福建省漳州市芗城中学高中数学 2.3.1离散型随机变量的均值(1)教案新人教A版选修23

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离散型随机变量的均值导学案

1 一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙
6
三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及均值 E(ξ)．
例 2 离散型随机变量的均值公式及性质已知随机变量 X 的分布列为： X －2 －1 0
111
P4
3
5
12 1
试想，假如能继续比下去的话，至多再有两局必可结束。若接下来的第四局甲胜（概率为 1/2），则甲赢得所有赌注；若乙胜，还要再比第五局，当且仅当甲胜这一局时，甲赢得所有赌注（这两局出现此种情形的概率为 (1/2)·(1/2)=1/4 ）。若设甲的最终所得为 X ，则 P(X=100)=1/2+1/4=3/4 ，从而甲的“期望” 所得应为 0·(1/4)+100·(3/4)=75 法郎；乙的“期望”所得应为 100-75=25 法郎。这种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种 “期望”，它自然比前两种方法都更为合理，使甲乙双方都乐于接受。这就是“数学期望”这个名称的由来，其实这个名称改为“均值”会更形象易懂一些，对上例而言，也就是再赌下去的话，甲“平均”可以赢 75 法郎。
预习课本 P60～63，思考并完成以下问题 1．什么是离散型随机变量的均值？怎么利用离散型随机变量的分布列求出均值？ 2．离散型随机变量的均值有什么性质？
1．离散型随机变量的均值
(1)定义：若离散型随机变量 X 的分布列为：
X
x1
x2
…
Hale Waihona Puke xi…xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望．

