山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学
2017-2018学年山东省寿光市第一中学高二12月月考数学(文)试题
2016级1部 数学（文）月段检测试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.K 为小于9的实数时，曲线221259x y +=与曲线221259x y K K -=--一定有相同的（ ） A ．焦距 B ．准线 C ．顶点 D ．离心率2.焦点为(0,6)，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为（ ） A ．2211224x y -= B ．2212412x y -= C ．2212412y x -= D ．2211224y x -= 3.如果椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．240x y +-= C ．23140x y +-= D ．280x y +-=4.已知双曲线22111x y m m -=+-的渐近线方程为12y x =±，则实数m 的值等于（ ） A ．53 B ．53- C. 53或53- D ．3± 5.曲线32y x x =-+在横坐标为-1的点处的切线为L ，则点(3,2)到L 的距离是（ ）A ．2 B ．22 D6.已知函数1ln y x x =++在点(1,2)A 处的切线为l ，若l 与二次函数2(2)1y ax a x =+++的图象也相切，则实数a 的取值为（ ） A ．12 B ．8 C. 0 D ．47.已知点M 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．48.已知函数()f x 的导函数2'()f x ax bx c =++的图象如下图，则()f x 的图象可能是（ ）A ．B ． C. D ．9.定义在(0,)+∞上的单调减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足()()f x x f x >'，则下列不等式成立的是（ ）A ．3(2)2(3)f f >B ．2(3)(4)f f < C.3(4)4(3)f f < D ．2(3)3(4)f f <10.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对于任意实数x 有()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()1x e f x >的解集为（ ）A ．(0)-∞，B ．(0)+∞， C.()e -∞， D ．()e +∞，11.的直线l 与椭圆22221x y a b+=（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12 D ．1312.设1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 1 B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.过点(42)P ，且与曲线2xy x =-在点(11)Q -，处的切线垂直的直线方程为 ． 14.若函数321()(23)13f x ax ax a x =-+-+在上R 存在极值，则实数a 的取值范围是 ．15.已知点(0)Q -及抛物线24x y =-上一动点()P x y ，，则y PQ +的最小值是 ．16.下列命题正确的是 （写出正确的序号）．①已知(20)M -，，(20)N ，，3PM PN -=，则动点P 的轨迹是双曲线左边一支； ②已知椭圆22182x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则实数m 的值是7；③抛物线22y ax =（0a ≠）的焦点坐标是02a ⎛⎫⎪⎝⎭，.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数2()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[33]-，上的最大值. 18. 已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(02)P ，，且在点(1(1))M f --，处的切线方程为670x y -+=.（1）求()y f x =的解析式； （2）求()y f x =的单调区间.19. 已知()ln f x x x =，2()3g x x ax =-+-. （1）求函数()f x 的最小值；（2）对一切(0)x ∈+∞，，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 20. 已知抛物线D ：24y x =的焦点与椭圆Q ：22221x y a b+=（0a b >>）右焦点1F 重合，且点P ⎭在椭圆Q 上.（1）求椭圆Q 的方程及离心率；（2）若倾斜角为45︒的直线l 过椭圆Q 的左焦点2F ，且与椭圆相交于A 、B 两点，求1ABF △的面积.21. 设函数2()2ln(1)(1)f x x x =---. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的方程2()30f x x x a +--=在区间[24]，内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.22.已知长方形ABCD ，AB =，1BC =.以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy .（1）求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；（2）过点(02)P ，的直线l 交（1）中椭圆于M 、N 两点，是否存在直线l ，使得弦MN 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.2016级1部数学（文）月段检测试题参考答案一、选择题1-5:ADDAA 6-10: DDDBB 11、12：CA二、填空题13.20x y -= 14.(03)，15.2 16.② 三、解答题17.解：（1）因3()f x ax bx c =++故2()3f x ax b '=+由于()f x 在点2x =处取得极值 故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c +=⎧⎨+=-⎩，化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩知3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '=，得12x =-，22x = 当(2)x ∈-∞-，时，()0f x '>故()f x 在(2)-∞-，上为增函数； 当(22)x ∈-，时，()0f x '<故()f x 在(22)-，上为减函数； 当(2)x ∈+∞，时，()0f x '>，故()f x 在(2)+∞，上为增函数。
2017-2018学年山东省潍坊市寿光一中高一(上)12月月考数学试卷
2017-2018学年山东省潍坊市寿光一中高一（上）12月月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log a（3x﹣2）+2的图象恒过点（）A．（1，0） B．（1，2） C．（，0）D．（，1）2．（5分）下列与函数y=x有相同图象的函数是（）A．y=B．y=a C．y=D．y=log a a x3．（5分）若lg2=a，lg3=b，则等于（）A．B．C．D．4．（5分）给出下列命题中正确的是（）A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B．底面是矩形的平行六面体是长方体C．棱柱的底面一定是平行四边形D．棱锥的底面一定是三角形5．（5分）已知a=log20.3，b=20.5，c=0.20.5，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．（5分）已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形7．（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）＞1的x的取值范围是（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜﹣1}C．{x|x＜﹣2或x＞0}D．{x|x＜﹣1}或x ＞1}9．（5分）已知函数f（x）=，则函数y=f（1﹣x）的大致图象（）A． B．C．D．10．（5分）方程log2x+log2（x﹣1）=1的解集为M，方程22x+1﹣9•2x+4=0的解集为N，那么M与N的关系是（）A．M=N B．M⊊N C．N⊊M D．M∩N=φ11．（5分）已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下面四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n②若m，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若m，n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β④如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n上面命题中，正确的序号为（）A．①②B．①③C．③④D．②③④12．（5分）已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为S正、S柱、S球，则（）A．S正＜S球＜S柱B．S正＜S柱＜S球C．S球＜S柱＜S正D．S球＜S正＜S柱二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知幂函数，若f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是．14．（5分）若log a＜1，则a的取值范围是．15．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为．16．（5分）已知四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC将△ADC向上折起，使D为D′，且平面AD′C⊥平面ABC，F是AD′的中点，E是AC上一点，给出下列结论：①存在点E，使得EF∥平面BCD′②存在点E，使得EF⊥平面ABC③存在点E，使得D′E⊥平面ABC④存在点E，使得AC⊥平面BD′E′其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|4≤2x＜128}，B={x|0＜log2x≤64}，M={x|a ﹣3＜x＜a+3}．（1）求A∩∁U B；（2）若M∪∁U B=R，求实数a的取值范围．18．（12分）已知f（x）=（log x）2﹣2log x+4，x∈[2，4]．（1）设t=log x，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的值域．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E，F分别为PC，BD的中点，恻面PAD⊥底面BCD，且PA=PD=AD=（1）求证：EF∥平面PAD（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．（3）求V P﹣ABCD20．（12分）已知f（x）=log a（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）证明函数f（x）为奇函数；（Ⅲ）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．21．（12分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：AC⊥平面BCE；（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．22．（12分）已知奇函数f（x）=（x∈R）．（1）试确定a的值；（2）判断f（x）的单调性，并证明之；（3）若方程f（x）=m在（﹣∞，0）上有解，求证：﹣1＜3f（m）＜0．2017-2018学年山东省潍坊市寿光一中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log a（3x﹣2）+2的图象恒过点（）A．（1，0） B．（1，2） C．（，0）D．（，1）【分析】根据对数函数y=log a x的图象过定点P（1，0），即可求出函数f（x）图象过定点的坐标．【解答】解：根据题意，令3x﹣2=1，解得x=1，此时y=0+2=2，∴即函数f（x）的图象过定点P（1，22）．故选：B．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．2．（5分）下列与函数y=x有相同图象的函数是（）A．y=B．y=a C．y=D．y=log a a x【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们的图象相同．【解答】解：对于A，函数y==|x|，与y=x的对应关系不同，∴函数图象不同；对于B，函数y==x（x＞0），与y=x（x∈R）的定义域不同，∴函数图象不同；对于C，函数y==x（x≠0），与y=x（x∈R）的定义域不同，∴函数图象不同；对于D，函数y=log a a x=x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴函数图象相同．故选：D．【点评】本题考查了判断函数的图象是否相同问题，是基础题．3．（5分）若lg2=a，lg3=b，则等于（）A．B．C．D．【分析】利用对数的运算性质，用lg2和lg3表示lg12和lg15，再把所给的值代入即可．【解答】解：==，∵lg2=a，lg3=b，∴=，故选：A．【点评】本题考查了对数的运算性质，对于这类有条件的求值问题，一般需要把所给的式子用已知的条件表示出来，是基础题．4．（5分）给出下列命题中正确的是（）A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B．底面是矩形的平行六面体是长方体C．棱柱的底面一定是平行四边形D．棱锥的底面一定是三角形【分析】利用棱柱、长方体、平行六面体、棱锥的结构特征求解．【解答】解：平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故A正确；三棱柱的底面是三角形，故C错误；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B 错误；四棱锥的底面是四边形，故D错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意棱柱、平行六面体、棱锥的结构特征的合理运用．5．（5分）已知a=log20.3，b=20.5，c=0.20.5，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用对数函数、指数函数的性质直接求解．【解答】解：∵a=log20.3＜log21=0，b=20.5＞20=1，0＜c=0.20.5＜0.20=1，∴a，b，c三者的大小关系为b＞c＞a．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（5分）已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形【分析】根据斜二侧画法还原直线△ABC在直角坐标系的图形，进而分析出△ABC 的形状，可得结论．【解答】解：根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2，AO=2A′O′=；∴原△ABC是一个等边三角形，如图所示．故选：A．【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图之间的关系应用问题，是基础题．7．（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．【解答】解：由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．故选：B．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．8．（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）＞1的x的取值范围是（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜﹣1}C．{x|x＜﹣2或x＞0}D．{x|x＜﹣1}或x ＞1}【分析】根据题意，由函数的解析式分x≤0和x＞0讨论分析，每种情况下先化简函数的解析式，求出x的范围，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，当x≤0时，f（x）=2﹣x﹣1，若f（x）＞1，即2﹣x﹣1＞1，解可得x＜﹣1，又由x≤0，此时x的取值范围为x＜﹣1；当x＞0时，f（x）==，若f（x）＞1，即＞1，解可得x＞1，又由x＞0，此时x的取值范围为x＞1，综合可得：x的取值范围为{x|x＜﹣1或x＞1}；故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，涉及指数对数不等式的解法，注意分段函数一般分段分析．9．（5分）已知函数f（x）=，则函数y=f（1﹣x）的大致图象（）A． B．C．D．【分析】排除法，观察选项，当x=0时y=3，故排除A，D；判断此函数在x＞0时函数值的符号，可知排除B，从而得出正确选项．【解答】解：∵当x=0时y=3，故排除A，D；∵1﹣x≤1时，即x≥0时，∴f（1﹣x）=3 1﹣x＞0，∴此函数在x＞0时函数值为正，排除B，故选：C．【点评】利用函数的性质分析本题，本题有助于使学生更好的掌握分析函数图象的一般方法．10．（5分）方程log2x+log2（x﹣1）=1的解集为M，方程22x+1﹣9•2x+4=0的解集为N，那么M与N的关系是（）A．M=N B．M⊊N C．N⊊M D．M∩N=φ【分析】解对数方程log2（x2﹣x）=1我们可以求出集合M，解指数方程22x+1﹣9•2x+4=0我们可以求出集合N，进而根据集合包含关系的判定方法，易判断出集合M，N的关系．【解答】解：∵log2x+log2（x﹣1）=1，∴log2（x2﹣x）=1，即x2﹣x=2，解得x=﹣1，或x=2，又∵x＞0，x﹣1＞0，∴函数的定义域是x＞1，M={2}；若22x+1﹣9•2x+4=0，∴2x=4，或2x=，解得x=2，x=﹣1，即N={﹣1，2}故M⊊N，故选：B．【点评】本题考查的知识点是对数方程的解法，指数方程的解法，其中解对应的指数方程和对数方程，求出集合M，N是解答本题的关键．11．（5分）已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下面四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n②若m，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若m，n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β④如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n上面命题中，正确的序号为（）A．①②B．①③C．③④D．②③④【分析】①，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或异面；②，若m，n⊂α，m∥β，n∥β且m、n相交，则α∥β；③，若m，n是两条异面直线，若m∥α，n∥α，在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线，由面面平行的判定可知α∥β；④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n；【解答】解：对于①，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或异面，故错；对于②，若m，n⊂α，m∥β，n∥β且m、n相交，则α∥β，故错；对于③，若m，n是两条异面直线，若m∥α，n∥α，在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线，由面面平行的判定可知α∥β，故正确；对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确；故选：C．【点评】本题考查了空间线线，线面，面面的位置关系，属于基础题．12．（5分）已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为S正、S柱、S球，则（）A．S正＜S球＜S柱B．S正＜S柱＜S球C．S球＜S柱＜S正D．S球＜S正＜S柱【分析】利用正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积、表面积公式，即可得出结论．【解答】解：正方体的棱长为a，体积V=a3，S正=6a2=6等边圆柱（轴截面是正方形）的高为2h，体积V=π•h2•2h=2πh3，S柱=6πh2=3球的半径为R，体积V=，S球=4πR2=∴S球＜S柱＜S正，故选：C．【点评】本题考查正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积、表面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知幂函数，若f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（3，5）．【分析】由，f（a+1）＜f（10﹣2a），知，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵，f（a+1）＜f（10﹣2a），∴，∴，解得3＜a＜5．