1)求证：EF＝1AC.2(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．【思路点拨】(1)由CD＝CB，点E为BD的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质，可得△AEC是直角三角形，由点F为AC的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得结论；(2)当∠BAC＝45°时，可得△AEC为等腰直角三角形，由线段垂直平分线的性质，可得AM＝CM，再由CD＝CB，得AM＋DM＝BC.【例6】若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°.(1)求证：四边形ABCD是勾股四边形．(2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长．【思路点拨】(1)由题意知，△ABC≌△DBE，可得DE＝AC，BC＝BE，证明△CBE为等边三角形，可得EC＝BC，再证∠DCE＝90°，可得DC2＋CE2＝DE2，即DC2＋BC2＝AC2，所以四边形ABCD是勾股四边形；(2)由DC2＋BC2＝AC2，求出AC的长，即可得出DE的长．【例7】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝3，PB ＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．【思路点拨】直接求∠BPC的度数不太容易求出，于是把∠BPC进行适当的转化．因为△ABC是一个特殊的三角形“等腰直角三角形”，如果把△BPC绕着点C顺时针旋转90°到△AP′C，那么BC和AC会重合，△PCP′也是等腰直角三角形，这时再求∠BPC的度数会比较容易．【例8】著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab＋(a－b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2.图1(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图2(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米．图3(3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．【思路点拨】(1)四边形ABCD的面积可用梯形面积公式来表示，也可以用三个直角三角形面积的和来表示，根据两次表示的面积相等列出关系式，化简即可得证；(2)(3)问都可以设未知数，根据勾股定理列方程求解．【答案解析】【知识梳理】1．逆命题和逆定理(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的逆命题．(2)如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系．2．直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形．3．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余．(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．(4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.4．直角三角形的判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形．(2)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．5．直角三角形全等的判定(1)SSS，SAS，AAS，ASA.(2)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)．6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理(1)到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．(2)角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【例题探究】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE ⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于()A．5B．7C．3D．7【解题过程】∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝12 AB.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝3.∵BE⊥AC，∴EF＝12BC＝3，∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝AB＋3＝7，∴AB＝4，∴AF＝AB2－BF2＝7.故选B.【方法归纳】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．【例2】说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．【解题过程】解：逆命题：一边上的中点到另两边的距离相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．理由如下：已知：如图，在△ABC中，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别为点D，E，MD ＝ME.求证：AB＝AC.证明：∵M是BC的中点，∴BM＝CM.∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠MDB＝∠MEC＝90°.又∵MD＝ME，∴Rt△MDB≌Rt△MEC(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.【方法归纳】本题主要考查逆命题的概念、证明的步骤、直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握这些概念和判定是解题的关键．【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AC 上(不与点A ，C 重合)，DE ⊥AB 于点E ，连结BD ，F 为BD 的中点，连结EF ，CF ，CE .(1)求证：FE ＝FC .(2)试猜想∠A 与∠CEF 的关系，并证明．【解题过程】(1)证明：∵DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°，F 为BD 的中点，∴FE ＝12BD ，FC ＝12BD ，∴FE ＝FC .(2)解：∠A ＝∠CEF ．证明如下：∵FE ＝12BD ＝FB ，FC ＝12BD ＝FB ，∴∠FEB ＝∠FBE ，∠FCB ＝∠FBC ，∴∠EFD ＝2∠EBF ，∠CFD ＝2∠FBC .∵FE ＝FC ，∴∠CEF ＝∠ECF ，∴∠CEF ＝12×(180°－2∠EBF －2∠FBC )＝90°－(∠EBF ＋∠FBC )．∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°－(∠EBF ＋∠FBC )，∴∠A ＝∠CEF .【方法归纳】本题考查了直角三角形的性质：①直角三角形中的两个锐角互余；②直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．熟练掌握上述性质是解题的关键．【例4】如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N.求证：BM＝CN.【解题过程】解：如图，连结CE，BE.∵BD＝DC，ED⊥BC，∴DE是BC的垂直平分线，∴BE＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．∵AE是∠BAC的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC，∴EM＝EN(角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt△MEB和Rt△NEC中，BE＝EC，EM＝EN，∴Rt△MEB≌Rt△NEC(HL)，∴BM＝CN．【方法归纳】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的性质以及直角三角形全等的判定方法，通过画辅助线构造Rt△MEB和Rt△NEC全等是解决问题的关键．【例5】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC 的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM.