四川省达州市2018届高三上学期期末考试数学理试卷 含答案 精品

四川省达州市高2018届高三上期末试卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}12,2A x B x x =<≤=>-，则A B ⋃=（ ） A ．()2,1-- B ．(]2,1-- C ．()4,-+∞ D ．[)4,-+∞ 2.设复数12z i =+，则（ ）A ．223z z =-B ．224z z =-C ．225z z =-D ．226z z =-3.若双曲线221y x m-=的一个焦点为()3,0-，则m =（ ） A．．8 C ．9 D ．644.设向量a b 、满足1,2a b ==，且1a b ⋅=，则2a b -=（ ）A ．2BC ．4D ．55.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．5B ．6C ．6.5D ．76.设,x y 满足约束条件320,6120,4590,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =-的最小值为（ ）A ．3-B ．4C ．0D ．4-7.执行如图的程序框图，若输入的11k =，则输出的S =（ ）A ．12B ．13C ．15D ．188.若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21a =，则“35a >”是“3993S S +>”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10．函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕϕπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度C.向右平移6π个单位长度 D.向左平移12π个单位长度11.在四面体ABCD 中,AD ⊥底面ABC ,2AB AC BC ===,E 为棱BC 的中点，点G 在AE 上且满足2AG GE =,若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π,则tan AGD ∠=（ ）A ．12B ．2C D12.已知函数()f x 的导数为()f x '，()f x 不是常数函数，且()()()10x f x xf x '++≥对[)0,x ∈+∞恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()122f ef <B ．()()12ef f <C ．()10f <D ．()()22ef e f <第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若函数()282log log f x x x =+，则()8f = ．14. 在()9x a +的展开式中，若第四项的系数为84，则a = ． 15．直线l经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线交于,A B 两点，若5AF FB =，则直线l的斜率为 ．16.在数列{}n a 中,112a =,且133431n na a n n +=++.记11,313n ni i n n i i i a a S T i ====+∑∑，则下列判断正确的是 ．(填写所有正确结论的编号)①数列31n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列；②存在正整数n ，使得n a 能被11整除；③10243S T >；④21T 能被51整除.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c()cos 2cos A b C =. （1）求角C ； （2）若6A π=，ABC ∆D 为AB 的中点，求sin BCD ∠.18.某家电公司根据销售区域将销售员分成,A B 两组.2017年年初，公司根据销售员的销售业绩分发年终奖，销售员的销售额(单位:十万元)在区间[)[)[)[]90,95,95,100,100,105,105,110内对应的年终奖分别为2万元，2.5万元，3万元，3.5万元.已知200名销售员的年销售额都在区间[]90,110内，将这些数据分成4组：[)[)[)[]90,95,95,100,100,105,105,110，得到如下两个频率分布直方图:以上面数据的频率作为概率，分别从A 组与B 组的销售员中随机选取1位，记,X Y 分别表示A 组与B 组被选取的销售员获得的年终奖. （1）求X 的分布列及数学期；（2）试问A 组与B 组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高？为什么？19.如图，在四校锥P ABCD -中，,,AC BD AC BD O PO AB ⊥⋂=⊥，POD ∆是以PD 为斜边的等腰直角三角形，且11123OB OC OD OA ====.（1）证明:平面PAC ⊥平面PBD ； （2）求二面角A PD B --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10y x W a b a b +=>>的焦距与椭圆22:14x y Ω+=的矩轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l与直线OA (O 为坐标原点)垂直，且l与W 交于,M N 两点.（1）求W 的方程；（2）求MON ∆的面积的最大值.21.已知a R ∈，函数()(2x x x f x xe ax xe =-.（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 1+，判断函数()f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的单调性；（2）若10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：()2f x a >对x R ∈恒成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线2C 的方程为y =，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11OA OB+.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x =+-. （1）求不等式62x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集；（2）若0k >，且直线5y kx k =+与函数()f x 的图象可以围成一个三角形，求k 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCBBB 6-10: ACCAD 11、12：BA 二、填空题13. 7 14. 1 15. ①②④ 三、解答题17.解：（1()cos 2cos A b C =-，得)2cos cos cos b C c A a C +，由正弦定理可得，)()2sin cos sin cos sin cos B C C A A C A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以cos C =因为0C π<<，所以6C π=.