教学设计7：2.3.1 离散型随机变量的均值

2.3.1 离散型随机变量的均值整体设计教材分析本课是一节概念新授课，数学期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数．学习数学期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测、经济统计、风险与决策等领域有着广泛的应用，对今后学习数学及相关学科产生深远的影响．具体做法如下：(1)先通过创设情境激发学生学习数学的情感，引导学生分析问题、解决问题．经历概念的建构这一过程，培养学生归纳、概括等合情推理能力．(2)再通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识．培养其严谨治学的态度，积极探索的精神，从而实现自我的价值．“授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题．课时分配1课时教学目标知识与技能了解离散型随机变量的均值或数学期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．过程与方法理解公式“E(aX＋b)＝aE(X)＋b”，以及“若X～B(n，p)，则E(X)＝np”，能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或数学期望．情感、态度与价值观培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神．体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：离散型随机变量的均值或数学期望的概念．教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．教学过程复习回顾1．分布列：设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ， X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列．2．分布列的两个性质：(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；(2) i ＝1np i ＝1.教师指出：前面，我们认识了随机变量的分布列．对于离散型随机变量，确定了它的分布列，可以方便地得出随机变量的某些特定的概率，也就掌握了随机变量取值的统计规律．但在实际上，分布列的用途远不止于此，提出问题：已知某射手射击所得环数X 的分布列如下设计意图：抛砖引玉，引出课题．教师指出：在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或数学期望．提出问题：如何估计该射手n 次射击的平均环数，还需知道哪些信息？如何得到？学情预测：学生联系以前所学样本平均数的求法，自然想到需要估计各射击成绩的项数．活动结果：根据射手射击所得环数X 的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有P (X ＝4)×n ＝0.02n 次得4环； P (X ＝5)×n ＝0.04n 次得5环； …………P (X ＝10)×n ＝0.22n 次得10环．故n 次射击的总环数大约为4×0.02×n ＋5×0.04×n ＋…＋10×0.22×n ＝(4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22)×n ，从而，预计n 次射击的平均环数约为4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22＝8.32.这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．探究新知推而广之，对于任一射手，若已知其射击所得环数X 的分布列，即已知各个P (X ＝i )(i ＝0,1,2，…，10)，我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数：0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋…＋10×P (X ＝10)．接下来我们一起学习一下均值的定义 1．均值(或数学期望)：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望． ※教师补充：(1)区别ξ与Eξ.随机变量ξ是可变的，可取不同的值；均值Eξ是不变的，它是离散型随机变量的一个特征数，由ξ的分布列唯一确定，它反映了ξ取值的平均水平．(2)区别随机变量的均值与相应数值的算术平均数．均值表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义上的平均值，不同于相应数值的算术平均数．理解新知章首问题回顾：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元，如果遇到雨天则带来经济损失4万元．假设国庆节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？(商场外) 解：商场外平均效益为10×P (ξ＝10)＋(－4)×P (ξ＝－4)＝10×0.6－4×0.4＝4.4. 提出问题：离散型随机变量X 的数学期望E (X )与x 1，x 2，…，x i ，…，x n 的平均数 x ＝(x 1＋x 2＋…＋x n )×1n，有何关系？活动结果：一般地，在有限取值的离散型随机变量X 的概率分布中，若p 1＝p 2＝…＝p n ，则有p 1＝p 2＝…＝p n ＝1n ，E (X )＝(x 1＋x 2＋…＋x n )×1n ，所以此时X 的数学期望就是x 1，x 2，…，x i ，…，x n 的平均数．继续探究：根据以前所学我们知道，若一组数据x i (i ＝1,2，…，n )的平均数为x ，那么另一组数据ax i ＋b (a 、b 是常数且i ＝1,2，…，n )的平均数为a x ＋b .类似地，我们可以联想得到离散型随机变量X 的均值也具有类似的性质：2．均值的一个性质：若Y ＝aX ＋b (a 、b 是常数)，X 是随机变量，则Y 也是随机变量，它们的分布列为：于是E (Y )＝(ax 1＋b )p 1＋(ax 2＋b )p 2＋…＋(ax i ＋b )p i ＋…＋(ax n ＋b )p n ＝a (x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n )＋b (p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ) ＝aE (X )＋b ，由此，我们得到了期望的一个性质：E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .运用新知例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的均值．解：因P (ξ＝1)＝0.7，P (ξ＝0)＝0.3，所以Eξ＝1×0.7＋0×0.3＝0.7. 活动结果：此为两点分布，可猜想当X 服从两点分布时，有E (X )＝p .继续发问：两点分布是一个特殊的二项分布，那么一般地，若X ～B (n ，p )，则E (X )＝？活动结果：若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 证明如下：设1－p ＝q .∵P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ＝C k n p k qn －k， ∴E (X )＝0×C 0n p 0q n ＋1×C 1n p 1q n －1＋2×C 2n p 2q n －2＋…＋k ×C k n p k q n －k ＋…＋n ×C n np n q 0.又∵k C k n ＝k ·n ！k ！(n －k )！＝n ·(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！