(1)求证：EF＝12AC.(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．【解题过程】(1)证明：∵CD＝CB，E为BD的中点，∴CE⊥BD，∴∠AEC＝90°.又∵F为AC的中点，∴EF＝12 AC.(2)解：∵∠BAC＝45°，∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴AE＝CE.又∵F为AC的中点，∴EF⊥AC.∴EF为AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴AM＋DM＝CM＋DM＝CD.又∵CD＝CB，∴AM＋DM＝BC.【方法归纳】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质．【例6】若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°.(1)求证：四边形ABCD是勾股四边形．(2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长．【解题过程】(1)证明：如图，连结CE.根据题意，得△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE.∵∠CBE ＝60°，∴△BCE 是等边三角形，∴∠BCE ＝60°，BC ＝CE .∵∠DCB ＝30°，∴∠DCE ＝90°，∴DC 2＋CE 2＝DE 2，∴DC 2＋BC 2＝AC 2.∴四边形ABCD 是勾股四边形．(2)解：由(1)，得DC 2＋BC 2＝AC 2，∴AC ＝82＋62＝10.∵DE ＝AC ，∴DE ＝10.【方法归纳】本题考查勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质．把线段DC ，BC ，AC 集中到一个直角三角形中是解决问题的关键．【例7】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点P 在△ABC 内，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝2，求∠BPC 的度数．【解题过程】解：如图，把△BPC 绕点C 顺时针旋转90°到△AP ′C ，连结PP ′，则△AP ′C ≌△BPC .∴AP ′＝BP ＝1，P ′C ＝PC ＝2，∠AP ′C ＝∠BPC ，∠ACP ′＝∠BCP .∵∠BCP ＋∠ACP ＝∠ACB ＝90°，∴∠PCP ′＝∠ACP ＋∠ACP ′＝∠ACP ＋∠BCP ＝∠ACB ＝90°，∴△PCP ′是等腰直角三角形，∴PP ′＝22，∠PP ′C ＝45°.在△APP ′中，AP ′2＋PP ′2＝12＋(22)2＝9＝32＝PA 2，∴△APP ′是直角三角形，且∠AP ′P ＝90°，∴∠BPC ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝90°＋45°＝135°.【方法归纳】当某个点在三角形内部的问题难以处理时，不妨先通过旋转变换把点移到三角形外部，再进行求解．【例8】著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c )，大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2＋b 2＝c 2.图1(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图2(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB ＝AC ，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A ，H ，B 在同一条直线上)，并新修一条路CH ，且CH ⊥AB .测得CH ＝1.2千米，HB ＝0.9千米，求新路CH 比原路CA 少多少千米．图3(3)在第(2)问中若AB ≠AC 时，CH ⊥AB ，AC ＝4，BC ＝5，AB ＝6，设AH ＝x ，求x 的值．【解题过程】解：(1)梯形ABCD 的面积为12(a ＋b )(a ＋b )＝12a 2＋ab ＋12b 2，也可以表示为12ab ＋12ab ＋12c 2，∴12a 2＋ab ＋12b 2＝12ab ＋12ab ＋12c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.(2)设CA ＝m .∵AB ＝AC ，∴AH ＝m －0.9.∵CH ⊥AB ，CH ＝1.2千米，∴CA 2＝CH 2＋AH 2，即m 2＝1.22＋(m －0.9)2，解得m ＝1.25，即CA ＝1.25，∴CA－CH＝1.25－1.2＝0.05(千米)．答：新路CH比原路CA少0.05千米．(3)设AH＝x，则BH＝6－x.在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2.在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2.∴CA2－AH2＝CB2－BH2，即42－x2＝52－(6－x)2，解得x＝9 4 .【方法归纳】几何图形中线段长度的计算，通常可以设出未知数，然后利用勾股定理列方程求解．。
第1章三角形的初步认识 讲义-浙教版八年级数学上册
三角形的初步认识责编：审核：辅导科目数学学生姓名授课老师上课课次授课日期班型1.理解三角形相关概念及其分类.2.理解三角形的边，角，三线的相关概念及定理.3.掌握尺规作图并能按要求作出图形及辅助线.4.掌握全等三角形的概念，性质与判定.5.理解定义，命题，证明相关概念，能判断命题真假，掌握几何证明正确的书写格式.一、三角形及其相关概念1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.相关概念（1）边：组成三角形的三条线段，叫做三角形的边.（2）顶点：在三角形中，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.（3）角：在三角形中，相邻两边所组成的在三角形内部的角叫做三角形的内角.（4）外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，就叫做三角形的外角.教学目标知识梳理3.表示方法：顶点是A 、B 、C 的三角形，记作△ABC ，读作“三角形ABC ”.4.分类：三角形可以按内角的大小进行分类5.三角形的角（1）三角形的内角和等于180°.（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.6.三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．（3）证明线段之间的不等关系．7.三角形中的重要线段（1）高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段.（2）中线：连接三角形一个顶点和它的对边中点的线段.⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形（3）角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段.【注】（1）三角形的三条中线交于三角形的内部.（2）三角形的三条角平分线交于三角形的内部.（3）锐角三角形的高都在三角形内部；直角三角形其中两条高恰好是直角边；钝角三角形其中两条高在三角形外部.1.将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ D ）.A.75°B.105°C.135°D.165°2.已知，如图，D、B、C、E四点共线，∠ABD+∠ACE=230°，则∠A的度数为__30°___.3.已知三角形的两边长分别为3和4，则第三边长x的范围是__1＜x＜7______.4.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ C ）.A.2cm，3cm，6cmB.3cm，4cm，7cmC.5cm，6cm，8cmD.7cm，8cm，16cm5.若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（ D ）.A.AM＞ANB.AM＞AN或AM=ANC.AM＜AND.AM＜AN或AM=AN6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长；③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的个数为（ D ）A．1个 B．2个 C．3个D．4个二、定义、命题与证明1.定义：一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.2.命题：一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．【注】（1）命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论.