人教版高中数学必修四第二章平面向量第三节第二课时平面向量的正交分解及坐标表示教学课件

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人教版高中数学必修4讲义 2.3 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面向量的正交分解及坐标表示阅读教材P 94～P 95内容，完成下列问题. 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示.显然，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若OA →＝(2，－1)，则点A 的坐标为(2，－1).( )(2)若点A 的坐标为(2，－1)，则以A 为终点的向量的坐标为(2，－1).( ) (3)平面内的一个向量a ，其坐标是唯一的.( )【解析】 (1)正确.对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同. (2)错误.以A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等. (3)正确.由平面向量坐标的概念可知. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√教材整理2 平面向量的坐标运算阅读教材P 96“思考”以下至P 97例4以上内容，完成下列问题.1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.2.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.3.若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.向量坐标的几何意义：图2-3-13在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1).如图2-3-13所示.1.已知a ＝(2,1)，b ＝(3，－2)，则3a －2b 的坐标是( ) A.(0，－7) B.(0,7) C.(－1,3)D.(12，－1)【解析】 3a －2b ＝3(2,1)－2(3，－2) ＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7). 【答案】 B2.已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A.(－2，－1) B.(2,1) C.(1,2)D.(－1，－2) 【解析】 BA →＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2). 【答案】 C[小组合作型]平面向量的坐标表示(1)已知AB →＝(1,3)，且点A (－2,5)，则点B 的坐标为( ) A.(1,8) B.(－1,8) C.(3,2)D.(－3,2)(2)如图2-3-14，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.图2-3-14图2-3-15(3)如图2-3-15，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标.【精彩点拨】表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标【自主解答】 (1)设B 的坐标为(x ，y )，AB →＝(x ，y )－(－2,5)＝(x ＋2，y －5)＝(1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝1，y －5＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8，所以点B 的坐标为(－1,8).(2)如题干图，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)，同理OD →＝(－1,1).【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1)(3)由题意知B, D 分别是30°，120°角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).由三角函数的定义，得x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，所以B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，所以D ⎝⎛⎭⎫－12，32.所以AB →＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.[再练一题]1.已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标. 【导学号：00680048】【解】如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)， ∴C (1，3)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝⎝⎛⎭⎫12－2，32－0＝⎝⎛⎭⎫－32，32.平面向量的坐标运算(1)设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →等于( ) A.(1＋m,7＋n ) B.(－1－m ，－7－n ) C.(1－m,7－n ) D.(－1＋m ，－7＋n )(2)已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－4，12 B.⎝⎛⎭⎫4，－12 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D.(8,1)(3)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标.【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →＋CB →＋BA →来求解. (2)可借助AB →＝OB →－OA →来求12AB →坐标.(3)可利用AB →＝(x B －x A ，y B －y A )来求解. 【自主解答】 (1)DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB → ＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n ). (2)12A B →＝12(OB →－OA →)＝12[](－5，－1)－(3，－2)＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，∴12AB→＝⎝⎛⎭⎫－4，12.【答案】(1)B(2)A(3)∵AB→＝(－2,10)，BC→＝(－8,4)，AC→＝(－10,14)，∴AB→＋2BC→＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)，BC→－12AC→＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3).平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[再练一题]2.已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b.【解】(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).(3)12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23.[探究共研型]向量坐标运算的综合应用探究1 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？【提示】 ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t ). 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.探究2 对于探究1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.【提示】 ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t ). 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解. 故四边形不能成为平行四边形.已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10).若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R )，试求λ为何值时， (1)点P 在一、三象限角平分线上；(2)点P 在第三象限内. 【导学号：70512032】【精彩点拨】解答本题可先用λ表示点P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.【自主解答】设点P 的坐标为(x ，y )，则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，A B →＋λ·A C →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵A P →＝A B →＋λA C →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. (1)若P 在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，∴λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上.(2)若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.当λ<－1时，点P 在第三象限内.1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.[再练一题]3.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2-3-16所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图2-3-16【解析】以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3).由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.【答案】 41.已知OA →＝(4,8)，OB →＝(－7，－2)，则3AB →＝( ) A.(－9,18) B.(9，－18) C.(－33，－30)D.(33,30)【解析】 3AB →＝3(OB →－OA →)＝3[(－7，－2)－(4,8)]＝(－33，－30). 【答案】 C2.若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3)D.(0，－1)【解析】 3a ＋2b ＝3(2,1)＋2(1,0)＝(8,3). 【答案】 C3.若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →等于( ) A.(4,6) B.(－4，－6) C.(－2，－2)D.(2,2) 【解析】由AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).故选A. 【答案】 A4.已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________.【导学号：00680049】【解析】 AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫35，－45 5.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求MN →的坐标. 【解】因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，所以CM →＝3CA →＝(3,24)， CN →＝2CB →＝(12,6).设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，所以M (0,20)，同理可得N (9,2)，所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18).。