（2）因为6A π=，故ABC ∆为等腰三角形，且顶角23B π=，故21sin 2ABCS a B ∆=== 所以2a =，在DBC ∆中，由余弦定理可得，222 2cos 7BC CD DB DB BC B =-⋅=+，所以CD =DBC ∆中，由正弦定理可得，sin sin CD DBB BCD=∠，1sin BCD =∠，所以sin BCD ∠=18.解：（1）A 组销售员的销售额在[)[)[)[]90,95,95,100,100,105,105,110的频率分别为0.2,0.3,0.2,0.3，则X 的分布列为：故()200000.2250000.3300000.2350000.328000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(元）.（2）B 组销售员的销售额在[)[)[)[]90,95,95,100,100,105,105,110的频率分别为:0.1，0.35，0.35，0.2， 则Y 的分布列为：故()200000.1250000.35300000.35350000.228250E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=(元）. ∵()()E X E Y <，∴B 组销售员获得的年终奖的平均值更高.19.（1）证明：∵POD ∆是以PD 为 斜边的等腰直角三角形， ∴PO DO ⊥.又,PO AB AB DO B ⊥⋂=，∴PO ⊥平面ABCD , 则PO AC ⊥,又,AC BD BD PO O ⊥⋂=, ∴AC ⊥平面PBD .又AC ⊂平面PAC , ∴平面PAC ⊥平面PBD .（2）解：以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()3,0,0,0,2,0,0,0,2A D P -，则()()3,2,0,0,2,2DA DP ==， 设(),,n x y z =是平面ADP 的法向量， 则00n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即320220x y y z -=⎧⎨+=⎩，令3y =得()2,3,3n =-.由（1)知，平面PBD 的一个法向量为()1,0,0OC =-，∴cos ,22n OC n OC n OC⋅===， 由图可知，二面角A PD B --的平面角为锐角， 故二面角A PD B --. 20.解：（1）由题意可得22241a a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，∴2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 故W 的方程为22143y x +=. （2）联立222214314y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得223613413x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴2219y x =，又A 在第一象限，∴13OA y k x ==. 故可设l的方程为3y x m =-+.联立223143y x m y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2231183120x mx m -+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121218312,3131m mx x x x-+== ∴MN==，又O 到直线l的距离为d =，则MON ∆的面积12S d MN ==∴)2231S m m =≤+-=， 当且仅当2231m m =-，即2312m =，满足0∆>，故MON ∆21. (1)解：∵()()(x x f x e ax xe =-+，∴()()(()()1x x x x f x e a xe e ax x e '=-++-+，∴())0111f a '=-+=+，∴0a =. ∴()()221x x f x x e '=++，当1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，2210,0,0x x x e e +>>>，∴()0f x '>，∴函数()f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）证明:设()x g x xe =()()1x g x x e '=+，令()0g x '>，得1x >-，()g x 递增；令()0g x '<，得1x <-，()g x 递减. ∴()()min 11g x g e =-=-+，∵ 2.7e≈，∴11e-+>，∴()1g x >.设()x h x e ax =-，令()0h x '=得ln x a =，令()0h x '>得ln x a >，()h x 递增；令()0h x '<得ln x a <，()h x 递减. ∴()()()min ln ln 1ln h x h a a a a a a ==-=-，∵10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ln 1a <-，∴1ln 2a ->，∴()min 2h x a >，∴()20h x a >>.又()1g x >，∴()()2g x h x a >，即()2f x a >.22.解：（1）曲线1C 的普通方程为()()22221x y -+-=，则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=，由于直线2C 过原点，且倾斜角为3π，故其极坐标为()3R πθρ=∈ (或tan θ=（2）由24cos 4sin 70,,3ρρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩得()2270ρρ-++=，故12122,7ρρρρ+=+=，∴121211OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===⋅23.解：（1）由62x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭即3622x x +-<得，3236x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩或03236x ⎧<<⎪⎨⎪<⎩或0236xx ⎧≤⎪⎨⎪-+<⎩， 解得39x -<<，∴不等式62x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为()3,9-.（2）做出函数()23,03,0323,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩的图象，如图所示，∵直线()5y k x =+经过定点()5,0A -， ∴当直线()5y k x =+经过点()0,3B 时，35k =， ∴当直线()5y k x =+经过点()3,3C 时，38k =. ∴当33,85k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线5y kx k =+与函数()f x 的图象可以围成一个三角形.。