高三数学-【数学】湖南省八校2018届高三上学期第二次联考(理) 精品

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2012届八校第二次联考理科数学-参考答案

湖北省八校2012届高三第二次联考命题：黄石二中叶济宇-----135********数学试题（理科）参考答案一、选择题：二、填空题:11、12i ； 12、5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈； 13、34； 14、1 15、（1）15+ （2）045三、解答题:21cos 161()cos cos 112222111cos sin()2262x x x xf x x x x x π+=-+=-+=-+=-+、解：（）……………………………………3分∵11()10f x =,∴3sin()65x π-=；又∵[0,]2x π∈，∴[,]663x πππ-∈-，即4cos()65x π-= 3cos cos[()]cos()cos sin()sin 6666661010x x x x ππππππ∴=-+=---=-…………………………………………………6分22bcosA 2c 2sin cos 2sin 2sin cos 2sin()2sin cos 2[sin cos cos sin ]2sin cos cos (0,]26B A c A B A A B AB A A B A B A A B A B B π≤≤⇒≤+⇒≤+⇒≥⇒≥⇒∈（）由－得： ……………………………………10分∴1sin()(,0]62B π-∈-，即11()sin()()(0,]622f B B f B π=-+⇒∈………………………………………………………12分鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、荆州中学、襄阳四中、襄阳五中、孝感高中17、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：5.1682169168=+. ……………………………………2分（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯=人，“非高个子”为125320⨯=人；则至少有1人为高个子的概率P ＝1－2325710C C =……………………………………6分（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0,1，2,3；故353810(0)56C P C ξ===，21533830(1)56C C P C ξ===，12533815(2)56C C P C ξ===，33381(3)56C P C ξ===，即ξ的分布列为：E ζ＝056⨯＋156⨯＋256⨯＋356⨯＝8。

高考数学考点导数的几何意义以及应用#

考点09 导数的几何意义以及应用【高考再现】热点一导数的几何意义1.<2018年高考<课标文））曲线在点(1,1>处的切线方程为________2.<2018年高考<广东理））曲线在点处的切线方程为_______________【答案】【解读】,所以切线方程为,即.热点二导数的几何意义的应用3.<2018年高考<重庆理））设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ> 求的值。

(Ⅱ> 求函数的极值.【解读】(1>因,故因为曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即4.<2018年高考<山东文））已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数>,曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ>求k的值。

(Ⅱ>求的单调区间。

(Ⅲ>设,其中为的导函数.证明:对任意.5.<2018年高考<湖北文））设函数,为正整数,为常数, 曲线在处的切线方程为.(1>求的值。

(2>求函数的最大值。

(3>证明:.【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等。

另外,要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.6．<2018年高考<北京文））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。

(2>当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.当时,函数在区间上的最大值小于28.因此,的取值范围是7.<2018年高考<北京理））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。

2020届湖北八校第二次联考数学(理科)试题答案(官方)

时有
一个零点；
当
a
2
1
ln
2
时，
f
2
x1x2
y1 y2
0
y12 2p
y22 2p
y1 y2
0 ，得到
y1 y2
4 p2
又令 l : x my t 代入抛物线 y2 2 px 中，可得方程 y2 2 pmy 2 pt 0
由韦达定理得 y1 y2 2 pt 4 p2 ,t 2 p
s
12p 2
y1
y2
p
4 p2m2 16 p2 2 p2
6
再设 hx
1 x
cos
x
，则 hx
1 x2
sin
x
0 从而 a 关于
x0 单调递增。
①若
x0
0,
2
，此时
a
,
2
，若
f
2
f
0
得
a
2
1
ln
2
或
a
ln
，所以
a
2
1
ln
2
时无零
点；
f
2
f
0
得
-
2
1
ln
2
a
ln
，所以
-
2
1
ln
2
a
2
即 c 2 3 2 2,8
tan B
…………………………………………………………………10 分
s 1 bc sin A 1 4 3 c 3c
2
2
2
s 2 3,8 3
18. 1 证明:连接 AC

高三数学复习(理)：第4讲基本不等式

第4讲基本不等式[学生用书P132]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0；(2)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D.因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x ≤－2.2．若x ≥2，则x ＋4x ＋2的最小值为________．解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.又由x≥2，得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋4t －2取得最小值4＋44－2＝3.答案：3[学生用书P133]利用基本不等式求最值(多维探究)角度一通过拼凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋（4－3x）22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2 （5－4x）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【答案】 (1)23 (2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．角度二通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．角度三通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223B ．23 C.33D.233【解析】因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎨⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．角度四多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.【答案】 4当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．(2021·湖北八校第一次联考)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选B.方法一：由题意x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝1＋y x ＋9x y ＋9≥1＋2y x ×9xy＋9＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，y x ＝9x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B.方法二：由1x ＋9y ＝1得9x ＋y －xy ＝0，即(x －1)(y －9)＝9，可知x ＞1，y ＞9，所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞9，1x ＋9y＝1，x －1＝y －9＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B. 2．(2021·贵阳市四校联考)已知a ＋b ＝2，且a ＞－1，b ＞0，则1a ＋1＋1b的最小值为( )A.23 B ．1 C.43D.32解析：选C.由a ＋b ＝2，得a ＋1＋b ＝3.因为a ＞－1，所以a ＋1＞0，所以1a ＋1＋1b ＝13(a ＋1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋b a ＋1＋a ＋1b ≥13·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2ba ＋1·a ＋1b ＝43，当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝12，b ＝32时等号成立，所以1a ＋1＋1b 的最小值为43，故选C.3．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y＋3y x 的最小值为( )A.53 B ．103 C.32 D ．3解析：选 D.由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4x x ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号，故选B.【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2021·安徽安庆大观模拟)如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的()A ．最小长度为8B ．最小长度为4 2C ．最大长度为8D ．最大长度为4 2解析：选B.设BC ＝a ，a ＞0，CD ＝b ，b ＞0，则ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋4a ≥22a ·4a ＝42，当且仅当2a ＝4a ，即a ＝2时取等号，此时长度取得最小值4 2.故选B.基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一与其他知识的交汇问题(2021·吉林通钢一中等三校第五次联考)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A.76 B ．712C.712＋33D.76＋33【解析】因为CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4，所以CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，因为P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线，所以x 3＋y4＝1(x ＞0，y ＞0)，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33，当且仅当x 3y ＝y 4x 时等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C. 【答案】 C角度二求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，所以(a ＋1)2≥9恒成立．所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y 的最小值为4.故选C.2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1) ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.答案：923．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞[学生用书P135]核心素养系列12 逻辑推理——利用基本不等式连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)．【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d 的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D.3 3解析：选B.因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d ≥5＋24d c ·c d ＝9，当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时取等号，即1abc ＋1d 的最小值为9，故选B.[学生用书P393(单独成册)][A 级基础练]1．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1.2．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.方法一：由于a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法三：由题意知a ＝b b －1(b >1)，所以a ＋b ＝b b －1＋b ＝2＋b －1＋1b －1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B ．43 C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2. 5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.6．(2021·四省八校第二次质量检测)已知a ＝(1，x )，b ＝(y ，1)，x ＞0，y ＞0.若a ∥b ，则xyx ＋y的最大值为( ) A.12 B ．1 C. 2D ．2解析：选 A.方法一：a ∥b ⇒xy ＝1，所以y ＝1x ，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ＝1x ＋1x≤12x ×1x ＝12(当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.方法二：a ∥b ⇒xy ＝1，又x ＞0，y ＞0，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ≤12xy＝12(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.7．(2020·高考天津卷)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．解析：依题意得12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ＝1，a ＋b 2＝8a ＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝4时取等号．因此，12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案：48．(2020·高考江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__________．解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1得x 2＝15y 2－y 25，则x 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5x 2＋y 2）＋4y 222＝254·(x 2＋y 2)2，则x 2＋y 2≥45，当且仅当5x 2＋y 2 ＝4y 2＝2，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.答案：459．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12(x ＝72舍去)时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0，所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）取最大值，为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.[B 级综合练]11．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立，所以m ≤12，所以m 的最大值为12. 12．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C．7 D．9解析：选C.因为x>0，y>0.且1x＋1＋1y＝12，所以x＋1＋y＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＋1y(x＋1＋y)＝2(1＋1＋yx＋1＋x＋1y)≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2yx＋1·x＋1y＝8，当且仅当yx＋1＝x＋1y，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.13．若a＋b≠0，则a2＋b2＋1（a＋b）2的最小值为________．解析：a2＋b2＋1（a＋b）2≥（a＋b）22＋1（a＋b）2≥212＝2，当且仅当a＝b＝2－34时，a2＋b2＋1（a＋b）2取得最小值 2.答案： 214．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－2m＋1(m≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2021年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元．[C 级提升练]15．已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a ＋b 的最小值为( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析：选C.由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b 4≥21b ·3b4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a ＋b 的最小值为 3.16．(2021·江西吉安期末)已知函数f (x )＝sin 2xsin x ＋2，则f (x ) 的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，则sin 2x ＝(t －2)2，则g (t )＝（t －2）2t ＝t ＋4t －4(1≤t ≤3)，由“对勾函数”的性质可得g (t )在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g (1)＝1，g (3)＝13，所以g (t )max ＝g (1)＝1.即f (x )的最大值为1.答案：1。

2023八省联考数学试卷及答案

2023八省联考数学试卷及答案2023届八省联考数学试卷及答案T8联考被人们戏称为“第二次全国大联考”，虽然“T8联考”试题的难度很大，但还是有些学生考出了不错的成绩，以下是关于2023八省联考数学试卷及答案的相关内容，供大家参考!2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题及答案2023八省联考参与省份八省联考参与联考的省份有：广东、江苏、河北、湖南、辽宁、湖北、重庆、福建。

八省联考是一场跨越八省八校的联考，往年参加八省联考的学校有：福州一中(福建)、东北育才中学(辽宁)、石家庄二中(河北)、华中师大一附中(湖北)、西南大学附中(重庆)、南京师大附中(江苏)、湖南师大附中(湖南)、广东实验中学(广东)。

新高考适应性考试参考对象是应届高三生、往届复读生、以及参加了高考报名的社会高考生。

这些考生如果没有不可抗拒因素是都要参加的，因此在八个省份中，办有高三班级教学的学校是都要参加八省联考的。

部分省份除了以上重点中学参加外，还有其他高中校也会参与八省联考，有这么多名校共同把关，强强联合，想必对于新高考的热点趋势把握还是比较到位的，考试试卷有一定的参考价值，所有的同学们都可以试着做一下这套卷子。

八省联考可以让学生了解新高考模式：通过这次联考模拟考试，使考生适应“不分文理，必考+选考”的新高考模式，熟悉考试流程、试卷结构和题型难度。

高三数学复习技巧1.重视数学能力的培养现阶段，高三数学复习正处于紧张阶段，我们应该重视学生数学能力的培养，教会学生将知识转化成能力的本领，以此帮助他们尽快解决各种数学考题。

这亦是数学核心素养的重要要求。

如，学生复习几何知识时，可以将身边的皮球、水杯、易拉罐作为研究事物，通过简化、抽象等方式转化成课本中的几何图形，这样就能锻炼自己的数学抽象能力。

这样的复习技巧看似简单，却能增强想象能力，为日后数学渗透生活奠定基础。

2.增强复习时的自我思考跟随老师能快速解题，自己时却不得要领，这是因为自我思考较少，没有形成正确的解题思维。

湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷

湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（） A ．3πB．2C ．12πD ．24π2．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥5．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（） A ．163i B ．6i C ．203i D ．206．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]7．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 8．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（）A ．3B ．2C ．32-D ．2-9．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q 为（） A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]10．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（）A ．2B ．-2C ．-3D ．311．函数的定义域为（）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）12．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（）A ．-4B ．-2C ．0D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门仙桃潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

