高三数学二轮专题训练：填空题(32)
高三数学理科二轮复习 4-29坐标系与参数方程(选修4-4)
高考专题训练二十九 坐标系与参数方程(选修4－4)班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析：C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1 C 2：x 2＋y 2＝1.最小值为|C 1C 2|－2＝5－2＝3. 答案：32．(2011·湖北)如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x ′Oy ′(其中y ′与y 轴重合)所在平面为β，∠xOx ′＝45°.(1)已知平面β内有一点P ′(22，2)，则点P ′在平面α内的射影P 的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C ′的方程是(x ′－2)2＋2y ′2－2＝0，则曲线C ′在平面α内的射影C 的方程是________．解析：(1)如图P ′(22，2)在α上坐标P (x ，y )x ＝22cos45°＝22×22＝2，y ＝2，∴P (2,2)．(2)β内曲线C ′的方程(x ′－2)22＋y ′2＝1同上解法．中心(1,0)即投影后变成圆(x －1)2＋y 2＝1. 答案：(1)P (2,2) (2)(x －1)2＋y 2＝13．(2011·深圳卷)已知点P 是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为π4P 坐标为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤π)可得x 29＋y 216＝1(0≤y ≤4)，由于直线OP 的方程为y ＝x ，那么由⎩⎨⎧x 29＋y 216＝1y ＝x (0≤y ≤4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝125y ＝125.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫125，1254．(2011·佛山卷)在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为________．解析：设极点为O ，由该圆的极坐标方程为ρ＝4，知该圆的半径为4，又直线l 被该圆截得的弦长|AB |为4，所以∠AOB ＝60°，∴极点到直线l 的距离为d ＝4×cos30°＝23，所以该直线的极坐标方程为ρcos θ＝2 3.答案：ρcos θ＝2 35．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．分析：本题考查极坐标方程与普通方程的互化．解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，其普通方程为x 2＋y 2＝2y ，ρcos θ＝－1的普通方程为x ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1，点(－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4二、解答题(每小题7分，共70分)6．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数； (2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心为(0,0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)．化为普通方程分别为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同．7．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t与抛物线y ＝x 2交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：把⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t ，代入y ＝x 2，得t 2＋2t －2＝0，∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－2.由参数的几何意义，得 |AB |＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10.8．(2011·福建)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标系，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)从而点Q 到直线l 的距离为：d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22， 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求：(1)曲线C 的普通方程；(2)设点P (x ，y )是曲线C 上任意一点，求xy 的最大值和最小值．解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ·cos π4＋sin θ·sin π4＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.∵⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求普通方程．(2)设x －22＝cos θ，y －22＝sin θ，则xy ＝(2＋2cos θ)(2＋2sin θ)＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ.设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴t ∈[－2，2]，t 2＝1＋2cos θsin θ，从而2cos θsin θ＝t 2－1.∴xy ＝3＋22t ＋t 2.当t ＝－2时，xy 取得最小值1；当t ＝2时，xy 取得最大值9.10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θy ＝－22＋r sin θ(θ为参数，r >0)．(1)求圆心的极坐标；(2)当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3?解：(1)圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22， 设圆心的极坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 所以圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54. (2)直线l 的极坐标方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， ∴圆上的点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22＋r cos θ－22＋r sin θ－12，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－12.∴圆上的点到直线l 的最大距离为2＋2r ＋12＝3，∴r ＝4－22.11．(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 解：(1)直线l 的普通方程为y －1＝－1(x ＋1)，即y ＝－x ， ① 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. ② ①代入②得：2x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.∴A (0,0)，B (2，－2)，极坐标为A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. (2)由题意可得圆心C (2,0)到相交弦的距离为22－(3)2＝1，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，则y ＝kx ＋k ＋1，∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1，∴k ＝0或k ＝－34. ∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45ty ＝1＋35t(t 为参数)．12．已知A 、B 是椭圆x 29＋y 24＝1与x 轴、y 轴的正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大．解：设点P 的坐标为(3cos θ，2sin θ)，其中0<θ<π2，∵S四边形AOBP ＝S △APB ＋S △AOB ，其中S △AOB 为定值，故只需S △APB最大即可．因为AB 为定长，故只需点P 到AB 的距离最大即可．AB 的方程为2x ＋3y －6＝0，点P 到AB 的距离为d ＝|6cos θ＋6sin θ－6|13＝613·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1，∴θ＝π4时，d 取最大值，从而S △APB 取最大值，这时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，2.13．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，P 是圆与y 轴的交点，若以圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆的切线的极坐标方程．解：依题意，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θy ＝2sin θ是以(1,0)为圆心，2为半径的圆，与y 轴交于(0，±3)，如图所示．设R 是切线上一点，∵PR 为圆C 的切线，∴△CPR 为直角三角形，∴CR ·cos ∠RCP ＝CP ，又∠PCO ＝π3，∴极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－2π3＝2；若取圆与y 轴负轴交点，则极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝2.14．(2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 1是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解：(1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x29＋y 2＝1，当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝25.15．(2011·课标)在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.。
《三维设计》2022届高三数学(理)二轮复习 技法专题 选择、填空技法专练 Word版含答案
技法专题检测 选择、填空技法专练A 组——12＋4高考提速练(限时40分钟)一、选择题1．复数z ＝1－a 2i1＋i (a ∈R )的虚部为－2，则|z |＝( )A ．1 B. 3 C ．2D. 52．(2021·河北保定模拟)设A ＝{x |y ＝1－x }，B ＝{x |y ＝ln(1＋x )}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x ＞－1} B ．{x |x ≤1} C ．{x |－1＜x ≤1}D ．∅3．(2021·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b >1a B.1a >1b C ．|a |>|b |D ．a 2>b 25．(2021·唐山一模)执行右边的程序框图，则输出的A 为( ) A.2912 B.7029 C.2970D.169706．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( ) A ．0＜a ≤1 B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜07．假如a 1，a 2，…，a 20为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( ) A.a 3a 18a 9a 12＞1 B.a 3a 18a 9a 12＜1 C.a 3＋a 18a 9＋a 12＞1 D.a 3＋a 18a 9＋a 12＜1 8．(2021·沈阳质检)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5B ．6C ．7D ．89．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )10．(2021·大连模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π611．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A中的那部分区域的面积为( )A.34 B ．1 C.74D ．2 12．(2021·贵州七校一联)在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值为( )A ．0B ．－4C ．8D ．4二、填空题13．已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋2x ，－2≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，在集合A 中任意取一个元素a ，则a ∈B 的概率是________．14．若f (x )＝2x ＋2－x lg a 是奇函数，则实数a ＝__________________________________. 15．在三棱锥A -BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为________．16．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.B 组——12＋4高考提速练(限时40分钟)一、选择题1．设集合A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0＜a ＜6}B ．{a |a ＜2或a ＞4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}2．(2021·陕西高考)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数3．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3m C ．3 D ．3m4．函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A. ⎣⎡⎦⎤－22，0 B.[]－1，0 C.[]－2，－1D.⎣⎡⎦⎤－33，0 5．(2021·浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )6．(2021·陕西省质量检测)已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与C 交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为( )A.12 B.32 C ．1D ．27．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B.⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[x ] C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[2x ] 8.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF＝32，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ) A.92 B.152 C ．5D ．69．(2021·南昌一模)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S △AOB＝1时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120°D ．不存在10．函数y ＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值是( )A ．2 B.32 C ．3D.3411．实系数方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根分别为x 1，x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2，则b －2a －1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，1B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，14 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 12．函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数C ，对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D 使得f (x 1)f (x 2)＝C ，则称函数f (x )在D 上的几何平均数为C .已知f (x )＝x 3，x ∈[1,2]，则函数f (x )＝x 3在[1,2]上的几何平均数为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2二、填空题13.如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB ，AC 分别交于不同的两点P ，Q ，若AP ＝λAB ，AQ ＝μAC ，则1λ＋1μ＝________.14．已知点G 是△ABC 的重心，点P 是△GBC 内一点，若AP ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的取值范围是________________________________________．15．设a ＝ln12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为________． 16．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；命题q ：(x －1＋m )(x －1－m )≤0(m ＞0)．若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．答 案A 组1．选D 由z ＝(1－a 2i )(1－i )2＝12(1－a 2i －i －a 2)＝12(1－a 2)－12(a 2＋1)i.所以－12(a 2＋1)＝－2，得a 2＝3，所以z ＝－1－2i.所以|z |＝(－1)2＋(－2)2＝5.2．选C 由A 中y ＝1－x ，得1－x ≥0，即x ≤1，∴A ＝{x |x ≤1}，由B 中y ＝ln(x ＋1)，得1＋x ＞0，即x ＞－1， ∴B ＝{x |x ＞－1}，则A ∩B ＝{x |－1＜x ≤1}．3．选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0 ⇒/ ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0 ⇒/a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件． 4．选A 由a <b <0，可用特殊值法加以验证，取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，选A. 5．选B i ＝0，A ＝2；A ＝2＋12＝52，i ＝1；A ＝2＋25＝125，i ＝2；A ＝2＋512＝2912，i ＝3；A ＝2＋1229＝7029，i ＝4，输出A ，故输出的A ＝7029. 6．选C 当a ＝0时，x ＝－12，故排解A ，D.当a ＝1时，x ＝－1，排解B.7．选B 可取特殊的数列，如a n ＝n ，则a 3a 18a 9a 12＝3×189×12＝12＜1.8．选D 法一：由题知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36，得(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8.所以选D.9．选D 由函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排解B ；当x ＝π时，y ＝－π，排解A ；当x ＝π2时，y ＝1，排解C.10．选C 在直角三角形中，假如直角边为斜边的一半，则该直角边所对的角为π6，如图，所求的夹角为2π3，故选C.11．选C 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形． 阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故选C 项．12．选D 由AD ·AB ＝AD ·AC ， 得AD ·(AB －AC )＝0，即AD ·CB ＝0， 所以AD ⊥CB ，即AD ⊥CB . 又AB ＝4，∠ABC ＝30°， 所以AD ＝AB sin 30°＝2， ∠BAD ＝60°，所以AD ·AB ＝AD ·AB ·cos ∠BAD ＝2×4×12＝4.13．解析：依题意，函数y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1(－2≤x ≤2)的值域是A ＝{y |－1≤y ≤8}； 由x 2＋2x －3≤0得－3≤x ≤1，即B ＝{x |－3≤x ≤1}． 因此所求的概率等于1－(－1)8－(－1)＝29.答案：2914．解析：由于函数f (x )＝2x ＋2－x lg a 是奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0，即2x ＋2－x lg a ＋2－x ＋2x lg a ＝0，整理得2x ＋2－x ＋(2x ＋2－x )lg a ＝0，所以lg a ＝－1， 解得a ＝110.答案：11015．解析：设AB ，AC ，AD 的长分别为x ，y ，z ，则xy ＝2，yz ＝3，xz ＝6，解得x ＝2，y ＝1，z ＝3，把这个三棱锥补成一个长方体，这个三棱锥和补成的长方体具有共同的外接球，这个球的半径等于121＋2＋3＝62，故这个球的体积是43π⎝⎛⎭⎫623＝6π. 答案：6π16.解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，k ＝－2. 答案：－2 B 组1．选A 当A ∩B ＝∅时，由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，所以a ≤0或a ≥6.故当A ∩B ≠∅时，0＜a ＜6.2．选B 由于f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数为增函数，排解选项A 和C ；又由于f (0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排解选项D ，故选B.3．选A 法一：令m ＝13，则a ＝1，b ＝3，c ＝2，∴y ＝±3x ，F (±2,0)，d ＝ 3.法二：双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±33m x ＝±mmx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A. 4．选B 令sin x ＝0，cos x ＝1， 则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排解A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排解C ，故选B.5．选D 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排解选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫π－1πcos π＝1π－π＜0，排解选项C ，故选D.6．选B 由于直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0，y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32.7．选D 当x ＝12时，可排解A ，B ，C.8．选B 连接BE ，CE ，则四棱锥E -ABCD 的体积V E -ABCD ＝13×3×3×2＝6. 又V ABCDEF ＞V E -ABCD ，故选B. 9.选A 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的半圆，其图象如图所示． 设过点P (2,0)的直线为 y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离 d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝2 2－2k 21＋k 2，所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k2×22－2k 21＋k 2＝1，解得k 2＝13，由图可得k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33应舍去，故直线l 的倾斜角为150°.10．选D 作出函数y ＝|log 12x |的图象，如图所示，由y ＝0，解得x＝1，由y ＝2，解得x ＝4或x ＝14.所以区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为1－14＝34.11．选A 由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝－a ，x 1·x 2＝2b .依题意可取x 1＝12，x 2＝32，则a ＝－2，b ＝38，所以b －2a －1＝38－2－2－1＝1324＞12，排解C ，D ；不妨令b －2a －1＝12，则a ＝2b －3，由于a ＝－(x 1＋x 2)∈(－3，－1)，2b∈(0,2)，所以等式a ＝2b －3可以取到，即b －2a －1可以等于12，排解B.12．选D 令x 1x 2＝m ，且1≤x 1≤2,1≤x 2≤2，则x 2≤x 1x 2≤2x 2，即x 2≤m ≤2x 2，∴⎩⎨⎧m2≥1，m1≤2，可得m ＝2，故C ＝f (x 1)f (x 2)＝x 31x 32＝m 3＝2 2. 13．解析：由题意可知，1λ＋1μ的值与点P ，Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ 重合时，有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.答案：214．解析：当P 点在G 点位置时，λ＝μ＝13，所以λ＋μ＝23，当P 点位于B 点位置时，λ＝1，μ＝0，λ＋μ＝1， 当P 点位于C 点位置时，λ＝0，μ＝1，λ＋μ＝1， 综上，λ＋μ的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，1. 答案：⎝⎛⎭⎫23，115．解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x .当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数． ∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c . 答案：a ＞b ＞c16．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x －13－1≤2，解得－2≤x ≤10.由(x －1＋m )(x －1－m )≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．又q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，q ⇒/p 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)． 答案：[9，＋∞)。
高三数学理科二轮复习 4-31行列式与矩阵(选修4-2)
