2018年高考数学专题11导数的应用热点题型和提分秘籍理
高考数学导数大题技巧
高考数学导数大题技巧高考数学导数大题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。
属于这种题型必须把分数哪些这样才可以拿高分，下面由店铺为大家整理高考数学导数大题技巧有关的资料，希望对大家有所帮助!1.若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x之间的区别。
2.若题目考察的是曲线的切线，分为两种情况：(1)关于曲线在某一点的切线，求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.(2)关于两曲线的公切线，若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.高考导数有什么题型①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性;②应用导数求函数的极值与最值;③应用导数解决有关不等式问题。
导数的解题技巧和思路①确定函数f(x)的定义域(最容易忽略的，请牢记);②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间;③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)>0时，该区间为增区间,反之则为减区间。
高考数学导数主流题型及其方法(1)求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若f(x)在x=k时取得极值，试求所给函数中参数的值;或者是f(x)在(a,f(a))处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。
虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。
这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令x=k，f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。
注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。
高考数学导数大题技巧(精选5篇)
高考数学导数大题技巧(精选5篇)高考数学导数大题技巧【篇1】1、选择题部分，高考的选择题部分题型考试的方向基本都是固定的，当你在一轮二轮复习过程中总结出题目的出题策略时，答题就变得很简单了。
比如立体几何三视图，概率计算，圆锥曲线离心率等等试题中都有一些特征，只要掌握思考的切入方法和要点，再适当训练基本就可以全面突破，但是如果不掌握核心方法，单纯做题训练就算做很多题目，突破也非常困难，学习就会进入一个死循环，对照答案可以理解，但自己遇到新的题目任然无从下手。
2、关于大题方面，基本上三角函数或解三角形、数列、立体几何和概率统计应该是考生努力把分数拿满的题目。
对于较难的原则曲线和导数两道题目基本要拿一半的分数，考生复习时可把数学大题的每一道题作为一个独立的版块章节，先总结每道大题常考的几种题型，再专项突破里面的运算方法，图形处理方法以及解题的思考突破口，只要把这些都归纳到位，那么总结的框架套路，都是可以直接秒刷的题目的高考数学导数大题技巧【篇2】1个、多项选择部分，高考选择题的方向基本是固定的，当你在二轮复习过程中总结出题策略时，答案变得很简单。
比如三维几何三视图，概率计算，试题中存在圆锥截面偏心等特点，只要掌握了入门方法和思维要点，经过适当的训练，基本可以全面突破，但是如果不掌握核心方法，单纯做练习题也算做了很多题，也很难突破，学习会进入死循环，比对答案，但是遇到新问题还是无从下手。
2个、关于大话题，基本上是三角函数或求解三角形、顺序、三维几何和概率统计应该是考生努力拿满分的科目。
比较难的原理曲线和导数，基本要一半分，考生在复习时可以将数学大题的每一题作为一个独立的section，先总结一下每个大题经常考的几类题型，然后在计算方法上特别突破，解题的图形处理方法与思维突破，把它全部放在适当的位置，然后总结框架套路，都是可以直接秒刷的话题高考数学导数大题技巧【篇3】1、函数与导数主要考查数学集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
2018年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2. 11导数及其应用
2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.11导数及其应用一、变化率与导数、导数的运算<一）利用导数的定义求函数的导数1、相关链接<1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限。
<2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。
b5E2RGbCAP2、例题解读〖例1〗求函数y=的在x=1处的导数。
解读：〖例2〗一质点运动的方程为。
（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度<用定义及求求导两种方法）分析<1）平均速度为；<2）t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。
解答：<1）∵∴Δs=8-3(1+Δt>2-(8-3×12>=-6Δt-3(Δt>2,.（3）定义法：质点在t=1时的瞬时速度（4）求导法：质点在t时刻的瞬时速度，当t=1时，v=-6×1=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。
对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。
根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。
p1EanqFDPw<二）导数的运算1、相关链接<1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间<a,b）内的导数的基本步骤：①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导法则和导数公式求导；③整理得结果。
<2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。
DXDiTa9E3d<3）复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。
2018年全国高考数学试题分类汇编考点11导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、解答题1.(12分)(2018年全国卷I高考理科·T21)已知函数f＝-x＋a ln x.(1)讨论f的单调性.(2)若f存在两个极值点x 1,x2,证明:＜a-2.【试题解析】(1)f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝--1＋＝-.(i)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a＝2,x＝1时f′(x)＝0,所以f(x)在(0,＋∞)上单调递减.(ii)若a＞2,令f′(x)＝0得,x＝或x＝.当x∈∪时,f′(x)＜0;当x∈时,f′(x)＞0.所以f(x)在,上单调递减,在上单调递增. (2)由(1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax＋1＝0,所以x1x2＝1,不妨设x1＜x2,则x2＞1.由于＝--1＋a＝-2＋a＝-2＋a,所以＜a-2等价于-x2＋2ln x2＜0.设函数g(x)＝-x＋2ln x,由(1)知,g(x)在(0,＋∞)上单调递减,又g(1)＝0,从而当x∈(1,＋∞)时,g(x)＜0.所以-x2＋2ln x2＜0,即＜a-2.2.(2018年全国卷II高考理科·T21)(12分)已知函数f(x)＝e x-ax2.(1)若a＝1,证明:当x≥0时,f(x)≥1.(2)若f(x)在(0,＋∞)只有一个零点,求a.【命题意图】本题考查利用导数证明不等式和研究函数的零点,意在考查考生的化归与转化能力,分类讨论的思想运用以及求解能力.【试题解析】(1)当a＝1时,f(x)≥1等价于(x2＋1)e-x-1≤0.设函数g(x)＝(x2＋1)e-x-1,则g′(x)＝-(x2-2x＋1)e-x＝-(x-1)2e-x.当x≠1时,g′(x)＜0,所以g(x)在(0,1)∪(1,＋∞)上单调递减.而g(0)＝0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)设函数h(x)＝1-ax2e-x.f(x)在(0,＋∞)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0,＋∞)上只有一个零点. (i)当a≤0时,h(x)＞0,h(x)没有零点;(ii)当a＞0时,h′(x)＝ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h′(x)＜0;当x∈(2,＋∞)时,h′(x)＞0.所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增.故h(2)＝1-是h(x)在[0,＋∞)上的最小值.①若h(2)＞0,即a＜,h(x)在(0,＋∞)上没有零点;②若h(2)＝0,即a＝,h(x)在(0,＋∞)上只有一个零点;③若h(2)＜0,即a＞,由于h(0)＝1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点,由(1)知,当x＞0时,e x＞x2,所以h(4a)＝1-＝1-＞1-＝1-＞0.故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,＋∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,＋∞)只有一个零点时,a＝.3.(2018年全国卷II高考文科·T21)(12分)已知函数f＝x3-a.(1)若a＝3,求f(x)的单调区间.(2)证明:f(x)只有一个零点.【命题意图】本题考查利用导数的有关知识来求解函数的单调区间以及研究函数的零点,意在考查考生的化归与转化能力,分类讨论的思想运用以及求解能力.【试题解析】(1)当a＝3时,f(x)＝x3-3x2-3x-3,f′(x)＝x2-6x-3.令f′(x)＝0解得x＝3-2或3＋2.当x∈(-∞,3-2)或(3＋2,＋∞)时,f′(x)＞0;当x∈(3-2,3＋2)时,f′(x)＜0.故f(x)在(-∞,3-2),(3＋2,＋∞)上单调递增,在(3-2,3＋2)上单调递减.(2)由于x2＋x＋1＞0,所以f(x)＝0等价于-3a＝0.设g(x)＝-3a,则g′(x)＝≥0,仅当x＝0时g′(x)＝0,所以g(x)在(-∞,＋∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点.又f(3a-1)＝-6a2＋2a-＝-6-＜0,f(3a＋1)＝＞0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.4.(本小题满分14分)(2018年天津高考理科·T20)已知函数f(x)＝a x,g(x)＝log a x,其中a＞1.(Ⅰ)求函数h(x)＝f(x)-x ln a的单调区间.(Ⅱ)若曲线y＝f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1＋g(x2)＝-.(Ⅲ)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y＝f(x)的切线,也是曲线y＝g(x)的切线.【命题意图】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.【试题解析】(I)由已知,h(x)＝a x-x ln a,有h′(x)＝a x ln a-ln a.令h′(x)＝0,解得x＝0.由a＞1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如表:所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,＋∞).(II)由f′(x)＝a x ln a,可得曲线y＝f(x)在点(x 1,f(x1))处的切线斜率为ln a.由g′(x)＝,可得曲线y＝g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为.因为这两条切线平行,故有ln a＝,即x 2(ln a)2＝1.两边取以a为底的对数,得log a x2＋x1＋2log a(ln a)＝0,所以x1＋g(x2)＝-. (III)曲线y＝f(x)在点(x 1,)处的切线l1:y-＝ln a·(x-x1).