人教A版数学必修一《2.1《指数与指数幂的运算》(一)》教案

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人教A版高中数学必修一指数与指数幂的运算教案课时(1)

第二课时：9月21日星期二（I ）复习回顾（II ）讲授新课分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n 次方根的概念来解：25101052a a ,a )a (=∴= ；也可根据n 次方根的性质来解：2552510a )a (a ==。

问题1：观察34122510a a ,a a ==，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？43124122510510a aa,a aa====⇒，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。

问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：3232a a=是否可行？分析：假设幂的运算性质mnnm a)a (=对于分数指数幂也适用，那么2332332a a)a (==⨯，这说明32a 也是2a 的3次方根，而32a 也是a 2的3次方根（由于这里n=3，a 2的3次方根唯一），于是3232a a =。

这说明3232a a =可行。

由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>1*,,,0(>∈>=n N n m a a a n m nm 且)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a n的幂指数n 与根式的根指数n 的一致性。

根式与分数指数幂可以进行互化。

问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？分析：正例：32322510510331)2()2(,4)2()2()2(,28)8(-=-=-=-=--=-=-等等；反例：6231,2)8()8(,28)8(6262331==-=--=-=-而实际上；又如：，）（）（）（3412412888-=-=-34434124128888===-）（）（。

这样就产生了混乱，因此“a>0”这个限制不可少。

至于28)8(331-=-=-，这是正确的，但此时31)8(-不能理解为分数指数幂，31不能代表有理数（因为不能改写为62），这只表示一种上标。

高中数学2.1.1指数与指数幂的运算教案新人教A版必修1

数，负数没有 n 次方根。此时正数 a 的 n 次方根可表示为： n a (a 0)
其中 n a 表示 a 的正的 n 次方根， n a 表示 a 的负的 n 次方根。
例 3．根据 n 次方根的概念，分别求出 0 的 3 次方根， 0 的 4 次方根。解：因为不论 n 为奇数，还是偶数，都有 0n=0，所以 0 的 3 次方根， 0 的 4 次方根均为 0。
当 n 为奇数时，由 n 次方根定义得： a n a n
当 n 为偶数时，由 n 次方根定义得： a n an
则 |a | | n an | n an
综上所述： (n a) n
a, n为奇数 | a |， n为偶数
注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。（III ）例题讲解例 1．求下列各式的值：
am an
am
n
；又因为
( a )n 可看作 a m a n ，所以
b
(a)n b
an bn
可以归入性质
( ab) n
an bn (n ∈ Z) ） , 这是为下面学习分数指数幂的概念和性
高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教 A 版必修 1
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质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习
n 次根式（ n N * ）的概念。
（2）填空（ 3），（ 4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：
22=4 ，（ -2 ）2=4
2
， -2 叫 4 的平方根
23=8
2 叫 8 的立方根；
（-2 ） 3=-8 -2 叫-8 的立方根
25=32
2 叫 32 的 5 次方根

人教A版高中数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算第一、二、三课时

备用
1.要使
(5x
1
)
3 4
(x
2
1) 3
有意义,则x的取
值范围是 2
2.计算:1
(a 2
1
a2
1
)(a 2
1
a2
)(a
a2
a1)
a2
3.求值: 3 2 5 12 3 2 2
2.1.1 指数与指数幂的运算
第3课时
指数式的计算与化简
指数式的计算与化简,除了掌握定义、法则外，还要掌握一些变形技巧.根据题目的不同结构特征,灵活运用不同的技巧,才能做到运算合理准确快捷.
(2)在根式n am中,若根指数n与幂指数m有公约数时, 当a 0时可约分.当a 0时不可随意约分. 如8 32 4 3, 10 (2)2 5 2而15 (2)5 3 2.
课堂练习：课本 P54中练习第3题
课外作业：课本 P59习题2.1中A组第2，3，4题
4.下列各式中,正确的是( C )
A.6 (2)2 3 2 B.4 (3 )4 3
C .(3 2 )3 2 D.6 (2a 1)6 2a 1
小结
1.n次方根的定义:
一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次方根, 其中n 1且n N .
2.根式的简单性质: 1) 当n 1, n N *时，总有 (n a )n a.
(1)a a1 7; (2)a2 a2 47;
3
a2 (3) 1
3
a 2
1
(a
1 2
1
a2
)(a
1
a1
1
1
a2
1
a2
)

人教版高中数学必修一教材《指数与指数幂的运算》教案

2.1.1 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程1(0)n na a a -=≠;()mnm nm n mna a a a a+⋅==(),()n m mn n n na a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 1051025255()aa a a ===② 884242()a a a a ===③1212343444()aa a a ===④5105102525()aa a a===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：2323(0)a a a ==>12(0)b b b ==>5544(0)c c c ==>即：*(0,,1)m nmna a a n N n =>∈>老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.形成概念为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．让学生经历从“特殊一备选例题例1计算（1）.)01.0(41225325.0212-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（1）5.1213241)91()6449()27()0001.0(---+-+；【解析】（1）原式1122141149100⎛⎫⎛⎫=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111.61015=+-=（2）原式=232212323414])21[(])87[()3()1.0(---+-+ =3121)31()87(31.0---+-+=73142778910=+-+.【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.例2 化简下列各式：（1）313315383327----÷÷a a a a a a ；（2）33323323134)21(248a ab a abb ba a ⨯-÷++-. 【解析】（1）原式=321233153832327----÷÷a aa aa a=323732-÷÷a a a=312213732)()(-÷÷a a a=326732326732---÷=÷÷aa aa a=613221a a =+-；（2）原式=313131313231313231224)8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷++-3131313132313132323131323131312424)42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅++++-=a a a a =⋅⋅=313131.【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如8)2(])2[()2(2162166==-=-.（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.。

高中数学2.1.1指数与指数幂的运算(1)教案新人教版必修1

2.1.1 (1)指数与指数幕的运算(教学设计)内容：根式教学目标1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。

2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对“当n是偶数时，n a n |a| a (a 0)”的理解，培养学生分类讨论的意识。

a (a 0)3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。

教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。

教学难点：当n是偶数时，n a n | a | a (a的得出及运用a (a 0)教学过程一、创设情境，新课引入：问题1 (课本P48问题1):从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%.那么，在2001 ―― 2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？引导学生逐年计算，并得出规律：设x年后我国的国内生产总值为2000年的y倍，那么y 1.073x(x N*, x 20).问题2 (课本P58问题2)：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1-L根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P (-)5730.21 1 1当生物死亡了5730, 2 5730, 3 5730 ,…年后，它体内碳14的含量P分别为?,(才2, (?)3，….是正整数1 1 1指数幕.它们的值分别为1 1 1，….2 4 8一6000 一10000 一1000001 ----- 1 ----------- 1 ------------当生物死亡600 0年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为(―)5730,(_) 5730,(_) 5730，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容.二、师生互动，新课讲解：1、问题引入：(1)若x2a，则x叫a的_」如：2是4的平方根一个正数的平方根有—个，它们互为____________ 数；负数没有平方根；零的平方根是一(2)若x3a，则x叫a的.女口：2是8的立方根，一2是一8的立方根。