高考专题训练三十一 行列式与矩阵(选修4－2)班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．在矩阵⎝⎛⎭⎪⎫a b 0 1对应的变换下，将直线6x －5y ＝1变成2x ＋y ＝1.则a 2＋b 2等于( )A ．3B ．6C ．9D ．18答案：D2．直线x －y ＝1在矩阵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 －11 －1变换下变成的图形是( ) A ．直线 B ．线段 C ．点 D ．射线答案：C3．设⎝ ⎛⎭⎪⎫32 －1212 32n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1.n ∈N *，则n 的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12答案：D4．设矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1 32 －5.B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 31 －1.CA ＝B .则矩阵C 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫16 9－3 2 B.⎝⎛⎭⎪⎫16 －93 2C.⎝⎛⎭⎪⎫－16 93 2 D.⎝⎛⎭⎪⎫16 93 2 答案：D5．设矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32 x ＋1，若A －1存在，则x 的取值范围是( )A ．x ≠2且x ≠－3B ．x ≠2或x ≠－3C ．x ≠6且x ≠－1D ．x ≠6或x ≠－1答案：A6．两个数列{a n }，{b n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋b nb n ＋1＝4a n ＋b n .其中a 1＝2，b 1＝0，则a 10等于( )A ．310＋1B ．210＋1C ．39－1D ．29－1答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·上海)行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.答案：68．若直线x －y ＝4在矩阵M ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1－1b 对应的变换作用下，把直线变为本身直线，则a ，b 的值分别为________．答案：0 29．设A 是一个二阶矩阵，满足A ⎝ ⎛⎭⎪⎫10＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫10，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫13.则A ＝________. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫3 10 6 10．已知a ，b ，c 为实数，A ，B ，C 为二阶矩阵，通过类比得出下列结论：①“若a ＝b ，则ac ＝bc .”类比“若A ＝B ，则AC ＝BC .” ②“若ac ＝bc ，且c ≠0，则a ＝b .”类比“若AC ＝BC ，且C 为非零矩阵，则A ＝B .”③若“ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.”类比“若AB ＝⎝⎛⎭⎪⎫0 00 0，则A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 00 0或B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 00 0.” ④“若a 2＝0，则a ＝0.”类比“若A 2＝⎝⎛⎭⎪⎫0 00 0，则A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 00 0.” 其中不正确的为________． 答案：②③④三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·福建)设矩阵M ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 00b (其中a >0，b >0)． (1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩形M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解：(1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1. 又M ＝⎝⎛⎭⎪⎫2 00 3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001. 所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13. 故所求的逆矩阵M －1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫120013. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)，在曲线C ′上， 所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.12．(13分)(2011·扬州市四星级高中2月联考)变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1101. (1)求点P (2,1)在T 1作用下的点P ′的坐标；(2)求函数y ＝x 2的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．解：(1)M 1＝⎝⎛⎭⎪⎫0 －11 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 －11 0⎝ ⎛⎭⎪⎫21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以点P (2,1)在T 1作用下的点P ′的坐标是P ′(－1,2)．(2)M ＝M 2M 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1 －11 0，设⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝xx 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝yy 0＝y －x ， 所以，所求曲线的方程是y －x ＝y 2.。
高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)
城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。
2020届高考数学二轮复习专项二专题六专题强化训练Word版含解析
[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2018·惠州第二次调研)设随机变量ξ服从正态分布N (4，3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选B.由随机变量ξ服从正态分布N (4，3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x ＝4，又P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，所以x ＝a －5与x ＝a ＋1关于直线x ＝4对称，所以a －5＋a ＋1＝8，即a ＝6.故选B.2．(2018·武汉调研)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为( )A.310B.25C.320D.14解析：选C.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C 36种放法，甲盒中恰好有3个小球有C 23种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为C 23C 36＝320.故选C.3．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.59解析：选A .小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，所以P (A |B )＝24108＝29. 4．用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5特征的五位数的概率为( )A.110B.120C.124D.310解析：选B .1，2，3，4，5可组成A 55＝120个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的5必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有C 24C 22＝6个，故出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5特征的五位数的概率为6120＝120. 5．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p , 各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.6或p ＝0.4.由P (X ＝4)＜P (X ＝6)，得C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4，即(1－p )2＜p 2，所以p ＞0.5，所以p ＝0.6.6．(2018·贵阳模拟)点集Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤e ，0≤y ≤e }，A ＝{(x ，y )|y ≥e x ，(x ，y )∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a ，则a ∈A 的概率为( )A.1e B.1e 2 C.e －1eD.e 2－1e2解析：选B.如图，根据题意可知Ω表示的平面区域为正方形BCDO ，面积为e 2，A 表示的区域为图中阴影部分，面积为⎠⎛01(e －e x )dx ＝(e x －e x )|10＝(e －e)－(－1)＝1，根据几何概型可知a ∈A 的概率P ＝1e2.故选B.二、填空题7．某人在微信群中发了一个7元的“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是________．解析：利用隔板法将7元分成3个红包，共有C 26＝15种领法．甲领3元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有3元，3元，1元与3元，2元，2元两种情况，共有A 22＋1＝3种领法；甲领4元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有4元，2元，1元一种情况，共有A 22＝2种领法；甲领5元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有5元，1元，1元一种情况，共有1种领法，所以甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是3＋2＋115＝25.答案：258．(2018·唐山模拟)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________．解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2. 又圆的半径为2，所以弓形ADB 的面积为12×23π×2－12×2×3＝23π－3，所以向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝16－34π.答案：16－34π9．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的均值E (η)>74，则p的取值范围是________．解析：由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0，1)，所以p ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 三、解答题10．(2018·贵阳模拟)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为23，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？ 解：(1)由题意可得，所求概率为P ＝C 14C 22C 36×C 13×23×⎝⎛⎭⎫132＋C 24C 12C 36×C 03×⎝⎛⎭⎫230×⎝⎛⎭⎫133＝115.(2)设学生甲答对的题数为X ，则X 的所有可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)×15＝25.设学生乙答对的题数为Y ，则Y 的所有可能取值为0，1，2，3. 由题意可知Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23， 所以E (Y )＝3×23＝2，D (Y )＝3×23×13＝23.因为E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y ) ， 所以甲被录取的可能性更大．11．(2018·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的质量频率分布直方图(如图)．(1)求a 的值，并根据样本的数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5，15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03. 由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为x －＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克． (2)该盒子中小球质量在[5，15]内的概率为15，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫15×⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×45＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35.⎝⎛⎭⎫或者E （X ）＝3×15＝35. 12．(2018·长春质量监测(二))某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400](单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)现按分层抽样的方法，从质量为[250，300)，[300，350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X 表示质量在[300，350)内的芒果个数，求X 的分布列及数学期望；(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出如下两种收购方案：A ：所有芒果以10元/千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购． 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？解：(1)9个芒果中，质量在[250，300)和[300，350)内的分别有6个和3个．则X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 36C 39＝2084，P (X ＝1)＝C 26C 13C 39＝4584，P (X ＝2)＝C 16C 23C 39＝1884，P (X ＝3)＝C 33C 39＝184.所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×2084＋1×4584＋2×1884＋3×184＝1.(2)设选择方案A 可获利y 1元，则y 1＝(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10 000×10×0.001＝25 750.设选择方案B ，从质量低于250克的芒果中获利y 2元，从质量高于或等于250克的芒果中获利y 3元，则y 2＝(0.002＋0.002＋0.003)×50×10 000×2＝7 000. y 3＝(0.008＋0.004＋0.001)×50×10 000×3＝19 500. y 2＋y 3＝7 000＋19 500＝26 500.由于25 750<26 500，故B 方案获利更多，应选B 方案．[B 组 大题增分专练]1．(2018·合肥第一次质量检测)2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》．某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始，高考不再分文理科，语文、数学、英语三科为必考科目，考生从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，其中物理、化学、生物为自然科学科目，思想政治、历史、地理为社会科学科目，假设某位考生选考这六个科目的可能性相等．(1)求这位考生所选考的三个科目中至少有一个自然科学科目的概率；(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是45，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是34，且所选的各个科目的考试成绩相互独立，用随机变量X表示他所选的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)记“这位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ， 则P (M )＝1－C 33C 36＝1－120＝1920，所以这位考生选考的三个科目中至少有一个自然科学科目的概率为1920.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. 因为P (X ＝0)＝15×⎝⎛⎭⎫142＝180，P (X ＝1)＝45×⎝⎛⎭⎫142＋15×C 12×14×34＝18， P (X ＝2)＝45×C 12×14×34＋15×⎝⎛⎭⎫342＝3380，P (X ＝3)＝45×⎝⎛⎭⎫342＝920，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×180＋1×1080＋2×3380＋3×3680＝2.3.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 220p 2(1－p )18.因此f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17]＝2C 220p (1－p )17(1－10p )．令f ′(p )＝0，得p ＝0.1.当p ∈(0，0.1)时，f ′(p )>0；当p ∈(0.1，1)时，f ′(p )<0.所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1. (2)由(1)知，p ＝0.1.(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180，0.1)， X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y . 所以EX ＝E (40＋25Y )＝40＋25EY ＝490.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于EX >400，故应该对余下的产品作检验．3．2017年央视3·15晚会曝光了一些饲料企业瞒天过海地往饲料中非法添加各种“禁药”，包括“人用西药”，让所有人惊出一身冷汗．某地区质量监督部门对该地甲、乙两家畜牧用品生产企业进行了突击抽查，若已知在甲企业抽查了一次，抽中某种动物饲料的概率为34，用数字1表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中；在乙企业抽查了两次，每次抽中该动物饲料的概率为23，用数字2表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中．该部门每次抽查的结果相互独立．假设该部门完成以上三次抽查．(1)求该部门恰好有一次抽中动物饲料这一产品的概率；(2)设X 表示三次抽查所记的数字之和，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：记“恰好抽中一次动物饲料这一产品”为事件A ，“在甲企业抽中”为事件B ，“在乙企业第一次抽中”为事件C ，“在乙企业第二次抽中”为事件D ，则由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23.(1)因为A ＝B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ，所以P (A )＝P (B C －D －＋B －C D －＋B －C －D )＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝736. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.所以P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝136， P (X ＝1)＝P (B C －D －)＝P (B )[1－P (C )][1－P (D )]＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝112， P (X ＝2)＝P (B －C D －＋B －C －D )＝P (B CD )＋P (B －C －D )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (BCD )＝[1－P (B )]P (C )P (D )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝P (B )P (C )P (D )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为 所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.4．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与车辆发生有责任道路交通事故的情况相联系，发生有责任交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到下面的表格：以这60率，完成下列问题：(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》中汽车交强险价格的规定，a ＝950.某同学家里有一辆该品牌同型号车且车龄刚满三年，记X 为该车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；(数学期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌同型号的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进并销售一辆事故车亏损5 000元，购进并销售一辆非事故车盈利10 000元．①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值． 解：(1)由题意可知，X 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a . 由统计数据可知：P (X ＝0.9a )＝16，P (X ＝0.8a )＝112，P (X ＝0.7a )＝112，P (X ＝a )＝13，P (X ＝1.1a )＝14，P (X＝1.3a )＝112.所以X 的分布列为 所以E (X )＝0.9a ×16＋0.8a ×112＋0.7a ×112＋a ×13＋1.1a ×14＋1.3a ×112＝11.9a 12＝11 30512≈942(元)．(2)①由统计数据可知，任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，则三辆车中至多有一辆事故车的概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－133＋C 1313⎝⎛⎭⎫232＝2027. ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为－5 000，10 000.11 所以Y 的分布列为所以E (Y )＝－5 000×13＋10 000×23＝5 000(元)． 故该销售商一次购进并销售100辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100×E (Y )＝50(万元)．。
高考数学二轮复习 第二部分 专题二 数学传统文化的创新应用问题习题-人教版高三全册数学试题
专题二 数学传统文化的创新应用问题一、选择题1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A ．91B ．105C ．120D ．210解析：由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∴1＋3＋6＋…＋n n ＋12＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋12nn ＋1＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.答案：B2．《X 丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( ) A.47尺布 B.5229尺布 C.815尺布 D.1631尺布 解析：设公差为d ，则由a 1＝5，S 30＝30×5＋30×292d ＝930，解得d ＝5229.答案：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1n －1n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)． 答案：C4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( ) A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32V C ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 82803，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D.答案：D5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }．∵S 7＝a 11－271－2＝381，∴可解得a 1＝3，即塔顶有3盏灯，故选B. 答案：B6．(2017·某某调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·(12)2×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B. 答案：B7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513.∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S扇形OACB－S △OAB ＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.答案：D8．(2017·某某模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今某某省某某市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算) ( ) A ．10步，50步 B ．20步，60步 C ．30步，70步D ．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B. 答案：B 二、填空题9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：676610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n ＝15n －14.由a n ＝15n －14≤2 016，解得n ≤4063，又n ∈N *，故此数列的项数为135.答案：13511．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)． 解析：由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k5k ＋12(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝5k －15k －1＋12＝5k5k －12， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 答案：(1)5 030 (2)5k5k －1212．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π. 答案：2π2＋16π传统文化训练二一、选择题1．(2017·某某模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.答案：A2.(2017·某某模拟)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：当n ＝21时，21被3整除，执行否．当n ＝22时，22除以3余1，执行否； 当n ＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n ＝23.故选C. 答案：C3．(2017·某某模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有________钱．( ) A ．28 B ．32 C ．56D ．70解析：设甲、乙、丙三人各持有x ，y ，z 钱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z 2＝90y ＋x ＋z 2＝70z ＋x ＋y 2＝56，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72y ＝32z ＝4，所以乙手上有32钱． 答案：B4．(2017·某某模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD .且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝x32＋3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66x －322＋34，故选A.答案：A5．欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2的虚部是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：依题意得，e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2＝(cos π4＋isin π4)(cos 3π4＋isin 3π4)＋2i ＝－1＋2i ，其虚部是2，选D. 