故答案为：（3，5）．【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的性质的灵活运用．14．（5分）若log a＜1，则a的取值范围是．【分析】当a＞1时，由，可得原不等式成立．当1＞a＞0时，由，求得a的取值范围，然后把这两个a的取值范围取并集．【解答】解：当a＞1时，，成立．当1＞a＞0时，∵，∴0＜a＜．综上可得，a的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想．15．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为16π．【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H，又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，∴AC=，AB=2，∴三棱柱的体积V=××H=3，∴H=2，△ABC的外接圆半径为AB=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径R==2，∴外接球的表面积S=4π×22=16π．故答案为：16π．【点评】本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键．16．（5分）已知四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC将△ADC向上折起，使D为D′，且平面AD′C⊥平面ABC，F是AD′的中点，E是AC上一点，给出下列结论：①存在点E，使得EF∥平面BCD′②存在点E，使得EF⊥平面ABC③存在点E，使得D′E⊥平面ABC④存在点E，使得AC⊥平面BD′E′其中正确结论的序号是①②③．【分析】①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；②由平面AD′C⊥平面ABC，可知只需EF⊥AC即可使得EF⊥平面ABC；③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC；④因为ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E．【解答】解：①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF ∥平面BCD′，正确；②由平面AD′C⊥平面ABC，可知只需EF⊥AC即可使得EF⊥平面ABC，故正确；③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC，正确；④因为ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E，故不正确；故答案为：①②③．【点评】本题考查线面平行的判定，考查面面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|4≤2x＜128}，B={x|0＜log2x≤64}，M={x|a ﹣3＜x＜a+3}．（1）求A∩∁U B；（2）若M∪∁U B=R，求实数a的取值范围．【分析】（1）化简集合A、B，根据补集与交集的定义写出A∩∁U B；（2）由M∪∁U B=R写出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）集合A={x|4≤2x＜128}={x|2≤x＜7}，B={x|0＜log2x≤64}={x|1＜x≤264}，又全集U=R，∴∁U B={x|x≤1或x＞264}，∴A∩∁U B=∅；（2）由∁U B={x|x≤1或x＞264}，M={x|a﹣3＜x＜a+3}，且M∪∁U B=R，，解得a∈∅；∴实数a的取值范围是∅．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是中档题．18．（12分）已知f（x）=（log x）2﹣2log x+4，x∈[2，4]．（1）设t=log x，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的值域．【分析】（1）t=x，x∈[2，4]，可得t在x∈[2，4]上是减函数，即可得出．（2）f（x）=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3=g（t），可得g（t）在t∈[﹣2，﹣1]单调递减，即可得出值域．【解答】解：（1）t=x，x∈[2，4]，∴t在x∈[2，4]上是减函数，∴x=2时t有最大值2=﹣1；x=4时t有最小值4=﹣2．（2）f（x）=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3=g（t），∴g（t）在t∈[﹣2，﹣1]单调递减，∴t=﹣2（即x=4），取得最大值，g（﹣2）=12．t=﹣1（即x=2），取得最小值，g（﹣1）=7．所以函数f（x）的值域[7，12]．【点评】本题考查了对数函数与二次函数的单调性、值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E，F分别为PC，BD的中点，恻面PAD⊥底面BCD，且PA=PD=AD=（1）求证：EF∥平面PAD（2）求证：平面PAB⊥平面PCD（3）求V P．﹣ABCD【分析】（1）连接AC，则F是AC的中点，从而EF∥PA，由此能证明EF∥平面PAD．（2）推导出CD⊥平面PAD，从而CD⊥PA，再求出PA⊥PD，从而PA⊥平面PCD，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．=2×2=4，V P﹣ABCD=（3）点P到平面ABCD的距离h==1，S正方形ABCD．【解答】证明：（1）连接AC，则F是AC的中点，∵E为PC的中点，∴在△CPA中，EF∥PA，又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD．（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．∵PA=PD=AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°，即PA⊥PD，又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．解：（3）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，恻面PAD⊥底面BCD，且PA=PD=AD=，∴点P到平面ABCD的距离h===1，S正方形ABCD=2×2=4，∴V P===．﹣ABCD【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）已知f（x）=log a（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）证明函数f（x）为奇函数；（Ⅲ）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质能求出f（x）=log a（a＞0，且a≠1）的定义域．（Ⅱ）定义域为（﹣1，1）关于原点对称，推导出f（﹣x）=﹣f（x）．由此能证明函数f（x）为奇函数．（Ⅲ）当a＞1时，由f（x）=log a＞0，得＞1，当0＜a＜1时，由f（x）=log a＞0，得＜1，由此能求出使f（x）＞0成立的x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=log a（a＞0，且a≠1），∴＞0，解得﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．证明：（Ⅱ）定义域为（﹣1，1）关于原点对称，f（﹣x）===﹣log a=﹣f（x）．∴函数f（x）为奇函数．解：（Ⅲ）当a＞1时，由f（x）=log a＞0，得＞1，即=＞0，即＜0，解得0＜x＜1，∴当a＞1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（0，1）．当0＜a＜1时，由f（x）=log a＞0，得＜1，即=＜0，即＞0，结合﹣1＜x＜1，解得﹣1＜x＜0，∴当0＜a＜1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣1，0）．【点评】本题考查函数的定义域的求法，考查奇函数的证明，考查实数的取值范围的求法，考查对数函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21．（12分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：AC⊥平面BCE；（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．【分析】（1）AF∥BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，运用判定定理可判断．（2）运用勾股定理可判断AC⊥BC，再根据线面的转化，AF⊥平面ABCD，AF∥BE，BE⊥平面ABCD，BE⊥AC，得出AC⊥平面BCE，=V C﹣BEF得出体积即可判断．（3）CM⊥平面ABEF，V E﹣BCF【解答】解：（1）∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，∴AM=MB=2∵AD=2，AB=4．∴AC=2，CM=2，BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∵BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE．（3）∵AF⊥平面ABCD，AF⊥CM，∵CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB=A，∴CM⊥平面ABEF，∴V E=V C﹣BEF==×2×4×2=．﹣BCF【点评】本题综合考查了空间直线，几何体的平行，垂直问题，求解体积，属于中档题．22．（12分）已知奇函数f（x）=（x∈R）．（1）试确定a的值；（2）判断f（x）的单调性，并证明之；（3）若方程f（x）=m在（﹣∞，0）上有解，求证：﹣1＜3f（m）＜0．【分析】（1）因为定义域为R，奇函数有f（0）=0，解得a=﹣1；（2）利用定义证明单调性；（3）根据函数的单调性可得f（﹣1）＜f（m）＜f（0），解得即可证明结论．【解答】解：（1）∵（x）在R上是奇函数，∴f（0）=0，即=0，∴a=1（2）f（x）函数为增函数，证明如下：由（1）可得f（x）==1﹣，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则＜2．∴f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+=＜0，∴函数f（x）在R上是增函数．（3）证明：∵x∈（﹣∞，0）时，2x∈（0，1），∴1﹣∈（0，1）．若方程f（x）=m，即1﹣=m在（﹣∞，0）上有解，则m∈（﹣1，0），∵f（x）在R上是增函数，∴f（﹣1）＜f（m）＜f（0），即1﹣＜f（m）＜1﹣，∴﹣＜f（m）＜0，故：﹣1＜3f（m）＜0．【点评】本题考查了函数奇偶性、单调性、不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
寿光市2018-2019学年上学期高一年级12月数学试题及解析
寿光市2018-2019学年上学期高一年级12月数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.函数的图象恒过点（ ）A. B. C. D.2.下列与函数有相同图象的函数是（ ）A. B. C. D.3.如果，则等于（ ）A. B. C. D.4.下列说法正确的是( )A. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B. 底面是矩形的平行六面体是长方体C. 棱柱的底面一定是平行四边形D. 棱锥的底面一定是三角形5.已知，则三者的大小关系是（ ）A. B. C. D.6. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC是一个( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 三边中只有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形7.若函数且的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（ ）A. B. C. D.8.已知函数，则满足的的取值范围是（ ）A. B. C. 或 D. 或9.已知函数则函数的大致图象是图中的（ ）A. B. C. D.10.方程的解集为，方程的解集为，那么与的关系是（ ）A. B. N C. M D.11.已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下面四个命题：①若，则；②若，则；③若是两条异面直线，，则；④若，则.其中正确的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ③④D. ②③④12.已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为，则（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数，若，则的取值范围为________．14.若，则的取值范围是__________．15.在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为__________．16.已知四边形是矩形，，，沿将向上折起，使为，且平面平面,是的中点，是上一点，给出下列结论：①存在点，使得平面；②存在点，使得平面；③存在点，使得平面；④存在点，使得平面.其中正确结论的序号是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集，集合，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.18.已知.（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的值域.19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，恻面底面，且.（1）求证：平面；;（2）求证：平面平面；（3）求.20.已知函数（，且）.（1）求的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求使时的取值范围.21.如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面.（3）求三棱锥的体积．22.已知奇函数.（1）试确定的值；（2）判断的单调性，并证明之（3）若方程在上有解，求证：.【解析卷】寿光市2018-2019学年上学期高一年级12月数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.函数的图象恒过点（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】当，即时，，据此可得：函数的图象恒过点1.本题选择B选项.2.下列与函数有相同图象的函数是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】逐一考查所给的函数：A.，与题中函数的解析式不一致；B.，定义域为，与题中函数的图象不一致；C.，定义域为，与题中函数的图象不一致；D.，与题中函数的图象一致；本题选择D选项.3.如果，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由对数的运算法则有：，则：.本题选择C选项.4.下列说法正确的是( )A. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B. 底面是矩形的平行六面体是长方体C. 棱柱的底面一定是平行四边形D. 棱锥的底面一定是三角形【答案】A【解析】试题分析：对于B．底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错；对于C．棱柱的底面是平面多边形，不一定是平行四边形，故C错；对于D．棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，故D错；故选A．考点：1．命题的真假；2．空间几何体的特征．5.已知，则三者的大小关系是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合指数函数、对数函数的性质可得：，，，据此有：.本题选择A选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC是一个( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 三边中只有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形【答案】A【解析】原△ABC中，BO=OC=1，BC=2.AO BC,且AO=2 A′O′=.在直角△ABO和△ACO中AB=.AC=2.故△ABC等边三角形7.若函数且的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由函数且的图象可知，函数，则下图中对于选项A，是减函数，所以A错误；对于选项B,的图象是正确的,故选B．考点：对数函数与幂函数的图象与性质．【名师点睛】本主要考查对函数的图象识别问题，属容易题．识图问题常见类型及策略有:1．由实际情景探究函数图象，关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题；2．由解析式确定函数的图象，此类问题往往先化简函数的解析式，利用函数的性质（单调性、奇偶性、过定点等）判断，常用排除法；3．已知函数图象确定相关函数图象，此类问题主要考查函数的图象变换（如平移变换、对称变换等），要注意函数与函数、、、、等的相互关系;4．借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数的解析式，求出函数解析式后再判断函数的图象，也可采用“以静观动”，即将动点处于某特殊位置处考察函数的变化特征，从而作出选择．8.已知函数，则满足的的取值范围是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】结合函数的解析式分类讨论：当时，不等式即：，此时；当时，不等式即：，此时；综上可得：满足的的取值范围是或.本题选择D选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．9.已知函数则函数的大致图象是图中的（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，则函数的图象可由如下变换得到：首先将函数的图象关于轴对称变换，然后将函数图象向右平移1个单位长度，观察所给选项，只有D选项符合题意.本题选择D选项.10.方程的解集为，方程的解集为，那么与的关系是（ ）A. B. N C. M D.【答案】B【解析】对数方程有意义，则：，求解不等式组有：，结合对数的运算法则有：，据此可得：解方程可得：，其中舍去，据此可得：，指数方程即：，分解因式有：，据此可得方程的根为：，即：，据此可得集合M是集合N的真子集.本题选择B选项.11.已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下面四个命题：①若，则；②若，则；③若是两条异面直线，，则；④若，则.其中正确的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ③④D. ②③④【答案】C【解析】解：对于①,若α∥β,mα,nβ,则m∥n或异面，故错；对于②,若m,nα,m∥β,n∥β且m、n相交,则α∥β，故错；对于③,若m,n是两条异面直线,若m∥α,n∥α,在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线,由面面平行的判定可知α∥β，故正确；对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确；本题选择C选项.12.已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】正方体的棱长为,体积,，等边圆柱(轴截面是正方形)的高为,体积,，球的半径为,体积,∴，本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数，若，则的取值范围为________．【答案】【解析】由函数的解析式：可得函数是定义域内的单调递减函数，结合函数的单调性和函数解析式脱去符号可得不等式组：，解得：，据此可得的取值范围是.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．14.若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】利用对数函数的性质分类讨论：当时，不等式即，此时：，解集为；当时，不等式即，此时：，解集为；综上可得，的取值范围是.15.在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】∵三棱柱ABC−A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为a，又三棱柱的底面为直角三角形,BC=1,∠BAC=30∘，∴，，∴三棱柱的体积，∴，△ABC的外接圆半径为，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径，∴外接球的表面积.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.