三角形全等条件的应用.

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三角形的全等关系

三角形的全等关系三角形是初中数学中的一个基本概念，而全等关系是研究三角形的一个重要性质。

在数学中，全等关系指的是两个图形的所有对应的部分完全相等。

对于三角形而言，全等关系的研究能够帮助我们发现和证明一些三角形之间的性质。

本文将介绍三角形的全等关系，并探讨全等关系在证明三角形性质中的应用。

一、三角形的全等关系定义及判定方法三角形的全等关系定义如下：若两个三角形的三边和三角形内对应的三个角分别相等，则这两个三角形全等。

在判定两个三角形是否全等时，我们可以依据以下几种方法：1. SSS（边-边-边）准则：若两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

2. SAS（边-角-边）准则：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

3. ASA（角-边-角）准则：若两个三角形的两角和对应边分别相等，则这两个三角形全等。

4. AAS（角-角-边）准则：若两个三角形的两角和某个对应边分别相等，则这两个三角形全等。

5. RHS（斜边-直角边-斜边）准则：若两个直角三角形的斜边和直角边分别相等，则这两个三角形全等。

二、全等关系在三角形证明中的应用全等关系在证明三角形性质中起到了重要的作用。

通过全等关系的应用，我们能够推导出许多有关三角形的结论。

1. 全等三角形的性质相等：若两个三角形全等，则它们的对应边相等，对应角相等，对应高、中线、角平分线等线段也分别相等。

2. 利用全等三角形证明三角形性质：在证明过程中，我们可以先找到一个全等的三角形，然后利用全等三角形的性质推导出所要证明的结论。

3. 利用全等三角形证明图形性质：全等三角形的性质不仅适用于三角形，还可以应用于其他图形的证明中。

比如，在证明一个四边形是矩形时，我们可以利用全等的直角三角形分别在四个角上构造出来。

三、实例演示接下来，我们通过实例演示全等关系的应用。

例1：已知△ABC与△DEF，已知AB=DE，AC=DF，∠A=∠D。

证明△ABC≌△DEF。

全等三角形应用举例

解：因为AC=AB，DC=DB，AD=AD
根据"SSS"可证明△ADC≌△ADB
所以∠ADB=∠ADC=90°
即：BC⊥DA
因DE处于垂直位置，故BC处于水平位置。
【例2】如图二，小明同学不慎将一三角形玻璃打碎成两块，他是否只带其中的一块就可以配一块与原来一样的三角形玻璃呢？为什么？
、重要的不是知识的数量，而是知识的质量，有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东西。 —— 托尔斯泰
全等三角形应用举例
江苏省赣榆县沙河中学（222141）张庆华
E-mail：guzqh@
全等三角形在我们的生活中应用非常广泛，本文将通过几个实例与同学们一起来探讨其在生活中应用的奥妙。
【解析】若想配一块和原来三角形全等的三角形玻璃，根据三角形全等的条件，图图中的图②符合"ASA"全等，所以应带②去配玻璃。
【例3】如图三，要测量池塘边上两点P、Q之间的距离，小五在PQ的垂线PM上取两点A、B，使AB=PA，再在B处作出PB的垂线BC，使C、A、Q在同一条直线上，这时测得BC的长就是PQ的长，小王的测量方法对吗？这什么？
【解析】根据步聚可知∠PAQ=∠BAC，AP=AB，∠QPA=∠CBA=90°
根据"ASA"可证明△ABE≌△APQ
所以PQ的长即为BC的ห้องสมุดไป่ตู้。
【练习1】如图四，把两根钢条AA'BB'R的中点O连在一起做成一个测量工件内槽的工具（这种工具叫卡钳），只要量出A'B'的长度，就可以知道工件内径AB的长度，你知道其中的理由吗？
【练习2】工人师傅常用角尺平分一个任意角，方法是：如图五，在∠COD的两边OC、OD上分别取OA=OB，移动角尺使两边相同的刻度分别与A、B重合，这时角尺的顶点M与O的连线，即OM即为∠COD的角平分线，你知道其中的理由吗？

三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作

以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信息，某些描述可能不够精确或全面。如有需要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广泛的情况，例如处理只有一边和两个角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决实际问题，例如几何证明、建筑设计、工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法（如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使用圆规在该点上画圆，与直线相交于两点。连接这两点即可得到经过该点的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三角形全等来确定未知点的位置。例如，已知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知点的位置，从而满足建筑设计的需求。