人教版高中数学必修1-2.1《指数与指数幂的运算(第1课时)》教学设计

2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（第一课时）（胡文娟）一、教学目标（一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础．（二）学习目标1．理解根式的概念并掌握运用根式的性质进行化简． 2．理解分数指数幂的概念．3．掌握根式与分数指数幂之间的互化．（三）学习重点1．根式与分数指数幂概念的理解． 2．分数指数幂的运算性质．（四）学习难点根式与分数指数幂的互化．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第49页至第51页，填空：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1>n ，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．式子n a 叫做根式．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）计算下列各式①364-；②44)6(1-；③)0,0(55≥≥+b a b a ）（观察上面的计算结果，你得到的结论是：（用字母表达）．详解： ①44)4()4(6433-=-⨯-⨯-=-）（； ②61)6(1)6(1)6(1)6(161)6(144444=-⨯-⨯-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-； ③()()()()()b a b a b a b a b a b a b a +=+⋅+⋅+⋅+⋅+=+555）（结论：n 为奇数，R a a a n n ∈=，；n 为偶数，⎩⎨⎧<-≥=0,0a a a a a n n ，．2．预习自测（1）若x 表示实数，则下列说法正确的是（）A ．x 一定是根式B ．x -一定不是根式C ．56x 一定是根式D ．3x -只有当0≥x 才是根式【知识点】根式的定义．【数学思想】【解题过程】根据根式定义可得C 正确．【思路点拨】根据根式的定义直接判断．【答案】C ．（2）=-552）（（） A ．4 B ．2 C ．4- D ．2-【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】()()()()()2222222555-=-⋅-⋅-⋅-⋅-=-）（．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】D ．（3）将235写为根式，则正确的是（）A ．325B ．35 C ．523 D ．35【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】32355=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系．【答案】D ．（4）将536写为分数指数幂的形式，则正确的是（） A ．356 B ．536 C ．156D ．26【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】535366=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系．【答案】B ．(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平方根一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（square root ）或二次方根．（2）立方根一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（cube root ）或三次方根．（3）正数有两个平方根，他们互为相反数，其中正的平方根称为算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根．任何一个数都有唯一一个立方根，并且这个立方根的符号与原数相同． 2.问题探究探究一根式的概念与根式的化简 ●活动① 回顾理解方根与根式的概念在初中，我们学习过二次方根概念:一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（square root ）或二次方根．其中，a 叫做被开方数．当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根．我们也学习过三次方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（cube root ）或三次方根．提问：如果一个数的4次方等于a ，那么这时候这个数叫做什么呢？这个数叫做a 的四次方根．追问：如果一个数的n 次方等于a ，那么这时候这个数又叫做什么呢？（抢答）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．【设计意图】通过回顾已学知识，从特殊到一般，让学生自己总结归纳，加深学生对根式的理解． ●活动② 根式的性质*,1)n n ∈N >表示n a 的n 次方根，等式a a n n =一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a 等于什么？（分小组讨论）若00a ==n 为奇数时，a a n n =n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n也就是说，当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数；当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．追问：a a n n =)(一定成立吗？很明显，当根式有意义的情况下a a n n =)(一定成立．综上，根式的性质有：00)1(=n ，a a n n =))(2(，a a n n =)3(（n 为大于1的奇数），⎩⎨⎧<-≥==)0()0()4(a a a a a a n n （n 为大于1的偶数）．【设计意图】通过学生自主讨论探究归纳总结，得出根式的化简方法，加深印象．探究二分数指数幂的概念★ ●活动① 探究分数指数幂的概念当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值．例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P分别为21，2)21(，3)21(，……当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(．问题：以上三个数的含义到底是什么呢？考古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P 的值．例如，当t =6000时，600057301()0.4842p ==≈（精确到0.001），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的48.4%．归纳：分数指数幂是一个数的指数为分数．【设计意图】从生活中的实际例子到数学语言，从特殊到一般，体会概念的提炼，抽象过程．探究三根式与分数指数幂的互化 ●活动① 根式与分数指数幂的互化5102552510)(a a a a ===，4123443412)(a a a a ===问题：（1）从上两个例子你能发现什么结论？结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a 的形式（2））（0,,4532>c c b a 如何表示？3232a a =，21b b =，4545c c =规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm你能得出正数的负分数指数幂的根式表示形式吗？1*()0,,,1)m m nnaa a m n N n --==>∈>正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．思考：负数的分数指数幂呢能不能用根式表示？不能，例如问题（2）中45c ，若c 为负数，则在实数范围内是不存在的． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【设计意图】从给出的例子让学生总结出正数的负分数指数幂，检查反馈学生对正数的分数指数幂概念的理解，加深对正数的分数指数幂的认识． ●活动② 巩固基础，检查反馈例1 化简327-的值是（）． A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．-9 【知识点】根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】3327333-=-=-）（．【思路点拨】根据根式的运算法则直接进行计算．【答案】B ．同类训练552)()(b a b a -+-的值是（）． A ．0 B ．)(2b a - C ．0或)(2b a - D ．b a - 【知识点】根式的化简求值．【数学思想】分类讨论思想【解题过程】【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】C ．【设计意图】检查反馈学生对根式的定义以及根式的性质的理解，进一步掌握根式的化简．例2 当x -2有意义时，化简964422+--+-x x x x 的结果为（）A ．52-x B ．12--xC ．1-D ．x 25-【知识点】根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】x -2有意义即是说02≥-x ，则2≤x ，这442+-x x x x -=-=222）（，同理x x x x -=-=+-339622）（，所以原式1-=．【思路点拨】根据n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n 对根式进行化简求值．【答案】C ．同类训练若21<a ，则化简()4212-a 的结果是（） A ．12-aB ．12--aC ．a 21-D ．a 21--【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】21<a ，则012<-a ，()a a a 2112122142-=-=-）（．【思路点拨】根据n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n 对根式进行化简求值．【答案】C ．●活动③ 强化提升、灵活应用例3 下列互化中正确的是（）A ．)0(21≠-=-x x x ）（ B ．)0(3162<=y y yC ．)0,()(4343≠=-y x xy y x ）（ D ．331x x -=【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】A 选项)0(21≠-=-x x x ，B 选项)0(3162<-=y y y ）（，D 选项331x x =．【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】C ．同类训练下列等式能成立的是（）A ．7717)(m n mn＝B ．31242)2(－＝－C ．43433)(y x y x ＋＝＋D ．833)43(23=【知识点】根式的化简，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】A 选项777)(-m n m n＝，B 选项31242)2(＝－，C 选项显然不成立．【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】D ．