菱形、矩形、正方形的综合应用

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菱形正方形长方形平行四边形的特征

菱形正方形长方形平行四边形的特征一、菱形的特征菱形是一种四边形，它的四条边都相等且相互平行，同时它的对角线相互垂直且长度相等。

菱形的四个内角都是直角，即每个内角为90度。

菱形的特点使得它在几何学中具有重要的地位。

它具有对称性，即通过菱形的对角线可以将它分为两个完全相同的部分。

这种对称性在很多应用中都有着重要的作用。

二、正方形的特征正方形是一种特殊的菱形，它的四条边都相等且相互平行，同时它的四个内角都是直角。

正方形具有对称性和等边性，它的每个内角为90度，每条边的长度也相等。

正方形在日常生活中非常常见，例如我们常见的围棋棋盘、象棋棋盘、西洋棋棋盘等都是正方形的形状。

此外，在建筑中，很多房屋的平面图都是正方形或由多个正方形组成的。

三、长方形的特征长方形是一种特殊的平行四边形，它的两条对边相等且相互平行，同时它的四个内角都是直角。

长方形具有对称性和等边性，它的每个内角为90度，两条相对的边长度不同。

长方形在我们的日常生活中随处可见，例如书本的封面、电视机的屏幕、门窗的形状等都是长方形。

在建筑中，很多房屋的平面图都是长方形，例如我们常见的矩形房屋。

四、平行四边形的特征平行四边形是一种四边形，它的两对边分别相等且相互平行。

平行四边形的两对对边分别平行且相等，而且它的内角之和为360度。

平行四边形在我们的日常生活中也非常常见，例如书桌的形状、电视机架的形状、图画的边框等都是平行四边形的形状。

在建筑中，很多建筑物的地面、墙面等都是由平行四边形组成的。

五、菱形、正方形、长方形和平行四边形的应用菱形、正方形、长方形和平行四边形在我们的生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，很多房屋的平面图都可以使用这些形状来描述。

在城市规划中，很多道路、街区等也是由这些形状组成的。

在工业生产中，很多产品的形状也可以使用这些形状来描述。

例如电视机、电脑显示屏等产品的外形常常是正方形或长方形的。

在艺术设计中，这些形状也常常被用来构图和设计。

几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形

【本讲教育信息】一. 教学内容：几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形［目标］1. 理解矩形、菱形的定义与性质。

2. 掌握矩形、菱形的判定方法。

二. 重点、难点：1. 矩形、菱形性质的综合应用。

特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。

2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。

三. 知识要点：1. 矩形（1）矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

（2）矩形的特殊性质①矩形的对角线相等②矩形四个角都是直角（3）矩形性质的应用①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形；②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形；③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决；④矩形的面积计算公式：（4）矩形的判定条件①有三个角是直角的四边形是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形注意：1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。

2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。

（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。

）3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。

4）矩形的判定与性质的区别2. 菱形（1）菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

（2）菱形的特殊性质①菱形的四条边都相等②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角（3）菱形性质的应用由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。

的一半思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？（4）菱形的判定条件①四边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图：【典型例题】例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形和圆B. 等边三角形、矩形、菱形C. 菱形、矩形和圆D. 等边三角形、菱形、矩形和圆分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A、B、D，只选C了解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C。