高中数学必修四2-3-2 平面向量的正交分解及坐标表示_2-3-3 平面向量的坐标运算课件

解 (1)2a＋3b＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a－13b＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23).
3，
即 b＝－32，32
3．
(2)B→A＝－A→B＝32，－32
3．
(3)O→B＝O→A＋A→B＝(2 2，2 2)＋(－32，32 3)
＝2 2－32，2 2＋32 3．
∴点 B 的坐标为(2 2－32，2 2＋323)．
规律方法求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
则 OM＝OA·cos 45°＝4× 22＝2 2，
AM＝OA·sin 45°＝4× 22＝2 2， ∴A(2 2，2 2)，故 a＝(2 2，2 2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又 OC＝AB＝3．
∴C－32，32
3，∴A→B＝O→C＝－32，32
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示 (重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．
知识点1 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个
_互__相__垂__直___ 的向量． 2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同
的两个_单__位__向__量___ i，j作为__基__底____ ．

高中数学人教版必修4 2.3.2、3平面向量的正交分解及坐标表示课件2

c＝(－1,2)，则向量 c 等于( )
A．－12a＋32b
B．32a－12b
C．12a－32b
D．－32a＋12b
[答案] C [解析] 12a－32b＝(12－32，12＋32)＝(－1,2)，故选 C.
3．已知M→A＝(－2,4)、M→B＝(2,6)，则12A→B等于(
)
A．(0,5)
B．(0,1)
即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)， (－1－x2,2－y2)＝(1,2)． ∴xy11＋－12＝＝12 ，和－ 2－1－ y2＝x2＝ 2 1 ， ∴xy11＝＝04 ，和xy22＝＝－ 0 2 . ∴C、D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此C→D＝(－2，－4)．
跟踪练习
C．(2,5)
D．(2,1)
• [答案] D
[解析] 12A→B＝12(M→B－M→A) ＝12((2,6)－(－2,4))＝12(4,2)＝(2,1)，故选 D.
4．(2014·山东济南商河弘德中学高一月考)已知点 A(－1,5)和向量A→B＝(6,9)，则点 B 的坐标为________．
若O→A＝(2,8)、O→B＝(－7,2)，则13A→B＝________.
• [答案] (－3，－2)
[解析] ∵O→A＝(2,8)、O→B＝(－7,2)， ∴A→B＝O→B－O→A＝(－9，－6)， ∴13A→B＝(－3，－2).
2.中点坐标公式
例题 2 已知平行四边形 ABCD 的一个顶点 A(－2，1)，一组对边 AB，CD 的中点分别为 M(3,0)、N(－1，－2)，求平行四边形其他三个顶点的坐标． • [分析] 根据平行四边形的对角线互相平分，求出对角线交
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高中数学人教A版必修4课件：2.3.2、2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算

(2)若是▱ACBD，则由A→D＝C→B 得 (x，y)－(1,0)＝(0,2)－(－1，－2)，即(x－1，y)＝(1,4)．解得 x＝2，y＝4. ∴D 点坐标为(2,4)(如图中的 D2)．
(3)若是▱ABDC，则由A→B＝C→D得(0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)，
即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得 x＝－2，y＝0. ∴D 点的坐标为(－2,0)(如图中的 D3)．综上所述，以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．
__(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1_) _，即一个向量的坐标等于表示此向
量的有向线段的_终__点___的坐标减去_起__点___的相应坐标
判一判(判断下列说法的正误) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) 提示：× 向量的坐标是由终点坐标与起点坐标决定，终点不同，这两个向量的坐标可能相同．
思路点拨：点的坐标 → A→B与A→C → 线性运算
解：∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)， ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；
A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)； 2A→B＋12A→C＝2(3，－1)＋12(－3,2) ＝(6，－2)＋－32，1＝92，－1.
解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3) ；
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)； 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)； 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．

高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4

1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6，即 A 2 3,6 ，所以

OA＝ 2 3,6 .