例4 求下列各式的值:（1）5.03132)972()27125()027.0(-+（2）1416)31()16174()23(30----⋅+【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】（1）原式09.0)35()35()3.0(233323=-+=（2）原式3903322==-= 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）09.0；（2）．同类训练求下列各式的值:（1）03115.03)27102(1.0)972(π-++--（2）313125.01041027.010)833(81)87(3)0081.0(⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯----【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】（1）原式53113103+73412=+-=+=；（2）原式983)323(31310)103(10)23(1331)103(133334444-=-+⨯-=⨯-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⨯-=．【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）11312；（2）98-．【设计意图】通过计算，加强学生对根式的性质的运用以及对根式与分数指数幂的互化过程的熟练掌握． 3．课堂总结知识梳理（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．（2）正数的分数指数幂（正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式）：)1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm ，1*()0,,N ,1)m m nna a a m n n --==>∈>重难点归纳（1）在进行根式化简时一定注意当n 为奇数时，a a n n =，n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a nn ．（2）根式化简过程中常出现乘方与开放并存，要注意两者的顺序何时可以交换，何时不能交换，并且幂指数不能随便约分．（3）在进行根式与分数指数幂的互化时，)1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm*0,,N ,1)mnaa m n n -=>∈>，其中m ，n 的位置切勿记反．（三）课后作业基础型自主突破1．设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（）． ①nmnma a =；②10=a ；③nmnm aa1=-A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【知识点】根式与分数指数幂的互化，分数指数幂．【数学思想】【解题过程】由分数指数幂的概念判断．【思路点拨】弄清根式与分数指数幂之间的互化关系．【答案】A ． 2．已知432=-x则x 等于（）A ．8±B ．81± C ．443 D ．322±【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】814143232332±=±=±==---）（x x【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系．【答案】B ．3．下列说法中正确的个数是（）①－2是16的四次方根 ②正数的n 次方根有两个 ③a 的n 次方根就是n a④a a n n =（≥a 0） A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】n 次方根和n 次根式的概念．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】①是正确的，由4(2)16-=可验证；②不正确，要对n 分奇偶讨论；③不正确，a 的n 次方根可能有一个值，可能有两个值，而n a 只表示一个确定的值，它叫根式；④正确，根据根式运算的依据，当n 为奇数时，n n a ＝a 是正确的，当n 为偶数时，若a ≥0，则有n n a ＝a ．综上，当a ≥0时，无论n 为何值均有n n a ＝a 成立．【思路点拨】根据方根与根式的定义直接进行判断．【答案】C ．4．若式子4321--）（x 有意义，则x 的取值范围是（） A ．R x ∈ B ．21≠x C ．21>x D ．21<x【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】434321121）（）（x x -=--，若4321--）（x 有意义，则021>-x ，即21<x ．【思路点拨】化分数指数幂为根式，由根式内的代数式大于0求得x 的范围．【答案】D ． 5．计算下列各式：（1）44481⨯ （2）63125.132⨯⨯【知识点】根式与分数指数幂的互化，根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】（1）62323481444444=⨯=⨯=⨯；（2）633362363322332232332125.132⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯6323332613121=⨯=⨯⨯⨯=．【思路点拨】运用根式的化简法则进行求解．【答案】（1）6；（2）6．6．化简625625++-=________．【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】32232362562522=++-=++-）（）（．【思路点拨】根号里面的部分用完全平方公式化简，再根据根式的化简得出结果．【答案】32．能力型师生共研7．a a a n n n n 2)(=+时，实数a 和正整数n 所应满足的条件．【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由a a a n n n n 2)(=+，若n 为奇数，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立；若n 为偶数，则a ≥0，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立．【思路点拨】利用指数的运算法则，对n 为奇数或偶数进行讨论．【答案】n R a ，∈为正奇数或a ≥0，n 为正偶数． 8．已知*N ∈n ，化简()111112----++++++=L _____．【知识点】根式的化简运算．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式)21)(21(21-+-=++L1112312-+=-+++-+-=n n n【思路点拨】运用以前所学过的分母有理化将原式化简，将复杂问题简单化．【答案】11-+n ．探究型多维突破 9．已知32323232-+=+-=y x ，，求下列各式的值．（1）xy y x +；（2）22y xy x +-．【知识点】根式的化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）194347347347347)32(32)32(322222=-+++-=-+++-=+）（）（x y y x ；（2）19332323232323232322222=-++-+⋅+--+-=+-）（）（y xy x 【思路点拨】直接将已知的等式带入要求的式子中，在运用根式的性质将式子化简．【答案】（1）194；（2）193．10．若0,0>>y x 且满足y xy x 152=-，求yxy x y xy x +-++322的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】y xy x 152=-即为()()035=+-y x yx ，因为0,0>>y x ，故05=-y x ，所以y x 25=，321632525325225232222==+-++⨯=+-++yyyy y y y y yxy x y xy x ．【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算．【答案】3．自助餐1．式子a a 1－经过计算可得到（）A ．a －B ．aC ．－aD ．－a －【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】由原式知a ＜0，因此2a ＝｜a ｜＝－a ，故a ＝a －，于是aa 1－＝－)1(2aa －＝－a －．【思路点拨】负数的偶次方根等于其相反数．【答案】D ．2．下列说法正确的是（）． A ．64的6次方根是2 B ．664的运算结果是2±C ．1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立D ．1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义【知识点】方根与根式的概念，根式的化简．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】A 选项考察的是正数的偶次方根有两个，且互为相反数，B 选项的运算结果应该是2，C 选项当a 为负数则不成立．【思路点拨】根据方根与根式的概念，根式的化简进行判断．【答案】D ．3．当8＜x ＜10时，＝－＋－22)10()8(x x __________．【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】2)8(－x 8-=x 8-=x ，2)10(－x x x -=-=1010．【思路点拨】当n 为偶数时，n n a ＝a ．【答案】2．4．化简：=-+20122011)23()23(____________．【知识点】根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】原式20112222⎡⎤=+⋅-⋅=-⎣⎦）））．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】32-．5．求使下列等式成立的x 的取值范围．（1）1212--=--x x x x （2）2)2()4)(2(2+-=--x x x x 【知识点】根式的化简运算．【数学思想】【解题过程】（1）12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x 或⎩⎨⎧<-≤-0102x x ，解得2≥x 或1<x ，而12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x ，解得2≥x ，所以等式成立条件为2≥x ．（2）原等式可变形为2)2()2()2(2+-=+-x x x x ，而使得a a -=2成立的条件是0≤a ，结合偶次根式的定义域即可得到⎩⎨⎧≥+≤-0202x x ，解得22≤≤-x ．【思路点拨】明确a a n n =成立的条件．【答案】（1）2≥x ；（2）22≤≤-x ．6．计算下列各式（式中字母都是正数）（1）0143231)12(3256)71(027.0-+-+-----（2）23241)32()827(0081.0+--【知识点】根式与分数指数幂的互化化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）原式[]191316449310131)4()7()103(43421313=+-+-=+-+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---（2）原式103949410394)23(10394)23()103(2323414=+-=+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--【思路点拨】正确运用根式与分数指数幂的互化法则．【答案】（1）19；（2）103．。