（2）命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．3.基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.4.定理：用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.【注】满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.5.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.【注】在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.7.下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题. 8.下列命题中，真命题的个数有（ A ）①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a ＞b ，则-2a ＞-2bA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、全等三角形的概念和性质1.全等图形：能够重合的两个图形叫做全等图形.【注】（1）全等形⇔形状相同、大小都相等；（2）平移、旋转、轴对称前后的图形是全等形.2.全等三角形：能够重合的两个三角形叫做全等三角形.3.对应点、对应边、对应角两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，“≌”读作“全等于”.其中点A 和点D ，点B 和a b ＜＜-b a -2230x x --=点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C 和∠F是对应角.4.全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（2）全等三角形对应边上的高、中线以对应角的角平分线相等.（3）全等三角形的周长相等，面积相等.9.请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__（1）（4）（5）（6）________.10.如图，△ABC≌△AEF，那么与∠EAC相等的角是（ B ）A．∠ACB B. ∠BAF C. ∠CAF D. ∠AFE11.下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ C ）A.3个B.2个C.1个D.0个12.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是___80°___.四、全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.如图，如果＝AB ，＝AC ，＝BC ，则ABC △≌△.2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.如图，如果AB ＝，A ∠＝∠，AC ＝，则ABC △≌△.【注】（1）这里的角，指的是两组对应边的夹角. （2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.如图，如果A ∠＝∠'A ，AB ＝''A B ，B ∠＝∠'B ，则ABC △≌△'''A B C .''A B ''A C ''B C '''A BC ''A B 'A ''A C '''A BC4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）. 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.5.三角形全等的证明思路（1）⎩⎨⎧→→SSSSAS 找第三边找夹角已知两边（2）⎩⎨⎧→→AAS ASA找除夹边外的任一边找夹边已知两角（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→→⎪⎩⎪⎨⎧→→→AAS ASA SAS AAS 找任一角边为角的对边找边上另一角找角的另一边找边的对角边为角的一边已知一边一角13.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，给出下列结论∶①BE=CF;②∠1=∠2;③△ACN ≌△ABM; ④CD=AE.其中正确的结论有（ C ）.A.1个B.2个C.3个D.4个14.在△ABC 中，已知∠A=60°，∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的平分线CE 相交于点0，∠BOC的平分线交BC 于F ，则下列说法中正确的是___①③④_______.①∠BOE=60° ②∠ABD=∠ACE③OE=OD ④BC=BE+CD.15.如图所示，AC=DB ，∠B=∠C ，求证：AB=CD.【解析】延长AB 、DC 相交于点M ，∵∠B= ∠C,∴∠DBM= ∠ACM .在△DBM 和△ACM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AC DB ACMDBM M M ∴△DBM≌△ACM(AAS).∵DM= AM,MB=MC.∴AM-BM=DM-CM,∴AB=CD.五、角平分线和中垂线的性质定理1.角平分线（1）性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF.（2）性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.如图，点P 是∠ADB 内CD 上的一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则CD 平分∠ADB.2.中垂线（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．（2）性质定理：垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.16.在直角△AB C中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为___4____.17.已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，下列说法正确的有__4______个.①DA平分∠EDF; ②△EBD≌△FCD; ③△AED≌△AFD; ④AD垂直于BC.18.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ D ）.A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°19.如图所示，在△ABC 中，∠BAC=130°，AB 的垂直平分线ME 交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线NF 交 BC 于点N ，交AC 于点F ，则∠MAN 为（ A ）.A.80°B. 70°C.60°D.50°六、尺规作图1.角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC ，射线OC 即为所求.2.线段的垂直平分线的尺规作图（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．21。
浙教版初中数学八年级上册直角三角形(提高)知识讲解
直角三角形（提高）【学习目标】1．认识直角三角形, 学会用符号和字母表示直角三角形．2．掌握直角三角形两个锐角互余的性质, 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.3. 掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.4. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．【要点梳理】要点一、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.要点三、直角三角形判定两个角互余的三角形是直角三角形.在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．【典型例题】类型一、直角三角形性质的应用1、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．【思路点拨】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM=12AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=12AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案与解析】证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM=12AB=BM，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CB=12AB=BM，∴CM=CB，∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB．【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．举一反三：【变式】在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数．【答案】解：设设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为180°，所以x+4x+90°=180°，x=18°，4x=72°，答：三角分别为18°，72°，90°．类型二、含有30°的直角三角形2、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACD=∠B=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2AC，AC=2AD即可；（2）取AB的中点O，连接CO，设AD=x，则BD=3x，AB=4x，根据直角三角形斜边上中线求出AO=CO，AD=DO，证△COA是等边三角形即可求出答案．【答案与解析】证明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∵∠C=90°，CD⊥AB，∴AB=2AC，AC=2AD，∴AB=4AD，∴BD=3AD．（2）取AB的中点O，连接CO，∵BD=3AD，∴设AD=x，则BD=3x，AB=4x，∵∠C=90°，O是AB的中点，∴OC=OA=2x，∴OD＝x＝12 CO，∵CD⊥AB，∴∠OCD=30°，∴∠COD=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴∠A=60°．【总结升华】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD= 12DC．【答案】解：如图，连接DB．∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=12（180°-120°）=30°，∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°-30°=90°，∴BD=12 DC，∴AD=12 DC．3、如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=15°，CD是腰AB上的高,求CD的长．【思路点拨】过点C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC=30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．【答案与解析】解：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠DAC=30°，∵AB=AC=2a，∴在直角△ACD中CD= 12AC=a．【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半．举一反三：【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=12∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=12 DB．【答案】解：∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°，∵DE是∠ADB的平分线，∴∠3=∠4，又∵DE=DE，∴△BED≌△AED（ASA），∴AD=BD，∠2=∠B，∵∠BAD=∠2=12∠BAC，∴∠1=∠2=∠B，∴AD=BD，又∵∠1+∠2+∠B=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°，在直角三角形ACD中，∠1=30°，∴CD=12AD=12BD．类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且DC=BF，DE⊥CF于E．（1）E是CF的中点吗？试说明理由；（2）试说明：∠B=2∠BCF．【思路点拨】（1）连接DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=BF=AB，然后求出CD=DF，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）根据等边对等角可得∠DCF=∠DFC，∠B=∠BDF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．【答案与解析】（1）解：如图，连接DF，∵AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，∴DF=BF=AB，∵DC=BF，∴CD=DF，∵DE⊥CF，∴E是CF的中点；（2）证明：由（1）的结论DF=BF得∠FDB=∠FBD，∵DC=BF，∴∠DCF=∠DFC，由外角的性质得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，∴∠FBD=2∠DCF，即∠B=2∠BCF．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键．5、（2016春•广饶县期末）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N 分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【思路点拨】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=BC，ME=BC，从而得到DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．【答案与解析】解：（1）如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=BC，ME=BC，∴DM=ME又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BMD+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），=360°﹣2（∠ABC+∠ACB），=360°﹣2（180°﹣∠A），=2∠A，∴∠DME=180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°﹣∠A）=360°﹣2∠A，∴∠DME=180°﹣（360°﹣2∠A）=2∠A﹣180°．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，△ABC中，M为BC中点，DM⊥ME，MD交AB于D，ME交AC 于E．求证：BD+CE＞DE．【答案】证明：如图，延长DM到F，使MF=DM，连接EF、CF，∵BM=CM，∠BMD=∠CMF，∴△BDM≌△CFM（SAS），∴BD=CF，∵DM⊥ME，DM=FM，ME是公共边，∴△DEM≌△FEM（SAS），∴DE=FE，在△ECF中，EC+FC＞EF，∴BD+EC＞DE．。
浙教版初中数学第一章《三角形》章节复习 个性化辅导教案
（2）角平分线性质定理：__________________________________
6.尺规作图
重点掌握作角、角平分线、垂直平分线、三角形的作图方法
【例题讲解】
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角形都全等
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3．
A．1B．2C．3D．4
第3题第4题
4.如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3.其中正确结论的个数是（）
C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等边三角形都全等
【例2】如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，点 为 的中点，连接 ，则 的周长为（）．
A． B． C． D．
例2图例3图
【例3】如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（）．A． B． C． D．
求证：AG⊥AF．
7.如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连结AG，DE⊥AG于点E，BF∥DE交AG于点F，探究线段DE，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．
8.如图，已知AM是△ABC的中线，∠DAM=∠BAM，CD∥AB.