答案：D6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：程序运行如下：n ＝1，a ＝5＋52＝152，b ＝4，a ＞b ，继续循环；n ＝2，a ＝152＋12×152＝454，b ＝8，a ＞b ，继续循环；n ＝3，a ＝454＋12×454＝1358，b ＝16，a ＞b ，继续循环；n ＝4，a ＝1358＋12×1358＝40516， b ＝32，此时，a ＜b .输出n ＝4，故选C.答案：C7．(2017·某某中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n a 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n 103＋13n ＋902＋n 97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.答案：D8．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝( )A.2n ＋1＋2n n ＋1 B.1n ＋1＋1n n ＋1C.1n ＋2＋1nn ＋2 D.12n ＋1＋12n ＋12n ＋3解析：根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半， 第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1， 即2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12＝2n ＋1＋2n n ＋1.故选A. 答案：A 二、填空题9．某同学想求斐波那契数列0,1,1,2，…(从第三项起每一项等于前两项的和)的前10项和，他设计了一个程序框图，则满足条件的整数P 的值为________．解析：由题意，第1次循环：a ＝0，b ＝1，i ＝3，S ＝0＋1＝1，求出第3项c ＝1，求出前3项和 S ＝0＋1＋1＝2，a ＝1，b ＝1，满足条件，i ＝4，执行循环体；第2次循环：求出第4项c ＝1＋1＝2，求出前4项和S ＝0＋1＋1＋2＝4，a ＝1，b ＝2，满足条件，i ＝5，执行循环体，…… 第8次循环：求出第10项c ，求出前10项和S ，此时i ＝10，由题意不满足条件，跳出循环，输出S 的值，故判断框内应为“i ≤9？”，所以P 的值为9.答案：910．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k2－2n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 00011．(2017·某某模拟)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法．若输入m ＝5 280，n ＝12 155，则输出的m 的值为________．解析：通解：依题意，当输入m ＝5 280，n ＝12 155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m 除以n 的余数r ＝5 280，m ＝12 155，n ＝5 280，r ≠0；进行第二次循环时，m 除以n 的余数r ＝1 595，m ＝5 280，n ＝1 595，r ≠0；进行第三次循环时，m 除以n 的余数r ＝495，m ＝1 595，n ＝495，r ≠0；进行第四次循环时，m 除以n 的余数r ＝110，m ＝495，n ＝110，r ≠0；进行第五次循环时，m 除以n 的余数r ＝55，m ＝110，n ＝55，r ≠0；进行第六次循环时，m 除以n 的余数r ＝0，m ＝55，n ＝0，r ＝0，此时结束循环，输出的m 的值为55.优解：依题意，注意到5 280＝25×3×5×11,12 155＝5×11×221，因此5 280与12 155的最大公因子是55，即输出的m 的值为55.答案：5512．(2017·某某模拟)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶n [2a ＋c b ＋2c ＋a d ＋d －b ]6个，假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为________个．解析：根据题意可知，a ＝2，b ＝1，n ＝15，则c ＝2＋14＝16，d ＝1＋14＝15，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为15×20＋34×15＋146＝1 360. 答案：1 360。
专题32二项式定理：系数最值问题小题专练B卷-高三数学二轮专题复习
专专32专专专专专专专专专专专专专专专专B专一、单选题1. 若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则该二项式的展开式中常数项为( )A. B. C. D.2. 若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为( )A. B. C. D.3. 若展开式中的系数为，展开式中二项式系数的最大值为( )A. B. C. D.4. 在的二项展开式中，仅有第项的二项式系数最大，则( )A. B. C. D.5. 在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，那么的指数是整数的项共有( )A. 项B. 项C. 项D. 项6. 若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A. B. C. D.7. 已知的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是( )A. B. C. D.8. 若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则的展开式中系数最大的项为( )A. B. C. D. 或9. 在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为( )A. B. C. D.10. 设若，则展开式中二项式系数最大的项是( )A. B. C. D.二、填空题11. 若的二项展开式中二项式系数最大项为，则．12. 在的二项展开式中，若只有的系数最大，则．13. 已知的展开式中各项系数和为，则展开式中系数最大的项为．14. 的展开式中二项式系数最大的项为．15. 在展开式中，二项式系数的最大值为，含的系数为，则16. 已知关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为．17. 若展开式中前三项的系数和为，则展开式中系数最大的项为．18. 在二项式的展开式中恰好第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是请用数字作答19. 已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为若，则．20. 在的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第六项，则展开式中常数项是答案和解析1.【答案】解：由题意可知，二项式的展开式中一共有项，所以，设展开式第项为常数项，则，，，该二项式的展开式中常数项为，故选C．2.【答案】解：令，则，则，对于二项式，展开式共项，其中展开式中二项式系数最大的项为第四项，即．故选A．3.【答案】解：因为展开式的通项，令，得，可知二项式系数的最大值为．故选C．4.【答案】解：在的二项展开式中，仅有第项的二项式系数最大，则，故选：．5.【答案】解：二项展开式中中间项的二项式系数最大，其展开式的通项为，要使的指数是整数，需是的倍数，，，，，的指数是整数的项共有项，故选C．6.【答案】解：若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，故，则展开式的通项为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故选：．7.【答案】解：令，则，解得，则，故，，，展开式中项的系数的最大值是．故选：．8.【答案】解：设的展开式的通项为，则，令，得，又，当时，最小，即，设的展开式中第项的系数最大，第项的系数为，当时，，解得，，，的展开式中系数最大的项为第二项，即，故选：．9.【答案】解：展开式中只有第五项的二项式系数最大，展开式中共有项，因此，展开式的通项为，令得，展开式中的系数是．故选：．10.【答案】解：由题可知，，当时，，的展开式中，通项为：，则常数项对应的系数为：，即，得，所以，解得：，则展开式中二项式系数最大为：，则二项式系数最大的项为：．故选A．11.【答案】解：若的二项展开式中，二项式系数最大项为，则，，故答案为：．12.【答案】解：的展开式通项为当时，值最大，所以是展开式中最大的二项式系数，所以，故答案为．13.【答案】或解：由的展开式中各项系数和为，令，则，所以，解得，或当时，其展开式中系数最大的项为．当时，其展开式中系数最大的项为故答案为或．14.【答案】解：在的展开式中，通项公式为，故第项的系数为，故当时，二项式系数最大，故当时，展开式中二项式系数最大的项为，故答案为：．15.【答案】解：由展开式中二项式系数的最大项为第四项，则二项式系数的最大值为，则，又展开式中的系数为：，则．所以．故答案为：．16.【答案】解：关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，即最大，解得，再根据，可得，令可得展开式的系数之和为．故答案为．17.【答案】解：展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，设展开式中项的系数最大，则解得，又，，故展开式中系数最大的项为．故答案为：．18.【答案】解：在二项式的展开式中恰好第项的二项式系数最大，，则展开式的通项公式为，令，则，展开式中含项的系数是．故答案为．19.【答案】解：展开式中二项式系数的最大值为，展开式中二项式系数的最大值为，因为，所以，即，解得．故答案为：．20.【答案】解：如果是奇数，则中间两项的二次项系数最大，如果是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大，展开式中只有第六项的二项式系数最大，，展开式的通项为，令，可得，展开式中的常数项等于，故答案为：．。
高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第三部分 刷模拟 高考仿真模拟卷(四)文-人教版高三全册数学试题
2020高考仿真模拟卷(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3]B ．[－1，3] C ．∅D ．(－1，3] 答案 B解析 因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x－ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x－ln x ≥2 B．∀x ∈Q,2x－ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x－ln x ≥2 D．∀x ∈Q,2x－ln x ＝2 答案 C解析 綈p 为∀x ∈Q,2x－ln x ≥2. 3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 设f (x )＝x α(α为常数)，∵满足f 4f 2＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z∈R .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0，1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确；④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z＝a＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b2＝2a ∈R ，故④正确． 5．关于直线a ，b 及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥b B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若a ⊥α，α∥β，则α⊥β D ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α 答案 C解析 A 错误，因为a 不一定在平面β内，所以a ，b 有可能是异面直线；B 错误，若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，可能相交，也可能m 在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C 正确；D 错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13 答案 C解析 因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A.y 28＋x 24＝1B.x 28＋y 24＝1C.y 216＋x 212＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析 由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1， 由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ， 可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22， 则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了 答案 C解析 因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A ，D 不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B 不可能正确．选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．50B ．53C ．59D ．62 答案 B解析 模拟程序运行，变量n 值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n ＝53.10．(2019·某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，且|φ|<π，∴φ＝0. 又f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f (x )＝A sin2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2， 即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin2x .∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.11．已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝( )A ．238＋1 B ．239＋2 C ．238＋2 D ．239答案 B解析 根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析 因为f (x )是定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (log 34)<f (2－23 )<f (2－32)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析 根据题意，设高三年级抽取x 人， 则高一抽取(180－x －65)人， 由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65， 解得x ＝55.高一学生有720人，则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)过直线x ＝y 与直线2x －y ＝2的交点(2,2)时， 目标函数z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)取得最大值4， 即2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2， 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，故1m ＋1n的最小值为2.15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， ∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18， ∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36，结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9， 可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ．若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为________．答案 2－4ln 2解析 因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－21－xx 2<0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·某某某某模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：将这100险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率． 解 (1)m ＝100－50－10－10－3－2＝25，3分估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×5100＝250.6分(2)解法一：保费不超过950元的类型有A 1，A 2，A 3，A 4，所求概率为50＋10＋10＋25100＝0.95.12分解法二：保费超过950元的类型有A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分 (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分19．(2019·某某模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1＝π3，AB ＝BB 1＝2，BC ＝1，D 为CC 1的中点．(1)求证：DB 1⊥平面ABD ； (2)求点A 1到平面ADB 1的距离． 解 (1)证明：在平面四边形BCC 1B 1中，因为BC ＝CD ＝DC 1＝1，∠BCD ＝π3，所以BD ＝1，又易知B 1D ＝3，BB 1＝2，所以∠BDB 1＝90°， 所以B 1D ⊥BD ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥DB 1，3分所以B 1D 与平面ABD 内两相交直线AB 和BD 同时垂直， 所以DB 1⊥平面ABD .5分(2)对于四面体A 1－ADB 1，A 1到直线DB 1的距离，即A 1到平面BB 1C 1C 的距离，A 1到B 1D 的距离为2，设A 1到平面AB 1D 的距离为h ，因为△ADB 1为直角三角形，所以S △ADB 1＝12AD ·DB 1＝12×5×3＝152，所以V A 1－ADB 1＝13×152×h ＝156h ，7分因为S △AA 1B 1＝12×2×2＝2，D 到平面AA 1B 1的距离为32， 所以V D －AA 1B 1＝13×2×32＝33，9分因为V A 1－ADB 1＝V D －AA 1B 1，所以15h 6＝33， 解得h ＝255.所以点A 1到平面ADB 1的距离为255.12分20．(2019·某某师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于两点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且|y 1－y 2|＝a (a ＞0，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD ，BD .试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则Q (－1，y )，∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，即2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，即y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，依题意，知k ≠0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4bk，由|y 1－y 2|＝a ，得(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝a 2， 即16k 2－16b k＝a 2，整理，得16－16kb ＝a 2k 2， 所以a 2k 2＝16(1－kb )，①7分 因为AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－bk k 2，2k ，所以点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2，2k ，则S △ABD ＝12|DM |·|y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－bk k 2a ，9分由方程ky 2－4y ＋4b ＝0的判别式Δ＝16－16kb ＞0，得1－kb ＞0，所以S △ABD ＝12·1－bkk2·a ， 由①，知1－kb ＝a 2k 216，所以S △ABD ＝12·a 216·a ＝a332，又a 为常数，故S △ABD 的面积为定值.12分21．(2019·某某某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.解 (1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)， f ′(x )＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )＜0，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e xx －ln x (x＞0)，φ′(x )＝2x －1e x －e 2x e 2x2，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，7分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0； ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x ＞0)，φ′(x )＝2x －2exe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12.令r (x )＝ln x x ，则r ′(x )＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e，∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2>ln xx，得证.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝xa ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得，ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值X 围． 解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1有，3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立， 即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，而k >－1，故－1<k ≤94.∴k 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。
高三数学二轮复习阶段性综合检测(六)
阶段性综合检测(六)(必做题部分：时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．命题“∃x ∈R ，x 2＋x ≤0”的否定是________． 解析：存在性命题的否定是全称命题． 答案：∀x ∈R ，x 2＋x >02．抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标为________．解析：y ＝－2x 2化为x 2＝－12y ，∴焦点在y 轴负半轴上，∴F (0，－18)．答案：(0，－18)3．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3，则2a ＋b ＝________.解析：y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，a ＝－6，b ＝9，∴2a ＋b ＝－3.答案：－34．下列命题中，是真命题的有________．①∃x ∈[0，π2]，sin x ＋cos x ≥2； ②∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1； ③∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1；④∀x ∈(π2，π)，tan x >sin x .解析：对于①，sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，由x ∈[0，π2]，x ＋π4∈[π4，3π4]，则0≤sin x ＋cos x ≤2，故①错；对于②，由x 2－2x －1>0解得x >1＋2或x <1－2，故当x ∈(3，＋∞)时，x 2>2x ＋1恒成立；对于③，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，故③错；对于④，当x ∈(π2，π)时，tan x <0，sin x >0，故④错．答案：②5．如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于________．解析：由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：86．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是________．解析：f ′(x )＝cos x －x sin x .取特殊值检验，当x ＝0时，f ′(x )＝cos x －x sin x ＝1，排除③④，当x ＝π2时，f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0－π2<0，即在[0，π]的中间处，f ′(x )<0，显然②不符合要求．答案：①7．(2010年无锡调研)“若a ∉M 或a ∉P ，则a ∉M ∩P ”的逆否命题是________．解析：命题“若p 则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，本题中“a ∉M 或a ∉P ”的否定是“a ∈M 且a ∈P ”．答案：若a ∈M ∩P ，则a ∈M 且a ∈P8．(2010济南市高三模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是________．解析：据题意知椭圆通径长为12a ，故有2b 2a ＝12a ⇒a 2＝4b 2⇒b 2a 2＝14，故相应双曲线的离心率e ＝ 1＋(b a )2＝ 1＋14＝52.答案：529．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间是________．解析：f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ≤0，∴x ∈(0,1]． 答案：(0,1]10．若函数f (x )，g (x )的定义域和值域都是R ，则f (x )>g (x )(x ∈R )成立的充要条件是________．①∃x 0∈R ，f (x 0)>g (x 0)②有无穷多个x ∈R ，使得f (x )>g (x ) ③∀x ∈R ，f (x )>g (x )＋1④R 中不存在x 使得f (x )≤g (x )解析：由于要恒成立，也就是对定义域内所有的x 都成立，所以对于①来说显然不成立；而对于②，无穷性是说明不了任意性的，所以也不成立；对于③，由③的条件∀x ∈R ，f (x )>g (x )＋1可以推导原结论f (x )>g (x )恒成立是显然的，即充分性成立，但f (x )>g (x )成立时不一定有f (x )>g (x )＋1，比如f (x )＝x 2＋0.5，g (x )＝x 2，因此必要性不成立；对于④，必要性显然成立，由R 中不存在x 使f (x )≤g (x )，根据逆否命题与原命题的等价性，则有对于任意x ∈R 都有f (x )>g (x )，即充分性也成立．答案：④11．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率是________．解析：取焦点(c,0)，渐近线bx ＋ay ＝0，则有bc a 2＋b2＝142c ，整理得4b 2＝a 2＋b 2，∴3c 2＝4a 2，解得e ＝233.答案：23312．(2010年南京调研)如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＝______，f ′(5)＝________.解析：∵切线方程与y ＝f (x )交于点P (5，y 0)，∴y 0＝－5＋8＝3.由切线的意义知f ′(5)＝－1.答案：3 －113．已知命题p ：实数x 满足log a (1－x )<log a x (0<a <1)，命题q ：实数x 满足1＋x1－x>0，则p 是q 的________条件．