指数与指数幂的运算(第一课时)教案

2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)一、教材分析：本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容. 二、学习目标：①理解n 次方根与根式的概念;②正确运用根式运算性质化简、求值; ③了解分类讨论思想在解题中的应用.三、教学重点：理解有理数指数幂的含义及其运算性质．四、教学难点：理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n 次方根的运算.五、课时安排：2课时六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题:①当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?21，,...)21(,)21(32 ②当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(③由以上的实例来推断生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系式应该是什么?573021tp ⎪⎭⎫ ⎝⎛=考古学家根据上式可以知道,生物死亡t 年后,体内碳14含量P 的值.那么这些数21，,...)21(,)21(32,573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(，573021t p ⎪⎭⎫ ⎝⎛=的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识.2、学生探索,尝试解决问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?若x2=a,则x叫做a的平方根.同理,若x3=a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数.问题2:如果x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?如果一个数的4次方等于a,那么这个数叫做a的4次方根;如果一个数的5次方等于a,那么这个数叫做a的5次方根.问题3:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根;②如果x3=a,那么x叫做a的立方根;③如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根.问题4:上述结论中的n的取值有没有什么限制呢?方根的定义:一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.3、信息交流,揭示规律试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(多媒体显示,学生完成)(1)25的平方根是±5;(2)27的立方根是3;;(3)-32的5次方根是-2;(4)16的4次方根是±2;(5)a6的立方根是a2;(6)0的7次方根是0.问题5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?①以上各数的对应方根都是整数;②第(1)(4)题的答案有两个,第(2)(3)(5)(6)题的答案只有一个;③第(1)(4)题的答案中的两个根互为相反数.问题6:请仔细分析上述各题,并结合问题5中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?一个数的奇次方根只有一个;一个数的偶次方根有两个,且互为相反数.问题7:是否任何一个数都有偶次方根?0的n次方根如何规定更合理?因为任何一个数的偶次方都是非负数,所以负数没有偶次方根;0的n次方等于0,所以0的n次方根等于0.问题8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢?n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质:(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次.(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次,负的n.正的n次方根与负的na>0).注:①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作n 0=0;③当a ≥0时,n a ≥0,所以类似416=±2的写法是错误的. 另外,我们规定:式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 问题9:利用上面所学n 次方根的知识,能否求出下列各式的值? (1)(5)2;(2)38-;(3)416;(4)33)3(-a (a>0). (1)5;(2)-2;(3)2;(4)a-3.问题10:上面的计算涉及了哪几类问题? 主要涉及了(a)n 与n a 的问题.组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论: (1)(n a )n =a.例如,(3)3=27,(-2)5=-32. (2)当n 是奇数时,nn a =a ;当n 是偶数时,nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0(,)0(,a a a a 例如,33)2(-=-2,442=2;553=3,()883-=|-3|=3.4、类比前面的学习，给出并讲解分数指数幂的定义和运算性质分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．（1）．有理指数幂的运算性质①r a ·s r r a a +=),,0(Q s r a ∈>；②rss r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；③srra a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题让学生先看并一起分析讲解例题．（教材例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． 4．无理指数幂结合教材实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（二）、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题.【例1】求下列各式的值:(1)33)8(-;(2)2)10(-; (3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b ).解：（1）33)8(-=-8；（2）2)10(-=10-=10；（3）44)3(π-=;33-=-ππ（4）2)(b a -=.b a b a -=- 例2、计算下列各式的值. （1）33)(a ；（2 （1n >，且n N *∈）（3）1n >，且n N *∈）【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-；当n =3π-.（3）||x y -，当x y ≥时，x y -；当x y <时，y x -.【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n 的奇偶性对式子n na 值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.（三）、当堂检测 1.课本.321,54题、、p2、（P 56，例2）求值：①238；②1225-；③51()2-；④3416()81-.学生思考，口答，教师板演、点评． 2、解：① 223338(2)=2323224⨯===； ② 1122225(5)--=12()121555⨯--===； ③ 5151()(2)2---=1(5)232-⨯-==；④334()44162()()813-⨯-=3227()38-==3、用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）①3a 2a 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：①117333222a a a a a +=⋅==②2223a a a =⋅28233aa +==；③421332()a a ====.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)先让学生独自回忆，然后师生共同总结．本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．以下是本节课重要知识点及需要理解的概念： 1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.1.复习课本P 48~50内容,熟悉巩固有关概念和性质;2.课本P 59习题2.1A 组第1、2、4题. 八、教学反思：。

高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(一)教案新人教A版必修1

高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算（一）教案新人教A版必修1§2.1.1 指数一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；n 次方根：一般地，若nx a =，则x 叫做a 的n次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n 次方根中，正数用na 表示，如果是负数，用n a -表示，na 叫做根式.n 为奇数时，a 的n 次方根用符号na 表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？零的n 次方根为零，记为00n=举例：16的次方根为2±，527527--的次方根为等等，而27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据n 次方根的意义，可得：()nna a=肯定成立，nna表示a n的n 次方根，等式nn a a=一定成立吗？如果不一定成立，那么nna 等于什么？让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n nn a a=n 为偶数,0||,0nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩34334(3)27(8)|8|8--=--=-=小结：当n nna 绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）33(1)(8)- 2(2)(10)- 44(3)(3)π-2(4)()a b -分析：当n ||nn a a =，然后再去绝对值.()nn nn a a =是否成立，举例说明.课堂练习：1. 求出下列各式的值22211,a a a a -+=-求的取值范围. 3343334(8)(32)(23)---三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n ,x a x a n是的次方根,n 为奇数时,=n为偶数时，nx a =±2．掌握两个公式：(0),||(0)n n n a a n a n a a a a ≥⎧==⎨-<⎩n 为奇数时,()为偶数时,3．作业：P 69习题2.1 A 组第1题。

高中数学人教版必修一：2.1.1指数与指数幂的运算教学设计

数学教学设计检查结果及修改意见：合格[ ] 不合格[ ]组长（签字）：检查日期：年月日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

《指数与指数幂的运算》教案-人教A版高中数学必修一

指数与指数幂的运算学习目标：1.知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握有理数指数幂的运算性质并能熟练运用；2.过程与方法通过与初中学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和有理数指数幂的运算性质。

3.情感、态度、价值观（1）让学生感受由特殊到一般的数学思想方法（正整数指数幂正分数指数幂负分数指数幂有理数指数幂无理数指数幂）；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 教学重点：掌握并运用分数指数幂的运算性质难点：有关分数指数幂和根式的计算教学过程：一、复习引入：提问：初中时的整数指数幂，运算性质？ 00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义，1(0)n n a a a -=≠0的正整数指数幂等于00的零指数幂、负整数指数幂没有意义当,m n Z ∈时 ;()m n m n m n mn a a a a a +⋅== ；(),()n m mn n n n a a ab a b == . 二、新课讲解：探究分数指数幂的意义（1）观察以下式子,并总结出规律：a ＞0,①510a 510; ②8a =24)(a =a4=a 28; ③412a =443)(a =a3=a 412; ④210a =225)(a =a5=a 210. 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式.问：根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a ==>12(0)b b ==>54(0)c c ==>*(0,,1)m n a a n N n =>∈> 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：a mn (a>0,m,n ∈N*,n>1). 提出问题: ①负整数指数幂的意义是怎样规定的?②你能得出负分数指数幂的意义吗?③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果? ⑤既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢? 结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=n a 1(a ≠0),n ∈N*.②规定:正数的负分数指数幂的意义是a m n -=m n a 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N*,n>1).③规定:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.④若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)3162具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零.⑤规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算（1）(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈（2）()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈ 二、课堂练习：我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题：（1）做课本P54练习题1 、题2；（2）做课本P51例题2、例题3小结：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.三、课堂小结：(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a m n =n a m(a>0,m,n ∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a m n -=m n a 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质:),0,0()(),,0()(),,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+ 四、课后作业：1、课本P52例题4、例题5，P54练习3;2、自主学习课本P52---P53无理数指数幂.。

