最新-线性代数课件4-2向量组的线性相关性-PPT文档资料
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《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第二节 向量组的线性相关性
9 6
,
有 3 = 21 - 2 , 4 = 1 + 22 , 所以向量组 1,
2 , 3 , 4 线性相关, 其几何意义为: 该向量组所
对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的
四个平面交于同一条直线. 如图 4.3 .
2x+3y+z=4 3x+8y-2z=13 x-2y+4z=-5 4x-y+9z=-6
x
O M1
图 4.2
M3 a3 RM3 (0,2,2) ,
3y
向量组 a1 , a2 , a3
线性相关,因为
2a1 - a2 - a3 = 0.
(3) 4 维向量组线性相关的几何意义 设有 4 维向量组
2
1
3
4
1T
3
1 4
, 2T
2
45
,
T 3
8
132
, 4T
1
在直线 y =2x 上取三点M1, M2 , M3 , 作三个向量:
6y
5
M3(3,6)
4 3
M2(2,4)
2 1
M1(1,2)
O 123456 x
图 4.1
a1 OM1 (1,2) ,
a2 OM2 (2,4) ,
a3 OM3 (3,6) ,
显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.
证明 向量证组明A 线向性量相组关A, 线等性价相于关齐,次等线价性于齐次线
方程组 方程组 x1a1 + x2a2 x+1a··1·+ x2maa2m+=··0·,+即xmAaxm = 0, 即 Ax = 0
线性代数课件4-2向量组的线性相关性资料
等价命题： 任一非零向量 线性无关.
1， 2线性相关 对应分量成比例.
含零向量的向量组 必线性相关.
k α 0 k 0或者α 0 1 k 2 1 k 2 0
2019年10月23日12时4分
线性相关性的判定（定义法）
解齐次线性方程组 x11 x22 L xmm 0 （1）
k1a1 k2a2 kmam 0 () 则称向量组 A 是线性相关的.
否则，称它是线性无关的. 也就是，只有当 k1 k2 L L km 0 时，才能使(＊)式成立，
则称向量组 A 是线性无关的.
2019年10月23日12时4分
说明：
线性相关
线性表示. 证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am ）
能由其余向量线性表示. am 11 2 2 m1 m1
故 11 22 m1 m1 1am 0
故 1 ,2 ,,m 线性相关.
证明向量组 b1, b2, b3, b4 线性相关. 证三
Q b1 b2 b3 b4 0
b1, b2 , b3 , b4线 性 相 关.
2019年10月23日12时4分
定理3 几个结论：
(1) 向量组 A: a1 , a2 ,……, am ( m≥2 ) 线性相关
至少有一个向量 能由 其余m-1个向量
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
2019年10月23日12时4分
练习： 讨论下列向量组的线性相关性.
1
2
3
1
A:
a1
3 2 0
1， 2线性相关 对应分量成比例.
含零向量的向量组 必线性相关.
k α 0 k 0或者α 0 1 k 2 1 k 2 0
2019年10月23日12时4分
线性相关性的判定（定义法）
解齐次线性方程组 x11 x22 L xmm 0 （1）
k1a1 k2a2 kmam 0 () 则称向量组 A 是线性相关的.
否则，称它是线性无关的. 也就是，只有当 k1 k2 L L km 0 时，才能使(＊)式成立，
则称向量组 A 是线性无关的.
2019年10月23日12时4分
说明：
线性相关
线性表示. 证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am ）
能由其余向量线性表示. am 11 2 2 m1 m1
故 11 22 m1 m1 1am 0
故 1 ,2 ,,m 线性相关.
证明向量组 b1, b2, b3, b4 线性相关. 证三
Q b1 b2 b3 b4 0
b1, b2 , b3 , b4线 性 相 关.
2019年10月23日12时4分
定理3 几个结论：
(1) 向量组 A: a1 , a2 ,……, am ( m≥2 ) 线性相关
至少有一个向量 能由 其余m-1个向量
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
2019年10月23日12时4分
练习： 讨论下列向量组的线性相关性.