解析：∵0<a <1，∴log a (1－x )<log ax ⇒1－x >x >0⇒0<x <12，而1＋x1－x>0⇒－1<x <1.可知p ⇒q 但q ⇒/p . 答案：充分不必要14．经过点M (10，83)，渐近线方程为y ＝±13x 的双曲线的方程为________．解析：由双曲线的渐近线方程知，双曲线可设为9y 2－x 2＝λ，将M (10，83)代入，可得λ＝－36，∴9y 2－x 2＝－36，即x 236－y 24＝1.答案：x 236－y 24＝1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设命题为“若m >0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断其真假．解：否命题：若m ≤0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0无实数根； 逆命题：若关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根，则m >0； 逆否命题：若关于x 的方程x 2＋x －m ＝0没有实数根，则m ≤0.由方程的根的判别式Δ＝1＋4m ，得Δ≥0，即m ≥－14时，方程有实根．∴m >0使1＋4m >0，方程x 2＋x －m ＝0有实根． ∴原命题为真，从而逆否命题为真．但方程x 2＋x －m ＝0有实根，必须m ≥－14，不能推出m >0，故逆命题为假．否命题与逆命题互为逆否命题，故为假．16．(本小题满分14分)已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4，离心率为32.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知点A (0,1)和直线l ：y ＝x ＋m ，线段AB 是椭圆E 的一条弦并且直线l 垂直平分弦AB ，求实数m 的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，2a ＝4，得c ＝3，而a 2－b 2＝c 2，则b ＝1，故椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由条件可得直线AB 的方程为y ＝－x ＋1.于是，有 ⎩⎨⎧y ＝－x ＋1x 24＋y 2＝1，则5x 2－8x ＝0， 故x B ＝85，y B ＝－x B ＋1＝－35.设弦AB 的中点为M ，则由中点坐标公式得x M ＝45，y M ＝15，由此及点M 在直线l 上得15＝45＋m ⇒m ＝－35.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝1x ＋2x 2＋1x 3.(1)求y ＝f (x )在[－4，－12]上的最值；(2)若a ≥0，求g (x )＝1x ＋2x 2＋ax 3的极值点．解：(1)f ′(x )＝－(x ＋1)(x ＋3)x 4. f ′(x )>0，－3<x <－1，(2)g ′(x )＝－x 2＋4x ＋3ax 4. 设u ＝x 2＋4x ＋3a . Δ＝16－12a ，当a ≥43时，Δ≤0，g ′(x )≤0，所以y ＝g (x )没有极值点．当0<a <43时，x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a <0.减区间：(－∞，x 1)，(x 2,0)，(0，＋∞)，增区间：(x 1，x 2)．∴有两个极值点x 1，x 2.当a ＝0时，g (x )＝1x ＋2x 2，g ′(x )＝－x ＋4x 3.减区间：(－∞，－4)，(0，＋∞)，增区间：(－4,0)． ∴有一个极值点x ＝－4.综上所述：a ＝0时，∴有一个极值点x ＝－4；0<a <43时有两个极值点x ＝－2±4－3a ；a ≥43时没有极值点．18．(本小题满分16分)(2010广东清远模拟)设P ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}，Q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．解：若P 真，则0<a <1；若P 假，则a ≥1或a ≤0.若Q 真， 由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0， 得a >12；若Q 假，则a ≤12. 又P 和Q 有且仅有一个正确，当P 真Q 假时，0<a ≤12； 当P 假Q 真时，a ≥1.综上，得a ∈(0，12]∪[1，＋∞)． 19．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB→的值； (2)如果OA →·OB→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，O A →·O B →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设直线l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b .∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ，令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2. ∴直线l 过定点(2,0)．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x ＋1，g (x )＝1－4x －ax 2，其中实数a ≠0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )与g (x )在区间(－a ，－a ＋2)内均为增函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax －a 2，又3x 2－2ax －a 2＝3(x －a )(x ＋a 3)，令f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a3.①若a >0，则当x <－a3或x >a 时，f ′(x )>0，当－a3<x <a 时，f ′(x )<0.∴f (x )在(－∞，－a 3)和(a ，＋∞)内是增函数，在(－a3，a )内是减函数．②若a <0，则当x <a 或x >－a3时，f ′(x )>0，当a <x <－a3时，f ′(x )<0.∴f (x )在(－∞，a )和(－a3，＋∞)内是增函数，在(a ，－a3)内是减函数．(2)当a >0时，f (x )在(－∞，－a3)和(a ，＋∞)内是增函数，g (x )＝－a (x ＋2a )2＋1＋4a ，故g (x )在(－∞，－2a )内是增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＋2≤－a 3，－a ＋2≤－2a .解得a ≥3.当a <0时，f (x )在(－∞，a )和(－a3，＋∞)内是增函数，g (x )在(－2a ，＋∞)内是增函数．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a ≥－a 3，－a ≥－2a .解得a ≤－ 2.综上知实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．。
名校高三数学二轮资料——导数选择填空题解答题提升精练试题
高三数学导数选择填空题1．已知函数x x x f 3)(3-=，若过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是( )A ．3-B ．3C ．6D ．92．已知函数f （x ）在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线y =f （x ）在点 （1，f （1））处切线的斜率是（ ）A ．2B ．1C ．3D ．2- 3．已知函数21()4ln 2f x x x =+，若存在满足013x ≤≤的实数0x ，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线100x my +-=垂直，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[4,5] C ．13[4,]3D ．(,4)-∞ 4．曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为( ) A ．2ln 2 B ．2ln 2- C ．4ln 2- D ．42ln 2-5．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=⎰210,1),4()(x dt t e x x f x f x ，则f （2016）等于（ ） A ．0 B ．ln 2 C ．21e + D ．1ln 2+6．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：v s ,的单位：s m /行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是 ( )．（积分）A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 7．已知函数1y x=与1,x y =轴和x e =所围成的图形的面积为N M ,＝2tan 22.51tan 22.5︒-︒，则程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．08．等差数列{}n a 中的40051a a 、是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则22013log a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12 CD10．设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（ ） A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B ．3(ln 2)2(ln3)f f =C ．3(ln 2)2(ln3)f f <D ．3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定 11．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A()()34f ππ-<- B()()34f ππ< C ．(0)2()3f f π< D．(0)()4f π> 12．若)(x f 的定义域为R ，2)(>'x f 恒成立，2)1(=-f ，则42)(+>x x f 解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(1)-+∞， C ．(,1)-∞- D ．(,)-∞+∞ 13．已知函数)(x f y =定义域为),(ππ-，且函数)1(+=x f y 的图象关于直线1-=x 对称，当),0(π∈x 时，x x f x f ln sin )2()(ππ-'-=，（其中)(x f '是)(x f 的导函数），若)91(log ),3(log ),3(33.0f c f b f a ===π，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．b a c >>14．已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-15．函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()1 (2342013)x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．816．已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，)()(x g a x f x =，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则关于x的方程250((0,1))2abx b ++=∈有两个不同实根的概率为（ ）A ．51B ．52 C ．53 D ．54 17．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实数根的个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．618．设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，当[0,]x π∈时；0()2f x <<；当(0,)x π∈且2x π≠时，()()02x f x π'->，则函数()|tan |y f x x =-在区间[2,2]ππ-上的零点个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 19． ()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时， ()'()0f x f x x +>，则函数1()()g x f x x=+的零点分数为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．0或220．若实数,,,a b c d 满足0)2()ln 3(222=+-+-+d c a a b ，则22)()(d b c a -+-的最小值为（ ） AB ． 2 C． D ．821．已知函数()323f x x tx x =-+，若对于任意的[]1,2a ∈，(]2,3b ∈，函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．(],5-∞C ．[)3,+∞D ．[)5,+∞ 22．已知函数21()4ln 2f x x x =+，若存在满足013x ≤≤的实数0x ，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线100x my +-=垂直，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[4,5] C ．13[4,]3D ．(,4)-∞ 23．已知函数32()f x ax bx cx d =+++在O ，A 点处取到极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线22sin cos ,,33y x x x x x ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦上，则曲线()y f x =的切线的斜率的最大值是（ ）A ．34π B ．32 C34+ D3424．已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数,且0)()(＞x f x f -'（其中)(x f '是)(x f 的导函数）恒成立.若)1(,2)2(ln ,3)3(ln ef c f b f a -===,则c b a ,,的大小关( ) A ．c b a ＞＞ B ．b a c ＞＞ C ．a b c ＞＞ D ．b c a ＞＞25．已知函数21()4ln 2f x x x =+，若存在满足013x ≤≤的实数0x ，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线100x my +-=垂直，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[4,5] C ．13[4,]3D ．(,4)-∞ 26．设函数()ln f x x x a x =-++221有两个极值点x x 12、，且x x 12<，则（ ） A ．ln ()f x +<21224 B ．ln ()f x -<21224 C ．ln ()f x ->21224 D ．ln ()f x +>2122427．设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12 CD．228．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．1629．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－65<a <316B ．－85<a <－316C ．－85<a <－116D ．－65<a <－31630．定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞31．已知函数2()cos f x x x =- ，对于,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的任意12,x x ，有如下条件：①12x x >；②2212x x >；③12||x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③32. 设函数(2)ln(3)()4x x f x x --=-，则()f x 的图象( )A ．在第一象限内B ．在第四象限内C ．与x 轴正半轴有公共点D ．一部分在第四象限内，其余部分在第一象限内33．已知 21()sin(),'()42f x x x f x π=++为 ()f x 的导函数，则 '()y f x =的图象大致是（ ）二、填空题1．已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线32:C y ax bx d =++（,,a b d 为常数）上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则32a b d ++=_______ 2．设函数()f x =12,x x R ∈，恒有()()1212f x f x M x x -<-，其中M 是常数，则M 的最小值是 3．一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x = 处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为 焦（积分）4．设函数()y f x =在(),-∞+∞内有意义．对于给定的正数k ，已知函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，取函数()3xf x x e -=--．若对任意的(),x ∈-∞+∞，恒有()()k f x f x =，则k的最小值为5．若()x f =21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是__________ 6．函数32()f x x bx cx d =+++在区间[]1,2-上是减函数,则c b +的最大值为7．若函数1()()n f x x n N +*=∈的图像与直线1x =交于点P ，且在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则20131201322013320132012log log log log x x x x ++++的值为8．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________9．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是_____10．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心. 给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算)20141(f +)20142(f …+)20142012(f +)20142013(f = _ 11．已知0sin ,a xdx π=⎰则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为12．若函数()y f x =在()0,+∞上的导函数为()f x '，且不等式()()xf x f x '>恒成立，又常数,a b 满足0a b >>，则下列不等式一定成立的是 .①()()bf a af b >；②()()af a bf b >；③()()bf a af b <；④()()af a bf b <. 13．0.50.521log log 1(1)(7)x mx x x +>---对任意[]4,2∈x 恒成立，则m 的取值范围为 . 14．函数21()2ln 2f x x x x a =+-+在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是_____ 15．已知函数32()f x x ax bx c =+++（,,a b c R ∈），若函数()f x 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22a b +的最小值是 .16．设⎪⎩⎪⎨⎧+=⎰a dt t x x x f 023lg )( 00≤>x x ，若1))1((=f f ，则a = 三、解答题1．已知函数2()1f x a bx x =++在3x =处的切线方程为58y x =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()x f x k e =恰有两个不同的实根，求实数k 的值； （3）数列{}n a 满足12(2)a f =，1(),n n a f a n N *+=∈，求12320131111S a a a a =+++⋅⋅⋅⋅+的整数部分.2．已知函数22()ln(21)2()3x f x ax x ax a R =++--∈ （1）若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；（2）若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当12a =-时，方程3(1)(1)3x bf x x--=+有实根，求实数b 的最大值. 3．已知函数1()ln xf x x ax-=+ （1）当1a =时，求()f x 在1[,2]2上的最小值；（2）若函数()f x 在1[,+)2∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围．4．已知函数()1ln(02)2xf x x x=+<<-. （1）是否存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（2）定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中*n ∈N ，求2013S ； （3）在（2）的条件下，令12n n S a +=，若不等式2()1n amn a ⋅>对*n ∀∈N 且2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围.5．已知函数()bx ax x x f ++=23.（1）若函数()x f y =在2=x 处有极值6-,求()x f y =的单调递增区间； （2）若()x f y =的导数()x f '对[]1,1-∈x 都有()2≤'x f ,求1-a b的取值范围. 6．已知函数21()ln ,()12f x xg x x bx ==-+（b 为常数）． （1）函数)(x f 的图象在点（)1(,1f ）处的切线与函数)(x g 的图象相切，求实数b 的值；（2）若0,()()()b h x f x g x ==-，∃1x 、2x [1,2]∈使得12()()h x h x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）当2b ≥时，若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有 |)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-成立，求b 的取值范围．7．已知函数()()x a x x f -+=ln 有且只有一个零点，其中a ＞0. （1）求a 的值；（2）若对任意的()+∞∈,0x ，有()2kx x f ≥成立，求实数k 的最大值； （3）设()()x x f x h +=，对任意()()2121,1,x x x x ≠+∞-∈，证明：不等式()()121212121+++--x x x x x h x h x x ＞恒成立.8．设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且12x x <．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；（3）设2()32g x ax ax a =-++,若()()x f x e g x -+≥对x R ∈恒成立，求a 取值范围 9. 设函数f (x )=x 2+ln (x +1).（1）求证：当x ∈(0，+∞)时f (x )>x 恒成立；（2）求证：2221220132015232014ln +++<； （3）求证：()11112ni i n sin n cos ln n i n =-⎛⎫+<-+ ⎪+⎝⎭∑. 10． 已知函数x x x f ln )(2= （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）证明：对任意的0>t ，存在唯一的s ，使)(s f t =；（3）设（2）中所确定的s 关于t 的函数为)(t g s =，证明：当2e t >时，有21ln )(ln 52<<t t g 。
随机抽样与用样本估计总体 小题专练—2023届高考数学重难点二轮专题训练(含解析)
专题36随机抽样与用样本估计总体小题专练一、单选题1. 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是，，，，，则高一参赛学生的成绩的众数、中位数、平均成绩分别为( )A. B. C. D.2. 某省普通高中学业水平考试成绩由高分到低分按人数所占比例依次分为，，，，五个等级，等级，等级，等级，，等级共其中等级为不合格，原则上比例不超过该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有名学生，则估计该年级拿到等级及以上级别的学生人数为（）A. B. C. D.3. 下面规定一个学生数学成绩优秀的标志为连续次数学考试成绩满分分均不低于分现有甲、乙、丙三位学生连续次数学考试成绩的记录数据记录数据都是正整数情况：甲学生：个数据的中位数为，众数为乙学生：个数据的中位数为，总体均值为丙学生：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．则可以断定数学成绩优秀的学生为( )A. 甲、丙B. 乙、丙C. 甲、乙D. 甲、乙、丙4. 从，，，，，，，中随机取两个数，这两个数一个比大，一个比小的概率为，已知为上述数据中的分位数，则的取值可能为( )A. B. C. D.5. 中国居民膳食指南数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重单位：千克，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是( )A. B. C. D.6. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间小时党员人数则该单位党员一周学习党史时间的众数及第百分位数分别是( )A. ，B. ，C. ，D. ，7. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据下图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是( )A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B. 甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C. 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定二、多选题8. 已知样本数据，，，的平均数为，方差为，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，则得到的新样本数据的平均数和方差分别是( )A. 新样本数据的样本平均数为B. 新样本数据的样本平均数为C. 新样本数据的样本方差为D. 新样本数据的样本方差为9. 某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了名男生的米体能测试成绩单位：秒，将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．由直方图推断，下列选项正确的是( )A. 直方图中的值为B. 由直方图估计本校高三男生米体能测试成绩的众数为秒C. 由直方图估计本校高三男生米体能测试成绩不大于秒的人数为D. 由直方图估计本校高三男生米体能测试成绩的中位数为秒10. 图为年月日通报的天内省区市疫情趋势，则下列说法正确的是（）A. 无症状感染者的极差大于B. 确诊病例的方差大于无症状感染者的方差C. 实际新增感染者的平均数小于D. 实际新增感染者的第百分位数为11. 若甲组样本数据，，，数据各不相同的平均数为，方差为，乙组样本数据，，，的平均数为，则下列说法正确的是( ) A. 的值为 B. 乙组样本数据的方差为C. 两组样本数据的样本中位数一定相同D. 两组样本数据的样本极差不同三、填空题12. 工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续天生产的手套数依次为，，，，单位：万只，若这组数据，，，，的方差为，且，，，，的平均数为，则该工厂这天平均每天生产手套万只．13. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前名的学生成绩依次是：，，，，，，，，，，这名同学数学成绩的分位数是．14. 定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续次数学考试成绩均不低于分满分分”现有甲乙丙三位同学连续次数学考试成绩的数据数据都是正整数的描述：甲同学的个数据的中位数为，总体均值为；乙同学的个数据的中位数为，众数为；丙同学的个数据的众数为，极差为，总体均值为．则数学成绩一定优秀的同学是．15. 若，，，这个数据的样本平均数为，方差为，则，，，，这个数据的方差为．16. 某同学次测评成绩的数据从小到大排列如下：，，，，，，，，，已知成绩的中位数为，若要使标准差最小，则的值是．答案和解析1.【答案】解：由频率分布直方图得：高一参赛学生的成绩的众数为：，的频率为：，的频率为，中位数为：，平均数为：．故选：．2.