高中数学 1.1 集合的含义及其表示方法教案 苏教版必修1
高中数学 第一章 集合(含解析)苏教版必修1
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第1课时集合的含义及其表示(1)教学过程一、问题情境(1) 小于10的所有偶数;(2) 中国的直辖市;(3) 单词book中的字母;(4) 到一个角的两边距离相等的所有的点;(5) 方程x2-5x+6=0的所有实数根;(6) 不等式x-3>0的所有解;(7) 某高中全体高一学生.二、数学建构问题1以上实例有什么共同特征?(引导学生说出:一定范围内,确定的,不同对象.然后通过学生回答,总结出集合的含义)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合常用大写的拉丁字母来表示,如集合A、集合B.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.集合的元素常用小写的拉丁字母来表示,如元素a、元素b.问题2回答下列问题:(1) 已知A={1, 3},问:3, 5哪个是A的元素?(2) “所有素质好的人”能否构成一个集合A?(3) A={2, 2, 4}表示是否准确?(4) A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一个集合?由上述问题可以归纳出集合中元素的特征:①确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则“x是A的元素”或者“x不是A的元素”这两种情况必有一种且只有一种成立.②互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不能重复出现同一元素.③无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照由小到大的数轴顺序书写.问题3元素与集合之间有怎样的关系?解如果a是集合A中的元素,就记作a∈A,读作“a属于A”;如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A或a⋷A,读作“a不属于A”.问题4常用的数集有哪些?它们分别用什么数学符号表示?解自然数集(非负整数集):N,正整数集:N*或N+,整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.问题5集合的表示方法有哪些?(1) 列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于“{}”中,元素之间用逗号分隔.列举时与元素次序无关,如{北京,上海,天津,重庆}.集合的相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等,如{北京,上海,天津,重庆}={天津,重庆,北京,上海}.思考“问题情境”中的集合都能用列举法表示吗?如果能,请表示出来.(2) 描述法:将集合中所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.{x|p(x)}中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质,如{x|x为中国的直辖市},{x|x-3>0, x∈R}. (3) Venn图:有时用Venn图示意集合(如图1),更显直观.(图1)问题6按照元素的个数,集合该怎样分类?(1) 有限集:含有有限个元素的集合称为有限集.(2) 无限集:含有无限个元素的集合称为无限集.(3) 空集:不含任何元素的集合称为空集,记作⌀,如{x|x2+x+1=0, x∈R}=⌀.三、数学运用【例1】下列各组对象能否构成集合:(1) 所有的好人;(2) 小于2012的数;(3) 和2012非常接近的数;(4) 小于5的自然数;(5) 不等式2x+1>7的整数解;(6) 方程x2+1=0的实数解. (见学生用书课堂本P1~2)[处理建议]引导学生根据定义判断.[规范板书]解(1)(3)不符合集合中元素的确定性,因此,只有(2)(4)(5)(6)能够构成集合.[题后反思]解决这类题目要抓住集合中元素的两个特征:确定性,互异性.【例2】用符号“∈”或“∉”填空:-错误!未找到引用源。
2020学年高中数学第1章集合1.1集合的含义及其表示学案苏教版必修1
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1.1 集合的含义及其表示1.结合实例,了解集合的含义,元素与集合的关系.2.理解集合元素的特征.3.掌握集合的表示方法.1.集合(1)定义:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.(2)记法:通常用大写拉丁字母表示.(3)常用数集及表示符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N+Z Q R(1)定义:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.(2)记法:通常用小写拉丁字母表示.(3)特性:确定性、互异性、无序性.3.元素与集合的关系关系定义记法读法属于a是集合A的元素a∈A a属于A不属于a不是集合A的元素a∉A或a A a不属于A4.表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内{a1,a2,…,a n,…}描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来{x|p(x)}Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),则称这两个集合相等.6.集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合,记作∅1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( )(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A={x|x-1=0}与集合B={1}表示同一个集合.( )答案:(1)×(2)×(3)√2.不等式x-3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为( )A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}答案:B3.方程x2-1=0的解与方程x+1=0的解组成的集合中共有________个元素.答案:24.当{a,0,-1}={4,b,0}时,a=________,b=________.答案:4 -1集合的概念[学生用书P2]判断下列各组对象能否组成一个集合.(1)新华中学高一年级全体学生;(2)我国的大河流;(3)不大于3的所有自然数;(4)在平面直角坐标系中,到原点距离等于1的点.【解】(1)能,所指的对象是确定的;(2)不能,“大”无明确标准;(3)能,不大于3的所有自然数有0、1、2、3,其对象是确定的;(4)能,在平面直角坐标系中任给一点,可明确地判断是不是到原点的距离等于1,故能组成一个集合.判断一组对象组成集合的依据判断一组对象能否构成一个集合,其关键是看该组对象是否满足确定性.如果该组对象满足确定性,就可能组成集合;否则,就不能组成集合.1.判断下列各组对象能否构成一个集合:(1)著名的数学家;(2)不超过20的非负数;(3)方程x2-9=0在实数范围内的解;(4)直角坐标平面内第一象限的一些点.解:(1)“著名的数学家”无明确的标准,对于某个人是否“著名”无法客观地判断,因此“著名的数学家”不能构成一个集合.(2)任给一个实数x ,可以明确地判断它是不是“不超过20的非负数”,即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”两者必居其一,且仅居其一,故“不超过20的非负数”能构成集合.(3)类似于(2),也能构成集合.(4)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.元素与集合的关系[学生用书P2](1)下列关系中,正确的有( ) ①12∈R ;②2∉Q ;③|-3|∈N ;④|-3|∈Q . A .1个 B .2个 C .3个D .4个(2)满足“a ∈A 且4-a ∈A ,a ∈N 且4-a ∈N ”,有且只有2个元素的集合A 的个数是( ) A .0 B .1 C .2D .3【解析】 (1)12是实数,2是无理数,|-3|=3是非负整数,|-3|=3是无理数.因此,①②③正确,④错误.(2)因为a ∈A 且4-a ∈A ,a ∈N 且4-a ∈N , 所以若a =0,则4-a =4, 此时A 满足要求; 若a =1,则4-a =3, 此时A 满足要求; 若a =2,则4-a =2,此时A 只含有1个元素,不满足要求. 故有且只有2个元素的集合A 有2个,故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断一个元素是否属于某一个集合,就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足,就是“属于”关系;若不满足,就是“不属于”关系.特别注意,符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.2.(1)已知集合A 中元素满足2x +a >0,a ∈R ,若1∉A ,2∈A ,则( )A .a >-4B .a ≤-2C .-4<a <-2D .-4<a ≤-2(2)用适当的符号填空:已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数,则有 17________A ;-5________A . 解析:(1)因为1∉A ,2∈A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1+a ≤0,2×2+a >0,即-4<a ≤-2.(2)由题意可设x =3k +2,k ∈Z ,令3k +2=17,则k =5∈Z .所以17∈A .令3k +2=-5, 则k =-73∉Z .所以-5∉A .答案:(1)D (2)∈ ∉集合中元素的特性[学生用书P3]已知集合A 含有两个元素a 和a 2,若1∈A ,则实数a 的值为________. 【解析】 若1∈A ,则a =1或a 2=1,即a =±1. 当a =1时,集合A 有重复元素, 所以a ≠1;当a =-1时,集合A 含有两个元素1,-1,符合元素的互异性,所以a =-1. 【答案】 -1若去掉本例中的条件“1∈A ”,则实数a 的取值范围是什么? 解:因为集合A 中含有两个元素a 和a 2,所以a ≠a 2, 即a ≠0且a ≠1.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤3.(1)若集合M 中的三个元素是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形(2)若集合A 中有三个元素x ,x +1,1,集合B 中也有三个元素x ,x +x 2,x 2,且A =B ,求实数x 的值.解:(1)选D.由集合中元素的互异性可知,集合中的任何两个元素都不相同,故选D.(2)因为A =B ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x +1=x 2,1=x 2+x 或⎩⎪⎨⎪⎧x +1=x 2+x ,1=x 2. 解得x =±1.经检验,x =1不满足集合元素的互异性,而x =-1满足,所以x =-1.集合中元素的表示[学生用书P3]用适当的方法表示下列集合:(1)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合; (2)方程x 2-2x +1=0的实数根组成的集合; (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合; (4)二次函数y =x 2+2x -10的图象上所有的点组成的集合; (5)二次函数y =x 2+2x -10的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【解】 (1)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个,分别为3,5,7,11.故可用列举法表示为{3,5,7,11}.(2)方程x 2-2x +1=0的实数根为1,因此可用列举法表示为{1},也可用描述法表示为{x ∈R |x 2-2x +1=0}.(3)集合的代表元素是点,可用描述法表示为{(x ,y )|x <0且y >0}.(4)二次函数y =x 2+2x -10的图象上所有的点组成的集合中,代表元素为有序实数对(x ,y ),其中x ,y 满足y =x 2+2x -10,由于点有无数个,则用描述法表示为{(x ,y )|y =x 2+2x -10}.(5)二次函数y =x 2+2x -10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中,代表元素为y ,是实数,故可用描述法表示为{y |y =x 2+2x -10}.用描述法表示集合时,要认清代表元素的含义,弄清集合的属性,区分是数集、点集还是其他类型的集合.4.设集合B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62+x ∈N .(1)试判断元素1,2与集合B 的关系; (2)用列举法表示集合B . 解:(1)当x =1时,62+1=2∈N . 当x =2时,62+2=32∉N .所以1∈B ,2∉B .(2)因为62+x ∈N ,x ∈N ,所以2+x 只能取2,3,6.所以x 只能取0,1,4.所以B ={0,1,4}.1.集合含义中的“研究对象”的理解集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么.集合中的元素可以是点,也可以是一些人或一些物.2.集合中元素的三个特性(1)确定性:是指作为一个集合的元素必须是明确的,不能确定的对象不能构成集合.也就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的.(2)互异性:对于给定集合,其中的元素一定是不同的,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素.(3)无序性:对于给定的集合,其中的元素是不考虑顺序的.如1,2,3与3,2,1构成的集合是同一个集合.3.对符号“∈”与“∉”的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果.(2)∈和∉具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如R∈0是错误的.4.列举法表示集合时应注意的四点(1)集合中的元素可以是任何对象,如数、点、式子或其他的类型等.(2)元素之间没有顺序,但不能重复,也不能遗漏.(3)“{ }”本身带有“所有的…”或“…的全体(全部)”的意思,因此在花括号内表示内容时,应把“所有”“全体”或“全部”等词语删去.(4)用列举法表示有特殊规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号.5.描述法表示集合时应注意的三点(1)写清集合中的代表元素,可以是数、点、式子或其他类型.(2)说明该集合中元素具有的性质,如满足方程(组)、不等式(组)、函数或几何图形等.(3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内.下列各组中M,P表示同一集合的序号是________.①M={3,-1},P={(3,-1)};②M={(3,1)},P={(1,3)};③M={y|y=x2-1,x∈R},P={x|x=t2-1,t∈R};④M={y|y=x-1,x∈R},P={(x,y)|y=x-1,x∈R}.[解析] ①中,M是由3,-1两个元素构成的集合,而集合P是由点(3,-1)构成的集合;②中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;④中,M是一次函数y=x-1,x∈R的所有因变量组成的集合,而集合P是一次函数y=x-1,x∈R图象上所有点组成的集合.[答案] ③(1)本题易误选①或②,其原因是未理解清楚集合中元素代表什么,只注意形式基本相同,从而导致错误.(2)解答此类问题,要明确集合中的代表元素是数,还是有序实数对(点),还是集合,或是其他形式.1.下列各组对象能构成集合的是( )A.平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点B.大于-5且小于5的有理数C.新华书店中有意义的小说D.π(π=3.141…)的近似值的全体解析:选B.A、C、D中的对象不具有确定性,故不能构成集合;而B具有确定的标准,即“大于-5且小于5的有理数”.故能构成集合.2.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是( )A.{x|-3<x<11,x∈Z}B.{x|-3<x<11}C.{x|-3<x<11,x=2k}D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}解析:选 D.偶数集为{x|x=2k,k∈Z},则大于-3且小于11的偶数所组成的集合为{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}.3.