河南省洛阳市第一高级中学2016-2017学年高二9月月考数学(理)试题

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2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}22,B y y x x R ==-+∈，则A B =（）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[1,2)D ．[1,)+∞【答案】B【解析】转化条件为{}1A x x =≥，{}2B y y =≤，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为{{}1A x y x x ===≥，{}{}22,2B y y x x R y y ==-+∈=≤，所以{}[]121,2A B x x ⋂=≤≤=. 故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【分析】设3()log 3f x x x =-+，根据当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，进而得到答案．【详解】解：设3()log 3f x x x =-+，当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，又f （2）3log 210=-<，f （3）3log 33310=-+=>，故f （2）f （3）0<，故方程3log 3x x =-在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是(2,3). 故选：C ． 3．若函数y的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，12]B ．（0，12） C ．[0，12]D ．[0，12）【答案】D【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数a 的讨论，根据∆即可求得结果.【详解】要满足题意，只需2420ax ax -+>在R 上恒成立即可. 当0a =时，显然满足题意. 当0a >时，只需2Δ1680a a =-<，解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D .【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4．已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则“1q >”是“{}n S 为递增数列”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若1,2q n >≥时，1n n n S S a --=，当10a <时，110n n a a q -=<，则1n n S S -<，此时{}n S 为递减数列，即充分性不成立； ②若“{}n S 为递增数列”，即2n ≥时，1n n S S ->，则有10n n S S -->，而110n n a a q -=>并不能推得1q >，如111,2a q ==，故必要性不成立，故“1q >”是“{}n S 为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.5．已知函数()f x 的导函数f x 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．【详解】由导函数图象可知，()f x 在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减，在（-2，0）上单调递增，故选：A ． 6．函数6()e 1||1xmxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．与m 值有关【答案】C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++，设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--，所以()g x 为奇函数，所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.7．函数f （x ）的图象与其在点P 处的切线如图所示，则()()11f f -'等于（）A ．－2B ．0C ．2D ．4【答案】D【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解. 【详解】由题意，切线经过点(2,0),(0,4)，可得切线的斜率为40202k -==--，即()12f '=-，又由切线方程为24y x =-+，令1x =，可得2y =，即()12f =，所以()()11224f f '-=+=. 故选：D8．若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，导函数在[e,)+∞上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】()1ln f x x a '=+-，又()f x 在[e,)+∞上单调递增，故()0f x '≥在[e,)+∞上恒成立，而[e,)x ∈+∞时，易见min ()2f x a '=-，只需要20a -≥即可，故2a ≤. 故选：B.9．已知()1xf x e =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【分析】设直线l 是()f x 与()g x 的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案.【详解】根据题意，设直线l 与()1xf x e =-相切于点(),1m m e - ，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，对于()1x f x e =-，()x f x e '=，则1mk e =则直线l 的方程为()1m my e e x m +-=- ，即(1)1m m y e x e m =+--，对于()ln 1g x x =+，()1g x x'=，则21=k n则直线l 的方程为()()1ln 1y n x n n -+=-，即1ln y x n n=+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则()11ln 1m m e n m e n ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩，可得110mm e ，即0m =或1m =则切线方程为：1y ex =- 或y x =,切线有两条. 故选：C10．已知()()11e x f x x -=-，()()21g x x a =++，若存在1x ，2R x ∈，使得()()21f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()0,eD ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】原命题等价于max min ()()f x g x ≥，再求max ()f x 和min ()g x 解不等式即得解. 【详解】12R ,x x ∃∈，使得()()21f x g x ≥成立，则max min ()()f x g x ≥，由题得()()111e 1e e x x xf x x x ---=-+-=-'，当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，所以()()max 10ef x f ==，由题得min ()(1)g x g a =-=， ∴1ea ≤故选：B.11．已知函数3,0,()212,0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩若存在唯一的整数．．x ，使得03()2x a f x -<-成立，则所有满足条件的整数．．a 的取值集合为（） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{2,1,0,1}-- C ．{1,0,1,2}- D ．{1,0,1}-【答案】B【分析】作出()3()g x f x =的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(),2a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】令33,0,()3()616,0,x x g x f x x x ⎧≥⎪==⎨-++<⎪⎩作出()g x 的图象如图所示：03()2x a f x -<-等价于()20ax x g --<，表示点()(),x g x 与点(),2a 所在直线的斜率，可得曲线()g x 上只有一个整数点()(),x g x 与(),2a 所在的直线斜率小于0，而点(),2a 在直线2y =上运动，由()20,(1)6,(0)0g g g -=-== 可知当-21a ≤≤-时，只有点()00，满足()20a x x g --<，当01a ≤≤时，只有点()16-，满足()20ax x g --<，当1a >时，至少有()16-，，()13，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去，当2a <-时，至少有()()0020-，，，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去，因为a 为整数，故a 可取2101--，，，故选：B12．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.二、填空题13．已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】根据“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】解：∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题，即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解；所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.14．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()2xf x =，则()22log 5f +的值为______．【答案】45--0.8【分析】由题设条件可得()f x 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()2242log 5(log )5f f +=-，根据已知解析式求值即可.【详解】由题设，(2)()()f x f x f x -=-=-，故(2)()f x f x +=，即()f x 的周期为2，所以()22225542log 5(22log )(log )(log )445f f f f +=⨯+==-，且241log 05-<<，所以()24log 5242log 525f +=-=-.故答案为：45-.15．已知函数()1,03,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则123ax x x +的取值范围是________.【答案】(]1,0-【分析】画出函数图象，数形结合得到a 的取值范围，且23x x a +=，解不等式得到(]11,0x ∈-，从而求出(]11231,0ax x x x =∈-+. 【详解】画出函数()f x 的图象：由函数()f x 的图象可知：10x ≤，23a <≤，令1x a x+=，则210x ax -+=，所以23x x a +=，令1233x <-+≤，解得：(]11,0x ∈-，所以(]11231,0ax x x x =∈-+. 故答案为：(]1,0-.16．已知函数()()()2log 120kx kf x x k k +=+->，若存在0x >，使得()0f x ≥成立，则k的最大值为______．【答案】12eln 【分析】由()0f x ≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥，同构函数()2log g x x x =，结合函数的单调性，转化为()()2log 11x h x x +=+的最大值问题.【详解】由()()2log 120kx kf x x k +=+-≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥ 即()()()()121log 112k x x x k x +++≥+，()()()()11221log 12log 2k x k x x x ++++≥⋅构造函数()2log g x x x =，显然在()1,+∞上单调递增， ∴()112k x x ++≥，即()2log 11x k x +≤+，令()()2log 11x h x x +=+，即求函数的最大值即可，()()()()()222221log 1log log 1ln 211x e x h x x x -+-+'==++， ∴在()1,1e -上单调递增，在()1,e -+∞上单调递减， ∴()h x 的最大值为()11ln 2h e e -= ∴10e 2k ln <≤，即k 的最大值为1e 2ln 故答案为：1e 2ln .三、解答题17．已知(){}23log 212A x x x =-+>，11216x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭．(1)当2a =时，求R A B ⋂；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x (2)0a ≥【分析】（1）先求出,A B ，从而可求R B ，故可求R A B ⋂.（2）根据题设条件可得B A ⊆，从而可求0a ≥.【详解】(1){}2|219{2A x x x x x =-+>=<-或4}x >，当2a =时211{6}216x B x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}R6B x x =≤，所以R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x ，(2)11{4}216x aB x x x a -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆ 所以44+≥a ，解得0a ≥．18．命题p ：22430x ax a -+->(0a >)，命题q :302x x -<-. (1)当1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(2,3) (2)[1,2]【分析】（1）结合已知条件分别化简命题p 和q ，然后由1a =且p q ∧为真即可求解；（2）结合（1）中结论分别求出p ⌝ 和q ⌝，然后利用充分不必要的概念即可求解. 【详解】(1)结合已知条件可知，22430()(3)03x ax a x a x a a x a -+->⇔--<⇔<<， 30(2)(3)0232x x x x x -<⇔--<⇔<<-，当1a =时，命题p ：13x <<，命题q ：23x <<，因为p q ∧为真，所以132323x x x <<⎧⇒<<⎨<<⎩，故求实数x 的取值范围为(2,3).(2)结合（1）中可知，命题p ⌝：x a ≤或3x a ≥，命题q ⌝：2x ≤或3x ≥，因为p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，所以{|x x a ≤或3}x a ≥是{|2x x ≤或3}x ≥的真子集，从而0233a a <≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立，解得12a ≤≤，故实数a 的取值范围为[1,2].19．函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，＝，，()2g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立.(1)求函数()g x 的最小值； (2)求k 的取值范围. 【答案】(1)|k －2| (2)79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，即可得答案.（2）分析可得求max min ()()f x g x ≤即可，根据()f x 解析式，作出图象，结合函数的性质，可得max ()f x ，所以可得|k －2|≥14，根据绝对值不等式的解法，即可得答案. 【详解】(1)因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以min ()2g x k =- (2)对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤ 观察f (x )＝2131log 1x x x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，，的图象，结合函数性质可得，当x ＝12时，函数max 1()4f x = 所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q132544007200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40=++Q x x bx cx ；②22()10003⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭xQ x a ；③3()300log a Q x x b =+.(1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[80,120]v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()()221020080120N v v v v =-+≤≤.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？【答案】(1)选①，理由见解析；321()215040=-+Q x x x x (2)高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为40km/h ；33800wh【分析】（1）判断③、②不符合题意，故选①，再利用待定系数法求解即可．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质进行求解．【详解】(1)解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②，22()1000()3x Q x a =-+，()0220100003Q a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得999a =-，则22()13x Q x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，()02121013Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以()021210131Q ⎛⎫=- ⎪⎭<⎝，故不符合题意，故选①3211()40=++Q x x bx cx ，由表中数据，可得323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得2150b c =-⎧⎨=⎩，321()215040Q x x x x ∴=-+． (2)解：高速上行驶200km ，所用时间为200h v，则所耗电量为2200200100()()(210200)400()2000f v N v v v v v v v=⋅=⋅-+=+-，由对勾函数的性质可知，()f v 在[80,120]上单调递增，min 100()(80)400(80)200030500wh 80f v f ∴==⨯+-=，国道上行驶30km ，所用时间为30h v，则所耗电量为322303013()()(2150)604500404g v Q v v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+， 080v ≤≤，∴当40v =时，min ()(40)3300wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km /h ，在国道上的行驶速度为40km/h 时，该车从A 地行驶到B 地的总耗电量最少，最少为30500330033800wh +=． 21．已知函数()ln af x x b x x=--. (1)若函数()f x 在1x =处的切线是10x y +-=，求a b +的值； (2)当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)4a b +=(2)当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）由（1）知()1ln f x x b x x =--，求导()221x bx f x x -+'=，分类讨论22b -≤≤，2b <-和2b >时，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的零点.【详解】(1)∵切点()()1,1f 也在切线10x y +-=上，∴1110a -+-=，即1a =. 函数()ln a f x x b x x =--，求导()21a bf x x x'=+-，由题设知()111f a b =+-=-'，即3b =， ∴4a b +=.(2)当1a =时，()1ln f x x b x x =--，0x >求导()222111b x bx f x x x x -+'=+-=. ①当22b -≤≤时，二次函数210x bx -+≥恒成立，即()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，又()10f =，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.②当2b <-时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=<，1210x x =>，即10x <，20x <，()0f x '>在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.③当2b >时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=>，1210x x =>，即1201x x <<<，当10x x <<时，()0f x '>，()f x 在()10,x 上单调递增；当12x x x <<时，()0f x '<，()f x 在()12,x x 上单调递减；当2x x >时，()0f x '>，()f x 在()2,x +∞上单调递增. 又()()()1210f x f f x >=>，所以21111e ln e 0e ee e bb bb b bf b b ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立，所以()f x 在()10,x 上有且只有1个零点.又()10f =，故()f x 在()12,x x 上有且只有1个零点.又()2111e e ln e e 0e e e b bb b b b b f b b f ⎛⎫=--=--=-> ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立，故()f x 在()2,x +∞上有且只有1个零点.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.22．已知函数()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，其中R a ∈.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求函数()g x 在区间[]1,2上的最小值 (3)若()f x 在区间[]1,2上的最大值为2ln21-，直接写出a 的值. 【答案】(1)0y = (2)详见解析 (3)ln 2【分析】（1）求导求切线方程；（2）求导，含参讨论求最值；（3）求导判断单调性验证成立即可【详解】(1)()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，则()10f =()()1221f x ax a x'=+-+，则()10k f '== 则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为0y = (2)()()1()221g x f x ax a x'==+-+，[]1,2x ∈ 则222121()2ax g x a x x-'=-+=，[]1,2x ∈ ①当0a ≤时，2221()0ax g x x -'=<，则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为()11(2)421222g a a a =+-+=-②当108a <≤时，由[]1,2x ∈，可得2281ax a ≤≤，则2221()0ax g x x-'=≤ 则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为1(2)22g a =-③当1182a <<时，222221()a x x ax g x x x ⎛ -⎝⎭⎝⎭'==，[]1,2x ∈当1x ≤<()0g x '<，()g x 单调递减；2x ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增则当x =()g x取最小值()2211)1g a a =+=- ④当12a ≥时，由[]1,2x ∈，可得2221ax a ≥≥，则2221()0ax g x x -'=≥则()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 在[]1,2上的最小值为(1)0g = (3)ln 2a =，理由如下：此时，函数()()2ln 211ln 2ln 2ln 2f x x x x =+-+++，[]1,2x ∈则()()()ln 21(1)ln 2ln 221221x f x x x xx '-+--=+= 由[]1,2x ∈，可得ln 2ln 2ln 4122x ≥=>，10x -≥，0x > 则()()ln 21(120)x f x x x--'=≥，则()f x 在[]1,2单调递增.则()f x 在[]1,2上的最大值为()()ln 2ln 2ln 2ln 212ln2422112f =-+++=-+。