求证：AB=AD+CD（提示：倍长中线法）
9.如图，已知BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线，在BE的延长线上取点P，使PB＝AC，在CF的延长线上取点Q，使CQ＝AB．求证：AQ⊥AP．
第1章三角形的初步认识复习_件(新浙教八上)正式
思考题：
如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC， AC=DB，则∠B=∠C,请说明理由.
A
D
O
B
C
角平分线的性质： 角平分线上的任意一点到这个角两边
的距离相等
如图，若点P是∠CAB的平分线上 一点，并且PB⊥AB，PC⊥AC，
则有 PC=PB
角平分线性质： 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
E
A
F C
如图,已知AB=ED,AF=CD, D BC=EF,说明:∠EFD=∠BCA
B
解:∵AF=CD( 已知 ) ∴AF+_F_C__=DC+_F__C_ 即AC=DF 在△ABC和△DEF中
AC=DF
AB=DE
BC=EF ∴△ABC≌△DEF(SSS) ∴∠EFD=∠BCA(全等三角形对应角相等)
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一 个内角。
三角形的性质 （1）边上的性质：
三角形的两边之和大于第三边 三角形的两边之差小于第三边 （2）角上的性质： 三角形三内角和等于180度
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
根据下列条件判断它们是什么三角形？ （1）三个内角的度数是1:2:3（ 直角三角形 ） （2）两个内角是50°和30°（ 钝角三角形 ）
3、在△ABC，AB＝5，BC＝9，那么 4 ＜AC＜ _1_4_
4、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边 长为奇数，那么第三边长是 _7_或__9__ 5、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是 7cm，这个三角形的周长是 ___17_c_m____
浙教版八年级上培优(1) 认识三角形
浙教版八年级上培优(1) 认识三角形浙教版八年级上培优(1)--认识三角形教育个性化咨询学习计划授课日期：2021年月日学生年级的学科老师给八年级的学科老师发了一条信息。
邵先生在数学教学期间就知道这个三角形，道路崎岖不平，无法阻挡前进的步伐；一路努力，倾注着胜利的信心！教学内容一、知识要点1.三角形的定义2.三角形按边分类：按角度：3.三角形的三边关系4.三角形角度之间的关系5.三角形的三条线和两条线。
例1有四条线段，长度分别为4cm、8cm、10cm和12cm。
选择其中三个形成三角形。
可以形成多少个三角形？例2.认真阅读，并回答下面问题：如图，ad为△abc的中线，s△abd与s△adc相等吗？(友情提示：s△表示三角形面积)解：过a点作bc边上的高h，∵ad为△abc的中线∴bd=dc∵s△abd=11bd?h,s△adc=dc?h22∴s△abd=s△adc(1)用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论：_____(2)利用上面所得的结论，用不同的割法分别把下面两个三角形面积4等分，(只要割线不同就算一种)(3)已知：ad为△abc的中线，点e为ad边上的中点，若△abc的面积为20，bd=4，求点e到bc边的距离为多少？例3如图所示，∠ AOB=90°，c点和D点分别位于射线OA和ob上，CE是射线的平分线∠ ACD，CE的反向扩展与∠cdo的平分线交于点f．（1）什么时候∠ OCD=50°（图1），试着找到∠ F（2）当c、d在射线oa、ob上任意移动时（不与点o重合）（图2），∠f的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠f．已知示例4：如图1所示，线段AB和CD在点O处相交，并连接AD和CB。
我们将图1中的数字称为“图8”解答下列问题：（1）在图1中，请写下∠ A.∠ B∠ C和∠ D直接（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：（3）在图2中，如果∠ d=40°，∠ B=36°，∠ 轻拍∠ BCD分别与m和N相交，试图找到∠ P利用（1）的结论；ap和cp相交于点p，并且与cd、（4）（4）如果∠ D和∠ 图2中的B是任意角度，其他条件不变，两者之间的定量关系是什么∠ P和∠ D和∠ （直接写下结论）例5..如图①,△abc中，dc,bd分别是∠acb和∠abc的平分线，且∠a=α(1)、用含α的代数式表示∠cdb;(2)、若图②中dc为∠acb的外角的平分线，怎样用含α的代数式表示∠cdb?(3)、若把图①中“dc,db分别是∠acb和∠abc的平分线”改成“dc,bd分别是∠acb和∠abc的外角的平分线”，(如图③),怎样用含α的代数式别是∠cdb?