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m=________.解析:由题意知m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3,经验证,当m=0或m=2时,不满足集合中元素的互异性,当m=3时,满足题意,故m=3.答案:34.已知集合{x|x2-2x+a=0}=∅,则实数a的取值范围是________.解析:Δ=4-4a<0得a>1.答案:a>1[学生用书P77(单独成册)])[A 基础达标]1.下列各组对象中能构成集合的是( )A.2019年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目B .某学校高一年级高个子的学生 C.2的近似值D .2018年全国经济百强县解析:选D.由于集合中的元素是确定的,所以D 中对象可构成集合.2.给出下列关系:(1)13∈R ;(2)5∈Q ;(3)-3∉Z ;(4)-3∉N ,其中正确的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B.13是实数,(1)正确;5是无理数,(2)错误;-3是整数,(3)错误;-3是无理数,(4)正确.故选B.3.若a ,b ,c ,d 为集合A 的四个元素,则以a ,b ,c ,d 为边长构成的四边形可能是( ) A .矩形 B .平行四边形 C .菱形D .梯形解析:选D.因为a ,b ,c ,d 为集合A 中的四个元素,故a ,b ,c ,d 均不相同,故选D. 4.设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x |x =a +b ,a ∈A ,b ∈B },则M 中元素的个数为( ) A .3 B .4 C .5D .6解析:选B.因为集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x |x =a +b ,a ∈A ,b ∈B }, 所以M 中的元素有:5,6,7,8,共4个.故选B.5.已知M ={(x ,y )|2x +3y =10,x ,y ∈N },N ={(x ,y )|4x -3y =1,x ,y ∈R },则( ) A .M 是有限集,N 是有限集 B .M 是有限集,N 是无限集 C .M 是无限集,N 是无限集 D .M 是无限集,N 是有限集解析:选B.因为M ={(x ,y )|2x +3y =10,x ,y ∈N }={(2,2),(5,0)}, 所以M 为有限集.N ={(x ,y )|4x -3y =1,x ,y ∈R }中有无限多个点满足4x -3y =1,故N 为无限集.6.若集合{1,a ,b }与{-1,-b ,1}是同一个集合,则a 与b 分别为________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-b 或⎩⎪⎨⎪⎧a =-b ,b =-1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =0或⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1.当a =1,b =-1时,集合中有重复元素应舍去.故a =-1,b =0. 答案:-1,07.下列说法中①集合N 与集合N *是同一个集合;②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素;③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素;④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素.其中正确的有________.解析:因为集合N *表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集,所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确.答案:②④8.若a ,b ∈R ,且a ≠0,b ≠0,则|a |a +|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________.解析:当a >0且b >0时,|a |a +|b |b=2;当a ·b <0时,|a |a +|b |b=0;当a <0且b <0时,|a |a +|b |b=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即元素的个数为3. 答案:39.判断下列对象能否构成一个集合.如果能,请采用适当的方法表示该集合;如果不能,请说明理由.(1)小于5的整数;(2)高一年级体重超过75 kg 的同学; (3)方程x +y =3的非负整数解; (4)与π非常接近的有理数. 解:(1)能.{x |x <5,x ∈Z }.(2)能.{高一年级体重超过75 kg 的同学}. (3)能.{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.(4)不能构成集合.接近π的有理数界限不明确,不符合集合元素确定性的特点. 10.用适当的方法表示下列集合.(1)由x =2n ,0≤n ≤2且n ∈N 组成的集合; (2)抛物线y =x 2-2x 与x 轴的公共点的集合; (3)直线y =x 上去掉原点的点的集合.解:(1)列举法:{0,2,4};或描述法{x |x =2n ,0≤n ≤2且n ∈N }. (2)列举法:{(0,0),(2,0)}. (3)描述法:{(x ,y )|y =x ,x ≠0}.[B 能力提升]1.集合A 的元素y 满足y =x 2+1,集合B 的元素(x ,y )满足y =x 2+1(A ,B 中x ∈R ,y ∈R ).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A .2∈A ,且2∈BB .(1,2)∈A ,且(1,2)∈BC .2∈A ,且(3,10)∈BD .(3,10)∈A ,且2∈B解析:选C.集合A 中的元素为y ,是数集,又y =x 2+1≥1,故2∈A ,集合B 中的元素为点(x ,y ),且满足y =x 2+1,经验证,(3,10)∈B ,故选C.2.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈N ,126-x ∈N , 则集合A 用列举法表示为________. 解析:因为126-x∈N ,x ∈N ,所以6-x =1,2,3,4,6,得x =5,4,3,2,0.所以集合A ={0,2,3,4,5}.答案:{0,2,3,4,5}3.已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0,x ∈R },a 为实数. (1)若A 是空集,求a 的取值范围; (2)若A 是单元素集,求a 的值;(3)若A 中至多只有一个元素,求a 的取值范围.解:(1)若A 是空集,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0,Δ=22-4a <0,所以a >1. (2)若A 是单元素集,则①当a =0时,此时A ={x |2x +1=0,x ∈R }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫-12;②当a ≠0时,有⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0,Δ=22-4a =0,即a =1,此时A ={x |x 2+2x +1=0,x ∈R }={-1}. 所以综合①②得a =0或a =1.(3)若A 中至多只有一个元素,则A 为空集或单元素集,所以a =0或a ≥1. 4.(选做题)设S 是由满足下列条件中的实数所构成的集合: ①1∉S ;②若a ∈S ,则11-a ∈S .请回答下列问题:(1)若2∈S ,则S 中必有另外两个数,求出这两个数; (2)求证:若a ∈S ,则1-1a∈S ;(3)在集合S 中,元素能否只有一个?若能,把它求出来;若不能,请说明理由. 解:(1)因为2∈S ,2≠1,所以11-2=-1∈S .因为-1∈S ,-1≠1,所以11-(-1)=12∈S .因为12∈S ,12≠1,所以11-12=2∈S . 所以集合S 中有另外两个数为-1和12. (2)证明:因为a ∈S ,所以11-a∈S , 所以11-11-a ∈S ,即11-11-a=1-a 1-a -1=1-1a ∈S (a ≠0). 若a =0,则11-a=1∈S ,不合题意. 所以若a ∈S ,则1-1a∈S . (3)集合S 中的元素不能只有一个.证明如下:假设集合S 中只有一个元素,则根据题意知a =11-a, 即a 2-a +1=0.因为Δ=1-4<0,所以此方程无实数解,所以a ≠11-a. 所以集合S 中不能只有一个元素.。
苏教版高中数学必修一集合的含义及其表示教案四
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1.1集合的含义及其表示学习目标:1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系. 了解集合相等的意义,了解有限集、无限集、空集的含义.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.培养学生的思维能力,提高学生理解掌握概念的能力;培养学生认识事物的能力,引导学生爱班、爱校、爱国.教学重点:集合的表示方法,集合的相等,空集.教学难点:正确表示一些简单集合.教学方法:尝试指导法教学过程:一、情境设置蓝蓝的天空,一群鸟在欢快地飞翔;茫茫的草原,一群羊在悠闲地走动;清清的湖水,一群鱼在自由地游戏;……鸟群、羊群、鱼群……都是“同一类对象汇集在一起”,这就是本章将要学习的集合。
●想一想:集合这个术语,在初中我们是否使用过?在初中学习“自然数”、“有理数”等内容时,已经使用了“自然数集”、“有理数集”等术语.初中代数第六章不等式的解法一节中提到:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”.这里,用“集合”来描述研究对象,既简洁又方便.那么,我们不禁要问:●集合的含义是什么?●集合之间有什么关系?●怎样进行集合的运算?二、学生活动请仿照下列叙述,向全班同学介绍一下你原来读书的学校、现在的班级情况.我来自金湖县外国语学校;我现在的班级是高一⑶班,全班有学生53人,其中男生30人,女生23人.●像“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征?同一类对象汇集在一起三、建构数学1.集合的概念一般地,一定范围内某些确定的、不同对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.集合常用大写拉丁字母表示,如集合A、集合B等.集合中的元素常用小写拉丁字母表示.练习1.考察下列每组对象能否构成集合?-1,1⑴中国的直辖市;⑵young 中的字母;⑶不超过20的非负数;⑷高一⑶班16岁以下的学生;⑸高一⑶班所有个子高的学生.生在师的指导下回答问题:⑴“中国的直辖市”构成一个集合,该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”; ⑵“young 中的字母”构成一个集合,该集合的元素是“y,o,u,n,g ”;⑶“不超过20的非负数”构成一个集合,该集合的元素是“0,1,2,3,…,20”; ⑷“高一⑶班16岁以下的学生“”构成一个集合;⑸“高一⑶班所有个子高的学生”不能构成一个集合,个子高这个标准标准不可量化. 从所给问题可知,集合元素具有以下三个特征:⑴确定性集合中的元素必须是确定的,也就是说,对于一个给定的集合,其元素的意义是明确的. ⑵互异性集合中的元素必须是互异的,也就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.⑶无序性集合中的元素是无先后顺序,也就是说,对于一个给定集合,它的任何两个元素都是可以交换的.阅读P5-6并思考下列问题:(3分钟) ⑴常用数集的专用符号有哪些?⑵“∈”,“∈∉,”的含义是什么?⑶集合的表示方法有几种?怎样表示?试举例说明.⑷两个集合满足什么条件时叫做相等?⑸集合如何分类?依据是什么?通过学习提纲,师生共同归纳2.常见集合的表示自然数集记作N ,正整数集记作N )或N +,整数集记作N ,有理数集记作Q ,实数集记作R.3.元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素,记作a ∈A ,读作“a 属于A ”;如果a 不是集合A 的元素,记作a ∉A ,读作“a 不属于A ”.4. 集合表示方法,常用表示方法有⑴列举法:把集合中元素一一列举出来的方法.⑵描述法:用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.⑶Venn 图:如:方程x 2-1=0所有实数解构成的集合,可以表示成下列形式⑴列举法:{-1,1}⑵描述法:{x| x 2-1=0,x ∈R} ⑶Venn 图:说明:1.{x|p(x)}中x 为代表元素,p(x)指x 具有的性质.2.如果两个集合中的元素完全相同,则称这两个集合相等.5.集合的分类(根据元素的个数来分)⑴有限集——含有有限个元素的集合.⑵无限集——含有无限个元素的集合.⑶∅表示空集,既不含任何元素的集合.四、数学应用1.用“∈”或“”填空(P7页练习3)⑴1_____N,-3______N,0______N,2_______N,1_____Z,-3______Q,0______Z,2_______R;⑵A={x|x2-x=0},则1_____A,-1______A;⑶B={x|1≤x≤5,x∈N},则1_____B,1.5______B;⑷C={x|-1<x<3,x∈Z},则0. 2_____C,3______C.2.求不等式2x-3>5的解集.解:由2x-3>5得x>4,所以不等式2x-3>5的解集为{x|x>4,x∈R}.3.求方程x2+x+1=0所有实数解的集合.解:∵方程x2+x+1=0没有实数解,∴{x|x2+x+1=0}=∅.4.练习5.P7页练习1、2、45.(口答)说出下面集合中的元素.⑴{大于3小于11的偶数} 其元素为 4,6,8,10⑵{平方等于1的数} 其元素为-1,1⑶{15的正约数} 其元素为1,3,5,156.判断正误:⑴所有在N中的元素都在N*中( ×)⑵所有在N中的元素都在Z中( √)⑶所有不在N*中的数都不在Z中( ×)⑷所有不在Q中的实数都在R中( √)⑸由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0( ×)⑹不在N中的数不能使方程4x=8成立( √)五、回顾反思1.集合的概念中,“某些指定的对象”,可以是任意的具体确定的事物,例如数、式、点、形、物等.2.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性,要能熟练运用之.3.通过学习,弄清表示集合的方法有几种,并能灵活运用,一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示,只要是无限集就用描述法表示,在某种情况下,两种方法都可以.4.注意∅在解决问题时所起作用,这一小节仅仅是认识,具体性质在下一节将研究.六、作业1.完成课时训练一2.预习提纲:⑴两个集合A、B具有什么条件,就能说明一个集合是另一个集合的子集?⑵一个集合A是另一个集合B的真子集,则其应满足条件是什么?⑶空集有哪些性质?⑷如何求一个集合补集?。
高中数学 1.1 集合的含义及其表示教案 苏教版必修1
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1.1 集合的含义及其表示教学目标:1.使学生理解集合的含义,知道常用集合及其记法;2.使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3.使学生初步掌握集合的表示方法,并能正确地表示一些简单的集合.教学重点:集合的含义及表示方法.教学过程:一、问题情境1.情境.新生自我介绍:介绍家庭、原毕业学校、班级.2.问题.在介绍的过程中,常常涉及像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念,这些概念与“学生×××”相比,它们有什么共同的特征?二、学生活动1.介绍自己;2.列举生活中的集合实例;3.分析、概括各集合实例的共同特征.三、数学建构1.集合的含义:一般地,一定范围内不同的...、确定的...对象的全体组成一个集合.构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素.2.元素与集合的关系及符号表示:属于∈,不属于∉.3.集合的表示方法:列举法描述法图示法个体与群体群体是由个体组成自然语言描述如{15的正整数约数}数学语言描述规范格式为{x|p(x)}另集合一般可用大写的拉丁字母简记为“集合A 、集合B ”.4.常用数集的记法:自然数集N ,正整数集N*,整数集Z ,有理数集Q ,实数集R .5.有限集,无限集与空集.6.有关集合知识的历史简介.四、数学运用1.例题.例1 表示出下列集合:(1)中国的直辖市;(2)中国国旗上的颜色.小结:集合的确定性和无序性例2 准确表示出下列集合:(1)方程x 2―2x -3=0的解集;(2)不等式2-x <0的解集; (3)不等式组2+3511x x >⎧⎨->⎩-的解集; (4)不等式组⎩⎨⎧2x -1≤-33x +1≥0的解集. 解:略.小结:(1)集合的表示方法——列举法与描述法;(2)集合的分类——有限集⑴,无限集⑵与⑶,空集⑷例3 将下列用描述法表示的集合改为列举法表示:(1){(x ,y )| x +y = 3,x ∈N ,y ∈N }(2){(x ,y )| y = x 2-1,|x |≤2,x ∈Z }(3){y | x +y = 3,x ∈N ,y ∈N }(4){ x ∈R | x 3-2x 2+x =0}小结:常用数集的记法与作用.例4 完成下列各题:(1)若集合A ={ x |ax +1=0}=∅,求实数a 的值;(2)若-3∈{ a -3,2a -1,a 2-4},求实数a .小结:集合与元素之间的关系.2.练习:(1)用列举法表示下列集合:①{ x|x+1=0};②{ x|x为15的正约数};③{ x|x为不大于10的正偶数};④{(x,y)|x+y=2且x-2y=4};⑤{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,3}};⑥{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}.(2)用描述法表示下列集合:①奇数的集合;②正偶数的集合;③{1,4,7,10,13}五、回顾小结(1)集合的概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集;(2)集合的表示——列举法、描述法以及Venn图;(3)集合的元素与元素的个数;(4)常用数集的记法.六、作业课本第7页练习3,4两题.。