三角形全等的应用

经典例题透析类型一：三角形全等的应用1. 如图：BE、CF相交于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF。

求证：AB=AC。

思路点拨：挖掘并合理运用隐含条件：(1)隐含相等的线段：公共边、线段的和(或差)；（2）隐含相等的角：公共角、对顶角、角的和或差。

解析：∵DE⊥AC，DF⊥AB∴∠DFB=∠DEC=90°（垂直的定义）在△BDF和△CDE中∴△BDF≌△CDE（ASA）∴BD=CD（全等三角形对应边相等）又DE=DF∴BE=CF在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（AAS）∴AB=AC（全等三角形对应边相等）总结升华：复杂题目都是由简单题目组合而成，所以要特别注意简单典型题目的解题思想以及图形特点。

举一反三：【变式1】如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。

求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

解析：∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°（垂直的定义）∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠1=∠2在△ABM和△NCA中∴△ABM≌△NCA（SAS）∴AM=AN，∠3=∠N（全等三角形对应边、对应角相等）在Rt△AFN中：∠4+ ∠N=90 °（直角三角形两个锐角互余）∴∠3+ ∠4=90 °∴AM⊥AN（垂直的定义）【变式2】如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，∠ABE=∠CBE，求证：BD=2EC。

解析：延长BA、CE相交于点F∵CE⊥BE∴∠BEF=∠BEC=90°（垂直的定义）在△BEC和△BEF中∴△BEC≌△BEF（ASA）∴CE=EF（全等三角形对应边相等）即FC=2CE∵CA⊥BA∴∠BAC=∠FAC=90°（垂直的定义）在Rt△ABD和Rt△BEF中∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠F=90°（直角三角形两个锐角互余）∴∠ADB=∠F在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD=FC（全等三角形对应边相等）∴BD=2EC类型二：构造全等三角形2．如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。

全等三角形六种常见的实际应用

专训1六种常见的实际应用名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤：(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形；(3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．利用三角形全等测量能到两端的距离1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗(第1题)利用三角形全等求两端的距离2．【中考·宜昌】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，|如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．(第2题)利用三角形全等测量物体的内径3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.(第3题)利用三角形全等解决工程中的问题4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理`(第4题)利用三角形全等解决面积问题5．育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC，∠BAC＝90°)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，求两种花草的种植面积各是多少．(第5题)利用角平分线的判定和性质设计方案6．如图，湖边的三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有多少处【导学号：】(第6题)答案1．解：因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.在△ABC和△ADC中，、⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠ACB＝∠ACD，AC ＝AC ，所以△ABC≌△ADC (SAS )．所以AB ＝AD. 2．解：∵AB∥DC， ∴∠ABO＝∠CDO. 又∵DO⊥CD， ∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即BO⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴BO＝DO.又∵∠AOB＝∠COD， ∴△BOA≌△DOC.{∴CD＝AB ＝20米．(第3题)3．解：可设计如图所示的工具，其中O 为AC ，BD 的中点．在△AOB 和△COD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO ，∠AOB＝∠COD，BO ＝DO ，所以△AOB≌△COD (SAS )．所以AB ＝CD ，即CD 的长就是A ，B 间的距离．因为AB ＝a －2x ，所以x ＝a －AB 2＝a －CD 2.4．解：在△AOB 和△COD 中，!⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠OAB＝∠OCD＝90°，AB ＝CD ，所以△AOB≌△COD (SAS )．所以∠AOB＝∠COD.又因为∠AOB＋∠BOC＝180°，所以∠BOC＋∠COD＝180°，即∠BOD＝180°.所以D ，O ，B 三点在同一条直线上．所以钻头沿着DO 的方向打孔，一定从点B 处打出． 5．解：由已知，AB ＝20 m ，AC ＝10 m .在Rt △ABC 的边AB 上取点E ，使AE ＝AC ＝12AB.连接DE.∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD.~又∵AD 是△ACD 和△AED 的公共边， ∴△ACD≌△AED (SAS )． ∴S △ACD ＝S △AED .又易得S △AED ＝S △BED ＝12S △ABD .∴S △ACD ＝13S △ABC ＝16×20×10＝1003 m 2.S △ABD ＝2003m 2.答：一串红的种植面积是2003 m 2，鸡冠花的种植面积是1003 m 2.6．解：如图所示．①作出△ABC 的两个内角的平分线，其交点为O 1； ②分别作出△ABC 外角平分线，其交点分别为O 2，O 3. 故满足条件的修建点有三处，即点O 1，O 2，O 3.(第6题)点拨：解题的关键是分情况讨论：分所选位置在三条公路所围三角形的内部和外部两种情况．本章角平分线的性质和判定定理尚未学到，但结合全等三角形的判定及性质，很容易理解角平分线的性质及判定定理．前后呼应相得益彰．。

