2020高考数学(文数)考点测试刷题本53 几何概型(含答案解析)

2020高考数学(文数)考点测试刷题本53

几何概型

一、选择题

1.向等腰直角三角形ABC(其中AC =BC)内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为( )

A ．22

B ．1－22

C ．π8

D ．π4

2.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该

矩形的面积大于20 cm 2

的概率为( ) A ．13 B ．23 C ．14 D ．34

3.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直

径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )

A ．p 1=p 2

B ．p 1=p 3

C ．p 2=p 3

D ．p 1=p 2＋p 3

4.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分

关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )

A ．14

B ．π8

C ．12

D ．π4

5.某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班

车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．34

6.从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，

(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n

7.在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x＋y≤12”的概率，p 2为事件“xy≤1

2

”的

概率，则( )

A ．p 1

B ．p 2<12

C ．12

D ．p 1<1

2

8.下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机

投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为( )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．12

二、填空题

9.如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴

影部分的面积为________．

10.过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，则

AD

11.利用随机模拟方法计算y =x 2

与y =4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随

机数a 1=RAND ，b 1=RAND ，然后进行平移与伸缩变换a =a 1·4－2，b =b 1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a 1=0．3，b 1=0．8及a 1=0．4，b 1=0．3，那么本次模拟得出的面积约为________．

12.记函数f(x)=6＋x －x 2

的定义域为D ．在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是

______．

三、解答题

13.设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1]上的诸数字，另一半上均匀地

刻上区间[1，3]上的诸数字，旋转这陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于[0、5，1、5]上的概率。

14.若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，求张三连续两天平均工作时间

不少于7小时的概率．

15.某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位：小时)，如果停靠

时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如下表：

(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时，求a 的值；

(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．

16.设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1，2]，都有|f(x)＋

g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)=ax ，g(x)=b

x

．

(1)若a ∈{1，4}，b ∈{－1，1，4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1，4]，b ∈[1，4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．

答案解析

1.答案为：D ；

解析：以A 为圆心，AC 为半径画弧与AB 交于点D ．依题意，

满足条件的概率P =S 扇形ACD S △ABC =π8·AC

2

12

AC 2=π

4

．故选D ．

2.答案为：B ；

解析：不妨设矩形的长为x cm ，则宽为(12－x) cm ，由x(12－x)>20，解得2

所以该矩形的面积大于20 cm 2

的概率为10－212=23

．故选B ．

3.答案为：A ；

解析：不妨取AB =AC =2，则BC =22，所以区域Ⅰ的面积为S △ABC =2；区域Ⅲ的面积为π－2；

区域Ⅱ的面积为π－(π－2)=2，所以根据几何概型的概率公式，易得p 1=p 2．故选A ．

4.答案为：B ；

解析：不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形=4．

由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑=S 白=12S 圆=π

2

，

所以由几何概型知所求概率P =S 黑S 正方形=π24=π

8

．故选B ．

5.答案为：B ；

解析：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达， 或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，

故所求概率为10＋1040=1

2

．故选B ．

6.答案为：C ；

解析：如图，数对(x i ，y i )(i =1，2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，

两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，

则由几何概型的概率公式可得m n =π412⇒π=4m

n

．故选C ．