【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算

人教版高中数学必修四《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》

b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算
性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？答案 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
答案
梳理
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
平面向量的基本定理
把一个向量分解为两个互相垂直量，叫做把向量正交分解.
的向
知识点一
平面向量的正交分解
思考如果向量 a与b的夹角是 90°，则称向量 a与b垂直，记作 a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一
有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，
我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).
思考2
在平面直角坐标系内，给定点 A 的坐标为 A(1 ， 1) ，则 A 点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？
题型探究
类型一平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45° ，
→ → ∠OAB＝105° ，OA＝a，AB＝b. 四边形 OABC 为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；

高中数学第二章第3节平面向量的基本定理及坐标表示第2课时平面向量的正交分解及坐标表示人教A版必修4

[课前反思]
(1)平面向量的正交分解：
；
(2)平面向量的坐标表示：
；
(3)平面向量的坐标运算：
；
(4)平面向量共线的坐标表示：
.
向量的坐标表示讲一讲
1．(1)已知向量 a 在射线 y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点 O，又|a|＝ 2，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，则向量 a 的坐标为( )
[尝试解答] (1)①12×(－3)－34×(－2)＝－32＋32＝0，
∴a∥b.
②0.5×64－4×(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a，b 不平行． ③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b 不平行． ④2×2－3×－43＝4＋4＝8≠0，∴a，b 不平行．答案：(1)①
(2) AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD ＝(5，－3)－(1,3)
②意义不同，点 A(x，y)的坐标表示点 A 在平面直角坐标系中的位置，向量 a＝(x，y)的坐标既表示大小，又表示方向；另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点 (x，y)或向量(x，y)．
联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点坐标相同．
(4)两向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示为xx12＝yy12吗？
第 2 课时平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算平面向量共线的坐标表示
[核心必知] 1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P94～P100 的内容，回答下列问题．
(1)在平面内，规定 e1，e2 为基底，那么一个向量关于 e1， e2 的分解是唯一的吗？
提示：唯一． (2)在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底，任作一向量 OA .根据平面向量基本定理，OA ＝xi＋yj，那么(x，y)与 A 点的坐标相同吗？提示：相同．

高中数学必修四第二章平面向量 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

123
【做一做2】已知基向量i=(1,0),j=(0,1),m=4i-j,则m的坐标是
()
A.(4,1)
B.(-4,1)
C.(4,-1) D.(-4,-1)
答案:C
123
3.向量与坐标的关系设�� = ��i+yj,则向量��的坐标 ��, �� 就是终点��的坐标;
123
2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在 x轴上的坐标,y叫做向量a在 y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
高中数学必修四
第二章平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
教学目标
1.借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义. 2.了解向量与坐标的关系,会求给定向量的坐标.
教学目标
123
1.平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂-直的向量,叫做平面向量的正交分解.
【做一做 1】如图,在矩形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,下列是正交分解的是( )
a=(x,y). (3)联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终
点的坐标相同.
典型例题
题型一题型二
题型一
求向量的坐标
【例 1】如图,已知点 M(1,2),N(5,4),试求��的坐标.

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教案_001

2.3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及运算教学目的：掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算。

教学重点：向量的坐标表示及坐标运算。

教学难点：坐标表示及运算意义的理解。

教学过程一、复习提问 1．复习向量相等的概念相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等。

2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e 其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

二、新课1、正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力 F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。

由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量 a =λ11e +λ22e把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

2、平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , 作基底，则平面内作一向量a =x i +y ，O B C A xy a记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。

＝（1,0），＝（0,1），＝（0,0）例2、如图，分别用基底, 表示向量、、、，并求出它们的坐标。

解：由图可知：21AA +=＝2＋3 所以，＝（2,3）同理，有：＝－2＋3＝（－2,3）＝－2－3＝（－2,－3）＝2－3＝（2,－3）3、平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1) b (x 2, y 2) 求a +b ，a -b 的坐标（2）已知a (x, y)和实数λ, 求λa 的坐标解：a +b =(x 1i +y 1j )+( x 2i +y 2j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j 即：a +b =(x 1+ x 2, y 1+y 2)同理：a -b =(x 1- x 2, y 1-y 2)，。

