高等数学第八章空间解析几何 教学ppt
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高等数学之空间解析几何与向量代数PPT课件
半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
A(x2 y2 z2 ) Dx Ey Fz G 0
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 Nhomakorabea回 结束
二、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 . o
x
M0
M
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样
的曲面.
解: 配方得 (x 1)2 ( y 2)2 z2 5 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ),
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间中
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
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说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
A(x2 y2 z2 ) Dx Ey Fz G 0
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 Nhomakorabea回 结束
二、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 . o
x
M0
M
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样
的曲面.
解: 配方得 (x 1)2 ( y 2)2 z2 5 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ),
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间中
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
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高等数学第八章空间解析几何
任一点， 那么向量 M 0M 与L的方向向量 平s行.
所以,
两向量的 对应坐标成比例, 由于
M0M
(xx 0，yy 0，zz 0)，
s(m，n，p)，
从而有
此方程组就是直线 L 的方程，叫做直线的对称式方程或 点向式方程．
第六页，共30页。
z
s
M
M0
O
y
x
第七页，共30页。
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量
第二页，共30页。
二、空间直线的对称式方程与参数方程 空间直线的方向向量：如果一个非零向量平行于
一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量． z
s
O
y
x
第三页，共30页。
二、空间直线的对称式方程与参数方程
空间直线的方向向量：如果一个非零向量平行于
一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量．
x2t，y3t，z42t，
代入平面方程中，得
2(2t)(3t)(42t)60．
2x y z 6 0
解上列方程，得t1．
将 t 1 代 入 直 线 的 参 数 方 程 ， 得 所 求 交 点的坐标为
x1，y2，z2．
第二十一页，共30页。
例6 求过点P(2，1，3)且与直线
垂直相交的直线的方程．
二、如何将直线的一般方程化为对称式方程？ 三、两直线的位置关系 四、直线与平面的位置关系
五、关于平面束方程的概念
第二十九页，共30页。
谢 谢！
第三十页，共30页。
即
(1l)x(1l)y(1l)z(1l)0，
其中l为待定的常数．这平面与平面xyz0垂直的条件是
《高等数学(应用类)》课件 第八章 空间解析几何与向量代数
LOGO 第八章 空间解析几何与向量代数
第4 页
第 一 节
空空
间间
直直
角 坐 标
角 坐 标 系
系一
像讨论平面上曲线与方程的关系需要建立平面直角坐标系一样，讨 论空间几何图形与方程的关系也需要建立空间直角坐标系．
如左图所示，三条垂直相交且具有相同长 度单位的数轴，构成一个空间直角坐标系，交点 O称为坐标原点，这三条轴分别称为x轴〔横轴〕、 y轴〔纵轴〕和z轴〔竖轴〕．
看出，这个长方体对角线的长度就是点M1和M2之间的距离．
由于△M1NM2和 △M1PN都为直角三角形， M1M2和M1N为斜边，所以
| M1M 2 |2 | M1N |2 | NM 2 |2 ，| M1N |2 | M1P |2 | PN |2
于是有 | M1M 2 |2 | M1P |2 | PN |2 | NM 2 |2 由于 | M1P| | x2 x1 |，| PN | | y2 y1 | ，| NM 2 | | z2 z1 | 所以
坐标原点的坐标为(0,0,0)．
LOGO 第八章 空间解析几何与向量代数
第8 页
第
一 节
空 间 两
空 间
点 之 间
直的
角距
坐离
标公 系式
二
设 M1(x1 ，y1 ，z1) 与 M 2 (x2 ，y2 ，z2 ) 是空间的两个点，过M1和M2各作三 个垂直于坐标轴的平面，这六个平面围成一个长方体，如下图所示．可以
{(ax bx ) ，(ay by ) ，(az bz )}
a b (axi ay j az k ) (bxi by j bz k ) (ax bx ) i (ay by ) j (az bz )k
高等数学-第8章-空间解析几何与向量代数
教学过程教学思路、主要环节、主要内容8.4 空间曲线及其方程一、空间曲线一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线。