洛阳市16-17学年高二下学期期中考试数学(理)卷

洛阳市2016-2017学年第二学期期中考试高二数学试卷（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面内，复数z 对应的点为2,1，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（）A.1B.1C.iD.i2.曲线3231y xx在点1,1处的切线方程为（）A.340x y B.320x y C.43xyD.45xy3.有一段演绎推理是这样的：“若函数f x 的图象在区间D 上是一条连续不断的曲线，且0'0f x ，则f x 在点0x 处取得极值；已知函数3f xx 在R 上是一条连续不断的曲线，且'00f ，则f x 在点0x处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（）A.大前提错误，结论错误B.小前提错误，结论错误C.推理形式错误，结论错误D.该段演绎推理正确，结论正确4.函数320f xaxbxcxd a的图象不可能是（）5.“14c”是“函数321132f xxxcx d 有极值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.由曲线1xy ，直线yx ，3y所围成的平面图形的面积为（）A.329B.2ln 3C.4ln 3D.4ln 37.已知17a ，35b ，4c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.abcB.cabC.cbaD.bc a8.一物体沿直线做运动，其速度v t 和时间t 的关系为22v ttt ，在1t到3t时间段内该物体行进的路程和位移分别是（）A.2，23B.2，23C.23，23D.23，239.函数f x的图象如图所示，设'f x是f x的导函数，若0a b，下列各式成立的是（）A.2'''2ab a bf f f aba bB.2'''2ab a bf f ab fa bC.2'''2a b abf f f aba bD.2'''2a b abf f ab fa b10.已知函数2ln2f x mx x x在定义域内存在单调递减区间，则实数m的取值范围是（）A.12m B.12m C.1m D.1m11.已知f x是定义在R上的函数，导函数'f x满足'f x f x对于x R恒成立，则（）A.220e f f，201720170f e f B.220e f f，201720170f e fC.220e f f，201720170f e f D.220e f f，201720170f e f12.对于函数sin xf xx，30,2x，下列说法错误的是（）A.函数f x在区间0,是单调函数B.函数f x只有1个极值点C.函数f x在区间0,2有极大值 D.函数f x有最小值，而无最大值二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数21f x x在区间,a b上的平均变化率为．14.定积分4201162x x dx．15.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在平行四边形ABCD中（如图甲），有22222AC BD AB AD，利用类比推理，在平行六面体1111ABCD A B C D中（如图乙），22221111AC BD CA DB．16.已知a ，b 为正实数，直线y xa 与曲线ln y xb 相切，则21ab的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数21231z mm m i 是纯虚数（m R ）.（1）求m 的值；（2）若复数2142114i z z i，求2z .18.证明：若a ，b ，,0c ，则1ab，1bc，1ca至少有一个不大于2.19.如图，在海岸线由抛物线PEQ 和线段PQ 组成的小岛上建立一个矩形的直升机降落场，要求矩形降落场的边AD 与小岛海岸线PQ 重合，点B ，C 在抛物线PEQ 上，其中直线OE 是抛物线的对称轴，40OE米，海岸线410PQ米，求降落场面积最大值及此时降落场的边长.20.已知数列n a 的通项公式21n a n ，其前n 项和为n S .（1）求n S ；（2）若231111111nnb S S S …，试猜想数列n b 的通项公式，并用数学归纳法证明.21.已知函数211ln 1122f x x x a x x .（1）若0a，求函数f x 的极值；（2）若函数f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围；22.已知函数xf xxea 有两个零点1x ，2x .（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：122x x .洛阳市2016-2017学年第二学期期中考试高二数学试卷参考答案（理）一、选择题1-5:BBCAB 6-10:DCADB 11、12：CC二、填空题13.2 14.44 15.22214ABADAA16.0,1三、解答题17.解：（1）因为复数21231z mm m i 是纯虚数.∴223010mm m ，于是131m m m或，∴3m .（2）由（1）知，14z i ，∴21421424242131111114ii ii i z i i iiiiz i.∴210z .18.证明：假设1a b ，1b c，1ca都大于2，即12ab，12bc，12ca.所以1116abcabc，又因为a ，b ，,0c ，112aaaa，同理12bb，12c c ，三式相加1116a b c a bc，这与1116abc ab c 相矛盾，所以假设不成立，即1a b ，1bc ，1ca至少有一个不大于2.19.解：如图，以O 为坐标原点，PQ 为x 轴，OE 为y 轴建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为240y x .设2AD x ，则240ABx ，矩形面积22400210S x x xx ，所以2'806S x x ，令'0S x，解得2303x或2303x.当2300,3x，'0S x ；230,2103x ，'0S x ；所以当2303x时，max320309S x，此时矩形边长4303AD米，803AB米.20.解：（1）∵21n a n ，∴数列n a 是等差数列，且12111a ，于是21212nn n S n . （2）∵231111111nnb S S S …，∴134b ，22436b ，358b ，436510b ，于是猜想221n nb n .下证明猜想：①当1n时，134b ，猜想成立；②假设当n k 时，猜想成立，即231111211121kk k b S S S k…，那么，当1n k时，1231211111111kkkb S S S S (2)221211121212kk k kS kk2132212k k k k k 12322211k k kk所以，1n k时，猜想成立.由①②可知，221n nb n 对任意*nN 都成立.21.解：（1）若0a，则1ln 12f x x x x ，函数的定义域为1,，'1ln 12ln 11f xx x ，令'0f x ，即：ln 110x ，解得1x e .当1,1x e 时，'0f x，f x 单调递减；当1,xe 时，'0f x，f x 单调递增.所以，f x 在1x e 处取得极小值12f e e ，而无极大值.(2)若f x 在定义域内单调递减，则'1ln 1120f xx a x 在1,恒成立，即ln 111xax 对任意的1,x 恒成立. 令ln 111xg xx ，则221ln 112ln 1'11x x g xx x ，解'0g x ，得21xe，当21,1x e时，'0g x ，g x 单调递减；当21,xe，'0g x，g x 单调递减，所以，g x 在1,上有最大值2211g e e，于是，a 的取值范围为21,e.22.解：（1）函数xf x xea 的定义域为R ，因为xf xxea 有两个零点1x ，2x ，所以函数xx g x e与函数ya 有两个不同的交点，1'xx g xe，令1'0xxg xe，解得1x ，当,1x时，'0g x，g x 单调递增；当1,x 时，'0g x ，g x 单调递减，所以max11g x g e ，并且当1,x，0g x ，于是xx g xe的图象大致为：函数xx g xe与函数y a 有两个不同的交点时，a 的取值范围是10,e.（2）由已知12f x f x ，即1212x x x x ee ，∴2121x x x e x e，∴2121x x x ex ，两边同取以e 为底的对数，得2211lnx x x x ，要证明122x x ，则只需证明2122111ln2x x x x x x ，即21221111ln21x x x x x x ，不妨设12x x ，令21x t x ，则1,t ，即证11ln 12t t t 对1,t 恒成立，令11ln 21t g ttt ，则22222221411221'021212121t t t tt g ttt t tt t t t，∴g t 在区间1,单调递增，∴10g tg ，即11ln 021t tt ，11ln 12t t t ，从而122x x 成立.。

河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期末考试理数试题有答案-(数学)

洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，,a b R ，且2a i b i i，则复数a bi 的模等于( )23 5 62.命题“若a b ，则ac bc ”的逆否命题是( ) A.若a b ，则ac bc B.若ac bc ，则a b C.若ac bc ，则a bD.若a b ，则ac bc 3.设0x ，由不等式12x x，243xx ，3274xx ，…，类比推广到1na xn x ，则a ( )A.2nB.2nC.2nD.n n4.设随机变量21N ～，，若3P m ，则13P 等于( )A.122m B.1mC.12mD.12m 5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A 两次的点数均为奇数}，{B 两次的点数之和小于7}，则|P B A ( ) A.13B.49C.59D.236.用数学归纳法证明“1111232nF n …”时，由n k 不等式成立，证明1n k 时，左边应增加的项数是( ) A.12kB.21kC.2kD.21k7.学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：不关注关注总计男生 30 15 45 女生 45 10 55 总计7525100根据表中数据，通过计算统计量2n ad bc Ka b c da cb d，并参考以下临界数据：20P K k 0.500.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.828A.0.10B.0.05C.0.025D.0.018.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有( ) A.20种B.15种C.10种D.4种9.设随机变量2,X B p ～，随机变量3,Y B p ～，若519P X ，则31D Y ( )A.2B.3C.6D.710.已知抛物线243y x 的焦点为F ，A ，B 为抛物线上两点，若3AFFB ，O 为坐标原点，则AOB △的面积为（） A.83B.3C.23311.设等差数列n a 满足5100810081201611a a ，5100910091201611a a ，数列n a 的前n 项和记为S ，则（） A.20162016S ，10081009a a B.20162016S ，10081009a a C.20162016S ，10081009a aD.20162016S ，10081009a a12.设函数2ln ,021,0x x f xxx x ，若f a f b f c f d ，其中,,,a b c d 互不相等，则对于命题:0,1p abcd 和命题122:2,2q a b c de e e e 真假的判断，正确的是( )A.p 假q 真B.p 假q 假C.p 真q 真D.p 真q 假第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数3,01,1x x f xx x ，则定积分20f x dx ．14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元) 8 8.28.48.68.89 销量y (件)9084 83 80 7568由表中的数据得线性回归方程为y bx a ，其中20b ，预测当产品价格定为9.5(元)时，销量约为件．15.已知,x y 满足约束条件0,2323x x yx y，若y x 的最大值是a ，则二项式61ax x的展开式中的常数项为．(数字作答) 16.若函数320h x ax bx cx d a图象的对称中心为00,M x h x ，记函数h x 的导函数为g x ，则有0'0g x ，设函数3232f xx x ，则12403240332017201720172017fff f … ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC △的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足1cos 2b Cc a . (1)求ABC △的内角B 的大小； (2)若ABC △的面积234Sb ，试判断ABC △的形状. 18.已知正项数列n a 的首项11a ，且221110n n n nn a a a na 对*n N 都成立.(1)求n a 的通项公式； (2)记2121nn n b a a ，数列n b 的前n 项和为n T ，证明：12nT . 19.第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园. (1)若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？ (2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设,X Y 分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记X Y ，求随机变量的分布列和数学期望E .20.如图，已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直，在直角梯形1ABB N 中，1AN BB ∥，AB AN ，112CBBAANBB .(1)求证：BN平面11C B N ；(2)求二面角1C C NB 的大小.21.已知椭圆C 的方程为222210x y a b ab ，双曲线22221x y a b 的一条渐近线与x 轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为42.(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围. 22.设函数ln f xx x ax ，a R .(1)当1a 时，求曲线yf x 在点1,1f 处的切线方程；f x b a x b恒成立，求整数b的最大值.(2)若对1x，1洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷参考答案(理)一、选择题1-5:CBDCD 6-10:CABAB 11、12：CA二、填空题13.7414.60 15.540 16.0 三、解答题17.(1)由正弦定理及已知得1sin sin sin sin sin 2B C C A B C ， ∴1cos sin sin 2B CC ，由于sin 0C ，∴1cos 2B. 0,B ，所以3B . (2)由ABC △的面积213sin 234S ac b ，得2b ac ，由余弦定理得，2222cos b a c ac B ac ，所以20a c ，所以a c ，此时有22b ac a ，∴a b c ，所以ABC △为等边三角形.18.(1)由221110n n n nn a a a na 可得1110nn nna a n a na ，∵0n a ，∴11nn n a na ，从而11211121n n nn a na n a a a …，所以1na n. (2)由(1)知212111111212122121n n n b a a n n n n ，∴12111111123352121nnT b b b n n ……11112212n . 19.(1)依题意甲，乙，丙三人的分配方法有2种，其余二人的分配方法有22种，故共有2228种不同的分配方案.(2)设5名学生中恰有i 名被分到王城公园的事件为0,1,2,3,4,5i A i ，的所有可能取值是1，3，5.2332535223235551228C C C CP P A A P A P A，11115451141455532216C C C CP P A A P A P A ，055555050555152216C C CP P A A P A P A，则随机变量的分布列为1 3 5P 58516116故随机变量的数学期望55115135816168E.20.(1)证明：∵矩形11BB CC所在平面与底面1ABB N垂直，则CB底面1ABB N.∵1AN BB∥，AB AN，则1AB BB，如图，以B为坐标原点，以BA，1BB，BC为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设14BB，则2,2,0N，10,4,2C，10,4,0B，,0,0,2C，∵1440B N BN，则1B N BN，11BN B C，且1111B N BC B，则BN平面11C B N.(2)设平面1C BN的一个法向量为,,m x y z，由于2,2,0BN，12,2,2C N，由1n BNn C N，得x yx y z，令1x得1,1,2m.同理求得平面1C CN的一个法向量为1,0,1n.设二面角1C C N B的平面角为，则3cos2m nm n.又二面角1C C N B为锐二面角，所以二面角1C C N B的大小是30°.21.(1)一条渐近线与x轴所成的夹角为30°知3tan303ba°，即223a b，又22c，所以228a b，解得26a，22b，所以椭圆C的方程为22162x y.(2)由(1)知22,0F ，设11,A x y ，22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty . 联立221622x y x ty 得223420t y ty ，由12243ty y t 得122123x x t ，∴2262,33tEt t ，又12,0F ，所以直线1F E 的斜率222236623tt t kt t .①当0t 时，0k ； ②当0t时，2116266t kttt，即60,12k . 综合①②可知，直线1F E 的斜率k 的取值范围是66,1212. 22.(1)由ln f x x x ax 得'ln 1f x x a ，当1a 时，'ln 2f x x ，11f ，'12f ，求得切线方程为21y x .(2)若对1x ，1f x b a x b 恒成立等价于ln 1x x xbx 对1x 恒成立，设函数ln 1x x xg xx ，则2ln 2'1x x g x x ，再设函数ln 2h x x x ，则1'1h x x. ∵1x ，'0h x ，即h x 在1,上为增函数，又31ln 30h ，42ln 40h ，所以存在03,4x ，使得00h x ，∴当01,x x 时，0h x ，即'0g x ，故g x 在01,x 上递减；当0,xx 时，0h x，即'0g x，故g x 在0,x 上递增.∴g x 的最小值为00000ln 1x x x g x x .由000ln 20h x x x 得00ln 2x x .所以000021x x x g x x x ，所以0b x ，又03,4x ，故整数b 的最大值为3.。

河南省洛阳市第一高级中学2016-2017学年高二9月月考数学试题(实验班)

洛阳市第一高级中学月考试卷高二数学（实验班）一、选择题 1. 不等式201x x -+≤的解集是（） A ．(1)(12]-∞--，，B ．[12]-，C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-，2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件3、设满足约束条件，则的最大值（）A ． 5B ． 6C ． 8D ． 10 4.已知：p ：a ,b, c, d 成等比数列，q ：ad=bc ，则p 是q 的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件5.在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = （）10 1031056.某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为11a b 、千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为22a b 、千克。

甲、乙产品每千克可获利润分别为12d d 、元。

月初一次性购进本月用原料A 、B 各12c c 、千克。

要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。

在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为（）（A ）121122,,0,0a x a y c b x b y c x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩（B ）111222,,0,0a x b y c a x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ （C ）121122,,0,0a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ （D ）121122,,0,0a x a y cb x b yc x y +=⎧⎪+=⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 7.已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（）(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C){}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x8设变量满足约束条件,则的最大值为 ( )A.10B.8C.6D.49.在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B 3ac ,则角B 的值为( )A.6πB.3π C.6π或56πD.3π或23π10.已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = （）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 11.已知x,y 均为正实数，则22x yx y x y+++的最大值为( )A 2B 23C 4D 43 12.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812二．填空题 13.设函数()21log 21x f x x =+-，定义1231n n S f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中,(2),n N n +∈≥则n S = 。

河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期末考试理数试题-含答案

洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，,a b R Î，且2a ib i i+=+，则复数a bi +的模等于( )2.命题“若a b >，则ac bc >”的逆否命题是( ) A.若a b >，则ac bc £ B.若ac bc £，则a b £ C.若ac bc >，则a b >D.若a b £，则ac bc £3.设0x >，由不等式12x x +?，243x x +?，3274x x +?，…，类比推广到1n ax n x+?，则a =( )A.2nB.2nC.2nD.n n4.设随机变量()21N x ～，，若()3P m x >=，则()13P x <<等于( ) A.122m - B.1m - C.12m - D.12m - 5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A =两次的点数均为奇数}，{B =两次的点数之和小于7}，则()|P B A =( ) A.13B.49C.59D.236.用数学归纳法证明“()1111232n F n ++++<…”时，由n k =不等式成立，证明1n k =+时，左边应增加的项数是( ) A.12k -B.21k -C.2kD.21k +7.学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：根据表中数据，通过计算统计量()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，并参考以下临界数据：过( ) A.0.10B.0.05C.0.025D.0.018.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有( )A.20种B.15种C.10种D.4种9.设随机变量()2,X B p ～，随机变量()3,Y B p ～，若()519P X ?，则)1D +=( )A.2B.3C.6D.710.已知抛物线2y =的焦点为F ，A ，B 为抛物线上两点，若3AF FB =，O 为坐标原点，则AOB △的面积为（） A.B.C.11.设等差数列{}n a 满足()()5100810081201611a a -+-=，()()5100910091201611a a -+-=-，数列{}n a 的前n 项和记为S ，则（） A.20162016S =，10081009a a > B.20162016S =-，10081009a a > C.20162016S =，10081009a a <D.20162016S =-，10081009a a <12.设函数()2ln ,021,0x x f x x x x ì->ï=íï+-?î，若()()()()f a f b f c f d ===，其中,,,a b c d 互不相等，则对于命题():0,1p abcd Î和命题)122:2,2q a b c d e e e e --é+++?-+-ë真假的判断，正确的是( ) A.p 假q 真B.p 假q 假C.p 真q 真D.p 真q 假第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()3,01,1x x f x x x ì＃ï=í>ïî，则定积分()20f x dx =ò ．14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：20b =-9.5销量约为件．15.已知,x y 满足约束条件0,2323x x y x y ì³ïï+?íï+?ïî，若y x -的最大值是a ，则二项式61ax x 骣琪-琪桫的展开式中的常数项为．(数字作答)16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++?图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()0'0g x =，设函数()3232f x x x =-+，则12403240332017201720172017f f f f 骣骣骣骣琪琪琪琪++++=琪琪琪琪桫桫桫桫… ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC △的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足1cos 2b Cc a +=.(1)求ABC △的内角B 的大小； (2)若ABC △的面积2S ，试判断ABC △的形状. 18.已知正项数列{}n a 的首项11a =，且()221110n n n n n a a a na ++++-=对*n N "?都成立.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记2121n n n b a a -+=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <. 19.第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园.(1)若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设,X Y 分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记X Y x =-，求随机变量x 的分布列和数学期望()E x .20.如图，已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直，在直角梯形1ABB N 中，1AN BB ∥，AB AN ^，112CB BA AN BB ===.(1)求证：BN ^平面11C B N ； (2)求二面角1C C N B --的大小.21.已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x 轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围. 22.设函数()ln f x x x ax =?，a R Î.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若对1x ">，()()1f x b a x b >+--恒成立，求整数b 的最大值.洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷参考答案(理)一、选择题1-5CBDCD 6-10CABAB 11、12：CA二、填空题13.7414.60 15.540- 16.0 三、解答题17.(1)由正弦定理及已知得()1sin sin sin sin sin 2B C C A B C +==+，∴1cos sin sin 2B C C =，由于sin 0C ¹，∴1cos 2B =.()0,B p Î，所以3B p=.(2)由ABC △的面积21sin 23S ac p =，得2b ac =，由余弦定理得，2222cos b a c ac B ac =+-=，所以()20a c -=，所以a c =，此时有22b ac a ==，∴a b c ==，所以ABC △为等边三角形.18.(1)由()221110n n n n n a a a na +-++-=可得()()1110n n n n a a n a na ++轾++-=臌， ∵0n a >，∴()11n n n a na ++=，从而()()11211121n n n n a na n a a a +-+==-===?…，所以1n a n=. (2)由(1)知212111111212122121n n n b a a n n n n -+骣琪==?-琪-+--桫， ∴12111111123352121n n T b b b n n 骣琪=+++=-+-++-琪-+桫 (11112212)n 骣琪=-<琪+桫.19.(1)依题意甲，乙，丙三人的分配方法有2种，其余二人的分配方法有22种，故共有2228?种不同的分配方案.(2)设5名学生中恰有i 名被分到王城公园的事件为()0,1,2,3,4,5i A i =，x 的所有可能取值是1，3，5.()()()()2332535223235551228C C C C P P A A P A P A x ==+=+=+=，()()()()11115451141455532216C C C C P P A A P A P A x ==+=+=+=，()()()()055555050555152216C C C P P A A P A P A x ==+=+=+=，则随机变量x 的分布列为故随机变量x 的数学期望()135816168E x =???. 20.(1)证明：∵矩形11BB CC 所在平面与底面1ABB N 垂直，则CB ^底面1ABB N .∵1AN BB ∥，AB AN ^，则1AB BB ^，如图，以B 为坐标原点，以BA ，1BB ，BC 为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设14BB =，则()2,2,0N ，()10,4,2C ，()10,4,0B ，(),0,0,2C ， ∵1440B N BN ?-=，则1B N BN ^，11BN B C ^，且1111B NB C B =，则BN ^平面11C B N .(2)设平面1C BN 的一个法向量为(),,m x y z =，由于()2,2,0BN =，()12,2,2C N =--，由100n BN n C N ì?ïíï?î，得00x y x y z ì+=ïí--=ïî，令1x =得()1,1,2m =-.同理求得平面1C CN 的一个法向量为()1,0,1n =.设二面角1C C N B --的平面角为q ，则3cos m n m nq ×==. 又二面角1C C N B --为锐二面角，所以二面角1C C N B --的大小是30°. 21.(1)一条渐近线与x 轴所成的夹角为30°知tan 30b a =°，即223a b =，又c =228a b +=，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=.(2)由(1)知()22,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty =+. 联立221622x y x ty ìï+=ïíï=+ïî得()223420t y ty ++-=，由12243t y y t -+=+得122123x x t +=+， ∴2262,33tE t t 骣-琪琪++桫，又()12,0F -，所以直线1F E 的斜率222236623ttt k t t -+==+--+.①当0t =时，0k =；②当0t ¹时，2166tk tt t==?++，即k 纟çÎç棼. 综合①②可知，直线1FE 的斜率k 的取值范围是-臌. 22.(1)由()ln f x x x ax =?得()'ln 1f x x a =++，当1a =时，()'ln 2f x x =+，()11f =，()'12f =，求得切线方程为21y x =-.(2)若对1x ">，()()1f x b a x b >+--恒成立等价于ln 1x x xb x +<-对1x ">恒成立，设函数()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-，再设函数()ln 2h x x x =--，则()1'1h x x=-. ∵1x >，()'0h x >，即()h x 在()1,+?上为增函数，又()31ln 30h =-<，()42ln 40h =->，所以存在()03,4x Î，使得()00h x =，∴当()01,x x Î时，()0h x <，即()'0g x <，故()g x 在()01,x 上递减；当()0,x x ??时，()0h x >，即()'0g x >，故()g x 在()0,x +?上递增.∴()g x 的最小值为()00000ln 1x x x g x x +=-.由()000ln 20h x x x =--=得00ln 2x x =-. 所以()()00000021x x x g x x x -+==-，所以0b x <，又()03,4x Î，故整数b 的最大值为3.。