高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4

设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以C→M＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)， C→N＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，所以xy11＋＋43＝＝234，，xy22＋＋43＝＝61.2，解得xy11＝＝200，，xy22＝＝29.，所以 M(0，20)，N(9，2)．法二：设 O 为坐标原点，则由C→M＝3 C→A，C→N＝2 C→B，
2．平面向量的坐标运算
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则 ①a＋b＝___(x_1_＋__x_2_，__y_1＋__y_2_) _； ②a－b＝__(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2)__； ③λ a＝__(_λx_1_，__λ_y_1)__．
(2)重要结论：已知向量A→B的起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)，则A→B ＝____(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_____． ■名师点拨
【解】 (1)设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3cos 60°＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3，6)，所以O→A＝(2 3，6)． (2)B→A＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7)．
求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
解：由题图知：CB⊥x 轴，CD⊥y 轴，因为 AB＝4，AD＝3，所以A→C＝4i＋3j，所以A→C＝(4，3)．因为B→D＝B→A＋A→D＝－A→B＋A→D，所以B→D＝－4i＋3j，所以B→D＝(－4，3)．

高中数学第二章平面向量2.3.22.3.3平面向量的正交分解及坐标表示课件新人教a版必修4

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
三维目标
1．知识与技能 (1)借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程(几何表示——线性表示——坐标表示)，会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量． (2)掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和数乘的坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的终点的坐标减去始点的坐标． (3)能准确表述向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力．
三维目标
2．过程与方法通过学习向量的坐标表示及坐标运算法则的推导，培养学生演绎、归纳、猜想的能力．通过坐标平面内的点和向量的类比，培养学生类比推理的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生应用知识的意识． (2)通过学习向量坐标及向量共线的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
预习探究
[探究] 已知基向量 i＝(1，0)，j＝(0，1)，m＝4i－j，则 m 的坐标是( C ) A．(4，1) B．(－4，1) C．(4，－1) D．(－4，－1)
预习探究
[思考] 平面直角坐标系中，任意向量 m 的坐标有几个？
解：由于向量和有序实数对是一一对应的，因此平面直角坐标系中，任意向量 m 的坐标有且仅有一个．
新课导入
[导入二] 教师：上节课我们学习了平面向量基本定理，它的内容是什么？学生：如果 e1，e2 是同一平面内两个不共线向量，那么对于平面内任意一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2 使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的两向量 e1，e2 称为一组基底．教师：在物理学中，我们学过力的分解，比如下面一个例子：倾斜角为 30°的斜面上，质量为 100 kg 的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解？

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教案(2)

第二章平面向量本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，求AB的坐标已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。