全等三角形在生活中的应用

全等三角形在生活中的应用在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考．一、仪器我也会做例1 如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？分析：由已知条件易得△ABC 和△ADC 全等，由全等三角形的对应角相等，可知∠BAC=∠DAC ，即AE 是角平分线．解：已知AB=AD ，BC=DC ，又因为AC 是公共边，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠BAC=∠DAC ．所以AE 是角平分线．评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题．二、巧测内口直径例2 小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）分析：只要量出AB 的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB 和CD 相等就行．解：连结AB ，CD ，因为AO=DO ，BO=CO ，图 1 图2又因为∠AOB=∠DOC，所以△ABO≌△DCO（SAS）．所以AB=CD，也就是AB的长等于内径CD的长．评析：利用三角形全等的知识，可以说明线段长相等的问题．三、距离相等的解释例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．分析：只要能说明AD与BE相等，就说明她说的有道理．解：小丽说的有道理，理由如下：图3 已知AC=BC，因为∠ADC=∠BEC=90°，又因为∠C是公共角，所以△ACD≌△BCE，所以AD=BE．即学校到路段BC的距离与菜市场到路段AC的距离相等．你还知道全等三角形有哪些应用，说出来和同学们交流交流！应把握的两种模型利用三角形全等测距离，主要有以下两种模型：一、视线模型当需要测量距离的两个点中有一个点无法接近时，常采用这种方法. 视线法简便易行，但有一定的误差，一般在仅适应于目测的情况下使用. 如：例1如图1所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距离.你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了全等三角形的知识. 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形.如图2所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD的长度可以测得，又因为战士与地面是垂直的，也就是∠BCA＝∠EFD＝90°，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC＝EF，∠ABC＝∠FED.依据“SAS”可知△ABC≌△DEF，所以AC＝FD.所以只要测得FD的距离，就可得到AC的距离.这就是“视线法”的基本模型与解题原理.二、构图模型当需要测量距离的两点均可到达，但两点之间不能通过直接测得距离时，可通过构造两个全等的三角形，进行间接的测量.构图法间接测量的结果比较准确.如：例2如图3所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量这两点之间的距离，但绳子不够长，老师为他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B 两点的点C，连接AC并延长到点D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE并测出它的长度，DE的长度就是A，B之间的距离.你能说明其中的道理吗？解：池塘两端的A点和B点不好直接测量，取一个可以直接到达A，B两点的点C，连接AC并延长的D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，这样在△ABC 与△DEC中，有CA＝CD，CB＝CE，且∠ACB＝∠ECD，则依据“SAS”可得△ABC≌△DEC，从而DE＝AB，因为DE是可直接测得的，这样即可得到AB的距离.这就是“构图法”的基本模型与解题原理.。

三角形的全等性质

三角形的全等性质三角形是几何学中的基本形状之一，它有许多重要的性质和定理。

其中，全等性质是三角形的重要性质之一，指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形是全等的。

本文将介绍三角形全等性质的定义、判定方法，以及全等性质的应用。

一、全等性质的定义对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF是全等的。

全等性质可以用符号≌表示，即ABC≌DEF。

二、全等性质的判定为了判断两个三角形是否全等，我们可以利用下列常用的判定方法：1. SSS判定法（边-边-边）如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。

2. SAS判定法（边-角-边）如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们是全等的。

3. ASA判定法（角-边-角）如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么它们是全等的。

4. RHS判定法（斜边-直角边-斜边）如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，那么它们是全等的。

通过以上四种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。

三、全等性质的应用全等性质在解决几何问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的构造利用全等性质，我们可以根据已知条件构造全等的三角形。