曲线y＝g(x)在点(x2,log a x2)处的切线l2:y-log a x2＝(x-x2).要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y＝f(x)的切线,也是曲线y＝g(x)的切线,只需证明当a≥时,存在x1∈(-∞,＋∞),x2∈(0,＋∞),使得l1和l2重合.即只需证明当a≥时,方程组有解,由①得x 2＝,代入②,得-x1ln a＋x1＋＋＝0③,因此,只需证明当a≥时,关于x1的方程③有实数解.设函数u(x)＝a x-xa x ln a＋x＋＋,即要证明当a≥时,函数y＝u(x)存在零点.u′(x)＝1-(ln a)2xa x,可知x∈(-∞,0)时,u′(x)＞0;x∈(0,＋∞)时,u′(x)单调递减,又u′(0)＝1＞0,u′[]＝1-＜0,故存在唯一的x0,且x0＞0,＝0,即1-(ln a)2x0＝0.使得u′(x由此可得u(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,＋∞)上单调递减.u(x)在x＝x0处取得极大值u(x0).因为a≥,故ln(ln a)≥-1,＝-x0ln a＋x0＋＋＝所以u(x＋x0＋≥≥0.下面证明存在实数t,使得u(t)＜0.由(I)可得a x≥1＋x ln a,当x＞时,有u(x)≤(1＋x ln a)(1-x ln a)＋x＋＋＝-(ln a)2x2＋x＋1＋＋,所以存在实数t,使得u(t)＜0,因此,当a≥时,存在x1∈(-∞,＋∞),使得u(x1)＝0.所以,当a≥时,存在直线l,使l是曲线y＝f(x)的切线,也是曲线y＝g(x)的切线.5.(本小题满分14分)(2018年天津高考文科·T20)设函数f(x)＝(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(Ⅰ)若t2＝0,d＝1,求曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)若d＝3,求f(x)的极值;(Ⅲ)若曲线y＝f(x)与直线y＝-(x-t 2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.【命题意图】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想和分类讨论思想,考查综合分析问题和解决问题的能力.【解题指南】(Ⅰ)利用导数的几何意义可求直线的斜率,利用点斜式即可求出直线的方程;(Ⅱ)利用导函数与函数的单调性、极值之间的关系直接求函数的极值;(III)曲线y＝f(x)与直线y＝-(x-t 2)-6有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x-t 2＋d)(x-t2)(x-t2-d)＋(x-t2)＋6＝0有三个互异的实数解,通过换元,求导,求函数的零点即可求解.【试题解析】(Ⅰ)由已知,可得f(x)＝x(x-1)(x＋1)＝x3-x,故f′(x)＝3x2-1,因此f(0)＝0,f′(0)＝-1,又因为曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)＝f′(0)(x-0),故所求切线方程为x＋y＝0.(Ⅱ)由已知可得f(x)＝(x-t2＋3)(x-t2)(x-t2-3)＝(x-t 2)3-9(x-t2)＝x3-3t2x2＋(3-9)x-＋9t2.故f′(x)＝3x2-6t 2x＋3-9.令f′(x)＝0,解得x＝t 2-,或x＝t2＋.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:) --＋＋＋,所以函数f(x)的极大值为f(t 2-)＝(-)3-9×(-)＝6;函数极小值为f(t2＋)＝()3-9×＝-6.(III)曲线y＝f(x)与直线y＝-(x-t 2)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t 2＋d)(x-t2)(x-t2-d)＋(x-t2)＋6＝0有三个互异的实数解,令u＝x-t2,可得u3＋(1-d2)u＋6＝0.设函数g(x)＝x3＋(1-d2)x＋6,则曲线y＝f(x)与直线y＝-(x-t 2)-6有三个互异的公共点等价于函数y＝g(x)有三个零点.g′(x)＝3x2＋(1-d2).当d2≤1时,g′(x)≥0,这时g′(x)在R上单调递增,不合题意.当d2＞1时,g′(x)＝0,解得x1＝-,x2＝.易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,＋∞)上单调递增,g(x)的极大值g(x 1)＝g＝＋6＞0,g(x)的极小值g(x 2)＝g＝-＋6.若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y＝g(x)至多有两个零点,不合题意.若g(x 2)＜0,即(d2-1＞27,也就是|d|＞,此时|d|＞x2,g(|d|)＝|d|＋6＞0,且-2|d|＜x 1,g(-2|d|)＝-6|d|3-2|d|＋6＜-62＋6＜0,从而由g(x)的单调性,可知函数y＝g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意.所以d的取值范围是(-∞,-)∪(,＋∞).6.(本小题满分14分)(2018年江苏高考·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围.(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【试题解析】(1)设PO的延长线交MN于H,则PH⊥MN,所以OH＝10.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE＝θ,故OE＝40cosθ,EC＝40sinθ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ),△CDP的面积为×2×40cosθ(40-40sinθ)＝1600(cosθ-sinθcosθ).过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK＝KN＝10.令∠GOK＝θ0,则sinθ0＝,θ0∈.当θ∈[θ0,)时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是.答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ＋cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ),sinθ的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k＞0),则年总产值为4k×800(4sinθcosθ＋cosθ)＋3k×1600(cosθ-sinθcosθ) ＝8000k(sinθcosθ＋cosθ),θ∈.设f(θ)＝sinθcosθ＋cosθ,θ∈,则f′(θ)＝cos2θ-sin2θ-sinθ＝-(2sin2θ＋sinθ-1)＝-(2sinθ-1)(sinθ＋1).令f′(θ)＝0,得θ＝,当θ∈时,f′(θ)＞0,所以f(θ)为增函数;当θ∈时,f′(θ)＜0,所以f(θ)为减函数,因此,当θ＝时,f(θ)取到最大值.答:当θ＝时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.7.(本小题满分16分)(2018年江苏高考·T19)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)＝x与g(x)＝x2＋2x-2不存在“S点”.(2)若函数f(x)＝ax2-1与g(x)＝ln x存在“S点”,求实数a的值.(3)已知函数f(x)＝-x2＋a,g(x)＝,对任意a＞0,判断是否存在b＞0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,＋∞)内存在“S点”,并说明理由.【试题解析】(1)函数f(x)＝x,g(x)＝x2＋2x-2,则f′(x)＝1,g′(x)＝2x＋2.由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x),得此方程组无解,因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.(2)函数f(x)＝ax2-1,g(x)＝ln x,则f′(x)＝2ax,g′(x)＝.设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0),得即(*)得ln x 0＝-,即x0＝,则a＝＝.当a＝时,x 0＝满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S”点.因此,a的值为.(3)f′(x)＝-2x,g′(x)＝,(x≠0),由f′(x 0)＝g′(x0),得b＝-＞0,得0＜x0＜1,由f(x 0)＝g(x0),得-＋a＝＝-,得a＝-,令h(x)＝x2--a＝,(a＞0,0＜x＜1),设m(x)＝-x3＋3x2＋ax-a,(a＞0,0＜x＜1),则m(0)＝-a＜0,m(1)＝2＞0,得m(0)m(1)＜0,又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,则m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点,则f(x)与g(x)在区间(0,＋∞)内存在“S”点.8.(2018年浙江高考T22)(本题满分15分)已知函数f(x)＝-ln x.(Ⅰ)若f(x)在x＝x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)＋f(x2)＞8-8ln2. (Ⅱ)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k＞0,直线y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有唯一公共点.【命题意图】本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.【试题解析】(Ⅰ)函数f(x)的导函数f′(x)＝-,由f′(x1)＝f′(x2)得-＝-,因为x1≠x2,所以＋＝.由基本不等式得＝＋≥2.因为x1≠x2,所以x1x2＞256.由题意得f(x 1)＋f(x2)＝-ln x1＋-ln x2＝-ln(x1x2).设g(x)＝-ln x,则g′(x)＝(-4),所以所以g(x)在(256,＋∞)上单调递增,故g(x1x2)＞g(256)＝8-8ln2,即f(x1)＋f(x2)＞8-8ln2.(Ⅱ)令m＝e-(|a|＋k),n＝＋1,则f(m)-km-a＞|a|＋k-k-a≥0,f(n)-kn-a＜n≤n＜0,所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)＝kx0＋a,所以,对于任意的a∈R及k∈(0,＋∞),直线y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有公共点.由f(x)＝kx＋a得k＝.设h(x)＝,则h′(x)＝＝,其中g(x)＝-ln x.由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2,故-g(x)-1＋a≤-g(16)-1＋a＝-3＋4ln2＋a≤0,所以h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,＋∞)上单调递减,因此方程f(x)-kx-a＝0至多1个实根.综上,当a≤3-4ln2时,对于任意k＞0,直线y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有唯一公共点.。
第三章 导数及其应用 专题11 导数与定积分 Word版 含解析 2018届高考数学考点详解技巧大全