人教版高中数学必修一第二章教案和练习

高中数学必修一第二章教案和练习§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）学习目标1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.学习过程一、课前准备（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处）复习1：正方形面积公式为；正方体的体积公式为 .复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的，记作；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的，记作 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，求对折后的面积与厚度？问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅，则x 年后GDP 为2000年的多少倍？问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14关系为57301()2t P . 探究该式意义？小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察： 2(2)4±=，那么2±就叫4的；3327=，那么3就叫27的；4(3)81±=，那么3±就叫做81的 .依此类推，若n x a =,，那么x 叫做a 的 .新知：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根 ( n th root )，其中1n >,n *∈N .例如：328=2=.反思：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？33=-, 记：x =当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？例如：81的4次方根就是，记：.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是00=.试试：4b a =，则a 的4次方根为；3b a =，则a 的3次方根为 .新知：根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）.试试：计算2.反思：从特殊到一般，n结论：n a =. 当n a =；当n (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩.※ 典型例题例1求下类各式的值：（1）；（2）；（3；（4）a b <）.变式：计算或化简下列各式.（1 （2推广：=（a ≥0）.※ 动手试试练1.练2. 化简三、总结提升※ 学习小结1. n 次方根，根式的概念；2. 根式运算性质.※ 知识拓展1. 整数指数幂满足不等性质：若0a >，则0n a >.2. 正整数指数幂满足不等性质：① 若1a >，则；② 若01a <<，则01n a <<. 其中n ∈N *.1. ）.A. 3B. －3C. ±3D. 812. 625的4次方根是（）.A. 5B. －5C. ±5D. 253. 化简2是（）.A. b -B. bC. b ±D. 1b4. = .5. 计算：31. 计算：（1（2）2. 计算34a a-⨯和3(8)a+-，它们之间有什么关系？你能得到什么结论？3. 对比()n n nab a b=与()n nna ab b=，你能把后者归入前者吗？§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）1. 理解分数指数幂的概念；2. 掌握根式与分数指数幂的互化；3. 掌握有理数指数幂的运算.一、课前准备（预习教材P50~ P53，找出疑惑之处）复习1：一般地，若n x a=，则x叫做a的，其中1n>,n*∈N. 简记为：.像的式子就叫做，具有如下运算性质：n= ；= ；= .（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .二、新课导学※ 学习探究探究任务：分数指数幂引例：a >01025a a ==，则类似可得= ；23a = = .新知：规定分数指数幂如下*(0,,,1)mna a m n N n =>∈>； *1(0,,,1)mnmn a a m n N n a -==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：= ； = ；= (0,)a m N *>∈.（2）求值：238； 255； 436-； 52a -.反思：① 0的正分数指数幂为；0的负分数指数幂为 .② 分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：（0,0,,a b r s Q >>∈）r a ·r r s a a +=； ()r s rs a a =； ()r r s ab a a =．※ 典型例题例1 求值：2327；4316-； 33()5-；2325()49-.变式：化为根式.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >：（1）2b b ；（2）533b b ；（3例3 计算（式中字母均正）：（1）211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-；（2）311684()m n .小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算.例4 计算：（1334a a(0)a >；（2）312103652(2)()m n m n --÷- (,)m n N *∈；（3）÷小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：①② 无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？练1. 把851323x --⎫⎪⎪⎝⎭化成分数指数幂.练2. 计算：（1443327；（2三、总结提升学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.知识拓展放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰减后的质量为m ，λ为正的常数.1. 若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（）.A. m m n na a a ÷= B. m n mn a a a ⋅= C. ()nm m n a a += D. 01n n a a -÷= 2. 化简3225的结果是（）.A. 5B. 15C. 25D. 1253. 计算(122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是（）.A B ．Ｃ．2 D ．2- 4. 化简2327-= .5. 若102,104m n ==，则3210m n -= .1. 化简下列各式：（1）3236()49；（2.2.1⎛-⎝.§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）1. 掌握n次方根的求解；2. 会用分数指数幂表示根式；3. 掌握根式与分数指数幂的运算.一、课前准备（复习教材P48~ P53，找出疑惑之处）复习1：什么叫做根式? 运算性质？像的式子就叫做，具有性质：n=；=；= .复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？①mna=；mna-=. 其中*0,,,1a m n N n>∈>②r sa a =；()r sa=；()sab=.复习3：填空.①n为时，(0)||...........(0)xxx≥⎧==⎨<⎩.②求下列各式的值：= ；=；= ；= ；= ；=；= .二、新课导学典型例题例1 已知1122a a-+=3，求下列各式的值：（1）1a a-+；（2）22a a-+；（3）33221122a aa a----．小结：①平方法；②乘法公式；③根式的基本性质=（a≥0）等.注意，a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. .变式：已知11223a a--=，求：（1）1122a a-+；（2）3322a a--.例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用水填满，再倒出13升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？变式：n次后？小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论； ② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答. ※ 动手试试练1. 化简：11112244()()x y x y -÷-.练2. 已知x +x -1=3，求下列各式的值.（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.练3. 已知12(),0x f x x x π=⋅>.三、总结提升学习小结1. 根式与分数指数幂的运算；2. 乘法公式的运用.知识拓展1. 立方和差公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++.2. 完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++；33223()33a b a a b ab b -=-+-.1.）.A. B. C. 3 D. 729 2. 354a a (a >0)的值是（）.A. 1B. aC. 15a D. 1710a3. 下列各式中成立的是（）.A ．1777()n n m m= B ．C 34()x y =+D ．4. 化简3225()4-= . 5. 化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷= .课后作业1. 已知32x a b --=+, .2. 2n a =时, 实数a 和整数n 所应满足的条件.§2.1.2 指数函数及其性质（1）学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.学习过程一、课前准备（预习教材P 54~ P 57，找出疑惑之处）复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？（1）0a = ；（2）n a -= ；（3）m n a = ；m na -= .其中*0,,,1a m n N n >∈>复习2：有理指数幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .二、新课导学学习探究探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .反思：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =讨论：（1）函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或13后呢？a >1 0<a <1图象性质 (1)定义域：R(2)值域：（0，+∞）(3)过点（0，1），即x =0时，y =1(4)在 R 上是增函数 (4)在R 上是减函数典型例题例1函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.小结：①确定指数函数重要要素是；② 待定系数法.例2比较下列各组中两个值的大小：（1）0.60.52,2；（2）2 1.50.9,0.9-- ；（3）0.5 2.12.1,0.5 ；（4）231-与.小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.练1. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：（1）22()()33m n >；（2） 1.1 1.1m n <.练2. 比较大小：（1）0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===；（2）01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.三、总结提升学习小结①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法.知识拓展因为(01)x y a a a =>≠，且的定义域是R ，所以()(01)f x y a a a =>≠，且的定义域与()f x 的定义域相同. 而()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的定义域，由()y t ϕ=的定义域确定.学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（）.A. 1B. 2C. 1或2D. 任意值2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（）.A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2)3. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（）.4. 比较大小：23( 2.5)- 45( 2.5)-.5. 函数1()19x y =-的定义域为 . 课后作业1. 求函数y =1151x x --的定义域.2. 探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？§2.1.2 指数函数及其性质（2）学习目标1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；3. 培养数学应用意识.学习过程一、课前准备（预习教材P 57~ P 60，找出疑惑之处）复习1：指数函数的形式是，复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图：2x y =,1()2x y =,5x y =,1()5x y =, 10x y =,1()10x y =.思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律？二、新课导学典型例题例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．（1）按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？（2）从2000年起到2020年我国人口将达到多少？小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法.试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？小结：指数函数增长模型.设原有量N ，每次的增长率为p ，则经过x 次增长后的总量y = . 我们把形如x y ka = (,0,1)k R a a ∈>≠且的函数称为指数型函数.例2 求下列函数的定义域、值域：（1）21x y =+; （2）y = （3）110.4x y -=.变式：单调性如何？小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.试试：求函数y =.练1. 求指数函数212x y +=的定义域和值域，并讨论其单调性.练2. 已知下列不等式，比较,m n 的大小.（1）33m n <；（2）0.60.6m n >；（3）(1)m n a a a >> ；（4） (01)m n a a a <<<.练3. 一片树林中现有木材30000 m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 3.三、总结提升学习小结1. 指数函数应用模型(,01)x y ka k R a a =∈>≠且；2. 定义域与值域；知识拓展形如()(01)f x y a a a =>≠，且的函数值域的研究，先求得()f x 的值域，再根据t a 的单调性，列出简单的指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视()0f x y a =>. 而形如()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的函数值域的研究，易知0x a >，再结合函数()t ϕ进行研究. 在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.1. 如果函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象与函数y =b x (b >0,b ≠1)的图象关于y 轴对称，则有（）.A. a >bB. a <bC. ab =1D. a 与b 无确定关系2. 函数f (x )=3－x －1的定义域、值域分别是（）.A. R ， RB. R ， (0,)+∞C. R ，(1,)-+∞D.以上都不对3. 设a 、b 均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（）.A. y =a x 的图象与y =a －x 的图象关于y 轴对称B. 函数f (x )=a 1－x (a >1)在R 上递减C. 若a 2>a 21-，则a >1D. 若2x >1，则1x >4. 比较下列各组数的大小：122()5- 320.4-（）； 0.763（） 0.753-（）. 5. 在同一坐标系下，函数y =a x ,y =b x , y =c x , y =d x 的图象如右图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是 .课后作业1. 已知函数f (x )=a －221x +(a ∈R )，求证：对任何a R ∈， f (x )为增函数.2. 求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.§2.2.1 对数与对数运算（1）学习目标1. 理解对数的概念；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.学习过程一、课前准备（预习教材P 62~ P 64，找出疑惑之处）复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？