高中数学(苏教版必修一)教师用书第1章 1.1 第1课时 集合的含义 Word版含解析
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.集合的含义及其表示第课时集合的含义.通过实例理解并掌握集合的有关概念..初步理解集合中元素的三个特征.(重点).体会元素与集合的属于关系.(重点).掌握常用数集及其专用符号,初步认识用集合语言表示有关数学对象.(重点、易错易混点)[基础·初探]教材整理集合的含义阅读教材开始至倒数第四自然段,完成下列问题..元素与集合的概念确定的一般地,一定范围内某些、不同的对象的全体构成一个集合.集合每一个中的对象称为该集合的元素,简称元..集合中元素的特性确定性集合中元素的特性:、、.无序性互异性判断(正确的打“√”,错误的打“×”)()漂亮的花可以组成集合.( ) ()在一个集合中可以找到两个(或两个以上)相同的元素.( )【解析】()×.因为“漂亮”没有明确的标准,其不满足集合中元素的确定性.()×.因为集合中的元素具有互异性,故在一个集合中一定找不到两个(或两个以上)相同的元素.【答案】()×()×教材整理元素与集合的关系阅读教材最后三个自然段,完成下列问题..元素与集合的表示()元素的表示:通常用小写拉丁字母,,,表示集合中的元素.…,,,()集合的表示:通常用大写拉丁字母表示集合.….元素与集合的关系∈),是集合中的元素,记作()属于(符号:,读作∈.“”属于),不是集合中的元素,记作∉()不属于(符号:或∉或.,读作”不属于“.常用数集及表示符号用“∈”、“∉”填空..;-;;*;.【解析】因为不是自然数,故∉;因为-是整数,故-∈;因为是实数,故∈;因为不是正整数,故∉*;因为是有理数,故∈.。
高中数学必修一教案-第一课时 集合的含义
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1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义1.通过实例了解集合的含义.(难点)2.掌握集合中元素的三个特性.(重点)3.体会元素与集合的“属于”关系,记住常用数集的表示符号并会应用.(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 集合的含义阅读教材P2~P3“思考”以上部分,完成下列问题.1.元素与集合的概念(1)元素:一般地,我们把研究对象统称为元素.(2)集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).2.集合中元素的特性集合中元素具有三个特性:确定性、互异性、无序性.3.集合的相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称两个集合是相等的.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合.( )(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的.( ) (3)由-1,1,1组成的集合中有3个元素.( )【解析】 (1)×.因为“优秀”没有明确的标准,其不满足集合中元素的确定性.(2)√.根据集合相等的定义知,两个集合相等.(3)×.因为集合中的元素要满足互异性,所以由-1,1,1组成的集合有2个元素-1,1.【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 元素与集合的关系阅读教材P 3“思考”以下至“列举法”以上的内容,完成下列问题. 1.元素与集合的表示(1)元素的表示:通常用小写拉丁字母a ,b ,c ,…表示集合中的元素. (2)集合的表示:通常用大写拉丁字母A ,B ,C ,…表示集合. 2.元素与集合的关系(1)属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A ,记作a ∈A . (2)不属于:如果a 不是集合A 中的元素,就说a 不属于集合A ,记作a ∉A . 3.常用数集及符号表示用“∈”或“∉”填空: 12____N ;-3____Z ;2____Q ;0____N *;5____R. 【解析】 因为12不是自然数,所以12∉N ;-3是整数,所以-3∈Z;因为2不是有理数,所以2∉Q ;0不是非零自然数,所以0∉N *;因为5是实数,所以5∈R.【答案】 ∉ ∈ ∉ ∉ ∈[小组合作型]集合的含义下列所给的对象能构成集合的是________.【导学号:97030000】①所有的正三角形;②比较接近1的数的全体;③某校高一年级所有16岁以下的学生;④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合;⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员;⑥ 2的近似值的全体.【精彩点拨】判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有确定性.【自主解答】①能构成集合,其中的元素满足三条边相等;②不能构成集合,因为“比较接近1”的标准不明确,所以元素不确定,故不能构成集合;③能构成集合,其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”;④能构成集合,其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”;⑤不能构成集合,因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的,故不能构成集合;⑥不能构成集合,因为“2的近似值”未明确精确到什么程度,因此不能断定一个数是不是它的近似值,所以不能构成集合.【答案】①③④判断给定的对象能不能构成集合就看所给的对象是不是具有确定性,同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性.[再练一题]1.下列各组对象中不能构成集合的是( )A.佛岗中学高一班的全体男生B.佛岗中学全校学生家长的全体C.李明的所有家人D.王明的所有好朋友【解析】A中,佛岗中学高一班的全体男生,满足集合元素的确定性,故可以构成集合;B中,佛岗中学全校学生家长的全体,满足集合元素的确定性,故可以构成集合;C中,李明的所有家人,满足集合元素的确定性,故可以构成集合;D中,王明的所有好朋友,不满足集合元素的确定性,故不可以构成集合.故选D.【答案】 D元素与集合的关系给出下列6个关系:①22∈R,②3∈Q,③0∉N,④4∈N,⑤π∈Q,⑥|-2|∉Z.其中正确命题的个数为( )A.4 B.3C.2 D.1【精彩点拨】首先明确字母R,Q,N,Z表示的数集的意义,再判断所给的数与数集的关系是否正确.【自主解答】R,Q,N,Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集,所以①④正确,因为0是自然数,3,π都是无理数,所以②③⑤⑥不正确.【答案】 C1.在求解时常因混淆数集Q,N,R及Z的含义致误.2.判断一个元素是不是某个集合中的元素,关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性.[再练一题]2.用符号“∈”或“∉”填空.若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0)________A,(1,1)______A,(-1,1)______A.【解析】第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y=x表示,显然(0,0),(1,1)都在直线y=x上,(-1,1)不在直线上.∴(0,0)∈A,(1,1)∈A,(-1,1) ∉A.【答案】∈∈∉[探究共研型]探究1 “北京市的高楼”能否组成一个集合?“北京市高于100米的楼”能否组成一个集合?【提示】“北京市的高楼”不能组成一个集合,因为“高楼”没有明确的标准,而“北京市高于100米的楼”能组成一个集合,因为标准是确定的.探究2 “小于4的自然数”构成的集合中有哪些元素?甲同学的答案是0,1,2,3;乙同学的答案是3,2,1,0,他们的回答都正确吗?由此说明什么?【提示】两个同学的回答都是正确的.由此说明集合中的元素是没有先后顺序的,这就是集合中元素的无序性.探究2 若a和a2都是集合A中的元素,则实数a的取值范围是什么?【提示】因为a和a2都是集合A中的元素,所以a≠a2,即a≠0且a≠1.已知集合A含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.【精彩点拨】按a=1或a=a2分两类分别求解实数a的值,注意验证集合A中元素的互异性.【自主解答】由题意可知,a=1或a2=a,(1)若a=1,则a2=1,这与a2=1相矛盾,故a≠1.(2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0.1.本题按-3=a-3或-3=2a-1或-3=a2-4为标准分类,从而做到“不重不漏”;在解含字母的问题中,常常采用分类讨论的思想,注意分类标准的统一和明确.2.本题在求解的过程中,常因忽视检验集合中元素的互异性,导致产生增解-1.[再练一题]3.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m为( ) 【导学号:97030001】A.2 B.3C.0或3 D.0,2,3均可【解析】由2∈A可知:若m=2,则m2-3m+2=0,这与m2-3m+2≠0相矛盾;若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,当m=0时,与m≠0相矛盾,当m =3时,此时集合A的元素为0,3,2,符合题意.【答案】B1.下列对象不能构成集合的是( )①我国近代著名的数学家;②所有的欧盟成员国;③空气中密度大的气体.A.①② B.②③C.①②③ D.①③【解析】研究一组对象能否构成集合的问题,首先要考查集合中元素的确定性.①中的“著名”没有明确的界限;②中的研究对象显然符合确定性;③中“密度大”没有明确的界限.故选D.【答案】 D2.下列三个关系式:①5∈R;②14∉Q;③0∈Z.其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.0【解析】①正确;②因为14∈Q,错误;③0∈Z,正确.【答案】 B3.已知集合A中只有一个元素1,若|b|∈A,则b等于( )【导学号:97030002】A.1 B.-1C.±1 D.0【解析】由题意可知|b|=1,∴b=±1.【答案】 C4.a,b,c,d为集合A的四个元素,那么以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是( )A.矩形B.平行四边形C.菱形D.梯形【解析】由于集合中的元素具有“互异性”,故a,b,c,d四个元素互不相同,即组成四边形的四条边互不相等.【答案】 D5.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,试求实数a的值.【解】∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1,若-3=a-3,则a=0,此时集合A中含有两个元素-3,-1,符合题意;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合题意.综上所述,a=0或a=-1.。
1.1.1 高中必修一数学教案《集合及其表示方法》
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高中必修一数学教案《集合及其表示方法》教材分析集合是中学数学的一个重要的基本概念,集合语言是现代数学的基本语言。
在小学数学中,就渗透了集合的初步知识,初中阶段更进一步应用集合的语言表示数学对象。
例如,在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集。
集合知识安排在高中数学的开始,是因为在高中数学中,这些知识与其他内容联系密切,它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。
学情分析学生在初中阶段的学习中,已经有了对集合的初步认知,在本节课的学习中,学生可能会对集合的表示方法:列举法和描述法有所混淆,需要通过练习达到标准要求。
高中生好奇、好表现,因此一定要用生动活泼的方式讲解知识。
教学目标1、理解集合的含义,元素与集合之间的属于关系。
2、掌握常用数集及其专用记号,会用列举法或描述法表示集合。
3、通过生活实例,帮助学生理解、归纳出集合的含义,培养学生抽象概括的能力,增强学习的积极性。
教学过程一、情境导学在生活与学习中,为了方便,我们经常要对事物进行分类。
例如,图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的,作文学习可按照文体,如记叙文、议论文等进行,整数可以分成正整数、负整数和零这三类……数学中还有其它分类的例子,我们一起来探究。
二、学习新知1、集合、元素、空集(1)集合一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合。
(有时简称为集)(2)元素组成集合的每个对象都是集合的元素。
(3)元素与集合的关系:若a是集合A的元素,则记作a ∈ A,读作“a属于A”。
若a不是集合A的元素,则记作a ∉A,读作“a不属于A”。
例如:①如果A是由所有小于10的自然数组成的集合,则0∈A,0.5 ∉A。
②如果B是由方程x2= 1的所有解组成的集合,则-1∈B,0 ∉B,1∈B。
③如果C是平面上与定点O的距离等于定长r(r>0)的点组成的集合,则对于以点O为圆心、r为半径的圆O上的每个点P来说,都有P∈C。
(4)空集一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作∅。
苏教版高中数学必修一集合的含义及其表示教案(5)
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《集合的含义及其表示》教案【教材分析】高中数学教材第一章是高中数学的基础,学好这一章内容是十分关键的。
第一章主要包括集合与函数概念,内容有一定的抽象性,研究的方法也与初中数学不一样,因此设计好这一章内容的教学显得尤为重要。
教材中对集合的定位是将集合作为一种语言来学习,希望通过教学使学生感受到用集合表示数学内容时的简洁性、准确性,并使学生能用集合语言简洁、准确地表示数学对象,为他们以后的学习和发展打下一定的基础。
但在教学中不要过分强调细枝末节的讲解和训练,避免人为地编制一些繁难的偏题。
【教学目标】通过学习,学生达到以下要求:初步理解集合的概念,知道常用数集极其记法;初步了解“属于”关系的意义;初步了解有限集、无限集、空集的意义【教学的重点与难点】重点:集合的概念与表示方法。
难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合【教学流程】1.问题引入:(1)向全班同学介绍自己的家庭;(2)介绍自己初中时的学校;(3)介绍自己现在的班级。
2.集合的概念:一般地,某些指定对象的全体就成为一个集合,也简称集。
集合中的每一个对象叫做这个集合的元素。
☆集合是没有给出严格定义的数学概念,与初中时学习过的点、线、面类似。
☆元素与集合之间有属于与不属于两种。
-----练习:(1)课本P6:1(1)(2)一条直线可看作由组成的集合;一个平面可看作由组成的集合;一个圆可看作由组成的集合。
☆“对象”即集合中的“元素”不拘泥与“数”或“点”3.练习巩固:-----①.考察下列每组对象是否能构成一个集合?(1)所有的好人(2)不超过20的非负数(3)我们班16周岁以下的学生(4)高个子的人(5)充分接近的实数小结:给定的集合,它的元素必须是确定的;一个给定集合中的元素是互不相同的只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的。
-----②.(1)满足的实数能否构成一个集合,为什么?(2)满足的实数能否构成一个集合,为什么?-----③.已知集合M={a,b,c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长,那么此三角形一定不是()。