＝n C k －1n －1， ∴E (X )＝np (C 0n －1p 0q n －1＋C 1n －1p 1q n －2＋…＋C k －1n －1pk －1q (n －1)－(k －1)＋…＋C n －1n －1pn －1q 0) ＝np (p ＋q )n －1＝np .故若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .例2 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (Ⅰ)求ξ的分布列，均值；(Ⅱ)若η＝aξ＋4，Eη＝1，求a 的值．解：(Ⅰ)ξ的分布列为：ξ的均值：Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32.(Ⅱ)Eη＝aEξ＋4＝1，又Eξ＝32，则a ×32＋4＝1，∴a ＝－2.例3 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(Ⅰ)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η.所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望Eξ＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法2：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ， i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且 P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ的数学期望Eξ＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.变练演编有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利？解：Eξ＝16×8＋12×(－3)＋13×0＝－16.对你不利，劝君莫赌博！变式：准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样．每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红赢得100元 5红1白赢得50元 4红2白赢得20元 3红3白输100元 2红4白赢得20元 1红5白赢得50元 6个全白赢得100元这一次你动心了没有？略解：结果出现的概率 6个全红 0.1% 5红1白 3.9% 4红2白 24.4% 3红3白 43.2% 2红4白 24.4% 1红5白 3.9% 6个全白 0.1% 达标检测1．随机地抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为所以Eξ＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．2．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km 时租车费为10元，若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η. (Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？解：(Ⅰ)依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2；(Ⅱ)Eξ＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.∵η＝2ξ＋2，∴Eη＝2Eξ＋2＝34.8.故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15.所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟．课堂小结1．离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平；2．求离散型随机变量ξ的均值的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由均值的定义求出Eξ.公式E(aξ＋b)＝aEξ＋b，以及服从二项分布的随机变量的均值Eξ＝np.补充练习基础练习1．随机变量ξ的分布列是(1)则Eξ＝________________________________.(2)若η＝2ξ＋1，则Eη＝____________________________. 【答案】(1)2.4 (2)5.8 2．随机变量ξ的分布列是Eξ＝7.5，则a ＝________，b ＝______. 【答案】0.1 0.43．(1)若Eξ＝4.5，则E (－ξ)＝______. (2)E (ξ－Eξ)＝______. 【答案】(1)－4.5 (2)0 拓展练习1．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(Ⅰ)记“函数f (x )＝x 3＋ξ为R 上的奇函数”为事件A ，求事件A 的概率； (Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望．解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z . 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x(1－y)(1－z)＝0.08，xy(1－z)＝0.12，1－(1－x)(1－y)(1－z)＝0.88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4，y ＝0.6，z ＝0.5.(Ⅰ)若函数f (x )＝x 3＋ξ为R 上的奇函数，则ξ＝0.当ξ＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z ) ＝0.4×0.5×0.6＋(1－0.4)(1－0.5)(1－0.6)＝0.24. ∴事件A 的概率为0.24.(Ⅱ)依题意知ξ＝0或2，则ξ的分布列为：∴ξ的数学期望为Eξ＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.2．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为13，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(Ⅰ)随机变量ξ的分布列； (Ⅱ)随机变量ξ的均值．解法一：(Ⅰ)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4. 由等可能性事件的概率公式得P (ξ＝0)＝(23)4＝1681，P (ξ＝1)＝C 14·2334＝3281，P (ξ＝2)＝C 24·2234＝827，P (ξ＝3)＝C 34·234＝881，P (ξ＝4)＝(13)4＝181.从而ξ的分布列为(Ⅱ)由(Ⅰ)得ξ的均值为Eξ＝0×1681＋1×3281＋2×827＋3×881＋4×181＝43.解法二：(Ⅰ)考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验．故ξ～B (4，13)，即有P (ξ＝k )＝C k 4(13)k (23)4－k，k ＝0,1,2,3,4. 解法三：(Ⅱ)由对称性与等可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数有相同的分布列，故均值相等．即3Eξ＝4，从而Eξ＝43.设计说明本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法．通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用．教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上．。