已知四边形是矩形，，，沿将向上折起，使为，且平面平面,是的中点，是上一点，给出下列结论：①存在点，使得平面；②存在点，使得平面；③存在点，使得平面；④存在点，使得平面.其中正确结论的序号是__________．【答案】①②③【解析】①存在AC中点E,则EF∥CD′,利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；②在平面内作于点，利用面面垂直的性质定理，则有平面，正确；③D′E⊥AC,利用面面垂直的性质,可得D′E⊥平面ABC，正确；④因为ABCD是矩形,AB=4,AD=3,所以B,D′在AC上的射影不是同一点,所以不存在点E,使得AC⊥平面BD ′E，故不正确；故答案为：①②③.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集，集合，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】【详解】试题分析：(1)由题意可得：，，利用集合的运算法则可得：.(2)由题意可得：或，，由题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.试题解析：（1）∵，∴.∵，∴或，∴或.（2）∵或，，且，则解得.∴实数的取值范围是.18.已知.（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的值域.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意结合对数函数的单调性可得.(2)换元后结合二次函数的性质可得函数在上是单调减函数，则函数的值域为 1 .试题解析：（1）∵函数在上是单调函数，所以.（2）令，则，由（1）得，因为函数在上是单调减函数，所以当，即时，；当，即时，，故的值域为 1 .19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，恻面底面，且.（1）求证：平面；;（2）求证：平面平面；（3）求.【答案】（1）见解析；（2）见解析.(3) .【解析】试题分析：(1)连接,利用几何关系可证得,利用线面平行的判断定理可得平面.(2)利用面面垂直的判断定理可得.结合可证得平面,利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.(3)由题意结合几何体的性质转化顶点可得，则.试题解析：（1）连接,则是的中点，∵为的中点,∴在中,,又∵平面,平面,∴平面.（2）∵平面平面，平面平面,,∴平面,∴.∵,∴是等腰直角三角形，且,即,又,∴平面,∵平面,∴平面平面.(3)因为平面平面ABCD,平面平面,又,所以平面P AD,,因为所以,所以.点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．20.已知函数（，且）.（1）求的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求使时的取值范围.【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】试题分析：(1)函数有意义，则真数为正数，据此求解分式不等式可得函数的定义域为.(2)函数的定义域关于坐标原点对称，且由函数的解析式可得可知函数为奇函数；(3)结合函数的解析式分类讨论可得：当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.试题解析：（1）由，得，故函数的定义域为.（2）∵，∴，又由（1）知函数定义域关于原点对称，∴函数是奇函数.（3）当时，由，得，解得；当时，由，得，解得.故当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.21.如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面.（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）因为四边形为矩形，所以平面，平面，所以平面．（2）过作，垂足为，因为所以四边形为矩形．所以，又因为所以，，所以，所以；因为平面，所以平面，所以，又因为平面，平面，所以平面．（3）因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面．22.已知奇函数.（1）试确定的值；（2）判断的单调性，并证明之（3）若方程在上有解，求证：.【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用奇函数满足，或者利用奇函数过坐标原点可求得.(2)结合(1)中的结论可得在上是增函数.留言单调性的定义，任取，且，计算可得，即函数在上是增函数.(3)由题意，原问题即在上有解，则1结合函数的单调性可得，，求解不等式则有.试题解析：（1）（定义法）∵是奇函数，∴，即，化简整理得.∵，∴，即.(特殊值法) ∵在上是奇函数，∴，即.∴.（2）解: 在上是增函数.证明如下：由可知，.任取，且，则.∴，∴函数在上是增函数.（3）证明：∵时，1，∴1.若方程，即在上有解，则1∵在上是增函数，∴，即，∴，故.寿光市2018-2019学年上学期高一年级12月数学试题及解析21。
2017-2018学年山东省寿光市第一中学高二12月月考数学(理)试题
2016级1部数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列条件中使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．2OM OA OB OC =-- B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=2.设点(40)B -，，(40)C ，，若ABC △的周长为18，则动点A 的轨迹方程是（ ） A ．221259x y +=（0y ≠） B ．221259y x +=（0y ≠） C ．2212516x y +=（0x ≠）D ．221169y x +=（0x ≠）3.已知向量(102)a λ=+，，，(6212)b μλ=-，，，若a b ∥，则λ与μ的值可以是（ ） A ．2，12 B ．13-，12C ．3-，2D ．2，2 4.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列，且1n n n b a a +=-（*n ∈N ），若32b =-，1012b =，则8a =（ ）A ．0B ．3 C.8 D ．11 5.抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ）A ．18B ．18- C.8 D ．8-6.已知椭圆221x y m +=（1m >）和双曲线221x y n -=（0n >）有相同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，则12PF F △的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．随m ，n 变化而变化7.在ABC △中，能使sin A >成立的充分必要条件是（ ） A ．03A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， B ．233A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， C.32A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， D ．526A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，8.已知向量(123)a =，，，(246)b =---，，，c =()7a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒ C.120︒ D ．150︒ 9.下列四个结论中正确的个数为（ ）① 命题“若21x <，则11x -<<”的逆命题是“若1x >或1x <-，则21x >”； ②已知p ：∀∈R ，sin 1x ≤，q ：若a b <，则22am bm <，则p q ∧为真命题； ③命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”； ④“2x >”是“24x >”的必要不充分条件. A ．0 B ．1 C.2 D ．310.设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2 D11.已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>），M 为椭圆上一动点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则线段1MF 的中点P 满足的曲线是（ ）A ．椭圆B ．圆 C.双曲线的一支 D ．线段12.若关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(45)，B ．(32)(45)--，， C.(45]， D ．[32)(45]--，，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是 ． 14.已知p ：10x x -≤，q ：420x x m +-≤，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是 ．15.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线过双曲线1C 的焦点，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为 ．16.已知正四棱锥如图所示，在向量PA PB PC PD -+-，PA PC +，PB PD +，PA PB PC PD +++，不能作为底面ABCD 的法向量的是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知p ：22310x x -+≤，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤. （1）若12a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围. （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ;（2）若c ABC △，求ABC △的周长. 19. 如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.（1）求异面直线1A B 与1C D 所成的余弦值； （2）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.20. 已知AOB △的一个顶点为抛物线22y x =的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且90AOB ∠=︒.（1）求证：直线AB 必过一定点； （2）求证：AOB △面积的最小值.21. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PD 的中点.（1）证明：AE CD ⊥；（2）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为AB 的中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥？若存在，求出PMMC的值；若不存在，说明理由.22.已知抛物线24y x =的焦点为2F ，点1F 与2F 关于坐标原点对称，直线m 垂直于x 轴，垂足为T ，与抛物线交于不同的两点P ，Q ，且125F P F Q ⋅=-. （1）求点T 的横坐标.（2）若以1F ，2F 为焦点的椭圆C 过点(1（ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（ⅱ）过点2F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，设22F A F B λ=，若[21]λ∈--，，求T A T B+的取值范围.答案一、选择题1-5:CAABB 6-10:BCCBD 11、12：AD二、填空题13.8 14.[6)+∞，1 16.① 三、解答题17.解：①当12a =时，1:12p x ≤≤ q ：1322x ≤≤∵p q ∧为真，∴p ，q 为真 ∴1121322x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤∴112x ≤≤∴112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， （2）∵p 是q 的充分不必要条件 ∴p q ⇒即p q Ü令2()(21)(1)f x x a x a a =-+++∴102(1)0f f ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩≤≤∴11(21)(1)0421(21)(1)0a a a a a a ⎧-+++⎪⎨⎪-+++⎩≤≤ ∴102a ≤≤18.解：（1）由已知及正弦定理得 2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=即2cos sin()sin C A B C +=，故2sin cos sin C C C = 可得1cos 2C =，所以3C π= （2）由已知，1sin 2ab C =，又3C π=，所以6ab =由已知及余弦定理得222cos 7a b ab C +-= 故2213a b +=，从而2()25a b += 所以ABC △的周长为5+19.解：（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(000)A ，，，(200)B ，，，(020)C ，，，(110)D ，，，1(004)A ，，，1(024)C =，，，所以1(204)A B =-，，，1(114)C D =--，， 因为111111cos A B C D A BC D A B CD⋅=，=所以异面直线1A B 与1C D（2）设平面1ADC 的法向量为1()n x y z =，，，易知(110)AD =，，，1(024)AC =，，，所以1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y y z +=⎧⎨+=⎩且取1z =，得2x =，2y =，所以1(221)n =-，，. 取平面1AA B 的一个法向量为2(010)n =，，，设平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的大小为θ，则12122cos 39n n n n θ⋅===所以sin θ=因此，平面1ADC 与平面1ABA 20.解：（1）设OA 所在的直线的方程为y kx =（0k ≠），则直线OB 的方程为1y x k =-.由22y kx y x=⎧⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或222x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点A 的坐标为222()k k ，同理可求得点B 的坐标为2(22)k k -，∴当2222k k ≠，即1k ≠±时，直线AB 的方程为222222(2)22kk y k x k k k++=--化简并整理，得1()2k y x k -=-当2x =时，恒有0y = 当2222k k=，即1k =±时，直线AB 的方程为2x =，过(20)，点. 故直线AB 过定点(20)，. （2）由于直线AB 过定点(20)，，记为点P ，所以可设直线AB 的方程为2x my =+. 由222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2240y my --=， ∴122y y m+=，124y y =-于是12y y -=()1212AOB S OP y y =⨯⨯+△1212OP y y =⨯-122=⨯⨯=∴当0m =时，AOB △的面积取得最小值，为4 21.（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥因为AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，由于AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥ （2）存在，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2AB AP ==，则(200)B ，，，(220)C ，，，(020)D ，，，(002)P ，，. 又点E 为棱PD 的中点，∴(011)E ，，， ∴(011)AE =，，，(220)BD =-，，，(202)PB =-，，设()n x y z =，，为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩不妨令1y =，可得(111)n =，，为平面PBD 的一个法向量，所以6cos AE n =，，所以直线EF 与平面PBD （3）由（2）可知(222)CP =--，，，(220)AC =，，，(200)AB =，，. ∵F 为AB 的中点，∴(100)F ，，，∴(120)FC =，，设CM CP λ=（01λ≤≤），则(12222)FM FC CM λλλ=+=--，，，由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=， ∴(12)2(22)20λλ-⨯+-⨯=，∴34λ=所以13PM MC = 22.解：（1）由题意，得2(10)F ，，1(10)F -，， 设00()P x y ，，00()Q x y -，，则0(0)T x ，，100(1)F P x y =+，，200(1)F Q x y =-， 由125F P F Q ⋅=-得220015x y --=-，即22004x y -=-，①又00()P x y ，在抛物线上，则2004y x =，②联立①②易得02x =，则点T 的横坐标为2. （2）（ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意，得1c =设椭圆C 的标准方程为22221x y a b +=（0a b >>），则221121a b +=，③ 221a b =+，④将④代入③，解得21b =或212b =-（舍去）所以2212a b =+=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（ⅱ）由题意分析知直线l 的斜率不为0， 设直线l 的方程为1x ky =+将直线l 的方程代入2212x y +=中，得22(2)210k y ky ++-=设11()A x y ，，22()B x y ，，120y y ≠，则由根与系数的关系， 可得12222ky y k +=-+，⑤ 12212y y k =-+⑥ 因为22F A F B λ=，所以12y y λ=，且0λ<. 将⑤式平方除以⑥式，得212221422y y k y y k ++=-+221422k k λλ⇒++=-+由[21]λ∈--，5122λλ⇒-+-≤≤1122λλ⇒-++≤≤02214022k k ⇒-+≤-≤，所以2207k ≤≤因为11(2)TA x y =-，，22(2)TB x y =-， 所以1212(4)TA TB x x y y +=+-+，.又12222k y y k +=-+，所以2121224(1)4()22k x x k y y k ++-=+-=-+故2221212(4)()TA TB x x y y +=+-++ 222222216(1)4(2)(2)k k k k +=+++ 2222216(2)28(2)8(2)k k k +-++=+222288162(2)k k =-+++ 令212t k =+，因为2207k ≤≤ 所以27111622k +≤≤，即71[]162t ∈，， 所以222717828168()42TA TB t t t +=-+=--而71[]162t ∈，，所以所以[2TA TB +∈。