2017年第二学期高二数学理答案

ξ 犘
１５８
３５１１５故随机变量ξ 的数学期望犈（）＝１× ＋３× ＋５× ＝． ξ ８１６１６８（）证明：２０．１ ∵ 矩形犅犅１犆犆１所在平面与底面垂直，则底面犃犅犅１犖犆犅⊥ 犃犅犅１犖．／／，，则如 ∵ 犃犖犅犅１犃犅 ⊥犃犖犃犅 ⊥犅犅１，图，以犅为坐标原点，以犅犃，犅犅１，犅犆为坐标建立空间直角坐标系，不妨设犅，轴，犅１＝４则犖（，，，，，，，，，２２０）犆０４２）犅０４０）１（１（，，犆（００２） → 犖 → ４４０则犅 ∵ 犅犖·犅犖 ⊥犅犖，＝－＝，１１犅犖 ⊥犅犆１１，且犅则犅犖 ∩犅犆犖 ⊥ 平面犆犅犖．１１１＝犅１，１１
１ · １１１１），＝（－２狀－１２狀＋１２２狀－１２狀＋１ …… ８分１（１１１ … １１） ∴犜犫犫１－＋－＋＋－狀＝犫１＋２＋… ＋狀＝２３３５２狀－１２狀＋１ …… １０分＝
１（１）１ …… １－１２分＜．２２２狀＋１２（）依题意甲，乙，丙三人的分配方法只有２种，其余二人的分配方法有２种，故１９．１２ …… 共有２×２＝８种不同的分配方案．２分（）设名学生中恰有名被分到王城公园的事件为（，，，，，），２５犻犃犻犻＝０１２３４５ ξ的所有可能取值是１，， …… ３５．３分高二理数答案第共３页））１页（２０１７．６（

2016-2017学年河南省洛阳名校高二(下)第一次联考数学试卷(理科)

2016-2017学年河南省洛阳名校高二（下）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）如果z是3+4i的共轭复数，则z对应的向量的模是（）A．1 B．C． D．52．（5分）设f（x）是可导函数，且，则f'（x0）=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣23．（5分）曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=04．（5分）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．5．（5分）已知复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，则的值是（）A．2+πB．C．πD．4+4π6．（5分）数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1 D．7．（5分）平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．8．（5分）已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）10．（5分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+1的对称中心的横坐标为x0（x0＞0）且f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=3，f'（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+2（e其中为自然对数的底数）的解集是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＜﹣1或0＜x ＜1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则实数a的值为．14．（5分）对于大于或等于2的自然数，有如下分解式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律，若n2=1+3+5+…+19，m3的分解中最小的数是43，则m+n=．15．（5分）曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．16．（5分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）由直线y=kx（k＞0）与直线y=0，x=1所围成的图形的面积为S1，有曲线y=3﹣3x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的图形的面积为S2，当S1=S2时，求k的值及直线方程．18．（12分）已知复数（λ，x∈R，i为虚数单位）．（1）若2z1=i•z2，且，求x与λ的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，且，λ=f （x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．19．（12分）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f'（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，求t的值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=1﹣na n（n∈N*）．（1）计算a1，a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中数列{a n}的通项公式成立．21．（12分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x∈（0，0.048），则当x为多少时，银行可获得最大收益？22．（12分）已知函数f（x）=alnx++1．（1）当a=﹣时，求f（x）在区间上的最大值与最小值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当﹣1＜a＜0时，任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年河南省洛阳名校高二（下）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）（2017春•洛阳月考）如果z是3+4i的共轭复数，则z对应的向量的模是（）A．1 B．C． D．5【解答】解：由题意，z=3﹣4i，∴z对应的向量的坐标为（3，﹣4），其模为．故选：D．2．（5分）（2017春•洛阳月考）设f（x）是可导函数，且，则f'（x0）=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【解答】解：由题意，﹣2=2．∴f′（x0）=﹣1．故选B．3．（5分）（2017•泉州模拟）曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0【解答】解：y=的对数为y′==﹣，可得在点（1，1）处的切线斜率为﹣1，则所求切线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即为x+y﹣2=0．故选：B．4．（5分）（2013•滨州一模）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意得f′（x）≥则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选B．5．（5分）（2017春•洛阳月考）已知复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，则的值是（）A．2+πB．C．πD．4+4π【解答】解：因为复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，所以a=2，所以===π；故选：C6．（5分）（2015秋•辽宁校级期末）数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1 D．【解答】解：当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选A．7．（5分）（2016春•山阳县校级期末）平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选B．8．（5分）（2015•冷水江市校级模拟）已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；②每一行都有2n﹣1个项，所以第10行有2×10﹣1=19项，得到第10行第一个项为100﹣19+1=82，所以第12项的项数为82+12﹣1=93；所以A（10，12）=a93=故选A．9．（5分）（2015•青羊区校级模拟）函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）【解答】解：∵f′（x）=2x﹣2﹣a在（1，2）上是增函数，∴若使函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则f′（1）f′（2）＜0，即（﹣a）（3﹣a）＜0，解得，0＜a＜3，故选C．10．（5分）（2015•信阳模拟）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．11．（5分）（2017春•洛阳月考）已知函数f（x）=x3+ax2+1的对称中心的横坐标为x0（x0＞0）且f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0得x=0或x=﹣，∴x0=﹣＞0，∴a＜0．∴当x＜0或x＞﹣时，f′（x）＞0，当0＜x＜﹣时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（﹣）=．∵f（x）有三个零点，∴＜0．解得a＜﹣．故选B．12．（5分）（2017春•洛阳月考）定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=3，f'（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+2（e其中为自然对数的底数）的解集是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＜﹣1或0＜x ＜1}【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1﹣f（x），可得f（x）+f′（x）﹣1＞0，令F（x）=e x f（x）﹣e x﹣2，则F′（x）=e x[f（x）+f′（x）﹣1]＞0，故F（x）是R上的单调增函数，而F（0）=e0f（0）﹣e0﹣2=0，故不等式e x f（x）＜e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（﹣∞，0）；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2017春•洛阳月考）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则实数a的值为﹣2．【解答】解：复数z=a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则a2+a﹣2=0，a2﹣1≠0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）（2017春•洛阳月考）对于大于或等于2的自然数，有如下分解式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律，若n2=1+3+5+…+19，m3的分解中最小的数是43，则m+n= 17．【解答】解：依题意得n2=1+3+5+…+19==100，∴n=10．∵m3（m∈N*）的分解中最小的数是43，∴m3=43m+=m2+42m，即m2﹣m﹣42=0，∴（m﹣7）（m+6）=0，∴m=7或m=﹣6．又m∈N*，∴m=7，∴m+n=17．故答案为：17．15．（5分）（2011•江西校级模拟）曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．【解答】解：因为直线2x﹣y+3=0的斜率为2，所以令y′==2，解得：x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，则（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离d==，即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．故答案为：16．（5分）（2015•宜宾县模拟）设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是a＞．【解答】解：∵，∴函数的导数为f′（x）=﹣x2+x+2a，若函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a，∴只需f′（）＞0即可，由f′（）=﹣++2a=2a+＞0，解得a＞，故答案为：a＞．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）（2017春•洛阳月考）由直线y=kx（k＞0）与直线y=0，x=1所围成的图形的面积为S1，有曲线y=3﹣3x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的图形的面积为S2，当S1=S2时，求k的值及直线方程．【解答】解：由曲线y=3﹣3x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的图形的面积为S2=（3﹣3x2）dx=（3x﹣x3）|=3﹣1=2，则直线y=kx（k＞0）与直线y=0，x=1所围成的图形的面积为S1=kxdx=kx2|=k，由S1=S2时，∴k=2，∴k=4，∴y=4x18．（12分）（2017春•洛阳月考）已知复数（λ，x∈R，i为虚数单位）．（1）若2z1=i•z2，且，求x与λ的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，且，λ=f （x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．【解答】解：（1）由2z1=z2i，可得2sinx+2λi=1+（sinx+cosx）i，又λ，x∈R，∴，又，故x=，λ=1．（2）由，可得sinx（sinx+cosx）﹣λ=0，又λ=f（x），故f（x）==+，故f（x）的最小正周期T=π，又由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），可得kπ+≤x≤kπ+，故f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．19．（12分）（2017春•洛阳月考）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f'（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，求t的值．【解答】解：（1）∵f'（x）=2x+2，∴f（x）=x2+2x+n（n为常数），∵f（x）=0有两个相等的实根，∴4﹣4n=0，即n=1，∴f（x）=x2+2x+1．（2）f（x）与x轴的交点为（﹣1，0），与y轴的交点为（0，1），∴y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形面积S=（x2+2x+1）dx=（）=，∵直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，∴（x2+2x+1）dx=，即t3﹣t2+t=，∴2（t﹣1）3=﹣1，∴t=1﹣．20．（12分）（2017春•洛阳月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=1﹣na n （n∈N*）．（1）计算a1，a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中数列{a n}的通项公式成立．【解答】解：（1）依题设S n=1﹣na n可得a1=1﹣a1，即a1=，a2==，a3==，a4==；猜想a n=．（2）证明：①当n=1时，猜想显然成立．②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即a k=．那么，当n=k+1时，S k=1﹣（k+1）a k+1，+1=1﹣（k+1）a k+1．又S k=1﹣ka k=，即S k+a k+1=1﹣（k+1）a k+1，所以+a k+1==从而a k+1即n=k+1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．21．（12分）（2012•漳州二模）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x∈（0，0.048），则当x为多少时，银行可获得最大收益？【解答】解：由题意知：存款量f（x）=kx2，当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即x=0.012时，y=1.44；由1.44=k•（0.012）2，得k=10000，∴f（x）=10000x2，银行应支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x3，设银行可获收益为y=贷款收益﹣利息支出，则y=480x2﹣10000x3，由于y'=960x﹣30000x2，则y'=0，即960x﹣30000x2=0，得x=0或x=0.032．因为x∈（0，0.032）时，y'＞0，此时，函数y=480x2﹣10000x3递增；x∈（0.032，0.048）时，y'＜0，此时，函数y=480x2﹣10000x3递减；故当x=0.032时，y有最大值，其值约为0.164亿．22．（12分）（2017春•洛阳月考）已知函数f（x）=alnx++1．（1）当a=﹣时，求f（x）在区间上的最大值与最小值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当﹣1＜a＜0时，任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=﹣时，f（x）=lnx+x2+1，x∈，f′（x）=+x=．可知：函数f（x）在上单调递减，在（1，e]上单调递增．∴函数f（x）在x=1时取得极小值即最小值，f（1）=．由=+，f（e）=，可得f（e）＞．∴函数f（x）在x=e时取得最大值，f（e）=．综上可得：f（x）在区间上的最大值与最小值分别为：，．（2）f′（x）=+（a+1）x=（x＞0）．①a=﹣1时，f′（x）=﹣＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．②a≠﹣1时，△=﹣4a（a+1），由△≤0，解得a≥0，或a＜﹣1．则a≥0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＜﹣1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．由△＞0，解得﹣1＜a＜0，＞0．可得：f′（x）=，∴函数f（x）在上单调递减；在上单调递增．综上可得：a≤﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．﹣1＜a＜0时，函数f（x）在上单调递减；在上单调递增．（3）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在x=取得极小值即最小值．f=ln﹣+1．由于任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，∴ln﹣+1＞1+，化为：ln（a+1）＞﹣1，又﹣1＜a＜0，解得a＜0．∴a的取值范围是．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；lcb001；双曲线；minqi5；changq；qiss；刘长柏；炫晨；haichuan；zhczcb；沂蒙松；sllwyn；maths；whgcn；zlzhan （排名不分先后）胡雯2017年5月18日。