考点22 导数的几何意义考场高招1 导数的几何意义应用规律 1. 解读高招 类型解 读典例指引求参数值已知曲线上一点P (x 0,y 0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直),应先确定该切线的斜率k ,再求出函数的导函数,最后利用导数的几何意义得到k=f'(x 0)=tan α,求有关参数的值典例导引1(1)求直线的倾斜角 由k=f'(x 0)=tan α可求α,其中倾斜角α∈[0,π)典例导引 1(2)温馨提醒切点的三重身份的灵活应用,即(1)切点在切线上;(2)切点在曲线上;(3)切线斜率k=f'(x 0)2.典例指引1(1)(2017河南百校联盟质检)设曲线f (x )=e xsin x 在(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行,则m= .(2)若点P 是函数y=e x-e -x-3x 图象上任意一点,且在点P 处切线的倾斜角为α,则α的最小值是 . 【答案】(1)-1 (2)3.亲临考场1.(2014课标Ⅱ,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-.∴y'|x=0=a-1=2,得a=3.2.(2016课标Ⅱ,理16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .【答案】 1-ln 23.(2017广西河池二模)已知曲线f(x)=a cos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b 的值为.【答案】 1【解析】∵两曲线的交点为(0,m), ∴m=a cos 0,m=02+b×0+1.∴m=1,a=1.∵曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线, ∴f'(0)=g'(0).∴-sin 0=2×0+b.∴b=0,∴a+b=1.考场高招2 求曲线y=f(x)的切线方程看清“在”与“过”1.解读高招典例解读典例指引求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)的切线方程点P(x0,y0)为切点,当切线斜率存在时,切线斜率为k=f'(x0),有唯一的一条切线为y-y0=f'(x0)(x-x0);当切线斜率不存在时,切线方程为x=x0典例导引2(1)求“过”曲线y=f(x)上一点切线经过点P,点P可以是切点,也可以不是切点,这样的直线可能有多条.解决问题的关键是设切点,利用“待定切点法”,典例导引2(2)P (x 0,y 0)的切线方程即:①设点A (x 1,y 1)是曲线y=f (x )上的一点,则以A 为切点的切线方程为y-y 1=f'(x 1)(x-x 1);②由点P (x 0,y 0)在切线上,点A (x 1,y 1)在曲线y=f (x )上,得到方程组求出切点A (x 1,y 1),代入方程y-y 1=f'(x 1)(x-x 1),化简即得所求的切线方程2.典例指引2(1)(2017山西临汾五校三联)已知函数f (x )是奇函数,当x<0时,f (x )=x ln(-x )+x+2,则曲线y=f (x )在x=1处的切线方程为( ) A.y=2x+3B.y=2x-3C.y=-2x+3D.y=-2x-3(2)经过原点(0,0)作函数f (x )=x 3+3x 2的图象的切线,则切线方程为 . 【答案】 (1)B (2)y=0或9x+4y=03.亲临考场1.(2016课标Ⅲ,理15)已知f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y=f (x )在点(1,-3)处的切线方程是.【答案】y=-2x-1【解析】当x>0时,-x<0, 则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'(x)=1x-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1), 即y=-2x-1.2.(2014江西,理13)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.【答案】 (-ln 2,2)【解析】设点P的坐标是(x0,),则由题意知,y'=-=-2,得x0=-ln2,又=e ln2=2,故点P的坐标是(-ln2,2).3.(2017北京,理19)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.考点23 定积分的计算与应用考场高招3 求定积分的常用方法1.解读高招方法解读适合题型典例指引定理法利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积函数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算,可利用此结论检验被积函数的正确性函数较简单典例导引3(2)几何法用定积分的几何意义来求,即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小函数较复杂且有明显的几何意义典例导引3(1)方法解读适合题型典例指引性质法利用定积分的性质baf(x)d x=caf(x)d x+bcf(x)d x,根据函数的定义域,将积分区间分解为若干部分,代入相应的解析式,分别求出积分值,相加即可绝对值函数、分段函数典例导引3(3)奇偶性法若函数f(x)为偶函数,且在区间[-a,a]上连续,则a-af(x)d x=2af(x)d x;若f(x)是奇函数,且在区间[-a,a]上连续,则a-af(x)d x=0函数为奇函数或偶函数典例导引3(4)2.典例指引3(1)(2017中原名校三评)已知函数f(x)=f(x)d x= .(2)sin2d x= .(3)定积分(|x|-1)d x= .(4)计算:(x3cos x)d x= .【答案】(1)6+(2)(3)-1(4)03.亲临考场1.(2014陕西,理3)定积分(2x+e x)d x的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1【答案】C【解析】因为(x2+e x)'=2x+e x,所以(2x+e x)d x=(x2+e x)=(1+e1)-(0+e0)=e.2. (2015湖南,理11)(x-1)d x= .【答案】0【解析】(x-1)d x==0.3.(2017湖北荆州模拟)计算:d x= .【答案】【解析】因为F'(x)= '=2x-,所以d x=F(3)-F(1)=9+-1-1=.考场高招4 利用定积分求平面图形面积的步骤1.解读高招步骤解读建系画图根据题意画出图形确定函数借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限分割面积将要求面积的图形进行科学而准确的划分,表示成若干个定积分的和或差准确计算计算定积分得出答案温馨提醒(1)注意面积非负,而定积分的结果可以为负.(2)若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量2.典例指引4求曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积.3.亲临考场1.(2015天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为. 【答案】故所求面积S=(x-x2)d x=.2.(2017河北唐山模拟)曲线y=x3与y=所围成的封闭图形的面积为.【答案】5 12【解析】由题意,知所围成的封闭图形的面积为-x3)d x=.。
(整理)导数应用的题型与解题方法.
导数应用的题型与解题方法一、专题概述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。
熟练以后，可以省略中间过程。
若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(l i m 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
高考数学 专题11 导数的应用热点题型和提分秘籍 理
专题11 导数的应用1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单调性与不等式的成立情况求参数范围是高考命题的热点。
2．常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等式、方程等交汇命题，主要考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用。
3．题型主要以解答题为主，属中高档题。
热点题型一 判断或证明函数的单调性例1、【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A【变式探究】设a ∈[－2,0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－ a ＋5 x ，x ≤0x 3－a ＋32x 2＋ax ，x ＞0。
证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增。
解析：设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)。
①f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)，由于a ∈[－2,0]， 从而当－1＜x ≤0时，f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)＜3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减。
②f ′2(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)。
由于a ∈[－2,0]，所以当0＜x ＜1时，f ′2(x )＜0； 当x ＞1时，f ′2(x )＞0，即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减， 在区间(1，＋∞)内单调递增。
综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减， 在区间(1，＋∞)内单调递增。
【提分秘籍】导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤 (1)求f ′(x )；(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数。
2018高考数学(理)热点题型函数与导数 含解析
函数与导数热点一利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：（1）讨论函数的单调性、极值、最值,（2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围。
【例1】已知函数f（x)＝ln x＋a（1－x）.（1)讨论f(x)的单调性;(2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a－2时,求实数a的取值范围。
解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞），f′（x)＝1x－a.若a≤0，则f′(x）＞0，所以f（x)在(0,＋∞)上单调递增.若a＞0，则当x∈错误!时，f′(x）＞0;当x∈错误!时,f′(x）＜0，所以f(x）在错误!上单调递增,在错误!上单调递减。
综上，知当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增;当a＞0时，f（x)在错误!上单调递增，在错误!上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f（x)在（0，＋∞)上无最大值；当a＞0时，f（x）在x＝错误!处取得最大值，最大值为f错误!＝ln 错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1。
因此f错误!＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0。
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在（0，＋∞）上单调递增,g（1）＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0.因此,实数a的取值范围是(0，1）。
【类题通法】（1）研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围;若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a＋a－1〈0,则需要构造函数来解.【对点训练】已知a∈R,函数f(x)＝（－x2＋ax）e x(x∈R，e为自然对数的底数）。
（1）当a＝2时,求函数f(x）的单调递增区间；（2）若函数f（x)在（－1，1）上单调递增，求实数a的取值范围。
导数大题方法总结
一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若 f(x)在 x =k 时取得极值，试求所给函数中参数的值；或者是 f(x)在(a , f(a)) 处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。
虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。
这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令 x = k，f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。