山东省寿光现代中学2017届高三12月月考理数试题 Word版含解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，复平面内表示复数2iz i-=+的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】C 【解析】 试题分析:因i i i z --=--=515)5(,故应选C. 考点：复数的运算及几何意义.2.已知集合{}211M x x =-<，{}31x N x =>，则M N = （ ） A ．∅ B ．{}01x x << C ．{}1x x < D ．{}0x x < 【答案】B考点：不等式的解法与集合的交集运算.3.若log 20a <（0a >，且1a ≠），则函数()()log 1a f x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析:由log 20a <可得10<<a ,故()()log 1a f x x =+是),1(+∞-上的单调递减函数.故应选B.考点：对数不等式的解法与对数函数的单调性及图象.4.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且25744a a a ⋅=，21a =，则1a =（ ） A．2 C.12D【答案】D 【解析】试题分析:由等比数列的通项的性质可得24264a a =,则44=q ,故22=q ,即2=q ,故211=a .故应选D.考点：等比数列的通项及性质的灵活运用.5.已知变量 x y ，满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．5- C.52D ．3- 【答案】A 【解析】试题分析:画出不等式组表示的区域如图,因32z x y =+,故223zx y +-=,结合图形可知当动直线223zx y +-=经过点)1,2(-A 时,在y 轴上的截距最大,其最大值为41223max =⨯-⨯=z ,故应选A.3z考点：线性规划的知识及运用.【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时先准确的画出直不等式组11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的区域,再搞清223z x y +-=的几何意义,将问题转化为求动直线223z x y +-=在y 轴上的截距2z的最大值的问题. 结合图象可以看出当动直线223zx y +-=经过点)1,2(-A 时, 目标函数32z x y =+取得最大值为41223max =⨯-⨯=z ,使得问题获解.6.过点()0 1，且与曲线11x y x +=-在点()3 2，处的切线垂直的直线的方程为（ ） A ．210x y +-= B ．210x y -+= C.220x y -+= D ．220x y +-= 【答案】B考点：导数的几何意义及直线与直线的位置关系的综合运用.7. 下图给出的是计算111124620++++…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A ．10i <B ．10i > C.11i < D ．11i > 【答案】B考点：算法流程图的识读及理解.8.关于直线 m n ，与平面 αβ，，有以下四个命题：①若 m n αβαβ∥，∥且∥，则m n ∥； ②若 m n αβαβ⊥⊥∥，且，则m n ∥；③若 m n αβαβ⊥，∥且∥，则m n ⊥； ④若 m n αβαβ⊥⊥⊥，且，则m n ⊥. 其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个 【答案】B 【解析】试题分析:容易判定答案①②是错误的,答案③④是正确的,故应选B. 考点：空间直线与平面的位置关系及运用.9.抛物线()211:02C y x p p =>的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（ ）AB【答案】C考点：抛物线及双曲线的几何性质等知识的综合运用.【易错点晴】本题是一道考查双曲线与抛物线的位置关系的综合问题.解答本题时,直接依据题设条件运用双曲线和抛物线的几何性质,求得抛物线与双曲线的焦点坐标分别为的),(),0,2(),2,0(002y x M F pF ,进而借助1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线建立方程求得p x 330=,从而确定)61,33(p p M ;再依据三点),(),0,2(),2,0(002y x M F p F 共线,求出334=p ,使得问题获解. 10.已知函数()100 0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，，，则关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有5个不同实数解的充要条件是（ ）A ．2b >-且0c >B ．2b <-且0c < C.2b ≥-且0c = D ．2b <-且0c =【答案】C 【解析】试题分析:因当0≠x 时,2||1|||1|)(≥+=+=x x x x x f ,故当0=c 时,0)(=x f 或b x f -=)(,由题设可知当2≤-b ,即2-≥b 时,关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有5个不同实数解.故应选C.考点：函数的图象、方程的根的个数、基本不等式等知识的综合运用.【易错点晴】函数方程思想是高中数学中重要的数学思想和常用的数学思想之一,本题以分段函数()100 0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，，为背景,设置了含)(x f 的方程()()20f x bf x c ++=有5个不同实数解的充要条件的综合问题.考查是借助基本初等函数的图象和所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解时要充分借助题设条件与题设信息,运用函数方程思想与化归转化的数学思想,先运用基本不等式求得2||1|||1|)(≥+=+=x x x x x f ,继而分析探求,使得问题获解. 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11.若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k = ． 【答案】2考点：绝对值不等式的解法及二次不等式的解法及运用．12.三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为 ． 【答案】144 【解析】试题分析:由题设运用插空法可得1443433=⋅A A .故应填答案144. 考点：排列组合数公式及运用．13.过点()3 1，作圆()()22224x y -+-=的弦，其中最短的弦长为 ．【答案】【解析】试题分析:由题设可知点)1,3(P 在圆C 内,故当PC l ⊥时,弦长最短,由于211=+=PC ,弦长22242=-=L .故应填答案考点：直线与圆的位置关系及综合运用．14.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且3 3D C D E B C B F ==，，若AC mAE nAF =+，其中 m n R ∈，，则m n += ．【答案】32考点：向量的几何运算及待定系数法的综合运用．【易错点晴】本题以平行四边形中的线段满足的向量等量关系为背景,考查的是向量的几何运算及平行四边形的有关知识的灵活运用的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件3 3DC DE BC BF == ，,求出AB AD AE 31+=,AD AB AF 31+=,再借助AC mAE nAF =+ 建立方程组2321312131=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+n m n m n m ,进而使得问题获解. 15.如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0 f x x x π=∈，及直线()()0 x a a π=∈，与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为316，则a 的值是 .【答案】23π 【解析】试题分析:由题设可得阴影部分的面积为d a xdx S a=+-==⎰1cos sin 0,矩形的面积为88=⨯=a a D ,故由几何概型的计算公式可得1638cos 1=-a ,即21cos -=a ,则32π=a .故应填答案23π. 考点：定积分的计算公式及几何概型计算公式的综合运用．【易错点晴】本题以几何概型的概率已知为背景,考查的是已知函数的解析式已知的前提下,求参数a 的值问题.解答时借助题设条件,合理运用化归转化的数学思想,先运用定积分的计算公式求得阴影部分的面积1c o s +-=a d ,再运用几何概型的计算公式建立方程1638cos 1=-a ,通过解三角方程21cos -=a ,得到32π=a ,使得问题获解. 三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）在ABC △中，内角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若1cos 4B =，2b =，求ABC △的面积S .【答案】(I)2；(II)415.（II ）由sin 2sin C A =得2c a =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =++及1cos 4B =，2b =得1a =，从而2c =.……………………………………………………8分又1cos 4B =，0B π<<得sin B =1sin 2ABC S ac B ==△.…………12分考点：正弦定理余弦定理三角变换公式等有关知识的综合运用． 17.（本小题满分12分）已知向量3sin 4a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，()cos 1b x =-，. （1）当a b∥时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()()2f x a b b =+⋅，已知在ABC △中，内角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，若a =2b =，sin B =，求()4cos 20 63f x A x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤++∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，的取值范围. 【答案】(1)58；(2)]212,123[--. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的平行条件建立方程求解；(2)依据题设运用正弦定理三角变换公式及正弦函数的图象和性质探求.考点：向量的平行条件及正弦定理三角变换公式等有关知识的综合运用．18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD与正三角形AED所在的平面互相垂直，M N，分别为棱BE AD，的中点，==，.AB AD1 2（1）证明：直线AM∥平面NEC；（2）求二面角N CE D--的余弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）如图以N 为坐标原点建立空间右手直角坐标系，所以()0 1 0A -，，，()0 1 1B -，，，()0 1 0D ，，，()0 0 0N ，，，)0 0E，，，()0 1 1C ，，，11 22M ⎫-⎪⎪⎝⎭，，，……1分（1）取EC 的中点F，所以11 22F ⎫⎪⎪⎝⎭，，， 设平面NEC 的一个法向量为() 1n x y = ，，，因为()0 1 1NC = ，，，)0 0NE =，，，所以10n NC y ⋅=+=，0n NE ⋅== ；所以()0 1 1n =-，，，…………3分因为11 22AM ⎫=⎪⎪⎝⎭，，,0n AM ⋅=，所以n AM ⊥ .……………………5分 因为AM ⊄平面NEC ，所以直线AM ∥平面NEC .……………………7分考点：线面平行的判定定理及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用． 19.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，并且对于任意*n N ∈，都有121nn n a a a +=+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}1 n n a a +，的前n 项和为n T ，求使得10002011n T >的最小正整数n . 【答案】(1)证明见解析，21n a n =-；(2)91. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等差数列的定义求解；(2)依据题设运用裂项相消求和法建立不等式分析探求.考点：等差数列的定义及裂项相消求和法等有关知识的综合运用． 20.（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，12 F F ，分别在其左、右焦点，P 在椭圆上任意一点，且12F P F P ⋅的最大值为1，最小值为2-. （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的右顶点，直线l 是与椭圆交于 M N ，两点的任意一条直线，若AM AN ⊥，证明直线l 过定点.【答案】(1) 2214x y +=；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系探求.（2）①若直线l 不垂直于x 轴，设该直线方程为y kx m =+，()()1122 M x y N x y ，，，， 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222424x k x kmx m +++=， 化简得()222148440k x kmx m +++-=，所以122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+，…………………………7分 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++()22222222224484141414k m k m m k m k k k --=-+=+++.………8分因为AM AN ⊥，所以()()1212220AM AN y y x x ⋅=+--=， 所以()121212240y y x x x x +-++=，所以2222224441640141414m k m km k k k --+++=+++，去分母得2222444164160m k m km k -+-+++= 即22121650k km m ++=.…………………………10分()()2650k m k m ++=，所以2m k =-或56k m =-， 当2m k =-时，:122m x l y x m m ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭过定点()2 0，，显然不满足题意；当56k m =-时，55:166m l y x m m x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭过定点5 06⎛⎫ ⎪⎝⎭，.考点：向量的数量积公式、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用． 【易错点晴】本题是一道考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念,求得椭圆的标准方程为2214x y +=；第二问的求解过程中,先设直线的方程y kx m =+,再借助直线与椭圆的位置关系及MNA △为等腰直角三角形建立方程02x -进行探求,从而使得问题获解. 21.（本小题满分14分）已知函数()()2ln 11f x p x p x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1p =时，()f x kx ≤恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：()()*111ln 1123n n N n+<++++∈…. 【答案】(1) 当1p >时，()f x 在()0 +∞，单调递增，当0p ≤时，()f x 在()0 +∞，单调递减，当10p -<<时，()f x 在0 ⎛ ⎝单调递增，在 ⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减；(2)1k ≥；(3)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想分类讨论；（2）借助题设构设函数,运用导数知识求解；(3)依据题设构设函数,建立不等式运用导数的知识分析推证. 试题解析：（1）()f x 的定义域为()0 +∞，，()()()221'21p x p p f x p x x x-+=+-=……2分 当1p >时，()'0f x >，故()f x 在()0 +∞，单调递增；当0p ≤时，()'0f x <，故()f x 在()0 +∞，单调递减；………………4分当10p -<<时，令()'0f x =，解得x =则当0 x ⎛∈ ⎝时，()'0f x >； x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，时，()'0f x <.故()f x 在0 ⎛ ⎝单调递增，在 ⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减.……6分考点：导数的知识分类整合思想及推理论证能力等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式()()2ln 11f x p x p x =+-+为背景,精心设置了三个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数()f x 的单调区间,求解时分类对函数()()2ln 11f x p x p x =+-+求导,分析探求出其单调区间；第二问先分析转化,再构造函数()1ln xh x x+=,运用导数的知识使得问题获解；(3)运用已知推证的结论构造不等式nn n 1ln )1ln(≤-+,从而使得不等式简捷巧妙获证.。
寿光市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案
寿光市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值2．函数f（x）=log（|x|﹣4）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣4）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（4，+∞）3．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）A．10米B．100米C．30米D．20米4．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．5．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）A．﹣7B．﹣1C．﹣1或﹣7D．6．已知i为虚数单位，则复数所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A ．B ．C ． D．8． 已知，若存在，使得，则的()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->0(1,)x ∈+∞00()'()0g x g x +=b a取值范围是（）A ．B ．C.D ．(1,)-+∞(1,0)-(2,)-+∞(2,0)-9． 设函数，则使得的自变量的取值范围为（ ）()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩()1f x ≥A ． B ．(][],20,10-∞- (][],20,1-∞- C ． D ．(][],21,10-∞- [][]2,01,10- 10．集合的真子集共有（ ）{}1,2,3A ．个B ．个C ．个D ．个11．已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（）A ．B ．C ．D ．12．二项式的展开式中项的系数为10，则（ ）(1)(N )nx n *+Î3x n =A ．5B ．6C ．8D ．10【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．二、填空题13．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数，若曲线()()ln R x f x x a a x=+-∈122e e 1x x y +=+（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________.e ()00,x y ()()00f f y y =a 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．15．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ． 16．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ． 17．已知为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点．若线段的中点的纵坐标为2，M N 、24y x =F MN，则直线的方程为_________.||||10MF NF +=MN 18．等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的自然数是________.{}n a 39||||a a =0d <n S 三、解答题19．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得到的数据：赞同反对合计男50 150200女30 170 200合计80320400（Ⅰ）能否有能否有的把握认为对这一问题的看法与性别有关？97.5%（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．参考公式：，22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++()n a b c d =+++【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识，意在考查统计的思想和基本运算能力20．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且BC=2EF ，AE=AF ，点G 是EF 的中点．（Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为，求AG 的长．21．已知数列{a n}和{b n}满足a1•a2•a3…a n=2（n∈N*），若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=3+b2．（1）求a n和b n；（2）设c n=（n∈N*），记数列{c n}的前n项和为S n，求S n．22．已知A={x|x2+ax+b=0}，B={x|x2+cx+15=0}，A∪B={3，5}，A∩B={3}，求实数a，b，c的值．