河南省洛阳市第一高级中学2016届高三上学期周练(9.24)数学(理)试题 Word版含答案[ 高考]

洛阳市第一高级中学2015-2016学年高三年级理科数学周练一、选择题(每题5分共60分)1．设集合A ＝{x|－x 2－3x>0}，B ＝{x|x<－1}，则A ∩B ＝( )A ．{x|－3<x<－1}B ．{x|－3<x<0}C ．{x|x<－1}D ． {x|x>0} 2.已知()2,f x x i =是虚数单位，则在复平面中复数()13f i i++对应的点在 ( )A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知函数()()06sin >⎪⎭⎫⎝⎛-=ωπωx x f 在⎪⎭⎫⎝⎛34,0π上单调递增，则ω的最大值为( ) A ．23 B ．43 C ．1 D ．214.设()0sin cos k x x dxπ=-⎰，若()82801281kx a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则123a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A. 1- B.0C.1D.2565.设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．下列有关命题的说法错误的是（）A ．命题“若210x -= ，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠ 则210x -≠” B ．“1x = ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题R :∈∃x p 使得210x x ++<，则R :∈∀⌝x p 均有210x x ++…7. 在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =（）A ．22B ．23C ．24D ．258. 将函数()y f x =的图象按向量,212a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后，得到函数()sin 226⎛⎫=++ ⎪⎝⎭g x x π的图象，则函数()f x 的解析式为（）.sin 2A y x =.B sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ .sin 212C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.sin 212D y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极小值点,以下结论一定正确的是（） A ．0,()()x R f x f x ∀∈≥ B ．0x -是()f x -的极大值点 C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极大值点10. 若存在正数x 使2x(x －a)<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞) 11、设()()()()lg 1,0,,f x x a b f a f b =-<<=若且则ab 的取值范围是（）[].1,2A ().1,2B ().4,C +∞ ().2,D +∞12、已知函数()122,0,log ,0.x a x f x x x ⎧⋅≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是（）().,0A -∞ ().0,1B ()().,00,1C -∞ ()().0,11,D +∞二、填空题(每题5分共20分)13．若奇函数()f x 的图象关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则(9)f -= ．14．已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝_______.15. 已知()211ln 22f x x x e =-（e 为自然对数的底），()()0a g x x a x=->．若对任意212,2,2x x e ⎡⎤∈⎣⎦都有()()12g x f x ≥，则实数a 的取值范围为_________．16.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a 2=4,a n+2+2a n =3a n+1(n ∈N *),则数列｛a n ｝的通项公式为_________．班级____________ 姓名____________ 考号_____________一、选择题二、填空题13.________________.14._____________.15.______________.16.__________________. 三、解答题（满分32分）17.(本小题满分10分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ，且22212a cb ac +-=.（I ）求2sin cos 22A CB ++的值；（II ）若b=2，求ABC ∆面积的最大值.18.(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα是参数)．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线的倾斜角α的值．19.(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足()111,0.3nn na a n N a a *++=∈=-且（1）求23,a a 的值；（2）是否存在一个实常数λ，使得数列1n a λ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，请说明理由.。

河南省洛阳市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，且A∪B=A，则集合B可能是（）A．{0，1}B．{x|x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．R2．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．ac2＜bc2 C．a2＜b2D．a3＜b33．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x＞0 B．C．∀x∈R，x2﹣x≤0 D．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=7，则S6的值为（）A．31 B．32 C．63或D．645．抛物线的准线方程是（）A．B．y=1 C． D．y=﹣16．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y=x+B．y=cosx+（0＜x＜）C．y=D．y=7．“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，且1+2cos （B+C）=0，则BC边上的高等于（）A．B．C．D．11．设数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S2016=（）A．2016 B．1680 C．1344 D．100812．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（）A．1 B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知命题“若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是．14．若实数x，y满足不等式，则的取值范围为．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则点E 到面ACD1的距离是．16．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．设命题p：“∀x∈R，x2+2x＞m”；命题q：“∃x0∈R，使”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．18．已知点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（2，m）在抛物线E上，且|MF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）过x轴正半轴上一点N（a，0）的直线与抛物线E交于A，B两点，若OA ⊥OB，求a的值．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．（1）求角C的大小；（2）若c=4，求a+b的取值范围．20．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，侧面SAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．（1）求证：AB⊥DS；（2）求平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．22．已知P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点B．已知M为AD的中点，是否存在定点N，使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．2016-2017学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，且A∪B=A，则集合B可能是（）A．{0，1}B．{x|x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．R【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简集合A，根据集合的基本运算A∪B=A，即可求B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B=A，∴B⊆A．考查各选项，{0，1}⊆A．故选A．2．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．ac2＜bc2 C．a2＜b2D．a3＜b3【考点】不等式的基本性质．【分析】根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可．【解答】解：∵a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，显然A、B、C不成立，D成立，故选：D．3．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x＞0 B．C．∀x∈R，x2﹣x≤0 D．【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是∀x∈R，x2﹣x≤0．故选：C．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=7，则S6的值为（）A．31 B．32 C．63或D．64【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3=4，S3=7，可得=4，=7，解得a1，q．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=4，S3=7，∴=4，=7，解得a1=1，q=2，或q=，a1=9．当a1=1，q=2时，则S6==63．当q=，a1=9时，S6==．∴S6=63或，故选：C．5．抛物线的准线方程是（）A．B．y=1 C． D．y=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向下，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线，即抛物线x2=﹣4y的焦点在y轴上，开口向下，且2p=4，∴=1∴抛物线的准线方程是y=1，故选：B．6．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y=x+B．y=cosx+（0＜x＜）C．y=D．y=【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【分析】通过取x＜0时，A显然不满足条件．对于B：y=cosx+≥2，当cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2﹣2=2，从而得出正确选项．【解答】解：对于选项A：当x＜0时，A显然不满足条件．选项B：y=cosx+≥2，当cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2﹣2=2，故只有D 满足条件，故选D．7．“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆离心率的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m=5，n=4，则椭圆方程为+=1，则a=5，b=4，c=3，则题意的离心率e=，即充分性成立，反之在中，无法确定a，b的值，则无法求出m，n的值，即必要性不成立，即“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件，故选：A8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AB的中点F，连接EF，DF，则EF∥PA．从而∠DEF为异面直线DE 与PA所成角（或补角）．由此能求出异面直线DE与PA所成角的余弦值．【解答】解：取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA．∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或补角）．又∵∠PBO=45°，BO=1，∴PO=1，PB=在Rt△AOB中，AO=AB•cos30°==OP，∴在Rt△POA中，PA=2，∴EF=1．∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，∴△ABD为正三角形．∴DF=，∵PB=PD=，BD=2，∴△PBD为等腰直角三角形，∴DE==，∴cos∠DEF==．即异面直线DE与PA所成角的余弦值为．故选：B．9．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．10．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，且1+2cos （B+C）=0，则BC边上的高等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由1+2cos（B+C）=0可得B+C=120°，A=60°，由余弦定理求得c值，利用△ABC的面积公式，可求BC边上的高．【解答】解：：△ABC中，由1+2cos（B+C）=0可得cos（B+C）=﹣，∴B+C=120°，∴A=60°．∵，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=8+c2﹣2×2×c×，解得c=+．由△ABC的面积等于bc•sinA=ah，（h为BC边上的高），∴•2•3•=•2•h，h=1+，故选：C．11．设数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S2016=（）A．2016 B．1680 C．1344 D．1008【考点】数列的求和．【分析】分别求出a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣1﹣3﹣2++6=3，得到数列的规律，即可求出答案．【解答】解：∵a n=ncos，∴a1=1×cos=1×=，a2=2cos=2×（﹣）=﹣1，a3=3cosπ=﹣3，a4=4cos=4×（﹣）=﹣2，a5=5cos=5×=，a6=6cos2π=6×1=6，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣1﹣3﹣2++6=3，同理可得a7+a8+a9+a10+a11+a12=3，故S2016=×3=1008，故选：D12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（）A．1 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|MF|=a，|NF|=b，由抛物线定义，2|PQ|=a+b．再由勾股定理可得|MN|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|MN|的范围，即可得到答案．【解答】解：设|MF|=a，|NF|=b．由抛物线定义，结合梯形中位线定理可得2|PQ|=a+b，由勾股定理得，|MN|2=a2+b2配方得，|MN|2=（a+b）2﹣2ab，又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2，得到|MN|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值为．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知命题“若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是2．【考点】四种命题．【分析】根据四种命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列正确，即原命题正确，则逆否命题也正确，命题的否命题为若{a n}是等差数列，则{a n}是常数列为假命题，当公差d≠0时，{a n}不是等差数列，故逆命题为假命题，则否命题为假命题，故假命题的个数为2个，故答案为：214．若实数x，y满足不等式，则的取值范围为[，] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到D（﹣2，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，OD的斜率最小，由得，即A（2，2），则AD的斜率k==，OD的斜率k=，即≤≤，故答案为：[，]．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则点E到面ACD1的距离是．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到面ACD1的距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面ACD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（2，1，2），∴点E到面ACD1的距离：d==．故答案为：．16．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是②③④．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质分别进行求解判断即可．【解答】解：①以线段F1，F2为直径的圆O的半径R=c，则B（0，c），D（0，c），则线段BD不是双曲线的虚轴；故①错误，②∵三角形PF1F2是直角三角形，∴PF12+PF22=4c2，又PF1﹣PF2=2a，则平方得PF12+PF22﹣2PF1PF2=4c2，即4a2﹣2PF1PF2=4c2，则PF1PF2=2c2﹣2a2=2b2，则△PF1F2的面积为S=PF1PF2=2b2=b2，故②正确，③由得或，即M（a，b），N（﹣a，﹣b），则AN⊥x轴，若∠MAN=120°，则∠MAx=30°，则tan30°==，平方得=，即=，则双曲线C的离心率e=====；故③正确，④设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2分与内切圆的切点分别为M1、N1，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM1|=|PN1|，故|M1F1|﹣|N1F2 |=2a，即|HF1|﹣|HF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，故（x+c）﹣（c﹣x）=2a，∴x=a．即△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．故④正确，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．设命题p：“∀x∈R，x2+2x＞m”；命题q：“∃x0∈R，使”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：当P真时，∀x∈R，x2+2x＞m，有△=4+4m＜0，解得m＜﹣1．…..当q真时，∃x0∈R，使，所以△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，解得m≤﹣2，或m≥1 …..又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以p，q一真一假，…..当p真q假时，﹣2＜m＜﹣1…..当p假q真时，m≥1…..所以实数a的取值范围是（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．…..18．已知点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（2，m）在抛物线E上，且|MF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）过x轴正半轴上一点N（a，0）的直线与抛物线E交于A，B两点，若OA ⊥OB，求a的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）设直线AB的方程为x=ty+a，与抛物线方程联立，利用x1x2+y1y2=0求解即可．【解答】解：（1）由题意，2+=3，∴p=2，∴抛物线E的方程为y2=4x；（2）设直线AB的方程为x=ty+a．A（x1，y1）、B（x2，y2），联立抛物线方程得y2﹣4ty﹣4a=0，y1+y2=4t，y1•y2=﹣4a∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴a2﹣4a=0∵a＞0，∴a=4．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．（1）求角C的大小；（2）若c=4，求a+b的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2=ab，利用余弦定理可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由（1）及余弦定理，基本不等式可求16≥（a+b）2﹣，解得a+b ≤8，利用两边之和大于第三边可求a+b＞c=4，即可得解a+b的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．∴2c2=（2b+a）b+（2a﹣3b）a，整理可得：a2+b2﹣c2=ab，…3分∴cosC==，∵C∈（0，π），∴C=…6分（2）由c=4及（1）可得：16=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣， (8)分∴解得：a+b≤8，…10分又∵a+b＞c=4，∴a+b∈（4，8]…12分20．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由已知条件推导出（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，从而得到数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由S n=，b n=n•2n，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由6S n=a n2+3a n+2①得6S n﹣1=a n﹣12+3an﹣1+2②①﹣②得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵各项均为正数的数列{a n}∴a n﹣a n﹣1=3，∴数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，∴数列{a n}的通项公式是a n=3n﹣2（2）S n=，∴=n•2n，∴T n=1×21+2×22+…+n•2n，③2T n=1×22+2×23+…+n×2n+1，④③﹣④，得﹣T n=21+22+23+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）2n+1+2．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，侧面SAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．（1）求证：AB⊥DS；（2）求平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取AB的中点O，连结OD，OS，推导出AB⊥OS，AB⊥OD，由此能证明AB⊥SD．（2）推导出OS⊥平面ABCD，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AB的中点O，连结OD，OS，∵△SAB是正三角形，∴AB⊥OS，∵四边形ABCD是直角梯形，DC=，AB∥CD，∴四边形OBCD是矩形，∴AB⊥OD，又OS∩OD=O，∴AB⊥平面SOD，∴AB⊥SD．解：（2）∵平面ABCD⊥平面SAB，AB⊥OS，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴OS⊥平面ABCD，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，6，0），B（0，﹣6，0），D（6，0，0），C（6，﹣6，0），S（0，0，6），=（﹣6，0，6），=（6，﹣6，0），设平面SAD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得，同理，得平面SBC的一个法向量=（0，﹣，1），则cosθ==．∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为．22．已知P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点B．已知M为AD的中点，是否存在定点N，使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，可设椭圆的标准方程为： +y2=1．右焦点F（c，0）．由，可得Q，代入椭圆C的方程可得： +=1，又b2=a2﹣c2=1，解得a即可得出．（2）直线l的方程为：y=k（x+2），与椭圆方程联立化为：（x+2）[4k2（x+2）+（x﹣2）]=0，可得D（，）．可得AD的中点M，可得k OM．直线l的方程为：y=k（x+2），可得B（0，2k）．假设存在定点N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，则k OM•k BN=﹣1，化简即可得出．【解答】解：（1）∵P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，可设椭圆的标准方程为：+y2=1．右焦点F（c，0）．由，可得Q，代入椭圆C的方程可得： +=1，∴4c2=3a2，又b2=a2﹣c2=1，解得a=2．∴椭圆C的标准方程为=1．（2）直线l的方程为：y=k（x+2），联立，消去y化为：（x+2）[4k2（x+2）+（x﹣2）]=0，∴x1=﹣2，x2=．由x D=，可得y D=k（x D+2）=．∴D（，）．由点M为AD的中点，可得M，可得k OM=﹣．直线l的方程为：y=k（x+2），令x=0，解得y=2k，可得B（0，2k）．假设存在定点N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，则k OM•k BN=﹣1，∴=﹣1，化为（4m+2）k﹣n=0恒成立，由，解得，因此存在定点N．使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN．2017年2月1日。