新课标必修一示范教案(1.1集合的含义与表示)
![新课标必修一示范教案(1.1集合的含义与表示)](https://img.taocdn.com/s3/m/e5136f202af90242a895e52e.png)
1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示整体设计三维目标1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.重点难点教学重点:集合的基本概念与表示方法.教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.课时安排1课时设计方案(一)教学过程导入新课思路1.军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.思路2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时,教师对学生的活动给予评价.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.推进新课新知探究提出问题①请我们班的全体女生起立!接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊?”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立!他们能不能构成一个集合啊?③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系?⑤世界上最高的山能不能构成一个集合?⑥世界上的高山能不能构成一个集合?⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质?⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素?⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质?⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗?这说明集合中的元素具有什么性质?由此类比实数相等,你发现集合有什么结论?讨论结果:①能.②能.③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.⑤能,是珠穆朗玛峰.⑥不能.⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.⑧3个.⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.提出问题阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.活动:先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电话号码一样.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握.讨论结果:常见数集的专用符号.N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合);N*或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合);Z:整数集(全体整数的集合);Q:有理数集(全体有理数的集合);R:实数集(全体实数的集合).提出问题①前面所说的集合是如何表示的?②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合?③集合共有几种表示法?活动:①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.②教师可以举例帮助引导:例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意:大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,…,100},自然数集N:{0,1,2,3,4,…,n,…};区分a 与{a}:{a}表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序;相同的元素不能出现两次.又例如,不等式x-3>2的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示.可以表示为{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法是描述法.③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.讨论结果:①方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成的集合记为A等等;方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等.②列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x 是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.应用示例思路11.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 活动:学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.在选项A 、C 、D 中的元素符合集合的确定性;而选项B 中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合.答案:B变式训练1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工答案:D2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是.分析:实数x 的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x 2-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x 的取值范围是{x|x<0或0<x<3或x>3}.答案:{x|x<0或0<x<3或x>3}点评:本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合.2.用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x 2=x 的所有实数根组成的集合;(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.活动:学生先思考或讨论列举法的形式,展示解答过程.当学生出现错误时,教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入大括号“{}”内,并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的.提示学生注意以下方面:(1)自然数中包含零;(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x 2=x 的根是x=0,x=1;(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x 2=x 的所有实数根组成的集合为B,那么A={0,1}.(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.点评:本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.变式训练用列举法表示下列集合:(1)所有绝对值等于8的数的集合A;(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.答案:(1)A={-8,8};(2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.活动:先让学生回顾列举法表示集合的步骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时,教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10<x<20,x∈Z.(重点引导用描述法表示集合)用描述法表示集合时,用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.在(1)中利用条件中现有元素代表符号x,集合中元素的共同特征就是满足方程x2-2=0.在(2)的条件中没有元素代表符号,故要先设出,用一个小写英文字母表示即可;集合中元素的共同特征有两个:一是大于10小于20(用不等式表示),二是整数(用元素与集合的关系符号“∈”来表示).解:(1)设方程x2-2=0的实根为x,它满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.-,因此,用列举法表示为方程x2-2=0的两个实数根为2,2-}.A={2,2(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10<x<20,因此,用描述法表示为B={x∈Z|10<x<20}.大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素;(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式.描述法适合表示有无数个元素的集合.注意:当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示,否则用描述法表示.思路21.(1)A={1,3},判断元素3,5和集合A 的关系,并用符号表示.(2)所有素质好的人能否表示为集合?(3)A={2,2,4}表示是否准确?(4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?活动:如果学生没有解题思路,让学生思考以下知识:(1)元素与集合的关系及其符号表示;(2)集合元素的性质;(3)两个集合相同的定义.解:(1)根据元素与集合的关系有两种:属于(∈)和不属于(∉),知3属于集合A,即3∈A,5不属于集合A,即5∉A.(2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A 不能表示为集合.(3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A={2,4}.(4)因其元素相同,A 与B 表示同一集合.变式训练1.数集{3,x,x 2-2x}中,实数x 满足什么条件?解:集合元素的特征说明{3,x,x 2-2x}中元素应满足⎪⎩⎪⎨⎧-≠-≠≠,23,2,322x x x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠≠,032,3,322x x x x x 也就是⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠≠,1,0,3x x x 即满足x≠-1,0,3. 2.方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},则a=________,c=_______. 分析:方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},那么21、31是方程的两根, 即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙-=+,3121,53121ac a 得⎩⎨⎧==-1,c -6,a 那么a=-6,c=-1.答案:6 -13.集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2-3x+2=0的解构成,其中k ∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值.解:由于A 中元素是关于x 的方程kx 2-3x+2=0(k ∈R)的解,若k=0,则x=32,知A 中有一个元素,符合题设; 若k≠0,则方程为一元二次方程,当Δ=9-8k=0即k=89时,kx 2-3x+2=0有两相等的实数根,此时A 中有一个元素. 综上所述k=0或k=89. 4.2006山东高考,理1定义集合运算:A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y ∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A ⊙B 的所有元素之和为…( )A.0B.6C.12D.18分析:∵x ∈A,∴x=0或x=1.当x=0,y ∈B 时,总有z=0;当x=1时,若x=1,y=2时,有z=6;当x=1,y=3时,有z=12.综上所得,集合A ⊙B 的所有元素之和为0+6+12=18.答案:D注意:①判断元素与此集合的关系时,用列举法表示的集合,只需观察这个元素是否在集合中即可.用符号∈,表示,注意这两个符号的左边写元素,右边写集合,不能互换它们的位置,否则没有意义.②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合,否则不能构成集合. ③用列举法表示的集合,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同,那么这两个集合就相等,否则不相等.2.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x 2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数}; (5){x|x-36∈Z ,x ∈Z }. 活动:教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素,写在大括号内即可.提示学生注意:(2)中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;(5)中3-x 是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6.解:(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3,故用列举法表示为{1,3};(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};(3)方程x 2-9=0的解为-3、3,故用列举法表示为{-3,3};(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};(5)满足x-36∈Z 的x 有3-x=±1、±2、±3、±6,解之,得x=2、4、1、5、0、6、-3、9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}.变式训练用列举法表示下列集合:(1)x 2-4的一次因式组成的集合;(2){y|y=-x 2-2x+3,x ∈R ,y ∈N };(3)方程x 2+6x+9=0的解集;(4){20以内的质数};(5){(x,y)|x 2+y 2=1,x ∈Z ,y ∈Z };(6){大于0小于3的整数};(7){x ∈R |x 2+5x-14=0};(8){(x,y)|x ∈N 且1≤x<4,y -2x=0};(9){(x,y)|x+y=6,x ∈N ,y ∈N }.思路分析:用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地用“,”隔开放在大括号内.解:(1)因x2-4=(x-2)(x+2),故符合题意的集合为{x-2,x+2};(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即y≤4.又y∈N,∴y=0、1、2、3、4,故{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4};(3)由x2+6x+9=0得x1=x2=-3,∴方程x2+6x+9=0的解集为{-3};(4){20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19};(5)因x∈Z,y∈Z,则x=-1、0、1时,y=0、1、-1,那么{(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)};(6){大于0小于3的整数}={1,2};(7)因x2+5x-14=0的解为x1=-7,x2=2,则{x∈R|x2+5x-14=0}={-7,2};(8)当x∈N且1≤x<4时,x=1、2、3,此时y=2x,即y=2、4、6,那么{(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0}={(1,2),(2,4),(3,6)};(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.点评:本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合:先明确集合中的元素,再把元素写在大括号内并用逗号隔开,相同的元素写成一个.3.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式x-7<3的解集.