例如，已知两条边和夹角大小，我们可以通过SAS判定法构造出全等的三角形。

2. 证明几何定理在证明几何定理时，我们常常利用全等性质来推导结论。

通过证明两个全等三角形的对应边和对应角相等，可以得到一些重要的几何定理。

3. 求解三角形的未知量当我们已知一些三角形的边长和角度大小时，利用全等性质可以求解出三角形其他未知量，如另外两个角度的大小、三角形的面积等。

4. 判定图形的全等除了三角形，全等性质在判定其他图形的全等时也是十分有用的。

我们可以利用全等性质来判断两个四边形、两个多边形甚至其他更复杂的图形是否全等。

三角形全等的判定ASA

边角边相等（SAS）
如果两个三角形的两边长度相等，且这两边所夹的角也相等，则这两个三角形全等。
三角形全等的应用
解决几何问题
通过三角形全等关系，可以证明线段相等、角相等、垂直关系等，从而解决各种几何问题。
制作精确图形
在几何作图或设计领域，三角形全等关系可以用来制作精确的图形或模型。
02
与平行线判定定理的联系
在三角形全等的判定中，常常需要利用平行线的性质来证明两个三角形全等。例如，在ASA全等判定定理中，需要证明两角及夹角的边相等，而夹角的边是通过平行线性质推导出来的。
与勾股定理的联系
勾股定理是三角形全等判定中的重要工具。在证明两个直等于斜边的平方。
02
全等关系具有传递性，即如果三角形ABC与三角形DEF全等，那么三角形DEF也与三角形ABC全等。
三角形全等的条件
边边边相等（SSS）
角边角相等（ASA）
如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
如果两个三角形有两个角分别相等，且这两个角所夹的边也相等，则这两个三角形全等。
ssa全等判定方法
总结词
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
详细描述
根据SSA全等判定定理，如果两个三角形有两边长度相等且这两边所夹的角相等，则这两个三角形全等。这个定理在解决几何问题时非常有用。
aas全等判定方法
总结词
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
根据ASA全等判定定理，如果两个三角形有两个角相等且这两个角所夹的边也相等，则这两个三角形全等。这个定理是三角形全等判定的重要依据之一。
asa全等定理的应用
总结词：广泛实用

全等三角形知识点

全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。

本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。

关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。

在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。

2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。

- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。

- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。

- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。

- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。

3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。

- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。

- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。

- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。

4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。

通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。

5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。

三角形全等的性质与判定综合应用

温故知新
复习三角形全等判定，回答下列问题 1. 我们学习了那些三角形全等的判定方法？分别是什么？边边边：三边对应相等的两个三角形全等(SSS) 边角边：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS) 角边角：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(ASA）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）
1．如图，已知BD＝CE，AB＝FD，B，D，C，E共线．若添加一个条件，
就能使△ABC≌△FDE，则下列条件中： ①AB∥DF；②AC∥EF；③∠A＝∠F；④∠A＝∠F＝90°.
满足的个数为( B ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
典例精析
例1 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，
解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴BA⊥MN，∠EAD=∠EBC=90°
在Rt△ADE 和Rt△BEC中， DE=EC AD=EB
∴Rt△ADE ≌Rt△BEC(HL)．
∴ AE＝BC，AD=EB
∵AD＋BC＝7 ∴BE+AE=7
即AB=7.
4. 如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，
2 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点 E，AD⊥CE于点D，下面四个结论： ①∠ABE＝∠BAD；
②△CEB≌△ADC；
③AB＝CE； ④AD－BE＝DE. 其中正确的是 _①__②__④．
3 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，
点E在AB上，AD＋BC＝7， AD＝EB，DE＝EC，则AB＝___7_____.
AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF. 证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，

三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)

四、利用全等三角形证线段之间的和差倍分问题证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。

(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。

(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。

后两种方法，就是通常所说的截长补短。

例1.已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。

（证明略）例2.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC证明：在EA上截取EF=BE，连结CF∵CE⊥AB于E（已知）∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）∴∠1=∠B（等边对等角）∵∠1+∠2=180°（平角定义）∠B+∠D=180°（已知）∴∠2=∠D（等角的补角相等）（再往下证明略）3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。

