第七章 图

由于“弧”是有方向的，因此称由顶点集和弧 集构成的图为有向图
V1 V3 V4
无向图G1
V2 G1=（V，E） V＝{v1,v2,v3,v4,v5}； E＝{(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3),(v3,v4), (v3,v5),(v2,v5)}。
V5
(vi,vj)表示顶点vi和顶点vj之间有一条无向直接连线，也称为边。
A
弧的数目；
E
B
顶点的入度: 以顶点v为弧头的弧 的数目。
例如: OD(B) = 1
C
F
顶点的
度(TD)=
出度(OD)+入度(ID)
ID(B) = 2
TD(B) = 3
设图G=(V,{VR})中的一个顶点序列{ u=vi,0,vi,1, …, vi,m=w}中，
(vi,j-1,vi,j)VR 1≤j≤m,则称从顶点u 到顶点w 之间存在一条 路径。路径上边的数目称作路径长度。
⑾ ⑿ ⒀
LocateVex（G，u）在图G中找到顶点u，返回该顶点在图中位置。 FirstAdjVex（G，v）在图G中，返回v的第一个邻接点。若顶点在G中 没有邻接顶点，则返回“空”。 NextAdjVex（G，v，w）在图G中，返回v的(相对于w的) 下一个邻 接顶点。若w是v的最后一个邻接点，则返回“空”。
弧的结点结构 顶点的结点结构adjvex nextarc info
data firstarc
1.无向图的邻接表
B
C
D
0 1 2 3 4 5
A B C D E F
1 0 3 2 0 1
4 4 5 5 1 2
A
5
F E
3
2.有向图的邻接表 0 1
A
B C F E
A
1
4
B
C D
2
3 0 1
2
三、基本操作
⑴ CreatGraph（G） 输入图G的顶点和边，建立图G的存储。 ⑵ DestroyGraph（G） 释放图G占用的存储空间。 ⑶ GetVex（G，v） 在图G中找到顶点v，并返回顶点v的相关信息。 ⑷ PutVex（G，v，value）在图G中找到顶点v，并将value值赋给顶点v。
15
A
21 2
9 11
弧或边带权的图分别称
B
3
7
E
作有向网或无向网。
C
F
B
设图G=(V,{VR}) 和图 G=(V,{VR}), 且 VV, VRVR, 则称 G 为 G 的子图。
A
B E
C
A
假设图中有 n 个顶点，e 条边，则
含有 e=n(n-1)/2 条边的无向图称作完全图；
含有 e=n(n-1) 条弧的有向图称作 有向完全图；
由顶点集和边集构成的图称作无向图。
V1
V2
G2=(V,E) V={v1,v2,v3,v4} E={<v1,v2>,<v1,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}
<vi,vj>表示顶点vi和顶点vj之间有一条有 向直接连线，也称为弧。其中vi称为弧尾， vj称为弧头。
V3
有向图G2
V4
二、名词和术语
简单路径:序列中顶点不重复出 现的路径。
E
A
B
简单回路:序列中第一个顶点和 最后一个顶点相同的路径。
C
F
如:长度为3的路径{A,B,C,F}
若图G中任意两个顶点之间都有 路径相通，则称此图为连通图； A
B
C
D
B
C
F
E
A
D
若无向图为非连通图，则图中 各个极大连通子图称作此图的 连通分量。
F
E
对有向图，
data firstarc
// 顶点信息 // 指向第一条依附该顶点的弧
} VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];
图的结构定义
typedef struct { AdjList vertices; int int vexnum, arcnum; kind; // 图的种类标志
} ALGraph;
有向图的十字链表存储表示图示
弧尾顶点位置 弧头顶点位置
指向下一个有相 同弧尾的结点
弧的相关信息
指向下一个有相 同弧头的结点
typedef struct ArcBox { // 弧的结构表示
int tailvex, headvex; InfoType *info;
struct ArcBox *hlink, *tlink; } VexNode;
4 2
1
1
2
0 A.e dge 3
1 0 5
9 0 6
4 2 8 0