八省八校(T8联考)2022届高三下学期第二次联考数学试题及参考答案

湖南师大附中、东北育才学校等八校联考2021-2022学年高三第二次T8联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1i iz =+，则z =（）A.0B.2iC.-2iD.1i-+2.设集合(){}2log 12A x x =-<，{}5B x x =<，则（）A.A B= B.B A⊆ C.A B⊆ D.A B =∅3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且满足10a <，39S S =.则当n S 取得最小值时，n 的值为（）A.3B.6C.9D.124.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB 、AD 向外分别作正方形ABEF 、ADMN ，其中2AB =，1AD =，4BAD π∠=，则AC FN ⋅= ()A.- B. C.0 D.1-5.若将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象分别向左平移3π个单位长度与向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则ϕ的最小值为（）A.23π B.2π C.53πD.π6.如图，已知正四面体ABCD 的棱长为1，过点B 作截面α分别交侧棱AC ，AD 于E ，F 两点，且四面体ABEF 的体积为四面体ABCD 体积的13，则EF 的最小值为（）A.2B.2C.13D.37.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为()[]1,,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 25f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A.15 B.25C.25-D.15-8.已知椭圆Γ：22143x y +=，过其左焦点1F 作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B .若G 点为PAB △的外心，则1PA GF =（）A.2B.3C.4D.以上都不对二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若事件A 与B 相互独立，且()0P A <，()1P B <，则()()P A B P A =B.设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，则111222P X P X ⎛⎫⎛⎫<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，当样本相关系数r 越接近1时，样本数据的线性相关程度越强D.在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好10.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy 下的一般方程为3330x y axy +-=.某同学对1a =情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是()A.曲线不经过第三象限B.曲线关于直线y x =对称C.曲线与直线1x y +=-有公共点D.曲线与直线1x y +=-没有公共点11.已知a ，R b ∈，满足e e 1a b +=，则（）A.2ln 2a b +≤- B.e 0a b +< C.1≥ab D.()222ee 1ab +≥12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B.存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PDC.当且仅当Q 点落在棱1CC 上某点处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大D.若162D Q =，那么Q 点的轨迹长度为24三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在二项式8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数=a ___________.14.若在平面直角坐标系xOy 中，直线2x y -=与直线4x y -=分别截圆()2220x y r r +=>所得弦长之比为3：1，则r =___________.15.某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动.现有甲､乙､丙､丁四人，乒乓球､篮球､足球､羽毛球､网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为___________.16.已知(),01e ,1x x xf x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在直角ABC 中，角C 为直角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2c aB a-=.（1）求角B 的大小；（2）若3c =，D 点为AB 边上一点，且1AD =，求sin BCD ∠.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC ===，E ，F 分别为线段1BB ，1AC 的中点.（1）证明：EF ⊥平面11AA C C ；（2）若二面角1C A E A --的大小为3π，求1AA 的长.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()213n n S a n *+=∈N .（1）求n S ；（2）证明：当2n ≥时，329n nS a +≥.20.2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：心理价位（元/件）90100110120人数10205020假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x （单位：元/件），90120x <≤，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.（1）若100x =，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X 为这一时段该纪念品的购买人数，试求X 的分布列和数学期望()E X ；（2）假设共有M 名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y （单位：元），当该纪念品的销售价格x 定为多少时，Y 的数学期望()E Y 达到最大值？21.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>过点P，且Γ的渐近线方程为y =.（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由.22.已知函数()()()2ln ,0f x x ax x x a a =-+∈>R .（1）若1是函数()f x 的极值点，求a 的值；（2）若01a <≤，试问()f x 是否存在零点.若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由.（3）若()f x 有两个零点，求满足题意的a 的最小整数值.（参考数据：ln 20.693≈ 1.649≈）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1i iz =+，则z =（）A.0B.2iC.-2iD.1i-+【1题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法运算化简z ，从而求得z .【详解】()1ii i 0i i i z -=+=+=⋅-，所以0z =.故选：A2.设集合(){}2log 12A x x =-<，{}5Bx x =<，则（）A.A B= B.B A ⊆ C.A B⊆ D.A B =∅【2题答案】【答案】C 【解析】【分析】先由对数函数的单调性化简集合，再由集合知识判断即可.【详解】(){}(){}{}222log 12log 1log 415A x x x x x x =-<=-<=<<∴A 错误，B 错误，C 正确，D 错误.故选：C3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且满足10a <，39S S =.则当n S 取得最小值时，n 的值为（）A.3B.6C.9D.12【3题答案】【答案】B 【解析】【分析】设出公差d ，由39S S =可得12110a d +=，从而得到公差大于0，得到670,0a a <>，从而得到答案.【详解】设公差为d ，由于39S S =，即()4567896730a a a a a a a a +++++=+=，即670a a +=，即12110a d +=，由于10a <，所以0d >，从而可得670,0a a <>，所以当n S 取得最小值时，n 的值为6故选：B4.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB 、AD 向外分别作正方形ABEF 、ADMN ，其中2AB =，1AD=，4BAD π∠=，则AC FN ⋅=()A.-B.C.0D.1-【4题答案】【答案】C 【解析】2022届高三第二次T8联考答案解析【分析】根据向量加法法则，()()AC FN AB AD FA AN⋅=+⋅+ ，再利用数量积的运算法则计算即可.【详解】()()AC FN AB AD FA AN AB FA AD FA AB AN AD AN⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ 30cos cos 0044AD FA AB AN ππ=+++== .故选：C.5.若将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象分别向左平移3π个单位长度与向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则ϕ的最小值为（）A.23π B.2π C.53π D.π【5题答案】【答案】A 【解析】【分析】先分别求出向左以及向右平移后函数的解析式，再根据两函数图象重合列式求解【详解】()f x 的图象向左平移3π个单位长度得()g x =2sin 22sin 2333x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象,向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度得()()2sin 23h x x πϕ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2sin 223x πϕ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的图象,由题意得2233k ππϕπ--+=（k Z ∈）所以3k πϕπ=-（kZ∈）又0ϕ>,故ϕ的最小值为23π,故选：A6.如图，已知正四面体ABCD 的棱长为1，过点B 作截面α分别交侧棱AC ，AD 于E ，F 两点，且四面体ABEF 的体积为四面体ABCD 体积的13，则EF 的最小值为（）A.2B.2C.13D.3【6题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据已知可得AEF的面积，由三角形面积公式和余弦定理，使用基本不等式可得.【详解】由题知13B AEFB ACD V--=，所以11111332212AEF ACD S S ==⨯⨯⨯⨯= ，记,,EF a AE b AF c ===，则1sin 60212bc ︒=，即13bc =.则22212cos 6023a b c bc bc bc bc =+-︒≥-==，当且仅当13b cbc =⎧⎪⎨=⎪⎩，即3b c ==时，取等号.故选：C7.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为()[]1,,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 25f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A.15B.25C.25-D.15-【7题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据函数的周期性，奇偶性及分段函数分段处理的原则即可求解.【详解】由()()20f x f x ++=，得()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，因为函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，所以()()ln 2ln 2f f -=，()ln 20,1∈为无理数，所以()ln 20f -=，2022221()5555f f R ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()202211ln 20555f f ⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭.故选：D.8.已知椭圆Γ：22143x y +=，过其左焦点1F 作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B .若G 点为PAB △的外心，则1PA GF =（）A.2B.3 D.以上都不对C.4【8题答案】【答案】C 【解析】【分析】设出直线PA 方程，联立椭圆方程得到韦达定理，结合外心的性质，求得点G 的坐标，再用弦长公式求得PA ，再求结果即可.【详解】根据题意可得()11,0F -，显然直线PA 的斜率存在，故可设其方程为()1y k x =+，联立椭圆方程可得：()22223484120k x k x k +++-=，设()()1122,,,P x y A x y ，故2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+，()121226234k y y k x x k k +=++=+，故()2212134k PA k+==+，设PA 的中点为H ，则其坐标为212122243,,223434x x y y kk k k ⎛⎫++-⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，显然x 轴垂直平分PB ，故可设()3,0G x ，又GH 直线方程为：2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =，解得2234k x k -=+，故221223313434k k GF k k -+=+=++，故()221121433k PA GF k+==+.故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若事件A 与B 相互独立，且()0P A <，()1P B <，则()()P A B P A =B.设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，则111222P X P X ⎛⎫⎛⎫<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，当样本相关系数r越接近1时，样本数据的线性相关程度越强D.在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好【9题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】根据相互独立事件和条件概率的概率计算公式，可判定A 正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定B 错误；根据相关系数的含义，可判定C 正确；根据残差的含义，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若事件A 与B 相互独立，且()0P A <，()1P B <，可得()()()P AB P A P B =⋅，则()()()()()P A P B P A B P A P B ==，所以A 正确；对于B 中，设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，可得20,1μσ==，根据正态分布曲线的对称性，可得111222P X P X ⎛⎫⎛⎫<=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误；对于C 中，在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，根据相关系数的含义，可得当样本相关系数r越接近1时，样本数据的线性相关程度越强，所以C 正确；对于D 中，在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，根据残差的含义，可得残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，所以D 正确.故选：ACD10.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy 下的一般方程为3330x y axy +-=.某同学对1a =情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是()A.曲线不经过第三象限B.曲线关于直线y x =对称C.曲线与直线1x y +=-有公共点D.曲线与直线1x y +=-没有公共点【10题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】A ：当,0x y <时，判断3330x y xy +-=是否可能成立即可；B ：将点(y ，x )代入方程，判断与原方程是否相同即可；C 、D ：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.【详解】当,0x y <时，3330x y xy +-<，故第三象限内的点不可能在曲线上，A 选项正确；将点(),y x 代入曲线有程得3330x y xy +-=，故曲线关于直线y x =对称，B 选项正确；联立3330,1,x y xy x y ⎧+-=⎨+=-⎩其中()()3322330x y xy x y x y xy xy +-=++--=，将1x y +=-代入得2()0x y -+=，即0x y +=，则方程组无解，故曲线与直线1x y +=-无公共点，C 选项错误，D 选项正确.故选：ABD.11.已知a ，R b ∈，满足e e 1a b +=，则（）A.2ln 2a b +≤- B.e 0a b +< C.1≥ab D.()222e e 1a b +≥【11题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】A 、D 利用基本不等式即可判断，注意等号成立条件；B 由e 1e ab b b +=+-，构造e ()x x f x =-且(,0)x ∈-∞，利用导数证明不等式；C 根据A 、B 的分析，应用特殊值法判断.【详解】A ：由e e 1a b +=≥，即2ln 2a b +≤-，当且仅当ln 2a b ==-时等号成立，正确；B ：由e 1e 0a b =->，则e 1e a b b b +=+-且,(,0)a b ∈-∞，令e ()x xf x =-且(,0)x ∈-∞，则()e 10xf x '=-<，()f x 递减，所以()(0)1f x f >=，e 1x x >+，即e 1e 0a b b b +=+-<成立，正确；C ：当ln 2a b ==-时，2ln 21ab =<，错误；D ：由222(ee )12(e e )ab a b +=≤+，当且仅当ln 2a b ==-时等号成立，正确.故选：ABD12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B.存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PDC.当且仅当Q 点落在棱1CC 上某点处时，三棱锥1QA PD -的体积最大D.若162D Q=，那么Q 点的轨迹长度为4π【12题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】A ：取11B C 、1C C 中点E F 、，连接11D E D F、、EF 、PF ，证明平面1A PD ∥平面1D EF ，则Q 点的轨迹为线段EF；B ：以1D 为原点，建立空间直角坐标系，设(),1,,0,1Q x z x z ≤ ，求出平面1A PD 的法向量，根据1D Q m λ=求出x 、z 即可判断；C ：1A PD △的面积为定值，∴当且仅当Q 到平面1A PD 的距离d最大时，三棱锥1QA PD -的体积最大；D ：可求1C Q 为定值，即可判断Q 的轨迹，从而求其长度.【详解】取11B C 、1C C 中点E F 、，连接11D E D F 、、EF、PF，由PF ∥1BC ∥11A D 且PF ＝111BC A D =知11A PFD 是平行四边形，∴1D F ∥1A P ，∵1D F ⊄平面1A PD ，1A P ⊂平面1A PD ，1D F ∥平面1A PD ，同理可得EF ∥平面1A PD ，∵EF ∩1D F ＝F ，∴平面1A PD ∥平面1D EF ，则Q 点的轨迹为线段EF，A 选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，11,1,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1D ，设(),1,,0,1Q x z x z ≤ ，则()11,0,1A D =- ，110,1,2A P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,1,.D Q x z =设(),,m a b c=为平面1A PD 的一个法向量，则110,0.m A D m A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,2a c c b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得,.2a c cb =⎧⎪⎨=-⎪⎩取1c =，则11,,12m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .若1D Q ⊥平面1A PD ，则1D Q ∥m ，即存在R λ∈，使得1D Qm λ=，则12x z λλλ=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得[]20,1x z ==-∉，故不存在点Q使得1D Q ⊥平面1A PD ，B 选项错误；1A PD △的面积为定值，∴当且仅当Q 到平面1A PD 的距离d 最大时，三棱锥1Q A PD -的体积最大.12332A Q m d x z m ⋅==+-，32x z +① ，()213d x z =-+，则当0x z +=时，d 有最大值1；②32x z +>，()213d x z =+-，则当2x z +=时，d 有最大值13；综上，当0x z +=，即Q 和1C 重合时，三棱锥1Q A PD -的体积最大，C 选项正确；11D C ⊥平面11BB C C ，111D C C Q ∴⊥，12D Q ==，12C Q ∴=，Q 点的轨迹是半径为22，圆心角为2π的圆弧，轨迹长度为4π，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】本题综合考察空间里面的位置关系的判断与应用，需熟练运用线面平行、面面平行的判定定理和性质，需掌握运用空间直角坐标系和空间向量来解决垂直问题，掌握利用空间向量求点到平面的距离，利用几何关系判断空间里面的动点的轨迹，考察知识点较多，计算量较大，属于难题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在二项式8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数=a ___________.【13题答案】【答案】12或114【解析】【分析】结合二项式展开式的通项公式和等差中项的性质列方程，化简求得a .【详解】二项式8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()818288kkk k k kCx ax a C x ---⋅⋅=⋅⋅，前三项的系数001122888,,a C a C a C ⋅⋅⋅成等差数列，所以1100228882a C a C a C ⋅=⋅+⋅，即2281610a a -+=，解得12a=或114故答案为：12或11414.若在平面直角坐标系xOy 中，直线2x y -=与直线4x y -=分别截圆()2220x y r r +=>所得弦长之比为3：1，则r =___________.【14题答案】【答案】2【解析】【分析】根据弦长比列方程，化简求得r .【详解】圆()2220x y r r +=>的圆心为()0,0，半径为r .直线2x y -=即20x y --=，()0,0到直线20x y --==，所以直线2x y -=截圆()2220x y r r +=>所得弦长为.同理可求得直线4x y -=截圆()2220x y r r +=>所得弦长为，32r =⇒=.故答案为：35215.某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动.现有甲､乙､丙､丁四人，乒乓球､篮球､足球､羽毛球､网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为___________.【15题答案】【答案】72125##0.576【解析】【分析】结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】每个人有5种选择，四人共有45种选择，其中恰有两人参加同一拓展活动共有212454CC A 种选法，所以四人中恰有两人参加同一活动的概率为2124544725125C C A =.故答案为：7212516.已知(),01e ,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.【16题答案】【答案】21(0,)[e ,)e+∞ 【解析】【分析】先讨论1x 、2x 与1的大小关系确定()1f x 、()2f x ，进而确定1x 的取值范围，再结合函数的单调性进行求解.【详解】①当1201x x <<<时，则11()f x x =，22()f x x =，又由()()21e f x f x =，得21e (0,1)x x =∈，所以11(0,e x ∈，则()2121211e (0,ex f x x x x ⋅==∈；②当1201x x <<≤时，因为()()11e e 0,e f x x =∈，22()e e x f x =≥，所以不存在1201x x <<≤，使得()()21e f x f x =；③当121x x ≤<时，则11()e x f x =，22()e x f x =，又由()()21e f x f x =，得2111e e e e x x x +=⋅=，则211x x =+，()11121e x x f x x +⋅=，令1()e x g x x +=，则()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以2()(1)e g x g ≥=，则()212e x f x ⋅≥；综上所述，()12x f x ⋅的取值范围为21(0,)[e ,)e+∞ .故答案为：21(0,)[e ,)e+∞ .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在直角ABC 中，角C 为直角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2c aB a-=.（1）求角B 的大小；（2）若3c =，D 点为AB 边上一点，且1AD =，求sin BCD ∠.【17~18题答案】【答案】（1）3π；（2）【解析】【分析】(1)根据题意，△ABC 为直角三角形，由此可得cos a Bc=，结合cos2c aB a-=即可求得cos B ，从而求出B 的大小；(2)在△BCD 中利用余弦定理求出CD ，在利用正弦定理即可求出sin BCD ∠.【小问1详解】2C π=Q ，∴△ABC 为直角三角形，cos 2a c aB c a-∴==，整理得2220a c ac -+=，∴()()20a c a c -+=，0a c +> ，20a c ∴-=，2a c =，1cos 2B ∴=，()0,B π∈ ，3B π∴=；【小问2详解】3c AB ==，2BD AB AD =-=，3cos 2BC AB B ==，在BCD △中，由余弦定理得222931132cos 4224224CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，∴2CD =，在BCD △中，由正弦定理得sin sin CD BDB BCD ∠=，∴2·sin 2sin 132BD BBCD CD∠⨯==﹒18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC ===，E ，F 分别为线段1BB ，1AC 的中点.（1）证明：EF ⊥平面11AA C C ；（2）若二面角1CA E A --的大小为3π，求1AA 的长.【18~19题答案】【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由已知可得AB BC ⊥，从而得1111A B B C ⊥，则以1B 为原点，以11111,,B A B C B B 所在的直线的分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设1B B h =，则表示出111,,EF A A AC ，吸要证明111,EF A A EF AC ⊥⊥即可，（2）表示出平面11,CA E A EA 的法向量，利用向量的夹角公式列方程，可求出1AA 的长【小问1详解】因为AC ===，所以222BC AB AC +=，所以AB BC ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1111A B B C ⊥，111111,B B B C B B B A ⊥⊥，所以以1B 为原点，以11111,,B A B C B B 所在的直线的分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设1B B h =，则111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,),(1,0,),(0,1,)B A C B h A h C h ，因为E ，F 分别为线段1BB ，1AC 的中点，所以110,0,,,,2222h h E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11,,022EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，111(0,0,),(1,1,0)A A h AC ==-，所以111110,022EF A A EF A C ⋅=⋅=-+= ，所以111,EF A A EF AC ⊥⊥ ，所以111,EF A A EF A C ⊥⊥，因为1111A A AC A ⋂=，所以EF ⊥平面11AA C C ；【小问2详解】设平面1CA E 的法向量为(,,)m x y z = ，平面1A EA 的法向量为(,,)n a b c =，因为11(1,1,),1,0,,1,0,22h h CA h A E EA ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以11002m CA x y hz h m A E x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，10202h n EA a c h n A E a c ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ ，令1,1z b ==，则,,1,(0,1,0)22h h m n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为二面角1CA E A --的大小为3π，所以1cos ,cos 32m n m n m n π⋅====，122h =，化简得22h =，因为0h >，所以h =所以1AA19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()213n n S a n *+=∈N .（1）求n S ；（2）证明：当2n ≥时，329n nS a +≥.【19~20题答案】【答案】（1）312n nS -=（2）见解析【解析】【分析】（1）先利用1n n n a S S -=-得到131n n S S -=+，再构造等比数列求解；（2）先表示出32nnS a +，换元后构造函数，通过导数确定单调性，求出最小值得证.【小问1详解】当1n=时，11121213S a a +=+=，解得111a S ==，当2n ≥时，112133(),31n n n n n n S a S S S S --+==-=+，即1111133,02222n n S S S -⎛⎫+=+-=≠ ⎪⎝⎭，12n S ⎧⎫∴⎨⎩+⎬⎭是以32为首项，3为公比的等比数列，11333222nn n S -+=⋅=，即312n n S -=.【小问2详解】由312n nS -=，得12133n n n S a -+==，则392313n n n n S a +=-+，令3,2n t n =≥，则9t ≥，令9()1f t t t=-+，则29()1f t t '=-，当9t ≥时，()0f t '>，()f t ∴在[)9,+∞上单调递增，()(9)9f t f ≥=，即93193n n -+≥，当且仅当2n =时，取等，得证.20.2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：心理价位（元/件）90100110120人数10205020假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x （单位：元/件），90120x <≤，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.（1）若100x =，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X 为这一时段该纪念品的购买人数，试求X 的分布列和数学期望()E X ；（2）假设共有M 名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y （单位：元），当该纪念品的销售价格x 定为多少时，Y 的数学期望()E Y 达到最大值？【20~21题答案】【答案】（1）分布列见解析，期望为3.6；（2）当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y 的数学期望()E Y 达到最大值21M ．【分析】（1）由调查表得出每个人购买纪念品的概念为0.9P =，而(4,0.9)X B ，由二项分布计算概率得分布列，由二项分布的期望公式得期望；（2）利用二项分布的期望公式求出100,110,120x =时的期望()E Y ，比较得最大值．【小问1详解】100x =时，消费者购买该纪念品的概率900.9100P ==，由题意(4,0.9)X B ，44()0.9(10.9)ii i P X i C -==-，0,1,2,3,4i =，41(0)0.110000P X ===，同理9(1)2500P X ==，243(2)5000P X ==，729(3)2500P X ==，6561(4)10000P X ==，X 的分布列为：X01234P1100009250024350007292500656110000()40.9 3.6E X =⨯=；【小问2详解】由（1）知90100x <≤时，90()(80)18100E Y M x M =⨯⨯-≤（100x =时等号成立），100110x <≤时，70()(80)21100E Y M x M =⨯⨯-≤（110x =时等号成立），110120x <≤时，20()(80)8100E Y M x M =⨯⨯-≤（120x =时等号成立），0M >，因此()E Y =21M最大，此时110x =．所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y 的数学期望()E Y 达到最大值21M．21.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>过点P ，且Γ的渐近线方程为y =.（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由.【21~22题答案】【答案】（1）2213y x -=（2）若选①，6S ≥；若选②，直线AD 不存在.【解析】【分析】（1）求出,a b 后可得双曲线的方程.（2）若选①，设1:l y kx =，21:l y x k=-，联立直线方程和双曲线方程后可求四边形面积的平方的表达式，从而可求其取值范围；若选②，可得设()(),,Mm N n ，其中0,0mn ><，则可求,A D 的坐标，利用它们在双曲线上及OA OD ⊥可得关于,m n的方程组，根据方程组无解可得直线不存在.【小问1详解】因为双曲线的渐近线方程为y =，故b a=22361a b -=，解得1,a b ==2213y x -=.【小问2详解】若选①，由题设可知直线1l ，2l 的斜率均存在且均不为零，设1:l y kx =，21:l y x k=-，设1:l y kx =，则22{33y kx x y =-=可得2233Ax k =-，其中k <<.同理222331Ck x k =-，其中1k <-<33k <<-或3k <<，故()()222221211213Ak AB kxk+=+=-，同理()2222211211211313k k CD k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，故四边形ACBD 面积的S 满足：()()()()()22222222212112111364331331k k k S k k k k+++=⨯⨯=⨯----22211363616131631k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⨯=⨯⎛⎫--+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，令1y k k =+，则221k y k -'=，当1k <<-或1k <<时，0y '>；当313k -<<-或13k <<时，0y '<；故1y k k=+在()1-，(上为增函数，在1,3⎛-- ⎝⎭，,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，故当3k <<-k <时，123k k ≤+<或123k k-<+≤-，所以211643k k ⎛⎫≤+<⎪⎝⎭，故236S ≥即6S ≥.若选②，先考虑,A D 在x 轴上方，且A 在第一象限，D 在第二象限，设()(),,Mm N n ，其中0,0m n ><，由12DN NM =可得()()1,2DD n x y m n --=-+，故3,22D D n m x y ---==，同理3,22A A m n x y -==，所以22223332312333323123n m m n ⎧⎛⎫--⎪ ⎪⎪-⎛⎫⎝⎭-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎪-⎛⎫⎝⎭⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩，整理得13mn =-，而OA OD ⊥，故0A D A D x x y y +=，故3302222n m m n --+⨯-⨯=，整理得到225539mn mn +=-⨯=，故429510m m -+=，此时2536110∆=-=-<，故429510m m -+=无解，故满足条件的直线AD 不存在，由双曲线的对称性可得直线AD 不存在.22.已知函数()()()2ln ,0f x x ax x x a a =-+∈>R .（1）若1是函数()f x 的极值点，求a 的值；（2）若01a <≤，试问()f x 是否存在零点.若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由.（3）若()f x 有两个零点，求满足题意的a 的最小整数值.（参考数据：ln 20.693≈， 1.649≈）【22~24题答案】【答案】（1）2（2）无，详见解析；（3）4【解析】【分析】（1）求导()()2ln 1f x x a x x a '=-+-+，根据1是函数()f x 的极值点，由()10f '=求解；（2）由()()()()2ln ln 10f x x ax x x x x a x x =-+=-+>⎡⎤⎣⎦，令()()ln 1h x x a x =-+，用导数法研究其零点即可；（3）将()f x 有两个零点，转化为1,ln y a y x x ==+有两解，令()1ln g x x x=+，用导数法求解.【小问1详解】解：因为函数()()()2ln ,0f x x ax x x a a =-+∈>R ，所以()()()212ln 1f x x a x x ax x'=-+-⋅+，()2ln 1x a x x a =-+-+，因为1是函数()f x 的极值点，所以()()12ln1110f a a '=-+-+=，解得2a =，经检验符合题意；【小问2详解】当1a=时，()()()()2ln 1ln 10f x x x x x x x x x =-+=-+>⎡⎤⎣⎦，令()()1ln 1h x x x =-+，则()()1ln 1ln 1x x x h x x x x x+-'=+-⋅=，()110h a '=-=，因为()2110h x x x''=+>，则()h x '在()0,∞+上递增，所以当()0,1x ∈时，()0h x '<，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()()110hx h ≥=>，则()h x 无零点，即()f x 无零点；当01a <<，()()()()2ln ln 10f x x ax x x x x a x x =-+=-+>⎡⎤⎣⎦，令()()ln 1hx x a x =-+，则()()1ln ln x x x a h x x x a x x +-'=+-⋅=，()1110,e 0e h a h a ⎛⎫''=->=-< ⎪⎝⎭，因为()210ah x x x''=+>，则()h x '在()0,∞+上递增，所以存在0x 1,1e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有()()00001ln 0h x x x a x '=+-⋅=，即000ln x x x a +=，当01,e x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当()0,1x x ∈时，()0h x '>，且()1110,110e e h a h ⎛⎫=-+>=>⎪⎝⎭，又()()20001ln hx x x =-，令()()21ln r x x x =-，则()()()()()221ln 2ln ln 2ln r x x x x x x x'=--⋅⋅=--，令()ln 1,0tx =∈-，则()222110y t t t =--=-++>成立，所以()rx 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，所以()1110e e rx r ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，即()00h x >，所以()h x 无零点，即()f x 无零点；【小问3详解】令()()2ln 0f x x ax x x =-+=，因为()110f =≠，可转化为1ln a x x=+，若()f x 有两个零点，则1,ln y a y x x==+有两解，令()1ln g x x x=+，则()()211ln g x x x '=-，()()322ln ln x g x x x +''=，当210,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '递增，当21,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '递减，所以()221e 10e 4g x g ⎛⎫''≤=-< ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,1上递减，又在()1,+∞上，()0g x ''>，则()g x '递增，又()()()2222119112110,11042ln 220.693993ln 3ln 442g g ⎛⎫''=-<-<=-=-> ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在092,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()()0200110ln g x x x '=-=，即0ln x =，当0x x =时()g x 取得极小值()001524g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以a 的最小整数值是4.【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．。