1
2
3
1
A:
a1
3 2 0
线性代数课件(高教版)4-2
T
a 1n a 2n a in a mn
T 1 T 2
T i
T m
向量组 , , …， m称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个 n 维列向量所组成的向量 组 , , , , 1 2 m 构成一个 n m 矩阵
即线性方程组 x x x b 1 1 2 2 m m 有解 .
向量组的等价 定义２.2 设有两个向量组
A: ,m及 B: 1, 2, , s. 1, 2, 称 A 与向 向量组B 能由向量组A 线性表示 .若向量组 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价．
向量组 a1 , a2 ,…… , am线性无关的充分必要条件是
R(A)=m.
例2 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 ( b , b , b ) ( a , a , a ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1 记作BAK 因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A)
a 1, a2 , a n 称为矩 向量组 , A 的列 .
( a ) 又有 类似地 , 矩阵 A m 个 n 维行 ij m n
a 11 a 12 a 21 a 22 A a i1 a i 2 am1 am2
T 1 T 2
a a a 0
1 1 2 2 m m
于是
a a a 1 a 0
a 1n a 2n a in a mn
T 1 T 2
T i
T m
向量组 , , …， m称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个 n 维列向量所组成的向量 组 , , , , 1 2 m 构成一个 n m 矩阵
即线性方程组 x x x b 1 1 2 2 m m 有解 .
向量组的等价 定义２.2 设有两个向量组
A: ,m及 B: 1, 2, , s. 1, 2, 称 A 与向 向量组B 能由向量组A 线性表示 .若向量组 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价．
向量组 a1 , a2 ,…… , am线性无关的充分必要条件是
R(A)=m.
例2 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 ( b , b , b ) ( a , a , a ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1 记作BAK 因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A)
a 1, a2 , a n 称为矩 向量组 , A 的列 .
( a ) 又有 类似地 , 矩阵 A m 个 n 维行 ij m n
a 11 a 12 a 21 a 22 A a i1 a i 2 am1 am2
T 1 T 2
a a a 0
1 1 2 2 m m
于是
a a a 1 a 0
线性代数-向量组的线性相关性-文档资料
[1,2,1], [2,4,0]线性无关。
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21
性质 3 含有零向量的向量组一定线性相关。
证明： 设1,2 ,,m 是向量组， i 0 (i {1,2,, m})
则： 01 02 0i1 1i 0i1 m 0
]
3
1
,
2
,
线性无关.
3
{PAGE}
17
三、有关向量组线性相关性的若干性质
性质 1
只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条 件是它为零向量，
即只含一个向量的向量组线性无关的充分必要 条件是它为非零向量。
{PAGE}
18
性质 2
仅含两个向量的向量组线性相关的 充分必要条件是其对应分量成比例。
{PAGE}
{PAGE}
5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2
1
x2
0 1
2 ，即 3
0
1
0
1 3
1
2
1
0 1
x1 x2
2
，此方程组无解，所以
3
不能由1 , 2
19
证明：
设 [a1,a2 ,,an ], [b1,b2 ,,bn ]，则
, 线性相关
存在不全为零的常数k1, k2，使k1 k2 0
k1ai k2bi 0,i 1,2,,n，（不妨设k1 0）
ai
k2 k1
bi
,i
1,2 , , n
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20
例1
[1,2,0], [2,4,0]线性相关；
北京大学出版社4.2 向量组的线性相关性.ppt
定义3
等价可以不同维
设有两个向量组
A : 1,2 , ,m及B : 1, 2 , , s .
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则
称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向
量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．
定理2 推论
向量组B：b1,b2,L ,bl 能由向量组A：a1,a2,L ,am 线 性表示的充分必要条件是矩阵 A=(a1,a2,L ,am ) 的秩
在数k1 j , k2 j , kmj ,使
k1 j
bj
k1 j1 k2 j 2
kmj m
（1 , 2
,
, m
)
k2 j
,
kmj
k11 k12
（ b1 ,b2 ,
,bs )
（1 , 2 ,
, m )
k21
k22
km1 km2
k1s k2s kms
因此，向量组B能由向量组A线性表示，可表示为AK=B的形式
即 1 能由其余向量线性表示.
向量组A线性相关就是齐次线性方程组
x11 x22 xmm 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A (1,2 , m ).