活动:让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点?如何表示数轴上的点?如何表示不等式的解?学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:(1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,其特征是满足y=x2;(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式化为x<a的形式,则这些实数的特征是满足x<a.解:(1)二次函数y=x2上的点(x,y)的坐标满足y=x2,则二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2};(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6};(3)不等式x-7<3的解是x<10,则不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.点评:本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.变式训练用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)方程组⎩⎨⎧==+1y -x 1,y x 的解的集合; (7){1,3,5,7,…};(8)x 轴上所有点的集合;(9)非负偶数;(10)能被3整除的整数.解:(1){(x,y)|2x+y=5};(2){x|0≤x<10,x ∈Z };(3){(x,y)|ax+by=0(ab≠0)};(4){x||x|>3};(5){(x,y)|xy<0};(6){(x,y)|⎩⎨⎧==+1y -x 1y x }; (7){x|x=2k-1,k ∈N *};(8){(x,y)|x ∈R ,y=0};(9){x|x=2k,k ∈N };(10){x|x=3k,k ∈Z }.知能训练课本P 5练习1、2.【补充练习】1.下列对象能否组成集合:(1)数组1、3、5、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;(3)满足3x-2>x+3的全体实数;(4)所有直角三角形;(5)美国NBA 的著名篮球明星;(6)所有绝对值等于6的数;(7)所有绝对值小于3的整数;(8)中国男子足球队中技术很差的队员;(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.答案:(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合,(5)(8)不能组成集合.2.(口答)说出下面集合中的元素:(1){大于3小于11的偶数};(2){平方等于1的数};(3){15的正约数}.答案:(1)其元素为4,6,8,10;(2)其元素为-1,1;(3)其元素为1,3,5,15.3.用符号∈或∉填空:(1)1______N ,0______N ,-3______N ,0.5______N ,2______N ;(2)1______Z ,0______Z ,-3______Z ,0.5______Z ,2______Z ;(3)1______Q ,0______Q ,-3______Q ,0.5______Q ,2______Q ;(4)1______R ,0______R ,-3______R ,0.5______R ,2______R .答案:(1)∈ ∈ ∉ ∉ ∉(2)∈ ∈ ∈ ∉ ∉(3)∈ ∈ ∈ ∈ ∉(4)∈ ∈ ∈ ∈ ∈4.判断正误:(1)所有属于N 的元素都属于N *. ( )(2)所有属于N 的元素都属于Z . ( )(3)所有不属于N *的数都不属于Z . ( )(4)所有不属于Q 的实数都属于R . ( )(5)不属于N 的数不能使方程4x=8成立. ( )答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√5.分别用列举法、描述法表示方程组⎩⎨⎧==+273y -2x 2,y 3x 的解集.解:因⎩⎨⎧==+273y -2x 2,y 3x 的解为⎩⎨⎧==-7.y 3,x 用描述法表示该集合为{(x,y)|⎩⎨⎧==+273y -2x 2y 3x }; 用列举法表示该集合为{(3,-7)}.拓展提升问题:集合A={x|x=a+2b,a ∈Z ,b ∈Z },判断下列元素x=0、121-、231-与集合A 之间的关系.活动:学生先思考元素与集合之间有什么关系,书写过程,将元素x 化为a+2b 的形式,再判断a 、b 是否为整数.描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征,那么判断一个元素是否属于集合时,转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可.解:由于x=a+b 2,a ∈Z ,b ∈Z ,∴当a=b=0时,x=0.∴0∈A. 又121-=2+1=1+2,当a=b=1时,a+b 2=1+2,∴121-∈A. 又231-=3+2,当a=3,b=1时,a+b 2=3+2,而3∉Z, ∴231-∉A.∴0∈A,121-∈A,231-∉A.点评:本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系.课堂小结本节学习了:(1)集合的概念;(2)集合的表示法;(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤. 作业课本P 11习题1.1A 组2、3、4.设计感想集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的概念较难理解,因此设计时采用渐进式学习,而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受,在设计时注重让学生自己学习,重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通过解决一系列具体问题,使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点;针对不同问题,能选用合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的问题,如集合常见表示法的写法,常见数集及其记法应直接给出,以避免出现不必要的混乱.对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.引导学生养成良好学习习惯,最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标.。
高中数学 第一章 第一节 集合的含义及其表示(第1课时)
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解 (1)“高个子”没有明确的标准,因此不能构成集合.(2)
任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过20的非负
数”,即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”,两者必居其一,且
仅居其一,故“不超过20的非负数”能构成集合;(3)“一些
点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确
定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集
(2)
不能
所以所给对象不确定,故不能构成集合
“比较接近 1”的标准不明确,所以所给
(3)
不能
对象不确定,故不能构成集合
(4)
能
其中的元素是“16岁以下的学生”
要点二 元素与集合的关系 例 2 所给下列关系正确的序号是________.
①-12∈R;② 2∉Q;③0∈N*;④|-3|∉N*. 答案 ①② 解析 -12是实数, 2是无理数,∴①②正确.N*表示正整 数集,∴③和④不正确.
求实数a的值. 解 ∵-3∈B,∴-3=a-3或-3=2a-1. 若-3=a-3,则a=0. 此时集合B含有两个元素-3,-1,符合题意; 若-3=2a-1,则a=-1. 此时集合B含有两个元素-4,-3,符合题意. 综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
规律方法 1.由于集合B含有两个元素,-3∈B,本题以-3 是否等于a-3为标准,进行分类,再根据集合中元素的互异 性对元素进行检验.
确定的 不同的
(2)记法示大符写号拉丁字母
定义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N
N*或 N+ Z
Q
R
2.元素
(元1).定义:集合中的每一个对象
称为该集合的元素,简称
(2)记法,常用 小写拉丁字母 表示.
高中数学1.1集合的含义及其表示方法教案苏教版必修
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第一章集合§1.1 集合的含义及其表示方法教学目标:(1)使学生理解集合的含义,知道常用数集及其记法;(2)使学生初步了解属于关系和集合相等的意义;初步了解有限集、无限集、空集的意义;(3)初步掌握集合的两种表示方法—列举法、描述法;并能正确地表示一些简单的集合。
教学重点:集合的含义及表示方法.教学难点:集合元素的三个特征,正确表示一些简单集合.学法指导:学生依集合概念的要求、集合元素的特征,在教师指导下,能自己举出符合要求的实例,加深对概念的理解、特征的掌握.教学过程:一、问题情境1.介绍自己;2.问题:象“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同特征?二、学生活动1.介绍自己:仿照所给例子让学生作自我介绍;2.列举生活中的集合实例;3.分析、概括各种集合实例的共同特点。
三、建构数学1.老师引导学生归纳总结并指导学生给出集合的含义一般地,一定范围内某些___________、____________对象的全体构成一个集合。
集合中______________称为该集合的元素,简称元.集合用____________________表示,元素用__________________表示。
由此从所给问题可知,集合元素具有以下三个特征:(1)确定性集合中的元素必须是确定的,也就是说,对于一个给定的集合,其元素的意义是明确的.如上例(1)、再如{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.(2)互异性集合中的元素必须是互异的,也就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.如上例(3),再如A ={1,1,1,2,4,6}应表示为A ={1,2,4,6}.(3)无序性集合中的元素是无先后顺序,也就是说,对于一个给定集合,它的任何两个元素都是可[师]请同学们熟记上述符号及其意义.元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于”(∉也可表示为∈)两种.如 A ={2,4,8,16} 4___ A 8__A 32__ A请同学们考虑:A ={2,4},B ={{1,2},{2,3},{2,4},{3,5}},问题:A 与B 的关系如何?4.集合的表示方法:(1)列举法:将集合中元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内,如{北京,上海,天津,重庆}等。
高中数学必修一 苏教版高一 1.1.1集合的含义及其表示 教案
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1.1.1集合的含义及其表示教学目标:(1)初步理解集合的含义,知道常用数集及其记法;(2)初步了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;(3)初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. 教学重点:集合的含义及表示方法.教学过程:一、问题情境:1.情境:介绍自己;2.问题:像“家庭”、“学校”、“男生”、“班级”、“女生”,等概念,有什么共同的特征?二、学生活动1.介绍自己:仿照所给例子,让学生作自我介绍;2.列举生活中的集合实例;3.分析,概括各种集合实例的共同特征.在一定范围内,按一定标准对所讨论的事物进行分类,分类后,我们会用一些术语来描述它们.如“群体”、“全体”“集合”等.三、建构数学1.引导学生归纳总结并给出集合的含义(描述性概念);一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构成一个集合(set ).集合中的每一个对象称为该集合的元素(element ),简称元“中国的直辖市”构成一个集合,该集合的元素就是北京、天津、上海和重庆.“young 中的字母”构成一个集合,该集合的元素就是y,o,u,n,g.“book 中的字母”也构成一个集合,该集合的元素就是b,o,k.2.常用数集的记法(N ,*N N +,Z ,Q ,R 以及符号∈,∉)3.介绍集合的表示方法(列举法、描述法以及Venn 图);4.有关集合知识的历史简介.四、数学应用1.例题例1:(1)求方程2230x x --=的解集(2)求不等式235x ->的解集解完后介绍有限集、无限集、空集的概念.例2:求方程210x x ++=所有实数解构成的集合.2.练习(1)请学生各举一例有限集、无限集、空集.(2)第7页练习3填空(口答)(3)用列举法表示下列集合: ①{,}x x x N ∈是15的约数; ②{(,){1,2},{1,2}}x y x y ∈∈; ③{(,)2,24}x y x y x y +=-=; ④{,}x x n N ∈n =(-1); ⑤{(,)3216,,}x y x y x N y N +=∈∈.(4)用描述法表示下列集合:①{}1,4,7,10,13②{}2,4,6,8,10-----五、回顾小结本节课学习了以下内容:1.集合的有关概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集;2.集合的表示方法——列举法描述法以及Venn 图3.常用数集的定义及记法.4. 集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.六、课外作业第7页第2题,第4题.注: (1)应区分∅,{}∅,}0{,0等符号的含义;(2)自然数集包括0.(3)非负整数集内排除0的集.记作*N ,Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集,也这 样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成*Z附录:集合论的诞生韩雪涛集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支:微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初,许多迫切问题得到解决后,出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中,康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集,这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是:把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说:“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘,但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因,在数学发展的历程中,数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷,并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学,从而进入了一片未开垦的处女地,开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集,用字母N来表示.”学过集合那一章后,同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的,一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中,永远完成不了,是潜在的,而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说,就是“……我反对将无穷量作为一个实体,这在数学中是从来不允许的.