高考数学(理)二轮试题：第8章《空间几何体的表面积和体积》(含答案)

精品题库试题理数1. (2014大纲全国,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A. B.16π C.9π D.1.A1.设球的半径为R,由题意可得(4-R)2+()2=R2,解得R=,所以该球的表面积为4πR2=.故选A.2. (2014湖北,8,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.2.B2.圆锥的体积V=πr2h=πh=,由题意得12π≈,π近似取为,故选B.3. (2014陕西,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.4π C.2π D.3.D3.如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC=,∴对角面ACC1A1为正方形,∴外接球直径2R=A1C=2,∴R=1,∴V球=,故选D.4.(2014安徽,7,5分)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A.21+B.18+C.21D.184.A4.根据题意作出直观图如图,该多面体是由正方体切去两个角而得到的,根据三视图可知其表面积为6+2××()2=6×+=21+.故选A.5.(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm25.D5.由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图),其表面积为S=3×5+2××4×3+4×3+3×3+2×4×3+2×4×6+3×6=138(cm2).6.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，6）已知一个四面体的一条棱长为，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（）（A）1 （B）（C）（D）36. A6. 取边长为的边的中点, 并与其对棱的两个端点连接,7.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，5）某几何体的三视图如下图所示，则它的表面积为（）（A）（B）（C）（D）7. B7. 该三视图对应的几何体为组合体，其中上半部为半径为3母线长为5的圆锥，下半部为底面半径为3高为5的圆柱，所以其表面积为.8.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，5) 某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据．可得这个几何体的表面积为( )A.B.C.D. 128. B8. 从三视图中可以看出该几何体是正四棱锥，且其斜高为底面是边长为2的正方形，故其表面积为.9. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，11) 三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB＝6，则该球的体积为()9. B9. 三棱锥P－ABC的外接球与高为6底面边长为3的正三棱柱的外接球相同，即可把三棱锥P－ABC补成高为6底面边长为3的正三棱柱，由此可得球心O到底面ABC的距离为3，设底面ABC的外接圆圆心为O1, 连接OA, O1A、OO1, 则O1A =, OO1=3，所以OA2=O1A2+=，所以该求的体积为.10. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，3) 下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 510. A10. 根据三视图可知，该几何体由两部分组成，上半部为底面边长分别为3和2的长方形高为x的四棱锥，下半部为高为1底面边长分别为3和2的长方形的长方体，所以其体积为，解得x=2.11. (2014山西太原高三模拟考试（一），10) 在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC, AB=BC=,SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是, 若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是( )11. D11. 取线段AC的中点E, 则由题意可得SE⊥AC, BE⊥AC, 则∠SEB即为二面角S-AC-B的平面角, 在△SEB中, SE=, BE=1, 根据余弦定理, 得, 在△SAB和△SCB中, 满足勾股定理, 可得SA⊥AB, SC⊥BC, 所以S、A、B、C都在同一球面上，则该球的直径是SB, 所以该球的表面积为.12. (2014山西太原高三模拟考试（一），8) 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为( )A. （32+) ㎝3B. （32+) ㎝3C. （41+) ㎝3D. （41+) ㎝312. C12. 该三视图对应的几何体为由上中下三部分构成的组合体，其中上半部是长宽高分别为3、3、1的长方体；中半部为底面直径为1高为1的圆柱；下半部为长宽高分别为4、4、2的长方体，其体积为.13.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，3) 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D. 13.B13. 由三视图知，原几何体是一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且腰长为2，所以该三棱柱的体积.14. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，6) 已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（）A. 6B. 12C. 18D. 2414. C14. 根据三视图可知，该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，该四棱锥的高为4，因为体积为24，所以底面积.15. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），8) 点, ，，在同一个球的球面上，，, 若四面体体积的最大值为, 则该球的表面积为( )15. C15. 如图，当平面时，四面体体积的最大. 此时，，所以，设球半径为R，则,即，从而，故.16. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，6) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.16. D16.原几何体如图中三棱锥，由已知正视图、侧视图和俯视图均是三角形，可知该几何体有一个侧面垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形，则这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，所以这个几何体的外接球的半径为，所以这个几何体的外接球的表面积为.17. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，9) 正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A.B.C.D.17. D17. 设球半径为，如图所示，可得，解得，所以表面积为.18. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，7) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 6B. 2C. 3D.18.D18. 由三视图知，原几何体的体积为.19. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 5) 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）19.D19.该几何体是一三棱柱，qi 其体积为=4.20. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，8) 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A. B. C. D.20. C20. 由三视图知，原几何体是一个三棱柱，其底边为边长为2的等边三角形，高为2，所以球心在三棱柱上下两底面的中心的连线的中点，球的半径为，球的表面积为.21.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，7）三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，AB BC，又SA=AB= BC=1，则球O的表面积为( )(A) (B)(C) 3(D) 1221. C21. 三棱锥S－ABC的外接球与高为1底面边长为1等腰直角三角形的直三棱柱的外接球相同，即可把三棱锥P－ABC补成高为1底面边长为1等腰直角三角形的直三棱柱，由此可得球心O到底面ABC的距离为，设底面ABC的外接圆圆心为O1, 连接OA, O1A、OO1, 则O1A =, OO1=，所以OA2=O1A2+=，所以该求的体积为.22.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，8）若某棱锥的三视图(单位：cm) 如图所示，则该棱锥的体积等于（）A．10 cm3B．20 cm3C．30 cm3D．40 cm322. B22. 根据三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥，其中PA⊥PB，底面ABCD为矩形且与侧面PAB垂直，过点P作线段AB的垂线，则该垂线即为四棱锥的高，其长度为cm，而矩形ABCD的边长AD=5，AB=5，所以其体积为cm3.23.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，4）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．48cm3B．98cm3 C．88cm3D．78cm323. B23. 该三视图对应的几何体为长、宽、高分别为6 cm、3 cm、6 cm的长方体截去一个三棱锥后所得的几何体，其体积为6×3×6－98 cm3.24.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 11) 如图所示，棱长为6的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为l的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是( )( A) 222(B) 258 (C) 312 (D) 32424. C24. 表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积，加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的6个小正方体的表面积．则S=6×36-12+6×4×6-6×6=312．故选C．25.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 4) 某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为矩形，俯视图上半部分为半，圆，则该几何体的体积为( )(A) (B) (C) (D)25. C25. 根据三视图可知，该几何题是由半圆柱和直三棱柱构成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为2；直三棱柱的底面是腰长为的等腰直角三角形，故该几何体的体积为.26.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，9) 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A． B．C．D．26.26. 由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即，故选.27.(2014湖北武汉高三2月调研测试，8) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1，BB1上运动且满足EF＝a时，则P的最小值为27. D27. 根据几何概型，===，其中“＝” 当且仅当时成立. 故选D.28. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 7) 某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积是（）A.B.C.D.28. B28. 由三视图知，原几何体是由一个半圆柱与一个半圆锥构成，其体积为.29. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 4) 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.29. C29.由已知，元几何体为四棱柱，其底面边长为，侧视图的高为，底面积为，又因为棱柱的高为3，侧面积为，故原几何体的表面积为.30. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 3) 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：）, 则该几何体的体积为（）．A． B. C． D.30.C30.由三视图可知，该几何体是由三个棱长为1的正方体加半个正方体构成，所以体积为31.(2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，8) 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm) ，则该几何体的体积为（）(A) 120 (B) 80 (C) 100(D) 6031. C31.画出直观图可知，原几何体的体积.32. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D）32. C32. 原几何体是由一个圆柱与一个圆锥构成，其体积为.33.(2014江苏,8,5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是________.33.33.设圆柱甲的底面半径为r1,高为h1,圆柱乙的底面半径为r2,高为h2.由题意得==,∴=.又∵S甲侧=S乙侧,即2πr1h1=2πr2h2,∴==,故==·=×=.34.(2014山东,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则=________.34.34.如图,设S△ABD=S1,S△PAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S2=2S1,h2=2h1,V1=S1h1,V2=S2h2,∴==.35.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.35.π35.该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成,故体积V=π×12×4+×π×22×2=π(m3).36.13．(2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，13) 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是。

湖南省(XXX)、江西省(XXX)等十四校2018届高三第二次联考数学(理)试题+Word版含答案

湖南省(XXX)、江西省(XXX)等十四校2018届高三第二次联考数学(理)试题+Word版含答案2018届高三·十四校联考第二次数学（理科）考试第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.设集合A={x|x≥2}，B={x|1<−x≤2}，则A∩B=（）A。

(-4,+∞) B。

[-4,+∞) C。

[-2,-1] D。

[-4,-2]2.复数z=xxxxxxxxxxxxxxxxi的共轭复数为（）A。

3+i B。

-i C。

+i D。

-i3.下列有关命题的说法中错误的是（）A。

设a,b∈R，则“a>b”是“aa>bb”的充要条件B。

若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题C。

命题：“若y=f(x)是幂函数，则y=f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D。

命题“∀n∈N，f(n)∈N且f(n)≤n”的否定形式是“∃n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n”4.已知不等式ax+1/x+2<0的解集为(-2,-1)，则二项式(x+2)(ax-2)展开式的常数项是（）A。

-15 B。

15 C。

-5 D。

55.若函数f(x)=3sin(π-ωx)+sin(5π+ωx/2)，且f(α)=2，f(β)=3，α-β的最小值是π，则f(x)的单调递增区间是（）A。

(2kπ-5π/3,2kπ-π/3) (k∈Z)B。

(2kπ-,2kπ+) (k∈Z)C。

(kπ-,5π/3+kπ) (k∈Z)D。

(kπ-π/3,5π/3+kπ) (k∈Z)6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm）是（）A。

40+125 B。

40+245 C。

36+125 D。

36+2457.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A类课外书，则不同的借阅方案种类为（）A。

1_1_2023高三上期末八校联考数学试卷(学生用卷)定稿(1)(1)(1)

第1页共1页三明市2022-2023学年第一学期普通高中期末质量检测高三数学试题考试时间：2023年1月15日下午3：55-5：55试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案。

非选择题部分作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 在复平面内对应的点与复数12i 在复平面内对应的点关于虚轴对称,则复数z 的共轭复数zA .12iB .12iC .12iD .12i2.已知集合{ln (1)}P x y x ，集合1{2}x Q y y ，则A .P QB .Q PC .P QD .P Q3.设,a b R ,则使a b 成立的一个充分不必要条件是A .33a bB .2lo g ()0a bC .22a bD .11ab4.有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过15人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是A .甲地：总体均值为4，中位数为3B .乙地：总体均值为5，总体方差为12C .丙地：中位数为3，众数为2D .丁地：总体均值为3,总体方差大于05.已知si n c os ()16,则c os ()3第2页共2页A .33B .33C .63D .636.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成(如图所示),若它的棱长为2，则下列说法错误的是A .该二十四等边体的外接球的表面积为16B .该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式2V F EC .直线A H 与P N 的夹角为60D .Q H A BE 平面7.已知双曲线22:18yC x，P 为双曲线C 上任意一点,过点P 分别作双曲线C 的两条渐近线的垂线,垂足分别为,M N ,则11P MP N的最小值为A .322B .423C .98D .898.已知函数21,-1()ln (2),-1x x f x x x x ，2()24g x x x ,设b 为实数,若存在实数a ,使得()1()f a g b 成立,则b 的取值范围为A .7(,]2 B .7[,)2C .37[,)22D .37[,]22二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项在，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图,在直三棱柱111A B C A B C 中,90B A C,2A B A C,12A A ,,,E F G 分第3页共3页别是棱1111,,B C A C A B 的中点,D 在线段11B C 上,则下列说法中正确的有A .11E F A A B B 平面B .B D E F G平面C .存在点D ,满足B D E F D .C D D G 的最小值为34210.首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，.现有下列4个命题,其中是真命题的有A .若100S ，,则280S S B .若412S S ，则使0n S 的最大的n 为15C .若15160,0S S ,则{}n S 中8S 最大D .若78S S ，则89S S 11.以下四个命题表述正确的是A .若A 、B 相互独立，()()P B A P B B .已知两个随机变量,X Y ，其中1~(5,)5X B ，2~(,),0Y N ，若()()E X E Y ，且(1)0.3P Y ，则(1)0.2P Y C .圆224x y 上存在4个点到直线:20l x y 的距离都等于1D .椭圆221164xy上的点到直线220x y的最大距离为1012.已知221()()ln 24xxf x exx a x是(0,) 上的单调递增函数,则实数a 的取值可能为第4页共4页A .2e B .12C .1D .1三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.51(2)x x展开式中常数项是_____________.(答案用数字作答)14.在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边,重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为3，则第4个图形的周长为_______________.15.若实数0,0x y ，满足条件222x y ，且2122ya xx，则a 的最小值为_______.16.已知抛物线2:2C y px 的焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，如图，过抛物线C 上一点A 作切线与抛物线C 的准线交于P 点,若5P F ，则A B;A P B 面积的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a ，{}n nn a S 是公差为的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S .第5页共5页18.（本小题满分12分）2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取男女各100名观众进行统计,其中男的喜爱观看世界杯的有60人，女的喜爱观看世界杯的有20人.(1)完成下面22 列联表，男女合计喜爱看世界杯不喜爱看世界杯合计试根据小概率值0.001 的独立性检验，并判断能否认为喜爱观看世界杯与性别有关联？(2)在喜爱观看世界杯的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加某电视台的访谈节目，设参加访谈节目的女性观众与男性观众的人数之差为X ，求X 的数学期望和方差.附:,其中.第6页共6页19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111A B C A B C 中，1A B C 为等边三角形，四边形11A A B B 为菱形，A C B C ，4A C，3B C .(1)求证：1B C A C B 面；(2)线段1C C 上是否存在一点E ，使得平面1A B E 与平面A B C 的夹角的正弦值为154若存在，求出点E 的位置;若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）非等腰A B C 的内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且c os si n c os si n aB Ba C C.（1）证明：2a b c ；（2）若2B C ，证明：23b.21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x yCa b(0)a b的左右焦点分别为1F、2F，左右顶点分别为A、B，P是椭圆C上异于A、B的任意一点，P A、P B斜率之积为34，且P A B的面积最大值为23.（1）求椭圆C的方程；（2）直线1P F交椭圆C于另一点Q，分别过P、Q作椭圆的切线，这两条切线交于点M.求证：1.M F P Q第7页共7页第8页共8页22.（本小题满分12分）已知函数1()si n xxf x x e，(,)2x.(1)求证:()f x 在(,)2上单调递增;(2)当(,0) 时,[()si n ]c os si n xf x x e x k x 恒成立,求k 的取值范围.。