定理4
向量组1,2 , ,m线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵 A (1,2 , ,m )的秩小
于向量个数m ;向量组线性无关的充分必要条件是
附录：
若Cmn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数
矩阵：
b11 b12
（ c1 ,c2 ,
,cn )
（1 , 2 ,
,
s
)
b21
等价可以不同维
设有两个向量组
A : 1,2 , ,m及B : 1, 2 , , s .
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则
称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向
量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．
定理2 推论
向量组B：b1,b2,L ,bl 能由向量组A：a1,a2,L ,am 线 性表示的充分必要条件是矩阵 A=(a1,a2,L ,am ) 的秩
在数k1 j , k2 j , kmj ,使
k1 j
bj
k1 j1 k2 j 2
kmj m
（1 , 2
,
, m
)
k2 j
,
kmj
k11 k12
（ b1 ,b2 ,
,bs )
（1 , 2 ,
, m )
k21
k22
km1 km2
k1s k2s kms
因此，向量组B能由向量组A线性表示，可表示为AK=B的形式
即 1 能由其余向量线性表示.
向量组A线性相关就是齐次线性方程组
x11 x22 xmm 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A (1,2 , m ).
定理4
向量组1,2 , ,m线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵 A (1,2 , ,m )的秩小
于向量个数m ;向量组线性无关的充分必要条件是
附录：
若Cmn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数
矩阵：
b11 b12
（ c1 ,c2 ,
,cn )
（1 , 2 ,
,
s
)
b21
第4章向量组的线性相关性
四、向量组的等价
[定义]若向量组A与B能相互线性表示 则称这两个向量组等价。
➢矩阵等价与向量组等价的关系
若矩阵A与B 行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 若矩阵A与B 列等价 则这两个矩阵的列向量组等价
➢向量组等价的判据 [定理4-2]推论：向量组 A a1, a2, , an 与向量组 B : b1,b2, ,bm 等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A B) 。
分量全为实数的向量称为实向量， 例如 (1,2,3,,n)
分量全为复数的向量称为复向量。 例如 (1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量的表示
n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），
通常用 a, b,, 等表示，如：
a1
a
a2
an
n维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），
1 1 1 1
1 0 3 2
~ ~ B
1 2
2 1
1 4
0
3
r
0
1
2
1
r
0
1
2
1
0 0 0 0
0 0 0 0
2
3
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
R(A) R(B) 2
向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示。
第四章 向量组的线性相关性
由B最简形可得线性方程组 (a1,a2,a3)x b即Ax b 解为
(a11 a12 a1n)
(a21 a22 a2n)
(am1 am2 amn)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组的线性组合
[定义]若向量组A与B能相互线性表示 则称这两个向量组等价。
➢矩阵等价与向量组等价的关系
若矩阵A与B 行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 若矩阵A与B 列等价 则这两个矩阵的列向量组等价
➢向量组等价的判据 [定理4-2]推论：向量组 A a1, a2, , an 与向量组 B : b1,b2, ,bm 等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A B) 。
分量全为实数的向量称为实向量， 例如 (1,2,3,,n)
分量全为复数的向量称为复向量。 例如 (1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量的表示
n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），
通常用 a, b,, 等表示，如：
a1
a
a2
an
n维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），
1 1 1 1
1 0 3 2
~ ~ B
1 2
2 1
1 4
0
3
r
0
1
2
1
r
0
1
2
1
0 0 0 0
0 0 0 0
2
3
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
R(A) R(B) 2
向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示。
第四章 向量组的线性相关性
由B最简形可得线性方程组 (a1,a2,a3)x b即Ax b 解为
(a11 a12 a1n)
(a21 a22 a2n)
(am1 am2 amn)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组的线性组合
新 第四章 向量组的线性相关性PPT课件
分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵，并规
定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。因此，n
1
维列向量
2
与n维行向量T1 2
n总看作是
n
两个不同的向量（按定义1， 与 T 应是同一个向量）。 2
§4.1 n维向量
列向量用小写字母 、、 等表示, 行向量则用 T、T、T 等表示，所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时， 都当作列向量。
（二） n维向量的线性运算 （三） n维向量的线性运算满足的性质
3
§4.2 n维向量组的概念
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的
集合叫做向量组。例如一个 mn 矩阵 A(aij )有n个m维列
向量
a1 j
j
a2
j
,
( j 1, 2,
, n)
amj
它们组成的向量组 a1,a2,,an 称为矩阵A的列向量组。
k 11 k 22 k mm 0 。因 k1,k2,,km不全为0, 不妨设
k1 0 于是便有 a1k11k2a2 kmam
即a1能由2, ,m 线性表示。
9
§4.5 向量组的相关性
如果向量组A中有某个向量能由其余m-1个向量线性表
示，不妨设 m 能由1,2, ,m1线性表示，即有1,2,m1
组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B 能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线 性表示，则称这两个向量组等价。
A： 1,2,,r B： 1,2,,s
A组由B组线性表示 即
1 k1 1 1 k2 1 2 ks1s 2r kk 11r2 11 k k2221 22 kkss2r ss
《线性代数教学PPT》向量的线性相关性
等价,则向量组1, 2, , t与向量组1,2, ,s等ห้องสมุดไป่ตู้. 代
3) 传递性:若向量组1,2 , ,s与向量组1, 2, , t
等价,向量组1, 2 ,
, t与向量组1, 2 ,
,
等价,则
p
数
向量组1,2 ,
,s与向量组1, 2 ,
,
等价.