复习2：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2002年的2倍？（只列式）二、新课导学学习探究探究任务：对数的概念问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？讨论：（1）问题具有怎样的共性？（2）已知底数和幂的值，求指数怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x .新知：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式.新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数log N 简记为lg Nlog e N 简记作ln N试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义.反思：（1）指数与对数间的关系？0,1a a >≠时，x a N =⇔ .（2）负数与零是否有对数？为什么？（3）log 1a = ， log a a = .典型例题例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）35125= ；（2）712128-=；（3）327a =；（4） 2100.01-=；（5）12log 325=-；（6）lg0.001=3-；（7）ln100=4.606.变式：12log 32?= lg0.001=？小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 例2求下列各式中x 的值：（1）642log 3x =；（2）log 86x =-；（3）lg 4x =；（4）3ln e x =.练1. 求下列各式的值.（1）5log 25 ；（2）21log 16；（3）lg 10000.练2. 探究log ?n a a = log ?a N a =三、总结提升①对数概念；②lg N 与ln N ；③指对互化；④如何求对数值知识拓展对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）男爵. 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.：1. 若2log 3x =，则x =（）.A. 4B. 6C. 8D. 92.log = （）.A. 1B. －1C. 2D. －23. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（）.A ．(,5)-∞B ．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5)4. 计算：1(3+= .5. 若log 1)1x =-，则x =________，若y =，则y =___________.课后作业1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.（1）53243=；（2）51232-=；（3）430a = （4）1() 1.032m =；（5）12log 164=-；（6）2log 1287=；（7）3log 27a =.2. 计算：（1）9log 27；（2）3log 243；（3）；（3）(2log (2；（4）.§§2.2.1 对数与对数运算（2）学习目标1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..学习过程一、课前准备（预习教材P 64~ P 66，找出疑惑之处）复习1：（1）对数定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做，记作 .（2）指数式与对数式的互化：x a N =⇔ .复习2：幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：（1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +；（2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．二、新课导学学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？问题：设log a M p =, log a N q =，由对数的定义可得：M =p a ，N =a∴MN =p a q a =p q a +，∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M + log a N根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M M N N=-；（3） log log ()n a a M n M n R =∈.反思：自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）典型例题例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：（1）2log a xy z ；（2） log a .例2计算：（1）5log 25；（2）0.4log 1；（3）852log (42)⨯；（4）探究：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c b b a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？动手试试练1. 设lg2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.练2. 运用换底公式推导下列结论.（1）log log m n a a n b b m=；（2）1log log a b b a =.练3. 计算：（1）7lg142lg lg7lg183-+-；（2）lg 243lg9.三、总结提升学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log b a b N N a=； ② 对数的倒数公式1log log a b b a=. ③ 对数恒等式：log log n n a a N N =，log log m n a a n N N=，log log log 1a b c b c a =. ※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列等式成立的是（） A ．222log (35)log 3log 5÷=-B ．222log (10)2log (10)-=-C ．222log (35)log 3log 5+=D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（）.A ．x =a +3b －cB ．35ab x c= C ．35ab x c= D ．x =a +b 3－c 3 3. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（）.A ．y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x =4. 计算：（1）99log 3log 27+=；（2）2121log log 22+= . 5. 计算：15lg 23=.1. 计算：（1；（2）2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b-=.§2.2.1 对数与对数运算（3）1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.一、课前准备（预习教材P 66~ P 69，找出疑惑之处）复习1：对数的运算性质及换底公式.如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()a MN = ；（2）log a M N= ；（3） log n a M = .换底公式log a b = .复习2：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56.复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？（用式子表示）二、新课导学※ 典型例题例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）小结：读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？反思：① P 和t 之间的对应关系是一一对应；② P 关于t 的指数函数(x P =，则t 关于P 的函数为 . ※ 动手试试练1. 计算：（1）0.21log 35-；（2）4912log 3log 2log ⋅-练2. 我国的GDP 年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP 在2007年的基础上翻两番？三、总结提升※ 学习小结1. 应用建模思想（审题→设未知数→建立x 与y 之间的关系→求解→验证）；2. 用数学结果解释现象.※ 知识拓展在给定区间内，若函数()f x 的图象向上凸出，则函数()f x 在该区间上为凸函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≥；在给定区间内，若函数()f x 的图象向下凹进，则函数()f x 在该区间上为凹函数，结合图象易得到1212()()()x x f x f x f ++≤.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 25()a -（a ≠0）化简得结果是（）.A ．－aB ．a 2C ．｜a ｜D ．a2. 若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（）.A. 3B.C.D.3. 已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（）.A ．15BC ．D ．2254. 若3a ＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 .5. 已知lg20.3010=，lg1.07180.0301=，则lg2.5= ；1102= ．1. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++；（2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.2. 若()()lg lg 2lg 2lg lg x y x y x y -++=++，求x y的值．§2.2.2 对数函数及其性质（1）1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.一、课前准备（预习教材P 70~ P 72，找出疑惑之处）复习1：画出2x y =、1 ()2x y =的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式）二、新课导学※ 学习探究探究任务一：对数函数的概念讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系logt P =，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数）新知：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logarithmic function)，自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞）.反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (0a >，且1)a ≠．探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.2log y x =；0.5log y x =.反思：（（2）图象具有怎样的分布规律？※ 典型例题例1求下列函数的定义域：（1）2log a y x =；（2）log (3)a yx =-；变式：求函数y =的定义域.例2比较大小：（1）ln3.4,ln8.5；（2）0.30.3log 2.8,log 2.7；（3）log 5.1,log 5.9a a .小结：利用单调性比大小；注意格式规范.※ 动手试试练1. 求下列函数的定义域.（1）0.2log (6)y x =--；（2）y .练2. 比较下列各题中两个数值的大小.（1）22log 3log 3.5和；（2）0.30.2log 4log 0.7和；（3）0.70.7log 1.6log 1.8和；（4）23log 3log 2和．三、总结提升※ 学习小结1. 对数函数的概念、图象和性质；2. 求定义域；3. 利用单调性比大小.※ 知识拓展对数函数凹凸性：函数()log ,(0,1)a f x x a a =>≠，12,x x 是任意两个正实数.当1a >时，1212()()()22f x f x x xf ++≤；当01a <<时，1212()()()22f x f x x xf ++≥.学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（）.2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（）. A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. [)2,+∞ D. [)3,+∞3. 不等式的41log 2x >解集是（）. A. (2,)+∞ B. (0,2)B. 1(,)2+∞ D. 1(0,)24. 比大小：（1）log 67 log 7 6 ；（2）log 31.5 log 2 0.8. 5. 函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 .1. 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：（1）3log m ＜3log n ；（2）0.3log m ＞0.3log n ；（3）log a m ＞log a n (a ＞1)2. 求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =§2.2.2 对数函数及其性质（2）1. 解对数函数在生产实际中的简单应用；2. 进一步理解对数函数的图象和性质；3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.一、课前准备（预习教材P 72~ P 73，找出疑惑之处）复习1：对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且图象和性质.复习2：比较两个对数的大小.（1）10log 7与10log 12 ；（2）0.5log 0.7与0.5log 0.8.复习3：求函数的定义域.（1）311log 2y x=- ；（2）log (28)a y x =+.二、新课导学※ 学习探究探究任务：反函数问题：如何由2x y =求出x ？反思：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为2log y x =.新知：当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）例如：指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数.试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数2x y =及其反函数2log y x =图象，发现什么性质？反思：（1）如果000(,)P x y 在函数2x y =的图象上，那么P 0关于直线y x =的对称点在函数2log y x =的图象上吗？为什么？（2）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于对称.※ 典型例题例1求下列函数的反函数：（1） 3x y =；（2）log (1)a y x =-.小结：求反函数的步骤（解x →习惯表示→定义域）变式：点(2,3)在函数log (1)a y x =-的反函数图象上，求实数a 的值.例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式lg[]pH H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系？（2）纯净水7[]10H +-=摩尔/升，计算其酸碱度.小结：抽象出对数函数模型，然后应用对数函数模型解决问题，这就是数学应用建模思想.※ 动手试试练1. 己知函数()x f x a k =-的图象过点（1，3）其反函数的图象过点（2，0），求()f x 的表达式.练2. 求下列函数的反函数.（1） y =x (x ∈R )；（2）y =log a 2x(a ＞0,a ≠1,x ＞0)三、总结提升※ 学习小结① 函数模型应用思想；② 反函数概念.※ 知识拓展函数的概念重在对于某个范围（定义域）内的任意一个自变量x 的值，y 都有唯一的值和它对应. 对于一个单调函数，反之对应任意y 值，x 也都有惟一的值和它对应，从而单调函数才具有反函数. 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，即互为反函数的两个函数，定义域与值域学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 函数0.5log y x =的反函数是（）. A. 0.5log y x =- B. 2log y x =C. 2x y =D. 1()2x y =2. 函数2xy =的反函数的单调性是（）. A. 在R 上单调递增 B. 在R 上单调递减C. 在(0,)+∞上单调递增D. 在(0,)+∞上单调递减3. 函数2(0)y x x =<的反函数是（）. A. (0)y x x =±> B. (0)y x x => C. (0)y x x =-> D. y x =±4. 函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 .5. 右图是函数1log a y x =，2log a y x =3log a y x =， 4log a y x =的图象，则底数之间的关系为 .课后作业有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细1. 现有某种细胞100个，其中胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg20.301==）.。