矩形正方形菱形平行四边形的关系

矩形正方形菱形平行四边形的关系矩形、正方形、菱形和平行四边形都是几何学中常见的图形，它们之间存在着一定的关系。

本文将介绍这四种图形之间的关系，并分别阐述它们的特点和性质。

一、矩形矩形是一种具有特殊性质的四边形，它的四个内角都是直角（即90度）。

此外，矩形的对角线相等且垂直相交，对边平行且相等。

矩形的特点使得它在日常生活和工程设计中得到广泛应用。

例如，书桌、建筑物的窗户、墙壁等都常见到矩形的形状。

二、正方形正方形是矩形的特殊形式，它的四个边长相等且内角都是直角。

由于正方形具有对边平行且相等的性质，因此它也是平行四边形。

正方形的特点使得它在几何学中具有重要的地位，在城市规划、图案设计等领域中也被广泛应用。

三、菱形菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对边平行且相等。

此外，菱形的对角线相等且垂直相交，内角不是直角。

菱形的特点使得它在几何学中具有独特的地位，例如，菱形的形状常常被用于设计钻石、纹身等。

四、平行四边形平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的对边平行且相等。

平行四边形的特点使得它在几何学中也是一个重要的图形。

平行四边形的对角线不相等，内角之和为360度。

平行四边形的形状常常出现在建筑物的立面、道路的标线等。

矩形、正方形、菱形和平行四边形之间的关系可以总结如下：1. 矩形是一种特殊的平行四边形，它的对边平行且相等。

2. 正方形是一种特殊的矩形和平行四边形，它的四个边长相等且内角都是直角。

3. 菱形是一种特殊的平行四边形，它的对边平行且相等，但内角不是直角。

4. 平行四边形是一种具有对边平行且相等的特性的四边形，它包括了矩形和菱形。

矩形、正方形、菱形和平行四边形之间存在着紧密的关系。

它们都是具有特殊性质的四边形，但在某些方面又有所不同。

矩形和正方形具有直角和对边相等的特点，而菱形则具有对边平行且相等的特点，平行四边形则是包含了矩形和菱形的更广义的概念。

这些图形在数学和几何学中具有重要的地位，在日常生活和工程设计中也得到了广泛的应用。

矩形、菱形、正方形】5大知识要点总结

1. 矩形、菱形和正方形的定义及特点- 矩形是指具有四个直角的四边形，对角线相等，且相对边长相等。

- 菱形是指具有四个边长相等的四边形，对角线垂直且平分。

- 正方形是一种特殊的矩形和菱形，具有四个直角和四个边长相等的特点。

2. 矩形、菱形和正方形的性质和公式- 矩形的周长和面积分别用公式2*(长+宽)和长*宽表示。

- 菱形的周长和面积分别用公式4*边长和(对角线1*对角线2)/2表示。

- 正方形的周长和面积分别用公式4*边长和边长^2表示。

3. 矩形、菱形和正方形在几何图形中的应用- 矩形常见于建筑物的平面设计、画框、电视屏幕等。

- 菱形在菱形格子、菱形图案、梁的截面等中常见应用。

- 正方形常见于棋盘、地砖、窗户等设计中。

4. 矩形、菱形和正方形与其他几何图形的联系和区别- 矩形是特殊的平行四边形，与平行四边形和正方形有联系。

- 菱形是特殊的平行四边形，与平行四边形和正方形有联系。

- 正方形是特殊的矩形和菱形，具有独特的特点和应用。

5. 实际生活中的矩形、菱形和正方形的应用案例- 通过实际案例，解释矩形、菱形和正方形在生活中的运用和意义，如建筑结构、家居设计、工程绘图等。

- 分析实际案例中矩形、菱形和正方形的优缺点，引导读者对几何图形的深入思考和应用。

个人观点和总结通过对矩形、菱形和正方形的深入研究和比较，我深刻地认识到这些几何图形在我们日常生活中的重要性和应用广泛性。

它们不仅是数学中的重要概念，也是实际工程和设计中不可或缺的元素。

在未来的学习和工作中，我将更加注重对这些几何图形的认识和运用，以提高自己的学术和职业能力。

PS: 本文仅代表个人观点，如有不同意见，请指正。

矩形、菱形和正方形是我们生活中常见的几何图形，它们在建筑、设计、工程、艺术等领域都有着广泛的应用。

下面将对它们在不同领域的具体应用进行更详细地介绍。

我们来看矩形在建筑和设计中的应用。

矩形具有四个直角和对角线相等的特点，这使得它成为建筑物中常见的平面结构。

矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例

ABCD EFO矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例矩形、菱形、正方形的判定和性质是初中数学中最重要的内容之一.在中考中所占的比例较大，常以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现. 现举几例供同学们参考. 一、矩形知识的应用例1(甘肃白银7市课改)如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 .分析：由四边形ABCD 是矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等可知，矩形中OA=OB=OD=OC ，由三角形全等可求出阴影部分的面积.解：∵矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O . ∴OA=OB=OD=OC ，AC=BD∵)(,SAS COF AOE COD AOB ∆≅∆∆≅∆ ∴COF AOE COD AOB S S S S ∆∆∆∆==, ∴阴影部分的面积33221=⨯⨯=点评：矩形是特殊的平行四边形，其特殊性表现在角上(四个角都是直角)，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，从而可以计算阴影部分的面积.二、菱形知识的应用例2. (山东)如下图，菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=a ，求：(1)∠ABC 的度数；(2)已知a AO 23=，求对角线AC 的长；(3)求菱形的面积.分析：因为E 是AB 的中点，且DE ⊥AB 可得等腰三角形ABD 为等边三角形，这样菱形的4个内角都可求出，并且由特殊角的关系很容易求出AC 的长和菱形面积.解：(1)连结BD.在菱形ABCD 中，∵ DE ⊥AB ，E 是AB 的中点，∴ AB=AD=DB. ∴ △ABD 为等边三角形.∴ ∠ABD=60° .∴ ∠ABC=2∠ABD=120°.(2)在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相平分. 由(1)在Rt △ABO 中，a AO 23=a a AO AC 32322=⨯==∴ (3)由(1)知a AB BD ==，∴a a S ⋅⨯=⋅=321BD AC 21菱形 .232a = 点评：(1)本题首先证明△ABD 是等边三角形，从而求出∠ABD 的度数，再利用菱形的性质可求∠ABC.(2)求AC 的长可利用菱形的对角线互相垂直平分(3)菱形的面积可用21AC·BD 求出，也可利用AB·DE 求出. 本题应用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，即可求出面积.三、正方形知识的应用例3(浙江台州)把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H (如图).试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.分析：本题是将正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向进行旋转，画出正方形AEFG .构造全等三角形.解：HG HB =. 证法1：连结AH ，∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形.∴90B G ∠=∠=°.由题意知AG AB =，又AH AH =.DCAB GHFEDC AB GHFERt Rt()∴△≌△，AGH ABH HL=∴.HG HB证法2：连结GB.，都是正方形，∵四边形ABCD AEFG∠=∠=∴°.ABC AGF90由题意知AB AG=.∴.∠=∠AGB ABG∴.∠=∠HGB HBG∴.=HG HB点评：本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定，要证HG=HB，转化为证Rt△AGH≌Rt△ABH或HBG∠即可.=HGB∠练习：1.如图，如果要使平行四边行ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是.2.如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E.求证：四边形CDC′E是菱形.3.如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC 于点E，PF⊥CD于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.参考答案1.AB AD AC BD，等.=⊥2.证明：根据题意可知DE∆≅C∆CDE'则'''，，=∠=∠=CD C D C DE CDE CE C E∵AD//BC ∴∠C′DE=∠CED∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE∴CD=C′D=C′E=CE ∴四边形CDC′E为菱形3.(1) 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.(2) 不是总成立.当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC 边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.说明：未用举反例的方法说理的不得分.(3)连接BE、DF，则BE与DF始终相等.在图中，可证四边形PECF为正方形，在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .从而有BE=DF.。