教学设计5：2.3.1 离散型随机变量的均值

2.3.1离散型随机变量的均值三维目标1.知识与技能(1)通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义．(2)能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解决一些实际问题．(3)会求两点分布和二项分布的均值．2．过程与方法通过实例理解取有限值离散型随机变量均值的含义，通过对比体会随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别．3．情感、态度与价值观体验数学的价值，增强学习数学的兴趣．重点、难点重点：离散型随机变量均值的概念与计算．难点：离散型随机变量均值的性质及应用．引导学生结合分布列的知识，认识均值的概念，通过例题与练习让学生在应用离散型随机变量均值概念的过程中深入地理解其概念及性质．教学建议教学时以形象的混合糖的定价问题的解释为例，引出离散型随机变量的均值的定义，引导学生根据均值的定义推导E(ax＋b)，接着计算两点分布和二项分布的均值，让学生在推导过程中加深理解均值的含义．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解离散型随机变量的均值及性质．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握求离散型随机变量的均值．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握二项分布的均值的应用．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握均值的实际应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．课标解读1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．2．掌握两点分布、二项分布的均值．3．会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关问题.知识离散型随机变量的均值【问题导思】某城市随机抽样调查了1000户居民的住房情况，发现户型主要集中于160 m 2、100 m 2、60 m 2三种，相应住房的比例为1∶5∶4，能否说该市的人均住房面积为160＋100＋603≈106.7 m 2吗？显然此种计算不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的权重，造成了“被平均”现象．如何计算人均住房面更为合理？【提示】户型面积与权数相结合即160×110＋100×510＋60×410＝90(m 2)．1．离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义：若离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X 为(离散型)随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是随机变量，且P (Y ＝ax i ＋b )＝P (X ＝x i )，i ＝1,2,3，…，n .E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .2．两点分布和二项分布的均值 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p . (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .类型1求离散型随机变量的期望例1 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．【思路探究】 (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率．(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和期望．解只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115. 从而知ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1341515215115∴E (ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.规律方法1．准确列出分布列是求均值的关键． 2．求离散型随机变量ξ的均值的步骤：(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值； (2)求出ξ的每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)利用定义求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．变式训练甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25，投中得1分，投不中得0分．甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和X 的数学期望．解依题意，记“甲投一次命中”为事件A ， “乙投一次命中”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝25，P (A )＝12，P (B )＝35.甲、乙两人得分之和X 的可能取值为0、1、2，则X 的分布列为：X 0 1 2 P3101215E (X )＝0×310＋1×12＋2×15＝910.∴每人在罚球线各投球一次，两人得分之和X 的数学期望为910.类型2二项分布的均值例2 某运动员投篮命中率为p ＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望．【思路探究】 (1)投篮1次命中次数X 服从两点分布，故由两点分布的均值公式可求得；(2)重复5次投篮，命中次数X 服从二项分布，代入公式E (X )＝np 可得．解 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：X 0 1 P0.40.6则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3. 规律方法1．如果随机变量X 服从两点分布，则其期望值E (X )＝p (p 为成功概率)．2．如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．互动探究若本例中命中率为0.8.求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望．解重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.8)，∴E (Y )＝np ＝5×0.8＝4.类型3数学期望的实际应用例3 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X .(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【思路探究】根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望E (X )→利用期望回答问题解 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2. P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.故X 的分布列为：X 6 2 1 －2 P0.630.250.10.02(2)E (X )＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为 E (x )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01 ＝4.76－x (0≤x ≤0.29)．依题意，E (x )≥4.73，即4.76－x ≥4.73. 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%. 规律方法1．本题利用数学期望解决实际问题，运用了方程与不等式的思想，利用已知条件构建不等式，通过解不等式求得三等品率的最大值．2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，在解决实际问题的过程中，关键是把实际问题模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应的各事件可能性的大小，并列出分布列，最后用数学期望等知识解决问题．变式训练学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中， (ⅰ)摸出3个白球的概率； (ⅱ)获奖的概率．(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12710×(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝(710)2＝49100.所以X 的分布列是X 0 1 2 P9100215049100X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.易错易误辨析不能准确理解题意致错典例根据统计，一年中，一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者交保险费100元，若在一年之内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a 元(a ＞100)，问a 如何确定，可使保险公司获益？【错解】设保险公司获益ξ元，则可得ξ的分布列如表1：表1ξ 100 －a P0.990.01所以E (ξ)＝100×0.99＋(－a )·0.01＝99－0.01a . 由E (ξ)＞0，得100＜a ＜9 900.故当100＜a ＜9 900时，可使保险公司获益．【错因分析】由于没有理解题意而把随机变量的取值弄错了，因为当该家庭失窃时，保险公司需赔偿a 元，但是已收取了100元，故其损失为(－a ＋100)元．【防范措施】对于以实际问题为背景的应用题，解题时要准确理解题意，明确各量之间的关系，避免出现错误．【正解】设保险公司获益ξ元，则可得ξ的分布列如表2：表2ξ 100 －a ＋100 P0.990.01所以E (ξ)＝100×0.99＋(－a ＋100)·0.01＝100－0.01a ＞0. 所以100＜a ＜10 000，即当100＜a ＜10 000时，可使保险公司获益．课堂小结1．随机变量的均值反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把均值最大的方案作为最佳方案进行选择．2．二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟练记住．对于二项分布的解答，如果采用E (X )＝np ，会大大减少运算量.当堂检测1．若随机变量X 服从二项分布B (4，13)，则E (X )的值为( )A.43B.83C.133D.89 【解析】 E (X )＝np ＝4×13＝43.【答案】 A 2．随机变量X 的分布列为X 1 3 5 P0.50.30.2则其数学期望为( ) A.1 B.13C.4.5D.2.4【解析】 E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 【答案】 D3．设E (X )＝10，则E (3x ＋5)＝________.【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 354．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚球不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分X 的均值．解得分X 的可能取值为0,1.P (X ＝0)＝1－0.7＝0.3，P (X ＝1)＝0.7，故X 的概率分布列为X 1 0 P0.70.3∴E (X )＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.。