【答案】解：由题中两图可知等级所占比例为，所以等级及以上级别所占比例为，所以估计等级及以上级别的学生人数为．故选：．3.【答案】解：对于第十三届全国人大女代表所占比重为，第十一届为，提高个百分点，A正确；对于第十三届全国政协女委员所占比重为，第四届为，提高个百分点，B正确；对于从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值为，高于，C错误；对于第十三届全国人大代表的人数约为人，不高于人，D正确．故选：．4.【答案】解：在中，甲同学：个数据的中位数为，众数为，所以前三个数为，，，则后两个数肯定大于，故甲同学数学成绩优秀，故成立；在中，个数据的中位数为，总体均值为，可以找到很多反例，如：，，，，，故乙同学数学成绩不优秀，故不成立；在中，个数据的中位数为，总体均值为，总体方差为，假设有一个数据小于，设为，则此时方差大于，且数据越小，整体方差越大，故所有数据均不低于．数学成绩优秀有甲和丙个同学．故选A．5.【答案】解：从，，，，，，，中随机取两个数有种，一个数比大，一个数比小的不同结果有，于是得，整理得：，解得或，当时，数据中的分位数是第个数，则，解得，所有选项都不满足；当时，数据中的分位数是第个数，则，解得，选项A，，不满足，满足．故选：．6.【答案】解：因为，，所以该地中学生的体重的中位数在内，设该中位数为，则，解得．7.【答案】解：党员人数一共有，学习党史事件为小时的人数最多，故学习党史时间的众数为，由，则第百分位数是第和个数的平均数，第，个数分别为，，所以第百分位数是．故选：．8.【答案】解：首先将茎叶图的数据还原：甲运动员得分：乙运动员得分：对于，极差是数据中最大值与最小值的差，由图中的数据可得甲运动员得分的极差为，乙运动员得分的极差为，得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确；对于，甲数据从小到大排列：处于中间的数是，所以甲运动员得分的中位数是，同理求得乙数据的中位数是，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；对于，不难得出甲运动员的得分平均值约为，乙运动员的得分平均值为，因此甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故C正确；对于，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定．可以算出甲的方差为：，同理，得出乙的方差为：，因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D不正确．故选：．9.【答案】解：设样本数据，，，的方差为，新样本数据的方差为，因为，所以新样本数据的平均数，新样本数据的方差为．故选AD．10.【答案】解：由概率统计相关知识可知，各组频率之和为，所以，解得，故A错误；测试成绩的众数是直方图中频率最高组的中点，即故B正确；由图可知，成绩不大于秒的人数为故C正确；设中位数是，则，解得：，故D错误．故选：．11.【答案】解：对于，，且日与日确诊病例的差值不超过，所以无症状感染者的极差必然大于，故A正确；对于，相比较而言，确诊病例数比无症状感染者数波动性小，所以确诊病例的方差小于无症状感染者的方差，故B错误；对于，实际新增感染者的平均数，所以C错误；对于，因为天内省区市的实际新增感染者数从小到大分别为：，，，，，，，，，，，，，，又，不是整数，所以实际新增感染者的第百分位数为为第位，即为，所以D正确．故选AD．12.【答案】解：对于选项A由两组数据的平均数可知，，，故选项A正确，对于选项B，，，，，故选项B正确，对于选项C因为随着的增大而增大，所以若为甲组数据的中位数，则为乙组数据的中位数，故选项C错误，对于选项D因为随着的增大而增大，所以甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，故选项D正确，故选：．13.【答案】解：依题意得，设，，，，的平均数为，根据方差的计算公式有，，即，又，．故答案为．14.【答案】解：将学生成绩从低到高排列为，，，，，，，，，，，分位数为第个数据与第个数据的平均数即15.【答案】乙解：在中，甲同学的个数据的中位数为，总体均值为，如，，，，，故甲同学的数学成绩不一定优秀；在中，乙同学的个数据的中位数为，众数为，所以前三个数为，，，则后两个数肯定大于，故乙同学的数学成绩一定优秀；在中，丙同学的个数据的众数为，极差为，总体均值为，最大值与最小值的差为，若最大值为，则最小值为即，，，，，故丙同学的数学成绩不一定优秀．综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙．故答案为：乙．16.【答案】解：，，，这个数据的样本平均数为，方差为，，，，，，，这个数据的方差：．故答案为：．17.【答案】解：因为，，，，，，，，，的中位数为，则，所以，因为成绩的平均数为，要使标准差最小，即方差最小，因为，则有，当且仅当，即时，等号成立，此时标准差取得最小值，且符合题意，所以，故答案为．。
届高三数学二轮复习专题训练-以数列为载体的情景问题
以数列为载体的情景问题一、单项选择题1．小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天(4月1日为第1天)的储蓄总额为()A ．19903元B ．19913元C ．20103元D ．20113元2．《张丘建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增(即每天增加的数量相同).”若该女子第二天织布一尺五寸，前十五日共织布六十尺，按此速度，该女子第二十日织布()A ．七尺五寸B ．八尺C ．八尺五寸D ．九尺3．现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i (i ＝1，2，…，16)匹马的日行路程是第i ＋1匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为(取1.0517＝2.292)()A ．7750里B ．7752里C ．7754里D ．7756里4．[2022·全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n }：b 1＝1＋1α1，b 2＝1＋1α1＋1α2，b 3＝1＋1α1＋1α2＋1α3，…，依此类推，其中αk ∈N *(k ＝1，2，…).则()A ．b 1<b 5B ．b 3<b 8C ．b 6<b 2D ．b 4<b 75.[2022·新高考Ⅱ卷]图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1＝0.5，CC 1DC 1＝k 1，BB 1CB 1＝k 2，AA1BA 1＝k 3.已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3＝()A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.96．[2023·河北秦皇岛模拟]中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小球的个数为()A ．2400B ．2401C ．2500D ．25017.[2023·安徽马鞍山模拟]风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴，因而广受喜爱．某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定骨架材质按图中规律排列(即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列)，则该“龙身”中竹质骨架个数为()A ．161B ．162C ．163D ．1648．[2023·湖北武汉模拟]为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的43倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为()A ．325万元B ．581万元C ．721万元D ．980万元二、多项选择题9．[2023·山西大同模拟]《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下a 1尺，第二天截取剩下的一半后剩下a 2尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下a 5尺，则下列说法正确的是()A.a 5a 2＝14B ．a 3＝18C ．a 3－a 4＝116D ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝313210．某企业2021年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产．设从2021年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为a 1，a 2，a 3，…，则下列说法正确的是(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)()A ．a 1＝6千万元B ．{a n －3}是等比数列C ．{a n －3}是等差数列D ．至少到2026年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元三、填空题11．《周髀算经》是中国十部古算经之一，其中记载有：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，二十蔀为一遂……若32个人的年龄(都为整数)依次成等差数列，他们的年龄之和恰好为“一遂”，其中年龄最小者不超过30岁，则年龄最大者为________岁．12.三潭印月被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年(公元1089年)，每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为△A 1B 1C 1，设△A 1B 1C 1的边长为a 1，取△A 1B 1C 1每边的中点构成△A 2B 2C 2，设其边长为a 2，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列{a n }，若{a n }的前6项和为195316，则△A 1B 1C 1的边长a 1＝________．13．[2023·山东烟台模拟]欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理．如著名的欧拉函数φ(n )：对于正整数n ，φ(n )表示小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，如φ(5)＝4，φ(9)＝6.那么，数列{nφ（5n ）}的前n 项和为________．14．[2021·新高考Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm ，20dm×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240dm 2，对折2次共可以得到5dm×12dm ，10dm×6dm ，20dm×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180dm 2.以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么.1．解析：设小方第n天存钱a n元，则数列{a n}从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，所以小方存钱203天的储蓄总额为1＋1＋1＋200×1＋200×1992×1＝203＋19900＝20103元．故选C.答案：C2．解析：由题意知：该女子每天织布的尺寸成等差数列，记为{a n}，其前n项和为S n，则a2＝1.5，S15＝60，∵S15＝15（a1＋a15）2＝15a8＝60，∴a8＝4，∴数列{a n}的公差d＝a8－a26＝4－1.56＝512，∴a20＝a8＋12d＝4＋12×512＝9，即该女子第二十日织布九尺．故选D.答案：D3．解析：3151.05＝300，依题意可得，第17匹马、第16匹马……第1匹马的日行路程里数依次成等比数列，且首项为300，公比为1.05，故这17匹马的日行路程之和为300×（1－1.0517）1－1.05＝6000×(1.0517－1)＝6000×(2.292－1)＝7752(里).故选B.答案：B4．解析：方法一因为αk∈N*(k＝1，2，…)，所以0<1αk ≤1，所以α1<α1＋1α2＋1α3＋1α4＋1α5，所以b1>b5，所以A错误．同理α3<α3＋1α4＋1α5＋1α6＋1α7＋1α8.设1α4＋1α5＋1α6＋1α7＋1α8＝t1，所以α2＋1α3>α2＋1α3＋t1，则α1＋1α2＋1α3<α1＋1α2＋1α3＋t1，所以b3>b8，所以B错误．同理α2<α2＋1α3＋1α4＋1α5＋1α6.设1α3＋1α4＋1α5＋1α6＝t2，所以α1＋1α2>α1＋1α2＋t2，所以b2<b6，所以C错误．同理α4<α4＋1α5＋1α6＋1α7.设1α5＋1α6＋1α7＝t3，所以α3＋1α4>α3＋1α4＋t 3，则α2＋1α3＋1α4<α2＋1α3＋1α4＋t 3，所以α1＋1α2＋1α3＋1α4>α1＋1α2＋1α3＋1α4＋t 3，所以b 4<b 7，所以D 正确．故选D.方法二此题可赋特殊值验证一般规律，不必以一般形式做太多证明，以节省时间．由αk ∈N *，可令αk ＝1，则b 1＝2，b 2＝32，b 3＝53，b 4＝85.分子、分母分别构成斐波纳契数列，可得b 5＝138，b 6＝2113，b 7＝3421，b 8＝5534.对比四个选项，可知选D.答案：D5．解析：设OD 1＝DC 1＝CB 1＝BA 1＝1，则CC 1＝k 1，BB 1＝k 2，AA 1＝k 3，依题意，有k 3－0.2＝k 1，k 3－0.1＝k 2，且DD 1＋CC 1＋BB 1＋AA 1OD 1＋DC 1＋CB 1＋BA 1＝0.725，所以0.5＋3k 3－0.34＝0.725，故k 3＝0.9，故选D.答案：D6．解析：不妨设第n 层小球个数为a n ，由题意，a 2－a 1＝3,a 3－a 2＝5，…，即各层小球之差是以3为首项，2为公差的等差数列．所以a n －a n －1＝3＋2(n －2)＝2n －1(n ≥2，n ∈N *).50－a 49＝9949－a 48＝972－a 1＝3，累加可得：a 50－a 1＝49×(3＋99)÷2＝2499，故a 50＝2499＋2＝2501.故选D.答案：D7．解析：设有n 个碳质骨架，n ∈N *，由已知可得n ＋1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ≥180，如果只有n －1个碳质骨架，则骨架总数少于180，所以(n －1)＋1＋2＋3＋…＋(n －1)<180，所以n 2＋3n ≥360，且n 2＋n <362，又n ∈N *解得n ＝18，所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个．故选B.答案：B8．解析：根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为81，公比为43的等比数列，所以这五年投入的资金总额是81×[1－（43）5]1－43＝781(万元)；由题意可知，这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10的等差数列，所以这五年的旅游总收入是20×5＋5×42×10＝200(万元)，所以这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为781－200＝581(万元).故选B.答案：B9．解析：根据题意可得{a n }是首项为12，公比为12的等差数列，则a n ＝(12)n (n ∈N *)，a 5a 2＝q 3＝18，故A 错误；a 3＝18，故B 正确；a 3＝18，a 4＝116，则a 3－a 4＝116，故C 正确；a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝12（1－125）1－12＝3132，故D 正确．故选BCD.答案：BCD10．解析：对于A ，由题意可知，a 1＝5×1.5－1.5＝6(千万元)，A 正确；对于B ，因为由题意可得a n ＋1＝1.5a n －1.5，所以a n ＋1－3＝1.5(a n －3)，又因为a 1－3＝3，则a n －3≠0，故a n ＋1－3a n －3＝1.5，所以{a n －3}是首项为3，公比为1.5的等比数列，B 正确，则C 错误；对于D ，由C 的分析可得a n －3＝3×1.5n －1，所以a n ＝3＋3×1.5n －1，令3＋3×1.5n －1>21，解得n －1>lg 6lg 1.5＝lg 3＋lg 2lg 3－lg 2≈4.42，所以n >5.42，所以至少到2026年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元，D 正确．故选ABD.答案：ABD11．解析：根据题意可知这32个人年龄之和为19×4×20＝1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者年龄为m ，则n ＋m2×32＝1520⇒n ＋m ＝95，设等差数列的首项为n ，公差为d ，则n ，m ，d ∈N *，则32n ＋32×312d ＝1520⇒2n ＋31d ＝95⇒2n ＝95－31d ，因为1≤n ≤30⇒2≤2n ≤60，则2≤95－31d ≤60，解得3531≤d ≤3，d ＝2时，n ＝332不满足题意，所以d ＝3，2n ＝95－31×3＝2⇒n ＝1，则m ＝95－1＝94.答案：9412．解析：根据题意，取△A 1B 1C 1每边的中点构成△A 2B 2C 2，则△A 2B 2C 2的各边均为△A 1B 1C 1对应的中位线，长度减半，由此a 2＝12a 1，依次类推可得a n ＝12a n －1，所以{a n }是首项为a 1，公比q ＝12的等比数列，故其前6项和S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝2a 11－（12）6＝195316，则a 1＝62.答案：6213．解析：在[1，5n ]中，与5n 不互质的数有5×1，5×2，5×3，…，5×5n －1，共有5n －1个，所以φ(5n )＝5n －5n －1＝4·5n －1，所以nφ(5n )＝(4n )·5n －1，设数列{nφ（5n ）}的前n 项和为S n ，所以S n ＝4×50＋8×51＋12×52＋…＋4n ×5n －1，5S n ＝4×51＋8×52＋12×53＋…＋4n ×5n ，两式相减可得－4S n ＝4＋4×(51＋52＋…＋5n －1)－4n ·5n ，所以S n ＝－1－(51＋52＋…＋5n －1)＋n ·5n＝－1－5（1－5n －1）1－5＋n ·5n ，即S n ＝(n －14)·5n ＋14.答案：(n －14)·5n ＋1414．解析：(1)由对折2次共可以得到5dm×12dm ，10dm×6dm ，20dm×3dm 三种规格的图形，所以对折三次的结果有：52×12，5×6，10×3，20×32，共4种不同规格(单位dm 2)；故对折4次可得到如下规格：54×12，52×6，5×3，10×32，20×34，共5种不同规格．(2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120(dm 2)，第n 次对折后的图形面积为n －1，对于第n 次对折后的图形的规格形状种数，根据(1)的过程和结论，猜想为n ＋1种(证明从略)，故得猜想S n ＝120（n ＋1）2n －1，设S ＝错误!k ＝120×220＋120×321＋120×422＋…＋120(n ＋1)2n －1，则12S＝120×221＋120×322＋…＋120n2n－1＋120（n＋1）2n，两式作差得：1 2S＝240＋120(12＋122＋…＋12n－1)－120(n＋1)2n＝2401－12－120(n＋1)2n＝360－1202n－1－120(n＋1)2n＝360－120(n＋3)2n，因此，S＝720－240(n＋3)2n＝720－15(n＋3)2n－4.答案：5720－15(n＋3) 2n－4。
高三数学填空题集锦(中高档难度,新颖题以及易错题目为主,较适合二轮练习时使用)
记 f1 (n) f ( n) , fk 1( n) f [ f k ( n)]( k 1,2,3, ) , 则 f2007 (2006) 等于 ( ).
35．定义 f ( M ) (m, n, p) ，其中 M 是△ ABC 内一点， m 、 n 、 p 分别是△ MBC 、△
MCA 、 △ MAB 的 面 积 ， 已 知 △ ABC 中 ， AB AC 2 3 ， BAC 30 ，
e
试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：
23 、在平面直角坐标系 xOy ，已知平面区域 A {( x, y) | x y 1,且 x 0, y 0} ，则平面
区域 B {( x y, x y) | (x, y) A} 的面积为
24 、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且 底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱
4.有下列说法正确的是
.
2 ①函数 f ( x) ln x 的零点所在的大致区间是（ 2， 3）；
x
②对于集合 A ，B ，命题：“ x A ，则 x B ”的否定形式为“ x A, x B ”；
11
(1 2 x )2
③函数 y
2
2x
与y 1
x 2 x 都是奇函数；
④函数 y ( x 1)2与 y 2x 1 在区间 [0, ) 上都是增函数
▲．
13．已知数列 { an } 的通项公式为 an
n ( 2)n ，则数列 { an } 成等比数列是数列 bn
{ bn } 的通
项公式为 bn n 的
▲
条件（对充分性和必要性都要作出判断）
14．有一种计算机病毒可以通过电子邮件进行传播，如果第一轮被感染的计算机数是
2020届北京市高三数学文二轮复习典型题专项训练汇编圆锥曲线
2020届北京市高三数学文二轮复习典型题专项训练汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为_______．2、（朝阳区2019届高三上学期期末）已知双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的一条渐近线方程为430x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且17PF =，则2PF =A. 1B. 13C. 17D. 1或13 3、（大兴区2019届高三上学期期末）抛物线2x y =的焦点到准线的距离等于 ．4、（东城区2019届高三上学期期末）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线，交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e =_________.5、（房山区2019届高三上学期期末）双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点坐标为(3,0)，则实数a = .6、（丰台区2019届高三上学期期末）已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为（A ）2 （B ）23 （C ）22 （D ）127、（海淀2019届高三上学期期末）双曲线x y -=22122的左焦点的坐标为（A ）(,)-20 （B ）(,)-20 （C ） (,)-10 （D ）(,)-408、（石景山区2019届高三上学期期末）已知抛物线24y x =的准线为l ，l 与双曲线2214x y -=的两条渐近线分别交于,A B 两点，则线段AB 的长度为_____________．9、（通州区2019届高三上学期期末）若点()2,0P 到双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =______ ．10、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模））已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p = ；点M 到抛物线C 的焦点的距离是 .11、（东城区2019届高三5月综合练习（二模））双曲线2214x y -=的渐近线方程为 . 12、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模））已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的右顶点和抛物线28y x =的焦点重合，则a 的值为(A)1 (B)2(C)3 (D)413、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））已知双曲线221:13y C x -=，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为1，则抛物线2C 的方程为_________________.14、（海淀区2019届高三一模）抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线形上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)415、（门头沟区2019届高三一模）双曲线22:21C x y -=的渐近线方程是 .16、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点和双曲线2213y x -=的右焦点2F 重合，则抛物线的标准方程为 ；P 为抛物线和双曲线的一个公共点，P 到双曲线左焦点1F 的距离为 ．17、（西城区2019届高三一模）设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．18、（大兴区2019届高三一模）已知点(00)O ，，(11)A ，，点P 在双曲线221x y -=的右支上，则OA OP⋅u u u r u u u r的取值范围是 .参考答案：1、42、B3、12 4、152+ 5、26、D7、A8、19、3 10、2；211、2x y =?12、B 13、28x y = 14、B 15、2y x =± 16、28y x = ，7 17、2 18、(0,+)∞二、解答题1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点 (0,3)，且离心率为12.设,A B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于,A B 的一点，直线,AP BP 分别与直线:4l x =相交于,M N 两点，且直线MB 与椭圆C 交于另一点H . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求证：直线AP 与BP 的斜率之积为定值； （Ⅲ）判断三点,,A H N 是否共线，并证明你的结论.2、（朝阳区2019届高三上学期期末）过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G . （Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =.3、（大兴区2019届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，左顶点为(2,0)A -，过椭圆C 的右焦点F 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别交直线:4l x =于M ，N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求FMN ∆的面积的最小值；（Ⅲ）设直线AM 与椭圆C 的另一个交点为P ，椭圆C 的右顶点为B ，求证：P ，B ，N 三点共线．4、（东城区2019届高三上学期期末）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，其左焦点为1(1,0)F -.直线:(2)(0)l y k x k =+?交椭圆C 于不同的两点,A B ，直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为E .（I ）求椭圆C 的方程； （II ）当12k =时，求1F AB ∆的面积； （III ）证明：直线AE 与x 轴垂直.5、（房山区2019届高三上学期期末）已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）过点(0,1)，且一个焦点坐标为(22,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）过点(1,0)N 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，若在线段ON 上存在 点(,0)M m ，使得以MP , MQ 为邻边的平行四边形是菱形，求m 的取值范围.6、（丰台区2019届高三上学期期末）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补.7、（海淀2019届高三上学期期末）已知点(0,2)B -和椭圆22:142x yM +=. 直线:1l y kx =+与椭圆M 交于不同的两点,P Q .(Ⅰ) 求椭圆M 的离心率；(Ⅱ) 当12k =时，求PBQ ∆的面积； （Ⅲ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 .8、（石景山区2019届高三上学期期末） 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点的直线1l 交椭圆于A 、B 两点，过原点的直线2l 交椭圆于C 、D 两点. 若12l l ∥，求证：2CD AB为定值.9、（通州区2019届高三上学期期末）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点()0,1A ，且椭圆的离心率为63． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若在直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程．10、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模））已知椭圆:C 2221x y a+=(>1)a 的离心率为63. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明直线BD 过x 轴上的定点.11、（东城区2019届高三5月综合练习（二模））已知椭圆22221(0)：x y C a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，离心率为12.A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 为椭圆C 上异于A 的两个动点，直线,AP AQ 与直线:4l x =分别交于,M N 两点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若ΔPAF 与ΔPMF 的面积之比为15，求M 的坐标； （III ）设直线l 与x 轴交于点R ，若,,P F Q 三点共线，求证：MFR FNR ∠=∠.12、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，长轴长为4，离心率为12.过右焦点F 的直线l 交椭圆E 于,C D 两点（均不与,A B 重合），记直线,AC BD 的斜率分别为12,k k . （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，当直线l 变动时，总有12k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.13、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模））已知椭圆222:14x y C b+=的左顶点 A 与上顶点B 的距离为6．(I)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线分别与线段AP 、x 轴、y 轴相交于不同的三点,,M H Q .(ⅰ)求证：点,M Q 关于点H 对称；(ⅱ)若PAQ ∆为直角三角形，求点P 的横坐标．14、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））已知椭圆()2222+=1>>0x y G :a b a b的离心率为32，经过点(0,1)B .设椭圆G 的右顶点为A ，过原点O 的直线l 与椭圆G 交于,P Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M . （I ）求椭圆G 的标准方程；（II ）是否存在直线l ，使得BOP ∆的面积是ΔBMQ 的面积的3倍？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.15、（东城区2019届高三一模）已知3(2,0),(1,)2A P -为椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：上两点，过点P 且斜率为,(0)k k k ->的两条直线与椭圆M 的交点分别为,B C . （Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值．16、（海淀区2019届高三一模） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点(1,0)P 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于,M N 不同的两点．(I)求椭圆P 的方程；(Ⅱ)当AM 与MN 垂直时，求AM 的长；(Ⅲ)若过点P 且平行于AM 的直线交直线52x =于点Q ，求证：直线NQ 恒过定点．17、（石景山区2019届高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．18、（西城区2019届高三一模）已知椭圆W : 2214x y m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(1,0)P 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）. （Ⅰ）求椭圆W 的方程及离心率； （Ⅱ）求四边形ACBD 面积的最大值；（Ⅲ）若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）参考答案：1、解：（Ⅰ）根据题意可知2223,1,2,b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,3,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程22143x y +=. ……4分 （Ⅱ）根据题意，直线,AP BP 的斜率都存在且不为零.(2,0),(2,0),A B -设()00,P x y ，则2200143x y +=0(22)x -<<.则20002000224AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅=+--. 因为2200143x y +=，所以()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 所以220022003(4)344(4)4AP BPy x k k x x -⋅===---. 所以直线AP 与BP 的斜率之积为定值34-. ……8分 (III) 三点,,A H N 共线.证明如下：设直线AP 的方程为()()20y k x k =+≠，则直线BP 的方程为3(2)4y x k=--. 所以()4,6M k ，34,2N k ⎛⎫-⎪⎝⎭,6342BMk k k ==-. 设直线():32HM y k x =-，联立方程组221,433(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 整理得，()2222112484840k x k x k +-+-=. 设11(,)H x y ，则2124842,121k x k -=+所以212242121k x k -=+,112123(2)121ky k x k -=-=+ . 所以22224212,112112k k H k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为()2,0A -，34,2N k ⎛⎫-⎪⎝⎭, 31264AN k k k-==-,22212111224242112AHk k k k k k -+==--++.所以AN AH k k =，所以三点,,A H N 共线. ……14分2、解：（Ⅰ）由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可求41(,)33B --. ……………4分（Ⅱ）当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=.则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+.由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=.把()221y k x =+代入得()221(1)E x k y x +-=.由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+.()()21211(1)1(1)34E Gx k x k y y x x +-+-+=++ ()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+ []121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中，121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++.即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分3、解：（Ⅰ）由题意2a =， ……1分 离心率12c e a ==，所以1c =． ……2分 所以2223b a c =-=． ……3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=．……4分（Ⅱ）(1,0)F ，由题意，设1:(1)l y k x =-，21:(1)l y x k=--， ……1分令4x =得：(4,3)M k ，3(4,)N k -， ……2分所以31|3()|3||MN k k k k =--=+.设d 为点F 到直线l 的距离，则FMN ∆的面积为191||||22S MN d k k=⨯⨯=+……3分9191()2922k k k k=+⨯⨯=≥． ……4分当且仅当1k k=， 即1k =±时，FMN ∆的面积的最小值为9． ……5分（Ⅲ）直线AM 的方程为(2)2ky x =+，……1分由22(2)23412k y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消元，得 2223(2)12x k x ++= ， ……2分即2222(3)44120k x k x k +++-=，设(,)P P P x y ，则2241223p k x k --=+，所以22623p k x k -=+．所以222626(,)33k kP k k -++． ……3分 又(2,0)B ，3(4,)N k-，所以22226306330.62424223BP BNk k k k k k k k kk --+-=-=+=----+……4分所以BP BN k k =，所以,,P B N 三点共线． ……5分4、解：（I ） 由已知有2222,21,.c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩解得2,1,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………………………5分 （II ）由22(2),12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)8(82)0k x k x k +++-=. 由已知，2222(8)4(12)(82)0k k k Δ=-+->，解得2222k -<<. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122212284,123820.12k x x k k x x k ⎧-+==-⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩ 2221212122511()4.3AB k x x k x x x x =+-=+⋅+-= 直线l 的方程为220x y -+=，1(1,0)F -到直线l 的距离15d =. 所以1F AB ∆的面积为11251122335AB d ⋅=⨯⨯=. …………………………………10分 （III ）当21x =-时，222y =±. 此时直线l 的斜率为22±，由（II ）知不符合题意，所以21x ≠-. 设直线1BF 的斜率为222(1)1y t x x =≠-+. 则直线1BF 的方程为(1)y t x =+.由22(1),12y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)4(22)0t x t x t +++-=. 设33(,)E x y ，则有22222232222222224()14412(1)212()1y x y t x x y t x y x -+--+===+++++. 由222212x y +=得222212x y =-，代入上式整理得223222423x x x x -+=+， 解得2323423x x x --=+. 因为21212311223423()42323x x x x x x x x x x ----+--=-=++， 将2122812k x x k -+=+，21228212k x x k -=+代入，整理得310x x -=， 所以31x x =. 所以直线AE 与x 轴垂直. ……………………………………14分5、6、解：（Ⅰ）由题意得222112.c c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得23.a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y += …………………5分 （Ⅱ）设()()1122,,,M x y N x y .由()224,1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222433264120k x k x k +-+-= 依题意()()()2222=3244364120k k k ∆--⋅+⋅->，即2104k <<. 则2122212232,436412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………8分 当11x =或21x =时，得214k =，不符合题意. 因为121211MF NF y y k k x x +=+-- ()()12124411k x k x x x --=+-- ()()()12121225811k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=--()()222212641232258434311k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-- 0=.所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补. …………………14分7、解：（Ⅰ）因为,a b ==2242，所以,,a b c ===222 所以离心率c e a ==22（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 若k =12，则直线l 的方程为112y x =+由x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩22142112，得x x +-=23440解得 ,x x =-=12223设(0,1)A ，则 12112||(||||)3(2)4223PBQ S AB x x ∆=+=⨯⨯+= （Ⅲ）法一：设点33(,)C x y ，因为11(,)P x y ，(0,2)B -，所以1313222x x y y ⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩又点11(,)P x y ，33(,)C x y 都在椭圆上， 所以221122111422()()22142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪+=⎪⎩ 解得1114212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1114212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以 31414k =-或31414k = 法二：设33(,)C x y显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为y k x =-12 由x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩2211422， 得 ()k x k x +-+=221121840所以()k k x x k x x k ⎧⎪∆=->⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎪⎩2111321132116210821421 又x x =3112解得1114231414x k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或 1114231414x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以 1114212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或 1114212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以 31414k =或31414k =- 8、解：（Ⅰ）依题意，3b =. 由2212a b a -=，得22443a b ==. ∴椭圆E 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）证明：（1）当直线AB 的斜率不存在时，易求3AB =，23CD =， 则24CDAB =.（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，依题意0k ≠，则直线AB 的方程为()1y k x =-，直线CD 的方程为y kx =.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-=， 则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 2121AB k x x =+-2222228412143434k k k k k ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()2212134k k +=+. 由22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩整理得221234x k =+，则3424334x x k -=+. ()22342311434k CD k x x k +=+-=+. ∴()()2222248134434121k CDk AB k k ++=⋅=++. 综合（1）（2），24CDAB =为定值.9、解：（Ⅰ）由题意得2221,6,3.b c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ． ………………………………5分由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分 因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． …………………………………………10分 过M 做MQ ⊥NP 于Q ，则Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分 由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分 而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． ………………………………………………14分10、（Ⅰ）由题意可得2221,6,3.b c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,3.b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2213x y +=. ………….4分 （Ⅱ）直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0)N .证明如下（1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =, 不妨设6(1,)3A ，6(1,)3B -，6(3,)3D . 此时，直线BD 的方程为：6(2)3y x =-，所以直线BD 过点(2,0). （2）当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y . 由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330k x k x k +-+-=. 所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++. 直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-，所以2112121333y y y x y x y y --+=- 212213y y x y y -=-2122143x x x x x --=-2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+. 故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分11、解：（I ）由题意得1,1,2c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得2,1.a c =⎧⎨=⎩ 因为222a b c -=，所以23b =. 所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ………………………………4分 （II ）因为ΔPAF 与ΔPMF 的面积之比为15， 所以1||||5AP PM =. 所以16AP AM =u u u r u u u u r . 设00(4,)(0),(,)M m m P x y ≠，则001(2,)(6,)6x y m +=， 解得001,6m x y =-=. 将其代入22143x y +=，解得9m =±. 所以M 的坐标为(4,9)或(4,9)-. ……………………………… 8分（III ）设00(4,),(4,),(,)M m N n P x y ，若0m =，则P 为椭圆C 的右顶点，由,,P F Q 三点共线知，Q 为椭圆C 的左顶点， 不符合题意.所以0m ≠.同理0n ≠.直线AM 的方程为(2)6m y x =+. 由22(2),6143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得2222(27)4(4108)0m x m x m +++-=. 2222(4)4(27)(4108)0m m m Δ=-+->成立. 由2024108227m x m --=+，解得20254227m x m -=+. 所以00218(2)627m m y x m=+=+. 所以22254218(,)2727m m P m m-++. 当3m =时，3n =，2254227m m -+=1，即直线PQ x ⊥轴. 由椭圆的对称性可得||||||3MR FR NR ===.又因为90MRF NRF ∠=∠=︒，所以45MFR FNR ∠=∠=︒. 当3m ≠时，3n ≠，直线FP 的斜率22221806275429127FP m m m k m m m -+==---+. 同理269FQ n k n=-. 因为,,P F Q 三点共线，所以226699m nm n=--. 所以9mn =-.在Rt MRF Δ和Rt NRF Δ中，||||tan ||3MR m MFR FR ∠==，||3||tan ||||3FR m FNR NR n ∠===， 所以tan tan MFR FNR ∠=∠. 因为,MFR FNR ∠∠均为锐角， 所以MFR FNR ∠=∠.综上，若,,P F Q 三点共线，则MFR FNR ∠=∠. ………………………………14分12、解：（Ⅰ）由题知22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,3.a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………3分所以求椭圆E 的方程为22143x y +=．…………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2,0A -,()2,0B当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =．由221 1.43x x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,3.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 得1213,22k k ==或1213,22k k =-=-；均有1213k k =． 猜测存在13λ=．…………………6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,C x y ，()22,D x y ．由()2211.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=．则212221228,43412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………8分故1212121323(2)y y k k x x -=-+- …………………9分 2112123(2)(2)3(2)(2)x y x y x x --+=+-()1212122583(2)(2)k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=+- 2222128(3)40843433(2)(2)k k k k k x x ⎡⎤--+⎢⎥++⎣⎦=+- 0.= …………………13分所以存在常数13λ=使得1213k k =恒成立 …………………14分13、解：(Ⅰ) 依题意，有246b +=所以2b =椭圆方程为 22142x y +=焦点坐标分别为12(2,0),(2,0),F F -（Ⅱ）(i)方法1：设00(,)P x y ，则2200142x y +=依题意002,0x y ≠±≠，(2,0),A - 所以002(,)22x y M - 所以直线PA 的斜率002Ap y k x =+ 因为PA MQ ⊥，所以1PA MQ k k ⋅=- 所以直线MQ 的斜率002MQ x k y +=-所以直线MQ 的方程为000022()22y x x y x y +--=-- 令0x =，得到0000(2)(2)22Q y x x y y +-=+因为2200142x y +=所以02Q y y =- ， 所以0(0,)2yQ -所以H 是,M Q 的中点，所以点,M Q 关于点H 对称 方法2：设00(,)P x y ，直线AP 的方程为(2)y k x =+联立方程22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元得2222(12)8840k x k x k +++-= 所以160∆=>所以2028(2)12k x k -+-=+所以2024212k x k -+=+所以22412M k x k -=+，22242(2)1212M k ky k k k -=+=++ 所以22242(,)1212k kM k k -++因为AP MQ ⊥，所以1MQ K k =-所以直线MQ 的方程为222214()1212k k y x k k k --=--++ 令0x =，得到22222142121212Q k k ky k k k k -=-⋅=+++ 所以 22(0,)12kQ k -+所以H 是,M Q 的中点，所以点,M Q 关于点H 对称 方法3：设00(,)P x y ，直线AP 的方程为2x ty =-联立方程 221422x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消元得，22(2)40t y ty +-=因为02402t y t +=+，所以0242ty t =+ 所以222M t y t =+242M x t -=+， 所以2242(,)22tM t t -++因为AP MQ ⊥，所以1MQ K k =-所以直线MQ 的方程为2224()22t y t x t t --=--++令0x =，得到222Q t y t -=+ ，所以22(0,)2tQ t -+所以H 是,M Q 的中点，所以点,M Q 关于点H 对称 （ii ）方法1：因为APQ △为直角三角形， 且||||PQ AQ =，所以APQ △为等腰直角三角形 所以||2||AP AQ = 因为00(,)P x y ，0(0,)2y Q -即2222000(2)224y x y ++=+化简，得到200316120x x +-=，解得002,63x x ==-（舍） 即点P 的横坐标为23方法2：因为APQ △为直角三角形， 且||||PQ AQ =，所以90AQP ∠=︒，所以0AQ PQ ⋅=u u u r u u u r因为00(,)P x y ，0(0,)2y Q -， 所以0(2,)2y AQ =-u u u r ，003(,)2yPQ x =--u u u r所以0003(2,)(,)022y yx -⋅--= 即20032+=04y x -因为2200142x y +=化简，得到200316120x x +-=，解得002,63x x ==-（舍） 即点P 的横坐标为23方法3：因为APQ △为直角三角形，且||||PQ AQ =，所以90AQP ∠=︒ 所以||2||AP MQ = 因为00(,)P x y ，0(0,)2y Q -，002(,)22x y M - 所以()22220000222()2x x y y -++=+ 化简得到200830x y -= 因为2200142x y +=化简，得到200316120x x +-=，解得002,63x x ==-（舍） 即点P 的横坐标为23方法4：因为APQ △为直角三角形，所以90AQP ∠=︒ 所以点,,A P Q 都在以AP 为直径的圆上， 因为00(,)P x y ，0(0,)2y Q -，()2,0A - 所以有22222000021()()((2))222x y x y x y -+-+-=++ 所以 2003204y x -+=因为2200142x y +=化简，得到200316120x x +-=，解得002,63x x ==-（舍） 即点P 的横坐标为2314、解：（I ）由题意可知：2221,3,2b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1,3a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆G 的标准方程为2214x y +=. ….5分（Ⅱ）设()00,Q x y ，则()00,P x y --，易知002x <<，001y <<. 若使BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的3倍，只需使得3OQ MQ =，即00222(,)333OM OQ x y ==u u u u r u u u r ，即0022(,)33M x y .由()2,0A ，()0,1B ，所以直线AB 的方程为220x y +-=. 点M 在线段AB 上，所以00242033x y +-=，整理得0032x y =-，① 因为点Q 在椭圆G 上，所以220014x y +=，②把①式代入②式可得20081250y y -+=，因为判别式小于零，该方程无解.所以，不存在直线l ，使得BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的3倍. ….13分15、解：（I ）由题意得222,191.