（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。

分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。

“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。

三角形的全等定理

三角形的全等定理三角形是几何学中最基本的形状之一，而全等是三角形之间最重要的关系之一。

全等定理是指当两个三角形的对应边长和对应角度相等时，这两个三角形全等。

本文将详细介绍三角形的全等定理及其应用。

一、全等定理的基本概念全等定理是基于三角形的对应边长和对应角度相等的条件而建立的。

在三角形ABC和DEF中，如果它们的对应边长AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，∠CAB=∠FDE，那么我们可以说三角形ABC和DEF全等。

二、全等定理的几种形式1. SSS（边-边-边）定理当两个三角形的各边对应相等时，我们可以认为它们全等。

这个定理被称为SSS（边-边-边）定理。

2. SAS（边-角-边）定理当两个三角形的两边和夹角对应相等时，我们可以认为它们全等。

这个定理被称为SAS（边-角-边）定理。

3. ASA（角-边-角）定理当两个三角形的两角和夹边对应相等时，我们可以认为它们全等。

这个定理被称为ASA（角-边-角）定理。

4. AAS（角-角-边）定理当两个三角形的两角和未包含的边对应相等时，我们可以认为它们全等。

这个定理被称为AAS（角-角-边）定理。

三、全等定理的应用举例1. 三角形的证明通过使用全等定理，我们可以证明两个三角形相等。

例如，在已知两边长度和夹角度数的情况下，我们可以通过ASA定理证明两个三角形全等。

2. 问题求解全等定理还可以应用于解决各种与三角形相关的问题。

例如，给定两个全等的三角形，我们可以利用其中一个三角形的性质来推导另一个三角形的性质。

这种方法可以简化问题求解过程，并提高解题效率。

四、全等定理的实际应用全等定理广泛应用于建筑、工程和测量等实际领域。

在建筑设计中，通过运用全等定理，可以确保建筑物的各个部分保持均衡和对称。

在工程中，全等定理有助于确保零件的尺寸和形状准确无误。

在测量中，全等定理可以用来验证测量结果的准确性。

总结：三角形的全等定理是几何学中的重要内容，它帮助我们理解三角形之间的关系，解决各种相关问题，并在实际应用中发挥重要作用。

【初中数学知识点解析】全等三角形判定的六种应用

两次全等型
6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点．求证：AE＝CE.
证明：在△ABD和△CBD中， AB＝CB， AD＝CD， BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)． ∴∠ABE＝∠CBE.
两次全等型
6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点．求证：AE＝CE. 在△ABE和△CBE中， AB＝CB， ∠ABE＝∠CBE， BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE(SAS)． ∴AE＝CE.
一次全等型 5．如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
解：(2) AB∥DE，AC∥DF. 理由：∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE. ∴AB∥DE，AC∥DF.
∠B＝∠C，
又AO平分∠BAC，
AO＝AO，
∴∠BAO＝∠CAO.
∴△ABO≌△ACO(AAS)．
在△ABO与△ACO中， ∴OB＝OC.
两次全等型
9．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，
∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F. 求证：BF＝CF.
证明：在△ABC和△DCB中，
∠BAC＝∠CDB，
∠ACB＝∠DBC， BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB(AAS)． ∴AC＝DB.
又∵∠BAC＝∠CDB， ∴∠FAC＝∠FDB.
两次全等型
9．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB， ∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F. 求证：BF＝CF.

全等三角形的性质与判定的综合应用

全等三角形的性质与判定的综合应用全等三角形的对应角、对应边是相等的，全等三角形的判定是“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，在说明线段相等或角相等时，常常需要综合运用全等三角形的性质和判定，下面举例予以说明。

一、说明线段相等例1、如图1，在△ABC 与△ABD 的顶点A 和D 均在BC 的同旁，AB=DC ，AC=DB ，AD 与BC 相交于O 点，则OA 与OD 相等吗若相等，请说明理由。

分析：要使OA=OD ，可分析△ABO 与△DCO 是否全等，但是条件中有一组边对应相等（AB=DC ），一组角对应相等（对顶角），显然不具备全等的条件。

但由已知条件可推出△ABC ≌△DCB ，再根据全等的性质可得∠A=∠D ，再根据全等三角形的判定“AAS”推出△ABO ≌△DCO ，从而得到OA=OD 。

解：OA=OD ，理由如下：在△ABC 和△DCB 中，因为AB=DC ，AC=BD ，BC=CB ，所以△ABC ≌△DCB （SSS ），所以∠A =∠D ，在△ABO 与△DCO 中因为∠A =∠D ，∠AOB=∠DOC ，AB=DC所以△ABO ≌△DCO ，所以OA=OD点评：本题考查了全等三角形的判定和性质。

