矩阵的初等变换

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矩阵的初等变换

二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B

(
A
b)

1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质：（1）反身性 A A；（2）对称性若 A B ,则 B A; （3）传递性若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序；（ i 与 j 相互替换）

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指矩阵的元素可以通过运用一系列简单的操作进行变换，而不改变矩阵的表达式形式。

它主要有三种：行变换、列变换和对角变换。

1、行变换行变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一行或者多行乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一行或者多行加上矩阵的另一行乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两行。

2、列变换列变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一列或者多列乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一列或者多列加上矩阵的另一列乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两列。

3、对角变换对角变换就是把矩阵的一行或者一列乘以一定的非零常数，改变的只有矩阵的对角线上的元素。

二、矩阵的初等变换的作用矩阵的初等变换在数学中被用来解方程组，对矩阵进行相应的变换，可以使矩阵变得简单易懂，方便求解。

1、消元消元是指用初等变换将不完全行列式变为下三角形式，也就是将原有的矩阵通过初等变换转化为更简单易懂的形式。

消元可以解决线性方程组，求解使方程组成立的一组解。

2、求逆矩阵求逆矩阵是指找到可以使一个矩阵的乘积等于单位矩阵的矩阵，如果形式方程有唯一解，则可以通过求逆矩阵来求解。

三、矩阵的初等变换的实践1、求解线性方程组例1：求解下列线性方程组x1+x2+x3=22x1+x2+2x3=5x1+2x2+2x3=4通过消元法可以将方程转化为x2+2x3=32x2+4x3=7又因为，x3=3-2x2，于是有x2=1/2x3=7/4因此，原方程的解为：x1=2-x2-x3=2-1/2-7/4=9/4x2=1/2x3=7/42、求逆矩阵例2：求解矩阵A的逆矩阵A=[2 34 5]首先，计算矩阵A的行列式，即|A|=2*5-3*4=-2，所以|A|不等于0，A是可逆矩阵。

计算A的逆矩阵A^(-1)，A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]最终A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]四、结论矩阵的初等变换是一种重要的数学工具，它可以利用简单的操作改变矩阵的形式，从而解决一些数学方程，例如求解线性方程组和求逆矩阵。

第三节矩阵的初等变换

6 3 9 3
(2) A r113
2 0
1 3 1 1 3 4
2 3 9 6
0 (3)A r13r3 0

6 18 21 1 3 4

定义2 矩阵的初等列变换:
设A是m n矩阵,
(i) 对调A的两列(对调 i, j 两列, 记作 ci cj );
设A是m n矩阵,
(i) 对调A的两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj );
(ii) 以一个非零数 k 乘以A的某一行中的所有元素 (第 i 行乘以 k , 记作 kri );
(iii) 把A的某一行所有元素的 k倍加到另一行对应的元素上去 (第 j 行的 k倍加到第 i 行上,记作 ri +krj).
定
，
其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.
(2)所有与A矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类. 标准形F 是这个等价类中形状最简单的矩阵.
(3) 矩阵A可以只通过初等行变换化为行阶梯形、行最简单形. 再通过初等列变换化为标准形.
1 6 4 1 4

r2 r4
0 2 3
4 0 2
3 1 0
1 1
5 5
03
1 6 4 1 4

rr43 32rr11
0 0 0
4 12 16
3 9 12
1 7 8
1

1121
1 6 4 1 4
(ii) 以非零数k 乘以A的某一列中的所有元素 (第 i 列乘以 k , 记作 kci );

矩阵的初等变换

经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
解：
且rr34这2rr行些43最非简零100形元矩所110 阵在特的021点列：的111 其非它零043元行素的(B都第4为一) 个0．非零1素B,元3消；为去为B1B4，是4行下a把阶34方梯a的变3形4 元为
0 0
0
0
0
矩阵.
只为有一一行行行）阶，后梯rr台面12形rr阶的2矩3 数第阵即一特100是个点非元100：零素可行为0画11的非出100行零一数元条，，34阶3阶也梯梯就线(B线是，5 )的非线竖零的线行下（的方与元B每第4全素a3段一4为，；BB竖个0消55是为；线非去行保每的零其最留个长元上简台度．a方2形阶2
3 4 3 0 0 1
9.6 矩阵的初等变换
经济数学
9.6.1 矩阵的初等变换
解：
rr32 33rr11
1 0
2 4
20 5 1
1 3
0
1
0
r2 r3
0
2 2
20 3 0
1 3
0 1
0 2 3 0 3 1
0 4 5 1 3 0
1 2 2 0 1 0
1 2 2 0 1 0
12r2
0
1
30
解： 3 A 1
2 2
1
1
2
r1r2
3
2 2
2 1
rr32 33rr11
1 0
2 4
2 5
3 4 3
3 4 3
0 2 3
1
r2 r3
0
2 2
2 3
12r2
1 0
2 1
2 3/ 2