人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算

② 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝ _____2_－__1．
2.1.1 │ 考点类析
[解析] ①8 （x－3）8＝|x－3|，当 x≥3 时，原式＝x－3；当 x<3 时，原式＝3－x.
所以8 （x－3）8＝x3－－3x，，xx≥<33. ， ②因为 3－2 2＝2－2 2＋1＝( 2)2－2 2＋1＝( 2－1)2，所以 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝（ 2－1）2＋ 3 （1－ 2）3＋ 4 （1－ 2）4＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1.
2.1.1 │ 考点类析
[小结] 有理指数幂运算的基本原则和常规方法： (1)基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，
一般把根式统一化为分数指数幂的形式，再用有理指数幂的运算性质化简．
(2)常规方法：①化负指数幂为正指数幂；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数．
2.1.1 │ 考点类析
考点四条件求值重点探究型 [导入] 已知 x＋1x＝a(a≥2)，如何求 x2＋x12的值？
[ 解析 ] (1)① 4 （－8）4 ＝ | － 8| ＝ 8 ；
②3 （－8）3＝－8.
6 (2)①
1－π3 6＝1－π3 ＝π3 －1；② 5
1－π3 5
＝1－π3 .
2.1.1 │ 考点类析
(3)计算下列各式的值：
①8
x－3，x≥3，
（x－3）8＝_3_－__x_，_x_<_3，
2.1.1 │ 考点类析
【变式】 (1)设 10m＝2，10n＝3，则 10－2m－10－n＝_－_1_12_____．
[解析] 由 10m＝2 得 10－2m＝（101m）2＝14，10 －n＝110n＝13，所以 10－2m－10－n＝14－13＝－112.

高中数学必修1第二章2.1.1《指数与指数幂的运算》--(第一课时)

③ 5 (3)5 3
④ 5 (3)10 3
⑤ 4 (3)4 3
2022/1/18
练一练
【2】求以下各式的值.
⑴ 5 32;
⑵ （ 3）4 ;
Hale Waihona Puke ⑶ （ 2 3）2 ;⑷
2022/1/18
52 6.
本节课我们有哪些收获？
达标检测
(1)7 27 ;
(4) 210
(2)3 3a 33 ,a 1; (5)3 (3)9
2022/1/18
(三)根式的概念
根指数
a n 被开方数
2022/1/18
根式
探究四：n次方根的运算性质
2
(1) 6 ;
(2) 5 5 5
(3) 3 7 3
=6
= -5
= -7
a 结论： n a n
2022/1/18
求出下列根式的值
13 83 , 23 83 , 3 102 , 4 102
2022/1/18
学习目标：
1. 理解n次方根的概念； 2. 掌握n次方根的性质. 3. 体会分类讨论思想的运用.。
探究一：n次方根的概念
回忆知识,平方根，立方根是如何定义
的？有哪些规定？
①如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做 a的平
方根.
正实数的平方根有两个，
22=4 (-2)2=4
它们互为相反数
2,-2叫4的平方根.
②如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a 的立方根.
23=8 (-2) =-8 3
2022/1/18
2叫8的立方根. 一个数的立方 -2叫-8的立方根. 根只有一个
24=16
(-2)4=16