无向图数组表示法特点： 1）无向图邻接矩阵是对称矩阵，同一条边表示了两次； 2）顶点v的度：在无向图中等于二维数组对应行（或列）中1 的个数；在有向图中, 统计第 i 行 1 的个数可得顶点 i 的出度， 统计第 j 列 1 的个数可得顶点 j 的入度。 3）判断两顶点v、u是否为邻接点：只需判二维数组对应分量 是否为1； 4）顶点不变，在图中增加、删除边：只需对二维数组对应分 量赋值1或清0； 5）设存储顶点的一维数组大小为n(图的顶点数n), G占用存储 空间：n+n2；G占用存储空间只与它的顶点数有关，与边数无 关；适用于边稠密的图；
A D
F
E
无向图的邻接矩阵为对称矩阵
0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
F E DCB A
A
B
C F
E
A B C
E
F
有向图的邻接矩阵为非对称矩阵
0 0 0 1 0
1 0 0 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
3
4
E
2
在有向图的邻接表中不易找到指向该顶点的弧。
3.有向图的逆邻接表
0 A 1 B
3 3 4 2 0 0
2 C
3 D
A B C D E
4 E
在有向图的邻接表中，对每个顶点， 链接的是指向该顶点的弧。
typedef struct ArcNode { int adjvex;
// 该弧所指向的顶点的位置
重点
图的各种存储结构，遍历图的递归和非递归算法，应用图的遍历算法求 各种简单路径问题。
应用图的遍历算法求各种简单路径问题。
难点
7.1
图的定义与基本操作
图（Graph）是一种比树形结构更复杂的非线性结构。在图 形结构中，每个结点都可以有多个直接前驱和多个直接后继。
一、图的结构定义:
图（Graph）是由非空的顶点（Vertices）集合和一个描 述顶点之间关系——边（Edges）的有限集合组成的一种数据结 构。可以用二元组定义为： G＝（V，E） 其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的 集合。
typedef struct VexNode { // 顶点的结构表示 VertexType data; ArcBox *firstin, *firstout;
⑸ InsertVex（G，v）在图G中增添新顶点v。
⑹ DeleteVex（G，v）在图G中，删除顶点v以及所有和顶点v相关联的边或弧。 ⑺ InsertArc（G，v，w）在图G中增添一条从顶点v到顶点w的边或弧。
⑻ DeleteArc（G，v，w）在图G中删除一条从顶点v到顶点w的边或弧。
⑼
若任意两个顶点之间都存在一条有向路径，
则称此有向图为强连通图。 否则，其各个强连通子图称作它的强连通分量。
A B E
A B C F E
C
F
假设一个连通图有 n 个顶点和 e 条边，其中 n-1 条边和 n 个顶点构成一个极小连通子图，称该极小连通子图为此连通图 的生成树。
B A F
C D E
对非连通图，则称由各个连 通分量的生成树的集合为此 非连通图的生成森林。
7.2.2 图的邻接表存储表示
邻接表(Adjacency List)是图的一种顺序存储与链式存储结合的存 储方法。邻接表表示法类似于树的孩子链表表示法。就是对于图G中的 每个顶点vi，该方法将所有邻接于vi的顶点vj链成一个单链表，这个单 链表就称为顶点vi的邻接表。再将所有点的邻接表表头放到数组中，就 构成了图的邻接表。
若边或弧的个数 e<nlogn，则称作稀疏图，否则称作稠密图。
假若顶点v 和顶点w 之间存在一条边，则称顶点v 和w 互为
邻接点，
边(v,w) 和顶点v 和w 相关联。 和顶点v 关联的边的数目定义为边的度。
例如:
ID(B) = 3 A ID(A) = 2 D B C
F
E
对有向图来说:
顶点的出度: 以顶点v为弧尾的
7.2.3 有向图的十字链表存储表示
十字链表（Orthogonal List）是有向图的一种存储方法，它 实际上是邻接表与逆邻接表的结合，即把每一条边的边结点分别组织 到以弧尾顶点为 头结点的链表和以弧头顶点为头顶点的链表中。
在弧结点中有五个域：其中尾域(tailvex)和头(headvex)分别指示 弧尾和弧头这两个顶点在图中的位置，链域hlink指向弧头相同的下一 条弧，链域tlink指向弧尾相同的下一条弧，info域指向该弧的相关信 息。弧头相同的弧在同一链表上，弧尾相同的弧也在同一链表上。它 们的头结点即为顶点结点，它由三个域组成：其中vertex域存储和顶 点相关的信息；firstin和firstout为两个链域，分别指向以该顶点为弧 头或弧尾的第一个弧结点。