所谓无穷,只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时,他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西,这样他就肯定了作为完成整体的无穷,这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利,康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步,他以完全前所未有的方式,继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论,创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同,用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势,即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上,自然数集与正偶数集具有了相同的个数,他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势,因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时,一个很自然的想法是无穷集是清一色的,都是可数集.但出乎意料的是,他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数,而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟,如同有人描述的那样:“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星;而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时,人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果!然而,事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上,盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别,有着不同的数量级,可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功,并且根据无穷性有无穷种的学说,对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列,他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵,最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论,描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲,康托尔的关于无穷的这些理论,引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”,有人嘲讽超限数是“雾中之雾”,称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新,由于他开创了一片全新的领域,提出又回答了前人不曾想到的问题,他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时,或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始,曾遭到许多数学家的激烈反对,康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中,他得了精神分裂症,几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年,最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发,借助集合论的概念,便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上,著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天,我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久,集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R.现在问R是否属于R?如果R属于R,则R满足R的定义,因此R不应属于自身,即R不属于R;另一方面,如果R不属于R,则R不满足R的定义,因此R应属于自身,即R属于R.这样,不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后,众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年,策梅罗提出公理化集合论,后经改进形成无矛盾的集合论公理系统,简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上,从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段:公理化集合论.与此相对应,在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论,因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立,标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利,他大声疾呼:没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今,时间已经过去了一百多年,在这一段时间里,数学又发生了极其巨大的变化,包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时,我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察,它是数学天才的最优秀作品,是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.注:整系数一元n次方程的根,叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下,超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.。
苏教版高中数学知识点必修1集合、函数
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高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念〖1.1 〗集合【1.1.1 】集合的含义与表示( 1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.( 2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N 或 N 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集,R 表示实数集 .( 3)集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 a M ,或者 a M ,两者必居其一.(4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.③描述法: { x | x 具有的性质 } ,其中 x 为集合的代表元素.④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.( 5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集 . ②含有无限个元素的集合叫做无限集叫做空集 ( ).【 1.1.2 】集合间的基本关系( 6)子集、真子集、集合相等名称记号意义性质. ③不含有任何元素的集合示意图A B(或子集B A)A B真子集(或B A)A中的任一元素都属于 BA B,且 B中至少有一元素不属于A(1)A A(2) A(3)若 A B 且 B C,则 A C(4)若 A B 且 B A,则 A B( 1)A ( A 为非空子集)(2)若 A B 且 B C,则A CA(B)B A或B A集合A 中的任一元素都BA B(1)A相等属于 B, B 中的任A(2)B一元素都属于 AA(B)( 7)已知集合A 有 n(n 1) 个元素,则它有2n个子集,它有 2n1个真子集,它有 2n1个非空子集,它有2n 2 非空真子集 .【 1.1.3 】集合的基本运算( 8)交集、并集、补集名称记号意义性质{ x |x A, 且(1) A A AA (2) A交集B(3) A B Ax B}A B B{ x |x A, 或(1) A A AA (2) A A并集B(3) A B Ax B}A B B{ x | x U , 且x A} 痧U(A B) ( U A)(?U B)1 A(e UA)补集e U A痧U(A B) ( U A) (?U B)2 A (e U A) U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法( 1)含绝对值的不等式的解法示意图A B A B不等式解集| x | a( a 0) { x | a x a}| x | a(a 0) x | x a 或 x a}把 ax b 看成一个整体,化成 | x | a ,| ax b | c,| ax b | c(c 0)| x | a(a 0) 型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法判别式b24ac 0 0 0二次函数y ax2bx c(a 0)的图象O 一元二次方程b b24acax2bx c 0(a 0) x1,22ax1x2b无实根(其中 x1 x2 ) 2a的根ax2bx c 0(a 0) { x | x xx2} { x | x b }R1或 x2a的解集ax2bx c 0(a 0) { x |x1x x2}的解集〖1.2 〗函数及其表示【1.2.1 】函数的概念( 1)函数的概念①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么这样的对应(包括集合A , B 以及 A 到 B 的对应法则f)叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A B .②函数的三要素: 定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.( 2)区间的概念及表示法①设 a,b 是两个实数,且 a b,满足 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [a,b] ;满足 a xb的实数 x 的集合叫做开区间,记做 (a, b) ;满足 a x b ,或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 [a ,b ), (a,b] ;满足 x a, x a, x ,b x 的b实数 x 的集合分别记做[ a, ),( a, ),( , b],( ,b) .注意:对于集合 { x | a x b} 与区间 (a,b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须a b ,(前者可以不成立,为空集;而后者必须成立).(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:① f ( x) 是整式时,定义域是全体实数.② f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③ f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.⑤ y tan x 中, x k (k Z ) .2⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若 f (x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ,其复合函数 f[ g( x)] 的定义域应由不等式 a g( x) b 解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.( 4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数y f (x) 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a( y) x2b( y) x c( y) 0 ,则在 a( y) 0 时,由于 x, y 为实数,故必须有b2 ( y) 4a( y)c( y),从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.【 1.2.2 】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.( 6)映射的概念①设A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及 A 到 B 的对应法则f )叫做集合A到B的映射,记作f :AB .②给定一个集合A 到集合B 的映射,且a A,bB .如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.〖 1.3 〗函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大(小)值( 1)函数的单调性①定义及判定方法函数的定义 图象性 质判定方法 函数的单调性 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个 自变量的值 x1 、x2, 当x1<..x2 时,都有 f(x 1)<f(x 2) , . .........那么就说 f(x) 在这个区 间上是 增函数 . ...如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2,当x1<..x2 时,都有 f(x1)>f(x 2) ,. .........那么就说 f(x) 在这个区 间上是 减函数 .... y y=f(X) f(x 2 ) f(x 1 ) o 1 x 2 x x y y=f(X)f(x ) 1 f(x ) 2 o x 1 x 2 x ( 1)利用定义 ( 2)利用已知函数的单调性 ( 3)利用函数图象(在某个区间图象上升为增)( 4)利用复合函数( 1)利用定义( 2)利用已知函数的单调性( 3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减)( 4)利用复合函数②在公共定义域内, 两个增函数的和是增函数, 两个减函数的和是减函数,函数,减函数减去一个增函数为减函数.增函数减去一个减函数为增③对于复合函数 y f [ g( x)] ,令 u g ( x) ,若 y f (u) 为增, ug( x) 为增,则 y f [ g( x)] 为增;若 yf (u) 为 减 , u g( x) 为 减,则 yf [ g( x)] 为 增; 若 yf (u) 为 增,u g (x) 为减, 则y f [ g (x)] 为减;若 y f (u) 为减, u g( x) 为增,则 y f [ g (x)] 为减. ( 2)打“√”函数 f ( )a ( a 0) 的图象与性质 x xxf ( x) 分别在 (, a] 、[ a, ) 上为增函数,分别在y[ a,0) 、 (0, a ] 上为减函数.( 3)最大(小)值定义①一般地, 设函数 y f (x) 的定义域为 I ,如果存在实数Mo x满足:( 1)对于任意的x I ,都有 f ( x) M ;(2)存在 x0I ,使得 f ( x0 ) M .那么,我们称M 是函数 f (x) 的最大值,记作 f max ( x) M .②一般地,设函数 y f ( x) 的定义域为I ,如果存在实数m 满足:( 1)对于任意的 x I ,都有 f ( x) m ;( 2)存在 x0I ,使得f (x0 ) m .那么,我们称m 是函数 f ( x) 的最小值,记作f max ( x) m .【1.3.2 】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质函数的奇偶性定义图象判定方法如果对于函数f(x) 定义( 1)利用定义(要域内任意一个x ,都有先判断定义域是否f( - x)=-f(x) ,那么函数关于原点对称)..........( 2)利用图象(图f(x) 叫做奇函数....象关于原点对称)如果对于函数f(x) 定义( 1)利用定义(要域内任意一个x ,都有先判断定义域是否f( - x)=f(x) ,那么函数关于原点对称).........( 2)利用图象(图f(x) 叫做偶函数....象关于 y 轴对称)②若函数 f ( x) 为奇函数,且在x 0 处有定义,则f (0) 0 .③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域;②化解函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性);④画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换y f ( x)②伸缩变换h 0,左移h个单位y f (x h) y f( x)k 0,上移k个单位y f (x)kh 0,右移 | h|个单位k 0,下移 | k|个单位y f( x)0 1,伸1,缩yf( x)0 A 1,缩A 1,伸③对称变换y f (x) y Af( x)y f( x)x轴f ( x)y f( x)y轴yy f( x)yf( x) 原点 y f ( x) 直线 y xyf 1 ( x )yf ( x)y f( x) 去掉 y 轴左边图象y f (| x |)保留 y 轴右边图象,并作其关于 y轴对称图象yf ( x)( 2)识图保留 x 轴上方图象 y | f ( x) | 将 x 轴下方图象翻折上去对于给定函数的图象, 要能从图象的左右、 上下分别范围、 变化趋势、 对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系.