用集合表示四边形之间的关系

用集合表示四边形之间的关系四边形是平面几何中的一种基本形状，它具有四条边和四个顶点。

在数学中，我们可以用集合来表示四边形之间的关系。

下面我将详细介绍四边形之间的各种关系。

我们来讨论四边形的基本属性。

四边形有两对相对的边平行，这是四边形的最基本的特征。

根据这一特征，我们可以将四边形分为两类：平行四边形和非平行四边形。

平行四边形是指具有两对相对的边平行的四边形。

例如，矩形、正方形和菱形都属于平行四边形。

它们之间的关系可以用集合表示：1. 矩形是一个平行四边形，因为它具有两对相对的边平行。

矩形的集合可以表示为{矩形}。

2. 正方形是一个矩形，因为它具有两对相对的边平行。

正方形的集合可以表示为{正方形}。

3. 菱形是一个平行四边形，因为它具有两对相对的边平行。

菱形的集合可以表示为{菱形}。

非平行四边形是指不具有两对相对的边平行的四边形。

例如，梯形和平行四边形之外的四边形都属于非平行四边形。

它们之间的关系可以用集合表示：1. 梯形是一个非平行四边形，因为它不具有两对相对的边平行。

梯形的集合可以表示为{梯形}。

2. 除了矩形、正方形、菱形和梯形之外的四边形都属于非平行四边形的集合。

除了平行四边形和非平行四边形之外，还有一些特殊的四边形，它们具有特定的性质和关系。

1. 平行四边形和非平行四边形的交集为空集，即它们没有共同的元素。

2. 正方形是一个矩形，同时也是一个菱形。

因此，正方形属于矩形和菱形的交集。

3. 平行四边形和梯形的交集为空集，即它们没有共同的元素。

4. 除了平行四边形和梯形之外的四边形都属于非平行四边形的集合。

我们可以用集合来表示四边形之间的关系。

平行四边形的集合包括矩形、正方形和菱形；非平行四边形的集合包括梯形和除了矩形、正方形、菱形和梯形之外的四边形。

同时，还存在一些特殊的四边形，它们具有特定的性质和关系。

通过集合的表示方法，我们可以清晰地描述和理解四边形之间的关系。

希望本文能够帮助读者更好地理解四边形之间的关系，并能够在数学学习中应用这些知识。

平行四边形矩形菱形正方形的性质和

平行四边形矩形菱形正方形的性质和
平行四边形、矩形、菱形和正方形是几何中非常基础的图形，它们在我们的日常生活中无处不在。

在学习它们的性质和特征时，可以帮助我们更好地理解它们在数学中的应用，如勾股定理、三角函数和向量等。

首先让我们来看平行四边形。

平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。

它有以下重要特征：对边相等、对角线互相平分、相邻角互补、对角线相交点是中点、面积等于底边长乘以高。

接下来是矩形。

矩形是指具有四个角都是直角的四边形。

它有以下重要特征：对边相等、对角线相等、对角线互相平分、面积等于底边长乘以高、周长等于底边长和高的两倍。

由于它的角都是直角，所以它也是正方形的一种特殊情况。

然后是菱形。

菱形是指具有所有边长相等的四边形。

它有以下重要特征：对角线互相平分、对角线垂直、面积等于对角线之积的一半、周长等于4倍边长。

最后是正方形。

正方形是指具有四个角都是直角且所有边长相等的矩形。

它有以下重要特征：对边相等、对角线相等、对角线垂直且平分、
面积等于边长的平方、周长等于4倍边长。

总结一下，平行四边形、矩形、菱形和正方形在数学中都有着重要的应用，因此学生们需要深入掌握它们的性质和特征。

只有这样，才能更好地应用它们到实际问题中，提高自己在数学领域的成绩。

平行四边形、菱形、矩形、正方形的综合应用

学生学校年级学科数学教师日期时段次数课题北师大版---正方形的性质与判定(二)考点分析1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．教学步骤及教学内容教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二二、课前热身：学生总结菱形、矩形与正方形的性质与判定定理及它们之间的转换关系三、内容讲解：①.教学内容知识点1：矩形、菱形的综合应用 P3例1、例2、例3 P3- P5知识点2：菱形与勾股定理综合应用 P6例1、例2、例3P6-P7知识点3：正方形、勾股定理与三角形综合应用P8例1、例2、例3 P8-P10②.教学辅助练习（或探究训练）变式训练1 P5-P6变式训练2 P7-P8变式训练3 P10四、课堂小结五、作业布置P11-P13教导处签字：日期：年月日课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差学生签字：二、教师评定1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差教师签字：作业布置教师留言家长留言家长签字：日期：年月日心灵鸡汤 1、我努力，我坚持，我一定能成功。

2、站在新起点，迎接新挑战，创造新成绩。

讲义：正方形的性质与判定（二）学生：学科：数学教师：日期：教学步骤及教学内容包括的环节：一、作业检查。

检查学生的作业，及时指点。

二、课前热身：回顾特殊平行四边形的性质与判定及它们之间的转化关系知识点一：矩形、菱形的综合应用例1．如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠1=∠C ，AD=CB ，AB=CD ．∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE=12AB ，CF=12CD ． ∴AE=CF ．∴△ADE ≌△CBF ．（2）当四边形BEDF 是菱形时，四边形AGBD 是矩形． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ，∴四边形AGBD 是平行四边形． ∵四边形BEDF 是菱形， ∴DE=BE ． ∵AE=BE ， ∴AE=BE=DE ．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴2∠2+2∠3=180°． ∴∠2+∠3=90°．即∠ADB=90°，∴四边形AGBD 是矩形．例2、顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（） A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形【答案】C 。

数学北师大版九年级上册《矩形、菱形、正方形》复习课教学设计

《矩形、菱形、正方形》复习课教学设计霞浦八中许凤花一、复习内容分析：本节课是八年级第二学期第四章的内容。

四边形和三角形一样，是基本的平面图形，也是空间立体图形的重要组成部分。

平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的区别与联系对灵活的掌握及运用四边形的知识起着重要的作用。

特殊平行四边形概念、性质与判定是学好本章的关键，也是为学好整个平面几何打下一个坚实的基础，是本章的教学重点．本章节的难点是平行四边形和各种特殊平行四边形之间的区别和联系，因为它们的概念之间重叠交错，容易混淆．学生往往搞不清楚它们的共性、特性及其从属关系，应用时常犯多用或少用条件的错误．教学时不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质，尤其要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质．也就是在讲清每个概念特征的同时，要强调它们的从属关系．所以解决这个难点的关键是抓好概念教学，弄清这些概念之间的关系．而要弄清楚这些关系，最好是用图示的办法．本节课的目的就是通过一组基础练习与综合运用的训练，掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的联系及区别，培养学生归纳、总结的能力，发展学生的合情推理能力，进一步学习有条理的思考与表达，理解推理与论证的基本过程，建构严谨的思维模式，树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风。

