九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件黄金分割典例分析素材北师大版教案
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件—黄金分割教案 (新版)北师大版
板书设计：
探索三角形相似的条件——黄金分割
一、1.黄金分割的定义.
2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形.
3.想一想
二、课时小节
教学反思：
在整个教学活动中，努力突出教师对学生的引导、促进、帮助，时时注意其“主导”作用；同时联系日常生活中黄金分割的例子，既加深了学生对知识的理解，又引导学生体验到了数学知识来源于生活又用于生活，体会黄金比的文化内涵，丰富了学生对数学发展的整体认识，对后续课程的学习有着激励作用。
（1） ；
（2）设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点；
（3）如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形；
环
节
三
活动三、如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，
（1）找出图中的黄金三角形；
（2）图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？
解：（1）△ACD、△BDE、△CAE、△DAB、△EBC、△AGD、△ABN、△BCF、
△BAH、△CMB、△CDG、△DNC、△DEH、△EDF、△EMA；
（2）点F是线段CG、CE、DN、BD的黄金分割点，……………
课中作业
BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.618，这个比值称为黄金比.
课中作业
BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.618，这个比值称为黄金比.
注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；
（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.
（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 拓展资源 黄金分割造就了美素材 北师
九年级数学上册第四章图形的相似4 探索三角形相似的条件拓展资源黄金分割造就了美素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第四章图形的相似4 探索三角形相似的条件拓展资源黄金分割造就了美素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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黄金分割造就了美和谐的音乐关键在于它的频率,舞台的设计关键在于它的中心。
把二胡的千斤放在哪里,才会拉出最美妙的音乐呢？把舞台的中心放在何处，才会达到最佳的效果呢？这是艺术家们常考虑的问题。
但是，数学家们告诉我们，只要你把它放在黄金分割点，就会达到你的目的了。
真是太奇妙了，很多事情只要用到黄金分割就迎刃而解了。
在建筑上,在美术上甚至在音乐上，它都体现了它的美妙之处。
五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星.在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
利用线段上的两黄金分割点,可作出正五角星、正五边形.早在100多年以前，德国的心理学家弗希纳曾精心制作了各种比例的矩形，并且举行了一个“矩形展览”,邀请了许多朋友来参加，参观完了之后,让大家投票选出最美的矩形。
最后被选出的四个矩形的比例分别是：5×8，8×13，13×21,21×34。
经过计算，其宽与长的比值分别是:0.625，0。
615，0.619,0.618.这些比值竟然都在0.618附近。
北师版初中数学九年级上册精品教案 第4章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割
第4课时 黄金分割教师备课 素材示例●归纳导入 如图，学生以手中的标准五角星为操作材料，进行小组合作探究活动．(1)从图中找出相等的角、相等的线段．(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形．小亮认为，AC AB ＝BC AC ，AF AG ＝FGAF .你同意他的看法吗？(3)黄金分割的意义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果__AC AB ＝BCAC__，那么称线段AB 被点C 黄金分割，其中点C 叫做线段AB的__黄金分割点__，AC 与AB 的比叫做__黄金比__，近似数为__0.618__．(4)你能找出五角星图中有哪几个黄金分割点吗？【教学与建议】教学：利用五角星，动手操作及量一量活动，探究黄金分割的定义．建议：学生通过探究活动，亲历知识的形成过程．●情景导入 生活中有很多优美的图画和建筑物，例如：古埃及胡夫金字塔，这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618.“蒙娜丽莎的微笑”的魅力所在是画面中处处有黄金分割．为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚？为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋？为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适、美的感觉？它们都用到了黄金分割原理．要说明一个点是某线段的黄金分割点，可以证明这个点把原线段分成的两部分满足“较长比整体等于较短比较长”，也可证明这个点把原线段分成的长短两部分满足“较短比较长等于5－12”．【例1】(1)已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，则下列等式成立的是(C)A ．AB 2＝AC·CB B ．CB 2＝AC·ABC ．AC 2＝CB·ABD ．AC 2＝2AB·BC(2)已知点C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC∶AB 为(D)A ．5－12B ．3－52C ．5＋12D ．5－12或3－52将现实中的问题转移到数学问题中，借助黄金分割的性质来解决相关计算问题．【例2】(1)小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为(A)A ．12.36cmB ．13.6cmC ．32.36cmD ．7.64cm(2)电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB 的长为20m ，则主持人应走到离A 点至少__7.6__m 处，如果他向B 点再走__4.8__m ，也处在比较得体的位置．(精确到0.1m)在黄金矩形中剪下最大的正方形后，剩下的矩形仍是黄金矩形，根据相似多边形的对应边成比例求解．【例3】如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么ABAD等于(B)A ．0.618B ．22C ．2D ．2高效课堂 教学设计1．知道黄金分割的定义，会找一条线段的黄金分割点． 2．会判断某一点是不是一条线段的黄金分割点． 3．能对黄金分割进行简单应用．▲重点找一条线段的黄金分割点． ▲难点黄金分割的应用．