优质：河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期末考试理数试题(考试版)

绝密★启用前2016-2017学年度河南洛阳高二下学期期末考卷（理）考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷注重“基础与能力并重，思想与方法并存”的命题理念，符合高考大纲命题要求，着重考查考查选修2-3重点知识，可有效检测考生对基础知识的掌握情况．试题常规，无偏难、怪题出现，其中第11、12题相对比较新颖，综合性较强，考查考生运用数学知识解决问题的能力，第7、14题突出考查考生文字处理能力以及对重点题型的处理；解答题重视数学思想方法的考查，如第22题考查了分类讨论的思想、转化的思想、方程的思想，第21题考查了推理和计算能力．本卷适合第一轮复习使用．一、选择题1．若i 为虚数单位,,,a b ∈R 且2ii,ia b +=+则复数i a b +的模等于( )A.B.C.D.2．命题“若a b >，则ac bc >”的逆否命题是( ) A. 若a b >，则ac bc ≤ B. 若ac bc ≤，则a b ≤ C. 若ac bc >，则a b > D. 若a b ≤，则ac bc ≤3．设0x >，由不等式12x x +≥， 243x x +≥， 3274x x+≥，…，类比推广到1n ax n x +≥+，则a = ( )A. 2nB. 2nC. 2n D. nn4．设随机变量()~2,1,N ξ若(3),P m ξ>=则(13)P ξ<<等于( ) A. 122m - B. 1m - C. 12m - D. 12m -5．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A =两次的点数均为奇数}， {B =两次的点数之和小于7}，则(|)P B A = ( )A.13 B. 49 C. 59 D. 236．用数学归纳法证明“()1111232n F n +++⋯+<”时，由n k =不等式成立，证明1n k =+时，左边应增加的项数是( ) A. 12k - B. 21k - C. 2k D. 21k +7．学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关,抽样调查100 人,得到如下数据:根据表中数据,通过计算统计量()()()()()22,n ad bc K a b c d a c b d -=++++并参考以下临界数据:若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”,则此结论出错的概率不超过( )A. 0.10B. 0.05C. 0.025D. 0.018．某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4 位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有( ) A. 20种 B. 15种 C. 10种 D. 4种9．设随机变量()~2,,X B p 随机变量()~3,,Y B p 若()51,9P X ≥=则)1D+=( )A. 2B. 3C. 6D. 710．已知抛物线2y =的焦点为F ， A ， B 为抛物线上两点，若3AF FB =， O 为坐标原点，则AOB 的面积为（）A.B.C.D.11．设等差数列{}n a 满足()()5100810081201611a a -+-=，()()5100910091201611a a -+-=-，数列{}n a 的前n 项和记为S ，则（）A. 20162016S =， 10081009a a >B. 20162016S =-， 10081009a a >C. 20162016S =， 10081009a a <D. 20162016S =-， 10081009a a < 12．设函数()2,0{21,0lnx x f x x x x ->=+-≤，若()()()()f a f b f c f d ===，其中,,,a b c d 互不相等，则对于命题():0,1p abcd ∈和命题)122:2,2q a b c d e e e e --⎡+++∈+-+-⎣真假的判断，正确的是( ) A. p 假q 真 B. p 假q 假 C. p 真q 真 D. p 真q 假二、填空题 13．设函数()3,01{,,1x x f x x x ≤≤=>则定积分()2d f x x =⎰_________.14．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:由表中的数据得线性回归方程为ˆˆ,ˆybx a =+其中ˆ20,b =-预测当产品价格定为 9.5 (元)时,销量约为_________件.15. 已知,x y 满足约束条件0,{2323x x y x y ≥+≥+≤，若y x -的最大值是a ，则二项式61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中的常数项为__________．(数字作答)16．若函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()00,,M x h x 记函数()h x 的导函数为(),g x 则有()0'0,g x =设函数()3232,f x x x =-+则12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭____.三、解答题17．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足 1cos 2b Cc a +=. (1)求ABC 的内角B 的大小；(2)若ABC的面积2S =，试判断ABC 的形状.18．已知正项数列{}n a 的首项11a =，且()221110n n n n n a a a na ++++-=对*n N ∀∈都成立.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记2121n n n b a a -+=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明： 12n T <.19．第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园.(1)若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设,X Y 分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望 ()E ξ.20．如图，已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直，在直角梯形1ABB N 中，1AN BB ， AB AN ⊥， 112CB BA AN BB ===.(1)求证： BN ⊥平面11C B N ； (2)求二面角1C C N B --的大小.21．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x 轴所成的夹角为30︒，且双曲线的焦距为(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围.22．设函数()ln f x x x ax =⋅+， a R ∈.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若对1x ∀>， ()()1f x b a x b >+--恒成立，求整数b 的最大值.。

河南省洛阳市第一高级中学2016-2017学年高二数学9月月考试题理(无答案)

河南省洛阳市第一高级中学2016-2017学年高二数学9月月考试题理（无答案）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合A ＝{x |x 2-x-6<0}，B ＝{x |24-+x x >0}，则A ∩B 等于( ) A ．(-2,3) B ．(2,3) C ．(-4,-2)D ．(-4,3) 2．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋3943．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( )A ．27B ．36C ．45D ．544．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.725 B ．－725 C ．±725 D.24255．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π) 6．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋12 7．已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若平面上的三点A ，B ，C 共线，且OA →＝a 4OB →＋a 97OC →，则S 100＝( )A ．100B ．101C ．50D ．518．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(3n －13)，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值是( )A ．S 3B ．S 4C ．S 5D ．S 69．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ＋3－S m ＋2＝8(S m －S m －1)(m >1，m ∈N)，且a 6＋4a 1＝S 22，则a 1＝( ) A.16 B.14C ．4D ．2 10．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝51－3n ，设T n ＝|a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋14|(n ∈N *)，则当T n 取得最小值时，n 的值是( )A ．10B ．12C ．15D ．1711．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．912．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设S n 是数列{b n }的前n 项和，b n ＝lg a n ，则S 99的值是( )A ．2B ．3C ．5D ．4二、填空题（每小题5分，共20分）13.数列{a n }中，a 1=0,a 1+n =133+-n n a a ,则a 2016=_______ 14．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.15.若.A ＝{x |y ＝5x ＋1－1}，B ＝{x |y ＝lg(x 2＋4x ＋m )}，A ∩B ＝(－1,4]，则m 的取值范围是________．16.已知函数f (x )＝sin x －a (0≤x ≤5π2)的三个零点成等比数列，则log 2a ＝________.三．解答题（17题10分，18~22每题12分）17.解关于x 的不等式 ax 2－2x-2-a<0(a>-1)18．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．19.在等比数列{a n }中， a 1+a 6=33,a 3a 4=32,且a 1+n <a n (n ∈N *)(1)求数列{a n }的通项公式(2)若b n =|log 2a n |,求数列{}n b 的前n 项和20．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．21．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .22．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1)证明：数列{1a n}是等差数列； (2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋12·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．。

河南省洛阳市第一高级中学高二9月月考数学试题Word版含解析

2019-2020学年河南省洛阳市第一高级中学高二9月月考数学试题一、单选题1．函数22()(23)f x log x x =+-的定义域是（）A ．[3,1]-B ．(3,1)-C ．(,3][1,)-∞-⋃+∞D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ 【答案】D 【解析】由解得或，故选D.【考点】函数的定义域与二次不等式.2．ABC ∆中，o 4,3,60AB AC A ===，则ABC ∆的面积为( )A ．332B ．3C ．33D ．3【答案】C【解析】利用三角形的面积公式直接计算即可. 【详解】113sin 433322ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，属于基础题.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3，S 4=15，则S 6=（） A ．31 B ．32C ．63D ．64【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可得S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，代入数据计算可得．解：S 2=a 1+a 2，S 4﹣S 2=a 3+a 4=（a 1+a 2）q 2，S 6﹣S 4=a 5+a 6=（a 1+a 2）q 4，所以S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，即3，12，S 6﹣15成等比数列，可得122=3（S 6﹣15），解得S 6=63 故选：C【考点】等比数列的前n 项和． 4．在中，2a =，3b =，π3B =，则A 等于 A ．π6 B ．π4C ．3π4D ．π4或3π4【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得，因,故A 等于π4【考点】正弦定理5．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2222a b ab c +=，则角C 为（） A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】利用余弦定理可直接计算C 的大小. 【详解】因为2222cos 22a b c C ab +-==-，而()0,C π∈，所以34C π=，故选C. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.7．A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=o ，105CAB ∠=o 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（）A． B．C．D．2m 【答案】A【解析】由∠ACB 与∠BAC ，求出∠ABC 的度数，根据sin ∠ACB ，sin ∠ABC ，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长．【详解】在△ABC 中，AC=50m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°，则由正弦定理sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得AB=50sin 2.1sin 2AC ACB ABC∠==∠ 故选A. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.8．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（） A ．32B ．5C ．5D ．92【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123a =，6812S a =，则使n S 达到最大值的n 是（） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】利用123a =，6812S a =可求出基本量，再考虑n a 何时变号即可得到n S 达到最大值的n 的值. 【详解】设等差数列的公差为d ，则 ()65623122372d d ⨯⨯+⨯=+，故2d =-，故252n a n =-，当13n ≥时，0n a <，当12n ≤时，0n a >，所以当12n =时，n S 最大，故选C.10．已知实数,x y 满足12100y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1,-则实数m 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】画出可行域对应的平面区域，平移动直线z x y =-后可得z 何时取最小值，从而可求实数m 的值. 【详解】如图，由21y x x y m =-⎧⎨+=⎩可得B 的坐标为121,33m m +-⎛⎫⎪⎝⎭，当动直线0x y z --=过B 时，z 取最大值1-，故1211033m m +--+=，故5m =，所以选D. 【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍，而21y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率． 11．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】将代数式与相乘，展开式利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可.【详解】由基本不等式得，当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.由题意可得，即，解得或.因此，实数的取值范围是，故选：B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题。