在本章内容中，较多地应用转化与化归的思想，以及分类讨论和数形结合的思想方法。

二、学情分析：授课对象是九年级的面临即将中考的学生，学生通过八年级新课的学习已经对特殊的四边形性质和判定方法有了一定的了解，大部分学生已经形成了对几何图形推理与计算的能力，中考的要求需要对学生的运算能力和逻辑推理能力进一步的提升，因此加强对学生运算能力和逻辑推理能力的培养是教学的关键。

同时在前一节课经过三角形相关知识的复习以及平行四边形的复习巩固，学生已经基本掌握了平行四边形的性质及判定，可以采用类比的数学思想方法复习菱形、矩形和正方形，开始学生对这些特殊的平行四边形之间的关系与区别可能比较混乱，经常“张冠李戴”，所以教学中要重视这些几何图形性质和判定的灵活使用，同时加强概念的理解以及提高几何图形的抽象逻辑思维能力。

人教版中考数学复习《第21讲：矩形、菱形、正方形》课件

BF=3x,由勾股定理得:AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得
x=
10
,所以
5
3 10
,即
5
3x=
BF=
3 10
.
5
18
考点梳理自清
考法1
考法2
考题体验感悟
考法互动研析
考法3
3.(2017·江苏徐州)如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,
连接DO并延长,交AB延长线于点E连接EC.
一半
5
考点梳理自清
考点一
考点二
考点三
考题体验感悟
考法互动研析
考点四
考点三正方形(高频)
正方形
的定义
正方形
的性质
正方形
的判定
有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形
(1)正方形的对边平行
(2)正方形的四条边相等
(3)正方形的四个角都是直角
(4)正方形的对角线相等,互相垂直平分 ,每条对角线
( C )
A.2 5
B.3 5
C.5
D.6
10
考点梳理自清
命题点1
命题点2
考题体验感悟
考法互动研析
命题点3
解析如图,连接EF交AC于点O,根据菱形性质有FE⊥AC,OG=OH,
易证OA=OC.由四边形ABCD是矩形,得∠B=90°,根据勾股定理得
AC=

4 5
42
+
82 =4

5,OA=2 5,易证△AOE∽△ABC,则
考法3
考法1矩形的相关证明与计算
例1(2017·山东潍坊)如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向

八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形19.3正方形正方形及其性质说课稿(新版)华东师大版

正方形及其性质一、教材的地位与作用这节课是华师大版数学教材八年级下册第19章第3节第1课时的内容。

在现实生活中随处可见，应用非常广泛，它是学生非常熟悉的一种图形。

《正方形》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、菱形、矩形等平面几何知识，并且具备有初步的观察、操作、推理和证明等活动经验的基础上出现的。

目的在于让学生通过探索正方形的性质，进一步学习、掌握说理、证明的数学方法。

这一节课是前面所学知识的延伸和概括，充分体现了平行四边形、菱形、矩形、正方形这些概念之间的联系、区别和从属关系，同时又是高中阶段继续学习正方体、正六面体必备的知识。

二、教学目标1知识技能①、理解正方形的概念，掌握正方形性质以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系。

②、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证。

2.数学思想渗透从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想。

3.过程与方法①、通过本节课的学习培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力。

②、培养学生的合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握证明的方法。

3.情感态度①、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风。

②、培养学生相互讨论、相互帮助、团结协作的团队精神。

三、教材的重点难点重点：正方形的概念和性质。

难点：理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的内在联系及正方形的性质和应用。

《教法分析》教法设想以“学—导—练”三步为主线，以“先学后教、当堂训练”的教学模式，来进行本节课的教学。

在整个教学过程中加强学生自学方法的指导。

以问题“引”自学，以自测“显”问题，以优生“带”差生，以点拨“疏”疑点，以训练“巩”新知运用教学方法：以导学稿为载体，引导、探究、合作、点拔、评价学法指导自学猜测、交流讨论、分析推理、归纳总结教学程序一、出示目标了解新知学习目标（1分钟）1.理解正方形的概念，掌握正方形性质以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系。

初三数学九年级上册：第28讲┃矩形、菱形、正方形 ppt教学课件

图26－4
第28讲┃矩形、菱形、正方形
解
(1)证明：∵BC的垂直平分线EF交BC于点D，
∴BF＝FC，BE＝EC.
又∵∠ACB＝90°，∴EF∥AC.
∴BE∶AB＝DB∶BC.
∵D为BC中点，∴DB∶BC＝1∶2，
∴BE∶AB＝1∶2，∴E为AB中点，即BE＝AE.
∵CF＝AE，∴CF＝BE，∴CF＝FB＝BE＝CE，
考点2 菱形
菱形定义
有一组__邻__边____相等的平行四边形是菱形
菱形的性质
对称性
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴
菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点
定理
(1)菱形的四条边__相__等____； (2)菱形的两条对角线互相__垂__直____平
分，并且每条对角线平分一__组__对__角__
第28讲┃矩形、菱形、正方形
解析∵BD、GE 分别是正方形 ABCD，正方形 CEFG 的对角线， ∴∠ADB＝∠CGE＝45°， ∠GDT＝∠BDC＝45°， ∠DTG＝180°－∠GDT－∠CGE＝180°－45°－45°＝90°， ∴△DGT 是等腰直角三角形． ∵两正方形的边长分别为 4，8， ∴DG＝8－4＝4， ∴GT＝ 22×4＝2 2.
顺次连接对角线互相垂直的四边形所得到的四边形是 __矩__形__
第28讲┃矩形、菱形、正方形
归类探究
探究一矩形的性质及判定的应用
命题角度： 1. 矩形的性质； 2. 矩形的判定．．例1 [2013·白银] 如图26－1，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点 F，且AF＝BD，连接BF. (1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？ (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．