◆活动1 创设情境 导入新课(课件) 展示课件：神奇的金字塔建筑美丽的大自然摄影迷人的芭蕾舞现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、大自然摄影、芭蕾舞，这些图形的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？◆活动2 实践探究 交流新知 【探究1】如图，动手量一量，五角星图案中，线段AC ，BC 的长度，再计算ACAB 与BCAC的值，你有什么发现？ 解：AC AB ＝BC AC.【探究2】一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点__C__叫做线段__AB__的黄金分割点，__AC__与__AB__的比叫做黄金比．【探究3】一条线段有几个黄金分割点，黄金分割时，黄金比＝较长线段原线段，所以一条线段有__两__个黄金分割点．◆活动3 开放训练 应用举例例1 (教材P 96例4)根据上图，计算黄金比． 【方法指导】黄金分割的定义．解：由AC AB ＝BCAC ，得AC 2＝AB·BC.设AB ＝1，AC ＝x ，则BC ＝1－x. ∴x 2＝1×(1－x)，即x 2＋x －1＝0.解这个方程，得x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52(不合题意，舍去).所以黄金比AC AB ＝5－12≈0.618.例2 如何找到一条线段的黄金分割点？ 已知线段AB ，按照如下方法画图：(1)经过点B 作BD⊥AB，使BD ＝12AB ；(2)连接DA ，在DA 上截取DE ＝DB ；(3)在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 就是线段AB 的黄金分割点． 提出问题：为什么点C 为线段AB 的黄金分割点？【方法指导】设AB ＝2，分别求出AC 和BC 的长，并计算AC AB 和BCAC的值．解：AB ＝2，则BD ＝DE ＝12AB ＝1.∴AD ＝22＋12＝5，∴AC ＝AE ＝AD －DE ＝5－1， ∴BC ＝AB －AC ＝2－(5－1)＝3－5，∴AC 2＝(5－1)2＝6－25，AB ·BC ＝2×(3－5)＝6－2 5.∴AC 2＝AB·BC，即AC AB ＝BC AC.∴点C 是线段AB 的黄金分割点．例3 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感．小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m ，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？【方法指导】想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度．解：设肚脐到脚底的距离为xm ，根据题意，得x1.60＝0.60，解得高的高跟鞋看起来会更美，则y ＋0.961.60＋y＝0.618.解得y≈0.075，而0.075m ＝7.5cm.故她应该穿约为7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美． ◆活动4 随堂练习1．点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC，那么下列说法错误的是(D)A ．线段AB 被点C 黄金分割B ．点C 叫做AB 的黄金分割点C ．AC 与AB 的比叫做黄金比D ．AC ＝5－12BC2．小明同学发现自己一本书的宽与长的比为黄金比．已知这本书的长为10cm ，则它的宽约为(A)A ．6.18cmB ．6.80cmC ．16.18cmD ．3.82cm3．如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则α＝__135°__．4．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到点F，使EF＝EB.以线段AF为边作正方形AFGH，点H在AB上，如图所示．(1)求线段AH，BH的长；(2)求证：AH2＝AB·BH；(3)根据(2)中的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？解：(1)E为AD的中点，∴AE＝1.在Rt△AEB中，由勾股定理，得BE2＝AE2＋AB2＝12＋22.∴BE＝5，∴EF＝BE＝ 5.∴AF＝5－1.∵四边形AFGH是正方形，∴AH＝AF＝5－1，∴BH＝AB－AH＝2－(5－1)＝3－5；(2)AH2＝(5－1)2＝6－25，AB·BH＝2×(3－5)＝6－25，∴AH2＝AB·BH；(3)H是线段AB的黄金分割点．◆活动5 课堂小结与作业学生活动：什么是黄金分割，黄金比是什么？教学说明：黄金分割在现实生活中是一种应用美，会制作黄金分割图形．作业：课本P98习题4.8中的T1、T3、T4.经历黄金分割的引入及黄金分割点的探究过程，通过问题情境的创设和解决过程，体会黄金分割的文化价值，在应用中进一步理解相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心．感受数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，提高数学学习的兴趣．。
北师大版初三数学上册4.4探索三角形相似的条件(四)(黄金分割)
第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件（四）教学设计城固县沙河营初中向彦明崔文汉一、教材分析：本节是北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》第4节的内容。
本章是继图形的相似之后集中研究图形形状的内容，它与前后有关几何部分的内容都有着密切的关系，是对图形相似内容的进一步拓广与发展。
整个设计力图引导学生观察、分析生活现实和数学现实中的相似现象，总结图形相似的有关特征并自觉的应用到现实之中，逐步形成正确的数学观。
同时，通过图形的相似进一步丰富学生的数学活动经验，有意识的培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进学生观察、分析、归纳、概括的一般能力和审美意识的发展。
《黄金分割》这一节内容通过建筑、艺术等方面的实例让学生进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，同时在教学中让学生学会观察、操作、实验、合作与交流以及学会学习就变得更为重要。
二、学生分析：九年级学生已经具备了一定的学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究。
九年级学生性格较初一初二学生沉稳，但对新鲜事物仍特别敏感，且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。
三、教学重难点分析：本节课的内容是通过黄金分割的定义来感受黄金分割的发现和黄金分割的美；并让学生通过找一条线段的黄金分割点来画五角星；引入新的概念什么是黄金三角形和黄金矩形；会用一条线段的黄金分割来解决一些问题。
这些内容对学生来说，需通过学生动手、动脑，从操作到想象才能真正理解和掌握，因此我将本课的学习重点、难点确定为：重点：了解黄金分割的意义，并能运用.难点：找黄金分割点和会用一条线段的黄金分割来解决一些问题。
四、教学策略：借助教具及白板课件，使学生直观形象地观察、实验、操作和交流。
尤其是电子白板课件动态演示如何找一条线段的黄金分割点有助于学生尺规作图的培养。
北师九上数学 第四章 图形的相似 第4节 探索三角形相似的条件 第1课时 相似三角形的判定(1)
A
BD
C
3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.