线性代数-矩阵的初等变换

求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n，其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1，且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换
矩阵的初等变换指的是对方阵中的元素施行的线性变换，这种线性变换仅涉及行之间和列之间的移位，加倍或取负，而不涉及现存元素之间的运算，这种变换具有很多特点，它不改变矩阵的性质，具有非常广泛的应用，因此它在数学中被广泛使用。

首先，矩阵的初等变换仅涉及行之间和列之间的移位，加倍或取负，而不涉及现存元素之间的运算。

这类变换包括交换行和列、乘以一行或列的一个非零常数、加一行或列的数倍的另一行或列等等。

这类变换对原矩阵没有实质性影响，经过这种变换，原矩阵的逆矩阵仍然存在，但是变换后的矩阵中元素的值发生了变化。

其次，矩阵的初等变换具有非常广泛的应用，包括多元线性回归中的系数矩阵降秩、求解线性方程组的特解的方法和非完备性矩阵的展开、求取矩阵的最佳逼近等等。

由此可见，矩阵的初等变换是解决线性代数问题的有效工具，在解决数值计算的问题中也有着重要的应用。

第三，矩阵的初等变换具有易于推导的优点。

经过初等变换，矩阵中的元素没有发生实质性的变化，因此变换只涉及矩阵中元素在行或列上的移位、加倍或取负，这种变换可以很容易地推导出，因此它不但可以节省时间，而且是可逆的，即可以以变换前的方程恢复出变换后的矩阵。

最后，矩阵的初等变换具有解决数值计算问题的优势，它可以帮助计算解出精确的数值解，使可能的误差降至最低。

由于初等变
换具有节省时间和可逆的优点，因此它可以有效地帮助计算机解出更为精确的结果。

总的来说，矩阵的初等变换是一种非常有用的变换，该变换仅涉及行列之间的关系，具有节省时间和可逆性的特点，可以有效地帮助计算出更为精确的结果，因此它在数学中得到了广泛的应用。

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换，当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.

线性代数—矩阵的初等变换

1 0 B= 0 0
2 1 0 0
0 4 r − 2r 2 0 1 1 1 − 1 0 0
1 0 0 0
2 1 0 1 =C 0 1 −1 0 0 0 0 0
这种特殊的行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵．一般地，满足下列条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵： (1)各非零行的首非零元素是1； (2) 每个首非零元素所在列的其它元素都是零．
这表明：用初等矩阵E[i,j(k)]左乘A恰好等于把A 的第j行的k倍加到第i行上. 对于其它两种初等行变换以及定理的(2)，可以类似地进行证明．
例2.20 设
3 1 0 A = − 1 1 2 1 0 1
,而
0 1 0 E 3 (1,2) = 1 0 0 0 0 1
3 3 7 2
1 1 2 0 0 1 r3 − 5r2 0 5 − 2 r4 + 2r2 0 − 2 − 4
1 r2 × 3
3 1 7 2
1 0 → 0 0
2 1 0 0
1 0 −2 −4
3 r 2r 1 4 − 3 0 1 r ×− 1 0 2 3 2 0 4
于是
ε1 ε1 A A1 M M M ε + kε (ε + kε )A A + kA j j j i i i E[i, j(k)]A = M A = M = M = B ε j ε j A Aj M M M εm εm A Am
ε i = (0, L ,0,1,0, L ,0) ( i = 1,2, L , m )

矩阵的初等变换与初等矩阵

Er O
O O

0
00
0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形.其中r是行阶梯形矩
阵非零行的行数.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
二、初等矩阵
定义由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
行阶梯形矩
阵的特点: 阶梯线下方的元素全为零; 每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行) 后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.
例如
1 2 0 0

0
0
1
0

0 0 0 1
1 2 1 0

E(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AE(i, j): 对换 A的 i, j 两列． E(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AE(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
E(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
第二章矩阵
§1 矩阵的概念与运算 §2 可逆矩阵与逆矩阵 §3 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 矩阵的秩与矩阵的分块
习题课
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换二、初等矩阵三、用初等变换求矩阵的逆
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
1) 用非零数k乘矩阵的某一行（列）； k ri，k ci 2) 把矩阵的某行(列)的k倍加到另一行() 互换矩阵中两行(列)的位置． ri rj，ci c j 矩阵A经初等行(列)变换变成矩阵B，一般地A≠B．