正方形的性质与判定的综合应用

证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB. ∴∠AOE＝∠DOF＝90°. ∵DE＝CF，∴OE＝OF. ∴△AOE≌△DOF. ∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°， ∴∠DFO＋∠ODF＝90°. ∴∠DFO＋∠FAE＝90°. ∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.
解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由： ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC. ∵点D为AB的中点，∴CD⊥AB. ∴∠CDB＝90°. ∵四边形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形．即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
ห้องสมุดไป่ตู้
训练角度 4 正方形的性质与判定的综合运用
十、理解感悟。
（一）
蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（）的嘴角，好像有话要跟你说。在那极富个性的嘴角和眼神里，悄然流露出恬静、淡雅的微笑。那微笑，有时让人觉得舒畅温柔，有时让人觉得略含哀伤，有时让人觉得十分亲切，有时又让人觉得有几分矜（）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是那样耐人寻味，难以捉摸。达·芬奇凭着他的天才想象为和他那神奇的画笔，使蒙娜丽莎转瞬即逝的面部表情，成了永恒的美的象征。
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确目标的人，是不容易得到成功的。许多人并不乏信心、能力、智力，只是没有确立目标或没有选准目标，所以没有走上成功的途径。这道理很简单，正如一位百发百中的神射击手，如果他漫无目标地乱射，也不能在比赛中获胜。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。——马克思

矩形、菱形、正方形教案

第四中学集体备课教案主备人：杨朝勇授课人：八年级班学科：数学课题18.2.1矩形（第一课时）授课时间年月日教学目标知识与技能掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。

掌握矩形的性质定理。

过程与方法能根据定义探索并掌握矩形的对边相等、对角相等的性质并运用性质进行简单的计算和证明。

情感态度与价值观培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力。

教学重点矩形的性质及其推论．教学难点矩形的本质属性及性质定理的综合应用．教具准备教具（一个活动的平行四边形），教学过程设计个性修改四、教学过程及设计：（一）矩形的定义1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等.②平行四边形的对角相等，邻角互补.③平行四边形的对角线互相平分.2.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．（二）矩形的性质1.一般性质：具备平行四边形所有的性质2.【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．猜想1：矩形的四个角都是直角．（推导过程省略）猜想2：矩形的对角线相等．（推导过程省略）练习：如图：AB＝6，BC=8，那么AC＝？BD=? OC=?解：在矩形ABCD中，∠ABC=90 °∴在Rt△ABC中， AB² +BC² =AC²解得：AC=10又矩形的对角线相等，∴ BD=AC=10，OC=1/2AC =5（四）例题探究例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？解：∵四边形ABCD是矩形∴AC与BD相等且互相平分∴ OA=OB∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形∴ OA=AB=4(㎝)∴矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)方法小结: 如果矩形两对角线的夹角是60°或120°，则其中必有等边三角形. 课堂小结：矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.作业1． P53 练习第2题2． P60 习题18.2 第4题。

矩形,菱形,正方形的联系与区别

第2版：矩形，菱形，正方形的联系与区别一、矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，理清它们的区别与联系是本节的重点，也是本章的难点。

看下面的从属关系并完成列表，可以帮你理清它们的区别与联系。

（1）从属关系：（2）列表比较边角对角线对称性面积公式矩形菱形正方形二、例题剖析：[例1]已知矩形的两条对角线的一个交角为120°，一条对角线与较短边的和为12cm，求对角线的长。

提示：利用矩形的对角线的性质以及∠AOD是△AOB的一个外角，得到△AOB 是等边三角形等知识。

分析与解：∵四边形ABCD为矩形∴AC=BD AO=DO=OC=OB∠BAD=90°（矩形的对角线互相平分且相等）∵∠AOD=120°∴∠OAB=∠ABO=60°∴△AOB是等边三角形∴AB=OA=OB∵AB+BD=12 ∴AB+OA+OB=12 ∴OA=OB=AB=4∴BD=AC=8（cm）答：对角线长为8cm。

点拨：（1）找到BD与AB的关系是解决问题的关键（2）在特殊四边形中，相关的计算问题可放到特殊三角形中。

[例2]已知：如图矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE∥BD，DE∥AC 求证：四边形AODE是菱形提示：结合条件，要想证明四边形AODE是菱形，先证明四边形AODE是平行四边形，再证明有两条线段相等。

分析与解：证明：∵矩形ABCD 中对角线AC 、BD 交于O∴AC=BD 即AO=DO又∵AE ∥BD 、DE ∥AC ，∴四边形AODE 是平行四边形∴四边形AODE 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）点拨：（1）菱形判定方法要牢记。

（2）特殊四边形的对角线所具有的性质异同点要很明确。

[例3] 如图，P 是对角线为4的正方形ABCD 的边AD 上的一点，且P E ⊥AC ，PF ⊥BD ，则PE+PF= 。

提示：只要将△AOD 分割成两个△AOP 和△DOP ，利用面积去做。

分析与解：因为四边形ABCD 是正方形,所以OA=OB=OC=OD=2,且OA ⊥OD, 因为S △AOD =S △AOP +S △POD,所以×2×2=(AO ×PE+DO ×PF 2= ×2 ×PE+ ×2×PF, 所以PE+PF=2点拨:本题用到了分割法算面积,掌握这点是解决此题的关键.本题也可以通过证明四边形PEOF 是矩形,得到PE=OF,再证明△PFD 是等腰三角形,得到PF=FD,所以就把PE+PF 转化成了线段OD 的长了,所以PE+PF=2思维总结：学习矩形、菱形、正方形的区别和联系应注意把握以下两个方面：（1）转化的思想：在矩形、菱形、正方形中有许多相等的角，相等的边，要关注边、角的等量关系的相互转化。