注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。
保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。
②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。
所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。
别人送分，就不要客气。
③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。
切线要写成一般式。
一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。
这一类题问法都比较的简单，一般是求 f(x)的单调(增减)区间或函数的单调性，以及函数的极大(小)值或是笼统的函数极值。
一般来说，由于北京市高考不要求二阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。
这类问题的方法是：首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。
往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。
这种方法个人认为比较累，而且容易丢掉一些情况没有进行讨论，所以比较推荐第二种方法，就是所谓的一步到位型，先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值，然后以这些值为分界点，分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论，这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论，而且还会是自己做题更有条理，更为高效。
(整理版)高考中导数问题的六大热点
高考中导数问题的六大热点由于导数其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，下面例析导数的六大热点问题，供参考．一、运算问题 例1函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '．分析：用商的导数及复合函数导数的运算律即可解决．解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ---•-'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--． 评注：对于导数运算问题关键是记清运算法那么．主要是导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法那么等．二、切线问题例2设曲线axy e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，那么a = ．分析：由垂直关系可得切线的斜率为－12，又k ＝0()f x '，即可求出a 的值． 解：axae y ='，∴切线的斜率a y k x ===0'，由垂直关系，有1)21(-=-⋅a ，解得2=a ．评注：是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题．特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中：⑴ 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的斜率k ，倾斜角为θ，那么tan θ＝k ＝0()f x '． ⑵ 其切线l 的方程为：y ＝y 0＋0()f x '(x －x 0)．假设曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线平行于y 轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x ＝x 0．三、单调性问题例3函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．〔Ⅰ〕讨论函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 分析：对于第(1)小题，求导后利用f '(x )＞0或'()f x ＜0，解不等式即得单调区间；而(2)转化为'()f x ＜0在2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上恒成立即可． 解：〔1〕32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++． 当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增．当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -±=，即()f x在⎛-∞ ⎝⎭递增，⎝⎭递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增． 〔2〕假设函数在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，那么2()321f x x ax '=++两根在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，外，即2'()31'()3f f ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤0≤0，解得a ≥2，故取值范围是[2，＋∞)． 评注：一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导．如果f '(x )＞0，那么f (x )为增函数；如果f '(x )＜0，那么f (x )为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：①运用导数判断单调区间； ②证明单调性； ③单调性求参数；④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题． 四、极值问题 例4函数1()ln(1),(1)nf x a x x =+--其中n ∈N*,a 为常数．当n =2时，求函数f (x )的极值；分析：运用导数先确定函数的单调性，再求其极值． 解：由得函数f (x )的定义域为{x |x ＞1}， 当n =2时，21()ln(1),(1)f x a x x =+--所以232(1)().(1)a x f x x --=-(1)当a ＞0时，由'()f x ＝0，得11x =+1，21x =＜1， 此时 f ′〔x 〕=123()()(1)a x x x x x ----. 当x ∈〔1，x 1〕时，f ′〔x 〕＜0,f (x )单调递减； 当x ∈〔x 1+∞〕时，f ′〔x 〕＞0, f (x )单调递增. 〔2〕当a ≤0时，f ′〔x 〕＜0恒成立，所以f (x )无极值. 综上所述，n =2时，当a ＞0时，f (x )在1x =+处取得极小值，极小值为2(1(1ln ).2a f a+=+当a ≤0时，f (x )无极值．评注：运用导数解决极值问题．一般地，当函数f (x )在x 0处连续，判别f (x 0)为极大(小)值的方法是：⑴ 假设0'()f x ＝0，且在x 0附近的左侧()f x '＞0，右侧()f x '＜0，那么f (x 0)是极大值，⑵ 如果在x 0附近的左侧()f x '＜0，右侧()f x '＞0，那么f (x 0)是极小值． 五、最值问题例5 求函数f (x )＝x 4－2x 2＋5在[－2，2]上的最大值与最小值． 分析：可先求出导数及极值点，再计算．解： ()f x '＝4x 3－4x ，令()f x '＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，均在(－2，2)内． 计算f (－1)＝4，f (0)＝5，f (1)＝4，f (－2)＝13，f (2)＝13． 通过比拟，可见f (x ) 在[－2，2]上的最大值为13，最小值为4．评注：运用导数求最大(小)值的一般步骤如下： 假设f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，那么⑴ 求()f x '，令()f x '＝0，求出在(a ，b )内使导数为0的点及导数不存在的点． ⑵ 比拟三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f (x )在[a ，b ]上的最大值，最小者便是f (x )在[a ，b ]上的最小值．六、应用问题例6 用总长的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等根底知识．解：设容器底面短边长为x m ，那么另一边长为()0.5x + m ，高为()14.8440.5 3.224x x x --+=-．由3.220x ->和0x >，得0 1.6x <<， 设容器的容积为3ym ，那么有()()0.5 3.22y x x x =+- ()0 1.6x <<．即322 2.2 1.6y x x x =-++， 令0y '=，有26 4.4 1.60x x -++=，即2151140x x --=，解得11x =，2415x =-〔不合题意，舍去〕.当x ＝1时，y 取得最大值，即max 2 2.2 1.6 1.8y =-++=， 这时，高为3.221 1.2-⨯=.答：容器的高为m 时容积最大，最大容积为31.8m ．。
北京市2018届高三数学理一轮复习 2.11 导数的应用课件 精品
解（1） 由题意得ff′0＝01＝，0， 即 cb＝＝10，. (2)、由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0； 当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0， a).
(2)由(1)f′(x)＝ex＋ex 1－a＝1－ex＋1 1－a. ①当 a≥1 时，f′(x)＜0 恒成立， ∴a∈[1，＋∞)时，函数 y＝f(x)在 R 上单调递减． ②当 0＜a＜1 时，由 f′(x)＞0 得(1－a)(ex＋1)＞1， 即 ex＞－1＋1－1 a，解得 x＞ln1－a a， 当 0＜a＜1 时，由 f′(x)＜0 得(1－a)(ex＋1)＜1，
真题再现
2. 【2016高考北京数学】（本小题13分）设函数 f (x) xeax bx ，曲线 y f (x)在 点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y (e 1)x 4.
（1）求a, b的值；
（2）求 f (x) 的单调区间.
知识梳理
1、函数的单调性与导数
2．函数的极值与导数
当 0<x<1a时，f′(x)>0； 当 x>1a时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f 1a＝－ln a－1＝－1，解得 a＝1.
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题型六 利用导数解决生活中的优化问题
例 6.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该 蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假设 建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米， 底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000π元(π为圆周率)．