高三数学复习(理)：第2讲参数方程

第2讲参数方程[学生用书P265]1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的参数方程中参数的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y －y 0＝k (x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ (θ为参数且0≤θ<2π)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝b sin t (t 为参数且0≤t <2π)抛物线 y 2＝2px (p >0)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数) 常用结论经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)不注意互化的等价性致误； (2)直线参数方程中参数t 的几何意义不清致误； (3)交点坐标计算出错致错．1．若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( )A ．直线x ＋2y －2＝0B ．以(2，0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析：选D.将曲线C 的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2，0≤y ≤1)．故选D.2．已知直线⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)上两点A ，B 对应的参数值是t 1，t 2，则|AB |＝( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1－t 2| C.a 2＋b 2|t 1－t 2|D.|t 1－t 2|a 2＋b 2解析：选 C.依题意，A (x 0＋at 1，y 0＋bt 1)，B (x 0＋at 2，y 0＋bt 2)，则|AB |＝[x 0＋at 1－（x 0＋at 2）]2＋[y 0＋bt 1－（y 0＋bt 2）]2＝a 2＋b 2|t 1－t 2|.故选C.3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．解析：由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2 ①.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t ，消去t ，得y 2＝8x ②.联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)[学生用书P266]参数方程与普通方程的互化(师生共研)(1)将下列参数方程化为普通方程． ①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)； ②⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． (2)已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】 (1)①由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t （*），y ＝1t t 2－1（**），(*)式代入(**)式得x 2＋y 2＝1.其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.②由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－2sin 2θ⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．(2)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，所以曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法及注意点(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．1．求直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设直线与圆的交点分别为O ，P ，连接CP (图略)，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．参数方程的应用(师生共研)(2021·沈阳市教学质量监测(一))在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－1＋t (t 为参数)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若点P (3，－1)，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|PM |－1|PN |的值．【解】 (1)由ρ2＝4ρcos θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 得x 2＋y 2＝4x ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. 由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－1＋t (t 为参数)，消参得直线l 的普通方程为x －2y －5＝0.(2)直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋255u ，y ＝－1＋55u(u 为参数)，代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝4，得u 2＋255u －2＝0，则有Δ＝445＞0，设M ，N 两点对应的参数分别为u 1，u 2，则u 1＋u 2＝－255，u 1u 2＝－2＜0，可知u 1与u 2异号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|PM |－1|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|u 1|－1|u 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪u 1＋u 2u 1u 2＝55.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上和动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有以下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2，①弦长l ＝|t 1－t 2|；②M 0为弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；③|M 0M 1|·|M 0M 2|＝|t 1t 2|.1．(2020·四省八校第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若Q 是曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝3＋sin α(α为参数)上的一个动点，设点P 是曲线C 1上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：(1)曲线C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1.将直线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程中得7t 2＋4t －4＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t A ，t B ，则t A ＋t B ＝－47，t A t B ＝－47，所以|AB |＝|t A －t B |＝（t A ＋t B ）2－4t A ·t B ＝827.(2)设P (x ，y )．曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －3)2＝1，所以曲线C 2是以C 2(0，3)为圆心，1为半径的圆，所以|PC 2|＝x 2＋（y －3）2＝－（y ＋3）2＋20，因为－1≤y ≤1，所以|PC 2|的最大值为4，所以|PQ |的最大值为5.2．(2020·广州市阶段训练)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝1＋cos 2θ(θ为参数)．(1)求C 1与C 2的普通方程；(2)(一题多解)若C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求sin α的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α，(t 为参数)，得x sin α－y cos α＋cos α＝0，所以曲线C 1的普通方程为x sin α－y cos α＋cos α＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝1＋cos 2θ(θ为参数)，得2x 2＋y 2＝2(y ≥0)．所以曲线C 2的普通方程为2x 2＋y 2＝2(y ≥0)． (2)方法一：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α，代入2x 2＋y 2＝2，得(2cos 2α＋sin 2α)t 2＋2t sin α－1＝0，由于Δ＝(2sin α)2＋4(2cos 2α＋sin 2α)＝8>0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2sin α2cos 2α＋sin 2α，t 1t 2＝－12cos 2α＋sin 2α. 则|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝222cos 2α＋sin 2α.由于|AB |＝2，则222cos 2α＋sin 2 α＝ 2.解得sin α＝0.经检验，sin α＝0符合题意，所以sin α＝0. 方法二：由(1)可知C 1是直线，且过点(0，1)，C 2是椭圆2x 2＋y 2＝2在x 轴上方(包括与x 轴的两个交点)的部分，如图，若C 1与C 2有两个交点，则C 1的斜率k ∈[－1，1]，设C 1：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，由于Δ＝(2k )2＋4(k 2＋2)＝8k 2＋8>0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2.|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋22＋4k 2＋2＝22（k 2＋1）k 2＋2.由|AB |＝2，得22（k 2＋1）k 2＋2＝2，解得k ＝0.则tan α＝0，得sin α＝0.极坐标与参数方程的综合问题(师生共研)(一题多解)(2020·贵州省适应性考试)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α(π6<α≤π4)的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．【解】 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ，即ρ＝4cos θ.由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)方法一：射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6<α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤433，4.方法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，π6<α≤π4)．把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得t 2－4t cos α＝0.解得t 1＝0，t 2＝4cos α.故|OA |＝|t 2|＝4cos α. 同理可得|OB |＝sin αcos 2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤433，4.处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．(2020·六校联盟第二次联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.[学生用书P349(单独成册)][A 级基础练]1．(2020·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos k t ，y ＝sin k t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0.(1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．解：(1)当k ＝1时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．(2)当k ＝4时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14，14)．2．(2020·开封市第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝ 2.(1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(2)设P 是曲线C 1上一点，此时参数φ＝π4，将射线OP 绕坐标原点O 逆时针旋转π3交曲线C 2于点Q ，记曲线C 1的上顶点为点T ，求△OTQ 的面积．解：(1)由已知可得C 1：x 22＋y 2＝1，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得C 1的极坐标方程为ρ2(1＋sin 2θ)＝2.由ρ2＝x 2＋y 2可得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2. (2)设点Q 的横坐标为x Q ，则由已知可得S △OTQ ＝12|OT |·|x Q |，且点P 的直角坐标为(1，22)，点P 的极坐标为(62，θ)，其中sin θ＝33，cos θ＝63，点Q 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，θ＋π3，则有x Q ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝23－326，所以S △OTQ ＝12|OT |·|x Q |＝12×1×32－236＝32－2312.3．(2020·南充市第一次适应性考试)在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2cos θ和曲线C 2：ρcos θ＝3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值．解：(1)因为x ＝ρcos θ，x 2＋y 2＝ρ2，所以曲线C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x ＝3.(2)设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A ，因为PQ ⊥OP ，所以PQ 过点A (2，0)，设直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入C 1的直角坐标方程可得t 2＋2t cos α＝0，解得t 1＝0，t 2＝－2cos α，由题意可知|AP |＝|t 2|＝|2cos α|，代入C 2的直角坐标方程可得2＋t cos α＝3，解得t ＝1cos α.由题意知|AQ |＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α，所以|PQ |＝|AP |＋|AQ |＝|2cos α|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α≥22，当且仅当|2cos α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α时取等号．所以线段PQ 长度的最小值为2 2.4．(2020·福建省质量检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 1相切于第二象限的点P ，与曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝73，求直线l 的倾斜角．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1.因为曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ，ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 23＝1.(2)如图，设直线l 的倾斜角为β，依题意β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则P 在曲线C 1中的参数α＝β＋π2，故P (－sin β，cos β)，所以可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－sin β＋t cos β，y ＝cos β＋t sin β(t 为参数)．把直线l 的参数方程代入x 24＋y 23＝1，得(sin 2β＋3)t 2＋2(sin βcos β)t ＋cos 2β－9＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝cos 2β－9sin 2β＋3.则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2β－9sin 2β＋3＝9－cos 2βsin 2β＋3，又|P A |·|PB |＝73，所以9－cos 2βsin 2β＋3＝73.所以sin β＝32，故β＝π3，即直线l 的倾斜角为π3.[B 级综合练]5．(2020·湖北八校第一次联考)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋8.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝42，求直线l 的倾斜角．解：(1)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，所以当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝2，当α≠π2时，直线l 的普通方程为y －3＝tan α(x －2)．将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入ρ2＝2ρcos θ＋8，得x 2＋y 2＝2x ＋8，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －8＝0. (2)由(1)知曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －8＝0，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程整理，得t 2＋(23sin α＋2cos α)t －5＝0. 易知Δ＝(23sin α＋2cos α)2＋20>0，设该方程的两个根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－(23sin α＋2cos α)，t 1t 2＝－5. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝[－（23sin α＋2cos α）]2＋20＝42，整理得(3sin α＋cos α)2＝3. 故2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝±3.因为0≤α<π，所以π6≤α＋π6<7π6，所以α＋π6＝π3或α＋π6＝2π3，解得α＝π6或α＝π2，所以直线l 的倾斜角为π6或π2.6．(2020·昆明市三诊一模)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程是1＋2sin 2θ＝6ρ2，直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－2＝0.(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)设点P (2，0)，直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求1|PM |＋1|PN |的值．解：(1)曲线C 可化为ρ2＋2ρ2sin 2θ＝6，将⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入上式，得x 2＋3y 2＝6，整理，得曲线C 的直角坐标方程为x 26＋y 22＝1.由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－2＝0，得22ρcos θ＋22ρsin θ－2＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，化简得x ＋y －2＝0，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由(1)知，点P (2，0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos 3π4，y ＝t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程，得12t 2－22t ＋4＋3×12t 2＝6，整理，得t 2－2t －1＝0，所以Δ＝(－2)2＋4×1＝6＞0，t 1t 2＝－1＜0，由题意知，1|PM |＋1|PN |＝1|t 1|＋1|t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪Δ－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－1＝ 6. 7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数且t >0，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos β，y ＝1＋sin β⎝ ⎛⎭⎪⎫β为参数，且β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ＝1＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，曲线C 4的极坐标方程为ρcosθ＝1.(1)求C 3与C 4的交点到极点的距离；(2)设C 1与C 2交于P 点，C 1与C 3交于Q 点，当α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上变化时，求|OP |＋|OQ |的最大值．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，ρcos θ＝1得ρ2－ρ－1＝0，解得ρ＝1＋52，即交点到极点的距离为1＋52.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，ρ>0，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，联立C 1，C 2的极坐标方程得ρ＝2sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，即|OP |＝2sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，曲线C 1与曲线C 3的极坐标方程联立得ρ＝1＋cos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即|OQ |＝1＋cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以|OP |＋|OQ |＝1＋2sin α＋cos α＝1＋5sin(α＋φ)，其中φ的终边经过点(2，1)，当α＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，|OP |＋|OQ |取得最大值，为1＋ 5.8．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＋y ＝4，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在同一平面直角坐标系中，曲线C 2上的点经过坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ＋1，y ′＝33y ，得到曲线C 3，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线C 1的极坐标方程和曲线C 3的极坐标方程；(2)若射线l ：θ＝α(ρ>0)分别交C 1与C 3于A ，B 两点，求|OB ||OA |的取值范围．解：(1)由C 1：x ＋y ＝4，得直线C 1的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝4，由曲线C 2的参数方程得其普通方程为x 24＋y 23＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ＋1，y ′＝33y 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（x ′－1），y ＝3y ′，将其代入x 24＋y 23＝1，可得(x ′－1)2＋y ′2＝1，所以曲线C 3的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则－π4<α<π2，由题可得ρ1＝4cos α＋sin α，ρ2＝2cos α，所以|OB ||OA |＝ρ2ρ1＝14×2cos α(cos α＋sin α)＝14(cos 2α＋sin 2α＋1)＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋1，因为－π4<α<π2，所以－22<cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4≤1，所以0<14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋1≤14(2＋1)．所以|OB ||OA |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14（2＋1）.。

2023届八省八校(T8联考)高三第二次联考数学答案

2023年高三年级三月调研考试数学试题参考答案与评分标准一、选择题与多选题题号123456789101112答案DBCCABBDABDBCDBCDABD三、填空题13.21-14.e2215.2222或16.1(2分)91（3分）四、解答题17.解：(1)依题意有.sin cos cos sin sin sin sin )6πsin(sin 2B A B A AC A A B ++=+=+sin sin cos sin sin cos cos sin .A B B A A A B A B +=++πcos 2sin()1,6B B B -=-=πππ(0,π),,.663B B B ∈∴-==又…………3分3π4ADC ∠=，则π4ADB ∠=，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB ADB =∠，∴3222=，解得AD =．……5分（2）设CD t =，则2BD t =，又ABC S =△即12322t ⨯⨯⨯=，可得2t =，故36BC t ==，又AC ===在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB =∠∠，故sin 2sin BAD ADB ∠=∠，在ACD △中，由正弦定理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠，故sin 7CAD ADC ∠=∠，因为()sin sinsin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，sinsin7BADCAD∠∴==∠……10分18.【详解】（1）由题设22n n nS a a=+且，0na>当1n=时，2111122S a a a==+，可得11a=；当2n≥时，221112)2(n n n n nn nS a a a aS a----==+--，则221111()()n n n n n n n na a a a a a a a----+=-=+-；由10n na a->+，故11n na a--=，所以{}n a是首项、公差均为1的等差数列，故n a n=.……5分（2）2214222nna nm m n ma n n⎛⎫+≤⇒+≤⇒+≤⎪⎝⎭，因为1422nn⎛⎫+⎪⎝⎭≥，当且仅当2n=时成立，所以1b=，21b=，当3m≥，因为21212221221m m mm m-+=-+≤--，22122m m mm m+=+>，所以能使22n mn+≤成立的n的最大值为21m-，所以21(3)mb m m=-≥，所以{}m b的前50项和为()59948015799012497.2+⨯+++++=++=.……12分19.（1）证明：连结AC，111111,,,AA CC AA CC AE AA CF CCλλ===∥=.AE CF AE CF AE CF∴=，即，∥.AEFC AC EF∴四边形为平行四边形，则∥,EF BEF AC BEF⊂⊄平面平面,.AC BEF BEF ABCD l l ABC∴=∴⊂∥平面平面平面平面.AC l∴ ABCD AC BD⊥菱形，则，111,,BB ABCD ALC ABCD AC BB BD BB B⊥⊥=又平面平面，则1AC B BDD AC l∴⊥1平面，又∥1l B BDD∴⊥1平面…………4分ABCDD1C1B1A1EFOxyzO111111111111,.,,.2A C B D O AC BD O OO BB BB ABCDOO ABCD OO OB OO OC =⊥∴⊥⊥⊥ 交于点，则∥平面平面连结则（）11111.2,1,.3,,,2.111.3239B BDF F BDB ABCD OB OC AC EF OA OC AB BD OB OC OO x y z BB t DD t V V t --⊥==∴====∴====⨯⨯⨯= 菱形，则以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系,设则1111111122,2,43,(,0,4),(0,0,3),(0,1,3)3(,1,34)(0,1,0)3sin 4752()(34),(01),()333t BB DD OO D CF F D F OC BDD D F OC D F OCf f λλλθλλλλ∴===∴=-=∴=-=∴==⎡=-+<≤∈⎢⎣ 即则又是平面的一个法向量设则，sin 527θ⎫⎪⎭<≤………………12分20.解：（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件12,A A ，则()()12343322455535P A P A =⨯==⨯=，由题意可得，X 的取值有0,1,2,()3260115525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()323213111555525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()32625525P X ==⨯=.所以()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=…………6分（2）依题意甲，乙抢到并答对一题的概率为()()12131224=,=,3553515P B P B =⨯=⨯乙已得10分，甲若想获胜情况有：①甲得20分：其概率为；2515151=⨯②甲得10分，乙再得－10分，其概率为;254533251(C 12=⨯⨯③甲得0分，乙再得－20分，其概率为.2545332(2=⨯故乙先得10分后甲获胜的概率为.259254254251=++…………12分21.解：（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞，且()2210ax x g x x x-+-'=>)，当a =0时,()gx 在()1,0上单调递减，()g x 在()+∞,1上单调递增；当a>0时,14,a ∆=-1(i)140,()0,()0+4a a g x g x '∆=-≤≥≤∞当即时，在（，）上单调递减；1(ii)140,0()=0,4a a g x '∆=-><<当即时，令得21210,2411,2411x x aax a a x <<-+=--=x)2411,0(aa--)24112411(aaa a -+--，)2411(∞+-+，aa)(x g '－+－)(x g 减函数增函数减函数综上：当=0a 时，()gx 在()1,0上单调递减，在()+∞,1单调递增；14a ≥当时，，()0g x +∞在（，）上单调递减；当410<<a 时，)(x g 在，)2411,0(a a --)2411(∞+-+，a a 上单调递减；在)24112411(aaa a -+--，上单调递增.………………5分(2)由题意知1a =时，()()1ln g x f x x x x x=-=+-，由（1）知，)(x g 在),0(+∞上单调递减，且∴=，0)1(g 当),1(+∞∈x 时，0)1()(=<g x g .又,1)(2xx x f -=' 令.1,0)(=='x x f 得所以()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞递增，因为()10,1a ∈，所以()211a f a =>，()321a f a =>，…，()11n n a f a +=>．……………………7分()()10g x g ≤=又．所以()21110n n n n a a f a a ++++-=-<，即21.n n a a ++<又因为函数()gx 在[)∞+，1时单调递减，所以()()21.n n g a g a ++>，即22112111ln ln .n n n n n n a a a a a a +++++++->+-，即32210.n n n n a a a a ++++>->-12230.n n n n a a a a ++++∴->->121223231,()0.n n n n n n n n a a a a g a a a a ++++++++-->∴<--．…………12分22.解；(1)依题意有22222,1491,21c b a ba a c +==+=，解得,1,3,2===cb a ∴椭圆方程为.13422=+y x …………3分(2)设),,(),,(2211y x Q y x P 则)2,2(11y x D ，∴.13413422222121=+=+yx y x ，又043.432121=+∴-=∙y y x x k k OQ OP 设12,12(),2,2(),(,21212122λλλλλλ++++∴--=--∴=y y x x E y y x x y y x x ED QE E E E E 又E 在椭圆上，∴.1)1(344)1(4442212221222122212=+++++++λλλλλλy y y y x x x x 22121222221212)1()34(434)34(4λλλ+=+++++y y x x y x y x 即,)1(1422λλ+=+∴.32=∴λ…………6分.57,5252,32OPQ OPEQ OPQ QPD PEQ S S S S S ED QE △四边形△△△=∴==∴=∴,23,.43±=∴-=-=∙OP OQ OP OQ OP k k k k k x PQ 轴时，∥当yQ POx FFED根据对称性不妨取23=OP k 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=12432322y x x y 得⎪⎩⎪⎨⎧==262y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=262y x ，.36221=⨯⨯=∴OPQ S △………8分当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为x =my +t ，由⎩⎨⎧=++=124322y x tmy x ，，得01236)43(222=-+++t mty y m ,43123,4362221221+-=+-=+∴m t y y m mt y y .04))((34321212121=+++=+y y t my t my y y x x .03)(3)43(221212=++++t y y mt y y m ∴.03431843123)43(222222=++-+-+t m mt m t m .43204322222+==--∴m t m t 即…………10分2222222222)43()43(48143)123(4)436(1||+++-+=+--+-+=m m t m m t m mt mPQ 点O 到直线PQ 距离为21mt +，.34334||2122=+⨯⨯=∴m t t S OPQ△.537=∴OPEQ S 四边形…………12分。