( 3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数 ( Ⅰ)〖 2.1 〗指数函数【 2.1.1 】指数与指数幂的运算( 1)根式的概念①如果 n 1x a a R x R n ,且n N ,那么 x 叫做 a 的n 次方根.当 n 是奇数时, a 的n 次 , , , 方根用符号 na 表示;当 n 是偶数时, 正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 n a 表示; 0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.②式子 na 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为 偶数时,a0 .③根式的性质: ( na)n a ;当 n 为奇数时, n a n a ;当 n 为偶数时, n a n a (a 0)| a | (a 0) .a( 2)分数指数幂的概念mn m①正数的正分数指数幂的意义是:a n a ( a 0, , N , 且n 1) .0 的正分数指数幂等于0. m nm m②正数的负分数指数幂的意义是:a n ( 1 ) n n ( 1 )m( a 0,m, n N , 且 n1) . 0 的负分数a a指数幂没有意义. 注意口诀: 底数取倒数,指数取相反数.( 3)分数指数幂的运算性质① r s r s ( 0, , ) ② rs rs a a a a r s ( a ) a (a 0,r , s R) R()r r r (0, 0, ) ③ab a b a b r R【 2.1.2】指数函数及其性质( 4)指数函数函数名称指数函数定义函数 y a x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1 0 a 1y y a x y a x y图象y 1y 1(0,1)(0,1)O xO x 定义域R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ,即当x 0 时, y 1 .奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数a x 1 ( x 0) a x 1 (x 0)函数值的a x 1 ( x 0) a x 1 (x 0) 变化情况a x a x1 ( x 0) 1 (x 0)a 变化对图象的影响在第一象限内,a 越大图象越高;在第二象限内,a 越大图象越低.〖2.2 〗对数函数【2.2.1 】对数与对数运算( 1)对数的定义①若 a x N (a 0,且 a 1),则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作x log aN ,其中 a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:x log a N a x N ( a 0, a 1, N 0) .( 2)几个重要的对数恒等式log a 1 0 , log a a 1, log a a b b .( 3)常用对数与自然对数常用对数: lg N ,即 log 10 N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e 2.71828 ⋯).(4)对数的运算性质如果 a 0, a 1, M 0, N 0,那么①加法: log a M log a N log a (MN )②减法: log aMlog a N log a MN ③数乘: n log a M log a M n( nR) ④ a log a N N⑤ log a b M nn log a M (b 0, n R) ⑥换底公式: log aN logb N(b 0, 且 b 1)blog b a【 2.2.2 】对数函数及其性质( 5)对数函数函数名称 对数函数定义 函数 y log a x(a 0 且 a 1) 叫做对数函数 a 1 0 a 1x 1x1yy log a x yy log a x图象O(1,0)x(1,0)Ox定义域 (0, )值域R过定点 图象过定点 (1,0) ,即当x 1时, y 0 .奇偶性非奇非偶单调性在 (0, ) 上是增函数在 (0, ) 上是减函数log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1)函数值的 log a x 0 (x 1)log a x0 (x 1)变化情况log a x 0 (0 x 1)log a x0 (0 x 1)a 变化对 图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越靠低;在第四象限内,a 越大图象越靠高.(6) 反函数的概念设函数 y f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子y f ( x) 中解出 x ,得式子 x ( y) .如果对于 y 在 C 中的任何一个值, 通过式子 x( y) , 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子x( y)x表示 x 是 y 的函数,函数 x ( y) 叫做函数 y f ( x) 的反函数,记作 x f 1( y) ,习惯上改写成 y f 1( x) .( 7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式y f ( x) 中反解出xf 1 ( y) ; ③将 x f 1( y) 改写成 y f 1( x) ,并注明反函数的定义域.( 8)反函数的性质①原函数yf ( x) 与反函数yf 1 (x) 的图象关于直线 y x 对称. ②函数 y f (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1(x) 的值域、定义域.③若 P(a, b) 在原函数 y f (x) 的图象上,则 P '(b, a) 在反函数 y f 1( x) 的图象上.④一般地,函数 yf (x) 要有反函数则它必须为单调函数.〖 2.3 〗幂函数( 1)幂函数的定义一般地,函数 y x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, 是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质① 图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限 (图象关于 y 轴对称 );是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称 );是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0, ) 都有定义,并且图象都通过点(1,1) .③单调性:如果0 ,则幂函数的图象过原点,并且在[0,) 上为增函数.如果0 ,则幂函数的图象在(0, ) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与 y 轴.④奇偶性:当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数.当q(其中 p, q 互质,pq qp 和 q Z ),若 p 为奇数 q 为奇数时,则y x p是奇函数,若p 为奇数 q 为偶数时,则yx p是偶函数,q若 p 为偶数 q 为奇数时,则y x p是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数y x , x (0, ) ,当1 时,若 0x 1,其图象在直线y x 下方,若 x 1 ,其图象在直线 y x 上方,当1时,若 0x1 ,其图象在直线y x 上方,若 x1 ,其图象在直线y x下方.〖补充知识〗二次函数( 1)二次函数解析式的三种形式①一般式: f ( x) ax2bx c(a 0) ②顶点式: f (x) a( xh) 2k ( a 0) ③两根式:f ( x)a( x x1)( x x2 )( a 0) ( 2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式.③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f ( x) 更方便.( 3)二次函数图象的性质①二次函数 f ( x) ax2bx c(a 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为x b , 顶点坐标是2a( b , 4ac b2) .2a 4a②当 a 0 时,抛物线开口向上,函数在( , b ] 上递减,在[ b ,) 上递增,当x b 时,2a 2a 2af min ( x)4ac b20 时,抛物线开口向下,函数在( ,b b ) 上递减,当4a;当 a ] 上递增,在 [ ,2a 2ax b4ac b2时, f max (x) .2a4a③二次函数 f ( x)ax2bx c(a 0) 当b24ac 0 时,图象与 x 轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | | x1x2 | .|a|( 4)一元二次方程ax2bx c 0(a 0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程 ax2bx c 0(a 0) 的两实根为 x1, x2,且 x1x2.令 f ( x) ax2bxc ,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:号.①k<x1≤ x2 a ②对称轴位置: xb③判别式:④端点函数值符2ay ybf (k )0 a 0x2a O k Ok xx2x x x2x1 1xbf (k) 0 a2a②x1≤ x2< ky yf (k) 0ba 0x2aO x2O k x1k x x1x2xxb a 0f(k) 0 2a③x < k<x 2af( k) < 01y ya 0 f(k ) 0 O kx1 O kx1 x2xx2xf (k ) 0a 0④k1< x1≤ x2< k2ya 0 f (k 1 ) 0 f (k 2 ) 0 x 1 x 2 O k k 2 x 1yxb2a k 1 k 2 O x 1 x 2 xf(k ) 0xb1f ( k 2 )0 a 02a⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)< k2f( k1) f( k2)0,并同时考虑 f( k1)=0 或 f( k2)=0 这两种情况是否也符合yya 0f (k 1 ) 0f (k 1 ) 0x kk 2O 12O x 1x2xk 1 x 2 x k 1f (k 2 ) 0 a 0f (k 2 ) 0⑥k1< x1< k2≤ p1< x2< p2此结论可直接由⑤推出.( 5)二次函数f (x) ax 2bx c(a 0) 在闭区间 [ p, q] 上的最值 设 f (x) 在区间 [ p, q] 上的 最大值为 M ,最小值为 m ,令 x 01( p q) . (Ⅰ)当 a 0 时(开口向上) 2①若b p ,则 m f ( p) ②若 p b q ,则 m f ( b) ③若 b q ,则 m f(q) 2a 2a 2a 2af f f f (q) (p) (p) (q) O x f O x O x f ((p)bb ) f b )) f ( f( 2a 2a (q) 2a b bM f x 0 ,则 M f ( p)①若 x 0 ,则 ( q)②2a2af f(p) x(q)0 x 0Ox Oxb ) ff f(b (q) 2af ((p))2a( Ⅱ ) 当 a 0 时( 开口向下)①若 b2a p ,则 Mf ( p)②若p b 2a q ,则 Mf ( b 2a ) ③若 b 2aq ,则Mf ( q)f( b )f (b ) f f ( b )2a 2af 2a (q)f(p) (p)O x O x Oxf ff(q)(q)(p) bb x0 ,则 m f( p) . ①若 x0 ,则 m f (q)②2a2abbf ()f f ( 2a )f 2a(q)(p) x 0x 0O x O x f f(q)(p)第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1 、 函 数 零 点 的 概 念 : 对 于 函 数 y f(x)( x D ) , 把 使 f (x)0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数 y f (x)( x D )的零点。
集合的含义与表示 精品教案
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1.1集合的含义与表示【课题】:集合的含义与表示方案一:【学情分析】:《集合的含义与表示》是《高中数学》必修1第一章《集合与函数》中的第一节,这一章是开启整个高中阶段代数学习的大门。
本节内容是函数学习的基础,通过例子让学生理解集合的概念,感受到集合是作为简洁、准确地表达数学内容的基本语言。
学生初次接触集合,他们很难认识到集合的概念,所以要通过大量的实际例子抽象概括集合的含义,并通过类比数的大小关系和运算联想集合的基本关系和运算,让学生体会人们学习新知识的基本思维方法。
【教学目标】:(1)通过实例,了解集合的含义,会使用符号“∈”或“ ”表示元素与集合之间的关系;(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;(3)掌握集合中元素的特性;能应用分类讨论的思想,求解有关参数问题。
【教学重点】:集合的基本概念与表示方法;【教学难点】:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合;【教学突破点】:从实际问题引入通过例子中的“研究的对象”来引出集合和元素的概念,随后介绍一些特殊集合的记号和集合的两种表示方法——列举法与描述法。
【教法、学法设计】:合作探究式分层次教学,讲授、练习相结合。
【课前准备】:课件【教学过程设计】:练习:班级姓名A组一、选择题1、下列语句中表示集合的是( )A. 接近与0的数的全体B. 所有的老人C. 大于100的全体实数D. 著名的数学家2、下列各组对象不能构成集合的是( )A .自然数的全体B .大于1的整数C .接近零的数的全体D .所有的直角三角形 3、设M={x ∣x≤4},a=则下列结论正确的是( )A .a ⊆MB .a ∈MC .a ∉MD .{a}∈M4、集合A={x Z k k x ∈=,2}, B={Z k k x x ∈+=,12},C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有( )A. (a+b)∈AB. (a+b)∈BC. (a+b)∈CD. (a+b)∈A 、B 、C 任一个5、由实数x ,-x ,x所组成的集合中,含有元素的个数最多为( )A .2B .3C .4D .5 6、设a 、b 都是非零实数,=++a b aby a b ab可能取的值组成的集合为( ) A .{3} B .{1,2,3} C .{-1,1,3} D .{-1,3}7、方程组345+=⎧⎪=+=⎨⎪+=⎩x y y y z z x 的解集为①{2,1,3};②(2,1,3);③{(2,1,3)},其中正确的表示方法是( )A .①②B .①③C .③D .①②③ 8、集合{1,3,5,7,9}用描述法表示出来应是( )A. {x | x 是不大于9的非负奇数}B. {x | 1≤x≤9}C. {x | x≤9且x ∈N}D. {x | 0≤x≤9且x ∈Z} 9、集合M={y | y =26+x , x, y ∈Z}中元素的个数为 ( )A. 2B. 4C. 6D. 810、已知集合M={比-4大且比2小的实数}.则下列关系中正确的是 ( )A.5∈M B. 0∉M C. 2∈M D. -π∈M11、下列给出的集合M 、P 中表示同一集合的是 ( )A. M={(1, -3)}, P={(-3,1)}B. M={(1, -3)}, P={1,-3}C. M={0}, P={(1,-3)}D. M={(1, -3)}, P={(x, y) | x=1,y =-3}12、集合A={x | x 2-(2a -1) x+ a 2=0}=∅ ,则a 的取值范围为 ( )A. a>41 B. a<41 C. a=41D. 无法确定. 二、填空题1、数集{2a ,a 2-a }中a 的取值范围是 。
苏教版高中数学必修1-1.1《集合的含义及其表示》教学教案
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1.1 集合的含义及其表示一、教学目标1.要求学生初步理解集合的概念;2.知道常用数集及其记法;3.初步了解集合的分类及性质;4.初步掌握集合的三种表示方法。
二、教学重点建立集合的概念,学会集合的表示是本课的重点。
三、教学难点集合的三种表示方法。
四、教学过程1、情境设置:(1)教材中的章头引言;(2)集合论的创始人——康托尔(德国数学家);(3)“家庭”,“学校”,“班级”等概念有什么共同特征?(4)学生讨论:仿照举例。
集合、元素的概念:小结:集合的三要素:1。
确定性;2。