河南省洛阳市第一高级中学高二数学9月月考试题文(无

洛阳一高2016-2017学年高二年级9月月考文科数学试卷满分：150 考试时长：120分钟一、选择题(每题5分,共12小题)1.在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3 B.π6 C.π3或23π D.π6或56π 2．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°3．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．34.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( ) A ．27 B ．36 C ．45 D ．545．等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1,2,3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时，a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17B ．S 18C ．S 15D ．S 146．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋127．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝51－3n ，设T n ＝|a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋14|(n ∈N *)，则当T n取得最小值时，n 的值是( )A ．10B ．12C ．15D ．178．设公比为q (q ≠1)的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ＝q n＋k ，那么k 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－19.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(3n －13)，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值是( ) A ．S 3 B ．S 4 C ．S 5 D ．S 610．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．1811．已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若平面上的三点A ，B ，C 共线，且OA →＝a 4OB →＋a 97OC →，则S 100＝( )A ．100B ．101C ．50D ．5112．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n 二、填空题(每题5分,共4小题)13．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.14.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是________． 15.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________.16.已知数列{n a }满足)(11,2*11N n a a a a nnn ∈-+==+，则2014a 的值为．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断三角形的形状．19（本小题满分12分）已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝－8，求a 1＋a 1020．（本小题满分12分）若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，求数列{a n }的通项公式21.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足b 2＋c 2＝bc ＋a 2.(1)求角A 的大小；(2)已知等差数列{a n }的公差不为零，若a 1cos A ＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，求{4a n a n ＋1}的前n项和S n .22. （本小题满分12分）设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和T n .。

河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期末考试理数试题word版有答案-(数学)

洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，,a b R Î，且2a ib i i+=+，则复数a bi +的模等于( )2.命题“若a b >，则ac bc >”的逆否命题是( ) A.若a b >，则ac bc £ B.若ac bc £，则a b £ C.若ac bc >，则a b >D.若a b £，则ac bc £3.设0x >，由不等式12x x +?，243x x +?，3274x x +?，…，类比推广到1n ax n x+?，则a =( )A.2nB.2nC.2nD.n n4.设随机变量()21N x ～，，若()3P m x >=，则()13P x <<等于( ) A.122m - B.1m - C.12m - D.12m - 5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A =两次的点数均为奇数}，{B =两次的点数之和小于7}，则()|P B A =( ) A.13B.49C.59D.236.用数学归纳法证明“()1111232n F n ++++<…”时，由n k =不等式成立，证明1n k =+时，左边应增加的项数是( ) A.12k -B.21k -C.2kD.21k +7.学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：根据表中数据，通过计算统计量()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，并参考以下临界数据：A.0.10B.0.05C.0.025D.0.018.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有( ) A.20种B.15种C.10种D.4种9.设随机变量()2,X B p ～，随机变量()3,Y B p ～，若()519P X ?，则)1D +=( )A.2B.3C.6D.710.已知抛物线2y =的焦点为F ，A ，B 为抛物线上两点，若3AF FB =，O 为坐标原点，则AOB △的面积为（） A.B.C.11.设等差数列{}n a 满足()()5100810081201611a a -+-=，()()5100910091201611a a -+-=-，数列{}n a 的前n 项和记为S ，则（） A.20162016S =，10081009a a > B.20162016S =-，10081009a a > C.20162016S =，10081009a a <D.20162016S =-，10081009a a <12.设函数()2ln ,021,0x x f x x x x ì->ï=íï+-?î，若()()()()f a f b f c f d ===，其中,,,a b c d 互不相等，则对于命题():0,1p abcd Î和命题)122:2,2q a b c d e e e e --é+++?-+-ë真假的判断，正确的是( ) A.p 假q 真 B.p 假q 假 C.p 真q 真 D.p 真q 假第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()3,01,1x x f x x x ì＃ï=í>ïî，则定积分()20f x dx =ò ．14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中的数据得线性回归方程为y bx a =+，其中20b =-，预测当产品价格定为9.5(元)时，销量约为件．15.已知,x y 满足约束条件0,2323x x y x y ì³ïï+?íï+?ïî，若y x -的最大值是a ，则二项式61ax x 骣琪-琪桫的展开式中的常数项为．(数字作答)16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++?图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()0'0g x =，设函数()3232f x x x =-+，则12403240332017201720172017f f f f 骣骣骣骣琪琪琪琪++++=琪琪琪琪桫桫桫桫… ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC △的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足1cos 2b Cc a +=.(1)求ABC △的内角B 的大小；(2)若ABC △的面积2S ，试判断ABC △的形状. 18.已知正项数列{}n a 的首项11a =，且()221110n n n n n a a a na ++++-=对*n N "?都成立.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记2121n n n b a a -+=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <. 19.第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园. (1)若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？ (2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设,X Y 分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记X Y x =-，求随机变量x 的分布列和数学期望()E x .20.如图，已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直，在直角梯形1ABB N 中，1AN BB ∥，AB AN ^，112CB BA AN BB ===.(1)求证：BN ^平面11C B N ； (2)求二面角1C C N B --的大小.21.已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x 轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围. 22.设函数()ln f x x x ax =?，a R Î.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若对1x ">，()()1f x b a x b >+--恒成立，求整数b 的最大值.洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷参考答案(理)一、选择题1-5:CBDCD 6-10:CABAB 11、12：CA二、填空题13.7414.60 15.540- 16.0 三、解答题17.(1)由正弦定理及已知得()1sin sin sin sin sin 2B C C A B C +==+，∴1cos sin sin 2B C C =，由于sin 0C ¹，∴1cos 2B =.()0,B p Î，所以3B p=.(2)由ABC △的面积21sin 23S ac p =，得2b ac =，由余弦定理得，2222cos b a c ac B ac =+-=，所以()20a c -=，所以a c =，此时有22b ac a ==，∴a b c ==，所以ABC △为等边三角形.18.(1)由()221110n n n n n a a a na +-++-=可得()()1110n n n n a a n a na ++轾++-=臌， ∵0n a >，∴()11n n n a na ++=，从而()()11211121n n n n a na n a a a +-+==-===?…，所以1n a n=. (2)由(1)知212111111212122121n n n b a a n n n n -+骣琪==?-琪-+--桫， ∴12111111123352121n n T b b b n n 骣琪=+++=-+-++-琪-+桫 (11112212)n 骣琪=-<琪+桫. 19.(1)依题意甲，乙，丙三人的分配方法有2种，其余二人的分配方法有22种，故共有2228?种不同的分配方案.(2)设5名学生中恰有i 名被分到王城公园的事件为()0,1,2,3,4,5i A i =，x 的所有可能取值是1，3，5.()()()()2332535223235551228C C C C P P A A P A P A x ==+=+=+=，()()()()11115451141455532216C C C C P P A A P A P A x ==+=+=+=，()()()()055555050555152216C C C P P A A P A P A x ==+=+=+=，则随机变量x 的分布列为故随机变量x 的数学期望()135816168E x =???. 20.(1)证明：∵矩形11BB CC 所在平面与底面1ABB N 垂直，则CB ^底面1ABB N .∵1AN BB ∥，AB AN ^，则1AB BB ^，如图，以B 为坐标原点，以BA ，1BB ，BC 为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设14BB =，则()2,2,0N ，()10,4,2C ，()10,4,0B ，(),0,0,2C ， ∵1440B N BN ?-=，则1B N BN ^，11BN B C ^，且1111B NB C B =，则BN ^平面11C B N .(2)设平面1C BN 的一个法向量为(),,m x y z =，由于()2,2,0BN =，()12,2,2C N =--，由10n BN n C N ì?ïíï?î，得00x y x y z ì+=ïí--=ïî，令1x =得()1,1,2m =-.同理求得平面1C CN 的一个法向量为()1,0,1n =. 设二面角1C C N B --的平面角为q ，则3cos m n m nq ×==. 又二面角1C C N B --为锐二面角，所以二面角1C C N B --的大小是30°. 21.(1)一条渐近线与x 轴所成的夹角为30°知tan 30b a =°223a b =，又c =228a b +=，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=.(2)由(1)知()22,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty =+. 联立221622x y x ty ìï+=ïíï=+ïî得()223420t y ty ++-=，由12243t y y t -+=+得122123x x t +=+， ∴2262,33tE t t 骣-琪琪++桫，又()12,0F -，所以直线1F E 的斜率222236623ttt k t t -+==+--+.①当0t =时，0k =；②当0t ¹时，2166tk t t t==?++，即k 纟çÎç棼. 综合①②可知，直线1F E 的斜率k的取值范围是-臌. 22.(1)由()ln f x x x ax =?得()'ln 1f x x a =++，当1a =时，()'ln 2f x x =+，()11f =，()'12f =，求得切线方程为21y x =-.(2)若对1x ">，()()1f x b a x b >+--恒成立等价于ln 1x x xb x +<-对1x ">恒成立，设函数()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-，再设函数()ln 2h x x x =--，则()1'1h x x=-. ∵1x >，()'0h x >，即()h x 在()1,+?上为增函数，又()31ln 30h =-<，()42ln 40h =->，所以存在()03,4x Î，使得()00h x =，∴当()01,x x Î时，()0h x <，即()'0g x <，故()g x 在()01,x 上递减；当()0,x x ??时，()0h x >，即()'0g x >，故()g x 在()0,x +?上递增.∴()g x 的最小值为()00000ln 1x x x g x x +=-.由()000ln 20h x x x =--=得00ln 2x x =-. 所以()()00000021x x x g x x x -+==-，所以0b x <，又()03,4x Î，故整数b 的最大值为3.。

河南省洛阳名校2016-2017学年高二(下)第一次联考数学试卷(理科)