（1）请指出图中所有的相似三角形；
（2）你能得出AD2＝BD·DC吗？
【选自教材P90 习题4.5 第3题】
解：（2）能得出AD2＝BD·DC.
理由如下：
由（1）可知△DBA∽△DAC，
∴
AD DC
BD , AD
即 AD2＝BD·DC.
②
一个角相等
＋ 两边成比例
＝ 两边成比例且
两角相等
a.两边成比例且夹角相等
b.两边成比例且其中一边的对角相等
③ 两边成比例 ＋ 两边成比例 ＝ 三边成比例
(2) 两个条件
① 一个角相等 ＋ 一个角相等 ＝ 两角分别相等
做一做
与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′，
使得∠A＝∠A′＝∠α，∠B＝∠B′＝∠β；
只有两边成比例， 两个三角形相似吗？
AB AC
A
AB AC
反例：
B
A'
C B'
C'
想一想
(2) 两个条件
有哪几种情况呢？
角相等 边成比例
∠A=∠A ' ∠B=∠B ' ∠C=∠C '
AB = AC AB AC AC BC AC = BC AB BC AB = BC
(2) 两个条件
① 一个角相等 ＋ 一个角相等 ＝ 两角分别相等
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. A
平行
角相等
△相似
解：∵ DE∥BC，
D
E
∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.
B
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第四节探索三角形相似的条件
=
AD AC
C．ABCB
=
CD AB
B．DABB
=
BC AB
D．AACB
=
DB CD
感悟新知
知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似
知2－讲
1. 定理 两角分别相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图4-4-3，
在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，且∠B = ∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知5－练
6-1.已知P是线段AB的黄金分割点， 且AB= 5+1，则AP的
长为( C )
A．2
B． 5－1
C．2 或 5－1
D．3－ 5
课堂小结
探索三角形相似的条件
定义
相似三角形
判定 方法
应用
黄金分割
角角 边角边 边边边
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
解：设涂到 x m 高时，才使人感到最舒适． 利用黄金比，得x3＝ 52－1，解得 x≈1.85. 所以涂料大约应涂到高为 1.85 m 处．
感悟新知
知5－练
例6 已知线段AB=6，点C为线段AB的黄金分割点，求
AC－BC和AC·BC的值.
解题秘方：紧扣黄金分割点在线段中的两个不同位 置解决问题.
知5－练
当AC＜BC时，∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴BACB = 5 2－1.又∵ AB=6，∴ BC=3 5－3. ∴ AC=AB－BC=9－3 5. ∴ AC－BC=12－6 5， AC·BC=36 5－72. 综上所述，AC－BC=6 5－12 或12－6 5， AC·BC=36 5－72.