p
=
=
二、线性相关性
(B) 1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0), 3 (0, 0,1)
线
显然有,1 1 2 3,2 1 3,3 2 3; 性 1 1 3, 2 1 2 , 3 1 2 3
所以这两个向量组等价.
则有
线
Ak1(1 2 A k Ak1 ) 0
从而
性
1 Ak1 0
代
由于 Ak1 0,所以 1 0,把1 0代入(*)式
再左乘Ak2可得 2 Ak1 0,由Ak1 0, 得 2 0 数
类似可证得3 4 k 0 故向量组 , A , , Ak1线性无关.
=
即k1(1 2 )+k2(2 +3 ) k3(3 +1)=0
=
也就是(k1+k3 )1+(k1+k2 )2 (k2 +k3 )3 0
k1+k3 0
由于1,2,3线性无关,故有 k1+k2 0
k2 +k3 0
线
101
性
由于该线性方程组的系数行列式 1 1 0 2 0
是否线性相关.
数
1 20
解
最新-线性代数-向量组的线性相关性-PPT文档资料
5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2 来自1x2
0 1
2
，即
3
i k 1 1 k 2 2 k i 1 i 1 k i 1 i 1 k m m
即
k 1 1 k 2 2 k i 1 i 1 ( 1 ) i k i 1 i 1 k m m 0
{PAGE}
2
定义 2：
设1 ,2 ,,m是向量组,若其中至少有一个向量可以 由其余向量线性表出，则称此向量组线性相关，否 则称为线性无关。
{PAGE}
3
方程组的向量表示形式
=x11 x22
b1 a11
a12
xm m
b2
§2 向量组的线性相关性
本节主要内容: 向量组的线性相关性 向量组线性相关性的判定
{PAGE}
1
一 向量组线性相关的概念
定义 1：
1)一组同维的列（行）向量组称为向量组。
2）若向量 k11 k22 ks s ， 则称向量 可由向量1 ,2 ,, s线性表示， 其中k1 ,k2 ,,ks是数， k11 k22 ks s称为1 ,2 ,, s的线性组合。
k i 1 k i 1 k i i 1 k i i 1
k m k i m
所以至少有一个向量可由其余m 1个向量线性表示。
线性代数课件4-2向量组的线性相关性-PPT文档资料
§2 向量组的线性相关性
目的要求
（1）掌握向量组线性相关性的定义； （2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法； （3）掌握向量组线性相关性的相关结论.
2019年3月13日6时54分
§2 向量组的线性相关性
1 3 例 1 1 2, 2 6 3 9
r2 2 r1 a1, a2, a3 2 1 7 2 1 3 0 r 3 r 2 3 知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 < 3,
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
2019年3月13日6时54分
练习： 讨论下列向量组的线性相关性.
解齐次线性方程组
x x L x 0 （ 1 ） 1 1 2 2 m m
， L ， 判定向量组 1 2, m线性无关
若（1）只有唯一零解，
若（1）有非零解
线性相关 ， L ， 判定向量组 1 2, m
2019年3月13日6时54分
例3
讨论 解：
1 1 1 , a 2 , a 2 a1 0 2 3 1 2 4
因为R (A ) = 3 ， 向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.