专题11 导数的运算与导数的几何意义--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】导数的几何意义为高考命题热点内容，考查题型有客观题，有时也出现在解答题中，难度中等或更小．导数的运算基本不单独命题，主要是在导数的几何意义及导数的应用中加以考查.导数的几何意义问题归纳起来常见的命题探究角度有：(1)求切线方程问题．(2)确定切点坐标问题．(3)已知切线问题求参数．(4)导数几何意义的综合应用．【重点知识回眸】（一）导数的几何意义1.函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．2.提醒：(1)瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．(2)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(3)曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．（二）基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x)＝c(c为常数)f ′(x)＝0f (x)＝x n(n∈Q*)f ′(x)＝nx n－1f (x)＝sin x f ′(x)＝cos xf (x)＝cos x f ′(x)＝－sin xf (x)＝a x f ′(x)＝a x ln a(a＞0)f (x)＝e x f ′(x)＝e xf (x)＝log a x(a＞0，且a≠1)f ′(x)＝1x ln a(a＞0，且a≠1)f (x)＝ln x f ′(x)＝1 x(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；(2)[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；（3）(g (x )≠0)． （四）复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． （五）常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2) 21'()[]'()[()]f x f x f x =- (f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． （六）方法与技巧：1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A 的横坐标0x ，因为0x 可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标()0f x ，代入到导函数中可得到切线的斜率()'0fx k =,从而一点一斜率，切线即可求所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来.3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标()00,x y ,再考虑利用条件解出核心要素0x ，进而转化成第一类问题.4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用0∆=求出参数值进而解出切线方程.解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通.若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：21y x =-13,22⎛⎝⎭处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决.若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在y 轴的抛物线，可看作y 关于x 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在y 轴的抛物线切线问题的重要方法）.5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.【典型考题解析】热点一 求曲线的切线方程【典例1】（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+【典例2】（2019·全国高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【典例4】（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【规律方法】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程． 热点二 求切点坐标【典例5】（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x y =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，若直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，则点M 的坐标是___________. 【典例6】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A 在曲线y =ln x 上，且该10x y --π-=2210x y --π-=2210x y +-π+=10x y +-π+=0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩xOy曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【方法总结】1.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．2.已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k . 热点三 求参数的值(范围)【典例7】（2019·全国·高考真题（理））已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【典例8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e ,x f x a b a b =+∈R 在点()()0,0f 处的切线方程为32y x =+，则2a b +=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【典例9】（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 【规律方法】1.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2.根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．3.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 热点四 切线的斜率与倾斜角【典例10】（2023·全国·高三专题练习）设函数321()(1)sin 3f x x a x a x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线斜率为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．12【典例11】（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310B ．±310 C ．35D ．±35【典例12】（2018·全国·高考真题（理））曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ________．热点五：两曲线的公切线问题【典例13】（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【典例14】（2023·全国·高三专题练习）已知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________．【典例15】（2016·全国·高考真题（理））若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =_______． 【总结提升】解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝1212()()f xg x x x --.热点六：导数几何意义的综合应用【典例16】（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<【典例17】（全国·高考真题（文））已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【典例18】（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【精选精练】一、单选题1．（2022·湖北武汉·高三开学考试）若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（ ）A ．12B 2C 3D ．342．（2023·全国·高三专题练习）函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．11,22,2e e ∞⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．()0,∞+3．（2022·江西·高三阶段练习（文））我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．利用此方法计算sin 0.01︒的近似值为（ ） A ．0.01B ．180πC ．1800πD ．18000π4．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））若函数1()33(0)f x x x x=+->的图象与函数()e x g x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（ ）A ．1eB ．2eC ．1e或2e D ．1e或4e 5．（2022·安徽省舒城中学三模（文））以下曲线与直线e e y x =-相切的是（ ） A ．221x y +=B ．e x y =C ．e ln x y x =D ．21e 2y x =6．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数2()ln f x a x bx =-的图象在1x =处与直线12y =-相切，则函数()f x 在[]1,e 上的最大值为（ ） A ．1-B ．0C ．12-D ．17．（2023·全国·高三专题练习）曲线e 22x y x x =+-在0x =处的切线方程是（ ） A ．320x y ++= B ．220x y ++= C ．220x y --=D ．320x y --=8．（2023·河北·高三阶段练习）若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（ ） A ．2log m n >B ．2log n m >C ．2log m n <D ．2log n m <9．（2022·全国·高三专题练习）曲线ln y x =上的点到直线2y x =+的最短距离是（ ） A ．22B 32C 2D 210．（2022·河南·高三阶段练习（理））曲线ln 3y x x x =+-在1x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．811．（2023·全国·高三专题练习）过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题12．（2021·全国·高考真题（理））曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 13．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()e x xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则21a b+的最小值为___________.15．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.16．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 三、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln f x p x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2e g x x =若直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切，且与函数()f x 的图象相切于点()1,0，求p 的值；18．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()ln f x x x ax b =++在e x =时取得极小值1e -，其中e 2.718=是自然对数的底数.(1)求实数a 、b 的值； (2)若曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线过原点()0,0，求实数t 的值.。
【高中数学】导数知识点梳理(附题型答题技巧)