人教版高中数学必修四 2.3 2.3.2 & 2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算

2．3.2 & 2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算预习课本P94～98，思考并完成以下问题(1)怎样分解一个向量才为正交分解？(2)如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？[新知初探]1．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．(3)坐标表示：a＝(x，y)．(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．[点睛](1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a ＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．3．平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：AB ＝(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．( )(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A ．(5,3)B ．(4,3)C ．(8,3)D ．(0，－1)答案：C3．若向量AB ＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC ＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2) 答案：A4．若点M (3,5)，点N (2,1)，用坐标表示向量MN ＝______. 答案：(－1，－4)[典例]如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB 与AD 的坐标．[解] 由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由三角函数的定义，得 x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，∴B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，32. ∴AB ＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.[活学活用]已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |＝43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA 的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA 的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23， y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA ＝(23，6)． (2)BA ＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).[典例] (1)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，则向量3AB ＋2CA ＝________，BC －2AB ＝________.(2)已知向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a ＋b ，a －b,3a,2a ＋3b 的坐标． [解析] (1)∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)， ∴AB ＝(1,5)，CA ＝(4，－1)，BC ＝(－5，－4)． ∴3AB ＋2CA ＝3(1,5)＋2(4，－1) ＝(3＋8,15－2) ＝(11,13)．BC －2AB ＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10) ＝(－7，－14)．[答案] (11,13) (－7，－14)(2)解：a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)， 3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(7，－11)．[活学活用]1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7)D ．(1,3)解析：选A ∵2b ＝2(－2,1)＝(－4,2)， ∴a －2b ＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP ＝12MN ，则P 点坐标为______．解析：设P (x ，y )，MP ＝(x －3，y ＋2)，MN ＝(－8,1)， ∴MP ＝12MN ＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32[典例] 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP ＝OA ＋t AB ，t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[解] 因为OP ＝OA ＋t AB ＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.[一题多变]1．[变条件]本例中条件“点P 在x 轴上，点P 在y 轴上，点P 在第二象限”若换为“B 为线段AP 的中点”试求t 的值．解：由典例知P (1＋3t,2＋3t )，则⎩⎨⎧1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t ＝2.2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 值；若不能，说明理由．解：OA ＝(1,2)，PB ＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA ＝PB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．层级一学业水平达标1．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j解析：选C 记O 为坐标原点，则OA ＝2i ＋3j ，OB ＝4i ＋2j ，所以AB ＝OB －OA ＝2i －j .2．已知AB ＝a ，且A ⎝⎛⎭⎫12，4，B ⎝⎛⎭⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( ) A ．⎝⎛⎭⎫－18，－1 B ．⎝⎛⎭⎫14，3 C ．⎝⎛⎭⎫18，1D ．⎝⎛⎭⎫－14，－3 解析：选A ∵a ＝AB ＝⎝⎛⎭⎫14，2－⎝⎛⎭⎫12，4＝⎝⎛⎭⎫－14，－2， ∴λa ＝12a ＝⎝⎛⎭⎫－18，－1. 3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6)D ．(2,0)解析：选A b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则DA ＝( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选C DA ＝－AD ＝－BC ＝－(AC －AB )＝(1,1)．5．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN ＝－2PM ，则P 点的坐标为( )A ．(－14,16)B ．(22，－11)C ．(6,1)D ．(2,4)解析：选D 设P (x ，y )，则PN ＝(10－x ，－2－y )，PM ＝(－2－x,7－y )，由PN ＝－2PM得⎩⎪⎨⎪⎧ 10－x ＝4＋2x ，－2－y ＝－14＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.6．(江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m－n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－37．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB ＋2BC ＝________. 解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)， ∴AB ＝(2,3)，BC ＝(－3,3)．∴AB ＋2BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)8．已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA |＝6，∠xOA ＝150°，向量OA 的坐标为________．解析：设点A (x ，y )，则x ＝|OA |cos 150°＝6cos 150°＝－33， y ＝|OA |sin 150°＝6sin 150°＝3，即A (－33，3)，所以OA ＝(－33，3)．答案：(－33，3)9．已知a ＝AB ，B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)＝AB .又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )，则AB ＝(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，即A 点坐标为(8，－10)．10．已知向量AB ＝(4,3)，AD ＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标．(2)若点P (2，y )满足PB ＝λBD (λ∈R)，求λ与y 的值．解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB ＝(4,3)，A (－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．同理可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，所以M ⎝⎛⎭⎫－12，－1. (2)由PB ＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，BD ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，又PB ＝λBD (λ∈R)，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎨⎧λ＝－17，y ＝37.层级二应试能力达标1．已知向量AB ＝(2,4)，AC ＝(0,2)，则12BC ＝( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选D12BC ＝12(AC －AB )＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1D ．－1,2解析：选D ∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫2，72 B ．⎝⎛⎭⎫2，－12C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选A 设点D (m ，n )，则由题意得(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 4．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算为m n ＝(ac －bd ，bc＋ad )，运算为m n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设f ＝(p ，q )，若f ＝(5,0)，则f 等于( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：选B 由(1,2)⊗f ＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以f ＝(1，－2)，所以f ＝，－2)＝(2,0)．5．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．答案：16．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.设OC ＝λOA ＋OB (λ∈R)，则λ＝ ________. 解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所以OC ＝OE ＋OB ＝λOA ＋OB ，即OE ＝λOA ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.答案：237．在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F ，求DF 的坐标．解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，∴AB ＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，AC ＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，∴AD ＝12(AB ＋AC )＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4. ∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点． ∴DF ＝－FD ＝－12AD ＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)， (1)若PA ＋PB ＋PC ＝0，求OP 的坐标．(2)若OP ＝m AB ＋n AC (m ，n ∈R)，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，求m －n . 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，因为PA ＋PB ＋PC ＝0，又PA ＋PB ＋PC ＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2,2)，故OP ＝(2,2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，所以AB ＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，AC ＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，因为OP ＝m AB ＋n AC ，所以(x 0，y 0)＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，所以y 0－x 0＝1，所以m －n ＝1.。