说明两条线段相等时，可考虑着两条线段所在的两个三角形是否全等，若由已知条件不能直接说明这两个三角形全等时，可以由已知条件先推出其它的三角形全等，再由全等三角形的性质得到一些线段或角相等，为说明前面的三角形全等提供条件。

二、说明角相等例2、如图2，AB 、MN 与CD 相交于点O ，OA=OB ，OM=ON ，试问：∠D 与∠C 相等吗若相等，请进行说明理由. O D C B A 图1分析：要得到∠D=∠C，只需说明△BOD≌△AOC Array即可，但是由已知条件不能直接说明这两个三角形全等，但是由已知条件可推出△BON≌△AOM，由全等三角形的性质得到∠A=∠B，再结合OA=OB，∠AOC=∠BOD，即可说明△BOD≌△AOC。

三角形的全等性质

三角形的全等性质三角形是初中数学中重要的概念之一，它具有许多有趣的性质。

其中，全等性质是三角形特有的性质之一，它指的是两个三角形在形状和大小上完全相同。

本文将详细介绍三角形的全等性质，包括全等的定义、证明全等的条件以及应用全等性质解决问题的方法。

一、全等的定义两个三角形全等的定义是：当两个三角形的对应边相等且对应角相等时，这两个三角形就全等。

换句话说，如果三角形的三边和三个角与另一个三角形的三边和三个角一一对应相等，则这两个三角形是全等的。

二、证明全等的条件根据全等的定义，我们可以列举出三个基本的证明全等的条件：1. SSS（边-边-边）条件：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。

证明方法是通过边长的相等来确定三角形的形状和大小。

2. SAS（边-角-边）条件：如果两个三角形的两条边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

在证明时，我们先确定两条边和夹角相等，然后根据边角边的条件确定形状和大小。

3. ASA（角-边-角）条件：如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则这两个三角形是全等的。

通过求解两个角和夹边的等式，可以建立两个三角形之间的对应关系。

除了这三个基本条件外，还有一些其他的全等条件，如AAS（角-角-边）条件和HL（斜边和直角边）条件，但它们都可以由SSS、SAS或ASA条件推导出来。

三、应用全等性质解决问题的方法利用全等性质可以解决许多与三角形有关的问题。

下面将介绍两个常见的方法：1. 借助全等三角形构造等腰三角形：如果我们想要构造一个等腰三角形，可以先找到一个已知的全等三角形，然后利用全等性质得出新构造的三角形也是等腰三角形。

这是因为两个全等三角形的相应边相等，所以它们的底边长度相等，从而构成等腰三角形。

2. 利用全等三角形计算未知边或角：假设我们已知一个三角形的一部分边和角度，并且我们需要计算其他边或角。

如果我们能找到一个与已知三角形全等的另一个三角形，并且该三角形的其他边或角已知，那么我们可以利用全等性质来计算未知的边或角。

三角形的全等条件证明认识三角形的全等条件证明方法和应用

三角形的全等条件证明认识三角形的全等条件证明方法和应用三角形的全等条件证明及其方法应用在几何学中，全等是一个重要的概念，它意味着两个几何图形在形状和大小上完全相同。

对于三角形而言，我们可以通过证明它们满足一定的全等条件来确认它们是全等三角形。

本文将介绍三角形的全等条件证明的基本方法和应用。

一、全等三角形的定义在介绍全等条件证明之前，我们首先需要了解全等三角形的定义。

对于两个三角形ABC和DEF来说，如果它们的三个对应边长相等，则称这两个三角形是全等的，记作△ABC ≌△DEF。

二、全等条件证明的基本方法下面将介绍几种常用的全等条件证明方法：1. SAS（边-角-边）法SAS法是最常用的一种证明方法。

当我们知道两个三角形的一个边长和夹角以及另一个边长时，可以使用这种方法进行证明。

具体步骤如下：步骤一：确定两个三角形的一个对应边长相等，例如AB = DE；步骤二：确定两个三角形的一个夹角相等，例如∠ABC = ∠DEF；步骤三：确定两个三角形的另一个对应边长相等，例如AC = DF；步骤四：根据SAS法则，可以得出△ABC ≌△DEF。