高中数学_离散型随机变量的均值教学设计学情分析教材分析课后反思

【课题】 2.3.1离散型随机变量的均值【教材】普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3人民教育出版社 A版【教学目标】知识与技能通过实例，让学生理解离散型随机变量均值的概念及线性运算性质，了解其实际含义．会计算简单的离散型随机变量的均值，并解决一些实际问题；过程与方法通过离散型随机变量均值概念的归纳和应用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，培养观察、归纳、反思的能力,初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过比较使学生认识随机变量的均值与样本的平均值的区别与联系，明确随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近随机变量的均值；情感态度价值观通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发热爱数学的情感,体会数学的文化价值，提高学生的数学素养.【教学重点和难点】重点：理解离散型随机变量的均值的含义.难点: 利用离散型随机变量的均值来解决实际问题.【教学情景设计】2.3.1离散型随机变量的均值学情分析本节是在《必修3》中学习了样本的平均数和方差的基础上，学习离散型随机变量的均值．离散型随机变量可以看成是刻画某一总体的量，它的均值也就是总体的均值，一般它们是未知的，但都是确定的的常数；样本的平均值是随机变量．对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均数越来越接近于总体的平均值．本节重点是用均值解决实际问题，在解决实际问题的过程中使学生理解均值的含义．问题1从平均的角度引入随机变量均值的概念，直观上通过分析1kg混合糖果的组成，学生容易得到合理的价格，即价格是三种糖果价格的加权平均，至此问题已解决．问题2考虑1kg的糖果如何从混合糖果中取出，通过对问题的探讨，就把混合糖的合理价格理解为随机变量X的值的加权平均，这个权就是相应的概率，把这个想法抽象出来，就可以得到随机变量均值的概念．问题3有助于理解随机变量均值的含义，它可以看成是这个随机变量的均值，即随着观察这个随机变量次数的增加，所得观测数据的平均值越来越接近于这个随机变量的均值．2.3.1离散型随机变量的均值效果分析通过创设情境激发学生学习数学的兴趣，引导学生分析问题、解决问题．通过概念的构建，培养学生归纳、概括等合情推理能力．再通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识．“授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题．【课题】 2.3.1离散型随机变量的均值【教材】普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3人民教育出版社 A版教材分析1．这节内容是在前面学习完离散型随机变量的分布列的基础上进行研究的，同时这节内容又为下一节要研究的方差奠定基础.因此在知识上起到了承上启下的作用。