设F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0是两个曲面的方程，它们的交线为C。
因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组(,,)0(,,)0F x y zG x y z=⎧⎨=⎩（1）反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（1）。
因此，曲线C可以用方程组（1）来表示。
方程组（1）叫做空间曲线C的一般方程。
空间曲线的参数方程为()()()x x ty y tz z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩,其中t为参数.二、空间曲线在坐标上的投影设空间曲线C的一般方程为(,,)0(,,)0F x y zG x y z=⎧⎨=⎩由上述方程组消去变量z，x，y后所得的方程分别为：H( x , y )=0 ，R( y , z )=0， T( x , z )=0(,)0H x yz=⎧⎨=⎩表示曲线C在xOy面上的投影,(,)0R y zx=⎧⎨=⎩表示曲线C在yOz面上的投影,(,)0T x zy=⎧⎨=⎩表示曲线C在xOz面上的投影。
加强交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影柱面）及空间区域在坐标面上的投影区域的计算。
教学过程教学思路、主要环节、主要内容8．5平面及其方程一、平面方程的几种形式1．一般形式：Ax+By+Cz+D=0，称为平面方程的一般式。
其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法向量 {A，B，C}，A2+B2+C2≠0。
2．点法式方程：我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。
设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}且A2+B2+C2≠0，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。
《高数空间解析几何》PPT课件
类似地， 方程 f( y , z)= 0在空间表示以 yoz 坐标面上的 曲线为准线，平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 方程 f( x , z)= 0在空间表示以 xoz 坐标面上的曲线为准线， 平行于 y 轴的直线为母线的柱面.
8
椭圆柱面：
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周，求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2
8
椭圆柱面：
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周，求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2
高数A第八章 空间解析几何和向量PPT课件
3.向量的线性运算
加法：平行四边形法则 数乘：大小与方向
4. 空间两向量的夹角的概念：
向 量 aa 与 0向 , 量 bb 的 0,夹 角
b
a
(a ,b )(b,a)
(0)
二、向量坐标及坐标线性运算
设a是以 M1( x1 , y1 , z1 )为起点、 M2 ( x2 , y2 , z2 )
1.球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R的球面方程:
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
2. 旋转曲面：
如图 设M(x,y,z),
(1) zz1
（2）点M 到z轴的距离
dx2y2 |y1| x
z
d M 1(0,y1,z1)
M f(y,z)0
（5）
a//
b
ax
ay
az
bx by bz
例2
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k 都垂
直的单位向量.
解
i
jki
j
c ab ax ay az 3 2
bx by bz 1 1
|c |1 2 0 5 2 55 ,
c0 c
|c|
2
j
5
15k.
k
4 1j0 5k, 2
第八章 空间解析几何与向量代数
一、向量及其线性运算
1. 空间的点 1 1有序数组(x,y,z)
2. 空间两点间的距离
设 M1( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点，则
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
高等数学第八章课件.ppt
x x0 y y0 z z0 . x(t0 ) y(t0 ) z(t0 ) 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
大学数学专业空间解析几何向量代数PPT课件
它 们 的 和 是 零 矢 量.
C
证 必 要 性 设 三 矢 量a，b，c可 以
构 成 三 角 形ABC， 即 有AB a, BC A
B
b,CA c， 那 么AB＋BC＋CA＝AA 0,即a b c 0
充 分 性 设a b c 0， 作AB a, BC b, 那 么AC
a b, 所 以AC c 0, 从 而c是 AC的反矢 量，因此c＝
叫 做 矢 量a1 , a2 ,, an的 线 性 组 合.
定理1.4.4 在n 2时，矢量a1, a2 ,, an线性相关的 充 要 条 件 是 其 中 有 一 个矢 量 是 其 余 矢 量 的 线 性组 合.
第34页/共137页
定理1.4.6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定 义1.4.2 对 于n(n 1)个 矢 量a1, a2 ,, an， 如 果 存
r xe1 ye2 ze3 ,
(1.4 3)
并 且 其 中 系 数x, y, z被e1 , e2 , e3 , r唯 一 确 定.
这时e1, e2 , e3叫做空间矢量的基底.