2. SSS（边-边-边）法SSS法是另一种常用的证明方法。

当我们知道两个三角形的三个边长相等时，可以使用这种方法进行证明。

具体步骤如下：步骤一：确定两个三角形的三个对应边长相等，例如AB = DE，BC = EF，AC = DF；步骤二：根据SSS法则，可以得出△ABC ≌△DEF。

3. ASA（角-边-角）法ASA法是一种常用的证明方法。

当我们知道两个三角形的一个角度和两个夹角以及另一个角度时，可以使用这种方法进行证明。

具体步骤如下：步骤一：确定两个三角形的一个夹角相等，例如∠ABC = ∠DEF；步骤二：确定两个三角形的一个边长相等，例如AB = DE；步骤三：确定两个三角形的另一个夹角相等，例如∠ACB = ∠DFE；步骤四：根据ASA法则，可以得出△ABC ≌△DEF。

全等三角形在实际生活中的应用

全等三角形在实际生活中的应用三角形全等在解决实际问题中有广泛的应用，如测量无法直接测量的距离时，可根据三角形全等进行转化.有许多图形分割问题，也蕴含着全等思想.一、测量中的全等三角形例1．图1为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A 、B 两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用,,,c b a …表示；角度用,,,γβα…表示)；(3)根据你测量的数据,计算A 、B 两棵树间的距离.分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图2，步骤为：（1）在地上找可以直接到达的一点O ，（2）在OA 的延长线上取一点C ，使OC=OA ；在BO 的延长线上取一点D ，使OD=OB ；（3）测得DC=a ，则AB=a ．点评：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望．例2．如图3所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距 B A C D O 图2 Ａ • • • Ｂ图1 图3离。

你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了三角形全等的知识 . 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形。

如图4所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD 的长度可以测得，又战士与地面是垂直的，也就是∠BAC ＝∠EFD ＝900，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC ＝EF ，∠ABC ＝∠FED . 依据“SAS”可知△ABC ≌△DEF ，所以AC ＝FD . 所以只要测得FD的距离，就可得到AC 的距离 .二、修路中的全等三角形例3．如图5，有一块不规则土地ABCD ，分别被甲、乙二人承包，一条公路GEFH 穿过这块土地，EF 左边是甲，右边是乙，AB ∥CD.为方便通行，决定将这条公路尽量修直，但要求甲、乙二人的土地面积不变.请你设计一种方案，解决这个问题，并说明方案正确的理由.分析：将公路修直并不困难，关键是要保持甲、乙二人的土地面积不变.这里，我们应注意充分利用AB ∥CD 这一条件来构造全等三角形.解：取EF 的中点O ，连接GO 并延长交FH 于点M ，GM 就是修直后的公路.理由是：设GM 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，由AB ∥CD ，可得∠PEO ＝∠QFO ，又因为EO ＝FO ，∠EOP ＝∠FOQ ，故△EOP ≌△FOQ ，所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变.三、其他问题中的全等三角形例4．如图6，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，请你设计一个最省事的配玻璃方案，并说明理由.解：最省事的配玻璃方案是带着碎玻璃块③去玻璃店.理由是：玻璃块③含有一条完整的边BC 和夹BC 的两个图 5图4图6完整的角，根据ASA，只需将∠B和∠C的不完整的边延长相交即可，得到的三角形与原三角形全等.例5．如图7，点C是路段AB的中点，两人从C同时出发以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是从点C同时出发，且同时到达D，E两点，所以CD=CE.要说明DA与EB是否相等，则只需说明△ADC和△BEC是否全等.解：D，E与路段AB的距离相等.理由：因为点C是AB的中点，所以CA=CB，又CD=CE，DA⊥AB，EB⊥AB，所以Rt△ADC≌Rt△BEC（Hl）.所以DA=EB.即D，E与路段AB的距离相等.例6．如图8是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根拉线的长AB=AC，BD和DC的长相等吗？为什么？分析：因为电线杆和地面垂直，它和两根拉线分别构成两个直角三角形，所以通过全等三角形的知识解决.解:BD和DC相等.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°,又AB=AC,AD=AD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).所以BD=DC.例7．如图9，海岛上有A，B两个观测点，点B在点A 的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B 图7图8图9的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C、D 的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？分析：本题是一道和三角形全等有关的实际问题，要看海岛C、D到海岸AB的距离是否相等，则要看△ABC与△BAD是否全等.解：海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.理由：由已知得∠CAB=∠DBA=90°，又∠CAD=∠CBD，所以∠DAB=∠CBA，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∠CBA=∠DAB，所以△ABC≌△BAD（ASA），所以CA=DB，即海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.。