AB A′B′
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 判定三角形相似的方法全攻略素材 北师
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判定三角形相似的方法全攻略判定三角形相似的方法有五种：一、由定义判定:三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似. 二、由三边的比判定三角形相似1、判定定理:如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单地说三边对应成比例的两个三角形相似。
2、推理形式：如图1所示，在△ABC 和△C B A '''中，如果AC CAC B BC B A AB '=''=''，那么△ABC∽△C B A '''.类比拓展：由三边的比判定三角形相似的方法与判定三角形全等的“SSS”方法类似，只是把三边对应相等,改为三组对应边成比例即可.例1 如图2，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的为( )解析：由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC=2，BC=2，AB=10;图A 中三角形三边长为1，,22,5而与△ABC 三边的比分别为,521022,25,21=显然它们不相等;图B 中三角形三边长为1，,5,2与△ABC 的三边的比分别为,22105,22,2221==故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B.'图1A 图2D三、由两边和夹角判定三角形相似1、判定方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形形似。
九年级数学北师大版上册第四章图形的相似第4节探索三角形相似的条件优秀教学案例
c. SSS（边-边-边）相似判定定理：阐述当两个三角形的三条边分别成比例时，这两个三角形相似。
3.性质应用：通过例题，展示相似三角形的性质在实际问题中的应用，如求线段长度、角度大小等。
（三）学生小组讨论
3.小组合作学习的有效运用
小组合作学习在本案例中得到了充分运用，学生在合作中探讨问题、解决问题，提高了团队协作能力和沟通能力。角色扮演、交流分享等环节，让学生在实践中学习，相互借鉴，共同成长。
4.关注学生个体差异，实施差异化教学
在教学过程中，教师关注每一个学生的成长和发展，针对学生的个体差异，给予个性化的指导和评价。这种差异化教学策略有助于激发学生的学习潜能，提高他们的自信心和自主学习能力。
3.实物操作：提供教具和学具，让学生在动手操作中观察、探索相似三角形的特点，增强学生的实践体验。
（二）问题导向
以问题为导向，引导学生进行探究学习，培养他们的思维能力和解决问题的能力。具体措施如下：
1.提出启发性的问题：设计具有挑战性的问题，引导学生思考相似三角形的判定条件和性质。
2.引导学生提问：鼓励学生提出自己的疑问，培养他们的问题意识。
2.提问：“我们之前学过全等三角形，那么相似三角形和全等三角形有什么关系呢？”让学生尝试回答，从而导入新课。
（二）讲授新知
1.定义讲解：详细讲解相似三角形的定义，强调对应角相等、对应边成比例的特点。
2.判定定理介绍：
a. AAA（角-角-角）相似判定定理：介绍当两个三角形的三对角分别相等时，这两个三角形相似。
2.归纳相似三角形的性质，以及它们在解决实际问题中的作用。
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黄金分割典例分析
黄金分割是成比例线段中既特殊又重要的内容，考查的重点是与黄金分割有关的计算和推理题．下面举例予以说明．
例1 如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
AC BC AB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与AB 的比叫做黄金比，其比值是（ ）
A
．
1
2
B
．
32
- C
．
1
2
D
．
32
+ 分析:设AB=1,AC=x,则BC=1-x ．根据定义可知
.11x
x x -=解得
x=1
2
．故选A ． 评注:黄金分割是成比例线段的一个特例．一条线段的黄金分割点是指把一条线段分成两条线段,其中较长的线段是较段线段和全线段的比例中项．在解决这类问题时一般将等积式与比例式互化,黄金比的比值约为0．618,其在生活中有着广泛应用．
例 2 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计
中．如图2是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0．01m ，参考数据：2≈1．414，3≈1．732，5≈2．236)是（ ）．
A ．0．62m
B ．0．76m
C ．1．24m
D ．1．62m 分析：由题意知，B 点是雕像的黄金分割点，所以 BC=
22
1
236.2215⨯-≈-AC =1．236≈1．24m ．故选C ． 评注:黄金分割既是线段的比,成比例线段的应用,同时也蕴含着丰富的文化价值,是密切数学与现实生活之间联系的重
要内容．如:人体肚脐以下高度与身高之比接近0．618;在探索最优生产方案时,人们常用的“优选法”中有“ 0．618法”；在人体绘画、雕塑等方面艺术家多以这个比作为美学标准等．
A
B
C
图1
例3 (08孝感)
宽与长的比是
1
2
的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图3所示）：
第一步：作一个任意正方形ABCD ；
第二步：分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连接MN ；
第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ； 第四步：过E 作EF AD ⊥交AD 的延长线于F ，
请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形，（可取AB=2）． 分析:欲证明矩形DCEF 为黄金矩形,只需证明矩形DCEF
的宽与长的比为
1
2
,也就是证明
=CD
CE
1
2
,我们不妨设正方形ABCD 的边长为2,于是NC=1,DC=2,根据勾股定理求DN,从而求得CE,于是
CD
CE
的比值即可求出． 证明：在正方形ABCD 中，取AB=2． ∵N 为BC 的中点，∴NC=1
12
BC =． 在Rt△DNC
中，DN =
又∵NE=ND，∴CE=NE
1
,1
2
CE CD ∴=, 故矩形DCEF 为黄金矩形．
评注: 本题首先给出了“黄金矩形”的定义．然后通过作图提供的信息，理解这里面蕴涵的道理，将它迁移，则可以顺利地解决后面的问题．此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程,符合学生的认知规律,是中考的热点题目之一．
图3。