2019年3月13日6时54分
例 6 讨论向量组
1 1 2 a1 2, a2 1, a3 7 的线性相关性. 1 3 0 解： 1 1 2 r 3 r1
所以向 a 量 ,a ,a 组 1 2 3线 性 相 关
例4
1 0 0 讨论 E: e1 0, e2 1, e3 0 的线性相关性. 0 0 1 解：
目的要求
（1）掌握向量组线性相关性的定义； （2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法； （3）掌握向量组线性相关性的相关结论.
2019年3月13日6时54分
§2 向量组的线性相关性
1 3 例 1 1 2, 2 6 3 9
r2 2 r1 a1, a2, a3 2 1 7 2 1 3 0 r 3 r 2 3 知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 < 3,
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
2019年3月13日6时54分
练习： 讨论下列向量组的线性相关性.
解齐次线性方程组
x x L x 0 （ 1 ） 1 1 2 2 m m
， L ， 判定向量组 1 2, m线性无关
若（1）只有唯一零解，
若（1）有非零解
线性相关 ， L ， 判定向量组 1 2, m
2019年3月13日6时54分
例3
讨论 解：
1 1 1 , a 2 , a 2 a1 0 2 3 1 2 4
因为R (A ) = 3 ， 向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.
2019年3月13日6时54分
例 6 讨论向量组
1 1 2 a1 2, a2 1, a3 7 的线性相关性. 1 3 0 解： 1 1 2 r 3 r1
所以向 a 量 ,a ,a 组 1 2 3线 性 相 关
例4
1 0 0 讨论 E: e1 0, e2 1, e3 0 的线性相关性. 0 0 1 解：
高中数学《向量组的线性相关性》课件
高中数学《向量组的线性相关性》课件1、 引言在高中数学学习中，向量是一个重要的概念它可以用来表示方向和大小。
向量组的线性相关性是向量空间理论中的一个重要概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系并为后续学习线性代数奠定基础。
二、 向量组的线性相关性定义定义：设向量组 alpℎa 1,α2,...,αm ，如果存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m ，使得 $$k_1\alph_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0$$则称向量组 α1,α2,...,αm 线性相，否则称向量组 线性无关。
三、 向量组线性相关性的判定1. 利用定义判定根据定义，我们可以通过判断是否存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m 使得 k1α1+k 2α2+...+k m αm =0 来判定向量组的线性相关性。
2. 利用秩判定设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_$ 的秩为 r ，则： • 当 r <m 时，向量组线性相关。
• 当 r =m 时，向量组线性无关。
3. 利用行列式判定设向量组 α1,α2...,αm 的坐标分别为(a 11,a 12,...,a 1n ),(a 21,a 22,...,a 2n ),...,(a m1,a m2,...,a mn )，则* 当 m >n 时，向量组线性相关。
* 当 m =n 时，向量组线性相关当且仅当行列式∣∣∣∣∣∣a 11a 12...a 1a 21a 22...a 2n ............a m1a m2...a mn ∣∣∣∣∣∣=0 * 当 m <n 时，向量组线性无关。
四、 向量组线性相关性的性质1. 零向量组线性相关2. 包含零向量的向量组线性相关3. 向量组中任意一个向量可以由其向量线性表示，则该向量组线性相关4. 向量组线性无关，则其任意子向量组线性无关5. 向量组线性相关，则其任意子向量组可能线性相关，也可能线性无关五、向量组线性相关性应用1. 判断向量组的线性相关性2. 求解向量组的线性组合3. 求解向量组的线性无关子组4. 求解向量空间的基六、例题*例1：**判断向量组α1=(1,2,3),α2=(2,4,6),α3=(3,6,9)的线性相关性。
免费第4章课件 线性代数 向量组的线性相关性
T 3 α 1 T 4 9 α 2 T 5 1 = α 3 T 3 6 α 4 T 13 17 α 5
( 3) (4) (5)
T T T 有如下关系 α 4 = α 2 α 1