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,3.a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆M 的方程为22143x y +=. 又221c a b =-=，所以离心率12c e a ==. ………………………..5分 （II ）设直线PB 的方程为(0)y kx m k =+>，由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得222(34)8(412)0k x kmx m +++-=.当0∆>时，设1122(,),(,)B x y C x y ，则212412134m x k -⋅=+，即21241234m x k-=+.将3(1,)2P 代入y kx m =+，整理得32m k =-，所以212412334k k x k --=+.所以2112121292(34)k k y kx m k --+=+=+.所以2222412312129(,)342(34)k k k k B k k ----+++. 同理2222412312129(,)342(34)k k k k C k k +--++++. 所以直线BC 的斜率212112BC y y k x x -==-.又直线PA 的斜率30121(2)2PABC k k -===--，所以//PA BC . 因为四边形PABC 为平行四边形，所以PA BC=.所以2222412341231(2)3434k k k k k k+----=--++，解得32k =或12. 12k =时，(2,0)B -与A 重合，不符合题意，舍去.所以四边形PABC 为平行四边形时，32k =. ………………………………13分 16、解：（Ⅰ）因为(2,0)A -，所以2a =因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b c =又222b c a +=所以2b c == ， 所以椭圆方程为22142x y +=（Ⅱ）方法一： 设(,)m m M x y 1m MP m y k x =-，=2m AM m y k x + 1AM MP k k ⋅=-22112142m m m mm m y y x x x y ⎧⋅=-⎪-+⎪⎨⎪+=⎪⎩2m m x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩，20m mx y =-⎧⎨=⎩（舍） 所以=6AM 方法二： 设(,)m m M x y ， 因为AM 与MN 垂直，所以点M 在以AP 为直径的圆上， 又以AP 为直径的圆的圆心为1(,0)2-，半径为32，方程为2219()24x y ++=222219()24142m m m m x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 02m m x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩，20m mx y =-⎧⎨=⎩（舍） 所以=6AM 方法三：设直线AM 的斜率为k ，:(2)AM l y k x =+ ，其中 0k ≠22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得2222(12)8840k x k x k +++-=当0∆>时，228412A M k x x k-⋅=+ 得222412M k x k -=+ ，2421Mk y k =+显然直线,AM MN 存在斜率且斜率不为0.因为AM 与MN 垂直，所以222421=24112MPk k k k k+=--+1k=- 得212k =，22k =±， 0M x =所以2=126M AM k x ++= （Ⅲ）直线NQ 恒过定点(2,0) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意，设直线MN 的方程为1x my =+，由 221,240x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(2)230m y my ++-=，显然，0∆>，则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+，因为直线PQ 与AM 平行，所以112PQ AM y k k x ==+， 则PQ 的直线方程为11(1)2y y x x =-+， 令52x =，则111133222(3)y y y x my ==++，即1135(,)22(3)y Q my + 121122112232(3)2635(3)(23)2NQ y y my my y y y k my my x -++-==+--， 直线NQ 的方程为12212221221263()2639my y y y y y x x m y y my my +--=-+-- 12211221222212211221263(263)(1)26392639my y y y my y y y my y x y m y y my my m y y my my +-+-+=-++--+--122112212212211221263215326392639my y y y my y y y x m y y my my m y y my my +-+-=-+--+--令0y =，得122112212153263my y y y x my y y y +-=+-因为121223()my y y y =+，故221829y x y ==， 所以直线NQ 恒过定点(2,0).17、解：（Ⅰ）依题可知(0)B a ，，2a = 因为12c e a == ， 所以1c = 3b =故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)(0)y k x k =+≠． 则点D 坐标为24)k （，，BD 中点E 的坐标为22)k （，， 由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k -=+，00212(2)34ky k x k =+=+． 因为点F 坐标为(1, 0)， ①当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，直线PF 的方程为1x =， 点D 的坐标 为(2, 2)±．此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=m 与直线PF 相切． ② 当12k ≠±时，直线PF 的斜率024114PF y k k x k ==--． 所以直线PF 的方程为24(1)14k y x k=--,即214104k x y k ---=． 故点E 到直线PF 的距离2222221414|221|42|2|14141()()44k k k k d k k k k k-+-⨯-===-++ （或直线PF 的方程为224401414k k x y k k --=--, 故点E 到直线PF 的距离222228421414161(14)k k k k k d k k ----=+-322228142||14|14|k k k k k k +-==+-） 又因为k R BD 42== ，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．解法二:（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下: 设点00(,)P x y ,则220001(0)43x y y +=≠ ① 当01x =时,点P 的坐标为3(1, )2±，直线PF 的方程为1x =，点D 的坐标为(2, 2)±，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=m 与直线PF 相切，② 当1x ≠o 时直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++， 点D 的坐标为004(2,)2y x +,BD 中点E 的坐标为002(2,)2y x +,故002||||2y BE x =+ 直线PF 的斜率为001PF y k x =-, 故直线PF 的方程为00(1)1y y x x =--,即00110x x y y ---=, 所以点E 到直线PF 的距离00000020012|21|22||||211()x y y x y d BE x x y --⨯-+===+-+ 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．18、解：（Ⅰ）由题意，得244a m == , 解得1m =. ……………… 1分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 2分 故2a =，1b =，223c a b =-=.所以椭圆W 的离心率32c e a ==. ……………… 4分 （Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W 的方程，得3(1,)2C ，3(1,)2D -， 又因为||24AB a ==，AB CD ⊥，所以四边形ACBD 的面积1||||232S AB CD =⨯=. ……………… 6分 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22 (1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …… 7分 由题意，可知0∆>恒成立，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. ………… 8分 四边形ACBD 的面积ABC ABD S S S ∆∆=+1211||||||||22AB y AB y =⨯+⨯ ……… 9分 121||||2AB y y =⨯-122|()|k x x =- 2222121222(31)2[()4]8(41)k k k x x x x k +=+-=+， 设241k t +=，则四边形ACBD 的面积21223S t t =--+，1(0,1)t∈， 所以212(1)423S t=-++<. 综上，四边形ACBD 面积的最大值为23. ……………… 11分 （Ⅲ）结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为4x =. ……………… 14分。
统计与统计案例小题突破练-高三数学二轮专题复习
冲刺高考二轮统计与统计案例小题突破练（原卷+答案）一、单项选择题1．已知某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取1%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为() A．200，25 B．200，2 500C．8 000，25 D．8 000，25002．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则()A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．国外新冠肺炎疫情形势严峻，国内疫情传播风险加大，为了更好地抗击疫情，国内进一步加大新冠疫苗的接种力度．某制药企业对某种新冠疫苗开展临床接种试验，若使用该疫苗后的抗体呈阳性，则认为该新冠疫苗有效．该企业对参与试验的1 000名受试者的年龄和抗体情况进行统计，结果如下图表所示：年龄频率[20，30)0.20[30，40)0.30[40，50)0.10[50，60)0.20[60，70)0.10[70，80]0.10则下列结论正确的是( )A ．在受试者中，50岁以下的人数为700B ．在受试者中，抗体呈阳性的人数为800C ．受试者的平均年龄为45岁D ．受试者的疫苗有效率为80%4．下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为( )A ．66.5B ．67C ．67.5D ．685．已知一组数据：x 1，x 2，x 3的平均数是5，方差是4，则由2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1和11 这四个数据组成的新数据组的方差是( )A ．16B ．14C ．12D ．116．某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (单位：万千米)对应维修保养费用y (单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：行驶里程x /万千米 1 2 4 5 维修保养费用y /万元 0.50 0.90 2.30 2.70若用最小二乘法求得回归直线方程为y ^ ＝0.58x ＋a ^，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是( )A ．3.34万元B ．3.62万元C ．3.82万元D ．4.02万元7．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：已知χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），P (χ2≥10.828)＝0.001，根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，以下结论正确的为( )A ．爱好跳绳与性别有关B ．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C ．爱好跳绳与性别无关D ．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0018．为研究变量x ，y 的相关关系，收集得到下面五个样本点(x ，y )：x 5 6.5 7 8 8.5 y 9 8 6 4 3若由最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为y ^ ＝－1.8x ＋a ^，则据此计算残差为0的样本点是( )A ．(5，9)B ．(6.5，8)C ．(7，6)D ．(8，4)二、多项选择题9．下列统计量中，能度量样本x 1，x 2，…，x n 的离散程度的是( ) A ．样本x 1，x 2，…，x n 的标准差 B ．样本x 1，x 2，…，x n 的中位数 C ．样本x 1，x 2，…，x n 的极差 D ．样本x 1，x 2，…，x n 的平均数10．有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1，2，…，n )，c 为非零常数，则( )A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同11.某车间加工某种机器的零件数x 与加工这些零件所花费的时间y 之间的对应数据如下表所示：x /个 10 20 30 40 50 y /min 62 68 75 81 89由表中的数据可得回归直线方程y ^ ＝b ^x ＋54.9，则以下结论正确的有( ) A ．相关系数r >0B ．b ^＝0.67C ．零件数10，20，30，40，50的中位数是30D ．若加工60个零件，则加工时间一定是95.1 min12．小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位：分钟)，得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则( )A ．骑车时间的中位数的估计值是22分钟B ．骑车时间的众数的估计值是21分钟C ．坐公交车时间的中位数的估计值是20分钟D ．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值 三、填空题13．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生500人、女生400名(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为________．14．为了解某社区居民的2021年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元) 6.2 7.5 8.0 t 9.8根据上表可得回归直线方程y ^＝0.76x ＋0.4，则t ＝________．15．定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分(满分150分)”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据(数据都是正整数)的描述：①甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128； ②乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121；③丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125. 则数学成绩一定优秀的同学是________．16．在对某中学高一年级学生每周体育锻炼时间的调查中，采用随机数法，抽取了男生30人，女生20人. 已知男同学每周锻炼时间的平均数为17小时，方差为11；女同学每周锻炼时间的平均数为12小时，方差为16. 依据样本数据，估计本校高一年级学生每周体育锻炼时间的方差为________．参考答案1．解析：由扇形分布图结合分层抽样知识易知样本容量为8040% ＝200，则样本中高中生的人数为200×25%＝50，易知总体的容量为501%＝5 000，结合近视率条形图得该地区高中生近视人数为5 000×50%＝2 500. 故选B. 答案：B 2．解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A 项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为70%＋75%2＝72.5%＞70%，A 错误．对于B 项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B 正确．对于C 项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差s 2后 ＝110×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝42.2510 000 ，所以标准差s 后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为s 2前 ＝110×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝142.2510 000，所以标准差s 前≈11.93%.所以s 前＞s 后，C 错误．对于D 项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D 错误．故选B.答案：B3．解析：50岁以下1 000×(0.2＋0.3＋0.1)＝600人，A 选项错误．在受试者中，抗体呈阳性的人数为600×0.9＋400×0.85＝880，B 选项错误．受试者的平均年龄为25×0.2＋35×0.3＋45×0.1＋55×0.2＋65×0.1＋75×0.1＝45，C 选项正确．受试者的疫苗有效率为8801 000×100%＝88%，D 选项错误．故选C. 答案：C4．解析：第一组的频率为0.010×10＝0.1，前两组的频率之和为(0.010＋0.020)×10＝0.3，知25%分位数在第二组[60，70)内，故25%分位数为60＋10×0.25－0.10.2＝67.5.故选C. 答案：C5．解析：由已知得x 1＋x 2＋x 3＝15，(x 1－5)2＋(x 2－5)2＋(x 3－5)2＝12，则新数据的平均数为14 (2x 1＋1＋2x 2＋1＋2x 3＋1＋11)＝2（x 1＋x 2＋x 3）＋3＋114＝11，所以方差为14[(2x 1＋1－11)2＋(2x 2＋1－11)2＋(2x 3＋1－11)2＋(11－11)2]，＝14 [4(x 1－5)2＋4(x 2－5)2＋4(x 3－5)2]＝(x 1－5)2＋(x 2－5)2＋(x 3－5)2＝12， 故选C. 答案：C6．解析：由已知x － ＝1＋2＋4＋54 ＝3，y － ＝0.5＋0.9＋2.3＋2.74＝1.6，所以1.6＝0.58×3＋a ^ ，a ^ ＝－0.14，即y ^＝0.58x －0.14，x ＝6时，y ^＝0.58×6－0.14＝3.34， 故选A. 答案：A7．解析：a ＋b ＝40＋20＝60，c ＋d ＝20＋30＝50，a ＋c ＝40＋20＝60， b ＋d ＝20＋30＝50，ad －bc ＝40×30－20×20＝800，n ＝110，χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） ＝110×800260×50×60×50 ≈7.822<10.828，故爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001， 故选D. 答案：D8．解析：由题意可知，x － ＝5＋6.5＋7＋8.5＋85 ＝7，y － ＝9＋8＋6＋4＋35＝6，所以回归方程的样本中心点为(7，6)，因此有6＝－1.8×7＋a ^ ⇒a ^＝18.6，所以y ^＝－1.8x ＋18.6，在收集的5个样本点中，(7，6)一点在y ^＝－1.8x ＋18.6上，故计算残差为0的样本点是(7，6).故选C. 答案：C9．解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势． 答案：AC10．解析：A ：E (y )＝E (x ＋c )＝E (x )＋c 且c ≠0，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为x i ，则第二组的中位数为y i ＝x i ＋c ，显然不相同，错误；C ：D (y )＝D (x )＋D (c )＝D (x )，故方差相同，正确； D ：由极差的定义知：若第一组的极差为x max －x min ，则第二组的极差为y max －y min ＝(x max＋c )－(x min ＋c )＝x max －x min ，故极差相同，正确．答案：CD11．解析：由表中的数据，得x － ＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y －＝62＋68＋75＋81＋895 ＝75，将x － ，y － 代入y ^ ＝b ^ x ＋54.9，得b ^＝0.67，选项A ，B 均正确， 10，20，30，40，50的中位数是30，选项C 正确；当x ＝60时，y ^＝0.67×60＋54.9＝95.1，所以加工时间约是95.1 min ，而非一定是95.1min ，选项D 错误．故选ABC. 答案：ABC12．解析：在骑车时间频率分布直方图中，设骑车时间的中位数为a 1， 所以有0.1×2＋0.2×(a 1－20)＝0.5⇒a 1＝21.5，因此选项A 不正确； 骑车时间的众数的估计值为21分钟，因此选项B 正确； 设骑车时间的平均数为b 1，b 1＝(19×0.1＋21×0.2＋23×0.15＋25×0.05)×2＝21.6；在坐公交车时间频率分布直方图中，设坐公交车时间的中位数为a 2，因为(0.025＋0.05＋0.075＋0.1)×2＝0.5，所以a 2＝20，因此选项C 正确； 设坐公交车时间的平均数为b 2，b 2＝(13×0.025＋15×0.05＋17×0.075＋19×0.1＋21×0.1＋23×0.075＋25×0.05＋27×0.025)×2＝20，因为b 1>b 2，所以选项D 正确， 故选BCD. 答案：BCD13．解析：根据等高条形图可知： 喜欢徒步的男生人数为0.6×500＝300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400＝160，所以喜欢徒步的总人数为300＋160＝460，按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为300460×23＝15人．答案：1514．解析：分别求出收入和支出的平均数，可得：x － ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y － ＝6.2＋7.5＋8.0＋9.8＋t 5 ＝31.5＋t 5，代入y ^＝0.76x ＋0.4可得：31.5＋t 5＝0.76×10＋0.4，解得：t ＝8.5. 答案：8.515．解析：在①中，甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128，可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同学的数学成绩不一定优秀； 在②中，乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121，所以前三个数为121，121，127，则后两个数肯定大于127，故乙同学的数学成绩一定优秀；在③中，丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125，最大值与最小值的差为10，若最大值为129，则最小值为119.即119，125，125，127，129，故丙同学的数学成绩不一定优秀．综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙． 答案：乙16．解析：根据平均数的计算公式，全班的平均数为z － ＝17×30＋12×2030＋20＝15，设男同学为x 1，x 2，…，x 30，女同学为y 1，y 2，…，y 20，答案：19。
江苏省苏州市2020届高三数学二轮复习专题训练 3 不等式
专题3 不等式一、填空题例1 已知集合A ＝{}0，1，B ＝{}a 2，2a ，其中a ∈R .定义A ×B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若集合A ×B 中的最大元素为2a ＋1，则a 的取值范围是________．解析 A ×B ＝{a 2,2a ，a 2＋1,2a ＋1}．由题意，得2a ＋1＞a 2＋1，解得0＜a ＜2. 答案 (0,2)例2 ．设123log 2,ln 2,5a b c -===则c b a ,,三者的大小关系 解析 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-=222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 答案c a b <<例3 ．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)， 解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”．给出如下一种解法：解 由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)． 参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________． 解析 不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0可化为k 1x ＋a ＋1x ＋b 1x＋c＜0，所以有1x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即x ∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案 (－3，－1)∪(1,2)例 4 ．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于解析 由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为|31419|245⨯-⨯-⨯=。
复数小题专练-高三数学二轮专题复习