2.3.1离散型随机变量的均值教案

2．3．1离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E （aX+b ）=a E(X)+b ”，以及“若X ~B （n,p ），则E(X)=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课教具：小黑板教学过程：一、复习引入：离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率是P ，则在这n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数二、讲解新课：1.问题情境前面我们学习了离散型根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数X 的分布列如下X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数X 的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010 +⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数X 的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为X x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为X 的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量X 的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以X 的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，X 是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为Xx 1 x 2 … x n … ηb ax +1 b ax +2… b ax n +… Pp 1p 2…p n…于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若X B （n,p ），则EX=np证明如下：∵ k n k k n kn kkn q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×nn q p C 0＋1×111-n n qp C ＋2×222-n n qp C ＋…＋k ×kn k k n qp C -＋…＋n ×q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 001n n C pq --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(．故若X ～B (n ，p )，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即⎧⎨⎩262000，有大洪水；X =2000,无大洪水. 同样，采用第 3 种方案，有⎧⎪⎨⎪⎩360000，有大洪水；X =10000,有小洪水；0,无洪水.于是，EX 1＝3 800 ,EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 . 值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：985.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P0.150.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316根据以上的概率分布，可得ξ的期望35.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X 的数学期望．解：抛掷骰子所得点数X 的概率分布为X 1 2 3 4 5 6P6161 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数X 的数学期望，就是X 的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程X 是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程X 的关系式； (Ⅱ)若随机变量X 的分布列为X 15 16 17 18 P0.10.50.30.1求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(X -4)十10，即 η=2X +2；(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2X +2∴ =ηE 2EX +2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2X +2，得X =18，5⨯(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分X 的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分X 的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η的概率分布为η0 1 2P23.0 3.07.012⨯⨯C 27.0所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶X 的概率分布为X ０１ 2 3P33.02133.07.0⨯⨯C 3.07.0223⨯⨯C37.0所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为X ，求X 的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“X =k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (X =k ),进而可求EX .解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1． ∴ P (X =k )=P n (k )=C knm 1)k (1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）． ∴ X ～B (n ,m 1)，故 EX =n ×m 1=mn五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量X 的期望的基本步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX 公式E （aX+b ）= aEX+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望EX=np六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A 组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为ξ 012p103 53101 于是 E （ξ）=0×103+1×53+2×101=0.8故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C Cξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C C ξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 3612922=C C∴ξ分布列为（2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=914 3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3) =p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3 p(ξ=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴ξE =1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2ξ 0 1 2 3 4p61 31 3611 61 361解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为ξ12P1.02522=C C 6.0251213=⋅C C C 3.02523=C C 2.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=∴ξE5. A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A 队队员胜的概率B 队队员胜的概率A 1对B 1 32 31 A 2对B 2 52 53 A 3对B 352 53 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得分分别为ξ，η （1）求ξ，η的概率分布；（2）求ξE ，ηE 解：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0()()()()2535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξξξP P P P 根据题意知3=+ηξ，所以 ()()()()()()()()25303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P （Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；因为3=+ηξ,所以15233=-=ξηE E七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量X的期望的基本步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX公式E（aX+b）= aEX+b，以及服从二项分布的随机变量的期望EX=np 。

离散性随机变量的均值(教学设计).doc

学习必备欢迎下载2． 3．1 离散型随机变量的均值宁波北仑明港高级中学柳勋一、教学内容解析《离散型随机变量的均值》是《随机变量及其分布》第三节第一小节的内容，本节课是第一课时 . 本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质 E aX b aE X b 以及离散型随机变量服从两点分布的期望 E X P 和服从二项分布期望 E X nP 取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上，进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面.学习本节课的内容既是随机变量分布的内容的深化，又是后续内容离散型随机变量方差的基础，所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础 .离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点 .在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性 .因此我以为本节课的重点是：取有限值的离散型随机变量均值的概念 . 二、教学目标设置：依据《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求，并考虑到学生的实际和学习能力，特将本节课的教学目标设定为：1.通过实际问题，使学生体会离散型随机变量均值的概念，理解离散型随机变量均值的线性性质，会计算简单的离散型随机变量的均值，并能解决一些简单的实际问题 .学习必备欢迎下载使学生学会概括、抽象数学问题的方法，通过简单的应用，培养学生的数学应用意识 .重点：离散性随机变量的均值概念以及求法难点：对离散型随机变量的均值的理解，并能解决简单的实际问题。

三、学生学情分析本节课之前，学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等基础知识，具备了学习本节知识的知识储备 .本节课是一节概念新授课，教材从学生熟悉的平均值出发，从身边的实际问题中抽象出了取有限值的离散型随机变量均值的概念，这需要一定的概括和抽象能力.鉴于学生的概括、抽象能力不是太强，因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难 .基于以上认识，我以为本节课的教学难点是：离散型随机变量均值概念的形成和理解。

高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值学案新

2018-2019版高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值学案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019版高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值学案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.3。

1 离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值。

2。

理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值,反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．知识点一离散型随机变量的均值设有12个西瓜,其中4个重5 kg，3个重6 kg,5个重7 kg。

思考1 任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？答案X＝5,6，7.思考2 X取上述值时，对应的概率分别是多少?答案P（X＝5)＝错误!＝错误!，P（X＝6）＝错误!＝错误!，P(X＝7)＝错误!.思考3 如何求每个西瓜的平均重量？答案错误!＝5×错误!＋6×错误!＋7×错误!＝错误!.梳理(1）离散型随机变量的均值若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称E(X）＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（2）均值的性质若Y＝aX＋b,其中a,b为常数，X是随机变量，①Y也是随机变量;②E(aX＋b）＝aE(X)＋b。