互异性;3。
无序性。
2、探索研究:(1)集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员} ,B={1,2,3,4,5}。
非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集记作:N*或N+整数集记作:Z有理数集记作:Q实数集记作:R(2)关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a ∈A ,相反,a 不属于集A 记作 a ∉A 。
练习:用符合“∈”或“∉”填空:(1)设A 为所有亚洲国家组成的集合,则:中国 A ;美国 A ;印度 A ;英国 A 。
(2) 0 N ;35 Q ;π R 。
(3)集合的表示方法:①列举法:把集合中的元素一一列举出来。
②描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
格式:{x ∈A|P (x )}, 含义:在集合A 中满足条件P (x )的x 的集合。
③图示法表示(Venn 图):一个集合可以用不同的方法表示。
集合的分类①有限集:含有有限个元素的集合②无限集:含有无限个元素的集合③空集:不含任何元素的集合Φ思考:什么时候两个集合相等?何时用列举法?何时用描述法?3、例题讲解例1:①求不等式532>-x 的解集;②求方程组⎩⎨⎧=-=+11y x y x 的解集。
例2:用列举法表示下列集合①{x ∈N | x 是15的约数}; ②{(x ,y )| x ∈{1,2},y ∈{1,2}}。
高中数学 1.1 集合的含义及其表示7.教案 苏教版必修1
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1.1集合的含义及其表示一. 教学目标:l.知识与技能(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;(2)知道常用数集及其专用记号;(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性;(4)会用集合语言表示有关数学对象;(5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点:集合的含义与表示方法.难点:表示法的恰当选择.三. 学法与教学用具1. 学法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具:投影仪.四. 教学思路(一)创设情景,揭示课题1.教师首先提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.(二)研探新知1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例:(1)1—20以内的所有质数;(2)我国古代的四大发明;(3)所有的正方形;(4)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥;(5)到一个角的两边距离相等的所有的点;(6)方程2560x x -+=的所有实数根;(7)不等式30x ->的所有解;(8)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.2.教师组织学生分组讨论:这8个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出8个实例的特征,并给出集合的含义.一般地,我们把研究对象统称为元素(element ),把一些元素组成的总体叫做集合(set )(简称为集)。
4.教师指出:集合常用大写字母A ,B ,C ,D ,…表示,元素常用小写字母,,,a b c d …表示.(三)质疑答辩,排难解惑,发展思维1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有什么特点?并注意个别辅导,解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性,即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.2.教师组织引导学生思考以下问题:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:(1)大于3小于11的偶数;(2)我国的小河流.让学生充分发表自己的建解.3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子,并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题,让学生思考如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合,用a 表示高一(3)班的一位同学,b 是高一(4)班的一位同学,那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A ,记作a A ∈.如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A ,记作a A ∉.5.教师引导学生回忆数集扩充过程,然后阅读教材中的相交内容,写出常用数集的记号.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容,并思考.讨论下列问题:(1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对象是什么?(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
高中数学:1.1集合的含义与表示教案苏教版必修
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课题:集合的概念(二)教学过程Ⅰ复习回顾集合元素的特征有哪些?怎样理解?试举例说明?集合与元素关系是什么?如何表示?.常用数集的专用符号2、预习提纲Ⅱ新课讲授1、集合的表示方法.通过学习提纲,师生共同归纳集合表示方法,常用表示方法有:⑴列举法:把集合中元素一一列举出来的方法,置于“{ }”内,如{北京,天津,上海,重庆},{b,o,k}用这种方法表示集合,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序无关。
⑵描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{}()x p x的形式;如:{}{},x x x x book为中国的直辖市为中的字母,方法:{}代表元素元素都具有的性质例:由方程x2–1=0的所有解组成的集合可以表示为{-1,1},不等式x -3>2的解集可以表示为{x|x -3>2}.请用列举法表示下列集合⑴小于5的正奇数⑵能补3整除且大于4小于15的自然数⑶方程x2–9=0的解的集合⑷{15以内的质数}⑸6,3x Z x Zx⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭⑴满足条件的集合为{1,3}⑵满足条件的集合为{6,9,12}⑶满足条件的集合为{-3,3}⑷满足条件的集合为{2,3,5,7,11,13}⑸满足条件的集合为{2,4,1,5,0,6,-3,9}通过上述题目求解,可以看到问题求解的关键应是什么?依题意找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在. 用列举法表示集合时,要注意元素不重不漏,不计次序地用“,”隔开放在大括号内.例1:求不等式2x-3>5的解集。
解:略思考:{x },{x ,y },{(x ,y )}的含义是否相同.{x }表示单元素集合;{x ,y }表示两个元素集合;{(x ,y )}表示含一点集合.集合的表示除了列举法和描述法外,还有文恩图(文氏图)叙述如下: 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如图:表示任意一个集合A表示{3,9,27}表示{4,6,10}边界用直线还是曲线,用实线还是虚线都无关紧要,只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行,但不能理解成圈内每个点都是集合的元素。
高中数学 第一章 集合 1.1 集合的含义及其表示教案 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学教案
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第一章集合§1.1 集合的含义及其表示(预习部分)教学目标通过具体的例子了解集合的含义,知道常用数集及其记法初步了解属于关系和集合相等的意义;初步了解有限集、无限集、空集的意义初步掌握集合的两种表示方法----列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合教学重点集合的概念及其表示教学难点1、正确理解集合的概念2、集合表示法的恰当选择四、教学过程(一)、创设情境,引入新课(1)在非洲大草原上,一群大象正缓步走来;(2)蓝色的天空中有一群鸟在欢快地飞翔;(3)高一(4)班教室里一群学生在上数学课;以上描述中“一群大象”,“一群鸟”,“一群学生”这些概念有什么共同特征?(二)、推进新课(1)集合:;元素:举例1:一条直线可以看作由(无数个点)组成的集合;一个平面可以看作由(无数条直线)组成的集合;“young中的字母”构成一个集合,其元素是y ,o, u, n, g;“book中的字母”构成一个集合,其元素是b,o,k.举例2:判断下列对象能否构成一个集合.参加北京奥运会的男运动员;某校比较聪明的学生;本课中的简单题;小于5的自然数; 方程02122=+-x x 的实根. (2)集合的三要素1. ;2. ;3. .怎样判断一组对象能否构成集合?集合及集合元素的记法(4)元素与集合之间的关系(5)集合的表示方法①列举法 如:{a,b,c }注意:元素之间用逗号隔开,列举时与元素的次序无关比较集合{a,b,c }和{b, a, c }引出集合相等的定义定义:集合相等 : . ②描述法 格式:{x|p(x)}的形式如:{x| x ﹤-3,x R ∈}观察下列集合的代表元素Ⅰ {x|y=x 2}, Ⅱ y |y=x 2}, Ⅲ {(x, y) |y=x 2} ,Ⅳ }31|{<<-∈x Z x ③Venn 图示法 如:“book 中的字母” 构成一个集合(7) 集合的分类:按元素个数可分为1. ;2. .(8) 空集 ∅ : .、预习巩固见必修一教材第7页练习1.2.3.4.第一章 集 合§1.1 集合的含义及其表示(课堂强化)(四)、典型例题题型一 集合的表示题型二 集合中元素的特性例2.已知集合A={2,22+-+a a a },若4A ∈,求a 的值.例3. 已知M={2,a,b }N={2a,2,2b }且M=N ,求a,b 的值.题型三 与方程有关的集合问题例4.已知集合A={x|R a x ax ∈=++,0122},若A 中只有一个元素,求a 的值,并求出这个元素.变题:若A 中至多只有一个元素,求a 的值.(五)、 随堂练习1.下列说法正确的是 .(填写序号)①{}0是空集;②由1,2,3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1; ③集合6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集;④{}(){}0,10,1=. 2. 已知-3∈A ,且A={21,3,1m m m --+}(*N m ∈),求m 的值.3.设R b a ∈,,若集合{1,,a b a +}={b ab ,,0},求a b -的值. 4.设集合P={1,2,3,4},Q={|2,x x x R ≤∈},求由P 与Q 的公共元素组成的集合.5.若集合(){}2|10A x x a x b =+-+=中仅有一个元素a ,求,a b 的值.(六)、 课堂小结(七)、课后作业。
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第一章集合
§1.1 集合的含义及其表示方法
教学目标:
(1)使学生理解集合的含义,知道常用数集及其记法;
(2)使学生初步了解属于关系和集合相等的意义;初步了解有限集、无限集、空集的意义;
(3)初步掌握集合的两种表示方法—列举法、描述法;并能正确地表示一些简单的集合。
教学重点:
集合的含义及表示方法.
教学难点:
集合元素的三个特征,正确表示一些简单集合.
学法指导:
学生依集合概念的要求、集合元素的特征,在教师指导下,能自己举出符合要求的实例,加深对概念的理解、特征的掌握.
教学过程:
一、问题情境
1.介绍自己;
2.问题:象“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同特征?
二、学生活动
1.介绍自己:仿照所给例子让学生作自我介绍;
2.列举生活中的集合实例;
3.分析、概括各种集合实例的共同特点。
三、建构数学
1.老师引导学生归纳总结并指导学生给出集合的含义
一般地,一定范围内某些___________、____________对象的全体构成一个集合。
集合中______________称为该集合的元素,简称元.
集合用____________________表示,元素用__________________表示。
2.集合元素的三个特征
学生在老师的指导下回答问题:
由此从所给问题可知,集合元素具有以下三个特征:
(1)确定性
集合中的元素必须是确定的,也就是说,对于一个给定的集合,其元素的意义是明确的.
如上例(1)、再如{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.
(2)互异性
集合中的元素必须是互异的,也就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.如上例(3),再如A={1,1,1,2,4,6}应表示为A={1,2,4,6}.
(3)无序性
集合中的元素是无先后顺序,也就是说,对于一个给定集合,它的任何两个元素都是可以交换的.如上例(4)
[师]请同学们熟记上述符号及其意义.元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于”(∉也可表示为∈)两种.
如A={2,4,8,16} 4___ A8__A 32__ A
请同学们考虑:
A={2,4},B={{1,2},{2,3},{2,4},{3,5}},
问题:A与B的关系如何?
4.集合的表示方法:
(1)列举法:将集合中元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内,如{北京,上海,天津,重庆}等。
注意:元素之间用逗号隔开。
(2)描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x/P(x)}的形式,如{x/x为中国的直辖市}等。
(3)venn图表示集合,更加形象直观。
5.有限集、无限集、空集、集合的相等。
四、数学运用
例1.用集合符号表示下列集合,并写出集合中的元素:
(1)所有绝对值等于8的数的集合A(2)所有绝对值小于8的整数的集合B
例2.若x∈R,则{3,x,x2-2x}中的元素x应满足什么条件?
例3.求不等式2 x—3>5的解集。
五.课堂训练
1.(15’)说出下面集合中的元素.
(1){大于3小于11的偶数} 其元素为 _______________
(2){平方等于1的数} 其元素为________________
(3){15的正约数} 其元素为________________
2. (10’)下列各组对象不能形成....
集合的是( ) A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数
D.函数y =1x
图象上所有的点 3. (15’)用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x 2+6x +9=0的解集.
(2)20以内的质数.
(3)大于0小于3的整数.
六.课时小结
1.集合的概念中,“某些指定的对象”,可以是任意的具体确定的事物,例如数、式、点、形、物等.
2.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性,要能熟练运用之.
3.集合的三种表示方法
七.课后作业(6×10’)
1.用符号∈或∈\填空
1 N 0 N -3___N 0.5__N
2 __N
1__Z 0__Z -3___Z 0.5___Z 2 __Z
1__Q 0__Q -3__Q 0.5___Q 2 ___Q
1__R 0___R -3__R 0.5___R 2 ___R
2.判断正误:
(1)所有在N 中的元素都在N*中( )
(2)所有在N 中的元素都在Z 中( )
(3)所有不在N*中的数都不在Z 中( )
(4)所有不在Q 中的实数都在R 中( )
(5)由既在R 中又在N 中的数组成的集合中一定包含数0( )
3.下列条件能形成集合的是( )
A.充分小的负数全体
B.爱好飞机的一些人
C.某班本学期视力较差的同学
D.某校某班某一天所有课程
4.集合A 的元素由kx 2-3x +2=0的解构成,其中k ∈R ,若A 中的元素至多有一个,求k 值的范围.
5.将方程组⎩⎨⎧3x + y =22x -3y =27
的解集用列举法、描述法分别表示.
6.设集合A ={x |x =2k ,k ∈Z },B ={x |x =2k +1,k ∈Z },C ={x |x =4k +1,k ∈Z },又有a ∈A ,b ∈B ,判断元素a +b 与集合A 、B 和C 的关系.。