八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19

专训1 正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质解决线段和差问题1．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．(第1题)利用正方形的性质证明线段位置关系2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连结DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第2题)正方形性质与判定的综合运用3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半？并说明理由．(第3题)专训2 特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加一些条件进行判定．矩形的综合性问题a．矩形性质的应用1．如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点(不与A，C重合)，PG⊥AE于点G，PH⊥EC于点H，试求PG＋PH的值．(第1题)b．矩形判定的应用2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OE＝BC.(第2题)c．矩形性质和判定的应用3．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点(不与B，C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC.垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．(第3题)菱形的综合性问题a．菱形性质的应用4．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.(1)求证：AE＝EC.(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．(第4题)b．菱形判定的应用5．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线．AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形．(第5题)c.菱形性质和判定的应用6．(中考·江西)(1)如图①，平行四边形纸片ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为( )A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.①求证：四边形AFF′D是菱形；②求四边形AFF′D的两条对角线的长．(第6题)正方形的综合性问题a．正方形性质的应用7．(中考·凉山州)如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连结AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．(第7题)b．正方形判定的应用8．两个长为2 cm，宽为1 cm的矩形摆放在直线l上(如图①)，CE＝2 cm，将矩形ABCD 绕着点C顺时针旋转α度，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D，H重合时(如图②)，连结AE，CG，求证：△AED≌△GCD；(2)当α＝45时(如图③)，求证：四边形MHND是正方形．(第8题)答案专训11．解：(1)BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下：如图①，过点A 作AE⊥AN，交CB 的延长线于点E, 易证△ABE≌△ADN，∴BE＝DN ，AE ＝AN. 又∵∠NAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又∵AM＝AM ，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM＋DN ＝MN .(2)DN －BM ＝MN.证明如下：如图②，在DN 上截取DE ＝BM ，连结AE.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM＝∠D＝90°，AB ＝AD. 又∵BM＝DE ，∴△ABM≌△ADE. ∴AM＝AE ，∠BAM＝∠DAE.∴∠BAM＋∠EAB＝∠DAE＋∠EAB＝∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°. ∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°.∴∠MAN＝∠EAN. 又∵AM＝AE ，AN ＝AN ， ∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN. ∴DN＝DE ＋EN ＝BM ＋MN. ∴DN－BM ＝MN.①②(第1题)2．证明：∵AC，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC⊥BD，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE＝CF ，∴OE＝OF.在△AOE 与△DOF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，∠AOE＝∠DOF＝90°，OE ＝OF ，∴△AOE≌△DOF.∴∠OA E ＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠ODF＝90°.∴∠DFO＋∠OAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵不管滚动多长时间，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴SA＝PB ＝QC ＝RD.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP ＝∠BPQ.∴不管滚动多长时间，连结四个小球所得的四边形PQRS 总是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴不管滚动多长时间，连结四个小球所得的四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或到达终点时面积最大，此时的面积就等于正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 四边中点时，四边形PQRS 的面积是正方形ABCD 面积的一半．理由：设正方形ABCD 的边长为a.当PS 2＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP.由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12a 2，解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12a.∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为正方形ABCD 面积的一半．专训21．解：(1)△AED≌△CEB′. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC＝DA ，∠B＝∠D.由折叠可知BC ＝B′C，∠B＝∠B′， ∴B′C＝DA ，∠B′＝∠D. 在△AED 和△CEB′中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DEA＝∠B′EC，∠D＝∠B′，DA ＝B′C， ∴△AED≌△CEB′.(第1题)(2)如图，延长HP交AB于点M，则PM⊥AB.∵∠1＝∠2，PG⊥AB′，PM⊥AB，∴PM＝PG.∵CD∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝CE＝8－3＝5.在Rt△ADE中，DE＝3，AE＝5，∴AD＝52－32＝4.∵PM＋PH＝AD，∴PG＋PH＝AD＝4.2．证明：(1)∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCED是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∵四边形OCED是矩形，∴OE＝CD，∴OE＝BC.(第3题)3．(1)证明：如图，过点B作BH⊥FP交FP的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.∴PE＝PH，∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.(2)解：不成立．理由：过点B作BH⊥PF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.∴PE＝FH＋PF＝BD＋PF.(第4题)4．(1)证明：连结AC，如图．∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴AE＝EC.(2)解：点F是线段BC的中点．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°，∴∠EAC＝∠EAB.∴AF是△ABC的角平分线．∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点．(第5题)5．证明：如图，∵AF∥CD，FG∥AC，∴四边形ACGF是平行四边形．∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2.∵AF∥CD，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴AF＝AC.∴四边形ACGF 是菱形． 6．(1)C(2)①证明：由平移可知AF=DF′，∴四边形AFF′D 是平行四边形． ∵S ▱ABCD ＝AD·AE＝15，AD ＝5， ∴AE＝3.∵AE＝3，EF ＝4，∠E＝90°， ∴AF＝AE 2＋EF 2＝32＋42＝5. ∵AD＝5，∴AD＝AF ， ∴四边形AFF′D 是菱形． ②解：如图，连结AF′，DF ，在Rt △AEF′中，AE ＝3，EF′＝EF ＋FF′＝4＋5＝9， ∴AF′＝90.在Rt △DFE′中，FE′＝EE′－EF ＝5－4＝1， DE′＝AE ＝3， ∴DF＝10，∴四边形AFF′D 的两条对角线的长分别是90和10.(第6题)7．解：线段AF ，BF ，EF 三者之间的数量关系是AF ＝BF ＋EF ，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠DAB＝∠ABC＝90°. ∴∠DAE＋∠BAF＝90°.∵DE⊥AG 于E ，BF∥DE 交AG 于F ， ∴∠AFB＝∠DEF＝∠DEA＝90°， ∴∠ADE＋∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF. 在△ABF 和△DAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF＝∠ADE，∠AFB＝∠DEA，AB ＝DA ，11 ∴△ABF≌△DAE.∴BF＝AE.∵AF＝AE ＋EF ，∴AF＝BF ＋EF.8．证明：(1)∵CD＝CE ＝DE ＝2 cm ， ∴∠CDE ＝60°.又∵四边形ABCD 和四边形EFGH 是矩形， ∴∠ADC＝∠GDE＝90°，∴∠ADE＝∠GDC＝150°.在△AED 和△GCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝GD ，∠ADE＝∠GDC，DE ＝DC ，∴△AED≌△GCD.(2)∵α＝45，∴∠NCE＝∠NEC＝45°，∴∠CNE＝90°，CN ＝NE ，∴∠HND＝90°.∴∠H＝∠D＝∠HND＝90°，∴四边形MHND 是矩形．又∵CD＝HE ，CN ＝NE ，∴ND＝HN.∴四边形MHND 是正方形．。

正方形的判定定理优秀教案

【正方形的性质与判定（二）】教学设计一、教学目标:知识目标: 1.掌握正方形的判定方法。

2.综合运用平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理探究中点四边形问题。

能力目标：1.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程, 培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力, 让其逻辑推理能力有进一步的提升。