矩阵的初等变换

1 5
r3
rr1262rr33
1 0 0
0 1 0
0
0
．
1
1.1 矩阵的初等变换概念
定理2
任意一个矩阵 Amn ，都能经过有限次初等变换变成标准形矩阵。
例题
2 1 2 3
例2
将矩阵
A
4
1
3
5
化为标准形。
2 0 1 2
2 1 2 3
2 1 2 3
2 0 1 2
解：
A
4
2
1 0
(E(i ，j))1 E(i ，j) ；(E(i(k)))1 E(i(k1)) ；(E(i ，j(k)))1 E(i ，j(k)) ．性质 2 初等矩阵的转置仍是同类型的初等矩阵，即
(E(i ，j))T E(i ，j) ；(E(i(k)))T E(i(k)) ；(E(ri krj ))T E(rj kri ) ．性质 3 对一个矩阵 Amn 施行一次初等行变换，相当于对 A 左乘一个相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于对 A 右乘一个相应的 n 阶初等矩阵。
线性代数
1.1 矩阵的初等变换概念
定义1
下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换．（1）交换矩阵中的第 i 行（列）与第 j 行（列）的元素，记作 ri rj 或 ci cj ；（2）用一个非零常数 k 乘矩阵的第 i 行（列），记作 kri 或 kci ；（3）矩阵的第 j 行（列）元素的 k 倍加到第 i 行（列）对应元素上，记作 ri krj 或 ci kcj ．（注意：第 j 行（列）的元素并没有改变。）矩阵的初等行或列变换统称为初等变换。
1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 1 1

矩阵初等变换

矩阵初等变换矩阵初等变换：线性代数中的重要工具一、引言矩阵初等变换是线性代数中的重要工具，它通过对矩阵进行一系列特定的操作，可以改变矩阵的性质和形态。

矩阵初等变换在解线性方程组、求逆矩阵、求特征值等问题中具有广泛的应用。

二、矩阵初等变换的定义矩阵初等变换是指对矩阵进行一系列的行变换或列变换，使得矩阵的性质发生改变。

矩阵初等变换包括三种类型：交换两行（列）、某一行（列）乘以非零常数、某一行（列）乘以非零常数加到另一行（列）上。

三、矩阵初等变换的作用1. 解线性方程组利用矩阵初等变换可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。

通过对矩阵进行初等变换，可以使得方程组的系数矩阵变为单位矩阵或对角矩阵，从而可以直接得到方程组的解。

2. 求逆矩阵矩阵初等变换也可以用来求解矩阵的逆。

通过对矩阵进行一系列的初等变换，可以将原矩阵转化为单位矩阵，同时对应的初等变换作用于单位矩阵上，从而得到原矩阵的逆矩阵。

3. 求特征值和特征向量对于给定的矩阵，通过对其进行一系列的初等变换，可以将矩阵转化为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵的特征值。

同时，通过初等变换得到的矩阵与原矩阵具有相同的特征向量。

四、矩阵初等变换的性质1. 可逆性矩阵初等变换是可逆的，即对矩阵进行初等变换后再进行逆变换，可以得到原矩阵。

2. 保持行（列）线性关系矩阵初等变换保持行（列）之间的线性关系不变，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的行（列）之间的线性组合关系保持不变。

3. 保持秩不变矩阵初等变换不改变矩阵的秩，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的秩保持不变。

5. 矩阵初等变换的运算规律矩阵初等变换具有一些运算规律，包括交换律、结合律和分配律。

六、矩阵初等变换的应用举例1. 解线性方程组的应用通过对系数矩阵进行初等变换，可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。

例如，对于如下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 9可以通过矩阵初等变换将其转化为如下形式：1 0 | a0 1 | b从而可以直接得到解x=a、y=b。

矩阵的三种初等变换

矩阵的三种初等变换
矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的初等变换也是线性代数中的基本操作。