湖南省衡阳县2018届高三12月联考数学(理)试题Word版含解析

数学试卷(理)第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A = {x|4x-x2 < 0},B = {y|y > 0} > 则AClB=()A. 0B. (0, 4)C. (4, + oo)D. (0, + oo)【答案】C【解析】由题意可得：A = {xlx > 4或v 0厂结合交集的定义可知A n B = (4, +8),本题选择c选项.2.将函数f(x) = SIHTCX的图象向右平移!个单位长度后得至血(x)的图象，则()1A. g(x) = sin(兀x--)B. g(x) = cos7ux1C. g(x) = sin(兀x + -)D. g(x) = -cos7cx【答案】D【解析】由函数图像的平移性质可知，平移后函数的解析式为：x-扌)=sin n(x-扌)=sin( nx-^j = -cosnx-g(x)= f(本题选择D选项.3.在等比数列中，a i a2a5 = a4，贝〔J ()A. |a2| = lB. 3^2= 1 C・ |a3| = 1 D. a2a3 = 1【答案】A【解析】由等比数列的通项公式有：引(34)(3®) =引qX整理可得:(a iq)2 = 1,即|a2| = l.本题选择A选项.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多, 主耍是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新.解题时耍善于类比并且要能•正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混.4.已矢口向量a = (l,x),b = (x,y-2),其中x>0,若a与b共线，贝忆的最小值为( )xA. QB. 2C. 2&D. 4【答案】C【解析］V a = (l,x)> b = (x,y-2)>其中x>0,且;与&共线1 X (y-2) = X • X,即y =x2 + 2・・・4 = = x + ?N2Q，当且仅当x = -BPx = ^时取等号XX X X・・.Y的最小值为2血X故选C点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正一一各项均为正；二定一一积或和为定值；三相等一一等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会11!现错误.5.若函数f(x) = 2x_a + 1 + ^-a的定义域与值域相同，贝山=()A. -1B. 1C. 0D. ±1【答案】B【解析】T 函数f(x) = 2x_a +1 + Jx-a-a・・・函数f(x)的定义域为［a,+ s)•・•函数f(x)的定义域与值域相同函数f(x)的值域为［a, 4- oo)・・・函数f(x)在［a, + oo)上是单调减函数当x = a时,f(a) = 2a~a+1-a = a，即a = 1故选Bsinx 兀兀6.函数f(x)= ------------- 在［-芯］上的图象为( )x2+|x|+l 22【答案】B【解析】函数的解析式满足f(-x) = -f(x),则函数为奇函数，排除CD选项，] 3由|sinx|< l,x2 + |x| + 1 = (|x|+ + 4~ 1可知：IKx)|Sl,排除A 选项.本题选择B选项.sina-cosa 1 _ t7.右一------ =-tana,贝!jtan(x= ( )sina + cosa 6A. 一或一B. 一一或■一C. 2 或3D. -2 或-32 3 2 3【答案】CtsnOr~ 1【解析】由题意结合同角三角函数基本关系可得： --------- t ana,tana + 1 6整理可得：tan'a-5tana +6 = 0’求解关于tana的方程可得：tana=2或tana = 3.木题选择0选项.8.已知a,b,cW(0,2),4—y = logia,2b = logib,4—J = 贝g()2 2A・ a>b>c B. a>c>b C・ c>a>b D. c>b>a【答案】A【解析】如图所示，绘制函数y = 4-x2,y = 2"和厂的图像，三个方程的根为图中点A,B,C,■的横坐标，观察可得：x c>x B>x A,即Wc>b>a.本题选择D选项.9.某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万无，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是( )(参考数据：1卽.1= 0.041,览2 = 0.301) 2022 年 B. 2023 年 C. 2024 年 D. 2025 年【答案】0【解析】设从2016年后，第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得：100x(1 +10%)、200，即l.l n>2，两边取对数可得：n> 仝 =^匕7.3,lgl.l 0.041则门> 8,即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是2024年.本题选择C选项./X+2,-2<x< 1,10.如图，函数f(x)= } <x<4的图象与X轴转成一个山峰形状的图形，设该图形夹在两条直线x = t,x = t+2(-2<t<2)Z间的部分的面积为S(t),则下列判断正确的是()A. S(0) = 41n2 + 2B. S(-2) = 2S(2)C. S(t)的极大值为S ⑴D. S(t)在［-2, 2］上的最大值与最小值之差为6-41n2【答案】D4S(-2) = 2, S(2) = I(--l)dx = (41nx-x)= 41n2-2,所以S(-2)^2S(2),故B 错误；对于C, S(t)的极J X 2大值为S(-l),故C 错误；对于D, S(t)在［-2,2］上的最大值与最小值分别为S(-1) = 4, S(2) = 41n2-2, 故D 正确. 故选D丄A+ 2'11.在数列｛%｝中，(口-1)2“ + % + ] = (n+l)an + 4n(n+1),且引=1,记T n = V 一:—,则() i= 21A. Tw 能被41整除B. T ］9能被43整除C. Tw 能被51整除【答案】A【解析】由数列的递推公式可得:n+1 nna I1+1 + n2n+1-(n + l)a n -(n + l)2nn(n+ 1)n a n + i-(ri + 1風]一(门+ 1)2" n(n+ 1)nan + rCn + l)a n 4- (n-l)2nn(n + 1)结合(n-l)2n + na n + 】=(n + l)a n + 4n(n + 1)可得:+?n+1 a 一 2“ 知+ 1十/ a n / =4> n+ 1 n + 2】是首项为二二=3,公差为4的等差数列,1据此可得：T ］9能被41整除本题选择A 选项.2 +3 【解析】对于A, S(0) = 〒 f 45 ：+ 1(一-l)dx = 一 +(41nx_x)] J 173> =毗+戸弘2 + 2,故A 错误；对于D. T ］9能被57整除则数列则口:卄，故计丈亡n乞1(7 + 75)X18= 41X 18,2点睛：数列的递推关系是给岀数列的一种方法，根据给岀的初始值和递推关系对以依次写岀这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项.12.已知函数f(x) = (疋*2；6%*»0 ,若恰好存在3个整数x,使得些芒成立，则满足条(-X-3X24-4,X<0 x件的整数3的个数为( )A. 34B. 33C. 32D. 25【答案】A【解析】画Hlf(x)的函数图象如图所示:当x>0 时，f(x) > a,当xvO 时，a > f(x) •••f(3) = _3 x9+18 = _9, f(4)=_3xl6 + 24 = _24, f(_l) = _(_1产3 x (_1『+ 4 = 2，f(~3) = 一(一3)'-3 x(一3)2 + 4 = 4，f(—4) = —(—4)^~3 x (~4)2 + 4 = 20•••当a<0时，-24<a<-9；当0SaS3时，a = 0, 2<a<3；当a>3时，4<a<20・・•恰好存在3个整数x,使得愆芒二0成立X・••整数a的值为-23, -22, • • • . -9及0, 2, 3, 4. 5.….19,共34 个故选A 点睛：对于方程解的个数(或函数'零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图彖的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13._________________________________________________________________ 己知函数f(x)的周期为4,当xE[l,4)时，f(x) = 21og3x,则f(15) = __________________________________ .【答案】2【解析】・・•函数f(x)的周期为4.\f(15) = f(4x3 + 3) = f(3)•・•当xE [1,4)时,f(x) = 21og 3x.-.f(15) = f(3) = 21og 33 = 2故答案为214. ___________________________________________________________________________ 在边长为6的正AABC 中，D 为AC 边上的一点，且CD = 2DA,则BD • CB = ____________________【答案】-24【解析】•・• BD = BA + ^i), D 为AC 边上的一点，且CD = 2DAT 1 -> ・•・ AD = -AC3.\ro-CT = (^ + AD) -CT = ^-CB +AD* CB=BA- CB + -AC- CB *.• A ABC 是边长为6的正三角形 ABA • CB = |BA| - |CB| - cos 120° = 6 x 6 x AC • CB = |AC| • |CB|cosl20° = 6x6 .•.BD -CB = -18 + ^X (-18) = -24故答案为-24115. 若曲线y = xln(x-n)(n EN* )在乂轴的交点处的切线经过点(1,知)，则数列｛—｝的前n 项和a nSn = ___________ •【答案】n+ 1【解析】令xln(x-n) = 0,得x = n + 1,则切点为(n + 1,0)■ X Vy = ln(x-n) + ——x-n •；yix 十I=n+1•:曲线y =xln(x-n)在x 轴的交点处的切线方程为y = (n+ l)(x-nT) •••切线经过点(1州)a n = -n(n + 1)知 n(n + 1) n n+ 11 1 1 1 1 nA S n = -(l — + ------ + • •・ + ------------ )= ---------n223 n n+1 n+11 = -18,n+ 1故答案为点睛：应用导数求曲线切线的斜率时，要注意“在某点的切线”与“过某点的切线”的区别, 否则容易出错。

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第01节算法与程序框图002 5

高考模拟复习试卷试题模拟卷第01节算法与程序框图一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【高考天津，理3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )（A ）10- （B ）6 （C ）14 （D ）18 否是开始结束输出2. 【改编题】行下图所示的程序框图，则输出的S 为（）A .10B .12C .20D .30 3. 某程序框图如右图所示，当输出y 值为8-时，则输出x 的值为（）开始4?n >否是1,0n S ==结束S输出2S S n=+1n n =+A. 64B. 32C. 16D.84.【改编题】如图所示的程序框图，输出S 的值是20161，则判断框内应填（）A. 2015?n <B. 2014?n ≤C.2016?n ≤D. 2015?n ≤5. 【高考湖南卷第6题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于（）A.]2,6[--B.]1,5[--C.]5,4[-D.]6,3[-6.【改编题】执行如图所示的程序框图，输出结果是i =1209x dx ⎰．若{}01,2,3a ∈，则0a 所有可能的取值为（）A ．1,2,3B ．1C ．2D ．2,3是否开始结束1S =1n =1n S S n =⨯+ 1n n =+输出S7.【山东高考理第11题改编】执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为（）.A. 1B. 2C. 3D. 48.一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是（）A.4i <B.5i <C. 5i ≥D. 6i <9. 【郑州市高中毕业年级第一次质量预测试题】执行如图的程序框图，若输出的78S =，则输入的整数P 的值为（）.A. 1B. 2C. 3D. 410. 【原创题】如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为3，则输出y 的值是（）A．12B．12-C．32-D．3-11.【高考湖北卷第13题】设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a，按从大到小排成的三位数记为()D a（例如815a=，则()158I a=，()851D a=）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=( ).A.495B.594C.693D.81512. 【原创题】执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．输入x112y x=-||1y x-<2x y=否是结束开始输出yA ．12B ．3C ．2-D ．13- 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上.）13. 如图，是一程序框图，则输出结果为K =,S =.(说明，M N =是赋值语句，也可以写成M N ←，或:M N =14. 下图是一个算法的程序框图，最后输出的W =_______．开始a =3,i =1i >５11a a a +=- i =i +1结束输出a是否，则输出的S的最大值为15. 【高考四川卷文第6题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R_________16. 【高考山东卷第11题】执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为.17. 【黄冈市重点中学第二学期高三三月月考】若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于整数k 的条件是 _______________18. 【湖北八校高三第二次联考数学试题】定义某种运算⊗，b a S ⊗=的运算原理如图所示．设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f ______；()f x 在区间[]3,3-上的最小值为______高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第03节几何概型A 基础巩固训练1.在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x≥cos x”发生的概率为( ) A.14 B.12 C.34D ．1 【答案】 C【解析】 ∵sin x≥cos x ，x ∈[0，π]，∴π4≤x≤π， ∴事件“sin x≥cos x”发生的概率为π－π4π－0＝34. 2.(·西城模拟)在区间[0,2]上任取两个实数a ，b ，则函数f(x)＝x3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且只有一个零点的概率是( )A.18B.14C.34D.78【答案】D3.如图10-6-8所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，a 2为半径的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是( )A ．1－π4B.π4C ．1－π8D.与a 的取值有关【解析】由题意知，阴影部分的面积为a2－4×14×π⎝⎛⎭⎫a 22＝⎝⎛⎭⎫1－π4a2，故概率为1－π4. 【答案】 A4. (·阜阳模拟)一艘轮船从O 点的正东方向10 km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10 km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( ) A.2－12B.1－22C.2－1D.2－ 2【答案】 D【解析】以O 为圆心，r 为半径作圆，易知当r ＞52时，轮船会遭受台风影响，所以P ＝10－5210－5＝10－525＝2－ 2. 5.在棱长为2的正方体ABCD －A1B1C1D1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A1B1C1D1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．【答案】1－π12B 能力提升训练1. 【高考辽宁卷第6题】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π【答案】B2. 在区间（0,1）内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为（）A．1718B．79C．29D．118【答案】A3.【湖北八校高三第二次联考数学试题】记集合{}22(,)|4A x y x y=+≤和集合{}(,)|20,0,0B x y x y x y=+-≤≥≥表示的平面区域分别为1Ω和2Ω，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y，则点M落在区域2Ω的概率为.【答案】12πBAyxO4.一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A ．18B ．116C ．127D ．2764【答案】A【解析】根据几何概型知识，概率为体积之比，即P ＝4－2343＝18. 5. (·福建三明质量检测)已知集合M ＝{x|－2≤x ≤8}，N ＝{x|x2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈(M ∩N)”的概率是( )A ．110B ．16C ．310D ．12【答案】A【解析】因为N ＝{x|x2－3x ＋2≤0}＝[1,2]，所以M ∩N ＝[1,2]，所以所求的概率为2－18＋2＝110.C 思维扩展训练1. 【东莞市高三模拟考试一】已知(2,1)A ，(1,2)B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤⋅≤且02OP OB ≤⋅≤，则点P 到点C 的距离大于14的概率为（）A ．5164π-B ．564πC ．116π- D ．16π 【答案】A2. 【高考重庆卷第15题】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）【答案】932【解析】用x表示小张到校的时间，3050x≤≤,用y表示小王到校的时间，3050y≤≤则所有可能的结果对应直角坐标平面内的正方形区域ABCD记“小张比小王至少早到5分钟”为事件M,则M所对区域为图中的阴影部分DEF∆所以()1151592202032DEFABCDSP AS∆⨯⨯===⨯正方形，所以答案应填：932.3. （济南市高三3月考模拟考试）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为．【答案】164. 【北京市丰台区高三一模】设不等式组2210x yy⎧+-≤⎨≥⎩，表示的平面区域为M，不等式组201t x ty t-≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩，表示的平面区域为N.在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是_________.【答案】2π5. 若k∈[－3,3]，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆(x－k)2＋y2＝2相切的概率等于( )A ．12B ．13C ．23D ．34【答案】C【解析】点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切．故使圆心与点A 的距离大于半径即可，即(1－k)2＋1＞2，解得k ＜0或k ＞2，所以所求k ∈[－3,0)∪(2,3]，所求概率P ＝46＝23.高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