T T T α 5 = 2α 2 α 3
这说明第(4)和第 个方程都是多余的 可以去掉. 这说明第 和第(5)个方程都是多余的 可以去掉 和第 个方程都是多余的,可以去掉
故等价. r ( A) = r[ A | B ] = 2 又易知 r ( B ) = 2 , 故等价
-14-
解法二
A:
α1
1 1 1 = 1 , α 2 = 1 , α 3 = 2 1 4 3
B :
β1
0 1 = 1 , β 2 = 0 2 1
a11 a 21 M a m1
再如: 再如
a12 a 22 M am 2
a1n L a2n M L a mn L
a11 a 21 M a m1
a12 a 22 M am 2
a1n L a2n M L a mn L
Am × n x = 0( r ( A) < n) 解的全体是一个含无穷多个 n
-4-
定义
由若干个同维数的列(行 向量组成的集合称为一个向量组. 向量组成的集合称为一个向量组 由若干个同维数的列 行)向量组成的集合称为一个向量组
如无特殊说明,向量组总是指只含有限个向量的向量组 如无特殊说明 向量组总是指只含有限个向量的向量组. 向量组总是指只含有限个向量的向量组 如: m×n 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向量 × 的列组; 维的行向量组,简称 组, 简称 A 的列组 全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组 简称 A 的行组. 的行组
( 3) (4) (5)
T T T 有如下关系 α 4 = α 2 α 1
T T T α 5 = 2α 2 α 3
这说明第(4)和第 个方程都是多余的 可以去掉. 这说明第 和第(5)个方程都是多余的 可以去掉 和第 个方程都是多余的,可以去掉
故等价. r ( A) = r[ A | B ] = 2 又易知 r ( B ) = 2 , 故等价
-14-
解法二
A:
α1
1 1 1 = 1 , α 2 = 1 , α 3 = 2 1 4 3
B :
β1
0 1 = 1 , β 2 = 0 2 1
a11 a 21 M a m1
再如: 再如
a12 a 22 M am 2
a1n L a2n M L a mn L
a11 a 21 M a m1
a12 a 22 M am 2
a1n L a2n M L a mn L
Am × n x = 0( r ( A) < n) 解的全体是一个含无穷多个 n
-4-
定义
由若干个同维数的列(行 向量组成的集合称为一个向量组. 向量组成的集合称为一个向量组 由若干个同维数的列 行)向量组成的集合称为一个向量组
如无特殊说明,向量组总是指只含有限个向量的向量组 如无特殊说明 向量组总是指只含有限个向量的向量组. 向量组总是指只含有限个向量的向量组 如: m×n 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向量 × 的列组; 维的行向量组,简称 组, 简称 A 的列组 全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组 简称 A 的行组. 的行组
线性相关与无关.ppt
线性相关性与线性组合的关系
推论 向量组 1,2,,（m当 m 2时）线性相关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m 中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
§4.2 向量组的线性相关性
例
1 0 0
a1
0
,
a2
1
,
ห้องสมุดไป่ตู้a3
0
,
线性无关，
0
0
1
1 0 0 1
a1
0
,
例
1
1 1
,
2
2 2
,
21
2
0 0
,
则1
,
线性相关。
2
§4.2 向量组的线性相关性
例
1
1 0
,
2
0 2
,
要使k11
k2 2
0
0
,
当且仅当k1
0, k2
0时成立，则1
,
线性无关。
2
说明:只含一个向量a的向量组,
当a=0时是线性相关的,当a≠0时是线性无关的.
说明:包含零向量的向量组是线性相关的.
则
k1
k1 2k2
k3
0 3k3
0
k1 5k2 6k3 0
显然k1=k2=1，k3=-1，满足上式。所以存在不全为零
的数1，1，-1使 k11 k22 k33 0 所以1，2，3
线性相关。
§4.2 向量组的线性相关性
定理(1) 若向量组A:a1 ,a2 , … ,am 线性相关,
1, a5
2
也线性相关。
0
0
1
1
1
§4.2 向量组的线性相关性
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x2 x3 0
0
1
1
x1
=
0，
x2
=
0，x3
=
0
向量组 b1 ,b2 ,b3 线性无关.