高中数学导数知识点梳理一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=图片处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点图片趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点图片趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=图片处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，图片便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作图片，即二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四.推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
2018届高三理科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版
2018届高三理科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版【3年高考试题比较】对于导数的解答题，考纲的要求是：1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题.通过比较近三年的高考卷总结如下：一般有两问，（16年3卷出现了三问），第一问往往是以讨论函数单调性和切线问题为主，也有根据不等式恒成立或零点问题求参数范围的问题，但一般难度不大，第二问主要涉及不等式的恒成立问题，零点问题，函数最值问题，一元的不等式证明和二元的不等式证明，方法灵活，难度较大.【必备基础知识融合】1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).3.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 4.函数的单调性与导数(1)在区间D 上，若f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0不连续成立⇔函数f (x )在区间D 上递增；(2)在区间D 上，若f ′(x )≤0，且f ′(x )＝0不连续成立⇔函数f (x )在区间D 上递减； (3)在区间D 上，若f ′(x )＝0恒成立⇔函数f (x )在区间D 上是常函数. 5.函数的极值与导数6.函数的最值与导数(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值.【解题方法规律技巧】典例1：已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程.【规律方法】(1)求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.典例2：设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数.(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a ，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a .由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减. 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增.【规律方法】 (1)确定函数单调区间的步骤： ①确定函数f (x )的定义域； ②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时，f ′(x )＝0)，但f (x )＝x 3在R 上是增函数.（3）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.典例3： 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围.(2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，③即a ≥1x 2－2x 恒成立.设G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.【规律方法】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法： (1)函数f (x )在区间D 上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f ′(x )>0(<0)在区间D 上有解”；方法二：转化为“存在区间D 的一个子区间使f ′(x )>0(<0)成立”. (2)函数f (x )在区间D 上递增(减).方法一：转化为“f ′(x )≥0(≤0)在区间D 上恒成立”问题； 方法二：转化为“区间D 是函数f (x )的单调递增(减)区间的子集”. 易错警示 对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于②：h (x )在(0，＋∞)上存在递减区间，应等价于h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，易误认为“等价于h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解”，多带一个“＝”之所以不正确，是因为“h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解即为h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，或h ′(x )＝0在(0，＋∞)上有解”，后者显然不正确；对于③：h (x )在[1，4]上单调递减，应等价于h ′(x )≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h ′(x )<0在[1，4]上恒成立”.典例4：已知函数()()2ln R 2a f x x x x a =-∈ .（1）若2a = ，求曲线()y f x = 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()()()1g x f x a x =+- 在1x = 处取得极小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）y x =-（2）1a <()1'01,g x x a ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，时， ()'0g x > ，所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意.③当1a =时，当()0,1x ∈ 时， ()'0h x >， ()'g x 在()0,1内单调递增， ()1,x ∈+∞时， ()()'0,'h x g x < 在()1,+∞内单调递减，所以当()0,x ∈+∞时， ()()'0,g x g x ≤单调递减，不合题意. ④当1a >时，即101a <<，当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()'0,'h x g x < 单调递减， ()'0g x > ，当()1,x ∈+∞时， ()()'0,'h x g x <单调递减， ()'0g x < ，所以()g x 在1x =处取得极大值，不合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1a < .【规律方法】函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值这类问题的一般解题步骤为：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值.(2)由函数极值求参数的值或范围.讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.典例5：已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值.①当－a2≤1时，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意. ②当1＜－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0，不符合题意. ③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8， 由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意. 综上有，a ＝－10.【规律方法】(1)求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a ，b )内的极值；②求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；③将函数f (x )的极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.典例6：已知函数f(x)＝ax＋ln x，x∈[1，e].(1)若a＝1，求f(x)的最大值；(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围.【规律方法】 由不等式恒(能)成立求参数的范围常有两种方法：(1)讨论最值：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；(2)分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围. 典例7：设函数f(x)＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝x －ex 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减. ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点， 因此x ＝1也是φ(x )的最大值点. ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点. 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.【规律方法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.典例8：已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋y ＋3＝0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝ln x ，求证：g (x )≥f (x )在[1，＋∞)上恒成立；(3)若0<a <b ，求证：ln b －ln a b －a >2a a 2＋b 2.【规律方法】 证明不等式通常需要构造函数，利用函数的最值、单调性证明.(1)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，利用导数求F (x )的值域，得到F (x )<0即可；(2)对于证明含有两个变量a ，b 的不等式时，一种方法是通过变形构造成不等式f (a )>f (b )，然后利用函数f (x )的单调性证明，另一种方法是通过换元构造成单变量不等式，如本例令x ＝b a然后再利用已知关系证明即可.典例9：设k ∈R ，函数()ln f x x kx =-.(Ⅰ)若2k =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(Ⅱ)若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)若()f x 有两个相异零点12x x ，，求证： 12ln ln 2x x +>.【答案】(Ⅰ) 10x y ++=；(Ⅱ) 1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(Ⅲ)证明见解析.(Ⅱ)①若k 0<时，则()()'0f x f x >，是区间()0,∞+上的增函数，∵()()()10e e 1e 0k k k f k f k k k =->=-=-<，，∴()()1e 0k f f ⋅<，函数()f x 在区间()0,∞+有唯一零点； ②若()0ln k f x x ==，有唯一零点1x =；③若0k >，令()'0f x =，得1x k =， 在区间10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， ()'0f x >，函数()f x 是增函数；【规律方法】涉及到二元问题的证明问题，通常是将二元问题一元化，进而利用函数导数求最值即可得解. 