2018年高考全国卷2理科数学真题附含答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A. B. C. D.2.已知集合A=｛（x，y）｜x ²+y ²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数f（x）=e ²-e-x/x ²的图像大致为A.B.C.D.4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=A.4B.3C.2D.05.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±D.y=±6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=A.4B.C.D.27.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A. B.10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是A. B. C. D. π11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。

若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=A.-50B.0C.2D.5012.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A..B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省八校2014届高三第二次联考数学理试题含答案

鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄阳五中襄阳四中2014届高三第二次联考数学（理工类）(含答案)考试时间：2014年3月20日下午15：00—17：00本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。

答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足i z i 21)1(+=+(其中i 是虚数单位)，则z 对应的点位于复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合AB 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为 A ．{0} B ．{03}，C ．{13,4}，D ．{013,4}，， 3．下列说法正确的是A ．“a b >”是“22a b >”的必要条件B ．自然数的平方大于0C ．“若a b ，都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为真D ．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数湖北省八校第4题图4．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A ．48cm 3B ．98cm 3C ．88cm 3D ．78cm 3 5．把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为 A ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭D ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭6．已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点，且4=MN ，则此双曲线的离心率为ABCD ．57．把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式2F=k qr （其中k 为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从a r =处移动到a r 2=处，与从a r 2=处移动到ar 3=处，电场力对它所做的功之比为 A ．23B ．13C ．32D ．38．如图，在半径为R 的圆C 中，已知弦AB 的长为5，则AB AC =A ．52B ．252C ．52R D ．252R 9．将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为12的概率为 A ．185B ． 91C ．183D ．72110．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为,,,a b c d ，下列说法错误的是 A ．[)3,4m ∈B ．)40,abcd e ⎡∈⎣C ．562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭BAC第8题图第15题图D ．若关于x 的方程()=f x x m +恰有三个不同实根，则m 取值唯一二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．记集合{}22(,)|4A x y x y =+≤和集合{}(,)|20,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为1Ω和2Ω，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为 .12．已知正数x, y, z 满足x+2y+3z=1, 则xz z y y x +++++3932421的最小值为．13．定义某种运算⊗，b a S ⊗=的运算原理如右图所示．设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f ______；()f x 在区间[]3,3-上的最小值为______．14．数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个；由此推测：11位的回文数总共有个．(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD//AC ．过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ， AD 与BC 交于点F ．若AB = AC ，AE = ， BD = 4，则线段CF 的长为______．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同？？第19题图的单位长度．已知曲线 54532:1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x C （t 为参数）和曲线θθρcos 2sin :22=C 相交于A B 、两点，设线段AB 的中点为M ，则点M 的直角坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量22cos m x =（，1,sin 2n x =（），函数()f x m n =⋅．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角,,A B C 的对边，且()3,1f C c ==，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且113n n S a +=)(*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设41log (1)n n b S +=-)(*∈N n ，12231111n n n T bb b b b b +=+++，求使10072016n T ≥成立的最小的正整数n 的值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥C P A B -中，,,AB BC PB BC ⊥⊥5,PA PB ==64,AB BC ==，点M 是PC 的中点，点N 在线段AB 上,且MN AB ⊥．（Ⅰ）求AN 的长；（Ⅱ）求二面角M NC A --的余弦值．20．（本小题满分12分）甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了 105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．甲地区：乙地区：（Ⅰ）计算x ，y 的值；（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数的数学期望；（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．21．（本小题满分13分）如图所示，已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点)0,1(F ,C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M （4,0）的直线l 与抛物线C 2分别相交于A 、B 两点.（Ⅰ）写出抛物线C 2的标准方程；（Ⅱ）求证：以AB 为直径的圆过原点；（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值．22．（本小题满分14分）已知函数)1,0(,2)1l n ()(2≠≥+-+=k k x kx x x f 且．（Ⅰ）当2=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调减区间；（Ⅲ）当0=k 时，设)(x f 在区间)](,0[*N n n ∈上的最小值为n b ，令n n b n a -+=)1l n (，求证：)(,112*2421231423121N n a a a a a a a a a a a a a n nn ∈-+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++-．湖北八校2014届高三第二次联考参考答案数学（理工类）一、选择题A D DBC BD B A D二、填空题：11,π21; 12, 18 ; 13, 3- 12- ;14, 900000 ； 15, ; 16, ），（431641 . 三、解答题：17.（1）22()(2cos ,(1,sin 2)2cos 2f x m n x x x x =⋅=⋅=cos 2122sin(2)16x x x π=+=++.……………………3分故最小正周期22T ππ==……………………5分 (2）31)62sin(2)(=++=πC C f ，1)62sin(=+∴πC ，C 是三角形内角，∴262ππ=+C 即：.6π=C ……………………7分232cos 222=-+=∴ab c a b C即：722=+b a ． ……………………9分将32=ab 代入可得：71222=+aa ，解之得：32=a 或4, 23或=∴a ，32或=∴b ……………………11分3,2,==∴>b a b a ……………………12分 18.（1）当1n =时，11a s =，由11113134S a a +=⇒=， ……………………1分当2n ≥时，11111113()01313n n n n n n n n S a S S a a S a ----⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩114n n a a -⇒=∴{}n a 是以34为首项，14为公比的等比数列． ……………………4分故1311()3()444n n n a -== )(*∈N n …………………6分（2）由（1）知111111()34n n n S a +++-==，14141log (1)log ()(1)4n n n b S n ++=-==-+ ………………8分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ nT =1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++1110072014222016n n -≥⇒≥+，故使10072016n T ≥成立的最小的正整数n的值2014n =. ………………12分19.解：（1）方法一、如图，分别取AB 、AC 的中点O 、Q,连接OP 、OQ ，设AN a =以O 为坐标原点，OP 为x 轴，OA 为y 轴，OQ 为z 轴建立空间直角坐标系，则3(400),(0,34),(2,2),(0)2P C M N a -，，，，-，3-,0 设0(00)N x ，，，则9(00),(),2AB MN a ==，-6，-2，-，-2 由MN AB ⊥得()990,6200=22AB MN a a a ⎛⎫=+--⨯⇒ ⎪⎝⎭即-2- 所以29=AN …………………6分方法二：如图，取AB 的中点为O ，PB 的中点为Q ，连接MQ 、NQ ， M 、Q 分别为PB 、PC 的中点∴MQ BC 又 AB BC ⊥ ∴AB MQ ⊥又 MN AB ⊥∴AB MNQ ⊥平面 AB NQ ⊥，又 PA PB =且O 为AB 的中点 ∴OP AB ⊥ ∴NQ OP 又 Q 为AB 中点 ∴N 为OB 中点 ∴113242BN OB AB ===∴92AN = ………………6分（2） 3(2),(0.),2MN NC =-=-，0，-2，4设平面MNC 的一个法向量为()1000,,n x y z =，则0000220034002x z m MN y z m NC --=⎧⎧∙=⎪⎪⇒⎨⎨-+=∙=⎪⎪⎩⎩ 令03z =，则003,y 8x =-=，即()13,8,3n =- ………………9 分平面ANC 的一个法向量为()20,0,1n =，则121212382cos ,n n n n n n ∙<>==故二面角M N--的余弦值为82. ………………12分20.解(I )6,7x y == ………………4分2(3,)5B ， ξ的数学期望为26()3.55E ξ=⨯= ………………6分(III)()320330570203C P C η===，()121020330951203C C P C η=== ()211020330452203C C P C η===，()31033063203C P C η=== η………………10分 η的数学期望为5795456()0+1+2+3=1.203203203203E η=⨯⨯⨯⨯ ………………12分 21.解： (1) 设抛物线的标准方程为),0(22>=p px y 由)0,1(F 得2=p ,x y C 4:22=∴; (3)分(2) 可设ny x AB +=4:,联立x y 42= 得 01642=--ny y ,设1616,16),,(),,(222121212211==-=y y x x y y y x B y x A 则 12120O A O B x x y y ∴⋅=+=,即以AB为直径的圆过原点; ………………8分(3)设)4,4(2t t P ,则，l t t OP 上在直线的中点)2,2(2 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=∴n tt ntt 2244242得1±=n 0<t4,1+==∴y x l n ：直线 (10)分设椭圆:1C 112222=-+a y a x ，与直线4:+=y x l 联立可得：()()22242218117160a y a y a a -+--+-=0a ∆≥≥，∴长轴长最小值为………………13分22.(1)当2=k 时，2)1ln()(x x x x f +-+= x xx f 2111)(+-+='2ln )1(,23)1(=='∴f f ………………2分 ∴曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为：)1(232ln -=-x y即032ln 223=-+-y x ………………3分（2）),1(,1)1()(+∞-∈+-+='x xk kx x x f①当0=k 时，00)(,1)(><'+-='x x f xxx f 则令），的单调减区间为：（∞+∴0)(x f ②当1001<<>-k k k 即时，kkx x f -<<<'100)(则令），的单调减区间为：（kkx f -∴10)( ③当101><-k k k 即时，010)(<<-<'x kkx f 则令）的单调减区间为：（0,1)(kkx f -∴ ……………………7分（3）当0=k 时，],0[)(n x f 在上单调递减n n n f b n -+==∴)1ln()()(,)1ln(*N n n b n a n n ∈=-+=∴ ………………9分1212121221222121121)2()12)(12(6754532312642)12(5312222264212531--+=-++<+=+<+⨯+-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴-n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a n n ………………12分)(,112112)1212()35()13(*2421231423121N n a n n n a a a a a a a a a a a a n nn ∈-+=-+=--++⋅⋅⋅+-+-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++∴-………………14分。

湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学

衡阳市八中2024届高三第2次月考数学试题命题人：刘瑶审题人：颜军注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1. 若集合{}{}202,1A x x B x x =≤≤=<，则A B = （）A. {}01x x ≤< B. {}12x x <≤C. {}02x x <≤ D. {0x x >或}1x <-2. 在复平面内，复数12i2i-+对应的点的坐标为( )A. (0,1)- B. ()0,1 C. 43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭3. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（）．A. (3)(2)(1)f f f <-<B. (1)(2)(3)f f f <-<C. (2)(1)(3)f f f -<< D. (3)(1)(2)f f f <<-4. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“322n n n n S S S S ->-”的（）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N (105，σ2)，且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（）A. 360B. 640C. 720D. 7806.椭圆(22213x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为上顶点，若12AF F △的面积为12AF F △的周长为（）A. 8B. 7C. 6D. 5..7. 设函数()()()eln xf x ax m ax x =--（其中e 为自然对数的底数），若存在实数a 使得()0f x <恒成立，则实数m 的取值范围是（）A 21,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. ()2e ,+∞D. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8. 如图，在三棱锥S ABC -中，2SA SC AC AB BC =====，二面角S AC B --的正切值是，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（）A. 12πB. 4πC.D.π二､多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）9. 已知向量(1,3),(2,4)a b ==-，则下列结论正确的是（）.A. ()a b a+⊥B. |2|a b +=C. 向量,a b的夹角为34π D. b 在a10. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，若满足101a <<，740401a a ⋅>，()()20232024110a a --<，则下列选项正确的是（）A. {}n a 为递减数列B. 202320241S S +<C. 当2023n =时，n T 最小D. 当1n T >时，n 的最小值为404711. 已知函数()cos22sin f x x x =+，则（）A. 函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.B. 直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C. 函数()f x 值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 方程()()()0,2πf x a x =∈最多有8个根，且这些根之和为8π12. 已知直线():2l y k x =+交y 轴于点P ，圆()22:21M x y -+=，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则（）A. 若直线l 与圆M相切，则k =B. 当2k =时，四边形PAMB的面积为C. 直线AB 经过一定点D. 已知点7,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则CQ 为定值三､填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数e 2.71828≈．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8______个．14. 曲线()()e xf x x a =+在点()()0,0f 处的切线与直线12y x =-垂直，则=a ______.15. 底面ABCD 为菱形且侧棱⊥AE 底面ABCD 的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若4,3DA DH DB AE CG =====.则三棱雃F BEG -的体积为__________.16. 设0a >，平行于x 轴直线:l y a =分别与函数2x y =和12x y +=的图像交于点A ，B ，若函数2x y =的图像上存在点C ，满足ABC V 为等边三角形，则a =_________．四､解答题（本大题共6小题，共70分）的的17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC ，1AB AC ⋅=-且>c b ．（1）求角A 的大小；（2）设M 为BC 的中点，且AM =，求a 的长度．18. 某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a ，b ，c 三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为34，12，12．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品．（1）求加工一件工艺品不是废品的概率；（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X 元，求X 的分布列和数学期望．19. 在图1中，ABC V 为等腰直角三角形，90B Ð=°，AB =，ACD V 为等边三角形，O 为AC 边的中点，E 在BC 边上，且2EC BE =，沿AC 将ACD V 进行折叠，使点D 运动到点F 的位置，如图2，连接FO ，FB ，FE ，使得4FB =．（1）证明：FO ⊥平面ABC ．（2）求二面角E FA C --的余弦值．20. 若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点()1,n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数，（1）证明：数列{}1n a +是“平方递推数列”，且数列(){}lg 1n a +为等比数列；（2）设()lg 1,24n n n b a c n =+=+，定义,,*,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，且记*n n n d b c =，求数列{}n d 的前n 项和n S ．21. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，右顶点分别为F ，A ，()0,B b ，1AF =，点M 在线段AB上，且满足BM =OM 的斜率为1，O 为坐标原点.（1）求双曲线C 的方程.（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP FQ EQ FP ⋅=⋅恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.22. 已知函数()1ln f x x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0a >.（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 恰有三个零点()123123,,t t t t t t <<和两个极值点()1212,x x x x <.（ⅰ）证明：()()120f x f x +=；（ⅱ）若m n <，且ln ln m m n n =，证明：()()1231e ln 1mm n n t t t -->+.。