人教版数学高中必修一《指数与指数幂的运算》教案

2．1指数函数（新课辅导教案）2.1.1 指数与指数幂的运算第一课时根式一、问题提出1．据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么在2010年, 我国的GDP 可望为2000年的多少倍?2．对10073.1的意义如何？怎样运算？思考1:一般地，实常数a 的平方根、立方根是什么概念？思考2:如果4x ＝a ，5x ＝a ，6x ＝a ，参照上面的说法，这里的x 分别叫什么名称？定义：一般地，如果a x n=，那么x 叫a 的n 次方根，其中1>n 且N n ∈. 二、根式的概念思考1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，6a 的立方根分别是什么数？怎样表示？思考2:设a 为实常数，则关于x 的方程 3x =a ，5x =a 分别有解吗？有几个解？思考3:一般地，当n 为奇数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考4:设a 为实常数，则关于x 的方程 4x =a ，6x =a 分别有解吗？有几个解？思考5:一般地，当n 为偶数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考6:我们把式子)1,(>∈n N n a n叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.那么，a 的n次方根用根式怎么分类表示？当n 是奇数时，a 的n 次方根为n a .当n 是偶数时,若0>a ，则a 的n 次方根为n a ±；若0=a ，则a 的n 次方根为0；若0<a ，则a 的n 次方根不存在. 三、根式的性质思考1: 445533)2(,)2(,)2(-分别等于什么？一般地nn a )(等于什么？思考2: 44445533)2(,2,2,)2(--分别等于什么？一般地n n a 等于什么？思考3: 对任意实数a ，b ，等式nn n ab b a =⋅成立吗？四、理论迁移例1 求下列各式的值(1)364-；(2)4)2(-；(3)33)8(-；(4)2)10(-；(5) 44)3(π-；(6)88)1(-a .例2 化简下列各式(1)49625--; (2) 3322)1()1()1(a a a -+-+-第二课时分数指数幂和无理数指数幂一、问题提出1.整数指数幂有哪些运算性质？2.325,25有意义吗？二、分数指数幂的意义思考1:我们规定：nm n ma a =)1,,0(>∈>n N n m a 且，那么328表示一个什么数？522143、分别表示什么根式？思考2:你认为如何规定nm a-)1,,0(>∈>n N n m a 且的含义？思考3:怎样理解零的分数指数幂的意义？思考4:532332)2(,)2(,)2(---都有意义吗？当0<a 时，)1,(*>∈n N n m a nm 、何时无意义？三、有理数指数幂的运算性质四、无理数指数幂的意义思考5:有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗？五、理论迁移例1 求下列各式的值:(1)3227;(2) 2125-;(3)5)21(-;(4)43)8116(-.例2 化简下列各式的值(1))0,()3()6)(2(656131212132>-÷-b a b a b a b a (2))0,()(88341>-n m n m(3)4325)12525(÷- (4))0(322>⋅a aa a六、小结:1.指数幂的运算性质适应于实数指数幂.2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示.2.1.2 指数函数及其性质第一课时指数函数的概念与图象一、问题提出1.对任意实数x ，x 3的值存在吗？x)3(-的值存在吗？x 1的值存在吗？ 2. )(3R x y x∈=是函数吗？若是，这是什么类型的函数？二、指数函数的概念思考1:我们把形如xa y =的函数叫做指数函数，其中x 是自变量.为了便于研究，底数a 的取值范围应如何规定为宜？答：1,0≠>a a三、指数函数的图象思考2:一般地，指数函数的图象可分为几类？其大致形状如何?四、理论迁移例1 判断下列函数是否为指数函数？(1) 3x y =;(2) x a y )1(2+=;(3) 12+=x y ;(4) xy -=5;(5) 23x y =;(6)14+=xy .例2 已知函数)10()(≠>=a a a x f x且的图象过点)3(π，，求)3(),1(),0(-f f f 的值.例3 求下列函数的定义域: (1) 15-=x y ; (2)412-=x y .第二课时指数函数的性质（接上）思考3:若10<<<a b ，则函数xa y =与xb y =的图象的相对位置关系如何？例4 比较下列各题中两个值的大小 (1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.例6 确定函数xx f -=2)(的单调区间和值域.例7 设nma 8.09.0⋅=,mnb 8.09.0⋅=,其中n m ,为实数，试比较a 与b 的大小.第三课时指数函数及其性质的应用（接上）例8 求函数x x f 21)(-=的定义域和值域.例9 已知函数x x x f 22)(2-=+的值域是)12(∞+，，求)(x f 的定义域.例10 已知关于x 的方程12=--m x 有实根，求实数m 的取值范围.例11 已知函数1212)(+-=x x x f(1)确定)(x f 的奇偶性； (2)判断)(x f 的单调性； (3)求)(x f 的值域.例12 求函数xx y -=2)31(的单调区间，并指出其单调性.结论:设)(u f y =,)(x g u =，则（1）当)(u f 和)(x g 的单调性相同时，)]([x g f 为增函数；（2）当)(u f 和)(x g 的单调性相反时，)]([x g f 为减函数；综合应用例1 已知函数aaaxfxx+=)( (1>a为常数).(1)确定)(xf的单调性；(2)求)109()103()102()101(ffff++++ 的值.例 2 已知函数axfx+-=121)(，试推断是否存在常数a，使)(xf为奇函数? 若存在，求a的值；若不存在，说明理由.例3 已知函数8234)(1+⋅-=+xxxf，求满足0)(<xf的x的取值范围.例4 已知当1>x时，不等式12>-xxa,)1,0(≠>aa恒成立，求a的取值范围.2．1 指数函数（复习辅导教案）指数函数指数与指数幂的运算根式分数指数幂无理指数幂指数幂的运算法则概念图象性质知识框架知识点1、定义1：一般地，如果ax n=，那么x叫a的n次方根，其中1>n且Nn∈.定义2：我们把式子)1,(>∈nNnan叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.当n是奇数时，a的n次方根为n a.当n是偶数时,若0>a，则a的n次方根为n a±；若0=a，则a的n次方根为0；若0<a，则a的n次方根不存在.2、我们规定：nmn m aa=)1,,0(>∈>nNnma且.如何规定nma-)1,,0(>∈>nNnma且的含义？答: .怎样理解零的分数指数幂的意义？答: .当0<a时，)1,(*>∈nNnma nm、何时无意义？答:3、有理数指数幂的运算性质4、无理数指数幂的意义5、定义：我们把形如xay=的函数叫做指数函数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的取值范围应如何规定为宜？答：1,0≠>aa且6、指数函数的图象和性质7、设)(ufy=,)(xgu=，则（1）当)(uf和)(xg的单调性相同时，)]([xgf为增函数；（2）当)(uf和)(xg的单调性相反时，)]([xgf为减函数；指数函数指数与指数幂的运算根式分数指数幂无理指数幂指数幂的运算法则概念图象性质1 求下列各式的值(1)364-；(2)4)2(-；(3)33)8(-；(4)2)10(-；(5) 44)3(π-；(6)88)1(-a .2 化简下列各式(1)49625--; (2) 3322)1()1()1(a a a -+-+-3 求下列各式的值:(1)3227;(2) 2125-;(3)5)21(-;(4)43)8116(-.4 化简下列各式的值(1))0,()3()6)(2(656131212132>-÷-b a b a b a b a (2))0,()(88341>-n m n m(3)4325)12525(÷- (4))0(322>⋅a aa a5 判断下列函数是否为指数函数？(2) 3x y =;(2) x a y )1(2+=;(3) 12+=x y ;(4) xy -=5;(5) 23x y =;(6)14+=xy .6 已知函数)10()(≠>=a a a x f x且的图象过点)3(π，，求)3(),1(),0(-f f f 的值.7 求下列函数的定义域: (1) 15-=x y ; (2)412-=x y .8 若10<<<a b ，则函数xa y =与xb y =的图象的相对位置关系如何？9 比较下列各题中两个值的大小 (1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.10 若指数函数xa y )12(-=是减函数，求实数a 的取值范围.11 确定函数xx f -=2)(的单调区间和值域.12 设n m a 8.09.0⋅=,mn b 8.09.0⋅=,其中n m ,为实数，试比较a 与b 的大小.13 求函数x x f 21)(-=的定义域和值域.14 已知函数x x x f 22)(2-=+的值域是)12(∞+，，求)(x f 的定义域.15 已知关于x 的方程12=--m x 有实根，求实数m 的取值范围.16 已知函数1212)(+-=x x x f(1)确定)(x f 的奇偶性； (2)判断)(x f 的单调性； (3)求)(x f 的值域.17 求函数xx y -=2)31(的单调区间，并指出其单调性.18 已知函数aa a x f xx +=)( (1>a 为常数).(2) 确定)(x f 的单调性；(2)求)109()103()102()101(f f f f ++++ 的值.19 已知函数a x f x+-=121)(，试推断是否存在常数a ，使)(x f 为奇函数? 若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.20 已知函数8234)(1+⋅-=+x xx f ，求满足0)(<x f 的x 的取值范围.21 已知当1>x 时，不等式12>-x x a ,)1,0(≠>a a 恒成立，求a 的取值范围.。

数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)

1.am· an=am+n；
2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
另外，我们规定：
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1，且n∈N*.
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂探究:
5 10 5
a
10பைடு நூலகம்
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3

a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂根式两个等式
分数指数幂有理数指数幂无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)