冲刺高考二轮 复数小题专练（原卷+答案）一、单项选择题1．(2＋2i)(1－2i)＝( )A ．－2＋4iB ．－2－4iC ．6＋2iD ．6－2i2．设(1＋2i)a ＋b ＝2i ，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－1B ．a ＝1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝－1，b ＝－13．复数2i1－i (i 是虚数单位)的虚部是( )A ．1B ．－iC ．2D ．－2i4．若复数z 满足i·z ＝3－4i ，则|z |＝( )A ．1B ．5C ．7D ．255．复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i ，则z 在复平面内对应的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若复数z 满足z ＋3i ＝z － ，则复数z 的虚部为( )A ．32B ．－32C ．32 iD ．－32 i7．设z i ＝3－2z － ，则复数z ＝( )A ．3＋iB ．3－iC ．2＋iD ．2－i8．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 31＋i ，z － 是z 的共轭复数，则z － ·z ＝() A ．0 B ．12C ．1D ．2二、多项选择题9．已知复数z ＝5i 1＋2i，则下列各项正确的为( ) A ．复数z 的虚部为iB ．复数z －2为纯虚数C ．复数z 的共轭复数对应点在第四象限D ．复数z 的模为510．已知z 1，z 2均为复数，则下列结论中正确的有( )A ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝±z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＋z 2是实数C ．(z 1－z 2)2＝|z 1－z 2|2D ．若z 1＋z 2＝0，则z 1z 2是实数11．已知复数z 1对应的向量为OZ 1→ ，复数z 2对应的向量为OZ 2→ ，则( )A ．若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则OZ 1→ ⊥OZ 2→B ．若(OZ 1→ ＋OZ 2→ )⊥(OZ 1→ －OZ 2→ )，则|z 1|＝|z 2|C ．若z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 1z 2＝|z 1z 2|D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21 ＝z 2212．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是( )A ．复数e i π2 为纯虚数B ．复数e i2对应的点位于第二象限C ．复数e i π3 的共轭复数为32 －12i D ．复数e i θ(θ∈R )在复平面内对应的点的轨迹是圆三、填空题13．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i(i 为虚数单位)，则z ·z － ＝________．14．设m 为实数，复数z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋3i(这里i 为虚数单位)，若z 1·z 2为纯虚数，则|z 1＋z 2|的值为________．15．已知i 是虚数单位，则复数(1＋i 2)4的模等于________． 16．已知2＋i 是关于x 的方程x 2＋ax ＋5＝0的根，则实数a ＝________．参考答案1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D.答案：D2．解析：由(1＋2i)a ＋b ＝2i ，得a ＋2a i ＋b －2i ＝0，即(a ＋b )＋(2a －2)i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 故选A. 答案：A3．解析：由题意可知，2i 1－i ＝2i ×()1＋i ()1－i ()1＋i ＝－2＋2i 2 ＝－1＋i ， 所以复数2i 1－i的虚部为1. 答案：A4．解析：方法一 由i·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ＝（3－4i ）·（－i ）i·（－i ） ＝－3i ＋4i 2－i 2＝－4－3i ， 所以|z |＝（－4）2＋（－3）2 ＝5.故选B.方法二 由i ·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ，所以|z |＝|3－4i i |＝|3－4i||i| ＝32＋（－4）202＋12＝5.故选B.答案：B5．解析：由题知：z ＝2＋3i 1－i ＝（2＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋5i 2 ， 所以z 在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，52 ，位于第二象限． 故选B.答案：B6．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z － ＝a －b i ，因为z ＋3i ＝z － ，则a ＋(b ＋3)i ＝a －b i ，所以b ＋3＝－b ，解得b ＝－32， 因此，复数z 的虚部为－32. 故选B.答案：B7．解析：由z i ＝3－2z － 得z i ＋2z － ＝3.设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z － ＝x －y i ，所以(x ＋y i)i ＋2(x －y i)＝3，所以2x －y ＋(x －2y )i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3，x －2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1， 所以z ＝2＋i. 故选C.答案：C8．解析：∵z ＝i ＋i 2＋i 31＋i ＝－11＋i ＝－1＋i （1＋i ）（1－i ）＝－12 ＋12 i ， 所以z － ·z ＝⎝⎛⎭⎫－12－12i ⎝⎛⎭⎫－12＋12i ＝14 ＋14 ＝12.故选B. 答案：B9．解析：∵z ＝5i 1＋2i ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2＋i ，则可得： 复数z 的虚部为1，A 错误；z －2＝i 为纯虚数，B 正确；复数z 的共轭复数为z － ＝2－i ，其对应点为(2，－1)，在第四象限，C 正确；复数z 的模为|z |＝22＋12 ＝5 ，D 错误．故选BC.答案：BC10．解析：z 1＝1，z 2＝－i ，|z 1|＝|z 2|而z 1≠±z 2，A 错；令z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i ，z 1＋z 2＝2a 为实数，B 对；z 1＝1，z 2＝i ，(z 1－z 2)2＝－2i ，|z 1－z 2|2＝2，则(z 1－z 2)2≠|z 1－z 2|2，C 错；令z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a －b i ，z 2＝－a ＋b i ，z 1·z 2＝(a ＋b i)(－a ＋b i)＝－a 2－b 2为实数，D 对，故选BD.答案：BD11．解析：因为|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以|OZ 1→ ＋OZ 2→ |＝|OZ 1→ －OZ 2→ |，则|OZ 1→ ＋OZ 2→ |2＝|OZ 1→ －OZ 2→ |2，即4OZ 1→ ·OZ 2→ ＝0，则OZ 1→ ⊥OZ 2→ ，故选项A 正确；因为(OZ 1→ ＋OZ 2→ )⊥(OZ 1→ －OZ 2→ )，所以(OZ 1→ ＋OZ 2→ )·(OZ 1→ －OZ 2→ )＝0，即OZ 12→ ＝OZ 22→ ，则|z 1|＝|z 2|，故选项B 正确；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 2＝a －b i(a ，b ∈R )，所以z 1z 2＝a 2＋b 2，|z 1z 2|＝a 2＋b 2，则z 1z 2＝|z 1z 2|，故选项C 正确；若z 1＝1＋i ，z 2＝1－i 满足|z 1|＝|z 2|，而z 21 ≠z 22 ，故选项D 错误，故选ABC.答案：ABC12．解析：对A ：因为复数e i π2＝cos π2 ＋isin π2 ＝i 为纯虚数，故选项A 正确；对B ：复数e i2＝cos 2＋isin 2，因为cos 2<0，sin 2>0，所以复数e i2对应的点为(cos 2，sin 2)位于第二象限，B 正确；对C ：复数e i π3＝cos π3 ＋isin π3 ＝12 ＋32 i 的共轭复数为12 －32 i ，故选项C 错误； 对D ：复数e i θ＝cos θ＋isin θ(θ∈R )在复平面内对应的点为(cos θ，sin θ)，因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以复数e i θ(θ∈R )在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，z － ＝1－i ，所以z ·z － ＝2. 答案：214．解析：∵z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋3i ，∴z 2－ ＝m －3i ，∴z 1·z 2－ ＝(1＋2i)(m －3i)＝m －3i ＋2m i ＋6＝(m ＋6)＋(2m －3)i ，∵z 1·z 2－ 为纯虚数，∴m ＋6＝0⇒m ＝－6，∴z 1＋z 2＝(1＋2i)＋(－6＋3i)＝－5＋5i ，∴|z 1＋z 2|＝（－5）2＋52 ＝52 . 答案：5215．解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 2 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22 2＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2＝i 2＝－1，所以模为1. 答案：116．解析：因为2＋i 是关于x 的方程x 2＋ax ＋5＝0的根，其中a ∈R ，所以2－i 也是关于x 的方程x 2＋ax ＋5＝0的根，所以2＋i ＋2－i ＝－a ，a ＝－4.答案：－4。
高考数学二轮专题复习——棱切球训练(补充)
棱切球训练（补充）一、单选题1．点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱切球上的一点，点N 是1ACB ∆的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是（_____）A ． 1⎤-⎦B ． 1⎤⎦C ． -D ． 2．如图，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圆面是底，圆的半径记为R ，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，记为H ，则球冠的曲面面积2πS RH =.球O 是棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''的棱切球，则球O 在正方体ABCD A B C D -''''外面部分曲面的面积为（）A ．)21πB ．)41πC ．)61πD ．)31π二、多选题3．我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（）AB ．正四面体的棱切球的表面积为2πC ．等长正六棱柱的棱切球的体积为43πD ．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为712π4．《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），已知该正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，下列命题正确的是（）A ．正方体1111ABCD ABCD -的外接球中存在一条直径被截面11AC D 和截面1ACB 三等分B ．正方体1111ABCD A BCD -的内切球体积大于该牟合方盖的内切球的体积C ．正方体1111ABCD A B C D -的内切球被平面11AC D 截得的截面面积为3πD ．以正方体的顶点A 为球心，2为半径的球在该正方体内部部分的体积与正方体1111ABCD A B C D -的棱切球的体积之比为45．如图，已知正八面体S ABCD T --（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形ABCD 为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为O ，则以下结论正确的是（）A ．点O 到平面CDT 的距离等于1B ．点O 到直线CT 的距离等于1C ．球O 在正八面体外部的体积小于4π3⎛-⎝D ．球O 6．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球O ，则下列说法正确的是（）A ．球O 的体积为43πB ．球O 内接圆柱的侧面积的最大值为4πC ．球O 在正方体外部的体积小于()413πD ．球O 在正方体外部的面积大于三、填空题7．如图，在二面角内半径为1的圆与半径为2的圆分别在半平面、内，且与棱切于同一点P ，则以圆与圆为截面的球的表面积等于8．已知棱长均为111ABC A B C -由上､下全等的正四棱锥111A ABB C -和11C ABB C -拼接而成，其中四边形11ABB C 为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为R ，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为r ，则R r=．9．点M 是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱切球（切于正方体各条棱的球）上的一点，点N 是△ACD 1的外接圆上一点，则线段MN 长度的取值范围是.10．与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====，8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为．11．称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体ABCD 存在棱切球，且6,8AB AD AC CD ====，则该四面体的体积为，棱切球的半径为.四、解答题12．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（1）求该四面体的表面积；（2）求该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比．例1．（2022·江西南昌·高三阶段练习）已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为18，若存在球O 与三棱柱111ABC A B C -的各棱均相切，则球O 的表面积为（）A ．8πB ．12πC ．16πD ．18π例2．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（）A ．6πB C ．43πD 例3．（2022·全国·高三专题练习）正四面体P -ABC 的棱长为4，若球O 与正四面体的每一条棱都相切，则球O 的表面积为（）A ．2πB ．8πC D ．12π例4．（2022·江西·进贤县第一中学高二期中（文））球与棱长为面积为（）A ．6πB ．18πC ．9πD ．10π例5．（2022·山东·德州市第一中学高一阶段练习）边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为_____．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_______．1．（2022·全国·高三专题练习）正三棱锥P ABC -的底面边长为H 与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（）A ．174πB ．(44π-C ．92πD ．32π2．（2022·河南·模拟预测（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（）AB ．C ．D 3．（2022·山西运城·一模（理））一个正四棱锥形骨架的底边边长为2四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（）A ．B ．4πC ．D ．3π4．（2022·云南省文山壮族苗族自治州第一中学高一期末）已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为A ．43πB ．C D ．8235．（2022·河南平顶山·高一期末）有一个棱长为10cm ，悬空放置的正方体框架，将一个圆气球放在框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与框架12条棱均相切时，如果不计气球的厚度，则气球内气体的体积为（）A ．31000cm 3πB ．310002cm 3C ．3500cm 3πD ．31252cm 36．（多选题）（2022·全国·高一期末）如图，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列命题正确的是AB ．点P 在线段AB 上运动，则四面体111P A BC -的体积不变C ．与所有12条棱都相切的球的体积为23D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，则AM 7．（多选题）（2022·江苏·无锡市市北高级中学高三开学考试）我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（）AB ．正四面体的棱切球的表面积为2πC ．等长正六棱柱的棱切球的体积为43πD ．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为712π8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的各棱长均为2，下列结论正确的是（）A ．该正方体外接球的直径为B ．该正方体内切球的表面积为4πC ．若球OD ．该正方体外接球的体积为9．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为A 为球心的球与棱BC 相切，则球A 于正三棱柱111ABC A B C -内的部分的体积为___________.10．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥,3S ABC SA SB SC AB -====，球O 与三棱锥S ABC -的所有棱相切，则球O 的表面积为_________．11．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥A ﹣BCD 所有棱长都相等，球1O 与它的六条棱都相切，球2O 与它的四个面都相切，则球1O 与球2O 的表面积之比为___________．12．（2022·江苏省阜宁中学高三期中）已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为底面为等边三角形.若球O 与该三棱柱的各条棱都相切，则球O 的体积为__________.13．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知三棱锥S ABC -的棱长均为积为___________.14．（2022·山东·的正方体所有棱都相切的球的体积为______．15．（2022·全国·高一课时练习）已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为______.16．（2022·上海·华师大二附中高二期中）如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是________.。
高三数学二轮双基掌握《选择填空题》(新题+典题)10
2014届高三数学二轮双基掌握《选择填空题》（新题+典题）10(含详解)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|31,A x x k k N ==+∈，{}|7,B x x x Q =≤∈，则A B I ＝A ．{}1,3,5B ．{}1,4,7C ．{}4,7D ．{}3,5【答案】B【解析】当0k =时，1x =；当1k =时，4x =；当2k =时，7x =，{147}A =，，．故选B ． 2．在复平面内，复数311i i+-对应的点位于 A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】A 【解析】1i 22z =-11, 22⎛⎫- ⎪⎝⎭对应的点是，故选A. 3．已知(2,)a m =r ，(1,)b m =-r ，若(2)a b b -⊥r r r ，则||a r＝A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】因为(2a b b -⊥r r r )，所以(20a b b -⋅=r r r )，即250m -+=，即25m =，所以2||43a m =+=r，故选B ．4．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为A ．1B ．33C 3D ．233【答案】B正视图 1 1 1 侧视图俯视图【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图 ，其中正视图为PAC △，是边长为2的正三角形，PD ABC ⊥平面，且3PD =，底面ABC △为等腰直角三角形，2AB BC ==，所以体积为11332232V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．5．执行如图2所示的程序框图，则输出的x 的值是A ．8B ．6C ．4D ．3【答案】A【解析】1211134242322k S k S ==+⨯===+⨯=当时，；当时，；332233103k S ==+⨯=当时，；4,28k x k ===当时输出.故选A ．6．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是A ．||2x y = B ．2lg(1)y x x =+C ．22xxy -=+ D ．1lg 1y x =+ 【答案】D【解析】根据奇偶性定义知，A 、B 为偶函数，C 为奇函数，D 定义域为{|1}x x >-不关于原点对称，故选D ． 7．下列说法正确的是A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠” B ．若命题2:,210p x R x x ∃∈-->，则命题2:,210p x R x x ⌝∀∈--< C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题D ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件 【答案】C【解析】选项A ，否命题为“若211x x ≠≠，则”；选项B ，命题:p x ⌝∀∈“R ，2210x x --≤”；选项D ，“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故选C ．8．实数对(,)x y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z x y =+的最大值与最小值之和为A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】C【解析】不等式组所表示的区域如图 所示，则max min 6, 3.z z ==故选C ．9．记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为A ．12πB ．1πC ．14D ．24ππ- 【答案】A【解析】区域1Ω为圆心在原点，半径为4的圆，区域2Ω为等腰直角三角形，两腰长为4，所以218116π2πS P S ΩΩ===，故选A ．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若29a =-，376a a +=-，则当n S 取最小值时，n ＝A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】375526,3a a a a +==-∴=-Q ， 2,92(2)213n d a n n ∴==-+-=-， 671,1,a a ∴=-=6S ∴最小. 故选D ．11．对于函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x =+--，则下列说法正确的是 A ．该函数的值域是[]1,1-B ．当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >C ．当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值1D ．该函数是以π为最小正周期的周期函数 【答案】B【解析】sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x <⎧=⎨⎩≥由图象知，函数值域为21⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，A 错；当且仅当π2π()4x k k =+∈Z 时，该函数取得最大值22，C 错；最小正周期为2π，D 错．故选B ． 12．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有A ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f > B ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f < C ．2013(2013)(0)e f f ->，2013(2013)(0)f e f > D ．2013(2013)(0)ef f ->，2013(2013)(0)f e f <【答案】D【解析】构造函数()(),x f x g x e=则2()()()()()()()x x x xf x e e f x f x f xg x e e '''--'==， 因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<，故函数()()xf xg x e =在R 上单调递减，所以(2013)(0)(2013)(0)g g g g -><，，即20132013(2013)(2013)(0)(0)f f f f e e--><，， 也就是20132013(2013)(0)(2013)(0)e f f f e f -><，，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，……，第五组[)17,18．图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于 ．【答案】27【解析】(0.160.38)15027+⨯⨯=．14．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，3B π=且sin 3cos c A a C =，则△ABC 的面积为 ． 【答案】3【解析】sin 3cos c A a C ⋅=⋅Q ，sin sin 3sin cos .C A A C ⋅=⋅由正弦定理得： sin 0,sin 3cos A C C ≠∴=Q ， tan 3C ∴=，又ABC Q △是锐角三角形π3A B C ∴===， 132232ABC S ∴=⨯⨯⨯=△．15．正三棱锥A BCD -内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为 ． 【答案】163π 【解析】如图，设三棱锥A BCD -的外接球球心为O ，半径为r ，BC =CD =BD=3，0.38 组距 0.320.16 0.08 0.06秒13 14 15 16 17 18AB =AC =AD =2，AM BCD ⊥平面，M 为正BCD △的中心，则DM =1，AM=3，OA =OD =r ，所以22(3)1r r -+=，解得3r =，所以2164ππ3S r ==． 16．如图4，椭圆的中心在坐标原点，F 为左焦点，A 、B 分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB AB ⊥时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为 ．15+【解析】由图知，2222()()a c b c c +=++，整理得220c ac a --=，即210e e --=，解得15e ±=故15e +．。
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高三数学二轮专题训练：填空题（32）
本大题共14小题，请把答案直接填写在答题位置上。
1. 在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为________．
2. 命题：“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数是________．
3. 右图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．
4. 用半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶，那么这个圆锥的高是________．
5. 为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表(单位：人)：
调研，则这2人都来自高三年级的概率是________．
6. 双曲线x 2
－y 2
4＝1的渐近线被圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0所截得的弦长为
________．
7. 在共有2 013项的等差数列{a n }中，有等式(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)－(a 2＋a 4＋…＋a 2 012)＝a 1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{b n }中，相应的有等式________成立．
8. 已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π
4，a ＝3p ＋2q ，b ＝p －q ，则以a 、b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________．
9. 若x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧
x －y ＋5≥0，
x ≤3，
x ＋y －k ≥0，
且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则
k 的值为________．
10. 已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n
T n ＝
n
2n －1
对任意n ∈N *
恒成立，则a 10
b 5
的值为________．
11. 已知A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x ＋a ≥0}，A ，B 的交集不是空集，则实数a 的取值范围是________．
12. 定义在R 上的函数f (x )的图象过点M (－6,2)和N (2，－6)，对任意正实
数k ，有f (x ＋k )＜f (x )成立，则当不等式|f (x －t )＋2|＜4的解集为(－4,4)时，实数t 的值为________．
13. 平面四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1，△ABD 和△BCD 的面积分别为S ，T ，则S 2＋T 2的最大值是________．
14. 在直角坐标系xOy 中，点P (x P ，y P )和点Q (x Q ，y Q )满足⎩⎨⎧
x Q ＝y P ＋x P ，
y Q ＝y P －x P ，按
此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若OQ
OP ＝m ，∠POQ ＝θ，其中O 为坐标原点，则y ＝m sin(x ＋θ)的图象在y 轴右边第一个最高点的坐标为________．
1. 25
2. 2
3. －9
4. 32R
5. 1
2 6. 4 7.
a 1·a 3·a 5…a 2 011
a 2·a 4·a 6…a 2 010
＝a 1 006 8.
29 9. 0 10. 1917 11. 12. 2 13. 7
8 14.
⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2。