三角形的相似与全等

三角形的相似与全等三角形是几何学中重要的图形之一，它具有很多有趣的性质和特点。

其中相似和全等三角形是我们经常会遇到的，它们在解决几何问题时起到了至关重要的作用。

本文将详细介绍三角形的相似和全等性质，展示它们在几何学中的应用。

一、相似三角形相似是指两个或多个图形的形状相同，但尺寸不同。

对于三角形的相似而言，它们的对应角度是相等的，而对应边长之间的比值也相等。

三角形的相似关系可以用以下符号表示：∼。

1. 相似三角形的条件两个三角形相似的条件有三个，它们是：- AA相似条件：如果两个三角形的对应角均相等，那么它们是相似的。

- SSS相似条件：如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们是相似的。

- SAS相似条件：如果两个三角形的一个角相等，而且它们的对应边长之比相等，那么它们是相似的。

2. 利用相似三角形求解问题相似三角形的性质在解决几何问题时非常有用。

我们可以利用相似三角形的边长比例来求解未知边长或者计算面积。

例如，在计算高建设中，我们可以利用相似三角形来计算高楼大厦的高度，以及物体之间的距离。

相似三角形还可以用于计算海上物体的高度。

例如，在船只导航中，观察者可以利用相似三角形测量出其他船只的高度和距离，从而确保航行的安全。

二、全等三角形全等是指两个或多个图形的形状和尺寸均相同。

对于三角形而言，当两个三角形的对应边长和对应角均相等时，它们是全等的。

全等三角形可以用以下符号表示：≌。

1. 全等三角形的条件两个三角形全等的条件有三个，它们是：- SSS全等条件：如果两个三角形的对应边长均相等，那么它们是全等的。

- SAS全等条件：如果两个三角形的对应两边和夹角均相等，那么它们是全等的。

- ASA全等条件：如果两个三角形的对应两角和对边均相等，那么它们是全等的。

2. 利用全等三角形求解问题全等三角形的性质在解决几何问题时也非常有用。

我们可以利用全等三角形的对应边长和角度的相等性来推导出其他未知边长或角度。

两个直角三角形全等的条件和结论

两个直角三角形全等的条件和结论两个直角三角形全等的条件和结论：直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

当两个直角三角形之间满足一定的条件时，可以推断它们是全等的。

全等是指两个物体或图形的所有对应边长和角度相等。

以下是两个直角三角形全等的条件和结论：条件1：直角三角形的两个直角边相等当两个直角三角形的两个直角边相等时，即两个三角形中直角边的长度相等，可以推断它们是全等的。

结论1：两个直角三角形的斜边相等如果两个直角三角形的直角边相等，那么它们的斜边也相等。

因为两个直角三角形的直角边相等，所以它们的斜边和夹角相等，从而可以推断两个直角三角形是全等的。

条件2：直角三角形的一条直角边和斜边相等当两个直角三角形中，其中一个三角形的一条直角边和斜边分别与另一个三角形的一条直角边和斜边相等时，可以推断它们是全等的。

结论2：两个直角三角形的另一条直角边和夹角相等如果两个直角三角形的一条直角边和斜边相等，那么它们的另一条直角边和夹角也相等。

因为两个直角三角形的一条直角边和斜边相等，所以它们的另一条直角边和夹角也相等，从而可以推断两个直角三角形是全等的。

条件3：直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等当两个直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等时，可以推断它们是全等的。

结论3：两个直角三角形的所有角度和边长都相等如果两个直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等，那么它们的所有角度和边长也相等。

因为两个直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等，所以它们的所有角度和边长都相等，从而可以推断两个直角三角形是全等的。

条件4：直角三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例相等当两个直角三角形中，其中一个三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例分别与另一个三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例相等时，可以推断它们是全等的。

结论4：两个直角三角形的所有角度和边长都相等如果两个直角三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例相等，那么它们的所有角度和边长也相等。