2019年5月16日9时49分
例 8 已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
k 1 a 1 k 2 a 2 k m a m 0 ( ) 则称向量组 A 是线性相关的.
否则，称它是线性无关的. 也就是，只有当 k 1 k 2 L L k m 0 时 ， 才能使(＊)式成立，
则称向量组 A 是线性无关的.
2019年5月16日9时49分
说明：
10
RowReduce 70
5
3 15 3 21 2 2 05 45
MatrixForm
01
40
5
R ( a1, a2, a3, a4 )= , a3 , a4 线性相关.
2019年5月16日9时49分
例 8 已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
讨论 E:e1 0, e2 1, e3 0 的线性相关性.
解：
0 0 1
设有数 x1, x2, x3, 使得
x1e1x2e2x3e30
则 x1x2x30, 所以向量组 E 线性无关.
2019年5月16日9时49分
定理1
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性相关
4
设有数 x1,x2,x3,使得x1a1x2a2x3a30
1 1 1 1 0 2
Q
0
1
2 2
2
4
r
~
0
0
1 0
1
0
2a1a2a30
所以向a量 1,a2组 ,a3线性相关
2019年5月16日9时49分
例4
1 0 0
若（1）只有唯一零解，
判定向量组 1， 2,L， m线性无关
若（1）有非零解
判定向量组 1， 2,L， m 线性相关
2019年5月16日9时49分
例3 1 1 1
讨论
a1
0, a2
2
, a3
2
的线性相关性.
解：
1
2
2019年5月16日9时49分
例 5 讨论向量组
1 a1 0,
0 解：
1 a2 1,
0
1 a3 1 的线性相关性.
1
因为R (A ) = 3 ， 向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.
2019年5月16日9时49分
例 6 讨论向量组
x 1 a 1 x 2 a 2 x m a m 0有非零解.
Ax0有非零解
其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ).
秩 R (A) < m
2019年5月16日9时49分
定理 2
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性无关
x 1 a 1 x 2 a 2 x m a m 0只有零解.
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关.
证一 设有数 x1 , x2 , x3 使 x1b1x2b2x3b30 也就是
向量组 a1 , a2 , a3 线性无关 ,
x1 x1
x2
x3
0 0
1 Q1
0 1
1 0 20
Ax0 只 有 零 解
秩 R (A) = m
2019年5月16日9时49分
线性相关性的判定（秩法）
向量组 A: 1， 2,L， m 矩阵 A = ( 1， 2,L， m) 若秩 R (A) = m, 1， 2,L， m线性无关 若秩 R (A) < m, 1， 2,L， m线性相关
1 1 2
a1
2,
a2
1,
a3
7
的线性相关性.
1
3
0
解：
1 1 2 r3 r1
a1,a2,a3 2
1
1 3
7 0
r2 r3
2 r1 2 3 r2
知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 < 3,
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
2019年5月16日9时49分
练习： 讨论下列向量组的线性相关性.
1 2 3 1 A: a1023,a2511,a3524,a4 523 用mathematica求解 1 2 3 1
1与2共线不全为零k的 1,k2数
s.t k 1 1 k 2 2 0
共线线性相关 不 共 线线 性 无 关
2019年5月16日9时49分
2 1 1
例2
1 3,2 1,3 2
4 1 3
123
§2 向量组的线性相关性
目的要求
（1）掌握向量组线性相关性的定义； （2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法； （3）掌握向量组线性相关性的相关结论.
2019年5月16日9时49分
§2 向量组的线性相关性
1 3
例1 1 2,2 6
3
9
2 31
1,2,3共 面 不0 全 的 k 1 ,k 为 数 2,k 3
s.k t1 1 k 2 2 k 3 3 0 共 面线 性 相 关
不 共 面线 性 无 关
2019年5月16日9时49分
定义 设有向量组 A:a1,a2,LL,am
如果存在不全为零的数 k1,k2, ,km使
线性相关
等价命题： 任一非零向量 线性无关.
1，2线性相关 对应分量成比例.
含零向量的向量组 必线性相关.
kα0 k0或 者 α0
1 k2 1 k2 0
2019年5月16日9时49分
线性相关性的判定（定义法）
解齐次线性方程组
x 11 x 22 L x m m 0 （ 1 ）