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆的极坐标方程为，点为其左、右焦点，直线的参数方程为C 222123cos 4sin ρθθ=+12,F F （为参数，）.2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t R ∈（1）求直线和曲线的普通方程；C （2）求点到直线的距离之和.12,F F 24．记函数f （x ）=log 2（2x ﹣3）的定义域为集合M ，函数g （x ）=的定义域为集合N ．求：（Ⅰ）集合M ，N ；（Ⅱ）集合M ∩N ，∁R （M ∪N ）．寿光市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选D．2．【答案】D【解析】解：由题意：函数f（x）=log（|x|﹣4），其定义域为{x|x＞4或x＜﹣4}．令t=|x|﹣4，t＞0，则函数f（x）=log（|x|﹣4）转化为g（t）=在其定义域内是单调减函数．而函数t=|x|﹣4，当x在（﹣∞，4）时，函数t是单调减函数，当x在（4，+∞）时，函数t是单调增函数．根据复合函数的单调性“同增异减”，可得：函数f（x）=log（|x|﹣4）的单调递减区间为（4，+∞）．故选D．【点评】本题考查了复合函数的单调性的问题，要抓住定义域，利用根据复合函数的单调性“同增异减”求解．属于基础题．3．【答案】C【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BDRt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30米在△BCD中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，由余弦定理可得：CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900∴CD=30米（负值舍去）故选：C【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．4．【答案】A【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．5．【答案】A【解析】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．所以，解得m=﹣7．故选：A．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．6．【答案】A【解析】解：==1+i，其对应的点为（1，1），故选：A．7．【答案】B【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；对C：在（-和（上单调递增，但在定义域上不单调，故C错；故答案为：B8．【答案】A【解析】考点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.9． 【答案】A 【解析】考点：分段函数的应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键.10．【答案】C 【解析】考点：真子集的概念.11．【答案】A【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段， 上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：故选A．【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视． 12．【答案】B【解析】因为的展开式中项系数是，所以，解得，故选A ．(1)(N )n x n *+Î3x 3C n 3C 10n =5n =二、填空题13．【答案】1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】结合函数的解析式：可得：，122e e 1x x y +=+()()122221'1x x x e e y e +-=+令y ′=0，解得：x =0，当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减，则当x =0时，取最大值，最大值为e ，∴y 0的取值范围（0，e ]，结合函数的解析式：可得：，()()R lnxf x x a a x=+-∈()22ln 1'x x f x x -+=x ∈（0，e ），，()'0f x >则f （x ）在（0，e ）单调递增，下面证明f （y 0）=y 0．假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0．同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0．综上可得：f （y 0）=y 0．令函数．()ln x f x x a x x=+-=设，求导，()ln x g x x =()21ln 'x g x x -=当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0，g （x ）在（0，e ）单调递增，当x =e 时取最大值，最大值为，()1g e e =当x →0时，a →-∞，∴a 的取值范围.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．14．【答案】 ．【解析】解：在△ABC 中，∵6a=4b=3c∴b=，c=2a ，由余弦定理可得cosB===．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a 表示b ，c 是解决问题的关键，属于基础题．15．【答案】 ．【解析】解：由题意可得，2a ，2b ，2c 成等差数列∴2b=a+c∴4b2=a2+2ac+c2①∵b2=a2﹣c2②①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0∵∴5e2+2e﹣3=0∵0＜e＜1∴故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题 16．【答案】 （，） ．【解析】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①∵点A（2，0），点B（0，3），∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）．故答案是：（，）．【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【答案】20x y --=【解析】解析： 设，那么，，∴线段1122(,)(,)M x y N x y 、12||||210MF NF x x +=++=128x x +=MN 的中点坐标为.由，两式相减得，而，∴(4,2)2114y x =2224y x =121212()()4()y y y y x x +-=-1222y y +=，∴直线的方程为，即.12121y y x x -=-MN 24y x -=-20x y --=18．【答案】或【解析】试题分析：因为，且，所以，所以，所以，所以0d <39||||a a =39a a =-1128a d a d +=--150a d +=，所以，所以取得最大值时的自然数是或．60a =0n a >()15n ≤≤n S 考点：等差数列的性质．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出，所以是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的一个150a d +=60a =易错点．三、解答题19．【答案】【解析】（Ⅰ）根据题中的数据计算：()224005017030150 6.2580320200200⨯⨯-⨯K ==⨯⨯⨯因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关（Ⅱ）由已知得抽样比为，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为，选81=8010,,,,,1,2,3a b c d e取2人共有，，，，，，，，，，，{},a b {},a c {},a d {},a e {},1a {},2a {},3a {},b c {},b d {},b e {},1b ，，，，，，，，，，，，{},2b {},3b {},c d {},c e {},1c {},2c {},3c {},d e {},1d {},2d {},3d {},1e ，，，，28个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个{},2e {},3e {}1,2{}1,3{}2,3基本事件，故所求概率为．189=2814P =20．【答案】【解析】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为AE=AF ，点G 是EF 的中点，所以AG ⊥EF ．又因为EF ∥AD ，所以AG ⊥AD ．…因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD=AD ，AG ⊂平面ADEF ，所以AG ⊥平面ABCD ．…（Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AG 、AD 、AB 两两垂直．以A 为原点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系则A （0，0，0），B （4，0，0），C （4，4，0），设AG=t （t ＞0），则E （0，1，t ），F （0，﹣1，t ），所以=（﹣4，﹣1，t ），=（4，4，0），=（0，1，t ）．…设平面ACE 的法向量为=（x ，y ，z ），由=0， =0，得，令z=1，得=（t ，﹣t ，1）．因为BF 与平面ACE 所成角的正弦值为，所以|cos ＜＞|==，…即=，解得t 2=1或．所以AG=1或AG=．…【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．【答案】【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵数列{a n}和{b n}满足a1•a2•a3…a n=2（n∈N*），a1=2，∴，，，∴b1=1，=2q＞0，=2q2，又b3=3+b2．∴23=2q2，解得q=2．∴a n=2n．∴=a1•a2•a3…a n=2×22×…×2n=，∴．（2）c n===﹣=，∴数列{c n}的前n项和为S n=﹣+…+=﹣2=﹣2+=﹣﹣1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．【答案】【解析】解：∵A ∩B={3}，∴9+3a+b=0，9+3c+15=0．∴c=﹣8．∴B={x|x 2﹣8x+15=0}={3，5}，∵A ∪B={3，5}，A ∩B={3}，∴A={3}．∴a 2﹣4b=0，又∵9+3a+b=0∴a=﹣6，b=9．23．【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的普通方程为；（2）．2y x =-C 22143x y +=【解析】试题分析：（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．24．【答案】【解析】解：（1）由2x﹣3＞0 得x＞，∴M={x|x＞}．由（x﹣3）（x﹣1）＞0 得x＜1 或x＞3，∴N={x|x＜1，或x＞3}．（2）M∩N=（3，+∞），M∪N={x|x＜1，或x＞3}，∴C R（M∪N）=．【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题． 。
2017-2018学年山东省寿光市第一中学高二12月月考数学(理) 试题 Word版 含答案
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高二12月月考数学（理）试题一、单选题1．下列条件中使M 与A ， B ， C 一定共面的是（ ）A. 2OM OA OB OC =--B. 111532OM OA OB OC =++C. 0MA MB MC ++=D. 0OM OA OB OC +++=【答案】C【解析】由题意可知，A 选项OM OA OB OA OC =-+- （）=BA CA + ，若BA,CA为非零向量，OM 只需与面ABC 平面也可以满足，所以A 错。
B 错，可以构造一个平行六面体，使得体对角线是OM ，同时111532OAOB OC，，作基底，所以也不共面。
D 选项错，同理-OM OA OB OC =++，也可以构造一个平行六面体。
C 选项，-MA MB MC =+ ，当MB MC，为非零向量时，此为平面向量基本定理，且三个向量共了起点，所以必共面。
若MB MC，，出现了零向量，即四个点退化为三个点，必共面。
选C.2．设点()40B -，， ()40C ，，若ABC 的周长为18，则动点A 的轨迹方程是（ ）A. 221259x y +=（0y ≠）B. 221259y x +=（0y ≠）C. 2212516x y +=（0x ≠） D.221169y x +=（0x ≠） 【答案】A【解析】设A （x,y ）,由题意可得AB+AC=10=2a>BC,所以点A 在以B,C 为焦点，长半轴为5的椭圆上，且三点不共线，即点A 不在x 轴, 0y ≠。
a=5,c=4,b=3,选A. 3．已知向量()102a λ=+，，， ()6212b μλ=-，，，若a b，则λ与μ的值可以是（ ） A. 2，12 B. 13-， 12C. 3-， 2D. 2， 2 【答案】A【解析】因为a b，所以112,,2,262λμλλ+===或3λ=-，选A. 4．数列{}n a 的首项为3， {}n b 为等差数列，且1n n n b a a +=-（*n N ∈），若32b =-，1012b =，则8a =（ ）A. 0B. 3C. 8D. 11 【答案】B【解析】由题意可设等差数列的首项为1b ，公差为d ，所以103142,1037b b d -===-所以132246b b d =-=--=-，所以28n b n =-，即1n n a a +-=2n-8,()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+- =()()3(6+-4++2n 10381n n +--=+-- ）（）（）,所以83a =,选B.5．若抛物线2y ax =的准线的方程是2y =，则实数a 的值是（ ） A.18 B. 18- C. 8 D. 8- 【答案】B【解析】 方程2y ax =表示的是抛物线, 0a ∴≠， 2122y x y a a∴==⋅⋅， ∴抛物线2y ax =的准线方程是1222y a =-=⨯，解得18a =-，故选A.6．已知椭圆()2211x y m m +=>和双曲线()2210x y n n-=>有相同的焦点12,,F F P 是它们的一个交点，则12F PF ∆的形状是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随,m n 的变化而变化 【答案】B 【解析】试题分析：令122F F c =,所以211m n c -=+=,所以221,1m c n c =+=-．由椭圆的定义可知12PF PF +=,由双曲线的定义可知12PF PF -=由双曲线的对称性不妨设12PF PF -=．由1212PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩可得1P F n=,2PF =．所以()()22222222121222114PF PF m n c c c F F +=+=+=++-==,所以12F PF ∆是直角三角形．故B 正确．考点：1椭圆的定义,简单几何性质;2双曲线的定义,简单几何性质． 7．在ABC中，能使sin 2A >成立的充分必要条件是（ ）A. 03A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， B. 233A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， C. 32A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， D. 526A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】sin A >成立的充要条件为22,2,33k k k z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，由于在三角形中，所以A ∈ 2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭。
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高二12月月考数学(文)试题(解析版)
山东省寿光市第一中学 2017-2018 学年高二 12 月月考数学（文）试题（解析版）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1. 为小于 9 的实数时，曲线与曲线一定有相同的（ ）A. 焦距B. 准线C. 顶点D. 离心率【答案】A.【解析】试题分析：的焦距为 ，所以选 A. 考点：圆锥曲线的性质.的焦距为 ，两种曲线的焦点均在 轴上.2.焦点为 ，且与双曲线AB.【答案】D 【解析】有相同的渐近线的双曲线方程为（ ）C.D.设所求双曲线方程为，所以，即，选D.3.如果椭圆A. C. 【答案】D 【解析】 设的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） B. D.，. ，作差得：，即，所以，所以直线方程为，即。
故选 D。
4.已知双曲线A 【答案】A 【解析】的渐近线方程为 B.，则实数 m 的值等于（ ）C. 或D.解：因为双曲线的渐近线方程为，故选 A5.曲线在横坐标为 l 的点处的切线为 ，则点 P(3，2)到直线 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 试题分析：当时，，而，故切线 的方程为，即，∴到直线 的距离为.考点：导数的运用.6.已知函数在点处的切线为 ，若 与二次函数也相切，则实数 的取值为（ ）A. 12B. 8C. 0【答案】D【解析】，则，所以切线方程，的图象 D. 4又，得， ，得 。
故选 D。
7.已知点 是抛物线 为（ ）A. 1B. 2【答案】D【解析】，又中点 ，所以上一点， 为 的焦点， 的中点坐标是 ，则 的值C. 3D. 4，所以，得 。
故选 D。
8.已知函数 f(x)的导函数 f′(x)＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则 f(x)的图象可能是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】由图可知，设导函数的两个零点为 ，则原函数在单调递减， 单调递增，故选 D。
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高二12月月考数学(理)试题