离散型随机变量的均值教案

离散型随机变量的均值教案一、教学目标1. 让学生理解离散型随机变量的概念及其数学特征。

2. 让学生掌握离散型随机变量的均值定义及其计算方法。

3. 培养学生运用离散型随机变量的均值解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 离散型随机变量的概念。

2. 离散型随机变量的数学特征。

3. 离散型随机变量的均值定义。

4. 离散型随机变量的均值计算方法。

5. 离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：离散型随机变量的均值定义及其计算方法。

2. 教学难点：离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解离散型随机变量的概念、数学特征和均值定义。

2. 采用案例分析法讲解离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。

3. 采用互动教学法引导学生积极参与讨论，提高学生的理解能力。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例引入离散型随机变量的概念，激发学生的兴趣。

2. 讲解离散型随机变量的概念及其数学特征。

3. 讲解离散型随机变量的均值定义及其计算方法。

4. 利用案例分析离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。

5. 课堂练习：让学生分组讨论并解决一些实际问题，巩固所学知识。

7. 布置作业：布置一些有关离散型随机变量的均值的问题，让学生课后思考和练习。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对离散型随机变量概念和均值定义的理解程度。

2. 课堂练习：评估学生运用离散型随机变量均值解决实际问题的能力。

3. 课后作业：收集学生完成的作业，检查其对离散型随机变量均值的掌握情况。

七、教学拓展1. 介绍离散型随机变量均值在其他领域的应用，如概率论、统计学、经济学等。

2. 讨论离散型随机变量均值的存在性条件，引导学生深入研究相关理论知识。

八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保教学目标的达成。

2. 考虑学生的反馈意见，调整教学策略，提高教学质量。

3. 针对学生的学习情况，制定针对性的辅导计划，帮助其克服学习难点。

离散型随机变量的均值优秀教学设计

2.3 离散型随机变量的均值
【课题】：2.3 离散型随机变量的均值
【学情分析】：
本课时主要学习离散型随机变量的均值。

均值是随机变量的一个重要参数，是对随机变量的一种简明的描述，它在实际生活中具有重要的应用。

本节课要通过典型例题和实际问题，让学生通过思考和讨论分析理解用数学期望解决这类问题的一般方法和步骤。

【教学目标】：
（1）通过实例使学生理解离散型随机变量均值的定义；
（2）会运用均值解决实际问题。

【教学重点】：
1.离散型随机变量的定义；
2.离散型随机变量均值的求法；
3.运用均值解决实际问题。

【教学难点】：
1.对离散型随机变量均值的定义的理解；
2.运用均值解决实际问题。

【教学突破点】：
通过实际生活中一个定价问题引入均值，帮助学生理解均值的定义；通过对典型例题的分析，使学生掌握运用均值解决问题的方法和步骤。

【教法、学法设计】：
在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展具体的实际例子，使得内容更为丰富．教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法．
【课前准备】：课件
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高中数学 2.3.1离散型随机变量的均值教案新人教版选修2-3最新修正版

§2．3离散型随机变量的均值与方差 §2．3．1离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：1.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 0 1… k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值或数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(… ＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若ξB （n,p ），则E ξ=np证明如下：∵ kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×k n k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴=ξE (np 001n n C pq --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(．故若ξ～B(n ，p)，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例4.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 1 2 3 4 56P6161 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； (2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np六、布置作业：练习册七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 。

选修23教案231离散型随机变量的均值

前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产 100 件产品所出的不
合格品数分别用 X 1, X 2 表示， X1, X 2 的概率分布如下．
X1
0
1
2
3
pk
§2.3.1 离散型随机变量的均值
教学目标（ 1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；（ 2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．
教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．教学过程一．问题情境 1．情景：
四．数学运用
1．例题：例 1．高三（ 1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有
10 个红球， 20
个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出 5 个球，其中红球的个数为 X ，
求 X 的数学期望．分析：从口袋中摸出 5 个球相当于抽取 n 5 个产品，随机变量 X 为 5 个球中的红球的
结束，假定 A, B 在每场比赛中获胜的概率都是
分析：先由题意求出分布列，然后求期望
1 ，试求需要比赛场数的期望． 2
解：（ 1）事件“ X 4 ”表示， A 胜 4 场或 B 胜 4 场（即 B 负 4 场或 A 负 4 场），且两
两互斥．
P(X
4)
C
4 4
（ 2）事件“ X
( 1 )4
(1)0
C
工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：
方案 1：运走设备，此时需花费 3800元；