2.灵活运用正方形的判定, 培养学生的思维能力。

情感态度与价值观：1.通过对平行四边形、菱形、矩形等判定方法的类比, 进一步领悟类比的数学思想。

2.理解特殊的平行四边形之间的内在联系, 培养学生辩证看问题的观点。

3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、归纳、推理等数学思想。

二、教学重点与难点重点: 正方形的判定方法。

难点: 合理恰当地利用特殊四边形的性质和判定进行有关的论证和推理。

三、教学方法:教法设计：针对本节课的特点, 采用"创设情境-合作交流-应用迁移-类比归纳-整理反思"为主线的探究式教学方法。

学法设计: 独立思考—合作探究—快乐展示本节课重点以培养学生探索精神和分析归纳总结能力为出发点, 着重指导学生动手、观察、思考、分析、总结得出结论。

在小组讨论中通过互相学习、讨论交流, 让学生体验合作学习的乐趣, 享受成功的喜悦。

四、教学时间: 1课时五、教学课型: 新授六、教学过程:（一）创设情境, 引入新知师: 我们已学习了矩形、菱形、正方形, 它们都是特殊的平行四边形。

怎样判定一个四边形是矩形？怎样判定一个四边形是菱形？生: 快速回顾并回答。

【设计意图】系统复习矩形、菱形的判定方法, 让学生通过框架图理清思考方法, 为正方形的判定做准备。

师：在矩形的基础上给正方形定义为：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形既是特殊的矩形, 也是特殊的菱形, 它具有矩形和菱形所有的性质, 它四条边都相等, 四个角都是直角, 对角线相等且互相垂直。

如果一个四边形已经是矩形或菱形, 那么再添加什么条件能变成正方形呢？这节课我们一起探究正方形的判定方法。

题型专项研究：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质

题型6平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质,备考攻略)1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题．3．平行四边形的存在性问题．4．四边形与二次函数的综合题．1．折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错．2．平行四边形的存在性问题中解有遗漏．3．很难解答四边形与二次函数的综合题，无从下手．1．四边形是几何知识中非常重要的一块内容，因其“变化多端”更是成为中考数学考试的一个热门考点．近几年随着新课改的不断深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题．这类问题的实践性强，要利用图形变化前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解．2．中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目不仅仅把“数”与“形”联系起来思考，更提高同学们综合运用知识的能力．数形结合题目可以考查学生对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查学生运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．3．四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角．尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高．此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题：平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用：(1)求角的度数；(2)求线段的长；(3)求周长；(4)求第三边的取值范围．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题：有关矩形纸片折叠的问题，通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形，利用勾股定理来求解．折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)转化与化归思想；(3)归纳与分类的思想；(4)从变寻不变性的思想．3．综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题：此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解．此外，在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算，学生顺利完成的难度就更大．如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径．4．四边形与二次函数的综合题是压轴题：综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题．读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图象是解题的关键．解决压轴题关键是找准切入点，如添辅助线，构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等．压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力．,典题精讲)◆简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题【例1】(成都中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【答案】3 31．(巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__15__°.2．(2017甘肃中考)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ∥DC ，OB ＝OD, ∴∠OBE ＝∠ODF.在△BOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA ), ∴EO ＝FO,∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF, 设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝6－x. 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2, ∴x 2＝42＋(6－x)2, 解得：x ＝133.∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213， ∴OB ＝12BD ＝13.∵BD ⊥EF,∴EO ＝BE 2－OB 2＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133.◆四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题【例2】(宿迁中考)如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A ．2B . 3C . 2D ．1【解析】根据翻折不变性，AB ＝FB ＝2，BM ＝1，在Rt △BFM 中，可利用勾股定理求出FM 的值．【答案】B3．(咸宁中考)已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( D )A ．(0，0)B .⎝⎛⎭⎫1，12C .⎝⎛⎭⎫65，35D .⎝⎛⎭⎫107，57(第3题图)(第4题图)4．(苏州中考)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B .⎝⎛⎭⎫3，43C .⎝⎛⎭⎫3，53 D ．(3，2)5．(黄冈中考)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝.6．(2017甘肃中考)如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，EF ＝6，∠DEF ＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC′D′，ED ′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为( C )A ．6B ．12C ．18D ．247．(2017广东中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证：△BDF 是等腰三角形；(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O. ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长．解：(1)如图①，根据折叠，∠DBC ＝∠DBE, 又AD ∥BC,∴∠DBC ＝∠ADB, ∴∠DBE ＝∠ADB, ∴DF ＝BF,∴△BDF 是等腰三角形；(2)①∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC, ∴FD ∥BG.∴四边形BFDG 是平行四边形． ∵DF ＝BF,∴四边形BFDG 是菱形； ②∵AB ＝6，AD ＝8, ∴BD ＝10， ∴OB ＝12BD ＝5.假设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x.∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x)2＝x 2,解得x ＝254，即BF ＝254， ∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542－52＝154， ∴FG ＝2FO ＝152. ◆解决平面直角坐标系中平行四边形存在性问题【例3】(2017大理中考模拟)如图，A ，B ，C 是平面上不在同一直线上的三个点． (1) 画出以 A ，B ，C 为顶点的平行四边形；(2)若 A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，5)，(－5，1)，(2，2)，请写出这个平行四边形第四个顶点 D 的坐标．【解析】利用坐标系的知识点解题．【答案】(1)如图所示；(2)第四个顶点D 的坐标为(－2，－2)或(6，6)或(－8，4)．1．(兰州中考)如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝35，则下列结论正确的个数有( C )①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD ＝210 cm . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．(济南中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是( D )A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.4(第2题图)3．(珠海中考)如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__4__cm.4．(新疆中考)如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A 的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．解：(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E.∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，∴∠DAD′＝∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE＝AD′.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴CE＝D′B，CE∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；(2)∵AD＝AD′，∴▱DAD′E是菱形．∴D与D′关于AE对称．连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′＋PB的最小值，过D作DG⊥BA于G.∵CD ∥AB ，∴∠DAG ＝∠CDA ＝60°. ∵AD ＝1，∴AG ＝12，DG ＝32，BG ＝52，∴BD ＝DG 2＋BG 2＝7， ∴PD ′＋PB 的最小值为7.5．(资阳中考)如图，在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，双曲线y ＝kx(k ≠0，x ＞0)过点D.(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．解：(1)∵▱ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)， ∴点D 的坐标为(1，2)． ∵点D 在双曲线y ＝kx 上，∴k ＝1×2＝2，∴双曲线的解析式为y ＝2x ；(2)∵直线AC 交y 轴于点E ， ∴点E 的横坐标为0. ∵AD ＝2，∵S △ADC ＝12·(3－1)·AD ＝2，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝1＋2＝3.。

§16.2矩形、菱形、正方形的性质综合应用.