2016级1部数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列条件中使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．2OM OA OB OC =-- B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=2.设点(40)B -，，(40)C ，，若ABC △的周长为18，则动点A 的轨迹方程是（ ）A ．221259x y +=（0y ≠）B ．221259y x +=（0y ≠）C ．2212516x y +=（0x ≠）D ．221169y x +=（0x ≠）3.已知向量(102)a λ=+，，，(6212)b μλ=-，，，若a b ∥，则λ与μ的值可以是（ ）A ．2，12 B ．13-，12C ．3-，2D ．2，2 4.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列，且1n n n b a a +=-（*n ∈N ），若32b =-，1012b =，则8a =（ ）A ．0B ．3 C.8 D ．11 5.抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ）A ．18B ．18- C.8 D ．8-6.已知椭圆221x y m +=（1m >）和双曲线221x y n -=（0n >）有相同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，则12PF F △的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．随m ，n 变化而变化7.在ABC △中，能使sin A 成立的充分必要条件是（ ） A ．03A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， B ．233A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， C.32A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， D ．526A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，8.已知向量(123)a =，，，(246)b =---，，，c =，若()7a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒ C.120︒ D ．150︒ 9.下列四个结论中正确的个数为（ ）① 命题“若21x <，则11x -<<”的逆命题是“若1x >或1x <-，则21x >”； ②已知p ：∀∈R ，sin 1x ≤，q ：若a b <，则22am bm <，则p q ∧为真命题； ③命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”； ④“2x >”是“24x >”的必要不充分条件. A ．0 B ．1 C.2 D ．310.设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2 D11.已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>），M 为椭圆上一动点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则线段1MF 的中点P 满足的曲线是（ ）A ．椭圆B ．圆 C.双曲线的一支 D ．线段12.若关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(45)，B ．(32)(45)--，， C.(45]， D ．[32)(45]--，，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是 ． 14.已知p ：10x x -≤，q ：420x x m +-≤，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是 ．15.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线过双曲线1C 的焦点，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为 ．16.已知正四棱锥如图所示，在向量PA PB PC PD -+-，PA PC +，PB PD +，PA PB PC PD +++，不能作为底面ABCD 的法向量的是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知p ：22310x x -+≤，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤. （1）若12a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围. （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ;（2）若c =ABC △，求ABC △的周长. 19. 如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.（1）求异面直线1A B 与1C D 所成的余弦值； （2）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.20. 已知AOB △的一个顶点为抛物线22y x =的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且90AOB ∠=︒.（1）求证：直线AB 必过一定点； （2）求证：AOB △面积的最小值.21. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PD 的中点.（1）证明：AE CD ⊥；（2）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为AB 的中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥？若存在，求出PMMC的值；若不存在，说明理由.22.已知抛物线24y x =的焦点为2F ，点1F 与2F 关于坐标原点对称，直线m 垂直于x 轴，垂足为T ，与抛物线交于不同的两点P ，Q ，且125F P F Q ⋅=-. （1）求点T 的横坐标.（2）若以1F ，2F 为焦点的椭圆C 过点(12，（ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（ⅱ）过点2F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，设22F A F B λ=，若[21]λ∈--，，求TA TB +的取值范围.答案一、选择题1-5:CAABB 6-10:BCCBD 11、12：AD二、填空题13.8 14.[6)+∞，1 16.①三、解答题17.解：①当12a =时，1:12p x ≤≤ q ：1322x ≤≤∵p q ∧为真，∴p ，q 为真 ∴1121322x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤∴112x ≤≤∴112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， （2）∵p 是q 的充分不必要条件 ∴p q ⇒即pq令2()(21)(1)f x x a x a a =-+++∴12(1)0 ff⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩≤≤∴11(21)(1)0421(21)(1)0a a aa a a⎧-+++⎪⎨⎪-+++⎩≤≤∴12a≤≤18.解：（1）由已知及正弦定理得2cos(sin cos sin cos)sinC A B B A C+=即2cos sin()sinC A B C+=，故2sin cos sinC C C=可得1cos2C=，所以3Cπ=（2）由已知，133sin2ab C=，又3Cπ=，所以6ab=由已知及余弦定理得222cos7a b ab C+-=故2213a b+=，从而2()25a b+=所以ABC△的周长为57+19.解：（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则(000)A，，，(200)B，，，(020)C，，，(110)D，，，1(004)A，，，1(024)C=，，，所以1(204)A B=-，，，1(114)C D=--，，因为111111cosA B C DA B C DA B C D⋅=，3102018==⨯.所以异面直线1A B与1C D所成角的余弦值为310.（2）设平面1ADC 的法向量为1()n x y z =，，，易知(110)AD =，，，1(024)AC =，，，所以1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y y z +=⎧⎨+=⎩且取1z =，得2x =，2y =，所以1(221)n =-，，. 取平面1AA B 的一个法向量为2(010)n =，，，设平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的大小为θ，则12122cos 39n n n n θ⋅===所以sin θ=因此，平面1ADC 与平面1ABA 20.解：（1）设OA 所在的直线的方程为y kx =（0k ≠），则直线OB 的方程为1y x k =-.由22y kx y x=⎧⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或222x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点A 的坐标为222()k k ，同理可求得点B 的坐标为2(22)k k -，∴当2222k k ≠，即1k ≠±时，直线AB 的方程为222222(2)22kk y k x k k k++=--化简并整理，得1()2k y x k -=-当2x =时，恒有0y = 当2222k k=，即1k =±时，直线AB 的方程为2x =，过(20)，点. 故直线AB 过定点(20)，.（2）由于直线AB 过定点(20)，，记为点P ，所以可设直线AB 的方程为2x my =+. 由222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2240y my --=， ∴122y y m +=，124y y =-于是12y y -=()1212AOB S OP y y =⨯⨯+△1212OP y y =⨯- 212242m =⨯⨯+ 224m =+∴当0m =时，AOB △的面积取得最小值，为4 21.（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥因为AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，由于AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥ （2）存在，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2AB AP ==，则(200)B ，，，(220)C ，，，(020)D ，，，(002)P ，，. 又点E 为棱PD 的中点，∴(011)E ，，，∴(011)AE =，，，(220)BD =-，，，(202)PB =-，， 设()n x y z =，，为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩不妨令1y =，可得(111)n =，，为平面PBD 的一个法向量，所以6cos AE n =， 所以直线EF 与平面PBD 6（3）由（2）可知(222)CP =--，，，(220)AC =，，，(200)AB =，，. ∵F 为AB 的中点，∴(100)F ，，，∴(120)FC =，，设CM CP λ=（01λ≤≤），则(12222)FM FC CM λλλ=+=--，，，由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=， ∴(12)2(22)20λλ-⨯+-⨯=，∴34λ=所以13PM MC = 22.解：（1）由题意，得2(10)F ，，1(10)F -，，设00()P x y ，，00()Q x y -，，则0(0)T x ，，100(1)F P x y =+，，200(1)F Q x y =-， 由125F P F Q ⋅=-得220015x y --=-，即22004x y -=-，① 又00()P x y ，在抛物线上，则204y x =，② 联立①②易得02x =，则点T 的横坐标为2. （2）（ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意，得1c =设椭圆C 的标准方程为22221x y a b +=（0a b >>），则221121a b+=，③ 221a b =+，④将④代入③，解得21b =或212b =-（舍去）所以2212a b =+=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（ⅱ）由题意分析知直线l 的斜率不为0， 设直线l 的方程为1x ky =+将直线l 的方程代入2212x y +=中，得22(2)210k y ky ++-=设11()A x y ，，22()B x y ，，120y y ≠，则由根与系数的关系， 可得12222ky y k +=-+，⑤ 12212y y k =-+⑥ 因为22F A F B λ=，所以12y y λ=，且0λ<. 将⑤式平方除以⑥式，得212221422y y k y y k ++=-+221422k k λλ⇒++=-+由[21]λ∈--，5122λλ⇒-+-≤≤1122λλ⇒-++≤≤02214022k k ⇒-+≤-≤，所以2207k ≤≤因为11(2)TA x y =-，，22(2)TB x y =-， 所以1212(4)TA TB x x y y +=+-+，.又12222ky y k +=-+，所以2121224(1)4()22k x x k y y k ++-=+-=-+故2221212(4)()TA TB x x y y +=+-++ 222222216(1)4(2)(2)k k k k +=+++ 2222216(2)28(2)8(2)k k k +-++=+ 222288162(2)k k =-+++ 令212t k =+，因为2207k ≤≤ 所以27111622k +≤≤，即71[]162t ∈，， 所以222717828168()42TA TB t t t +=-+=--而71[]162t ∈，，所以所以[28TA TB +∈，。
山东省寿光现代中学2017-2018学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含答案
2017-2018学年山东省寿光现代中学高一12月月考高一数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.下列各组函数表示同一函数的是（ ）．A ．()(),0,,,0x x f x g x x x R x x ≥⎧==∈⎨-<⎩ B ．()()01,f x g x X ==C ．()()2f xg x ==D ．()()211,1x f x x g x x -=+=- 2.幂函数()f x 的图像经过点（2,4），则()4f =（ ）． A ．2 B ．8 C ．16 D ．643.已知函数()2f x -=f的定义域为（ ）．A ．[)0,+∞B ．[]0,16C ．[]0,4D ．[]0,24.定义在R 上的奇函数()f x ，满足()10f =，且在()0,+∞上单调递增，则()0xf x >的解集为（ ）．A ．{}|11x x x <->或B ．{}|0110x x x <<-<<或C ．{}|011x x x <<<-或D ．{}|101x x x -<<>或5.已知函数()3log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）． A ．4 B ．14 C ．-4 D ．14- 6.已知函数()26log f x x x=-，则包含()f x 零点的区间为（ ）．A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,4）D ．()4,+∞ 7.在同一坐标系中，函数()()()0,log a a f x x x g x x =>=的图像可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．8.已知0.30.22log 0.3,2,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）． A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >>9.若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为（ ）． A ．1:2 B ．2:1 C．D10.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）． A3R B3R C3R D3R 11.已知,,a m n 是直线，,,αβγ是平面，有下列四个命题 （1）若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ； （2）若//,//αββγ，则//αγ；（3）若α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ； （4）若//,,m n m n αβ⊂⊂，则//αβ． 其中正确命题的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．312.已知函数(),x 142,12x a f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，是R 上的增函数，则a 的范围为（ ）． A ．()1,+∞ B ．（1,8） C ．[)4,8 D ．（4.8） 二、填空题（每题5分，共20分） 13.函数()f x =____________．14.化简2lg 5lg 2lg 2lg 2+-的结果为 ____________．15. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为____________．16.有下列四个命题（1）10x y =与ln y x =互为反函数，其图像关于直线y x =对称； （2）已知函数()2121f x x x -=-+，则()01f =；（3）当0a >且1a ≠时，函数()23x f x a -=+的图像必过定点（2,3）； （4）函数lg y x =的值域是R ．其中，所有正确命题的序号是____________． 三、解答题 （70分） 17.（10分）设集合1|,|,12xA x yB y y x ⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎛⎫====≤-⎨⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎩⎩⎭且，（1）求集合A B（2）设集合{}|23D x a x a =-<<，满足B D B = ，求实数a 的范围．18.（10分）已知函数()241xx f x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； （2）求解不等式()310f x ≤． 19.（12分）一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位m ）（1）试画出它的直观图； （2）求它的表面积． 20.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB BC AA AC ⊥==，1BC =，,E F 分别是11,AC BC 的中点．（1）求证：1//C F 平面ABE ； （2）求三棱锥E ABC -的体积． 21.（12分）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每一小时可获得的利润是310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元．（1） 要使生产该产品2小时获得的利润为3000元，求x 的值；（2） 要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产进度？并求此最大利润． 22.（14分）已知函数()121xaf x =-+在R 上奇函数，（1）求a ；（2）对于(]0,1x ∈，不等式()21x s f x ≥- 恒成立，求实数s 的取值范围； （3）令()()11g x f x =-，若关于x 的方程()()210g x mg x -+=有唯一实数解，求m 范围．参考答案一、选择题二、填空题13. (]5,6 14． 25 15．8000316．()4 三、解答题 17．解：由条件知1014x +<≤， ∴13x -<≤，即集合(]1,3A =-，∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1x ≤-，当D =∅时，∵23a a -≥，∴12a ≤； 当D ≠∅时，2322a aa -<⎧⎨->⎩，解得120a a ⎧>⎪⎨⎪<⎩，解集为空集，∴a 不存在，故实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．10分 18．解：（1）()241xx f x =+为偶函数，证明如下：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∵()f x 的定义域为R ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又()()12221411414xx x x xx f x f x ---====+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴()241xx f x =+为偶函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由于()310f x ≤，所以231410x x≤+， ∴()210314x x ⨯≤⨯+， 即()23221030x x ⨯-⨯+≥，∴23x ≥或123x ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 即2log 3x ≥或21log 3x ≤，∴原不等式的解集为221|log 3log 3x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分19.解：（1）直观图如图所示：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以11111,,A A A D A B 为棱的长方体的体积的34，在直角梯形11AA B B 中，作11BE A B ⊥于点E ，则四边形1AA EB 是正方形， ∴11AA BE ==，在1Rt BEB ∆中，11,1BE EB ==，∴1BB =7分∴几何体的表面积11111111112AA D D BB C C ABCD A B C D AA B D S S S S S S =++++正方形矩形正方形矩形梯形())2112121111272m =+⨯⨯+⨯++⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．（1）证明：取AB 的中点G ，连接,EG FG ，因为,E F 分别是11,AC BC 的中点， 所以//FG AC ，且12FG AC =， 因为11//AC AC ，且11AC AC =， 所以1//FG EC ，且1FG EC =， 所以四边形1FGEC 为平行四边形， 所以1//C F EG ，又因为EG ⊂平面E AB ，1C F ⊄平面ABE ，所以1//C F 平面E AB ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）解：因为12,BC 1,AB BC AA AC ===⊥，所以AB =所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA ∆==⨯⨯= ．．．．．．．．．12分21．解：（1）由题意得3200513000x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，化简得251430x x --=，解得15x =-（舍去）或3x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）生产900千克该产品获得的利润为213900005,110x x x ⎛⎫+-≤≤ ⎪⎝⎭．记()2315,1x 10f x x x=-++≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 则()211613612f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当且仅当6x =时，取到最大值，．．．．．．．．．．．．．．．．10分 获得的最大利润为619000045750012⨯=元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．（14分）（1）由题意，()f x 为R 上奇函数，()00f =， ∴2a =．．．．．．．．．．．．．2分当2a =时，()22112121x x x f x -=-=++， ∴()()21122112x xxxf x f x -----===-++， ∴()f x 为奇函数，∴2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）由（1）()2121x x f x -=+，∵(]0,1x ∈，∴(]21,2x ∈，210,210x x ->+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴不等式212121x x xs -≥-+ 恒成立，等价于21x s ≥+恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又∵(]212,3x +∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴当3s ≥时，不等式21x s ≥+恒成立，∴s 的取值范围为3s ≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）∵()()12112x g x f x +==--， ∴()()21212121022x x g x mg x m +++-+=-+=， 整理得：222210x x m m --+= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令20x t =>，则问题转化为关于t 的方程，2210t mt m --+=有一个正根或有两个相等正根．．．．．．．．．．．．．．．．10分令()()2210h t t mt m t =--+>，则函数()221h t t mt m =--+在()0,t ∈+∞有唯一零点，∴()00h ≤或()()220212410m m m -⎧->⎪⨯⎨⎪∆=--⨯-=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分由()00h ≤得10m -+≤，∴1m ≥，当1m =时，()22h t t t =-，满足题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分由()()22022410m m m -⎧->⎪⎨⎪---=⎩得012m m >⎧⎪⎨-=⎪⎩12m =，综上，m的取值范围为1m≥或12m=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。