知识巩固1.在△abc中，∠a:∠b:∠c=1：2：3，则△abc是（）a.钝角三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.不能确定形状2.一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底度数是3.已知：如图所示，在△abc中，点d，e，f分别为bc，ad，ce的中且s△abc=4cm，则阴影部分的面积为______cm．22角的点，4.如图，在△abc中e是bc上的一点，ec＝2be，点d是ac的中点，设△abc、△adf、△bef的面积分别为s△abc，s△adf，s△bef，且s△abc＝12，则s△adf－s△bef＝。
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三角形边之间的关系
1、_____________cm 8cm 5cm 4cm 2为可以组成三角形的个数，那么
取三根组成一个三角形长的四根木棒，任意选，，，现有 2、的取值范围边则第三
满足其中的三边长分别为设△c ,0)4(6,,,,2=+-+-+b a b a b a c b a ABC 3、个形的个数有的三角，但不是最短边，这样为整数，其中一边长是已知三角形的三边长均_________4
4、PC BP AC AB ABC P +>+内任意一点，证明：
是△如图， 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AD<12 (AB+AC)
三角形角与角的关系
1、
求法呢？写出你的思考
）想一想，还有其他的的度数
）求，平分，于点，中，如图，在△216080AEC B DAC AE D BC AD BAC ABC ∠︒
=∠∠⊥︒=∠
2、A BPC ACB ABC P ABC ∠+︒=∠∠∠21903,2,1求证：角平分线的交点
和是，若点，已知△如图 3、别为多少度？
分，，；依次类推，则；的角平分线，交于点，，再作的角平分线，交于点）的条件下，若再作）在的度数
求）若的度数
，求）若的角平分线交于点与上，在直线如图，点n 32322211111
,23A m,2601A A A A CE A BE A A CE A BE A A A A A ACE ABC BE C ∠⋯∠∠⋯∠∠∠∠∠=∠∠︒=∠∠∠ 全等三角形
1、
D O
E C B A （填序号）
______．其中正确其中正确DN =CD ④；ABM ≌△ACN ；③△CF =BE ；②2∠=1．给给出下列结论：①AF =AE ，C ∠=B ∠90=F ∠=E ，∠N 于FC 交AB ，D 于FC ，交M 于AC 交EB 如图，︒ 2、几对？那么图中全等三角形有，如图，CD ＝AB 90＝ABC ∠DC,∥EF ∥AB ︒ 3、DE AF EB CF DF AE DC AB ====求证：已知,,,
4、下面四个命题:①两个三角形有两边及一角对应相等,
则这两个三角形全等;② 两个三角形有两角及一边对应
相等,则这两个三角形全等; ③两个三角形的三条边分别
对应相等,则这两个三角形全等;④ 两个三角形的三个
角分别对应相等,则这两个三角形全等.其中真命题是
【 】
A. ② ③
B. ① ③
C. ③ ④
D. ② ④
5、如图,在等边△ABC 中,AD ＝BE ＝CF,D 、E 、F 不是中点,连结AE 、BF 、CD,构成一些三角形.如果三个全等的三角形组成一组,那么图中全等的三角形的组数是【 】
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
构造全等三角形解决问题
1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，则AD= .
2、已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明
3、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系
4、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角
的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？
5、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
6、如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由
中垂线 角平分线
1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，交AD
于G ，AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。
2、以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．
A
D B C
G B C E F。