有限元课件第二章(2)

讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结点位移表示结点力的表达式。

由应力推算结点力，需要利用平衡方程。

第一章中已经用虚功方程表示出平衡方程。

{}{}{}{}17)-(1 dxdydz ζεF δT *T *⎰⎰⎰=iv imU jU iU m v jv mj*i v i*m U *j U *i U *m v *j v mjys *xy *y *x £¬£¬g e e xyt xs (a)½áµãÁ¦¡¢ÄÚ²¿Ó¦Á¦(b)ÐéλÒÆ¡¢ÐéÓ¦±ä考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：任意虚设位移，结点位移与内部应变为{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧t s s =s xy y x {}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧g e e =e *xy *y *x *{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=m m j j i i V U V U V U F {}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=*m *m *j *j *i *i e*v u v u v u δ令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为m*m m *m j *j j *j i *i i *i V v U u V v U u V v U u +++++=T []⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=m m j j i i *m *m*j*j *i*i V U V U V U v u v u v u {}{}eeT*F δ=计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx 和dy ，厚度为t ，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。

dydxdxdxdydydxdxdxdydydyt dyx s t dyx s t dxy s t dxy s t dxxy t t dxxy t t dy xy t t dyxy t dx*x e dy*y e *xy g *xyg (a)ʵ¼ÊÓ¦Á¦(b)ÐéÉèÓ¦±ä微小矩形的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为{}{}⎰⎰⎰⎰==tdxdyζεdUU T*dy)(γtdx)(ηdy)(εtdx)(ζdx)(εtdy)(ζdU *xy xy *y y *x x ⨯+⨯+⨯=)tdxdyηγζεζ(εxy *xy y *y x *x ++=[]tdxdy ηζζ γεεxy y x *xy *y *x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧={}{}⎰⎰=tdxdy ζεT *根据虚功原理，得这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。

虚应变可以由结点虚位移求出：代入虚功方程{}{}{}{}⎰⎰s e =δtdxdyF T*eTe *{}[]{}{}TTe *Te *T*[B]δ)δB (ε=={}{}{}{}⎰⎰s δ=δtdxdy]B [F TTe *eTe *{}{}⎰⎰=tdxdyζ[B]F Te接上式，将应力用结点位移表示出有令则建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，称为单元刚度矩阵。

它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。

{}[][]{}eδB D ζ={}{}⎰⎰=eT eδy [D][B]tdxd [B]F []⎰⎰=y[D][B]tdxd [B]K Te{}[]{}ee e δK F =[]eK由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且因此可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。

{}{}⎰⎰=eTeδy [D][B]tdxd [B]F Adxdy =⎰⎰{}{}e Te δ[D][B]tA [B]F =[][D][B]tA[B]K Te=已经求出了下列关系{}s []t AB T []t A]B ][D []B [K T e={}eδ{}e {}eF []D []B []]B ][D [S =(6)(3)(3)(6¨w 3)(3¨w 3)(3¨w 6)(3¨w 6)(6¨w 6)结点力和结点位移的关系：(以简单平面桁架为例)平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在结点载荷的作用下，结点对单元、单元对结点都有作用力与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为结点力。

结点力和结点位移的关系前面已经求出：ADB PCAP{}[]{}ee e δK F =单元刚度矩阵的物理意义：将写成分块矩阵写成普通方程其中表示结点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上所需要施加的结点力的大小。

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i mm mj mi jm jj ji im ij ii m j i δδδ K K K K K K K K K F F F {}[]{}[]{}[]{}{}[]{}[]{}[]{}{}[]{}[]{}[]{}⎪⎭⎪⎬⎫++=++=++= δ K δ K δ K F δ K δ K δK F δ K δ K δ K F m mm j mj i mi i m jm j jj i ji j m imi j ij i ii i {}eF []rs K单元刚度矩阵的物理意义：将结点力列矩阵与结点位移列矩阵均展开成(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵：元素K 的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方向。

{}eF []e δ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧m m j j i i mm m m mj j m mi i m m m m m j m j m i m i m jm m j jj j j ji ij m j m j j j j j i j i j im m i ij j i ii i i m i m i j i j i i i i i m m j j i i v u v u v uK K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K V U V U V U单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。

表示结点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平结点力和垂直结点力的大小。

例如表示结点j 在垂直方向产生单位位移时，在结点i 所需要施加的水平结点力的大小。

∑==+=mj,i,S s s r s sr r m)j,i,)(r v K u (KU ∑==+=mj,i,S s rs ss r r m)j,i,)(r v K u (KV rs s r s r s r ，K ，K ，K K j i K单元刚度矩阵的性质：1)对称性：是对称矩阵2)奇异性：是奇异矩阵，单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。

由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。

由对称性可知，各行元素的总和也为零。

[]eK []eK 0K e=单元刚度矩阵的性质：例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设y x aai(a,0)m(0,0)j(0,a)1、求[B]2、求[D]3、求[S]4、求=μ[]eK []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=110110101000010001a 1B []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.000010001 E D []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=5.05.005.05.00101000010001a E S []⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=5.15.15.5.05.5.105.5.11010005.5.05.5.05.5.05.5.00100012Et K e2-8 整体分析将各单元组合成结构，进行整体分析。

2¢Û¢Ü¢Ù¢Ú3y P 3x P 314562x P 1y P aaaa 整体分析分4个步骤1、建立整体刚度矩阵；2、根据支承条件修改整体刚度矩阵；3、解方程组，求出结点位移；(消去法与叠加法)4、根据结点位移求出应力。

{}[]{}δ=K F。