第38页/共137页
定 理1.4.3 如 果 矢 量e1 , e2 , e3不 共 面 ， 那 么 空 间
任 意 矢 量r可 以 由 矢 量e1 , e2 , e3线 性 表 示 ， 或 说 空 间 任 意 矢 量r可 以 分 解 成 矢 量e1 , e2 , e3的 线 性 组 合 ， 即
A
Q M
B
P
CB
由条件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.
S
Q
T
P
C
设AS = AP, B2T = BQ,
2
3
《空间解析几何》课件
了解空间解析几何在计算机图形 学中的应用，如3D建模、动画制 作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
高等数学第一节、向量及其线性运算
o
a
A
记作(a, b) 或 (b, a),即(a, b) .
如果向量 a 与 b 中有一个是零向量 ,规定它们的
夹角可以在 0 与 π 之间任意取值 .
8、向量平行
如果(a, b) 0或，就称向量a 与b 平行，记作a// b .
a
c
b
零向量与任何向量都平行.
9、向量垂直
如果
( a,
b)
，就称向量a
因为向量 a 与 a 平行,所以常用向量与数的乘
积来说明两个向量的平 行关系.
定理 1 设向量 a 0,那么向量b 平行于 a 的充分
必要条件是: 存在唯一的实数,使得 b a .
6、数轴与向量
数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故
给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴.
6、零向量： 模等于零的向量叫做零 向量,记作 0 或 0 .
零向量的起点与终点重合，它的方向可以看做是任意的.
7、向量的夹角 设有两个非零向量 a, b, 任取空间一点 O,
作 OA a, OB b,
规定不超过 π 的 AOB
B
b
(设 AOB, 0 π)
称为向量a 与 b的夹角,
A
D
二、向量的线性运算
1. 向量的加法
三角形法则
ab
C
A
a
b
B
或平行四边形法则
b
A
D
ab
a
B
C
b (ab)c
a (b c)
c bc
运算规律 :
ab b
交换律 结合律
a b b a (a b) c
a
(b
c)
高等代数与解析几何-第八章完整ppt课件
2
x2
z
,
消 去 z得 投 影 柱 面 x2y2 1,
在 xoy面上的投影为
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由 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
得上、下半球面的方程分别是：
zz0 R2(xx0)2(yy0)2
zz0 R2(xx0)2(yy0)2
由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0
+
y2 b2
z2 c2
= 0 (a>0, b>0, c>0)
z
x = 0, y = 0,
y2 b2
z2 c2
=
0,
x2 a2
z2 c2
=
0,
y
=
bz c
x = az c
Oy x
z = 0, z = h,
x2 a2
+
y2 b2
=
0
x2 a2
+
y2 b2
=
h2 c2
当h 0 时，该交线是椭圆；
当h = 0 时，该交线是原点。 .
§8.1 曲面的方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹．
曲面方程的定义：
如 果 曲 面 S 与 三 元 方 程 F ( x , y , z ) 0 有 下 述 关 系 ：
（ 1 ） 曲 面 S上 任 一 点 的 坐 标 都 满 足 方 程 ； （ 2 ） 不 在 曲 面 S上 的 点 的 坐 标 都 不 满 足 方 程 ；
空间解析几何基础34页PPT
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M (x,y,z),O(0,0,0)
d OM x2y2z2.
例 1 求 证 以 M 1(4 ,3 ,1 )、 M 2(7 ,1 ,2 )、 M 3(5 ,2 ,3 )
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
以下给出两例常见的曲面.
例 1 建 立 球 心 在 点 M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )、 半 径 为 R
的 球 面 方 程 .
解 设 M (x ,y ,z )是 球 面 上 任 一 点 ，
根据题意有 |M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 所求方程为 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5)
所表示的空间曲面称为二
次曲面,其中ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
(1)球面 x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M (x,y,z),O(0,0,0)
d OM x2y2z2.
例 1 求 证 以 M 1(4 ,3 ,1 )、 M 2(7 ,1 ,2 )、 M 3(5 ,2 ,3 )
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
以下给出两例常见的曲面.
例 1 建 立 球 心 在 点 M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )、 半 径 为 R
的 球 面 方 程 .
解 设 M (x ,y ,z )是 球 面 上 任 一 点 ，
根据题意有 |M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 所求方程为 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5)
所表示的空间曲面称为二
次曲面,其中ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
(1)球面 x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
空间解析几何基础35页PPT
f (x, y) 0 z 0 表示.