高中数学必修三《离散型随机变量的均值》优秀教学设计

离散型随机变量的均值一、教学目标：（一）、知识目标：1、理解均值的概念及意义；2、理解二项分布的概念。

（二）、能力目标：1、掌握二项分布求均值的一般方法和思路；2、掌握均值的应用：筛选方案。

（三）、情感目标：1、培养学生的合作意识；2、培养学生的探索精神、归纳习惯、应用意识。

二、教学重点：1、均值的概念、二项分布的概念；2、求二项分布中的均值；3、利用均值筛选方案。

三、教学难点；1、将问题转化为独立重复试验问题；2，均值问题的实际应用。

四、课堂学习模式的要求：1.思考问题时先独立思考1-2分钟后小组合作讨论。

2.讨论时，前排的同学向后转，与后排的同学一起站着讨论。

3.若奇数组回答或展示问题时，偶数组就评价说理打分。

4.回答和评价问题时，语言简洁，展示问题时，动作要快。

5.每个小组至少回答或展示一个问题。

五、教学安排问题：一个单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中只有一个选项正确。

1.学生乙对每题都从各选项中随机地选择一个。

他可能选对几个题？2.学生甲选对任一题的概率为0.9，他又可能选对几个题？看书：60—62页例2前，并回答下列5个问题：1.什么是权数？2.什么是加权平均数？3.什么是随机变量的均值或数学期望？4.均值的性质是什么？它是如何推导的5.两点分布与二项的均值公式是什么？是如何推导的？本节课的知识诠释：1.权数：权数是指衡量轻重作用的数值。

如，思考中18 应按照权数1/2来取值。

2.加权平均数：我们把每个数按照其权数的大小来取值得到的平均数叫做加权平均数。

3.随机变量的均值：称()1122......i i n n E X x p x p x p x p=++++为随机变量X的均值或数学期望。

4.均值的性质：若Y=aX+b，则()()()E Y E aX b aE X b=+=+(其中a，b为常数，X 为随机变量）。

5.（1）两点分布：若随机变量X 服从两点分布，则E(X)=P(P 为成功概率）（2）二项分布：X~B(n,p)：E(X)=nP强调：1.某个数取值的权数就是这个数对应事件发生的概率。

高中数学新人教版A版精品教案《2.3.1 离散型随机变量的均值》

《离散型随机变量的均值》教学设计
设计者：薛克研指导教师：佟玉臣
一、教学内容分析：
本课是一节概念新授课，均值是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数．学习均值将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测、经济风险与决策等领域有着广泛的应用，对今后学习及相关学科产生深远的影响．
二、学情分析
本节课之前，学生已有平均值、概念、离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等基础知识，具备了学习本节知识的知识储备。

教材从学生熟悉的平均值出发，从身边的实际问题中抽象了取有限值得离散型随机变量均值的概念，这需要一定的概括和抽象能力，鉴于学生的概括、抽象能力不是太强，因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难。

三、教学总体设想
本节课从总体上讲是一节概念教学课。

在教学活动中，学生是一个积极的探索者，教师的作用是要创设一种学生能够主动探究的情境，帮助学生形成科学的数学概念。

四、教学目标
1.知识与技能
通过实例使学生理解取有限值离散型随机变量均值的含义；通过比较使学生知道随机变量的均值与样本平均值的联系与区别；利用均值解决实际问题。

2.过程与方法
理解公式，能熟练的应用她们求相应的离散型随机变量的均值。

3.情感态度与价值观
承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。

五、教学重难点
重点：离散型随机变量的均值或期望的概念。

难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望。

六、教学方法与学习方法
自主学习、指导学习、启发分析、合作探究
七、媒体资源使用
多媒体课件
八、教学流程。