二元问题一元化的一般思路有：（1）等量代换，将题中的等量关系代入即可；（2，12t x x =+，12t x x =-等手段将二元关系换成关于t 的一元函数即可； （3）利用“极值点偏移”的思想，将二元换为一元.典例10：设函数()()2(x f x x ax a e a R -=+-⋅∈）. （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）设()21g x x x =--，若对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) 320ex y e ++=；(2) 1a ≤-或24a e ≥-.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上， ()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅ ()222x e x a x a -⎡⎤=-+--⎣⎦ ()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时， ()'0f x ≥在[]0,2上恒成立， ()f x 在[]0,2上为单调递增函数， ()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-； ②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时， ()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e=+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e +⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-； ③当2a -≥，即2a ≤-时， ()'0f x ≤在[]0,2上恒成立， ()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.【规律方法】利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上， ()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”. 【归纳常用万能模板】设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .满分解答 (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a x (x ＞0).当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点.2分当a ＞0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－a x ，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.4分又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.6分(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)9分由于2e2x 0－a x 0＝0， 所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a . 故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .12分❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求f (x )的最小值和基本不等式的应用.❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f (x )的定义域，f ′(x )在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f (x )在x ＝x 0处最值的判定.❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f ′(x )准确，否则全盘皆输，求解使f ′(b )＜0的b 满足的约束条件0＜b ＜a 4，且b＜14.如第(2)问中x 0满足条件的计算，若计算错误不得分，另外还应注意规范的文字、符号语言的表述.1.讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.。
2018年高考数学三轮讲练测核心热点总动员江苏版 专题11 导数及其应用 含解析
2016年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点【江苏版】热点十一导数及其应用【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例1 【2013江苏高考】抛物线错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为错误！未找到引用源。
（包含三角形内部和边界）.若点错误！未找到引用源。
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例2 【2014江苏高考】在平面直角坐标系错误！未找到引用源。
中，若曲线错误！未找到引用源。
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为常数）过点错误！未找到引用源。
，且该曲线在点错误！未找到引用源。
处的切线与直线错误！未找到引用源。
平行，则错误！未找到引用源。
. 【答案】错误！未找到引用源。
【解析】曲线错误！未找到引用源。
过点错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
①，又错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
②，由①②解得错误！未找到引用源。
所以错误！未找到引用源。
．【热点深度剖析】1. 导数及其应用在13-15年均是以填空题、解答题的形式进行考查，题目多为中高档题，涉及到函数与方程、分类讨论和数形结合的思想，着重考查学生转化问题和解决问题的能力. 导数及其应用常与函数、不等式、平面解析几何等知识结合考查..2. 对于导数的复习，一要理解导数的几何意义，二要明确导数运算是导数应用的基础，应熟练掌握，三要利用导数是研究函数的重要工具，实现函数与方程的等价转化.导数知识属于重点知识，考查的难点较大，复习时应以中等偏上的题目为主，加强对导数与函数结合题目的训练.3. 预计16年考查导数的运算和利用导数研究函数的单调性与极值的可能性较大.导数的几何意义也有可能考查.【最新考纲解读】【重点知识整合】1. 求函数单调区间的步骤：(1）确定错误！未找到引用源。
的定义域，(2）求导数错误！未找到引用源。
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2018届浙江省基于高考试题的复习资料——导数及其应用
十、导数及其应用一、高考考什么？[考试说明]1．了解导数概念与实际背景，理解导数的几何意义。
2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（仅限于形如()f ax b +）。
3．了解函数单调性和导数的关系；能用导数求函数的单调区间。
4．理解函数的极值的概念及函数在某点取得极值的条件；会用导数求函数的极大（小）值，会求闭区间上函数的最大（小）值。
[知识梳理]1．在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线。
若求某点00,)x y （处的切线，则切线斜率0'()k f x = ；若求过某点(,)a b 的切线，则应设切点00,)x y （，然后由000'()y bk f x x a-==-得切点。
2．基本初等函数的导数和导数的运算法则： （1（2①[()()]'()'()f x g x f x g x '±=±； ②[()]'()c f x c f x '⋅=⋅；③[()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '⋅=±； ④2()'()()()'()[]()()f x f xg x f x g x g x g x -'=。
3．复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦4．函数的单调性：（1）若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数（2）若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递增，则()0f x '≥；若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递减，则()0f x '≤。
高考数学热点问题研究——导数及其综合应用
2018 年高考数学热门问题研究——导数及其综合应用【考题回放】1． <江西卷）对于R 上可导的随意函数 f ( x>，若知足( x－1> f( x> 0，则必有 < C）A．f (0> ＋f(2>2f(1> B.f(0> ＋f(2> 2 (1>fC. f (0>＋f (2>2f (1>D. f (0>＋ f (2>2f (1>解：依题意，当x1时， f( x> 0 ，函数 f ( x>在<1，＋）上是增函数；当x1时，f( x> 0 ，f ( x>在 <－， 1 ）上是减函数，故 f ( x>当x ＝1时获得最小值，即有f (0> f (1>， f (2> f (1>，应选C2． <全国 II ）过点 <－ 1， 0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则此中一条切线为<A） 2x+y+2=0<B ） 3x-y +3=0 <C）x+y+1=0<D）x-y+ 1=0解： y =2x+1，设切点坐标为( x , y >，则切线的斜率为2+x +1 于是切2x +1，且 y =x000000线方程为 y-( x02+x0+1>=(2 x0+1>( x-x0>，由于点 <－ 1， 0）在切线上，可解得x0＝0 或－ 4，代入可验正 D 正确。
选 D3.<四川卷）曲线y=4x-x3在点 (-1,-3> 处的切线方程是<A）74<B）72<C）y=x-4<D）y=x-2y= x+y= x+解：曲线y=4x-x 3，导数y =4-3 x2，在点(-1,-3>处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是 y=x- 2，选D.4.< 天津卷）函数 f ( x>的定义域为开区间( a,b >，导函数f( x>在 ( a,b >内的图象如图所示，则函数 f ( x>在开区间( a,b >内有极小值点<）A．1个B．2个 C．3个D．4个解读：函数 f ( x>的定义域为开区间( a,b >，导函数f( x>在 ( a,b >内的图象如图所示，函数 f ( x>在开区间( a,b >内有极小值的点即函数由减函数变成增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有 1 个，选 A.5.< 浙江卷）f32在区间 [-1,1]上的最大值是( x>=x -3 x +2(A>-2(B>0(C>2(D>4解： f( x>=3x2-6 x=3x( x-2> ，令f( x>=0 可得x＝ 0 或 2<2 舍去），当－ 1 x 0时， f( x> 0，当 0 x 1 时，f( x> 0，所以当x＝0时， f ( x>获得最大值为2。
高考数学秘籍18法导数应用的题型与方法试题
高考数学秘籍18法导数应用的题型与方法制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、专题综述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：〔1〕刻画函数〔比初等方法准确细微〕；〔2〕同几何中切线联络〔导数方法可用于研究平面曲线的切线〕；〔3〕应用问题〔初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便〕等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或者函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合才能的一个方向，应引起注意。
二、知识整合1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法那么是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法那么，接下来对法那么进展了证明。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：〔1〕纯熟掌握各根本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法那么，复合函数的求导法那么。