初等变换是指对矩阵进行某些简单的操作，使得矩阵的性质发生变化，从而得到新的矩阵。

下面将介绍三种常见的矩阵初等变换，包括行变换、列变换和倍加变换。

一、行变换
行变换是指对矩阵的某一行进行简单变换，例如交换两行、某一行乘以一个数、将某一行加上另一行的某个倍数等操作。

行变换可以使得矩阵变成行最简形式，也可以用于求解线性方程组，例如高斯-约旦消元法就是通过行变换求解线性方程组的方法。

二、列变换
列变换是指对矩阵的某一列进行简单变换，例如交换两列、某一列乘以一个数、将某一列加上另一列的某个倍数等操作。

列变换可以用于求解矩阵的秩、解决线性方程组等问题。

三、倍加变换
倍加变换是指对矩阵某一行或某一列进行一定倍数的加减运算，例如将某一行乘以k之后加到另一行上。

倍加变换可以用于求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等问题。

总之，初等变换是矩阵计算中一个非常重要的操作，通过行变换、列变换和倍加变换可以得到一系列的新矩阵，这些新矩阵在线性
代数中具有很多实际应用。

同时，初等变换也是线性代数学习中的一个重要环节，掌握初等变换的方法及其应用，可以帮助我们更好地理解矩阵及其应用。

矩阵的初等变换

1
E (i, j)
1
0
1
1
第i 行
1
1
0 1
第j 行
1
h
14
（2）倍法变换
以k数 0 乘单位i行矩 (rik 阵 ),得的初第
矩阵
1
E ( i ( k ))
1 k
第i 行
1
1
h
15
（3）消法变换
以 k乘 E的j第行加i行到(上第 ri kjr )
初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同．
ri rj 逆变换
k r i 逆变换 ri krj 逆变换
ri rj;
1 k
ri;
r i ( k )r j或 r i kj.r
h
4
定义2 若矩阵A可以经过有限次初等变换变成矩阵 B，则称矩阵A、B等价。
等价关系的性质：（1）反身性 A与A等价（2）对称性若A与B等价，则B与A等价（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价
14 14
2X 1 1
1 1
1 1 02
2 0
3 4;
2 1 1 0 1 5
h
30
例3
h
25
推论2. A 可逆 A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积
推论3.
m n 阶矩阵 A 、 B 等价存在 m 阶可逆矩阵 P ， n 阶可逆矩阵 Q ，使得 P A Q B
h
26
当 A 0 时A ， P 1 P 2 P 由 l ，有
h
19
定理4（左行右列原则）
对一个m×n阶Байду номын сангаас阵A施行一次初等行变换，相当于用一

6.6矩阵的初等变换

1 1 1 A 1 3 / 2 3 5 / 2 3 2 1
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵定理设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2

第三讲矩阵的初等变换

1、对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri r j )，得初等方阵
1 1 0 1 第i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1
Pl 1 Pl 1 P11 A E , 及 1 Pl 1 Pl 1 P11 A E 1 Pl 1 Pl 1 P11 A Pl 1 Pl 1 P11 E 1 1 Pl 1 Pl 1 P11 E A1 , 1
E A 1
以 Em ( i ( k )) 左乘矩阵 A，
a11 E m ( i ( k )) A kai 1 a m1
a12 kai 2 am 2
a1n kain 第 i 行 amn
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 ( ri k )；
对于任何矩阵 mn , 总可经过有限次初等行 A 变换把他变为行阶梯形和行最简形 .
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．
1 0 B5 0 0 1 c3 c4 0 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 4 1 c c c 1 0 1 3 4 1 2 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 F 0 1 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 3 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0
r1 2r3
r2 5r3
1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1

§1.5 矩阵的初等变换

推论2证明
存在 n 阶可逆阵P和Q, 使 PAQ Er O , (r n), O O
则 A P 1 Er O Q1, 故有 P 1 Er O Q1B E,
O O
O O
即有 Er O Q1B P, 由此可断定 r = n, O O
1 1 4 2
行最简形及标准形.
化为行阶梯形、
A
r

1 0
2 3
2 6
1 3
r
1 0
0 1
2 2
1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
C

0
1
0
0
0 0 0 0
矩阵化标准形步骤：先用初等行变换化为行最简形,再用初等列变换化为标准形.
证明 (1) 由 A2 A 2E O , 得 A( A E) 2E, 即 A A E E,
2 故 A 可逆,且有 A1 1 ( A E ).
2 (2) 由 A2 A 2E O , 得 ( A 2E)( A 3E) 4E O,
即 ( A 2E) 1 (3E A) E,
(1) ri rj 的逆变换是 ri rj
(2)
ri

k
的逆变换是
ri

(1 k
)
(或记作
ri

k
).
(3) ri+krj 的逆变换是 ri+(k)rj (或记作 ri krj ).
3. 1) 若矩阵A经有限次初等行 (列) 变换变成矩阵B,
就称矩阵A与B行
(列)
等价,

线性代数-矩阵的初等变换

线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。

分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。

矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。

⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。

对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。

A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。

显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。

A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。

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矩阵的初等变换

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换

第三节 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换

线性代数-矩阵的初等变换

矩阵的初等变换

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

线性代数—矩阵的初等变换

矩阵的初等变换与初等矩阵

矩阵的初等变换

矩阵 初等变换

矩阵的三种初等变换

矩阵的初等变换

6.6矩阵的初等变换

第三讲矩阵的初等变换

§1.5 矩阵的初等变换

线性代数-矩阵的初等变换

第三节矩阵的初等变换

矩阵初等变换