最新版山东省寿光现代中学高一上学期12月月考数学试题 Word版含答案
高一数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组函数表示同一函数的是（ ）．A ．()(),0,,,0x x f x g x x x R x x ≥⎧==∈⎨-<⎩ B ．()()01,f x g x X ==C ．()()2f xg x ==D ．()()211,1x f x x g x x -=+=- 2.幂函数()f x 的图像经过点（2,4），则()4f =（ ）． A ．2 B ．8 C ．16 D ．643.已知函数()2f x -=f的定义域为（ ）． A ．[)0,+∞ B ．[]0,16 C ．[]0,4 D ．[]0,2 4.定义在R 上的奇函数()f x ，满足()10f =，且在()0,+∞上单调递增，则()0xf x >的解集为（ ）．A ．{}|11x x x <->或B ．{}|0110x x x <<-<<或 C ．{}|011x x x <<<-或 D ．{}|101x x x -<<>或5.已知函数()3log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）． A ．4 B ．14 C ．-4 D ．14- 6.已知函数()26log f x x x=-，则包含()f x 零点的区间为（ ）．A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,4）D ．()4,+∞ 7.在同一坐标系中，函数()()()0,log aa f x xx g x x =>=的图像可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．8.已知0.30.22log 0.3,2,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）． A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >> 9.若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为（ ）． A ．1:2 B ．2:1 C． D10.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）． A3R B3R C3R D3R 11.已知,,a m n 是直线，,,αβγ是平面，有下列四个命题 （1）若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ； （2）若//,//αββγ，则//αγ；（3）若α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ； （4）若//,,m n m n αβ⊂⊂，则//αβ． 其中正确命题的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．312.已知函数(),x 142,12x a f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，是R 上的增函数，则a 的范围为（ ）． A ．()1,+∞ B ．（1,8） C ．[)4,8 D ．（4.8） 二、填空题（每题5分，共20分） 13.函数()f x =____________．14.化简2lg5lg 2lg 2lg 2+-的结果为 ____________．15. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为____________．16.有下列四个命题（1）10x y =与ln y x =互为反函数，其图像关于直线y x =对称； （2）已知函数()2121f x x x -=-+，则()01f =；（3）当0a >且1a ≠时，函数()23x f x a -=+的图像必过定点（2,3）；（4）函数lg y x =的值域是R ．其中，所有正确命题的序号是____________．三、解答题 （70分）17.（10分）设集合1|,|,12xA x yB y y x ⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎛⎫====≤-⎨⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎩⎩⎭且，（1）求集合A B（2）设集合{}|23D x a x a =-<<，满足B D B = ，求实数a 的范围．18.（10分）已知函数()241xx f x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； （2）求解不等式()310f x ≤． 19.（12分）一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位m ）（1）试画出它的直观图； （2）求它的表面积． 20.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB BC AA AC ⊥==，1BC =，,E F 分别是11,AC BC 的中点．（1）求证：1//C F 平面ABE ； （2）求三棱锥E ABC -的体积． 21.（12分）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每一小时可获得的利润是310051x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭元． （1） 要使生产该产品2小时获得的利润为3000元，求x 的值；（2） 要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产进度？并求此最大利润．22.（14分）已知函数()121xaf x =-+在R 上奇函数， （1）求a ；（2）对于(]0,1x ∈，不等式()21xs f x ≥- 恒成立，求实数s 的取值范围；（3）令()()11g x f x =-，若关于x 的方程()()210g x mg x -+=有唯一实数解，求m 范围．参考答案一、选择题二、填空题13. (]5,6 14． 25 15．8000316．()4 三、解答题17．解：由条件知1014x +<≤， ∴13x -<≤，即集合(]1,3A =-，∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1x ≤-，当D =∅时，∵23a a -≥，∴12a ≤； 当D ≠∅时，2322a aa -<⎧⎨->⎩，解得120a a ⎧>⎪⎨⎪<⎩，解集为空集，∴a 不存在，故实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．10分18．解：（1）()241xx f x =+为偶函数，证明如下：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∵()f x 的定义域为R ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又()()12221411414xx x x xxf x f x ---====+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴()241xx f x =+为偶函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由于()310f x ≤，所以231410x x≤+， ∴()210314x x⨯≤⨯+，即()23221030x x ⨯-⨯+≥，∴23x ≥或123x≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 即2log 3x ≥或21log 3x ≤，∴原不等式的解集为221|log 3log 3x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 19.解：（1）直观图如图所示：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以11111,,A A A D A B 为棱的长方体的体积的34，在直角梯形11AA B B 中，作11BE A B ⊥于点E ，则四边形1AA EB 是正方形， ∴11AA BE ==，在1Rt BEB ∆中，11,1BE EB ==，∴1BB ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴几何体的表面积11111111112AA D D BB C C ABCD A B C D AA B D S S S S S S =++++正方形矩形正方形矩形梯形())2112121111272m =+⨯⨯+⨯++⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．（1）证明：取AB 的中点G ，连接,EG FG ，因为,E F 分别是11,AC BC 的中点， 所以//FG AC ，且12FG AC =， 因为11//AC AC ，且11AC AC =， 所以1//FG EC ，且1FG EC =， 所以四边形1FGEC 为平行四边形， 所以1//C F EG ，又因为EG ⊂平面E AB ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1//C F 平面E AB ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）解：因为12,BC 1,AB BC AA AC ===⊥，所以AB ==所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA ∆==⨯⨯=．．．．．．．．12分 21．解：（1）由题意得3200513000x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 化简得251430x x --=，解得15x =-（舍去）或3x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）生产900千克该产品获得的利润为213900005,110x x x ⎛⎫+-≤≤ ⎪⎝⎭． 记()2315,1x 10f x x x=-++≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 则()211613612f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当且仅当6x =时，取到最大值，．．．．．．．．．．．．．．．．10分 获得的最大利润为619000045750012⨯=元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．（14分）（1）由题意，()f x 为R 上奇函数，()00f =， ∴2a =．．．．．．．．．．．．．2分当2a =时，()22112121x x x f x -=-=++， ∴()()21122112x xxxf x f x -----===-++，∴()f x 为奇函数，∴2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）由（1）()2121x x f x -=+，∵(]0,1x ∈，∴(]21,2x∈，210,210x x ->+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴不等式212121x x xs -≥-+ 恒成立， 等价于21x s ≥+恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又∵(]212,3x+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴当3s ≥时，不等式21x s ≥+恒成立，∴s 的取值范围为3s ≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）∵()()12112x g x f x +==--， ∴()()21212121022x x g x mg x m +++-+=-+=， 整理得：222210xx m m --+= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令20xt =>，则问题转化为关于t 的方程，2210t mt m --+=有一个正根或有两个相等正根．．．．．．．．．．．．．．．．10分令()()2210h t t mt m t =--+>，则函数()221h t t mt m =--+在()0,t ∈+∞有唯一零点，∴()00h ≤或()()220212410m m m -⎧->⎪⨯⎨⎪∆=--⨯-=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分由()00h ≤得10m -+≤，∴1m ≥，当1m =时，()22h t t t =-，满足题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分由()()22022410m m m -⎧->⎪⎨⎪---=⎩得012m m >⎧⎪⎨-±=⎪⎩，∴12m =， 综上，m 的取值范围为1m ≥或m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题含答案
山东省寿光市第一中学2017—2018学年高一12月月考数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
函数()()log322af x x =-+的图象恒过点( ）A ．()1,0B ．()1,2C ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫⎪⎝⎭2。
下列与函数y x =有相同图象的函数是( ） A ．y =B ．log a xy a = C ．2x y x=D ．logx ay a =3。
如果lg 2,lg3a b ==，则lg12lg15等于（ ）A ．21a b a b +++B ．21a b a b +++C ．21a b a b +-+D ．221a ba b+-+4.下列命题中正确的( ）A 。
棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 B.底面是矩形的平行六面体是长方体 C.棱柱的底面一定是平行四边形 D.棱锥的底面一定是三角形 5.已知0.30.32log0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 三者的大小关系是（ ）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 6。
已知水平放置的ABC ∆按“斜二测画法"得到如图所示的直观图，其中1,B O C O A O ''''''===，那么原ABC ∆是一个（ ）A.等边三角形B.直角三角形C 。
三边中有两边相等的等腰三角形D 。
三边互不相等的三角形7。
若函数log ay x =（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则下列函数图象正确是（ )A ．B ．C ．D ．8。
已知函数()1221,0,,0,x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，则满足()1f x >的x 的取值范围是（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}1x x <-C ．{2x x <-或}0x >D ．{1x x <-或}1x > 9.已知函数()()()1331,log 1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则函数()1y f x =-的大致图象是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．10.方程()22log11x log x +-=的解集为M ，方程2129240x x +-⋅+=的解集为N ，那么M与N 的关系是（ ） A ．M N = B ．MNC ．NMD ．M N ⋂=∅11。
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题(解析版)