2016-2017学年河南省洛阳名校高二（下）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．如果z是3+4i的共轭复数，则z对应的向量的模是（）A．1 B．C．D．52．设f（x）是可导函数，且，则f'（x0）=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣23．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=04．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B． C．D．5．已知复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，则的值是（）A．2+π B．C．πD．4+4π6．数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1 D．7．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．8．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m 行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．9．函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）10．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）11．已知函数f（x）=x3+ax2+1的对称中心的横坐标为x0（x0＞0）且f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）12．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=3，f'（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+2（e其中为自然对数的底数）的解集是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则实数a的值为．14．对于大于或等于2的自然数，有如下分解式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律，若n2=1+3+5+…+19，m3的分解中最小的数是43，则m+n=．15．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．16．设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．由直线y=kx（k＞0）与直线y=0，x=1所围成的图形的面积为S1，有曲线y=3﹣3x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的图形的面积为S2，当S1=S2时，求k的值及直线方程．18．已知复数（λ，x∈R，i为虚数单位）．（1）若2z1=i•z2，且，求x与λ的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，且，λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．19．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f'（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，求t的值．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=1﹣na n（n∈N*）．（1）计算a1，a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中数列{a n}的通项公式成立．21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x∈（0，0.048），则当x为多少时，银行可获得最大收益？22．已知函数f（x）=alnx++1．（1）当a=﹣时，求f（x）在区间上的最大值与最小值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当﹣1＜a＜0时，任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年河南省洛阳名校高二（下）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．如果z是3+4i的共轭复数，则z对应的向量的模是（）A．1 B．C．D．5【考点】A8：复数求模．【分析】由题意求得z，进一步得到向量的坐标，代入向量模的公式计算．【解答】解：由题意，z=3﹣4i，∴z对应的向量的坐标为（3，﹣4），其模为．故选：D．2．设f（x）是可导函数，且，则f'（x0）=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【考点】6F：极限及其运算．【分析】由题意，﹣2=2，即可得到答案．【解答】解：由题意，﹣2=2．∴f′（x0）=﹣1．故选B．3．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：y=的对数为y′==﹣，可得在点（1，1）处的切线斜率为﹣1，则所求切线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即为x+y﹣2=0．故选：B．4．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】62：导数的几何意义；I2：直线的倾斜角．【分析】由二次函数的图象可知最小值为，再根据导数的几何意义可知k=tanα≥，结合正切函数的图象求出角α的范围．【解答】解：根据题意得f′（x）≥则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选B．5．已知复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，则的值是（）A．2+π B．C．πD．4+4π【考点】67：定积分．【分析】首先复数为实数，得到a，然后利用定积分的几何意义求值．【解答】解：因为复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，所以a=2，所以===π；故选：C6．数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1 D．【考点】RG：数学归纳法．【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，比较两个表达式，即得所求．【解答】解：当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选A．7．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．【考点】F3：类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选B．8．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m 行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．【考点】8B：数列的应用．【分析】根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方；②每一行都有2n ﹣1个项，由此可得结论．【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；②每一行都有2n﹣1个项，所以第10行有2×10﹣1=19项，得到第10行第一个项为100﹣19+1=82，所以第12项的项数为82+12﹣1=93；所以A（10，12）=a93=故选A．9．函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求导f′（x）=2x﹣2﹣a，注意到其在（1，2）上是增函数，故可得f′（1）f′（2）＜0，从而解得．【解答】解：∵f′（x）=2x﹣2﹣a在（1，2）上是增函数，∴若使函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则f′（1）f′（2）＜0，即（﹣a）（3﹣a）＜0，解得，0＜a＜3，故选C．10．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x ﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．11．已知函数f（x）=x3+ax2+1的对称中心的横坐标为x0（x0＞0）且f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值，令极小值小于零即可求出a的范围．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0得x=0或x=﹣，∴x0=﹣＞0，∴a＜0．∴当x＜0或x＞﹣时，f′（x）＞0，当0＜x＜﹣时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（﹣）=．∵f（x）有三个零点，∴＜0．解得a＜﹣．故选B．12．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=3，f'（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+2（e其中为自然对数的底数）的解集是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令F（x）=e x f（x）﹣e x﹣2，从而求导F′（x）=e x（f（x）+f′（x）﹣1）＞0，从而由导数求解不等式．【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1﹣f（x），可得f（x）+f′（x）﹣1＞0，令F（x）=e x f（x）﹣e x﹣2，则F′（x）=e x＞0，故F（x）是R上的单调增函数，而F（0）=e0f（0）﹣e0﹣2=0，故不等式e x f（x）＜e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（﹣∞，0）；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则实数a的值为﹣2．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z=a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则a2+a﹣2=0，a2﹣1≠0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．14．对于大于或等于2的自然数，有如下分解式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律，若n2=1+3+5+…+19，m3的分解中最小的数是43，则m+n=17．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据等差数列的通项公式以及数列的求和公式即可求出m，n的值．【解答】解：依题意得n2=1+3+5+…+19==100，∴n=10．∵m3（m∈N*）的分解中最小的数是43，∴m3=43m+=m2+42m，即m2﹣m﹣42=0，∴（m﹣7）（m+6）=0，∴m=7或m=﹣6．又m∈N*，∴m=7，∴m+n=17．故答案为：17．15．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．【考点】63：导数的运算；IT：点到直线的距离公式．【分析】直线y=2x+3在曲线y=ln（2x+1）上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2x﹣y+3=0的距离即为所求的最短距离．由直线2x﹣y+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．【解答】解：因为直线2x﹣y+3=0的斜率为2，所以令y′==2，解得：x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，则（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离d==，即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．故答案为：16．设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是a＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解，只需f′（）＞0即可，根据一元二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵，∴函数的导数为f′（x）=﹣x2+x+2a，若函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a，∴只需f′（）＞0即可，由f′（）=﹣++2a=2a+＞0，解得a＞，故答案为：a＞．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．由直线y=kx（k＞0）与直线y=0，x=1所围成的图形的面积为S1，有曲线y=3﹣3x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的图形的面积为S2，当S1=S2时，求k的值及直线方程．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】分别根据定积分的计算法则求出S1，S2，再根据S1=S2即可求出k的值．【解答】解：由曲线y=3﹣3x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的图形的面积为S2=（3﹣3x2）dx=（3x﹣x3）|=3﹣1=2，则直线y=kx（k＞0）与直线y=0，x=1所围成的图形的面积为S1=kxdx=kx2|=k，由S1=S2时，∴k=2，∴k=4，∴y=4x18．已知复数（λ，x∈R，i为虚数单位）．（1）若2z1=i•z2，且，求x与λ的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，且，λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出；（2）利用向量的垂直与数量积的关系可得可得sinx（sinx+cosx）﹣λ=0，再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简，利用三角函数的周期公式和单调性即可得出．【解答】解：（1）由2z1=z2i，可得2sinx+2λi=1+（sinx+cosx）i，又λ，x∈R，∴，又，故x=，λ=1．（2）由，可得sinx（sinx+cosx）﹣λ=0，又λ=f（x），故f（x）==+，故f（x）的最小正周期T=π，又由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），可得kπ+≤x≤kπ+，故f（x）的单调递减区间为，（k∈Z）．19．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f'（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，求t的值．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】（1）设f（x）=x2+2x+n，根据△=0求出n即可；（2）根据定积分的几何意义列方程解出t．【解答】解：（1）∵f'（x）=2x+2，∴f（x）=x2+2x+n（n为常数），∵f（x）=0有两个相等的实根，∴4﹣4n=0，即n=1，∴f（x）=x2+2x+1．（2）f（x）与x轴的交点为（﹣1，0），与y轴的交点为（0，1），∴y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形面积S=（x2+2x+1）dx=（）=，∵直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，∴（x2+2x+1）dx=，即t3﹣t2+t=，∴2（t﹣1）3=﹣1，∴t=1﹣．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=1﹣na n（n∈N*）．（1）计算a1，a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中数列{a n}的通项公式成立．【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【分析】（1）利用已知条件通过n=1，2，3，4，分别求出a1，a2，a3，a4；然后猜想a n的表达式．（2）利用数学归纳法的证题步骤，证明猜想的正确性即可．【解答】解：（1）依题设S n=1﹣na n可得a1=1﹣a1，即a1=，a2==，a3==，a4==；猜想a n=．（2）证明：①当n=1时，猜想显然成立．②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即a k=．那么，当n=k+1时，S k+1=1﹣（k+1）a k+1，即S k+a k+1=1﹣（k+1）a k+1．又S k=1﹣ka k=，所以+a k+1=1﹣（k+1）a k+1，从而a k+1==即n=k+1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x∈（0，0.048），则当x为多少时，银行可获得最大收益？【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】由题意知：存款量f（x）=kx2，当利率为0.012时，存款量为1.44亿，由1.44=k•（0.012）2，得k=10000，得f（x）=10000x2，银行应支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x3，设银行可获收益为y，则y=480x2﹣10000x3，再由导数性质能求出当x为多少时，银行可获得最大收益．【解答】解：由题意知：存款量f（x）=kx2，当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即x=0.012时，y=1.44；由1.44=k•（0.012）2，得k=10000，∴f（x）=10000x2，银行应支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x3，设银行可获收益为y=贷款收益﹣利息支出，则y=480x2﹣10000x3，由于y'=960x﹣30000x2，则y'=0，即960x﹣30000x2=0，得x=0或x=0.032．因为x∈（0，0.032）时，y'＞0，此时，函数y=480x2﹣10000x3递增；x∈（0.032，0.048）时，y'＜0，此时，函数y=480x2﹣10000x3递减；故当x=0.032时，y有最大值，其值约为0.164亿．22．已知函数f（x）=alnx++1．（1）当a=﹣时，求f（x）在区间上的最大值与最小值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当﹣1＜a＜0时，任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）a=﹣时，f（x）=lnx+x2+1，x∈，f′（x）=．可得其单调性极值与区间端点函数值，进而得到最值．（2）f′（x）=+（a+1）x=（x＞0）．对a分类讨论可得：①a=﹣1时，②a ≠﹣1时，△=﹣4a（a+1），由△≤0，△＞0，解得a范围即可得出单调性．（3）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在x=取得极小值即最小值．f=ln﹣+1．由于任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，代入化简即可得出．【解答】解：（1）a=﹣时，f（x）=lnx+x2+1，x∈，f′（x）=+x=．可知：函数f（x）在上单调递减，在（1，e hslx3y3h上单调递增．∴函数f（x）在x=1时取得极小值即最小值，f（1）=．由=+，f（e）=，可得f（e）＞．∴函数f（x）在x=e时取得最大值，f（e）=．综上可得：f（x）在区间上的最大值与最小值分别为：，．（2）f′（x）=+（a+1）x=（x＞0）．①a=﹣1时，f′（x）=﹣＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．②a≠﹣1时，△=﹣4a（a+1），由△≤0，解得a≥0，或a＜﹣1．则a≥0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＜﹣1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．由△＞0，解得﹣1＜a＜0，＞0．可得：f′（x）=，∴函数f（x）在上单调递减；在上单调递增．综上可得：a≤﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．﹣1＜a＜0时，函数f（x）在上单调递减；在上单调递增．（3）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在x=取得极小值即最小值．f=ln﹣+1．由于任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，∴ln﹣+1＞1+，化为：ln（a+1）＞﹣1，又﹣1＜a＜0，解得a＜0．∴a的取值范围是．2017年5月18日。

河南省洛阳市20162017学年高二上学期期中考试数学试题 (2)

洛阳市 2016—— 2017 学年第一学期期中考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题， 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的）1. 数列 1, 3,5, 7,9, 11,L 的一个通项公式为A ． a1 nC ． a n1n 1 n2n 1 ． a n 1n 11B2n 2 1D． a n 1 n1n2n2. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2, A 45o , C 75o ，则 b 等于6 2B． 3C．6D．6A ． 223. 已知公比为正数的等比数列a n 中， a 2a 6 8a 4 ,a 22 ，则 a 1A ． 8B ． 4C． 1D ．124. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 abcos A ，则 ABC 为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形 D．不确立5. 数列中， a 12, a n 1a n 1 n N, 则 a 2014a n 1A ．2B ．1C ．1D ． 3326. 设等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 S k 2, S 2 k 18 ，则 S 4kA ． 24 B． 28C． 32D． 547.在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，知足以下条件的有两个的是A ． a 1,b 2, A 30o B． b2, c 2, B 45oC ． a 1,b2, c 3D． a 3, b 2, A 60o8. 给出以下结论：①在ABC 中， sin A sin B a b;②常数数列既是等差数列又是等比数列；③数列 a 的通项公式为a n n2 kn 1，若an 为递加数列，则 k ,2 ；n④ ABC 的内角A,B,C 知足 sin A :sin B :sin C 3:5:7 ,则ABC 为锐角三角形.此中正确结论的个数为A．0 B．1C．2D．39. 定义n为 n 个正数 p1 , p2 ,L , p n的“均倒数”.若已知数列a n的前n项的“均p2 Lp1 p n倒数”为1，则 1 1 L 1 n a1a2 a2 a3a10a11A．9B ．9C ．20D．10 10 20 21 2110. 若对于x的不等式ax2 bx c 0 的解集为, 1 U 1,，则不等式cx2 bx a 0 2的解集为A．C．1,22,1B ．, 1U2,D ．, 2 U1,2x y 2 0,11. 设实数 x, y 知足拘束条件8x y 4 0, ，若目标函数z abx y a 0,b 0 的最大值为x 0, y 0,8，则a b的最小值为A．2B．4C ． 6 D ． 812. 已知函数 f x x 1 ，数列a n 的前 n 项和为 S n，且 a n f n ，则 S20172x 1 2017 A．1008 B ． 1010 C． 2019 D ．20192第Ⅱ卷（非选择题，满分90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。