八省八校(T8联考)2022届高三下学期第二次联考数学试题

一、单选题1. 如图，已知椭圆和双曲线在轴上具有相同的焦点，，设双曲线与椭圆的上半部分交于A ，两点，线段与双曲线交于点.若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．2.已知圆，则下列说法错误的是（）A ．点在圆外B ．直线平分圆C．圆的周长为D ．直线与圆相离3.在等差数列中，，则（）A．B．C．D．4.将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将所得图象向左平移个单位长度，则最后所得图象的解析式为（）A．B．C．D．5. 已知正方体的棱长为2，点E ，F 在平面内，若，，则下列选项中错误的是（）A ．点E 的轨迹是圆的一部分B ．点F 的轨迹是一条线段C．的最小值为D ．与平面所成角的正弦值的最大值为6.已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（）A．B．C．D．7. 若，则（）A．B．C．D．八省八校（T8联考）2022届高三下学期第二次联考数学试题八省八校（T8联考）2022届高三下学期第二次联考数学试题二、多选题三、填空题四、解答题8. 已知为实数，集合，表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则等于A ．1B ．0C ．-1D．9. 若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是（）A．B．C．D．10.已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有（）A ．是周期为的周期函数B．当时，C ．若在上单调递减，则D ．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是11. 在正方体中，，则（）A．B ．与平面所成角为C．当点在平面内时，D．当时，四棱锥的体积为定值12.如图，在正方体中，以下结论正确的是（）A ．平面B ．平面C ．异面直线与所成的角为60°D ．直线与平面ABCD所成角的正弦值为13. 圆C 的方程是x 2+y 2+2x +4y =0，则圆的半径是_______________．14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则____.15. 某零食生产厂家准备用长为，宽为4cm 的长方形纸板剪去阴影部分（如图，阴影部分是全等四边形），再将剩余部分折成一个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒，则该包装盒容积的最大值为_________.16.已知函数（1）求在上的零点；（2）求在上的取值范围．17. 设函数．(1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；(2)若当时，恒有，求实数a的取值范围；(3)设时，求证：．18. 如图1，在梯形中，，，.将与分别绕，旋转，使得点，相交于一点，设为点，形成图2，且二面角与二面角都是45°.（1）证明：平面平面；（2）若，且梯形的面积为，求二面角的余弦值.19. 已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的单调递减区间．20. 已知椭圆的左右焦点分别为.点在椭圆上；直线交轴于点.且.其中为坐标原点.（1）求椭圆的方程;（2）直线斜率存在，与椭圆交于两点，且与椭圆有公共点，求面积的最大值.21. 已知函数.(1)当时，试判断函数的单调性；(2)若，求证：函数在上的最小值小于.。

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湖南省八校2018—2018学年度高三年级联考数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70m/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以石得山将被处罚的汽车人约有 ( ) A ．30辆 B ．40辆 C ．60辆D ．80辆 2．若0a b <<，则下列不等式中不一定成立的是（）A ．11a b> B ．11a b b>- C ．a b ->- D ．∣a ∣>b -3．已知集合{}2|21,A y y x x x R ==--∈，1|,0B y y x x R x x ⎧⎫==+∈≠⎨⎬⎩⎭且，则()R B A =ð（）A ．(2,2]-B ．[2,2)-C ．[2,)-+∞D ．(2,2)-4．设:211p x -≤，:()[(1)]0q x a x a --+≤，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（） A ．1[0,]2 B ．1(0,)2C ．(,0]-∞∪1[,)2+∞D ．(,0)-∞∪1(,)2+∞5．已知函数112()log (421)x x f x +=-+的值域是[0,)+∞，则它的定义域可以是（）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(,1]-∞D ．(,0]-∞6．已知函数()2sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的取值范围为（） A ．9(,]2-∞-B ．(,2]-∞-C ．3(,2][,)2-∞-+∞D ．9(,][6,)2-∞-+∞7．函数sin()4()22|sin cos |sin cos x f x x x x xπ-=-是（）A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为π的非奇非偶函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的非奇非偶函数8．已知函数2()11f x ax b x =-+-，其中{}{}0,1,1,2a b ∈∈，则使得()0f x >在[1,0]x ∈-上有解的概率为（）A ．12B ．13 C ．14D ．09．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为A ，P 为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A 引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP 分别交于Q ，R 两点，其中O 为坐标原点，则2||OP 与||||OQ OR 的大小关系为（）A ．2||||||OP OQ OR <B ．2||||||OP OQ OR >C ．2||||||OP OQ OR =D ．不确定10．平面向量的集合A 到A 的映射f 由()2()f x x x a a =-确定，其中a 为常向量．若映射f 满足()()f x f y x y =对,x y A ∈恒成立，则a 的坐标不可能是（）A ．(0,0)B ．22(,)44C ．22(,)22D ．13(,)22-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是_________．12．如图，在△ABC 中，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+=_________．13．将抛物线2(3)40(0)a x y a ---=≠按向量(3,4)v =-平移后所得抛物线的焦点坐标为_________．14．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310(7)n a n -=>，714S =，72n S =，则_________． 15．给出定义：若1122m x m -<+≤ （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =．在此基础上给出下列关于函数{}()f x x x =-的四个命题： ①()y f x =的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)()k k Z ∈是()y f x =的图像的对称中心； ③函数()y f x =的最小正周期为1； ④函数()y f x =在13(,]22-上是增函数；则其中真命题是_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 中，123,,a a a b a c ===，,,a b c 分别为ABC ∆的三内角,,A B C 的对边，且3cos 4B =．（1）求数列{}n a 的公比q ；（2）设集合{}2|2||A x N x x =∈<，且1a A ∈，求数列{}n a 的通项公式．17．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，向量(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)OA OB OC ααα===-，点P 是直线AB 上的一点，且点B 分有向线段AP 的比为1．（1）记函数()f PB CA α=⋅，(,)82ππα∈-，讨论函数()f α的单调性，并求其值域；（2）若,,O P C 三点共线，求||OA OB +的值．若关于x 的实系数方程20x ax b ++=有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间(1,3)内，记点(,)a b 对应的区域为S ．（1）设2z a b =-，求z 的取值范围；（2）过点(5,1)-的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域S ，求反射光线所在直线l 经过区域S 内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l 的方程．19．（本小题满分13分）已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”．（1）判断函数2()(1)1,[2,1]g x x x =++∈--是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）若()F x kx b =+，其中0,k x R ≠∈满足“2和性质”，则是否存在实数a ，使得()2(9)cos sin (1)F F a F θθ<+<对任意的(0,)θπ∈恒成立？若存在，求出a 的范围；若不存在，请说明理由．已知椭圆22222221(0,)x y a b c a b c a b+=>>>=+的左、右焦点分别为F 1,F 2，若以F 2为圆心，b c -为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于3()2a c -．（1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F 2与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为k （k>0）的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，求直线l 被圆F 2截得的弦长s 的最大值．21．（本小题满分14分）已知曲线:4,:4()x x n n C y C y n N +*==∈，从C 上的点(,)n n n Q x y 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点111(,)n n n Q x y +++，设111,,n n n x a x x +==-1n n ny b y +=．（1）求数列{x n }的通项公式；（2）记4n n nc a b =，数列{}n c 的前n 项和为S n ，试比较S n 与3732的大小()n N *∈；（3）记2352(1)nn n n d b +⨯=⨯-，数列{d n }的前n 项和为T n ，试证明：21(21)n n n d T --⋅≤2155[1()]38n -⨯-≤．参考答案1．B 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．B 8．A 9．C 10．B 11．48 12．1213．1(0,)4a 14．12 15．①③ 16．解：（1）依题意知：2b ac =，由余弦定理得：222113cos ()2224a cb ac B ac c a +-==⨯+-=，（3分）而2c q a =，代入上式得22q =或212q =，又在三角形中,,a b c 0>， 2q ∴=或22q =；（6分）（2）2422||,40x x x x <∴-<，即22(4)0,22x x x -<∴-<<且0x ≠，（8分）又x N ∈，所以{}11,1A a =∴=，1(2)n n a -=或12()2n n a -=．（10分） 17．解：依题意知：(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)A B C ααα-，设点P 的坐标为(,)x y ，则：sin 1cos ,01111x yαα++==++，所以2cos sin ,1x y αα=-=-，点P 的坐标为(2cos α-sin ,1)α-．（2分）（1）(sin cos ,1),(2sin ,1)PB CA ααα=-=-，2()2sin f PB CA αα∴=⋅=-2sin cos 1αα-(sin 2cos 2)αα=-+=2sin(2)4πα-+，（4分）由52(0,)44ππα+∈可知函数()f α的单调递增区间为(,)82ππ，单调递减区间为(,)88ππ-，（6分）所以2sin(2)(,1]42πα+∈-，其值域为[2,1)-；（8分）（2）由,,O P C 三点共线得41(sin )2(2cos sin ),tan 3αααα-⨯-=⨯-∴=，（10分）∴2222sin cos 2tan 24sin 2sin cos 1tan 25ααααααα===++，∴2||(sin cos )1OA OB αα+=++=74sin 225α+=．（12分） 18．解：方程20x ax b ++=的两根在区间(0,1)和(1,3)上的几何意义是：函数2()y f x x ==ax b ++与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,3)内，由此可得不等式组(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即010390b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩，则在坐标平面aOb 内，点(,)a b 对应的区域S 如图阴影部分所示，易得图中,,A B C 三点的坐标分别为(4,3),(3,0),(1,0)---，（4分）（1）令2z a b =-，则直线2b a z =-经过点A 时z 取得最小值，经过点C 时z 取得最大值，即min max 11,2z z =-=-，又,,A B C 三点的值没有取到，所以112z -<<-；（8分）（2）过点(5,1)-的光线经x 轴反射后的光线必过点(5,1)--，由图可知可能满足条件的整点为(3,1),(3,2),(2,2),(2,1)----，再结合不等式知点(3,1)-符合条件，所以此时直线方程为：1(1)1(5)3(5)y x --+=⋅+---，即4y x =+．（12分）19．解：（1）函数2()(1)1,[2,1]g x x x =++∈--的反函数是1()11g x x -=---，[1,2]x ∈，1(1)1,[0,1]g x x x -∴+=--∈，而2(1)(2)1,[3,2]g x x x +=++∈--，其反函数为21,[1,2]y x x =---∈, 故函数2()(1)1,[2,1]g x x x =++∈--不满足“1和性质”；（6分）（2）设函数()F x kx b =+满足“2和性质”，0.k ≠1(),,x bF x x R k --∴=∈12(2)x b F x k -+-+=，而(2)(2),F x k x b x R +=++∈，得反函数2x b ky k--=．由“2和性质”定义可知2x b k +-=2x b kk --对x R ∈恒成立，1,,k b R ∴=-∈即函数()F x x b =-+，x R ∈，在(,)-∞+∞上递减，（9分）所以假设存在实数a 满足2(9)(cos F F θ<+sin )(1)a F θ<，即21cos sin 9a θθ<+<对任意的()0,θπ∈恒成立，它等价于22800t at t at ⎧-+>⎨-<⎩在(]0,1t ∈上恒成立．280t at -+>，(]0,1t ∈⇔8a t t<+，易得9a <．而20t at -<知a t >，所以1a >．综合以上有当19a <<使得()2cos sin 3f a θθ+<对任意的()0,θπ∈恒成立．（13分）20．解：（1）依题意设切线长222||||()PT PF b c =--，∴当且仅当2||PF 取得最小值时||PT 取得最小值，而2min ||PF a c =-，（2分）223()()()2a c b c a c ∴----≥，102b c a c -∴<-≤，从而解得3252e <≤，故离心率e 的取值范围是3252e <≤；（6分）（2）依题意Q 点的坐标为(1,0)，则直线的方程为(1)y k x =-，联立方程组 222(1)1y k x x y a=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22222222(1)20a k x a k x a k a +-+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22122221a k x x a k +=+，22212221a k a x x a k -=+，代入直线方程得2121212[()1]y y k x x x x =-++2222(1)1k a a k -=+，221212221k a x x y y a k -+=+，又OA OB ⊥，2212120,0,OA OB x x y y k a ∴=∴+=∴=，（10分）k a ∴=，直线的方程为0ax y a --=，圆心2F (,0)c 到直线l 的距离2||1ac a d a -=+，由图象可知2222222|1|212142221912121221d c c c c c s a a c a c c --+-+=====-+++++-+， ∴3252e <≤，351,21342c c ∴<+<≤≤， ∴241(0,]41s ∈，所以max 24141s =．（14分） 21．解：（1）依题意点n P 的坐标为1(,)n n x y +，1144n n x n x n y +++∴==，1n n x x n +∴=+，（2分） 1211(2)(1)12(1)(1)1.(4)2n n n x x n x n n x n n n --∴=+-=+-+-==++++--=+分（2）114n n c n -=⋅，由137132S =<，2193718832S =+=<，311553718484832S =++=<， ∴当3n >时，211111124344n n S n -=++++⨯⨯⨯ 231221111112434343411(1)119114411838369414n n n ---<+++++⨯⨯⨯⨯⨯-=++⨯=+-⨯- 1911378329432n -<+-=⨯；（8分）（3）2352(41)nn n n d +⨯=⨯-，所以易证：158n n d d +<， ∴当2n ≥时，211215555()()()8888n n n n n d d d d ---<<<<=，221211221555()()888n n n T d d d ---∴=+++++=≤2155[1()]38n -⨯-，（当1n =时取“=”）．（11分）另一方面，当2,1,2,21n k n =-≥时，有：235[42(41)k k n k k k d d -+=⨯+⨯-2225]2(41)n k n k n k ---⨯- 2222222355242(41)2(41)325142(41)(41)651.24441k n kk k n k n k nnk n k nn n k n k ----+-⨯⨯⨯-⨯-⨯⨯=⨯--⨯=--+≥ 又222224424,44414241(41)k n k n n k n k n n n --+⨯∴--+-⨯+=-≥≤，226512241n k n k n n n d d d -+⨯∴+⨯=-≥，211(21)2(21)2n n n T n d n d -⨯-⨯=-⨯≥．所以对任意的N n *∈，都有21(21)n n n d T --≤2155[1()]38n -⨯-≤．（14分）。