山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的图象恒过点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当，即时，，据此可得：函数的图象恒过点.本题选择B选项.2.下列与函数有相同图象的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】逐一考查所给的函数：A.，与题中函数的解析式不一致；B.，定义域为，与题中函数的图象不一致；C.，定义域为，与题中函数的图象不一致；D.，与题中函数的图象一致；本题选择D选项.3.如果，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由对数的运算法则有：，则：.本题选择C选项.4.下列说法正确的是( )A. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B. 底面是矩形的平行六面体是长方体C. 棱柱的底面一定是平行四边形D. 棱锥的底面一定是三角形【答案】A【解析】试题分析：对于B．底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错；对于C．棱柱的底面是平面多边形，不一定是平行四边形，故C错；对于D．棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，故D错；故选A．考点：1．命题的真假；2．空间几何体的特征．5.已知，则三者的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合指数函数、对数函数的性质可得：，，，据此有：.本题选择A选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC是一个( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 三边中只有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形【答案】A【解析】原△ABC中，BO=OC=1，BC=2.AO BC,且AO=2 A′O′=.在直角△ABO和△ACO中AB=.AC=2.故△ABC等边三角形7.若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由函数的图象可知，函数，则下图中对于选项A，是减函数，所以A错误；对于选项B,的图象是正确的,故选B．考点：对数函数与幂函数的图象与性质．【名师点睛】本主要考查对函数的图象识别问题，属容易题．识图问题常见类型及策略有:1．由实际情景探究函数图象，关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题；2．由解析式确定函数的图象，此类问题往往先化简函数的解析式，利用函数的性质（单调性、奇偶性、过定点等）判断，常用排除法；3．已知函数图象确定相关函数图象，此类问题主要考查函数的图象变换（如平移变换、对称变换等），要注意函数与函数、、、、等的相互关系;4．借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数的解析式，求出函数解析式后再判断函数的图象，也可采用“以静观动”，即将动点处于某特殊位置处考察函数的变化特征，从而作出选择．8.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】结合函数的解析式分类讨论：当时，不等式即：，此时；当时，不等式即：，此时；综上可得：满足的的取值范围是或.本题选择D选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．9.已知函数则函数的大致图象是图中的（）A. B.C. D.【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，则函数的图象可由如下变换得到：首先将函数的图象关于轴对称变换，然后将函数图象向右平移1个单位长度，观察所给选项，只有D选项符合题意.本题选择D选项.10.方程的解集为，方程的解集为，那么与的关系是（）A. B. N C. M D.【答案】B【解析】对数方程有意义，则：，求解不等式组有：，结合对数的运算法则有：，据此可得：解方程可得：，其中舍去，据此可得：，指数方程即：，分解因式有：，据此可得方程的根为：，即：，据此可得集合M是集合N的真子集.本题选择B选项.11.已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下面四个命题：①若，则；②若，则；③若是两条异面直线，，则；④若，则.其中正确的序号为（）A. ①②B. ①③C. ③④D. ②③④【答案】C【解析】解：对于①,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或异面，故错；对于②,若m,n⊂α,m∥β,n∥β且m、n相交,则α∥β，故错；对于③,若m,n是两条异面直线,若m∥α,n∥α,在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线,由面面平行的判定可知α∥β，故正确；对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确；本题选择C选项.12.已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】正方体的棱长为,体积,，等边圆柱(轴截面是正方形)的高为,体积,，球的半径为,体积,∴，本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数，若，则的取值范围为________．【答案】【解析】由函数的解析式：可得函数是定义域内的单调递减函数，结合函数的单调性和函数解析式脱去符号可得不等式组：，解得：，据此可得的取值范围是.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．14.若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】利用对数函数的性质分类讨论：当时，不等式即，此时：，解集为；当时，不等式即，此时：，解集为；综上可得，的取值范围是.15.在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】∵三棱柱ABC−A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为a，又三棱柱的底面为直角三角形,BC=1,∠BAC=30∘，∴，∴三棱柱的体积，∴，△ABC的外接圆半径为，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径，∴外接球的表面积.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.已知四边形是矩形，，沿将向上折起，使为，且平面平面,是的中点，是上一点，给出下列结论：①存在点，使得平面；②存在点，使得平面；③存在点，使得平面；④存在点，使得平面.其中正确结论的序号是__________．【答案】①②③【解析】①存在AC中点E,则EF∥CD′,利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；②在平面内作于点，利用面面垂直的性质定理，则有平面，正确；③D′E⊥AC,利用面面垂直的性质,可得D′E⊥平面ABC，正确；④因为ABCD是矩形,AB=4,AD=3,所以B,D′在AC上的射影不是同一点,所以不存在点E,使得AC⊥平面BD′E，故不正确；故答案为：①②③.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集，集合，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】【详解】试题分析：(1)由题意可得：，，利用集合的运算法则可得：.(2)由题意可得：或，，由题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.试题解析：（1）∵，∴.∵，∴或，∴或.（2）∵或，，且，则解得. ∴实数的取值范围是.18.已知.（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的值域.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意结合对数函数的单调性可得.(2)换元后结合二次函数的性质可得函数在上是单调减函数，则函数的值域为.试题解析：（1）∵函数在上是单调函数，所以.（2）令，则，由（1）得，因为函数在上是单调减函数，所以当，即时，；当，即时，，故的值域为.19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，恻面底面，且.（1）求证：平面；;（2）求证：平面平面；（3）求.【答案】（1）见解析；（2）见解析.(3) .【解析】试题分析：(1)连接,利用几何关系可证得,利用线面平行的判断定理可得平面.(2)利用面面垂直的判断定理可得.结合可证得平面,利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.(3)由题意结合几何体的性质转化顶点可得，则.试题解析：（1）连接,则是的中点，∵为的中点,∴在中,,又∵平面,平面,∴平面.（2）∵平面平面，平面平面,,∴平面,∴.∵,∴是等腰直角三角形，且,即,又,∴平面,∵平面,∴平面平面.(3)因为平面平面ABCD,平面平面,又,所以平面P AD,,因为所以,所以.点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．20.已知函数（，且）.（1）求的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求使时的取值范围.【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】试题分析：(1)函数有意义，则真数为正数，据此求解分式不等式可得函数的定义域为.(2)函数的定义域关于坐标原点对称，且由函数的解析式可得可知函数为奇函数；(3)结合函数的解析式分类讨论可得：当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.试题解析：（1）由，得，故函数的定义域为.（2）∵，∴，又由（1）知函数定义域关于原点对称，∴函数是奇函数.（3）当时，由，得，解得；当时，由，得，解得.故当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.21.如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面.（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）因为四边形为矩形，所以平面，平面，所以平面．（2）过作，垂足为，因为所以四边形为矩形．所以，又因为所以，，所以，所以；因为平面，所以平面，所以，又因为平面，平面，所以平面．（3）因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面．22.已知奇函数.（1）试确定的值；（2）判断的单调性，并证明之（3）若方程在上有解，求证：.【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用奇函数满足，或者利用奇函数过坐标原点可求得.(2)结合(1)中的结论可得在上是增函数.留言单调性的定义，任取，且，计算可得，即函数在上是增函数.(3)由题意，原问题即在上有解，则结合函数的单调性可得，，求解不等式则有.试题解析：（1）（定义法）∵是奇函数，∴，即，化简整理得.∵，∴，即.(特殊值法) ∵在上是奇函数，∴，即.∴.（2）解: 在上是增函数.证明如下：由可知，.任取，且，则.∴，∴函数在上是增函数.（3）证明：∵时，，∴.若方程，即在上有解，则∵在上是增函数，∴，即，∴，故.。
山东省寿光市高二数学12月月考试题(扫描版)(new)
山东省寿光市2017-2018学年高二数学12月月考试题（扫描版)
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山东省寿光市第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数()()log 322a f x x =-+的图象恒过点（ ）A ．()1,0B ．()1,2C ．3,04⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭2.下列与函数y x =有相同图象的函数是（ ）A ．y =．log a xy a = C ．2x y x= D ．log x a y a =3.如果lg 2,lg3a b ==，则lg12lg15等于（ ） A ．21a b a b +++ B ．21a b a b +++ C ．21a b a b +-+ D ．221a ba b+-+4.下列命题中正确的（ ）A.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B.底面是矩形的平行六面体是长方体C.棱柱的底面一定是平行四边形D.棱锥的底面一定是三角形5.已知0.30.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 三者的大小关系是（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．b a c >>6.已知水平放置的ABC ∆按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1,B O C O A O ''''''===，那么原ABC ∆是一个（ ）A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形7.若函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则下列函数图象正确是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，则满足()1f x >的x 的取值范围是（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}1x x <-C ．{2x x <-或}0x >D ．{1x x <-或}1x >9.已知函数()()()1331,log 1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则函数()1y f x =-的大致图象是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．10.方程()22log 11x log x +-=的解集为M ，方程2129240x x +-⋅+=的解集为N ，那么M 与N 的关系是（ ）A ．M N =B ．M N ÜC ．N M ÜD ．M N ⋂=∅ 11.已知,m n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下面四个命题：①若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n ；②若,,//,//m n m n αββ⊂，则//αβ；③若,m n 是两条异面直线，//,//,//,//m m n n αβαβ，则//αβ；④若,//m n αα⊥，则m n ⊥. 其中正确的序号为（ ） A.①②B.①③C.③④D.②③④12.已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为,,S S S 正柱球，则（ ）A ．S S S <<正球柱 B ．S S S <<正柱球 C ．S S S <<正球柱 D ．S S S <<正球柱 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()120f x x x -=>，若()()1102f a f a +<-，则a 的取值范围是 ．14.若2log 13a<，则a 的取值范围是 ． 15. 在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，90,30,1ACB BAC BC ∠=︒∠=︒=，且三棱柱111ABC A B C -的体积为3，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为 ．16.已知四边形ABCD 是矩形，43AB AD ==，，沿AC 将ADC ∆向上折起，使D 为D '，且平面AD C '⊥平面ABC ,F 是AD '的中点，E 是AC 上一点，给出下列结论：①存在点E ，使得//EF 平面BCD '； ②存在点E ，使得EF ⊥平面ABC ；③存在点E ，使得DE'⊥平面ABC ； ④存在点E ，使得AC ⊥平面BD E '. 其中正确结论的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集U R =，集合{}{}242128,0log 64x A x B x x =≤<=<≤，{}33M x a x a =-<<+. （1）求U A C B ⋂；（2）若U M C B R ⋃=，求实数a 的取值范围.18.已知()[]21122log 2log 4,2,4f x x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）设12log t x =，求t 的最大值与最小值； （2）求()f x 的值域.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,E F 分别为,PC BD 的中点，恻面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD AD ===（1）求证：//EF 平面PAD ；; （2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （3）求P ABCD V -. 20.已知函数()1log 1axf x x+=-（a >0，且1a ≠）. （1）求()f x 的定义域； （2）判断函数()f x 的奇偶性； （3）求使()0f x >时x 的取值范围.21.如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩边形，四边形ABCD 为直角梯形，90,//,24DAB AB CD AD AF CD AB ∠=︒====，.（1）求证：//AF 平面BCE ；; （2）求证：AC ⊥平面BCE ；; （3）求三棱锥E BCF -的体积.22.已知奇函数()()2221x x a a f x x R ⋅+-=∈+.（1）试确定a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并证明之（3）若方程()f x m =在(),0-∞上有解，求证：()130f m -<<.试卷答案一、选择题1-5:BDCAA 6-10: ABDDB 11、12：CC二、填空题13. 35a << 14. ()20,1,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭15. 16π 16.①②③三、解答题17.解：（1）∵{}42128x A x =≤<，∴{}27A x x =≤<. ∵{}16B x x =<≤， ∴{1U C B x x =≤或}6x >，∴{}27U A C B x x ⋂=≤<⋂{1x x ≤或}6x >{}67x x =<<.（2）∵{1U C B x x =≤或}6x >，{}33M x a x a =-<<+，且U M C B R ⋃=，则31,36,a a -≤⎧⎨+>⎩解得34a <≤.∴实数a 的取值范围是34a <≤.18. 解：（1）∵函数12log t x =在[]2,4上是单调涵数，所以max 1min 122log 21,log 42t t ==-==-.（2）令12log t x =，则()()()222413f x g t t t t ==-+=-+，由（1）得[]2,1t ∈--，因为函数()g t 在[]2,1--上是单调减函数，所以当2t =-，即4x =时，()max 12f x =；当1t =-，即2x =时，()min 7f x =，故()f x 的值域为[]7,12.19.证明（1）连接AC ,则F 是AC 的中点， ∵E 为PC 的中点,∴在CPA ∆中,//EF PA ,又∵PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD ,∴//EF 平面PAD .（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =,CD AD ⊥, ∴CD ⊥平面PAD ,∴CD PA ⊥.∵ PA PD AD ==, ∴PAD ∆是等腰直角三角形，且90APD ∠=︒,即PA PD ⊥, 又CD PD D ⋂=,∴PA ⊥平面PCD , ∵PA ⊂平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PCD . 20.解：（1）由101xx+>-，得11x -<<， 故函数()f x 的定义域为{}11x x -<<. （2）∵()1log 1a xf x x+=-， ∴()()11log log 11aa x xf x f x x x-+-==-=-+-， 又由（1）知函数()f x 定义域关于原点对称， ∴函数()f x 是奇函数. （3）当1a >时，由1log 0log 11a a xx+>=-， 得111xx+>-，解得01x << ； 当01a <<时，由1log 0log 11aa x x +>=-，得1011xx+<<-，解得10x -<<. 故当1a >时，x 的取值范围是{}01x x <<； 当01a <<时，x 的取值范围是{}10x x -<<.21.解：（1）因为四边形ABEF 为矩形，所以//AF BE . 又BE ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，所以//AF 平面BCE .（2）过C 作CM AB ⊥，垂足为M .因为AD DC ⊥，所以四边形ADCM 为矩形. 又24CD AB ==，. 所以2AM M B ==.又2AD =, 所以2,AC CM BC ===, 所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥. 因为AF ⊥平面ABCD ，//AF BE , 所以BE ⊥平面ABCD ,所以BE AC ⊥.又BE ⊂平面,BCE BC ⊂平面BCE ，BE BC B ⋂=，所以AC ⊥平面BCE .（3）因为AF ⊥平面ABCD ， 所以AF CM ⊥.又CM AB ⊥,AF ⊂平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ,AF AB A ⋂=, 所以CM ⊥平面ABEF .故11182423263E BCF C BEF V V BE EF CM --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.22.解：（1）（定义法）∵()f x 是奇函数， ∴()()f x f x -=-，即22222121x x x x a a a a --⋅+-⋅+-=-++， 化简整理得()()21210x a -+=. ∵20x >，∴10a -=，即1a =. (特殊值法) ∵()f x 在R 上是奇函数，∴()00f =，即0022021a a ⋅+-=+.∴1a =.（2）解: ()f x 在R 上是增函数.证明如下：由1a =可知，()21212121x x xf x -==-++. 任取12,x x R ∈，且12x x <，则1222x x <.∴()()121222112121x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()121222202121x x x x -=<++， ∴函数()f x 在R 上是增函数.（3）证明：∵(),0x ∈-∞时，()20,1x ∈， ∴()211,021x-∈-+. 若方程()f x m =，即2121x m -=+在(),0-∞上有解，则()1,0m ∈- ∵()f x 在R 上是增函数， ∴()()()10f f m f -<<，即()102212121f m -1-<<-++， ∴()103f m -<<，故()10f m -<3<.。