例如x2+y2=R2表示空间的一个圆柱面,它的母 线平行于Oz轴,准线是xOy平面上的圆.
面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定直线l平行的
动直线沿曲线L移动所得的空间曲面称为柱面,L 称为柱面的准线,动直线称为柱面的母线.
柱面的准线不是唯一的,柱面上与所有母线 都相交的曲线都可作为准线.
我们只讨论母线与坐标轴平行的柱面. 设L是xOy平面上方程为f(x,y)=0的曲线,在空间,曲 线L可以用联立方程组
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
• M (x,y,z)
y
Q (0,y,0) A (x,y,0)
空间两点间的距离
设 M 1 ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) 、 M 2 ( x 2 ,y 2 ,z 2 ) 为 空 间 两 点
zR
M1•
P o
dM 1 M 2 ?
M2M3 M3M1, 原结论成立.
例 2 设 P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标. 解 因 为 P 在 x 轴 上 ， 设P点坐标为 (x,0,0),
PP1 x 222 3 2 x211,
PP2 x 2 1 2 1 2 x22,
•M 2
Q N
在直角M1 NM2 及 直 角 M1PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M 1 P 2 P2 N N 22 ,M
M 1 P x 2 x 1 ,
zR
•M2
P N y 2 y 1 , N 2 M z 2 z 1 ,
例如x2+y2=R2表示空间的一个圆柱面,它的母 线平行于Oz轴,准线是xOy平面上的圆.
面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定直线l平行的
动直线沿曲线L移动所得的空间曲面称为柱面,L 称为柱面的准线,动直线称为柱面的母线.
柱面的准线不是唯一的,柱面上与所有母线 都相交的曲线都可作为准线.
我们只讨论母线与坐标轴平行的柱面. 设L是xOy平面上方程为f(x,y)=0的曲线,在空间,曲 线L可以用联立方程组
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
• M (x,y,z)
y
Q (0,y,0) A (x,y,0)
空间两点间的距离
设 M 1 ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) 、 M 2 ( x 2 ,y 2 ,z 2 ) 为 空 间 两 点
zR
M1•
P o
dM 1 M 2 ?
M2M3 M3M1, 原结论成立.
例 2 设 P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标. 解 因 为 P 在 x 轴 上 ， 设P点坐标为 (x,0,0),
PP1 x 222 3 2 x211,
PP2 x 2 1 2 1 2 x22,
•M 2
Q N
在直角M1 NM2 及 直 角 M1PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M 1 P 2 P2 N N 22 ,M
M 1 P x 2 x 1 ,
zR
•M2
P N y 2 y 1 , N 2 M z 2 z 1 ,
高等数学空间解析几何
（（ （123）））当当a＝0时0时a，，aa与0a（ 同零向向；量当）
0时，a
与
a
反向。
向量与数的的性质
（1）交换律： a a
（2）结合律： (a ) () a (a ) ；（其中为常数）；
（3）分配律：( )a a b ，(a b )a b
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z2 z 1 }
三、向量的坐标表示
3．向量的模与方向余弦的坐标表示式
方向角：非零向量a与三个坐标轴正向的夹角
记为 ,, 0,, 方向余弦：co,sco,scos
aM
对a {ax,ay,az}
a OM ax 2ay 2az 2
cos
ax
ax2 ay2 az2
cos
ay
ax2 ay2 az2
cos
co 2 s co 2 s co 2 s 1eaa a {co,cso,sco}s
az ax2 ay2 az2
知道其中两个 就可求出第三个 单位向量的方向余弦就是它的坐标
力 位移 速度 加速度
表示方法：1
黑体字母
a,b,c或
a,b,c
2 有向线段表示 MN 表示起点在 M，终点在 N 的向量
向量的模 向量的大小（有向线段的长）
a
b
c
a
b
c
单位向量 模1为的向量，记为 e a 零向量
M N
模为的0向量 ，记为 0
自由向量 与起点无关的向量 （向量可自由平移具有自由性）
四、两向量的数量积
2. 数量积的坐标表示式
设 a ax i a y j a z k {ax,ay,az}
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则交线C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立体在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1.