〔2〕对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进展：(1〕适中选定中间变量，正确分解复合关系；〔2〕分步求导〔弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导〕；〔3〕把中间变量代回原自变量〔一般是x 〕的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。
纯熟以后，可以略中间过程。
假设遇多重复合，可以相应地屡次用中间变量。
三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，那么=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求以下极限：〔1〕hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； 〔2〕h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不管△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
高考导数题型分析及解题方法
高考导数题型分析及解题方法本知识单元考查题型与方法：※※与切线相关问题（一设切点，二求导数=斜率=2121y y x x --，三代切点入切线、曲线联立方程求解）；※※其它问题（一求导数，二解)('x f =0的根—若含字母分类讨论，三列3行n 列的表判单调区间和极值。
结合以上所得解题。
）特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值。
导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。
关注几点：恒成立：（1）定义域任意x 有()f x >k,则min ()f x >常数k ；（2）定义域任意x 有()f x <k,则max ()f x <常数k恰成立：（1）对定义域内任意x 有()()f x g x >恒成立，则min ()-()0,f x g x >【】 （2）若对定义域内任意x 有()()f x g x <：恒成立，则max ()-()0f x g x <【】能成立：（1）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和，对任意的1[,],x a b ∈存在2[,],x c d ∈使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <（2）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和，对任意的1[,],x a b ∈存在2[,],x c d ∈使得12()()f x g x >，则min min ()()f x g x >一、考纲解读考查知识题型：导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为： ).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。
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专题11 导数的应用1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单调性与不等式的成立情况求参数范围是高考命题的热点。
2．常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等式、方程等交汇命题，主要考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用。
3．题型主要以解答题为主，属中高档题。
热点题型一 判断或证明函数的单调性例1、【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A【变式探究】设a ∈[－2,0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－a ＋x ，x ≤0x 3－a ＋32x 2＋ax ，x ＞0。
证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增。
解析：设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)。
①f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)，由于a ∈[－2,0]， 从而当－1＜x ≤0时，f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)＜3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减。
②f ′2(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)。
由于a ∈[－2,0]，所以当0＜x ＜1时，f ′2(x )＜0； 当x ＞1时，f ′2(x )＞0，即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减， 在区间(1，＋∞)内单调递增。
综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减， 在区间(1，＋∞)内单调递增。
【提分秘籍】导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤 (1)求f ′(x )；(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数。
【举一反三】已知函数f (x )＝x 2－e x，试判断f (x )的单调性并给予证明。
解析：f (x )＝x 2－e x，f (x )在R 上单调递减，f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成立即可。
设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x， 当x ＝ln2时，g ′(x )＝0， 当x ∈(－∞，ln2)时，g ′(x )>0， 当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )<0。
∴f ′(x )max ＝g (x )max ＝g (ln2)＝2ln2－2<0， ∴f ′(x )<0恒成立， ∴f (x )在R 上单调递减。
热点题型二 求函数的单调区间例2、【2017天津，理20】设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q∈ 满足041||p x q Aq-≥. 【答案】（Ⅰ）增区间是(),1-∞-， 1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭，递减区间是11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.（Ⅱ）见解析；（III ）见解析.（Ⅱ）证明：由()()()()0h x g x m x f m =--，得()()()()0h m g m m x f m =--，()()()()000h x g x m x f m =--.令函数()()()()10H x g x x x f x =--，则()()()'10H x g x x x '=-.由（Ⅰ）知，当[]1,2x ∈时，()0g x '>，故当[)01,x x ∈时， ()'10H x <， ()1H x 单调递减；当(]0,2x x ∈时， ()'10H x >， ()1H x 单调递增.因此，当[)(]001,,2x x x ∈⋃时， ()()()11000H x H x f x >=-=，可得()()10,0H m h m >>即.令函数()()()()200H x g x x x f x =--，则()()()'20H x g x g x =-.由（Ⅰ）知， ()g x 在[]1,2上单调递增，故当[)01,x x ∈时， ()'20H x >， ()2H x 单调递增；当(]0,2x x ∈时， ()'20H x <， ()2H x 单调递减.因此，当[)(]001,,2x x x ∈⋃时， ()()2200H x H x <=，可得()()200,0H m h x <<即. 所以， ()()00h m h x <.（III ）证明：对于任意的正整数 p ，q ，且00[1)(,],2px x q∈， 令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点.所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x ，则110()()()()0p ph g x f q x qx =--=. 由（I ）知()g x 在[1,2]上单调递增，故10()()12()g x g g <<<，于是432234041()|()||2336|||||()()(2)2p pf f p p p q p q pq aq q qx q g x g g q +--+-=≥=.因为当[12],x ∈时，()0g x >，故()f x 在[1,2]上单调递增，所以()f x 在区间[1,2]上除0x 外没有其他的零点，而0p x q≠，故()0pf q ≠.又因为p ，q ，a 均为整数，所以432234|2336|p p q p q pq aq +--+是正整数，从而432234|2336|1p p q p q pq aq +--+≥. 所以041|2|()p x q g q -≥.所以，只要取()2A g =，就有041||p x q Aq -≥. 【变式探究】已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间。
解析：f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，二次方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )，若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0， ∴f (x )在R 上单调递增。
若a ＜1，则Δ＞0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ， 当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＞0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)， 单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )。
【提分秘籍】 求函数的单调区间的“两个方法”方法一(1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间。
方法二(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性。
【举一反三】设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)。
(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值。
(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x。
令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3。
当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )在(2,3)上为减函数。
由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln3。
热点题型三 已知函数的单调性求参数的范围 例3．【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x aea e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知， ()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时， 11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->-⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)。