§ 16.2 矩形、菱形、正方形的性质综合应用知识技能目标1. 理解平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形都具有这样的特征，掌握简单的识别方法；2. 矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的特征，还分别具有各自的特征，而且它们都是轴对称图形．3．通过知识的综合应用的说理，初步培养学生的逻辑思维能力过程性目标1. 通过探索、归纳几类特殊四边形的特征和识别，了解它们之间的包含关系；2. 让学生在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，经验；教学过程一、知识归纳师矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们既有平行四边形共有的性质，又有各自的特征，请大家回忆一下它们的特征和识别方法各是什么．形的特征和识别方法 .生平行四边形的特征：(1) 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点； (2) 对边分别平行； (3) 对边分别相等；体验推理的方法和技巧，获取推理的请一位同学先说一下平行四边(4) 对角线互相平分．平行四边形的识别方法：(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4) 对角线互相平分的四边形是平行四边形．师矩形的特征是什么呢？矩形的识别方法有哪几种呢生1 矩形的特征( 具有平行四边形的一切特征) ：(1) 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；(2) 矩形的四个角都是直角；(3) 矩形的对角线相等且互相平分．生2 识别一个四边形是矩形的方法：(1) 有一个内角是直角的平行四边形是矩形；(2) 对角线相等的平行四边形是矩形；(3) 有三个角是直角的四边形是矩形；(4) 对角线相等且互相平分的四边形是矩形．师下面我们再回忆菱形的特征和识别方法生菱形特征( 具有平行四边形的一切特征) ：(1) 菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线，有两条对称轴；(2) 菱形的四条边相等；(3) 菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的识别方法：(1) 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2) 四边都相等的四边形是菱形；(3) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．师正方形概念的三个要点：(1) 是平行四边形；(2) 有一个角是直角；(3) 有一组邻边相等．正方形的特征和识别方法又是怎样的呢？生1 正方形的特征：45(1)正方形是中心对称图形，对称轴是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线，共有四条对称轴; ⑵正方形四条边都相等;(3)正方形四个角都是直角;(4) 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角等于生2正方形的识别方法:(1)有一个角是直角的菱形是正方形; (2)有一组邻边相等的矩形是正方形.师很好！要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形. 二、实践应用例1试说明依次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. 分析要解此题，应先画图、写出有关条件和试说明的结论，再解答.EFGH 是菱形.解连结EG FH,则EG FH 都是矩形ABCD 勺对称轴. 且点& G 关于FH 对称，点F 、H 关于EG 对称.••• EG FH 互相垂直平分，•••四边形EFGH 是菱形.例2 如图，菱形ABCD,E F 分别为BC CDh 的点，且 / B=/ EAF=60 ,若/ BAE=20 ,求/ CE 的度数. 分析：连结AC,由菱形的特征与已知条件可得^ ABC EAF=60，可得/ BAE=/ CAF ,进而可得^ABE 绕点A 旋转60°得到，••• AE=AF 得^ AEF 为等边三角形，从而求出/ CEF如图，矩形 ABCD 点E 、F 、G H 分别是边AB BC CD DA 的中点，试说明：四边形为等边三角形，•/ BAC 玄ACD=60，由/ B'DE(2)如图(2)当点E 在正方形ABCD 勺内部时，由 ABCD 是正方形, / EAB=/ DAB-/ DAE= 90° - 60°= 30AE = AD= AB,因此/ AEB=/ ABE = (180 ° - 30° ) - 2 = 75° .解：连结AC,菱形ABC 中，AB=BC / ACB 玄ACD./ B=60° ,△ ABd 等边三角形.于是有/ BAC=/ ACB=/ ACD=60 ,AB=AC. 由已知 / EAF=60° , 可得 / BAE=/ CAF.•••△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到的. AE=AF.•••△ AEF 是等边三角形,/ AEF=60 .•••/ AEC 玄 AEF +/ CEF=/ B +/ BAE/ CEF=/ BAE = 20说明：菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还有特性: (1)菱形的四条边相等.(2)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 例3 已知，正方形 ABCDA ADE 是等边三角形，求/ BEC 的度数. 分析本题应分两种情况考虑，⑴点E 在正方形ABCD 的外部,(2)点E 在正方形ABCD 勺内部.然后应用正方形和等边三角形的有关特征即可求解解⑴如图⑴当点E 在正方形ABCD 勺外部时，由 ABCD 是正方形, 三角形，得/ CDE= 90° + 60°= 150DE= AD= DC因此/ DE(=/ ECD= (180 ° - 150° ) - 2= 15° . 同理可推得/ ABE = 15° .则/ BEC=/ AED-/ AEB-/ DEC= 60°- 15°- 1530°ADE 是等边三角形，得ADE 是等边c同理可推得/ DEC= 75° .则/ BEC= 360°—/ AEB-/ AED-/ DEC =360 ° — 75°— 60°— 75=150 说明以正方形的一边画等边三角形有两种情况，解此题时容易漏解二、交流反思5•如图，如果四边形 CDEF 旋转后能与正方形 ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋四、检测反馈填空:1.两条对角线的平行四边形是矩形; 两条对角线的平行四边形是菱形; 两条对角线的四边形是矩形; 两条对角线的四边形是菱形.2 .在矩形 ABCD 中 , AE 丄 BD, E 为垂足，/ DAE=2/ ABE.则/ EAC= 3•菱形的邻角之比是 2 : 1，边长是5cm 则较短的对角线为cm.4•如图,矩形ABCD 勺对角线相交于点 0,作DE// AC,CE// BD,DE CE 交于点E,试说明四边形 OCED 是菱形.4转中心的点共有。