高等数学(下册)
z
C
1
.
x2 y2 1
. .
o
x
y
高等数学(下册)
思考题
求椭圆抛物面2 y 2 x 2 z 与抛物柱面 2 x2 z 的交线关于 xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
Q
当 从 0 2，
螺线从点P Q
0
P
.
x
M
a
N
y PQ 2b
螺距
高等数学(下册)
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C ：
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
(1) (2)
消去变量z,得： H ( x, y) 0
(3)
它是一个柱面， 其母线 // z 轴, 且过曲线 C
2x 3 y 3z 6
y
x
高等数学(下册)
例2 方程组
x2 z
y2 1 x2 y2
表示怎样的曲线？
解
z
x2 y2 1 表示圆柱面
z x2 y2 表示旋转曲面
交线
x2 y2 1
为圆
z x2 y2
y
x
高等数学(下册)
z a2 x2 y2
例2
方程组 ( x
a )2 2
y
高等数学(下册)
类似地：可定义
空间曲线关于其它坐标面的投影柱面、
空间曲线在其它坐标面上的投影曲线.
曲线C
:
F ( x, G( x,
y, y,
z) z)
0 0
消去x
R(
y,
z)
0
关于yoz面
R( y, z) 0
x
0
的投影柱面
同理，xoz 面上的投影曲线,
yoz 面上
的投影曲线
T ( x, z) 0
高等数学(下册)
思考题解答
2 y2 x2 z
交线方程为
2
x2
z
,
消去z 得投影柱面 x2 y2 1,
在 xoy面上的投影为
x2 y2 1
.
z 0
四、小结
高等数学(下册)
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
x x(t)
y
y(t )
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在xoy 面的投影M ( x, y,0)
t
oM
x A M y
x acost
y a sint
z vt
螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
( t,
螺旋线的重要性质：
b v)
z z(t)
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x, y) 0 R( y, z) 0 T ( x, z) 0
z 0
x
0
y
0
五、作 业
高等数学(下册)
P37, 2,3,4,6,7
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2 上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
高等数学(下册)
二、空间曲线的参数方程
将曲线上的动点坐标 (x, y, z) 中的x, y, z 表示成参量
t 的函数:
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
空间曲线的参数方程
上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b ,
2 , 上升的高度 h 2b 称螺距
高等数学(下册)
圆柱面 x2 y2 a2
z
点P在圆柱面上等速地 绕z轴旋转；
同时又在平行于z 轴
的方向等速地上升.
其轨迹就是螺旋线.
x a cos
y
a
sin
z b
高等数学(下册)
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若 S1：F( x,y,z) 0;
z
S2：G( x,y,z) 0,
S1
则 M (x, y, z) C M S 1且M S2
S2
C
o
y
M的坐标满足
x
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
——空间曲线的一般方程。
高等数学(下册)
x2 y2 1
例1 方程组
表示怎样的曲线？
2x 3 y 3z 6
z
解
x2 y2 1 表示圆柱面
2x 3 y 3z 6 表示平面
交线
x2 y2 1
为椭圆
所以在 xoz 面上的投影为线段.
z
1 2,
y 0
| x | 3 ; 2
（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
z
1 2,
x 0
| y | 3 . 2
高等数学(下册)
例5 求抛物面 y2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解 截线方程为
y2 z2 x x 2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（1）消去z 得投影
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y 得投影
x2
5z2
2xz 4x
0,
y 0
（3）消去x 得投影
y2
z2
2y z
0 .
x 0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
x2
y2
3 4,
z 0
高等数学(下册)
（2）因为曲线在平面 z 1 上， 2
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
高等数学(下册)
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y2 a 2上以
角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z
轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
空 间 立 体
曲 面
高等数学(下册)
例6 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2 和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy 面上的投影.
解 半球面和锥面的交4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
高等数学(下册)
我们称它为：曲线C关于xoy坐标面的投影柱面.
空间曲线在xoy 面上的投影曲线 （简称投影）
H(x, y) 0
z
0
高等数学(下册)
z
曲
线C
:
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 0
x
在xoy坐标面 H( x, y) 0
上的投影曲线
z0
关于 xoy 坐标面 的投影柱面
H(x, y) 0